9 формули поврзани со својствата на силите на логаритмите. Основен логаритамски идентитет

Како што знаете, кога се множат изразите со моќи, нивните експоненти секогаш се собираат (a b *a c = a b+c). Овој математички закон бил изведен од Архимед, а подоцна, во 8 век, математичарот Вирасен создал табела со цели броеви експоненти. Токму тие служеа за понатамошно откривање на логаритми. Примери за користење на оваа функција може да се најдат речиси насекаде каде што треба да го поедноставите незгодното множење со едноставно собирање. Ако потрошите 10 минути читајќи ја оваа статија, ќе ви објасниме што се логаритми и како да работите со нив. На едноставен и достапен јазик.

Дефиниција во математиката

Логаритам е израз на следнава форма: log a b=c, односно логаритам на кој било ненегативен број (т.е. кој било позитивен) „b“ до неговата основа „a“ се смета за моќност „c “ на која мора да се подигне основата „а“ за на крај да се добие вредноста „б“. Да го анализираме логаритамот користејќи примери, да речеме дека има израз log 2 8. Како да го најдеме одговорот? Многу е едноставно, треба да најдете моќност така што од 2 до потребната моќност ќе добиете 8. Откако ќе направите некои пресметки во вашата глава, го добиваме бројот 3! И тоа е точно, бидејќи 2 на сила од 3 го дава одговорот како 8.

Видови логаритми

За многу ученици и студенти, оваа тема изгледа комплицирана и неразбирлива, но всушност логаритмите не се толку страшни, главната работа е да се разбере нивното општо значење и да се запамети нивните својства и некои правила. Има три одделни видовилогаритамски изрази:

1. Природен логаритам ln a, каде што основата е Ојлеровиот број (e = 2,7).
2. Децимална а, каде што основата е 10.
3. Логаритам на кој било број b до основа a>1.

Секој од нив е решен на стандарден начин, вклучувајќи поедноставување, намалување и последователно намалување на еден логаритам користејќи логаритамски теореми. За добивање точни вредностилогаритми, треба да ги запомните нивните својства и редоследот на дејства кога ги решавате.

Правила и некои ограничувања

Во математиката има неколку правила-ограничувања кои се прифаќаат како аксиома, односно не се предмет на дискусија и се вистина. На пример, невозможно е да се подели броеви со нула, а исто така е невозможно да се извлече парен корен од негативни броеви. Логаритмите исто така имаат свои правила, според кои можете лесно да научите да работите дури и со долги и обемни логаритамски изрази:

• Основата „а“ мора секогаш да биде поголема од нула, а не еднаква на 1, во спротивно изразот ќе го изгуби своето значење, бидејќи „1“ и „0“ во кој било степен се секогаш еднакви на нивните вредности;
• ако a > 0, тогаш a b >0, излегува дека „c“ исто така мора да биде поголемо од нула.

Како да се решат логаритми?

На пример, задачата е да се најде одговорот на равенката 10 x = 100. Ова е многу лесно, треба да изберете моќ со подигање на бројот десет до кој добиваме 100. Ова, се разбира, е 10 2 = 100.

Сега да го претставиме овој израз во логаритамска форма. Добиваме лог 10 100 = 2. При решавање на логаритми, сите дејства практично се спојуваат за да се најде моќта до која е потребно да се внесе основата на логаритмот за да се добие даден број.

За точно да ја одредите вредноста на непознат степен, треба да научите како да работите со табела со степени. Изгледа вака:

Како што можете да видите, некои експоненти може да се погодат интуитивно ако имате технички ум и познавање на табелата за множење. Сепак за големи вредностиќе ви треба табела со степени. Може да се користи дури и од оние кои воопшто не знаат ништо за комплексот математички теми. Левата колона содржи броеви (основа а), горниот ред на броеви е вредноста на моќта c до која е подигнат бројот a. На пресекот, ќелиите ги содржат нумеричките вредности кои се одговорот (a c =b). Да ја земеме, на пример, првата ќелија со бројот 10 и да ја квадратиме, ја добиваме вредноста 100, што е означено на пресекот на нашите две ќелии. Сè е толку едноставно и лесно што дури и највистинскиот хуманист ќе разбере!

