Како да се реши равенка со дропки со различни. Решавање на целобројни и фракциони рационални равенки
Досега решивме само равенки со цели броеви во однос на непознатото, односно равенки во кои именителот (ако има) не ја содржи непознатата.
Честопати треба да решавате равенки кои содржат непозната во именители: таквите равенки се нарекуваат фракциони равенки.
За да ја решиме оваа равенка, ги множиме двете страни со тоа што значи, со полиномот што ја содржи непознатата. Дали новата равенка ќе биде еквивалентна на оваа? За да одговориме на прашањето, да ја решиме оваа равенка.
Помножувајќи ги двете страни со , добиваме:
Решавајќи ја оваа равенка од прв степен, наоѓаме:
Значи, равенката (2) има еден корен
Заменувајќи го со равенката (1), добиваме:
Тоа значи дека е исто така корен од равенката (1).
Равенката (1) нема други корени. Во нашиот пример, тоа може да се види, на пример, од фактот дека во равенката (1)
Како непознатиот делител мора да биде еднаков на дивидендата 1 поделена со количникот 2, т.е
Значи, равенките (1) и (2) имаат еден корен, што значи дека се еквивалентни.
2. Сега да ја решиме следнава равенка:
Наједноставен заеднички именител: ; помножете ги сите членови од равенката со него:
По намалувањето добиваме:
Ајде да ги прошириме заградите:
Донесувајќи слични термини, имаме:
Решавајќи ја оваа равенка, наоѓаме:
Заменувајќи се во равенката (1), добиваме:
На левата страна добивме изрази кои немаат смисла.
Ова значи дека равенката (1) не е корен. Следи дека равенките (1) и не се еквивалентни.
Во овој случај, тие велат дека равенката (1) добила надворешен корен.
Да го споредиме решението на равенката (1) со решението на равенките што ги разгледавме претходно (види § 51). При решавањето на оваа равенка, моравме да извршиме две операции кои досега не се сретнале: прво, ги помноживме двете страни на равенката со израз што го содржи непознатиот (заеднички именител), и второ, ги намаливме алгебарските дропки со фактори кои содржат непозната .
Споредувајќи ја равенката (1) со равенката (2), гледаме дека не сите вредности на x што важат за равенката (2) се валидни за равенката (1).
Токму броевите 1 и 3 не се прифатливи вредности на непознатото за равенката (1), но како резултат на трансформацијата тие станаа прифатливи за равенката (2). Еден од овие броеви се покажа како решение за равенката (2), но, се разбира, тоа не може да биде решение за равенката (1). Равенката (1) нема решенија.
Овој пример покажува дека кога ќе ги помножите двете страни на равенката со фактор што ја содржи непознатата и поништите алгебарски дропкиМоже да се добие равенка која не е еквивалентна на оваа, имено: може да се појават надворешни корени.
Од тука го извлекуваме следниот заклучок. Кога се решава равенка која содржи непозната во именителот, добиените корени мора да се проверат со замена во оригиналната равенка. Вонземските корени мора да се отфрлат.
Употребата на равенки е широко распространета во нашите животи. Тие се користат во многу пресметки, изградба на структури, па дури и спорт. Човекот користел равенки во античко време, и оттогаш нивната употреба само се зголемува. Во 5-то одделение, учениците по математика учат доста нови теми, од кои едната ќе бидат фракционите равенки. За многумина ова е доволно сложена тема, во која родителите треба да им помогнат на своите деца да разберат, а ако родителите ја заборавиле математиката, секогаш можат да ја користат онлајн програмирешавање равенки. Така, користејќи пример, можете брзо да го разберете алгоритмот за решавање равенки со дропки и да му помогнете на вашето дете.
