Својства на логаритам и експонент. Природен логаритам и број д. Изрази во однос на сложени броеви

Воопшто не е лошо, нели? Додека математичарите бараат зборови за да ви дадат долга, збунувачка дефиниција, ајде внимателно да ја разгледаме оваа едноставна и јасна дефиниција.

Бројот e значи раст

Бројот e значи континуиран раст. Како што видовме во претходниот пример, e x ни овозможува да ги поврземе каматата и времето: 3 години со 100% раст е исто како и 1 година со 300%, под претпоставка за „сложена камата“.

Можете да ги замените процентуалните и временските вредности (50% за 4 години), но подобро е да го поставите процентот како 100% за погодност (излегува 100% за 2 години). Преместувајќи се на 100%, можеме да се фокусираме само на временската компонента:

e x = e проценти * време = e 1,0 * време = e време

Очигледно e x значи:

колку ќе порасне мојот придонес по x единици време (претпоставувајќи 100% континуиран раст).
на пример, по 3 временски интервали ќе добијам e 3 = 20,08 пати повеќе „работи“.

e x е фактор на скалирање кој покажува до кое ниво ќе пораснеме за x временски период.

Природниот логаритам значи време

Природниот логаритам е инверзна на e, фантастичен термин за спротивното. Зборувајќи за чуда; на латински се нарекува logarithmus naturali, па оттука и кратенката ln.

А што значи оваа инверзија или спротивност?

e x ни овозможува да го замениме времето и да добиеме раст.
ln(x) ни овозможува да земеме раст или приход и да го дознаеме времето потребно за да ги генерираме.

На пример:

e 3 е еднакво на 20.08. По три временски периоди ќе имаме 20,08 пати повеќе од она со што почнавме.
ln(08/20) би бил приближно 3. Ако сте заинтересирани за раст од 20,08 пати, ќе ви требаат 3 временски периоди (повторно, под претпоставка 100% континуиран раст).

Уште читате? Природниот логаритам го покажува времето потребно за да се достигне посакуваното ниво.

Ова нестандардно логаритамско броење

Дали сте поминале низ логаритми - тие се чудни суштества. Како успеале множењето да го претворат во собирање? Што е со делењето на одземање? Ајде да погледнеме.

На што е еднакво ln(1)? Интуитивно, прашањето е: колку долго треба да чекам за да добијам 1x повеќе од она што го имам?

Нула. Нула. Воопшто не. Го имаш веќе еднаш. Не е потребно многу време да се оди од ниво 1 до ниво 1.

лог (1) = 0

Добро, што е со фракционата вредност? Колку време ќе ни треба да ни остане 1/2 од расположливата количина? Знаеме дека со 100% континуиран раст, ln(2) значи време кое е потребно за да се удвои. Ако ние да го вратиме времето назад(т.е., почекајте негативно време), тогаш ќе добиеме половина од она што го имаме.

ln (1/2) = -ln (2) = -0,693

Логично, нели? Ако се вратиме назад (времето назад) на 0,693 секунди, ќе најдеме половина од достапната сума. Во принцип, можете да ја превртите дропот и да земете негативна вредност: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Тоа значи дека ако се вратиме во времето на 1,09 пати, ќе најдеме само третина од сегашниот број.

Добро, што е со логаритамот на негативен број? Колку време е потребно за да се „расне“ колонија на бактерии од 1 до -3?

Ова е невозможно! Не можете да добиете негативен број на бактерии, нели? Можеш да добиеш максимум (или...минимум) нула, но нема шанси да добиеш негативен број од овие мали животни. Негативниот број на бактерии едноставно нема смисла.

ln(негативен број) = недефиниран

„Недефинирано“ значи дека нема многу време што би требало да се чека за да се добие негативна вредност.

Логаритамското множење е едноставно смешно

Колку време ќе биде потребно за да се зголеми четирикратно? Се разбира, можете само да земете ln(4). Но, ова е премногу едноставно, ќе одиме на друг начин.

Можете да го замислите четирикратниот раст како удвојување (потребно е ln(2) единици време) и потоа повторно удвојување (потребно е уште ln(2) единици време):

Време за растење 4 пати = ln(4) = Време за двојно, а потоа повторно двојно = ln(2) + ln(2)

Интересно. Секоја стапка на раст, да речеме 20, може да се смета за удвојување веднаш по 10x зголемување. Или раст 4 пати, а потоа 5 пати. Или тројно, а потоа зголемување за 6.666 пати. Ја гледате шемата?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логаритмот на A пати B е log(A) + log(B). Овој однос веднаш добива смисла кога се гледа од аспект на раст.

