Множење на дропки броител 12. Множење на обични дропки: правила, примери, решенија

ВЕЌЕ НАБЕДИ ГО ОВИЕ ГРГЛА! 🙂

Множење и делење дропки.

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу. »
И за оние кои „многу толку. ")

Оваа операција е многу попријатна од собирање и одземање! Затоа што е полесно. За потсетување, за да помножите дропка со дропка, треба да ги помножите броителите (ова ќе биде броител на резултатот) и именители (ова ќе биде именителот). Тоа е:

Сè е исклучително едноставно. И ве молам не барајте заеднички именител! Нема потреба од него овде...

За да се подели дропка со дропка, треба да се врати назад второ(ова е важно!) дропка и помножи ги, т.е.

Ако наидете на множење или делење со цели броеви и дропки, тоа е во ред. Како и со собирањето, правиме дропка од цел број со еден во именителот - и одиме напред! На пример:

Во средно училиште, честопати треба да се занимавате со дропки од три ката (па дури и четирикатни!). На пример:

Како можам да направам оваа дропка да изгледа пристојно? Да, многу едноставно! Користете поделба во две точки:

Но, не заборавајте за редоследот на поделба! За разлика од множењето, ова е многу важно овде! Се разбира, нема да мешаме 4:2 или 2:4. Но, лесно е да се направи грешка во дел од три ката. Забележете на пример:

Во првиот случај (израз лево):

Во вториот (израз на десната страна):

Дали ја чувствувате разликата? 4 и 1/9!

Што го одредува редоследот на делење? Или со загради, или (како овде) со должина на хоризонтални линии. Развијте го вашето око. И ако нема загради или цртички, како:

потоа дели и множи по ред, од лево кон десно!

И, исто така, многу едноставно и важна техника. Во акции со степени, тоа ќе ви биде толку корисно! Ајде да поделиме еден со која било дропка, на пример, со 13/15:

Истрелот се превртел! И ова секогаш се случува. Кога се дели 1 со која било дропка, резултатот е иста дропка, само наопаку.

Толку за операции со дропки. Работата е прилично едноставна, но дава повеќе од доволно грешки. Имајте ги предвид практичните совети и ќе ги има помалку (грешки)!

1. Најважно кога работите со фракциони изрази е точноста и внимателноста! Ова не се општи зборови, не се добри желби! Ова е страшна потреба! Направете ги сите пресметки на Единствениот државен испит како полноправна задача, фокусирана и јасна. Подобро е да напишете две дополнителни линии во нацртот отколку да се збркате кога правите ментални пресметки.

2. Во примери со различни типовидропки - преминете на обични дропки.

3. Ги намалуваме сите фракции додека не застанат.

4. Катна фракциони изразисведете на обичните користејќи делење преку две точки (внимавајте на редоследот на делење!).

Еве ги задачите кои дефинитивно мора да ги завршите. Одговорите се даваат по сите задачи. Користете ги материјалите на оваа тема и практични совети. Проценете колку примери сте успеале да решите правилно. Првиот пат! Без калкулатор! И извлечете правилни заклучоци.

Запомнете - точниот одговор е добиено од второто (особено третото) време не се брои!Таков е суровиот живот.

Значи, решаваат во режим на испит ! Патем, ова е веќе подготовка за обединет државен испит. Го решаваме примерот, го проверуваме, го решаваме следниот. Решивме сè - повторно проверено од прво до последно. Но само Потоапогледнете ги одговорите.

Бараме одговори кои одговараат на вашите. Намерно ги запишав во неред, далеку од искушенија, така да се каже. Еве ги, одговорите, одделени со точка-запирка.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Сега извлекуваме заклучоци. Ако сè излезе, среќен сум за вас! Основните пресметки со дропки не се ваш проблем! Можете да правите посериозни работи. Ако не.

Значи, имате еден од двата проблеми. Или и двете одеднаш.) Недостиг на знаење и (или) невнимание. Но. Ова решлив Проблеми.