Равенки и неравенки

Излегува дека под одредени услови експонентот е логаритам. Затоа, секој математички нумерички израз може да се запише како логаритамска еднаквост. На пример, 3 4 = 81 може да се запише како основен 3 логаритам од 81 еднаков на четири (лог 3 81 = 4). За негативните сили правилата се исти: 2 -5 = 1/32 го пишуваме како логаритам, добиваме лог 2 (1/32) = -5. Еден од најфасцинантните делови од математиката е темата „логаритми“. Примери и решенија на равенки ќе ги разгледаме подолу, веднаш по проучувањето на нивните својства. Сега да погледнеме како изгледаат неравенките и како да ги разликуваме од равенките.

Даден е следниот израз: log 2 (x-1) > 3 - тоа е логаритамска неравенка, бидејќи непознатата вредност „x“ е под логаритамскиот знак. И, исто така, во изразот се споредуваат две величини: логаритамот на саканиот број до основата два е поголем од бројот три.

Најважната разлика помеѓу логаритамските равенки и неравенките е тоа што равенките со логаритми (на пример, логаритмот 2 x = √9) подразбираат една или повеќе специфични нумерички вредности во одговорот, додека при решавање на неравенки, и опсегот на прифатливи вредностите и точките се одредуваат кршејќи ја оваа функција. Како последица на тоа, одговорот не е едноставно збир на поединечни броеви, како во одговорот на равенката, туку континуирана серија или збир на броеви.

Основни теореми за логаритми

При решавање на примитивни задачи за пронаоѓање на вредностите на логаритамот, неговите својства можеби не се познати. Меѓутоа, кога станува збор за логаритамски равенки или неравенки, пред сè, потребно е јасно да се разберат и да се применат во пракса сите основни својства на логаритмите. Ќе разгледаме примери на равенки подоцна; ајде прво да го разгледаме секое својство подетално.

1. Главниот идентитет изгледа вака: a logaB =B. Се применува само кога a е поголемо од 0, не е еднакво на еден, а B е поголемо од нула.
2. Логаритмот на производот може да се претстави во следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Во овој случај, задолжителен услов е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказ за оваа логаритамска формула, со примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, потоа a f1 = s 1, a f2 = s 2. Добиваме дека s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (својства на степени ), а потоа по дефиниција: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, што требаше да се докаже.
3. Логаритмот на количникот изгледа вака: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теоремата во форма на формула го добива следниот облик: log a q b n = n/q log a b.

Оваа формула се нарекува „својство на степенот на логаритам“. Наликува на својствата на обичните степени и не е изненадувачки, бидејќи целата математика се заснова на природни постулати. Да го погледнеме доказот.

Нека log a b = t, излегува a t =b. Ако двата дела ги подигнеме до моќноста m: a tn = b n ;

но бидејќи a tn = (a q) nt/q = b n, затоа log a q b n = (n*t)/t, тогаш log a q b n = n/q log a b. Теоремата е докажана.

Примери на проблеми и нееднаквости

Најчестите типови на проблеми на логаритми се примери на равенки и неравенки. Ги има во речиси сите проблематични книги, а се задолжителен дел и од испитите по математика. За да влезете на универзитет или да положите приемни испити по математика, треба да знаете како правилно да ги решите таквите задачи.

За жал, не постои единствен план или шема за решавање и одредување на непознатата вредност на логаритамот, но може да се примени на секоја математичка неравенка или логаритамска равенка. одредени правила. Пред сè, треба да откриете дали изразот може да се поедностави или да доведе до општ изглед. Можете да ги поедноставите долгите логаритамски изрази ако правилно ги користите нивните својства. Ајде брзо да ги запознаеме.

При одлучувањето логаритамски равенки, треба да одредиме каков тип на логаритам имаме: примерен израз може да содржи природен логаритам или децимален.