Ако сте заинтересирани за 30x раст, можете да чекате ln(30) во едно седење, или да чекате ln(3) за тројно, а потоа уште ln(10) за 10x. Крајниот резултат е ист, па секако времето мора да остане константно (и тоа останува).

Што е со поделбата? Поточно, ln(5/3) значи: колку време ќе биде потребно за да порасне 5 пати и потоа да добие 1/3 од тоа?

Одлично, растот за 5 пати е ln(5). Зголемувањето од 1/3 пати ќе потрае -ln(3) единици време. Значи,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Тоа значи: нека порасне 5 пати, а потоа „вратете се во времето“ до точка каде што останува само една третина од таа количина, па добивате 5/3 раст. Во принцип, излегува

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Се надевам дека чудната аритметика на логаритмите почнува да има смисла за вас: множењето на стапките на раст станува собирање временски единици за раст, а делењето станува одземање временски единици. Нема потреба да ги меморирате правилата, обидете се да ги разберете.

Користење на природниот логаритам за произволен раст

Па, се разбира“, велите, „сето ова е добро ако растот е 100%, но што е со 5% што ги добивам?“

Нема проблем. „Времето“ што го пресметуваме со ln() е всушност комбинација од каматна стапка и време, истото X од равенката e x. Само решивме да го поставиме процентот на 100% за едноставност, но слободно можеме да користиме какви било бројки.

Да речеме дека сакаме да постигнеме 30x раст: земете ln(30) и добијте 3,4 Ова значи:

e x = висина
e 3,4 = 30

Очигледно, оваа равенка значи „100% враќање во текот на 3,4 години дава 30x раст“. Оваа равенка можеме да ја напишеме на следниов начин:

e x = e стапка*време
e 100% * 3,4 години = 30

Можеме да ги смениме вредностите на „облог“ и „време“, сè додека времето на облогот * остане 3,4. На пример, ако сме заинтересирани за 30x раст, колку долго ќе треба да чекаме со каматна стапка од 5%?

ln(30) = 3,4
стапка * време = 3,4
0,05 * време = 3,4
време = 3,4 / 0,05 = 68 години

Разговарам вака: "ln(30) = 3,4, така што при 100% раст ќе бидат потребни 3,4 години. Ако ја удвојам стапката на раст, потребното време ќе се преполови."

100% за 3,4 години = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% за 1,7 години = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% за 6,8 години = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% над 68 години = ,05 * 68 = 3,4.

Одлично, нели? Природниот логаритам може да се користи со која било каматна стапка и време бидејќи нивниот производ останува константен. Можете да преместувате променливи вредности колку што сакате.

Кул пример: Правило на седумдесет и два

Правилото на седумдесет и два е математичка техника која ви овозможува да процените колку време ќе биде потребно за вашите пари да се удвојат. Сега ќе го заклучиме (да!), а згора на тоа, ќе се обидеме да ја разбереме неговата суштина.

Колку време ќе биде потребно за да ги удвоите вашите пари со 100% камата што се зголемува годишно?

Упс. Го користевме природниот логаритам за случајот на континуиран раст, а сега зборуваш за годишно мешање? Зарем оваа формула не би станала несоодветна за таков случај? Да, ќе биде, но за реални каматни стапки како 5%, 6% или дури 15%, разликата помеѓу годишното мешање и континуираниот раст ќе биде мала. Значи грубата проценка функционира, хм, отприлика, па ќе се преправаме дека имаме целосно континуирано пресметување.

Сега прашањето е едноставно: Колку брзо можете да се удвоите со 100% раст? ln (2) = 0,693. Потребни се 0,693 единици време (години во нашиот случај) за да се удвои нашата сума со континуиран пораст од 100%.

Па, што ако каматната стапка не е 100%, туку да речеме 5% или 10%?

Лесно! Бидејќи облогот * време = 0,693, ќе го удвоиме износот:

стапка * време = 0,693
време = 0,693 / облог

Излегува дека ако растот е 10%, ќе бидат потребни 0,693 / 0,10 = 6,93 години за да се удвои.

За да ги поедноставиме пресметките, ајде да ги помножиме двете страни со 100, а потоа можеме да кажеме „10“ наместо „0,10“:

време за удвојување = 69,3 / облог, каде што облогот се изразува како процент.

Сега е време да се удвои со стапка од 5%, 69,3 / 5 = 13,86 години. Сепак, 69,3 не е најзгодната дивиденда. Ајде да избереме затворен број, 72, што е погодно да се дели со 2, 3, 4, 6, 8 и други броеви.

време да се удвои = 72 / облог

што е правило на седумдесет и два. Сè е покриено.

