Најмалку заеднички множител (LCM): дефиниција, примери и својства. Како да се најде најмалиот заеднички множител на два броја

Но, многу природни броеви се деливи и со други природни броеви.

На пример:

Бројот 12 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12;

Бројот 36 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12, со 18, со 36.

Броевите со кои бројот се дели со целина (за 12 тоа се 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се викаат делители на броеви. Делител на природен број а- е природен број што дели даден број абез трага. Се нарекува природен број кој има повеќе од два делители композитни .

Ве молиме имајте предвид дека броевите 12 и 36 имаат заеднички фактори. Овие броеви се: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Најголем делител на овие броеви е 12. Заеднички делител на овие два броја аИ б- ова е бројот со кој двата дадени броја се делат без остаток аИ б.

Заеднички множителинеколку броеви е број кој е делив со секој од овие броеви. На пример, броевите 9, 18 и 45 имаат заеднички множител од 180. Но, 90 и 360 се исто така нивни заеднички множители. Меѓу сите заеднички множители секогаш има најмал, во овој случај тоа е 90. Овој број се нарекува најмалотозаеднички повеќекратен (CMM).

LCM е секогаш природен број кој мора да биде поголем од најголемиот од броевите за кои е дефиниран.

Најмалку заеднички множител (LCM). Својства.

Комутативност:

Асоцијативност:

Конкретно, ако и се копрости броеви, тогаш:

Најмал заеднички множител на два цели броеви мИ nе делител на сите други заеднички множители мИ n. Покрај тоа, множеството на заеднички множители m, nсе совпаѓа со множеството множители на LCM( m, n).

Асимптотиката за може да се изрази во однос на некои теоретски функции на броеви.

Значи, Чебишев функција. И:

Ова произлегува од дефиницијата и својствата на функцијата Ландау g(n).

Што следи од законот за распределба на прости броеви.

Наоѓање на најмалиот заеднички множител (LCM).

NOC( а, б) може да се пресмета на неколку начини:

1. Ако е познат најголемиот заеднички делител, можете да ја користите неговата врска со LCM:

2. Нека биде познато канонското разложување на двата броја на прости множители:

Каде p 1 ,...,p k- разни прости броеви и d 1 ,...,d kИ e 1 ,...,e k— не-негативни цели броеви (тие можат да бидат нули ако соодветниот прост не е во проширувањето).

Потоа НОК ( а,б) се пресметува со формулата:

Со други зборови, LCM распаѓањето ги содржи сите прости фактори вклучени во барем едно од разложувањата на броевите а, б, и се зема најголемиот од двата експонента на овој множител.

Пример:

Пресметувањето на најмалиот заеднички множител на неколку броеви може да се сведе на неколку секвенцијални пресметки на LCM на два броја:

Правило.За да го пронајдете LCM на серија броеви, потребно ви е:

- разложува броеви на прости множители;

- префрлете го најголемото проширување (производот на факторите на саканиот производ) во факторите на саканиот производ голем бројод дадените), а потоа додадете фактори од проширувањето на другите броеви кои не се појавуваат во првиот број или се појавуваат во него помалку пати;

— добиениот производ на простите множители ќе биде LCM на дадените броеви.

Било кои две или повеќе природни броевиимаат свој НОК. Ако броевите не се множители еден од друг или немаат исти фактори во проширувањето, тогаш нивниот LCM е еднаков на производот на овие броеви.

Простите множители на бројот 28 (2, 2, 7) се дополнуваат со фактор 3 (бројот 21), добиениот производ (84) ќе биде најмалиот број што е делив со 21 и 28.

Простите множители на најголемиот број 30 се дополнуваат со факторот 5 од бројот 25, добиениот производ 150 е поголем од најголемиот број 30 и е делив со сите дадени броеви без остаток. Ова е најмалиот можен производ (150, 250, 300...) кој е множител на сите дадени броеви.