Еве примери ln100, ln1026. Нивното решение се сведува на фактот дека тие треба да ја одредат моќноста на која основата 10 ќе биде еднаква на 100 и 1026, соодветно. За да ги решите природните логаритми, треба да примените логаритамски идентитети или нивните својства. Ајде да погледнеме примери за решавање на логаритамски проблеми од различни типови.

Како да користите логаритамски формули: со примери и решенија

Значи, ајде да погледнеме примери за користење на основните теореми за логаритми.

1. Својството на логаритмот на производот може да се користи во задачи каде што е потребно да се разложи голема вредност на бројот b на поедноставни фактори. На пример, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Одговорот е 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - како што можете да видите, користејќи го четвртото својство на логаритамската моќ, успеавме да решиме навидум сложен и нерешлив израз. Треба само да ја факторингирате основата и потоа да ги извадите вредностите на експонентот од знакот на логаритамот.

Задачи од Единствениот државен испит

Логаритмите често се среќаваат на приемните испити, особено многу логаритамски проблеми на Единствениот државен испит (државен испит за сите матуранти). Вообичаено, овие задачи се присутни не само во делот А (најлесниот тест дел од испитот), туку и во делот В (најсложените и најобемните задачи). Испитот бара точно и совршено познавање на темата „Природни логаритми“.

Примери и решенија за проблемите се земени од официјалните верзии на Единствениот државен испит. Ајде да видиме како се решаваат ваквите задачи.

Даден е лог 2 (2x-1) = 4. Решение:
ајде да го преработиме изразот, поедноставувајќи го малку log 2 (2x-1) = 2 2, со дефиниција на логаритамот добиваме дека 2x-1 = 2 4, значи 2x = 17; x = 8,5.

• Најдобро е да ги намалите сите логаритми на иста основа за решението да не биде гломазно и збунувачки.
• Сите изрази под знакот логаритам се означени како позитивни, затоа, кога експонентот на изразот што е под знакот логаритам и како негова основа се извади како множител, изразот што останува под логаритам мора да биде позитивен.

Продолжуваме да ги проучуваме логаритмите. Во оваа статија ќе зборуваме за пресметување на логаритми, овој процес се нарекува логаритам. Прво ќе го разбереме пресметувањето на логаритмите по дефиниција. Следно, ајде да погледнеме како се наоѓаат вредностите на логаритмите користејќи ги нивните својства. После ова, ќе се фокусираме на пресметување на логаритми преку првично наведените вредности на другите логаритми. Конечно, да научиме како да користиме логаритамски табели. Целата теорија е дадена со примери со детални решенија.

Навигација на страницата.

Пресметување на логаритми по дефиниција

Во наједноставните случаи можно е да се изврши доста брзо и лесно наоѓање на логаритам по дефиниција. Ајде внимателно да погледнеме како се случува овој процес.

Неговата суштина е да го претстави бројот b во форма a c, од кој, според дефиницијата за логаритам, бројот c е вредноста на логаритамот. Односно, по дефиниција, следниот синџир на еднаквости одговара на наоѓање на логаритамот: log a b=log a a c =c.

Значи, пресметувањето на логаритам по дефиниција се сведува на наоѓање број c таков што a c = b, а самиот број c е саканата вредност на логаритамот.

Земајќи ги предвид информациите од претходните параграфи, кога бројот под знакот на логаритам е даден со одредена моќност на логаритамската основа, можете веднаш да покажете на што е еднаков логаритамот - тој е еднаков на експонентот. Ајде да покажеме решенија за примери.

Пример.

Најдете го логот 2 2 −3, а исто така пресметајте го природниот логаритам на бројот e 5,3.

Решение.

Дефиницијата на логаритамот ни овозможува веднаш да кажеме дека log 2 2 −3 =−3. Навистина, бројот под знакот на логаритам е еднаков на основата 2 до моќноста -3.

Слично, го наоѓаме вториот логаритам: lne 5.3 =5.3.