Подолу, за јасност, ќе решиме едноставна дропка линеарна равенкаод следнава форма:
\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]
За да се реши овој тип на равенка, потребно е да се одреди NOS и да се помножи левото и десна странаравенки:
\[\frac (x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]
Ова ни дава едноставна линеарна равенка бидејќи заедничкиот именител како и именителот на секој фракционо член се поништува:
Ајде да префрлиме членови од непознати во лева страна:
Ајде да ги поделиме левата и десната страна со -7:
Од добиениот резултат, можеме да избереме цел дел, кој ќе биде конечен резултат од решавањето на оваа фракциона равенка:
Каде можам да решавам равенки со дропки онлајн?
Равенката можете да ја решите на нашата веб-страница https://site. Бесплатниот онлајн решавач ќе ви овозможи да решавате онлајн равенки од секаква сложеност за неколку секунди. Сè што треба да направите е едноставно да ги внесете вашите податоци во решавачот. Можете исто така да гледате видео инструкции и да научите како да ја решите равенката на нашата веб-страница. И ако сè уште имате прашања, можете да ги поставите во нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Придружете се на нашата група, ние секогаш сме среќни да ви помогнеме.
Равенките што содржат променлива во именител може да се решат на два начина:
Намалување на дропките на заеднички именител
Користење на основното својство на пропорција
Без разлика на избраниот метод, по наоѓањето на корените на равенката, потребно е да се изберат од пронајдените валидни вредности, односно оние кои не го претвораат именителот на $0$.
1 начин. Намалување на дропките на заеднички именител.
Пример 1
$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$
Решение:
1. Да ја пренесеме дропот од десната страна на равенката налево
\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]
За да го направите ова правилно, запомнете дека при преместување на елементите во друг дел од равенката, знакот пред изразите се менува на спротивен. Тоа значи дека ако пред дропката од десната страна имало знак „+“, тогаш од левата страна пред неа ќе има знак „-“.Потоа на левата страна ја добиваме разликата од дропки.
2. Сега забележете дека дропките имаат различни именители, што значи дека за да се надополни разликата потребно е дропките да се доведат до заеднички именител. Заедничкиот именител ќе биде производ на полиномите во именителот на оригиналните дропки: $(2x-1)(x+3)$
За да се добие идентичен израз, броителот и именителот на првата дропка мора да се помножат со полиномот $(x+3)$, а вториот со полиномот $(2x-1)$.
\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]
Да извршиме трансформација во броителот на првата дропка - множиме полиноми. Потсетете се дека за ова треба да го помножите првиот член од првиот полином со секој член од вториот полином, потоа да го помножите вториот член од првиот полином со секој член од вториот полином и да ги додадете резултатите
\[\лево(2x+3\десно)\лево(x+3\десно)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]
Да претставиме слични термини во добиениот израз
\[\лево(2x+3\десно)\лево(x+3\десно)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]
Ајде да извршиме слична трансформација во броителот на втората дропка - множи полиноми
$\лево(x-5\десно)\лево(2х-1\десно)=х\cточка 2х-х\cточка 1-5\cточка 2х+5\cточка 1=(2х)^2-х-10х+ 5=(2x)^2-11x+5$
Тогаш равенката ќе ја добие формата:
\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]
Сега дропки со ист именител, што значи дека можете да одземете. Потсетете се дека кога од броителот на првата дропка одземате дропки со ист именител, мора да го одземете броителот на втората дропка, оставајќи го именителот ист
\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]
Ајде да го трансформираме изразот во броител. За да ги отворите заградите на кои претходи знакот „-“, треба да ги промените сите знаци пред термините во загради во спротивното.
\[(2x)^2+9x+9-\лево((2x)^2-11x+5\десно)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]
Да претставиме слични термини
$(2x)^2+9x+9-\лево((2x)^2-11x+5\десно)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $
Тогаш дропот ќе добие форма
\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]
3. Дропката е еднаква на $0$ ако нејзиниот броител е 0. Затоа, броителот на дропот го изедначуваме со $0$.
\[(\rm 20х+4=0)\]
Да ја решиме линеарната равенка:
4. Да ги земеме примероците од корените. Ова значи дека е неопходно да се провери дали именителот на оригиналните дропки се претвораат во $0$ кога ќе се најдат корените.