Сите овие (и повеќе!) примери се дискутирани во Посебниот дел 555 „Дропки“. СО детални објаснувањашто, зошто и како. Оваа анализа многу помага при недостаток на знаење и вештини!

Да, и за вториот проблем има нешто таму.) Сосема практични совети, како да станете повнимателни. Да Да! Совет што може да се примени секој.

Покрај знаењето и внимателноста, успехот бара одредена автоматичност. Каде можам да го добијам? Слушам тешка воздишка... Да, само во пракса, никаде на друго место.

Можете да отидете на веб-страницата 321start.ru за обука. Таму во опцијата „Обиди“ има 10 примери за секого. Со инстант верификација. За регистрирани корисници - 34 примери од едноставни до тешки. Ова е само во фракции.

Ако ви се допаѓа оваа страница.

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Овде можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

И тука можете да се запознаете со функции и деривати.

Правило 1.

За да помножите дропка со природен број, треба да го помножите неговиот броител со овој број и да го оставите именителот непроменет.

Правило 2.

За да помножите дропка со дропка:

1. најдете го производот на броителите и производот на именителот на овие дропки

2. Првиот производ запишете го како броител, а вториот како именител.

Правило 3.

За да множите мешани броеви, треба да ги напишете како неправилни дропки, а потоа да го користите правилото за множење дропки.

Правило 4.

За да поделите една дропка со друга, мора да ја помножите дивидендата со реципроцитет на делителот.

Пример 1.

Пресметај

Пример 2.

Пресметај

Пример 3.

Пресметај

Пример 4.

Пресметај

Математика. Други материјали

Подигнување на број до рационална моќ. (

Подигнување на број до природна моќ. (

Метод на генерализиран интервал за решавање на алгебарски неравенки (Автор А.В. Колчанов)

Метод за замена на фактори при решавање на алгебарски неравенки (автор Колчанов А.В.)

Знаци на деливост (Лунгу Алена)

Тестирајте се на тема „Множење и делење“ обични дропки’

Множење на дропки

Ќе го разгледаме множењето на обичните фракции во неколку можни опции.

Множење на заедничка дропка со дропка

Ова е наједноставниот случај во кој треба да го користите следново правила за множење дропки.

До множи дропка по дропка, неопходно:

множете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка и запишете го нивниот производ во броителот на новата дропка;

помножете го именителот на првата дропка со именителот на втората дропка и запишете го нивниот производ во именителот на новата дропка;

Пред да ги множите броителите и именителот, проверете дали може да се намалат дропките. Намалувањето на дропките во пресметките ќе ги олесни вашите пресметки.

Множење на дропка со природен број

Да се направи дропка се множи со природен бројТреба да го помножите броителот на дропката со овој број, а именителот на дропката да го оставите непроменет.

Ако резултатот од множењето не е соодветна дропка, не заборавајте да го претворите во мешан број, односно да го истакнете целиот дел.

Множење мешани броеви

За множење на мешани броеви, прво мора да ги претворите во неправилни дропки, а потоа да се множите според правилото за множење обични дропки.

Друг начин за множење на дропка со природен број

Понекогаш кога се прават пресметки, попогодно е да се користи друг метод за множење на заедничка дропка со број.

За да помножите дропка со природен број, треба да го поделите именителот на дропката со овој број и да го оставите броителот ист.

Како што може да се види од примерот, оваа верзија на правилото е попогодна за употреба ако именителот на дропката е делив со природен број без остаток.

Делење дропка со број

Кој е најбрзиот начин да се подели дропка со број? Ајде да ја анализираме теоријата, да извлечеме заклучок и да користиме примери за да видиме како делењето дропка со број може да се направи користејќи ново кратко правило.