Одговор:

log 2 2 −3 =−3 и lne 5,3 =5,3.

Ако бројот b под знакот логаритам не е наведен како моќност на основата на логаритамот, тогаш треба внимателно да погледнете дали е можно да се дојде до претстава за бројот b во форма a c. Често ова претставување е сосема очигледно, особено кога бројот под знакот на логаритам е еднаков на основата со моќност од 1, или 2, или 3, ...

Пример.

Пресметај ги логаритмите log 5 25 и .

Решение.

Лесно е да се види дека 25=5 2, ова ви овозможува да го пресметате првиот логаритам: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Ајде да продолжиме со пресметување на вториот логаритам. Бројот може да се претстави како моќност од 7: (видете ако е потребно). Оттука, .

Да го преработиме третиот логаритам во следната форма. Сега можете да го видите тоа , од што заклучуваме дека . Според тоа, по дефиниција за логаритам .

Накратко, решението би можело да се напише вака: .

Одговор:

дневник 5 25=2 , И .

Кога под знакот на логаритам има доволно голем природен број, тогаш не би било повредено да се вклучат во основни фактори. Често помага да се претстави таков број како некоја моќност на основата на логаритмот, и затоа се пресметува овој логаритам по дефиниција.

Пример.

Најдете ја вредноста на логаритамот.

Решение.

Некои својства на логаритмите ви овозможуваат веднаш да ја одредите вредноста на логаритмите. Овие својства вклучуваат својство на логаритам на единица и својство на логаритам на број, еднаква на основата: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a a 1 =1 . Односно, кога под знакот на логаритмот има број 1 или број a еднаков на основата на логаритмот, тогаш во овие случаи логаритмите се еднакви на 0 и 1, соодветно.

Пример.

На што се еднакви логаритмите и log10?

Решение.

Бидејќи , тогаш од дефиницијата за логаритам следува .

Во вториот пример, бројот 10 под знакот логаритам се совпаѓа со неговата основа, така што декадниот логаритам од десет е еднаков на еден, односно lg10=lg10 1 =1.

Одговор:

И lg10=1.

Забележете дека пресметувањето на логаритмите по дефиниција (за кое разговаравме во претходниот пасус) подразбира употреба на логот за еднаквост a a p =p, што е едно од својствата на логаритмите.

Во пракса, кога број под знакот логаритам и основата на логаритамот лесно се претставени како моќност на одреден број, многу е погодно да се користи формулата , што одговара на едно од својствата на логаритмите. Ајде да погледнеме пример за наоѓање логаритам кој ја илустрира употребата на оваа формула.

Пример.

Пресметајте го логаритамот.

Решение.

Одговор:

.

Својствата на логаритмите кои не се споменати погоре се користат и во пресметките, но за ова ќе зборуваме во следните параграфи.

Наоѓање логаритми преку други познати логаритми

Информациите во овој став ја продолжуваат темата за користење на својствата на логаритмите при нивното пресметување. Но, тука главната разлика е во тоа што својствата на логаритмите се користат за изразување на оригиналниот логаритам во однос на друг логаритам, чија вредност е позната. Да дадеме пример за појаснување. Да речеме дека знаеме дека log 2 3≈1.584963, тогаш можеме да го најдеме, на пример, log 2 6 со правење мала трансформација користејќи ги својствата на логаритмот: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Во горниот пример, доволно ни беше да го искористиме својството на логаритам на производ. Меѓутоа, многу почесто е потребно да се користи поширок арсенал на својства на логаритмите за да се пресмета оригиналниот логаритам преку дадените.

Пример.

Пресметајте го логаритамот од 27 до основата 60 ако знаете дека log 60 2=a и log 60 5=b.

Решение.

Значи треба да го најдеме дневникот 60 27 . Лесно е да се види дека 27 = 3 3 , а оригиналниот логаритам, поради својството на логаритамот на моќноста, може да се препише како 3·log 60 3 .