Броевите 2,3,11,37 се прости броеви, така што нивниот LCM е еднаков на производот на дадените броеви.

Правило. За да го пресметате LCM на простите броеви, треба да ги помножите сите овие броеви заедно.

Друга опција:

За да го пронајдете најмалиот заеднички множител (LCM) од неколку броеви, ви треба:

1) претставувај го секој број како производ на неговите прости множители, на пример:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) запишете ги моќите на сите прости фактори:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) запишете ги сите прости делители (множители) на секој од овие броеви;

4) изберете го најголемиот степен од секој од нив, пронајден во сите проширувања на овие броеви;

5) умножете ги овие моќи.

Пример. Најдете го LCM на броевите: 168, 180 и 3024.

Решение. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Ги запишуваме најголемите сили од сите прости делители и ги множиме:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Материјалот презентиран подолу е логично продолжение на теоријата од написот со наслов LCM - најмал заеднички множител, дефиниција, примери, врска помеѓу LCM и GCD. Тука ќе зборуваме за наоѓање на најмалиот заеднички множител (LCM), И Посебно вниманиеАјде да се фокусираме на решавање на примери. Прво, ќе покажеме како се пресметува LCM на два броја користејќи го GCD на овие броеви. Следно, ќе го разгледаме наоѓањето на најмалиот заеднички множител со факторингирање на броевите во прости множители. По ова, ќе се фокусираме на наоѓање на LCM на три или повеќе броеви, а исто така ќе обрнеме внимание и на пресметување на LCM на негативни броеви.

Навигација на страницата.

Пресметување на најмалку заедничко повеќекратно (LCM) преку GCD

Еден начин да се најде најмалиот заеднички множител се заснова на односот помеѓу LCM и GCD. Постоечка врскапомеѓу LCM и GCD ви овозможува да го пресметате најмалиот заеднички множител на два позитивни цели броеви преку познатиот најголем заеднички делител. Соодветната формула е LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Ајде да погледнеме примери за наоѓање на LCM користејќи ја дадената формула.

Пример.

Најдете го најмалиот заеднички множител на два броја 126 и 70.

Решение.

Во овој пример a=126 , b=70 . Дозволете ни да ја искористиме врската помеѓу LCM и GCD, изразена со формулата LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Односно, прво треба да го најдеме најголемиот заеднички делител на броевите 70 и 126, по што можеме да го пресметаме LCM на овие броеви користејќи ја напишаната формула.

Да го најдеме GCD(126, 70) користејќи го Евклидов алгоритам: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, значи, GCD(126, 70)=14.

Сега го наоѓаме потребниот најмал заеднички множител: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Одговор:

LCM(126, 70)=630.

Пример.

На што е еднакво LCM(68, 34)?

Решение.

Бидејќи 68 е делив со 34, тогаш GCD(68, 34)=34. Сега го пресметуваме најмалиот заеднички множител: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Одговор:

LCM(68, 34)=68.

Забележете дека претходниот пример одговара на следното правило за наоѓање на LCM за позитивни цели броеви a и b: ако бројот a е делив со b, тогаш најмалиот заеднички множител од овие броеви е a.

Наоѓање на LCM со факторингирање на броеви во прости множители

Друг начин да се најде најмалиот заеднички множител е врз основа на факторингирање на броеви во прости множители. Ако составите производ од сите прости множители на дадените броеви, а потоа од овој производ ги исклучите сите заеднички прости множители присутни во разградувањето на дадените броеви, тогаш добиениот производ ќе биде еднаков на најмалиот заеднички множител на дадените броеви .

Наведеното правило за наоѓање на ЛКМ произлегува од еднаквоста LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Навистина, производот на броевите a и b е еднаков на производот на сите фактори вклучени во проширувањето на броевите a и b. За возврат, gcd(a, b) еднаков на производотсите прости множители кои се истовремено присутни во проширувањата на броевите a и b (како што е опишано во делот за наоѓање GCD со користење на проширување на броевите во прости множители).