Да го поставиме условот дека именителот не е еднаков на $0$
x$\ne 0,5$ x$\ne -3$
Ова значи дека сите вредности на променливи се прифатливи освен $-3$ и $0,5$.
Коренот што го најдовме е прифатлива вредност, што значи дека може безбедно да се смета за коренот на равенката. Доколку пронајдениот корен не е валидна вредност, тогаш таквиот корен би бил необичен и, се разбира, не би бил вклучен во одговорот.
Одговор:$-0,2.$
Сега можеме да создадеме алгоритам за решавање на равенка која содржи променлива во именителот
Алгоритам за решавање на равенка која содржи променлива во именителот
Поместете ги сите елементи од десната страна на равенката налево. За да се добие идентична равенка, потребно е да се сменат сите знаци пред изразите од десната страна на спротивната страна.
Ако од левата страна добиеме израз со различни именители, потоа ги доведуваме до заедничка вредност користејќи го основното својство на дропка. Изведете трансформации користејќи трансформации на идентитетот и добијте конечна дропка еднаква на $0$.
Изедначете го броителот со $0$ и пронајдете ги корените на добиената равенка.
Да ги земеме примероците од корените, т.е. најдете валидни вредности на променливи кои не го прават именителот $0$.
Метод 2. Го користиме основното својство на пропорција
Главното својство на пропорција е тоа што производот екстремни членовипропорцијата е еднаква на производот од средните членови.
Пример 2
Ние го користиме ова својство за да ја решиме оваа задача
\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]
1. Да го најдеме и изедначиме производот на екстремните и средните членови на пропорцијата.
$\лево(2x+3\десно)\cdot(\ x+3)=\лево(x-5\десно)\cdot(2x-1)$
\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]
Откако ќе ја решиме добиената равенка, ќе ги најдеме корените на оригиналот
2. Да ги најдеме прифатливите вредности на променливата.
Од претходното решение (метод 1) веќе откривме дека сите вредности се прифатливи освен $-3$ и $0,5$.
Потоа, откако утврдивме дека пронајдениот корен е валидна вредност, дознавме дека $-0,2$ ќе биде коренот.
Равенките со самите дропки не се тешки и се многу интересни. Ајде да погледнеме во типовите на дробни равенки и како да ги решиме.
Како да се решаваат равенки со дропки - x во броителот
Ако е дадена фракциона равенка, каде што непознатата е во броителот, решението не бара дополнителни услови и се решава без непотребна мака. Општа форматаквата равенка е x/a + b = c, каде што x е непознатата, a, b и c се обични броеви.
Најдете x: x/5 + 10 = 70.
За да ја решите равенката, треба да се ослободите од дропките. Помножете го секој член во равенката со 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x и 5 се поништуваат, 10 и 70 се множат со 5 и добиваме: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.
Најдете x: x/5 + x/10 = 90.
Овој пример е малку покомплицирана верзија на првиот. Тука има две можни решенија.
- Опција 1: Се ослободуваме од дропките со множење на сите членови од равенката со поголем именител, односно со 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
- Опција 2: Преклопете лева странаравенки x/5 + x/10 = 90. Заедничкиот именител е 10. Поделете 10 со 5, множете се со x, добиваме 2x. Поделете 10 со 10, помножете со x, добиваме x: 2x+x/10 = 90. Оттука 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Честопати постојат фракциони равенки во кои х се наоѓаат според различни странизнак за еднаквост. Во такви ситуации, потребно е сите дропки со X да се преместат на едната, а броевите на другата страна.
- Најдете x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
- Движете се 2x/5 надесно со спротивен знак: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Намалуваме 5x/5 и добиваме: x = 130.