Сега да видиме како да го изразиме логот 60 3 во однос на познатите логаритми. Својството на логаритам на број еднаков на основата ни овозможува да го напишеме логот за еднаквост 60 60=1. Од друга страна, log 60 60=log60(2 2 3 5)= лог 60 2 2 + дневник 60 3 + лог 60 5= 2·лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5 . Така, 2 лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5=1. Оттука, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Конечно, го пресметуваме оригиналниот логаритам: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Одговор:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Одделно, вреди да се спомене значењето на формулата за премин кон нова основа на логаритмот на формата . Ви овозможува да се движите од логаритми со која било основа до логаритми со одредена основа, чии вредности се познати или е можно да се најдат. Обично, од оригиналниот логаритам, користејќи ја формулата за транзиција, тие се префрлаат на логаритми во една од базите 2, e или 10, бидејќи за овие бази постојат табели на логаритми кои овозможуваат нивните вредности да се пресметаат со одреден степен на точност. Во следниот пасус ќе покажеме како се прави ова.

Логаритмски табели и нивна употреба

За приближна пресметка на логаритамските вредности може да се користат логаритамски табели. Најчесто користена табела со логаритам со основа 2, табела со природен логаритам и децимална логаритамска табела. Кога работите во децимален броен систем, погодно е да се користи табела со логаритми заснована на основата десет. Со негова помош ќе научиме да ги наоѓаме вредностите на логаритмите.

Презентираната табела ви овозможува да ги пронајдете вредностите на децималните логаритми на броеви од 1.000 до 9.999 (со три децимални места) со точност од десет илјадити дел. Ќе го анализираме принципот на пронаоѓање на вредноста на логаритам користејќи табела со децимални логаритми користејќи конкретен пример - вака е појасно. Ајде да го најдеме log1.256.

Во левата колона од табелата со децимални логаритми ги наоѓаме првите две цифри од бројот 1,256, односно наоѓаме 1,2 (овој број е заокружен со сино за јасност). Третата цифра од бројот 1.256 (цифра 5) се наоѓа во првата или последната линија лево од двојната линија (овој број е заокружен со црвено). Четвртата цифра од оригиналниот број 1.256 (цифра 6) се наоѓа во првата или последната линија десно од двојната линија (овој број е заокружен со зелена линија). Сега ги наоѓаме броевите во ќелиите на табелата со логаритам на пресекот на означениот ред и означените колони (овие бројки се означени со портокалова боја). Збирот на означените броеви ја дава саканата вредност на декадниот логаритам точна до четвртото децимално место, т.е. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Дали е можно, користејќи ја горната табела, да се најдат вредностите на децималните логаритми на броеви кои имаат повеќе од три цифри по децималната точка, како и оние што го надминуваат опсегот од 1 до 9,999? Да ти можеш. Ајде да покажеме како се прави ова со пример.

Ајде да пресметаме lg102.76332. Прво треба да запишете број во стандардна форма: 102,76332=1,0276332·10 2. По ова, мантисата треба да се заокружи на третото децимално место, имаме 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, додека оригиналниот децимален логаритам е приближно еднаков на логаритамдобиениот број, односно го земаме log102.76332≈lg1.028·10 2. Сега ги применуваме својствата на логаритмот: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Конечно, ја наоѓаме вредноста на логаритмот lg1.028 од табелата со децимални логаритми lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Како резултат на тоа, целиот процес на пресметување на логаритам изгледа вака: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Како заклучок, вреди да се напомене дека користејќи табела со децимални логаритми можете да ја пресметате приближната вредност на кој било логаритам. За да го направите ова, доволно е да ја користите формулата за транзиција за да отидете до децимални логаритми, да ги пронајдете нивните вредности во табелата и да ги извршите преостанатите пресметки.

На пример, да го пресметаме дневникот 2 3 . Според формулата за премин кон нова основа на логаритамот, имаме . Од табелата со децимални логаритми наоѓаме log3≈0.4771 и log2≈0.3010. Така, .

Библиографија.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други.Алгебра и почетоците на анализа: Учебник за 10 - 11 одделение на општообразовните установи.
• Гушев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).