Да дадеме пример. Дајте ни до знаење дека 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Да го составиме производот од сите фактори на овие проширувања: 2·3·3·5·5·5·7 . Сега од овој производ ги исклучуваме сите фактори присутни и во проширувањето на бројот 75 и во проширувањето на бројот 210 (овие фактори се 3 и 5), тогаш производот ќе има форма 2·3·5·5·7 . Вредноста на овој производ е еднаква на најмалиот заеднички множител од 75 и 210, т.е. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Пример.

Факторирајте ги броевите 441 и 700 во прости множители и пронајдете го најмалиот заеднички множител од овие броеви.

Решение.

Да ги факторизираме броевите 441 и 700 во прости множители:

Добиваме 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.

Сега да создадеме производ од сите фактори вклучени во проширувањето на овие броеви: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Да ги исклучиме од овој производ сите фактори кои се истовремено присутни во двете проширувања (има само еден таков фактор - ова е бројот 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Така, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Одговор:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Правилото за наоѓање на LCM со користење на раздвојување на броеви во прости множители може да се формулира малку поинаку. Ако факторите што недостасуваат од проширувањето на бројот b се додадат на факторите од проширувањето на бројот a, тогаш вредноста на добиениот производ ќе биде еднаква на најмалиот заеднички множител на броевите a и b.

На пример, да ги земеме истите броеви 75 и 210, нивните разложувања на прости множители се следни: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. На факторите 3, 5 и 5 од проширувањето на бројот 75 ги додаваме факторите што недостасуваат 2 и 7 од проширувањето на бројот 210, го добиваме производот 2·3·5·5·7, чија вредност е еднакво на LCM(75, 210).

Пример.

Најдете го најмалиот заеднички множител од 84 и 648.

Решение.

Прво ги добиваме разложувањата на броевите 84 и 648 на прости множители. Тие изгледаат како 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. На факторите 2, 2, 3 и 7 од проширувањето на бројот 84 ги додаваме факторите што недостасуваат 2, 3, 3 и 3 од проширувањето на бројот 648, го добиваме производот 2 2 2 3 3 3 3 7, што е еднакво на 4 536 . Така, саканиот најмал заеднички множител на 84 и 648 е 4.536.

Одговор:

LCM(84, 648)=4,536.

Наоѓање на LCM на три или повеќе броеви

Најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви може да се најде со секвенцијално наоѓање на LCM на два броја. Да се ​​потсетиме на соодветната теорема, која дава начин да се најде LCM на три или повеќе броеви.

Теорема.

Нека се дадени позитивните цели броеви a 1 , a 2 , …, a k, најмалиот заеднички повеќекратен m k од овие броеви се наоѓа со секвенцијално пресметување m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Да ја разгледаме примената на оваа теорема користејќи го примерот за наоѓање на најмал заеднички множител од четири броеви.

Пример.

Најдете го LCM на четири броеви 140, 9, 54 и 250.

Решение.

Во овој пример, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Прво наоѓаме m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). За да го направите ова, користејќи го Евклидов алгоритам, одредуваме GCD(140, 9), имаме 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, затоа, GCD(140, 9)=1, од каде GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. Тоа е, m 2 = 1 260.

Сега наоѓаме m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Да го пресметаме преку GCD(1 260, 54), кој исто така го одредуваме со помош на Евклидов алгоритам: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогаш gcd(1,260, 54)=18, од кои gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Тоа е, m 3 = 3 780.

Останува само да се најде m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). За да го направите ова, наоѓаме GCD(3,780, 250) користејќи го Евклидов алгоритам: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Затоа, GCM(3,780, 250)=10, од ​​каде GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Тоа е, m 4 = 94.500.

Така, најмалиот заеднички множител на оригиналните четири броеви е 94.500.