Вообичаено, делењето дропка со број го следи правилото за делење дропки. Првиот број (дропка) го множиме со инверзна на вториот. Бидејќи вториот број е цел број, неговиот инверзен е дропка, чиј броител е еднаков на еден, а именителот е еднаков на дадениот број. Шематски, делењето дропка со природен број изгледа вака:

Од ова заклучуваме:

За да поделите дропка со број, треба да го помножите именителот со тој број и да го оставите броителот ист. Правилото може да се формулира уште пократко:

Кога се дели дропка со број, бројот оди во именителот.

Подели дропка со број:

За да се подели дропка со број, го препишуваме броителот непроменет, а именителот го множиме со овој број. Ги намалуваме 6 и 3 за 3.

Кога делиме дропка со број, го препишуваме броителот и го множиме именителот со тој број. Ги намалуваме 16 и 24 за 8.

При делење на дропка со број, бројот оди во именителот, така што броителот го оставаме ист и именителот го множиме со делителот. Ги намалуваме 21 и 35 за 7.

Множење и делење дропки

Последен пат научивме како да собираме и одземаме дропки (види лекција „Собирање и одземање дропки“). Најтешкиот дел од тие дејства беше доведувањето на дропките до заеднички именител.

Сега е време да се занимаваме со множење и делење. Добри вестие тоа што овие операции се уште поедноставни од собирањето и одземањето. Прво, да го разгледаме наједноставниот случај, кога има две позитивни дропки без одделен цел број.

За да помножите две дропки, мора да ги помножите нивните броители и именители одделно. Првиот број ќе биде броител на новата дропка, а вториот ќе биде именителот.

За да поделите две дропки, треба да ја помножите првата дропка со „превртената“ втора дропка.

Од дефиницијата произлегува дека делењето дропки се сведува на множење. За да „превртите“ дропка, само заменете ги броителот и именителот. Затоа, во текот на целата лекција главно ќе го разгледаме множењето.

Како резултат на множење, може да се појави редуцирана фракција (и често се појавува) - таа, се разбира, мора да се намали. Ако по сите намалувања фракцијата се покаже дека е неточна, треба да се истакне целиот дел. Но, она што дефинитивно нема да се случи со множењето е намалувањето на заеднички именител: без вкрстени методи, најголеми фактори и најмалку заеднички множители.

Задача. Најдете го значењето на изразот:

По дефиниција имаме:

Множење дропки со цели делови и негативни дропки

Ако дропките содржат цел број, тие мора да се претворат во несоодветни - и дури потоа да се множат според шемите наведени погоре.

Ако има минус во броителот на дропка, во именителот или пред него, тој може да се извади од множењето или целосно да се отстрани според следниве правила:

Плус по минус дава минус;
Два негатива прават афирмативен.

Досега овие правила се среќаваа само при собирање и одземање на негативни дропки, кога беше потребно да се ослободи од целиот дел. За дело, тие можат да се генерализираат за да се „изгорат“ неколку недостатоци одеднаш:

Негативите ги прецртуваме во парови додека целосно не исчезнат. Во екстремни случаи, може да преживее еден минус - оној за кој немаше партнер;
Ако нема никакви минуси, операцијата е завршена - можете да започнете со множење. Ако последниот минус не е пречкртан затоа што немало пар за него, го вадиме надвор од границите на множење. Резултатот е негативна дропка.

Ги претвораме сите дропки во неправилни, а потоа ги вадиме минусите од множењето. Она што останува го множиме според вообичаените правила. Добиваме:

Уште еднаш да потсетам дека минусот што се појавува пред дропка со означен цел дел се однесува конкретно на целата дропка, а не само на целиот нејзин дел (ова важи за последните два примери).

Исто така забележете негативни броеви: При множење се ставаат во загради. Ова е направено со цел да се одделат минусите од знаците за множење и да се направи целата нотација попрецизна.

Намалување на фракции во лет

Множењето е многу трудоинтензивна операција. Бројките овде испаднаа дека се доста големи, а за да се поедностави проблемот, може да се обидете дополнително да ја намалите фракцијата пред множење. Навистина, во суштина, броителите и именителот на дропките се обични фактори и, според тоа, тие можат да се намалат со користење на основното својство на дропката. Погледнете ги примерите:

Во сите примери со црвено се означени бројките што се намалени и што останало од нив.