Инструкции

Напиши го дадениот логаритамски израз. Ако изразот користи логаритам од 10, тогаш неговата нотација е скратена и изгледа вака: lg b е декаден логаритам. Ако логаритамот го има како основа бројот e, тогаш напиши го изразот: ln b – природен логаритам. Разбирливо е дека резултатот од било која е моќноста до која мора да се подигне основниот број за да се добие бројот b.

Кога го наоѓате збирот на две функции, едноставно треба да ги разликувате една по една и да ги додадете резултатите: (u+v)" = u"+v";

При наоѓање на изводот на производот на две функции, потребно е да се помножи изводот на првата функција со втората и да се додаде изводот на втората функција помножен со првата функција: (u*v)" = u"*v +v"*u;

За да се најде изводот на количникот на две функции, потребно е да се одземе од производот на изводот на дивидендата помножен со функцијата на делител, производот од изводот на делителот помножен со функцијата на дивидендата и да се подели сето тоа со функцијата делител на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Доколку се дадени комплексна функција, тогаш потребно е да се помножи изводот на внатрешна функцијаа дериватот на надворешниот. Нека y=u(v(x)), потоа y"(x)=y"(u)*v"(x).

Користејќи ги резултатите добиени погоре, можете да разликувате речиси секоја функција. Значи, да погледнеме неколку примери:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Исто така, има проблеми со пресметување на изводот во одредена точка. Нека е дадена функцијата y=e^(x^2+6x+5), треба да ја пронајдете вредноста на функцијата во точката x=1.
1) Најдете го изводот на функцијата: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Пресметајте ја вредноста на функцијата во дадена точка y"(1)=8*e^0=8

Видео на темата

Корисен совет

Научете ја табелата со елементарни деривати. Ова значително ќе заштеди време.

Извори:

• дериват на константа

Значи, која е разликата помеѓу рационална равенкаод рационалното? Ако непознатата променлива е под знакот квадратен корен, тогаш равенката се смета за ирационална.

Инструкции

Главниот метод за решавање на вакви равенки е методот на конструирање на двете страни равенкиво квадрат. Сепак. ова е природно, првото нешто што треба да направите е да се ослободите од знакот. Овој метод не е технички тежок, но понекогаш може да доведе до проблеми. На пример, равенката е v(2x-5)=v(4x-7). Со квадратирање на двете страни се добива 2x-5=4x-7. Решавањето на таква равенка не е тешко; x=1. Но, бројот 1 нема да биде даден равенки. Зошто? Заменете еден во равенката наместо вредноста на x. А десната и левата страна ќе содржат изрази кои немаат смисла, т.е. Оваа вредност не важи за квадратен корен. Според тоа, 1 е надворешен корен и затоа оваа равенка нема корени.

Значи, ирационална равенка се решава со методот на квадратирање на двете негови страни. И откако ќе ја решите равенката, неопходно е да се отсечат надворешни корени. За да го направите ова, заменете ги пронајдените корени во оригиналната равенка.

Размислете за уште еден.
2х+vх-3=0
Се разбира, оваа равенка може да се реши со користење на истата равенка како претходната. Премести соединенија равенки, кои немаат квадратен корен, во десна странаа потоа користете го методот на квадратура. решете ја добиената рационална равенка и корени. Но и уште една, поелегантна. Внесете нова променлива; vх=y. Според тоа, ќе добиете равенка од формата 2y2+y-3=0. Тоа е, вообичаеното квадратна равенка. Најдете ги неговите корени; y1=1 и y2=-3/2. Следно, реши две равенки vх=1; vх=-3/2. Втората равенка нема корени, од првата откриваме дека x=1. Не заборавајте да ги проверите корените.

Решавањето на идентитетите е прилично едноставно. За да го направите ова треба да направите идентитетски трансформациидодека не се постигне целта. Така, со помош на едноставни аритметички операции, ќе се реши задачата што е на располагање.