Одговор:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Во многу случаи, погодно е да се најде најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви со користење на прости факторизации на дадените броеви. Во овој случај, треба да се придржувате до следново правило. Најмалиот заеднички множител на неколку броеви е еднаков на производот, кој е составен на следниов начин: факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број се додаваат на сите фактори од проширувањето на првиот број, факторите што недостасуваат од проширувањето на третиот број се додаваат на добиените фактори итн.

Ајде да погледнеме пример за наоѓање на најмалиот заеднички множител користејќи проста факторизација.

Пример.

Најдете го најмалиот заеднички множител од петте броеви 84, 6, 48, 7, 143.

Решение.

Прво, добиваме разложување на овие броеви на прости множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 е прост број, се совпаѓа со негово разложување на прости множители) и 143=11·13.

За да го пронајдете LCM на овие броеви, на факторите од првиот број 84 (тие се 2, 2, 3 и 7), треба да ги додадете факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број 6. Распаѓањето на бројот 6 не содржи фактори што недостасуваат, бидејќи и 2 и 3 се веќе присутни во распаѓањето на првиот број 84. Следно, на факторите 2, 2, 3 и 7 ги додаваме факторите 2 и 2 што недостасуваат од проширувањето на третиот број 48, добиваме збир на фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Нема да има потреба да додавате множители на ова множество во следниот чекор, бидејќи 7 веќе е содржано во него. Конечно, на факторите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 ги додаваме факторите што недостасуваат 11 и 13 од проширувањето на бројот 143. Го добиваме производот 2·2·2·2·3·7·11·13, што е еднакво на 48.048.

Повеќекратно е број кој е делив со даден број без остаток. Најмалиот заеднички множител (LCM) на група броеви е најмалиот број што е делив со секој број во групата без да остави остаток. За да го пронајдете најмалиот заеднички множител, треба да ги најдете простите множители на дадените броеви. LCM може да се пресмета и со користење на голем број други методи кои се применуваат на групи од два или повеќе броеви.

Чекори

Серии на множители

Погледнете ги овие бројки.Методот опишан овде најдобро се користи кога се дадени два броја, од кои секој е помал од 10. Ако е даден големи бројки, користете друг метод.

• На пример, пронајдете го најмалиот заеднички множител на 5 и 8. Ова се мали броеви, па можете да го користите овој метод.

1. Повеќекратно е број кој е делив со даден број без остаток. Во табелата за множење може да се најдат множители.

   • На пример, броевите кои се множители на 5 се: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишете серија на броеви кои се множители на првиот број.Направете го ова под множители на првиот број за да споредите две групи броеви.

   • На пример, броевите кои се множители на 8 се: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

3. Најдете го најмалиот број што е присутен во двете множества множители.Можеби ќе треба да напишете долги серии на множители за да најдете вкупен број. Најмалиот број што е присутен во двете множества множители е најмалиот заеднички множител.

   • На пример, најмалиот број што се појавува во низата множители од 5 и 8 е бројот 40. Според тоа, 40 е најмалиот заеднички множител од 5 и 8.

   Примарната факторизација

   1. Погледнете ги овие бројки.Методот опишан овде најдобро се користи кога се дадени два броја, од кои секој е поголем од 10. Ако се дадени помали броеви, користете различен метод.

      • На пример, пронајдете го најмалиот заеднички множител на броевите 20 и 84. Секој од броевите е поголем од 10, па можете да го користите овој метод.

   2. Факторирајте го првиот број во прости множители.Односно, треба да најдете такви прости броеви кои, кога ќе се помножат, ќе резултираат со даден број. Откако ќе ги пронајдете основните фактори, напишете ги како еднаквости.

      • На пример, 2 × 10 = 20 (\приказ стил (\mathbf (2) )\пати 10=20)И 2 × 5 = 10 (\приказ стил (\mathbf (2) )\пати (\mathbf (5) )=10). Така, прости множители на бројот 20 се броевите 2, 2 и 5. Напиши ги како израз: .