Ве молиме имајте предвид: во првиот случај, множителите беа целосно намалени. На нивно место остануваат единици кои, генерално кажано, не треба да се пишуваат. Во вториот пример целосно намалувањеНе беше можно да се постигне ова, но вкупниот износ на пресметки сепак се намали.

Сепак, никогаш не користете ја оваа техника кога собирате и одземате дропки! Да, понекогаш има слични бројки кои едноставно сакате да ги намалите. Еве, погледнете:

Не можете да го направите тоа!

Грешката се јавува затоа што при собирање, броителот на дропка произведува збир, а не производ на броеви. Следствено, невозможно е да се примени основното својство на дропка, бидејќи ова својство се занимава конкретно со множење на броеви.

Едноставно нема други причини за намалување на дропките, па правилно решениепретходната задача изгледа вака:

Како што можете да видите, точниот одговор се покажа дека не е толку убав. Во принцип, бидете внимателни.

Делење дропки.

Делење дропка со природен број.

Примери за делење дропка со природен број

Делење природен број со дропка.

Примери за делење природен број со дропка

Поделба на обични дропки.

Примери за делење на обични дропки

Делење мешани броеви.

конвертирате мешани фракции во несоодветни фракции;
помножете ја првата дропка со реципроцитет на втората;
намалете ја добиената фракција;
Ако добиете неправилна дропка, претворете ја неправилната дропка во мешана дропка.

Примери за делење мешани броеви

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Сите непристојни коментари ќе бидат избришани, а нивните автори ќе бидат ставени на црната листа!

Добредојдовте во OnlineMSchool.
Јас се викам Довжик Михаил Викторович. Јас сум сопственик и автор на оваа страница, го напишав целиот теоретски материјал, а исто така го развив онлајн вежбии калкулатори кои можете да ги користите за учење математика.

Дропки. Множење и делење дропки.

Множење на заедничка дропка со дропка.

За да множите обични дропки, треба да го помножите броителот со броителот (го добиваме броителот на производот) и именителот со именителот (го добиваме именителот на производот).

Формула за множење дропки:

Пред да започнете со множење броители и именители, треба да проверите дали дропот може да се намали. Ако можете да ја намалите дропот, ќе ви биде полесно да направите понатамошни пресметки.

Забелешка! Нема потреба овде да бараме заеднички именител!!

Делење на заедничка дропка со дропка.

Делењето на обична дропка со дропка се случува вака: ја превртувате втората дропка (т.е. ги менувате броителот и именителот) и после тоа дропките се множат.

Формула за делење обични дропки:

Множење на дропка со природен број.

Забелешка!При множење на дропка со природен број, броителот на дропката се множи со нашиот природен број, а именителот на дропката останува ист. Ако резултатот од производот е несоодветна фракција, тогаш не заборавајте да го истакнете целиот дел, претворајќи ја несоодветната фракција во мешана фракција.

Делење дропки кои вклучуваат природни броеви.

Не е толку страшно како што изгледа. Како и при собирањето, го претвораме целиот број во дропка со еден во именителот. На пример:

Множење мешани дропки.

Правила за множење дропки (мешани):

конвертирате мешани фракции во несоодветни фракции;
множење на броителите и именители на дропки;
намалете ја фракцијата;
Ако добиете неправилна дропка, тогаш неправилната дропка ја претвораме во мешана дропка.

Забелешка!За да помножите мешана дропка со друга мешана дропка, прво треба да ги претворите во форма на несоодветни дропки, а потоа да се множите според правилото за множење на обичните дропки.

Вториот начин да се множи дропка со природен број.

Можеби е попогодно да се користи вториот метод за множење на заедничка дропка со број.

Забелешка!За да помножите дропка со природен број, мора да го поделите именителот на дропката со овој број и да го оставите броителот непроменет.