Ако треба да најдете време за тројно, можете да користите ln(3) ~ 109,8 и да добиете

време за тројно = 110 / облог

Што е уште едно корисно правило. „Правилото на 72“ се однесува на растот на каматните стапки, растот на населението, бактериските култури и се што расте експоненцијално.

Што е следно?

Се надеваме дека природниот логаритам сега има смисла за вас - го покажува времето потребно за кој било број да расте експоненцијално. Мислам дека се нарекува природно затоа што e е универзална мерка за раст, така што ln може да се смета за универзален начин за одредување колку време е потребно за да расте.

Секој пат кога ќе видите ln(x), запомнете „времето што е потребно за да пораснете X пати“. Во претстојната статија ќе ги опишам e и ln заедно, така што свежиот мирис на математиката ќе го исполни воздухот.

Додаток: Природен логаритам на е

Брз квиз: што е ln(e)?

математичкиот робот ќе рече: бидејќи тие се дефинирани како инверзни едни на други, очигледно е дека ln(e) = 1.
разбирливо лице: ln(e) е бројот на пати што е потребно за да се зголеми „e“ пати (околу 2.718). Меѓутоа, самиот број e е мерка за раст со фактор 1, така што ln(e) = 1.

Размислете јасно.

9 септември 2013 година

Час и презентација на теми: „Природни логаритми. Основа на природниот логаритам. Логаритм на природен број“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Наставни средства и симулатори во онлајн продавницата Integral за 11 одделение
Интерактивен прирачник за 9-11 одделение „Тригонометрија“
Интерактивен прирачник за 10-11 одделение „Логаритми“

Што е природен логаритам

Момци, во последната лекција научивме нов, посебен број - Денес ќе продолжиме да работиме со овој број.
Ги проучувавме логаритмите и знаеме дека основата на логаритам може да биде многу броеви кои се поголеми од 0. Денес ќе разгледаме и логаритам чија основа е бројот e. Има своја нотација: $\ln(n)$ е природниот логаритам. Овој запис е еквивалентен на записот: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Експоненцијалните и логаритамските функции се инверзни, тогаш природниот логаритам е инверзна на функцијата: $y=e^x$.
Инверзните функции се симетрични во однос на правата линија $y=x$.
Да го нацртаме природниот логаритам со исцртување на експоненцијалната функција во однос на правата линија $y=x$.

Вреди да се напомене дека аголот на наклонетост на тангентата на графикот на функцијата $y=e^x$ во точката (0;1) е 45°. Тогаш аголот на наклонетост на тангентата на графикот на природниот логаритам во точката (1;0) исто така ќе биде еднаков на 45&степени. И двете од овие тангенти ќе бидат паралелни со правата $y=x$. Да ги дијаграмираме тангентите:

Својства на функцијата $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Не е ниту парен ниту непарен.
3. Се зголемува низ целиот домен на дефиниција.
4. Не е ограничено одозгора, не е ограничено одоздола.
5. Нема најголема вредност, нема минимална вредност.
6. Континуирано.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Конвексен нагоре.
9. Секаде се разликува.

Во текот на вишата математика се докажува дека изводот на инверзна функција е инверзен на изводот на дадена функција.
Нема многу смисла да навлегуваме подлабоко во доказот, само да ја напишеме формулата: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Пример.
Пресметај ја вредноста на изводот на функцијата: $y=\ln(2x-7)$ во точката $x=4$.
Решение.
Генерално, нашата функција е претставена со функцијата $y=f(kx+m)$ можеме да ги пресметаме изводите на таквите функции.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Да ја пресметаме вредноста на изводот во бараната точка: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Одговор: 2.

Пример.
Нацртајте тангента на графикот на функцијата $y=ln(x)$ во точката $х=е$.
Решение.
Добро се сеќаваме на равенката на тангентата на графикот на функцијата во точката $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Ние секвенцијално ги пресметуваме бараните вредности.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Тангентната равенка во точката $x=e$ е функцијата $y=\frac(x)(e)$.
Да ги нацртаме природниот логаритам и тангентата линија.

Пример.
Испитај ја функцијата за монотоност и екстреми: $y=x^6-6*ln(x)$.
Решение.
Доменот на дефиниција на функцијата $D(y)=(0;+∞)$.
Да го најдеме изводот на дадената функција:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Изводот постои за сите x од доменот на дефиниција, тогаш нема критични точки. Ајде да најдеме неподвижни точки:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Точката $x=-1$ не припаѓа на доменот на дефиниција. Тогаш имаме една неподвижна точка $x=1$. Ајде да ги најдеме интервалите на зголемување и намалување:

Точката $x=1$ е минималната точка, потоа $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Одговор: Функцијата се намалува на сегментот (0;1], функцијата се зголемува на зракот $)