Како да се реши равенка со дропки - x во именителот
Овој тип на фракциони равенки бара запишување дополнителни услови. Укажувањето на овие услови е задолжителен и составен дел на правилна одлука. Ако не ги додадете, ризикувате, бидејќи одговорот (дури и ако е точен) може едноставно да не се брои.
Општата форма на дробни равенки, каде што x е во именителот, е: a/x + b = c, каде што x е непознатата, a, b, c се обични броеви. Ве молиме имајте предвид дека x не може да биде кој било број. На пример, x не може да биде еднаква на нула, бидејќи не може да се подели со 0. Ова е токму дополнителниот услов што мораме да го прецизираме. Ова се нарекува опсег на дозволени вредности, скратено како VA.
Најдете x: 15/x + 18 = 21.
Веднаш го запишуваме ODZ за x: x ≠ 0. Сега кога е означен ODZ, ја решаваме равенката користејќи стандардна шема, ослободување од дропки. Помножете ги сите членови од равенката со x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Честопати има равенки каде што именителот содржи не само x, туку и некоја друга операција со него, на пример, собирање или одземање.
Најдете x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Веќе знаеме дека именителот не може да биде еднаков на нула, што значи x-3 ≠ 0. Се движиме -3 на десната страна, менувајќи го знакот „-“ во „+“ и добиваме дека x ≠ 3. ODZ е посочена.
Ја решаваме равенката, множиме сè со x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.
Поместете ги X-овите надесно, броевите налево: 24 = 3x => x = 8.
Инструкции
Можеби најочигледната точка овде е, се разбира. Нумерички дропкине претставуваат никаква опасност (фракционите равенки, каде што сите именители содржат само броеви, генерално ќе бидат линеарни), но ако има променлива во именителот, тогаш тоа мора да се земе предвид и да се запише. Прво, тоа е дека x, што го претвора именителот на 0, не може да биде, и воопшто потребно е посебно да се наведе фактот дека x не може да биде еднаков на овој број. Дури и ако успеете при замена во броителот, сè совршено се спојува и ги задоволува условите. Второ, не можеме да ја помножиме ниту едната страна од равенката со , што е еднакво на нула.
По ова, таквата равенка се сведува на поместување на сите нејзини членови на левата страна, така што 0 останува на десната страна.
Неопходно е да се доведат сите поими до заеднички именител, множејќи ги, каде што е потребно, броителите со изразите што недостасуваат.
Следно, ја решаваме вообичаената равенка напишана во броителот. Можеме да извадиме заеднички фактори од загради, да користиме скратено множење, да донесеме слични, да пресметаме корени квадратна равенкапреку дискриминатор и сл.
Резултатот треба да биде факторизација во форма на производ од загради (x-(i-ти корен)). Ова може да вклучува и полиноми кои немаат корени, на пример, квадратен трином со дискриминант помал од нула (ако, се разбира, проблемот вклучува само реални корени, како што е најчесто случајот).
Императив е да се факторизира именителот и да се најдат заградите веќе содржани во броителот. Ако именителот содржи изрази како (x-(број)), тогаш подобро е да не се множат директно заградите во него кога се сведуваат на заеднички именител, туку да се остават како производ на оригиналните едноставни изрази.
Идентичните загради во броителот и именителот може да се скратат со прво запишување, како што е споменато погоре, условите на x.
Одговорот е запишан во кадрави загради, како збир на x вредности или едноставно како набројување: x1=..., x2=..., итн.
Извори:
- Дробни рационални равенки
Нешто без што не можете во физиката, математиката, хемијата. Најмалку. Ајде да ги научиме основите за нивно решавање.
Инструкции
Најопштата и наједноставната класификација може да се подели според бројот на променливи што ги содржат и степените во кои стојат овие променливи.
Решете ја равенката со сите нејзини корени или докажете дека ги нема.
Секоја равенка нема повеќе од P корени, каде што P е максимумот на дадена равенка.
Но, некои од овие корени може да се совпаднат. Така, на пример, равенката x^2+2*x+1=0, каде што ^ е иконата за степенување, се преклопува во квадратот на изразот (x+1), односно во производ од два идентични загради, од кои секоја дава x=- 1 како решение.