   3. Факторирајте го вториот број во прости множители.Направете го тоа на ист начин како што го множивте првиот број, односно најдете такви прости броеви кои, кога ќе се помножат, ќе го дадат дадениот број.

      • На пример, 2 × 42 = 84 (\приказ стил (\mathbf (2) )\пати 42=84), 7 × 6 = 42 (\приказ стил (\mathbf (7) )\пати 6=42)И 3 × 2 = 6 (\приказ стил (\mathbf (3) )\пати (\mathbf (2) )=6). Така, прости множители на бројот 84 се броевите 2, 7, 3 и 2. Напиши ги како израз: .

   4. Запишете ги факторите кои се заеднички за двата броја.Напишете ги факторите како операција за множење. Додека го пишувате секој фактор, прецртајте го во двата израза (изрази кои опишуваат размножување на броеви во прости множители).

      • На пример, двата броја имаат заеднички фактор 2, па напишете 2 × (\стил на приказ 2\пати)и прецртајте ги 2-те во двата израза.
      • Заедничко за двата броја е уште еден фактор 2, па напишете 2 × 2 (\стил на приказ 2\пати 2)и пречкртајте ги вторите 2 во двата израза.

   5. Додадете ги преостанатите фактори во операцијата за множење.Тоа се фактори кои не се прецртани во двата израза, односно фактори кои не се заеднички за двата броја.

      • На пример, во изразот 20 = 2 × 2 × 5 (\стил на приказ 20=2\пати 2\пати 5)И двете (2) се прецртани бидејќи се заеднички фактори. Факторот 5 не е прецртан, па напишете ја операцијата за множење вака: 2 × 2 × 5 (\стил на приказ 2\пати 2\пати 5)
      • Во изразувањето 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\приказ стил 84=2\пати 7\пати 3\пати 2)и двете двојки (2) се исто така пречкртани. Факторите 7 и 3 не се пречкртани, па напишете ја операцијата за множење вака: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\стил на приказ 2\пати 2\пати 5\пати 7\пати 3).

   6. Пресметајте го најмалиот заеднички множител.За да го направите ова, помножете ги броевите во пишаната операција за множење.

      • На пример, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\стил на приказ 2\пати 2\пати 5\пати 7\пати 3=420). Значи, најмалиот заеднички множител на 20 и 84 е 420.

   Наоѓање заеднички фактори

   1. Нацртајте мрежа како за игра на tic-tac-toe.Таквата мрежа се состои од две паралелни прави кои се сечат (под прав агол) со уште две паралелни прави. Ова ќе ви даде три реда и три колони (мрежата многу личи на иконата #). Запишете го првиот број во првиот ред и во втората колона. Запишете го вториот број во првиот ред и третата колона.

      • На пример, најди го најмалиот заеднички множител на броевите 18 и 30. Напиши го бројот 18 во првиот ред и во втората колона, а бројот 30 запиши го во првиот ред и третата колона.

   2. Најдете го делителот заеднички за двата броја.Запишете го во првиот ред и првата колона. Подобро е да се бараат основни фактори, но тоа не е услов.

      • На пример, 18 и 30 се парни броеви, па нивниот заеднички фактор е 2. Така напишете 2 во првиот ред и првата колона.

   3. Поделете го секој број со првиот делител.Запишете го секој количник под соодветниот број. Количникот е резултат на делење два броја.

      • На пример, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), затоа напишете 9 под 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), затоа запишете 15 под 30.

   4. Најдете го делителот заеднички за двата количници.Ако не постои таков делител, прескокнете ги следните два чекори. Во спротивно, напишете го делителот во вториот ред и првата колона.

      • На пример, 9 и 15 се делат со 3, па напишете 3 во вториот ред и првата колона.

   5. Поделете го секој количник со неговиот втор делител.Секој резултат од делење запишете го под соодветниот количник.