Од примерот даден погоре, јасно е дека оваа опција е попогодна за употреба кога именителот на дропка е поделен без остаток со природен број.

Повеќекатни дропки.

Во средно училиште често се среќаваат дропки од три ката (или повеќе). Пример:

За да ја доведете таквата дропка во нејзината вообичаена форма, користете поделба на 2 точки:

Забелешка!При делење дропки многу е важен редоследот на делење. Внимавајте, тука е лесно да се збуните.

Забелешка, На пример:

Кога се дели една со која било дропка, резултатот ќе биде истата дропка, само превртена:

Практични совети за множење и делење дропки:

1. Најважно кога се работи со дропски изрази е точноста и внимателноста. Правете ги сите пресметки внимателно и прецизно, концентрирано и јасно. Подобро е да напишете неколку дополнителни линии во нацртот отколку да се изгубите во менталните пресметки.

2. Во задачите со различни типови дропки преминете на типот на обични дропки.

3. Ги намалуваме сите дропки додека повеќе не е можно да се намали.

4. Повеќестепените фракциони изрази ги трансформираме во обични со помош на делење преку 2 точки.

Под- и под- Преработена песна „Пролетно танго“ (Доаѓа време - птици летаат од југ) - музика. Валери Миљаев Не слушнав доволно, не разбрав, не го разбрав, во смисла дека не погодив, ги напишав сите глаголи со неразделно, не знаев за префиксот недо. Се случува, […]
Страницата не е пронајдена Во третото последно читање, беше усвоен пакет владини документи кои предвидуваат создавање на посебни административни региони (SAR). Како резултат на напуштањето на Европската унија, ОК нема да биде вклучена во европската област за ДДВ и […]
Комбинирани истражен комитетќе се појави на есен Заедничкиот истражен комитет ќе се појави на есен Истрагата на сите агенции за спроведување на законот ќе биде ставена под еден покрив на четвртиот обид Веќе во есента 2014 година, според Известија, претседателот Владимир Путин […]
Патент за алгоритам Како изгледа патентот за алгоритам Како се подготвува патент за алгоритам Подготовката на технички описи на методите за складирање, обработка и пренос на сигнали и/или податоци специјално за цели на патентирање обично не претставува никакви посебни тешкотии. и […]
ШТО Е ВАЖНО ДА ЗНАЕМЕ ЗА НОВИОТ ПРЕДМЕТ ЗА ПЕНЗИИ 12 декември 1993 ГОДИНА УСТАВ НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЈА (изменет со Законите Руска Федерацијаза измените на Уставот на Руската Федерација од 30 декември 2008 година N 6-FKZ, од 30 декември 2008 година N 7-FKZ, од […]
Смешни забави за женска пензија за херој на денот, мажи за херој на денот, мажи - во рефрен за херој на денот, жени - посвета на пензионерите, жени, смешни. Натпреварите за пензионери ќе бидат интересни. Презентер : Драги пријатели! Само момент! Сензација! Само […]

Множењето цел број со дропка не е тешка задача. Но, постојат суптилности кои веројатно сте ги разбрале на училиште, но оттогаш сте ги заборавиле.

Како да помножите цел број со дропка - неколку члена

Ако се сеќавате што е броител и именител и како правилната дропка се разликува од неправилната дропка, прескокнете го овој став. Тоа е за оние кои целосно ја заборавиле теоријата.

Бројачот е горниот делдропките се она што го делиме. Именителот е помал. Ова е она по што се делиме.
Правилна дропка е онаа чиј броител е помал од неговиот именител. Неправилна дропка е онаа чиј броител е поголем или еднаков на неговиот именител.

Како да помножите цел број со дропка

Правилото за множење на цел број со дропка е многу едноставно - броителот го множиме со цел број, но не го допираме именителот. На пример: два помножени со една петтина - добиваме две петтини. Четири помножени со три шеснаесетти се еднакви на дванаесет шеснаесетти.