Ќе ви треба

• - хартија;
• - пенкало.

Инструкции

Наједноставните од таквите трансформации се алгебарските скратени множење (како што е квадратот на збирот (разлика), разликата на квадратите, сумата (разликата), коцката на збирот (разликата)). Покрај тоа, постојат многу тригонометриски формули, кои во суштина се исти идентитети.

Навистина, квадратот на збирот на два члена е еднаков на квадратот на првиот плус двапати од производот на првиот за вториот и плус квадратот на вториот, односно (a+b)^2= (a+ б)(а+б)=а^2+аб +ба+б ^2=а^2+2аб+б^2.

Поедноставете ги и двете

Општи принципи на решението

Повторете од учебник по математичка анализа или виша математика што е определен интеграл. Како што е познато, решението определен интегралпостои функција чиј извод дава интегранд. Оваа функцијасе нарекува антидериват. Врз основа на овој принцип, се конструираат главните интеграли.
Одредете според типот на интеградот кој од интегралите на табелата е погоден во овој случај. Не е секогаш можно ова веднаш да се одреди. Честопати, табеларната форма станува забележлива само по неколку трансформации за да се поедностави интеграндот.

Метод за замена на променлива

Ако интеграндот е тригонометриска функција чиј аргумент е полином, тогаш обидете се да го користите методот на промена на променливите. За да го направите ова, заменете го полиномот во аргументот на интеградот со некоја нова променлива. Врз основа на односот помеѓу новите и старите променливи, утврдете ги новите граници на интеграција. Со диференцирање на овој израз, пронајдете го новиот диференцијал во . Така ќе добиете новиот видод претходниот интеграл, блиску или дури одговара на кој било табеларен.

Решавање интеграли од втор вид

Ако интегралот е интеграл од вториот вид, векторска форма на интеграндот, тогаш ќе треба да ги користите правилата за премин од овие интеграли во скаларните. Едно такво правило е релацијата Остроградски-Гаус. Овој закон ни овозможува да се движиме од роторскиот флукс на одредена векторска функција до тројниот интеграл над дивергенцијата на дадено векторско поле.

Замена на границите за интеграција

По наоѓањето на антидериватот, потребно е да се заменат границите на интеграција. Прво, заменете ја вредноста на горната граница во изразот за антидериватот. Ќе добиете некој број. Следно, од добиениот број одземете друг број добиен од долната граница во антидериватот. Ако една од границите на интеграцијата е бесконечност, тогаш кога се заменува во антидеривативна функцијапотребно е да се оди до границата и да се најде кон што се стреми изразот.
Ако интегралот е дводимензионален или тридимензионален, тогаш ќе треба геометриски да ги претставите границите на интеграцијата за да разберете како да го оцените интегралот. Навистина, во случај на, да речеме, тродимензионален интеграл, границите на интеграцијата можат да бидат цели рамнини што го ограничуваат волуменот што се интегрира.

Концептот на логаритам и основниот логаритамски идентитет

Концептот на логаритам и основниот логаритамски идентитет се тесно поврзани, бидејќи дефиниција на логаритам во математичка нотацијаи е .

Основниот логаритамски идентитет произлегува од дефиницијата на логаритамот:

Дефиниција 1

Логаритамтие го нарекуваат експонентот $n$, кога ќе се подигне до кој броевите $a$ го добиваат бројот $b$.

Забелешка 1

Експоненцијална равенка$a^n=b$ за $a > 0$, $a \ne 1$ нема решенија за непозитивни $b$ и има единствен корен за позитивен $b$. Овој корен се нарекува логаритам на бројот $b$ до основата $a$и запишете:

$a^(\log_(a) b)=b$.

Дефиниција 2

Изразување

$a^(\log_(a) b)=b$

повикани основен логаритамски идентитетпод услов $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Пример 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

$10^(\lg23)=23$.

Основен логаритамски идентитет

Главналогаритамскиот идентитет се нарекува затоа што се користи скоро секогаш при работа со логаритми. Дополнително, со негова помош се поткрепени основните својства на логаритмите.