      • На пример, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), па напишете 3 под 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), затоа напишете 5 под 15.

   6. Доколку е потребно, додадете дополнителни ќелии на решетката.Повторете ги опишаните чекори додека количниците немаат заеднички делител.

   7. Заокружете ги броевите во првата колона и последниот ред од решетката.Потоа запишете ги избраните броеви како операција за множење.

      • На пример, броевите 2 и 3 се во првата колона, а броевите 3 и 5 се во последниот ред, па напишете ја операцијата за множење вака: 2 × 3 × 3 × 5 (\стил на приказ 2\пати 3\пати 3\пати 5).

   8. Најдете го резултатот од множење на броеви.Ова ќе го пресмета најмалиот заеднички множител на два дадени броја.

      • На пример, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\стил на приказ 2\пати 3\пати 3\пати 5=90). Значи, најмалиот заеднички множител на 18 и 30 е 90.

   Евклидовиот алгоритам

   1. Запомнете ја терминологијата поврзана со операцијата за поделба.Дивидендата е бројот што се дели. Деленикот е бројот со кој се дели. Количникот е резултат на делење два броја. Остаток е бројот што останува кога се делат два броја.

      • На пример, во изразот 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 е дивиденда
        6 е делител
        2 е количник
        3 е остатокот.

Да почнеме да го проучуваме најмалиот заеднички множител на два или повеќе броеви. Во овој дел ќе го дефинираме поимот, ќе ја разгледаме теоремата што ја воспоставува врската помеѓу најмалиот заеднички множител и најголемиот заеднички делител и ќе дадеме примери за решавање проблеми.

Заеднички множители – дефиниција, примери

Во оваа тема ќе не интересираат само заеднички множители на цели броеви освен нула.

Дефиниција 1

Заеднички множител на цели броевие цел број кој е повеќекратен од сите дадени броеви. Всушност, тоа е секој цел број што може да се подели со кој било од дадените броеви.

Дефиницијата за заеднички множители се однесува на два, три или повеќе цели броеви.

Пример 1

Според дефиницијата дадена погоре, заедничките множители на бројот 12 се 3 и 2. Исто така, бројот 12 ќе биде заеднички множител на броевите 2, 3 и 4. Броевите 12 и -12 се заеднички множители на броевите ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Во исто време, заедничкиот множител на броевите 2 и 3 ќе бидат броевите 12, 6, − 24, 72, 468, − 100.010.004 и цела низа други.

Ако земеме броеви кои се деливи со првиот број на пар, а не се делат со вториот, тогаш таквите броеви нема да бидат заеднички множители. Значи, за броевите 2 и 3, броевите 16, − 27, 5009, 27001 нема да бидат заеднички множители.

0 е заеднички множител на кое било множество цели броеви освен нула.

Ако се потсетиме на својството на деливост во однос на спротивни броеви, тогаш излегува дека некој цел број k ќе биде заеднички множител на овие броеви, исто како и бројот - k. Ова значи дека заедничките делители можат да бидат или позитивни или негативни.

Дали е можно да се најде LCM за сите броеви?

Заедничкиот множител може да се најде за кој било цел број.

Пример 2

Да претпоставиме дека ни се дадени кцели броеви a 1 , a 2 , ... , a k. Бројот што го добиваме при множење броеви a 1 · a 2 · … · a kспоред својството на деливост ќе се подели на секој од факторите што биле вклучени во оригиналниот производ. Тоа значи дека производот на броеви a 1 , a 2 , ... , a kе најмалиот заеднички множител од овие броеви.

Колку заеднички множители можат да имаат овие цели броеви?

Група цели броеви може да има голем број назаеднички множители. Всушност, нивниот број е бесконечен.

Пример 3

Да претпоставиме дека имаме некој број k. Тогаш производот на броевите k · z, каде што z е цел број, ќе биде заеднички множител на броевите k и z. Имајќи предвид дека бројот на броеви е бесконечен, бројот на заеднички множители е бесконечен.