Намалување

Во вториот пример, добиената фракција може да се намали.
Што значи тоа? Имајте предвид дека и броителот и именителот на оваа дропка се деливи со четири. Поделете ги двата броја со заеднички делитела тоа се нарекува намалување на дропка. Добиваме три четвртини.

Несоодветни дропки

Но, да претпоставиме дека помножиме четири со две петтини. Испадна осум петтини. Ова е несоодветна фракција.
Таа дефинитивно треба да се доведе до вистинскиот вид. За да го направите ова, треба да изберете цел дел од него.
Тука треба да користите поделба со остаток. Добиваме еден и три како остаток.
Една целина и три петтини е нашата правилна дропка.

Да се доведат триесет и пет осми до правилната форма е малку потешко.Најблискиот број до триесет и седум што се дели со осум е триесет и два. Кога се делиме добиваме четири. Од триесет и пет одземе триесет и два и добиваме три. Резултат: четири цели и три осмини.

Равенство на броител и именител. И тука сè е многу едноставно и убаво. Ако броителот и именителот се еднакви, резултатот е едноставно еден.

Во оваа статија ќе разгледаме множење мешани броеви. Прво, ќе го претставиме правилото за множење мешани броеви и ќе ја разгледаме примената на ова правило при решавање на примери. Следно ќе зборуваме за множење мешан број и природен број. Конечно, ќе научиме како да множиме мешан број и заедничка дропка.

Навигација на страница.

Множење мешани броеви.

Множење мешани броевиможе да се сведе на множење на обични дропки. За да го направите ова, доволно е да ги претворите мешаните броеви во неправилни дропки.

Ајде да го запишеме правило за множење на мешани броеви:

Прво, мешаните броеви што се множат мора да се заменат со несоодветни дропки;
Второ, треба да го користите правилото за множење дропки со дропки.

Ајде да погледнеме примери за примена на ова правило при множење мешан број со мешан број.

Изведете множење на мешани броеви и .

Прво, да ги претставиме мешаните броеви кои се множат како неправилни дропки: И . Сега можеме да го замениме множењето на мешани броеви со множење на обични дропки: . Применувајќи го правилото за множење дропки, добиваме . Добиената дропка е несводлива (види сведувачки и нередуцирани дропки), но е неправилна (види правилни и неправилни дропки), затоа, за да се добие конечниот одговор, останува да се изолира целиот дел од неправилната дропка: .

Да го запишеме целото решение во еден ред: .

За да ги зајакнете вештините за множење мешани броеви, размислете за решавање на друг пример.

Направете го множењето.

Смешни броеви и се еднакви на дропките 13/5 и 10/9, соодветно. Потоа . Во оваа фаза, време е да се потсетиме на намалувањето на дропка: заменете ги сите броеви во дропката со нивно разложување на прости множители и извршите намалување на идентични фактори.

Множење мешан број и природен број

Откако ќе замените мешан број со неправилна дропка, множење мешан и природен бројдоведува до множење на обична дропка и природен број.

Помножете го мешаниот број и природниот број 45.

Тогаш, мешан број е еднаков на дропка . Да ги замениме броевите во добиената дропка со нивни разложувања на прости множители, да извршиме намалување и потоа да го избереме целиот дел: .

Множењето на мешан и природен број понекогаш погодно се врши со користење на дистрибутивното својство на множење во однос на собирањето. Во овој случај, производот на мешан број и природен број е еднаков на збирот на производите од цел број со дадениот природен број и дробниот дел од дадениот природен број, т.е. .

Пресметајте го производот.

Да го замениме измешаниот број со збирот на цел број и дробни делови, по што го применуваме дистрибутивното својство на множење: .

Множење мешани броеви и дропкиНајпогодно е да се намали на множење на обични дропки со претставување на мешаниот број што се множи како неправилна дропка.

Помножете го измешаниот број со заедничката дропка 4/15.