Ако има само една непозната во равенката, тоа значи дека ќе можете експлицитно да ги пронајдете нејзините корени (реални или сложени).
За ова, најверојатно ќе ви требаат различни трансформации: скратено множење, пресметување на дискриминантата и корените на квадратната равенка, пренос на членовите од еден дел во друг, намалување на заеднички именител, множење на двата дела од равенката со истото. изразување, со квадрат итн.
Трансформациите кои не влијаат на корените на равенката се идентични. Тие се користат за поедноставување на процесот на решавање на равенката.
Можете исто така да го користите графичкиот метод наместо традиционалниот аналитички и да ја напишете оваа равенка во форма, а потоа да ја спроведете нејзината студија.
Ако има повеќе од една непозната во една равенка, тогаш ќе можете да изразите само една од нив во однос на другата, со што ќе покажете збир на решенија. Тоа се, на пример, равенки со параметри во кои има непознат x и параметар a. Да се реши параметарска равенка значи сите a да го изразат x во однос на a, односно да ги разгледаме сите можни случаи.
Ако равенката содржи изводи или диференцијали на непознати (види слика), честитки, ова диференцијална равенка, и тука не можете без повисока математика).
Извори:
За да се реши проблемот со во дропки, треба да научите како да правите аритметика со нив. Тие можат да бидат децимални, но најчесто се користат природни фракциисо броител и именител. Само после ова можеме да преминеме на решенија математички проблемисо дробни вредности.
Ќе ви треба
- - калкулатор;
- - познавање на својствата на дропките;
- - способност за извршување операции со дропки.
Инструкции
Дропката е ознака за делење на еден број со друг. Често тоа не може да се направи целосно, поради што оваа акција останува недовршена. Бројот што е делив (се појавува над или пред знакот на дропката) се нарекува броител, а вториот број (под или по знакот на дропката) се нарекува именител. Ако броителот е поголем од именителот, дропката се нарекува неправилна дропка, а од неа може да се одвои цел дел. Ако броителот е помал од именителот, тогаш таквата дропка се нарекува соодветна, а нејзиниот цел број е еднаков на 0.
Задачисе поделени на неколку видови. Одреди на кој од нив му припаѓа задачата. Наједноставната опција– наоѓање на дропка од број изразена како дропка. За да го решите овој проблем, само помножете го овој број со дропка. На пример, беа испорачани 8 тони компири. Во првата недела продадени се 3/4 од вкупниот број. Колку компири останаа? За да го решите овој проблем, помножете го бројот 8 со 3/4. Излегува 8∙3/4=6 т.
Ако треба да пронајдете број по неговиот дел, помножете го познатиот дел од бројот со обратната дропка на оној што покажува колкаво е учеството на овој дел во бројот. На пример, 8 од нив сочинуваат 1/3 од вкупниот број студенти. Колку во? Бидејќи 8 лица е дел што претставува 1/3 од вкупниот број, тогаш пронајдете ја реципрочната дропка која е 3/1 или само 3. Потоа за да го добиете бројот на ученици во одделението 8∙3=24 ученици.
Кога треба да откриете кој дел од бројот еден број е од друг, поделете го бројот што го претставува делот со оној што е целина. На пример, ако растојанието е 300 km, а автомобилот поминал 200 km, колкав дел од вкупното растојание ќе биде ова? Поделете дел од патеката 200 со целосната патека 300, откако ќе ја намалите фракцијата ќе го добиете резултатот. 200/300=2/3.
За да пронајдете непозната дропка од број кога има познат, земете го целиот број како конвенционална единица и одземете ја познатата дропка од него. На пример, ако веќе поминале 4/7 од лекцијата, дали има уште време? Земете ја целата лекција како целина и одземете 4/7 од неа. Добијте 1-4/7=7/7-4/7=3/7.