Најмалку заедничко повеќекратно (LCM) - дефиниција, нотација и примери

Да се ​​потсетиме на концептот најмал бројод даденото множество броеви што го разгледавме во делот „Споредување цели броеви“. Земајќи го предвид овој концепт, ја формулираме дефиницијата за најмал заеднички множител, која има најголемо практично значење меѓу сите заеднички множители.

Дефиниција 2

Најмал заеднички множител на дадени цели броевие најмалиот позитивен заеднички множител од овие броеви.

Најмалку заеднички множител постои за кој било број на дадени броеви. Најчесто користената кратенка за концептот во референтната литература е NOC. Кратка нотација за најмал заеднички множител на броеви a 1 , a 2 , ... , a kќе има форма LOC (а 1 , а 2 , ... , а к).

Пример 4

Најмалиот заеднички множител на 6 и 7 е 42. Оние. LCM(6, 7) = 42. Најмалиот заеднички множител од четирите броеви 2, 12, 15 и 3 е 60. Кратката нотација ќе изгледа како LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Најмалиот заеднички множител не е очигледен за сите групи на дадени броеви. Честопати треба да се пресмета.

Врска помеѓу NOC и GCD

Најмалиот заеднички множител и најголемиот заеднички делител се поврзани. Односот помеѓу концептите е воспоставен со теоремата.

Теорема 1

Најмалиот заеднички множител на два позитивни цели броеви a и b е еднаков на производот на a и b поделен со најголемиот заеднички делител на a и b, односно LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Доказ 1

Да претпоставиме дека имаме некој број M, кој е множител на броевите a и b. Ако бројот М е делив со a, постои и некој цел број z , под кои еднаквоста е вистина M = a k. Според дефиницијата за деливост, ако М е делив со б, па тогаш a · kподелено со б.

Ако воведеме нова нотација за gcd (a, b) as г, тогаш можеме да ги искористиме еднаквостите a = a 1 dи b = b 1 · d. Во овој случај, двете еднаквости ќе бидат взаемни примарни броеви.

Погоре веќе утврдивме a · kподелено со б. Сега оваа состојба може да се напише на следниов начин:
а 1 ден кподелено со б 1 г, што е еквивалентно на условот а 1 кподелено со б 1според својствата на деливост.

Според својството на сопростите броеви, ако а 1И б 1- копрости броеви, а 1не се дели со б 1и покрај фактот дека а 1 кподелено со б 1, Тоа б 1мора да се сподели к.

Во овој случај, би било соодветно да се претпостави дека има број т, за што k = b 1 t, и оттогаш b 1 = b: г, Тоа k = b: d t.

Сега наместо кајде да замениме во еднаквост M = a kизразување на формата б: г т. Ова ни овозможува да постигнеме еднаквост M = a b: d t. На t = 1можеме да го добиеме најмалиот позитивен заеднички множител на a и b , еднакви а б: г, под услов броевите a и b позитивен.

Така, докажавме дека LCM (a, b) = a · b: GCD (а, б).

Воспоставувањето врска помеѓу LCM и GCD ви овозможува да го пронајдете најмалиот заеднички множител преку најголемиот заеднички делител на два или повеќе дадени броеви.

Дефиниција 3

Теоремата има две важни последици:

• множители на најмалиот заеднички множител на два броја се исти како и заедничките множители на тие два броја;
• најмалиот заеднички множител на заемно простите позитивни броеви a и b е еднаков на нивниот производ.

Не е тешко да се поткрепат овие два факти. Секој заеднички множител на M на броевите a и b се дефинира со еднаквоста M = LCM (a, b) · t за некоја цел број t вредност. Бидејќи a и b се релативно прости, тогаш gcd (a, b) = 1, според тоа, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Најмал заеднички множител на три или повеќе броеви

За да се најде најмалиот заеднички множител на неколку броеви, потребно е последователно да се најде LCM на два броја.