Пример 2

$7^5=16.807$, значи $\log_(7)16.807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, затоа $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, затоа $\log_(11)⁡1=0$.

Ајде да размислиме последица на основниот логаритамски идентитет:

Дефиниција 3

Ако два логаритами со по истите основисе еднакви, што значи дека логаритамските изрази се еднакви:

ако $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$, тогаш $b=c$.

Ајде да размислиме ограничувања, кои се користат за логаритамскиот идентитет:

Бидејќи кога го подигаме единството на која било моќ, секогаш добиваме една, а еднаквоста $x=\log_(a)⁡b$ постои само за $b=1$, тогаш $\log_(1)⁡1$ ќе биде која било реален број. За да ја избегнете оваа нејаснотија, земете $a \ne 1$.

Логаритмот за $a=0$, според дефиницијата, може да постои само за $b=0$. Бидејќи Кога ќе подигнеме нула на која било моќност, секогаш добиваме нула, тогаш $\log_(0)⁡0$ може да биде кој било реален број. За да ја избегнете оваа нејаснотија, земете $a \ne 0$. За $а рационално и ирационаленлогаритамски вредности, бидејќи степен со рационален и ирационален експонент може да се пресмета само за позитивни основи. За да ја спречите оваа ситуација, земете $a > 0$.

$b > 0$ следи од условот $a > 0$, бидејќи $x=\log_(a)⁡b$, а моќта на позитивен број a секогаш ќе биде позитивна.

Основниот логаритамски идентитет често се користи за поедноставување на логаритамските изрази.

Пример 3

Пресметајте $81^(\log_(9) 7)$.

Решение.

За да се користи основниот логаритамски идентитет, потребно е основата на логаритамот и моќите да бидат исти. Да ја напишеме основата на степенот во форма:

Сега можеме да напишеме:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Ајде да го искористиме својството моќ:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

основниот логаритамски идентитет сега може да се примени за секој фактор:

$=7 \cdot 7=49$.

Забелешка 2

За да го примените основниот логаритамски идентитет, можете исто така да прибегнете кон замена на основата на логаритамот со изразот што се појавува под знакот логаритам, и обратно.

Пример 4

Пресметајте $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

Решение.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Одговори: $11$.

Пример 5

Пресметајте $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

Следи од неговата дефиниција. И така логаритамот на бројот ббазирано на Асе дефинира како експонент до кој мора да се подигне број аза да го добиете бројот б(логаритам постои само за позитивни броеви).

Од оваа формулација произлегува дека пресметката x=log a b, е еквивалентно на решавање на равенката a x =b.На пример, дневник 2 8 = 3бидејќи 8 = 2 3 . Формулирањето на логаритмот овозможува да се оправда дека ако b=a c, потоа логаритам на бројот ббазирано на аеднакви Со. Исто така, јасно е дека темата за логаритми е тесно поврзана со темата за силите на бројот.

Со логаритми, како и со сите броеви, можете да направите операции собирање, одземањеи да се трансформираат на секој можен начин. Но, поради фактот што логаритмите не се сосема обични броеви, овде важат нивните посебни правила, кои се нарекуваат главните својства.

Собирање и одземање логаритми.

Да земеме два логаритами со исти основи: логирајте xИ најавите y. Тогаш е можно да се извршат операции за собирање и одземање:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

дневник а(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = логирајте x 1 + логирајте x 2 + логирајте x 3 + ... + log a x k.

Од Теорема за логаритамски количникМоже да се добие уште едно својство на логаритмот. Општо познато е дека дневникот а 1= 0, значи

дневник а 1 /б= дневник а 1 - дневник а б= -лог а б.

Ова значи дека постои еднаквост:

log a 1 / b = - log a b.

Логаритми од два реципрочни бројаод истата причина ќе се разликуваат едни од други исклучиво по знак. Значи:

Дневник 3 9= - дневник 3 1 / 9 ; дневник 5 1 / 125 = - дневник 5 125.