Теорема 2

Ајде да се преправаме дека a 1 , a 2 , ... , a kсе некои позитивни цели броеви. Со цел да се пресмета LCM m kовие бројки, треба последователно да ги пресметаме m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = НОК(m 2 , a 3) , … , m k = НОК(m k - 1, a k) .

Доказ 2

Првата последица од првата теорема дискутирана во оваа тема ќе ни помогне да ја докажеме валидноста на втората теорема. Расудувањето се заснова на следниот алгоритам:

• заеднички множители на броеви а 1И а 2се совпаѓаат со множители на нивниот LCM, всушност, тие се совпаѓаат со множители на бројот m 2;
• заеднички множители на броеви а 1, а 2И а 3 m 2И а 3 m 3;
• заеднички множители на броеви a 1 , a 2 , ... , a kсе совпаѓаат со заеднички множители на броеви m k - 1И а к, значи, се совпаѓаат со множители на бројот m k;
• поради фактот што најмалиот позитивен множител на бројот m kе самиот број m k, тогаш најмал заеднички множител на броевите a 1 , a 2 , ... , a kе m k.

Вака ја докажавме теоремата.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Најмалиот заеднички множител на два броја е директно поврзан со најголемиот заеднички делител на тие броеви. Ова врска помеѓу GCD и NOCсе одредува со следнава теорема.

Теорема.

Најмалиот заеднички множител на два позитивни цели броеви a и b е еднаков на производот на a и b поделен со најголемиот заеднички делител на a и b, т.е. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Доказ.

Нека М е множител на броевите a и b. Односно, М е делив со a, а според дефиницијата за деливост, има некој цел број k таков што еднаквоста M=a·k е точно. Но, М е исто така делив со b, а потоа a·k се дели со b.

Да го означиме gcd(a, b) како d. Тогаш можеме да ги напишеме равенствата a=a 1 ·d и b=b 1 ·d, а a 1 =a:d и b 1 =b:d ќе бидат релативно прости броеви. Следствено, условот добиен во претходниот став дека a · k е делив со b може да се преформулира на следниов начин: a 1 · d · k се дели со b 1 · d , и ова, поради својствата на деливост, е еквивалентно на условот дека a 1 · k е делив со b 1 .

Исто така, треба да запишете две важни последици од разгледаната теорема.

Заедничките множители на два броја се исти како множителите на нивниот најмал заеднички множител.

Ова навистина е случај, бидејќи секој заеднички множител на M од броевите a и b се определува со еднаквоста M=LMK(a, b)·t за некоја цел број t.

Најмалиот заеднички множител на заемно простите позитивни броеви a и b е еднаков на нивниот производ.

Образложението за овој факт е сосема очигледно. Бидејќи a и b се релативно прости, тогаш gcd(a, b)=1, затоа, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Најмал заеднички множител на три или повеќе броеви

Наоѓањето на најмалиот заеднички множител од три или повеќе броеви може да се сведе на секвенцијално наоѓање на LCM на два броја. Како тоа е направено е наведено во следната теорема: a 1 , a 2 , …, a k се совпаѓаат со заедничките множители на броевите m k-1 и a k , затоа, се совпаѓаат со заедничките множители на бројот m k . И бидејќи најмалиот позитивен множител на бројот m k е самиот број m k, тогаш најмалиот заеднички множител на броевите a 1, a 2, ..., a k е m k.

Библиографија.

• Виленкин Н.Ја. и други.Математика. 6 одделение: учебник за општообразовни установи.
• Виноградов И.М. Основи на теоријата на броеви.
• Михелович Ш.Х. Теорија на броеви.
• Куликов Л.Ја. и други.Збирка задачи од алгебра и теорија на броеви: Упатствоза студенти по физика и математика. специјалитети на педагошките институти.