Заменувајќи го мешаниот број со дропка, добиваме .

www.cleverstudents.ru

Множење на дропки

§ 140. Дефиниции. 1) Множењето на дропка со цел број е дефинирано на ист начин како и множењето цели броеви, имено: да се помножи број (множител) со цел број (фактор) значи да се состави збир од идентични членови, во кој секој член е еднаков на множителот, а бројот на членовите е еднаков на множителот.

Значи, множењето со 5 значи да се најде збирот:
2) Множење на број (множител) со дропка (фактор) значи наоѓање на оваа дропка од множителот.

Така, наоѓање дропка од даден број, што го разгледавме претходно, сега ќе го наречеме множење со дропка.

3) Да се помножи број (множител) со мешан број (фактор) значи да се помножи множителот прво со цел број на множителот, потоа со дропка од множителот и да се соберат резултатите од овие две множење заедно.

На пример:

Бројот добиен по множењето во сите овие случаи се нарекува работа, односно исто како и при множење цели броеви.

Од овие дефиниции е јасно дека множењето на дробните броеви е дејство кое е секогаш можно и секогаш недвосмислено.

§ 141. Целосноста на овие дефиниции.За да ја разбереме препорачливоста за воведување на последните две дефиниции за множење во аритметика, да го земеме следниот проблем:

Задача. Воз, кој се движи рамномерно, поминува 40 км на час; како да дознаете колку километри ќе помине овој воз за даден број часови?

Ако останеме со таа една дефиниција за множење, која е означена во аритметика со цели броеви (со собирање на еднакви членови), тогаш нашиот проблем би имал три различни решенија, имено:

Ако дадениот број на часови е цел број (на пример, 5 часа), тогаш за да го решите проблемот треба да помножите 40 km со овој број часови.

Ако даден број часови се изрази како дропка (на пример, час), тогаш ќе треба да ја пронајдете вредноста на оваа дропка од 40 km.

Конечно, ако дадениот број часови е измешан (на пример, часови), тогаш 40 km ќе треба да се помножат со цел број содржан во мешаниот број, а на резултатот додадете уште една дропка од 40 km, што е во мешаниот број.

Дефинициите што ги даваме ги дозволуваат сите овие можни случаидај еден општ одговор:

треба да помножите 40 км со даден број часови, што и да е.

Така, ако проблемот е претставен во општ погледЗначи:

Воз, кој се движи рамномерно, поминува v km за еден час. Колку километри ќе помине возот за t часа?

тогаш, без разлика кои се броевите v и t, можеме да дадеме еден одговор: саканиот број се изразува со формулата v · t.

Забелешка. Пронаоѓањето на некоја дропка од даден број, според нашата дефиниција, значи исто како и множење на даден број со оваа дропка; затоа, на пример, наоѓањето 5% (т.е. пет стотинки) од даден број значи исто како и множење на даден број со или со ; наоѓањето 125% од даден број значи исто како и множењето на овој број со или со, итн.

§ 142. Забелешка за тоа кога бројот се зголемува и кога се намалува од множење.

Множењето со правилна дропка го намалува бројот, а множењето со неправилна дропка го зголемува бројот ако оваа неправилна дропка е поголема од една и останува непроменета ако е еднаква на една.
Коментар. При множење на дробни броеви, како и цели броеви, производот се зема еднаков на нула ако некој од факторите е еднаков на нула, така што .

§ 143. Изведување правила за множење.

1) Множење на дропка со цел број. Нека дропка се множи со 5. Тоа значи зголемено за 5 пати. За да се зголеми дропка за 5 пати, доволно е да се зголеми неговиот броител или да се намали неговиот именител за 5 пати (§ 127).

Затоа:
Правило 1. За да помножите дропка со цел број, треба да го помножите броителот со цел број, но именителот да го оставите ист; наместо тоа, можете исто така да го поделите именителот на дропката со дадениот цел број (ако е можно) и да го оставите броителот ист.

Коментар. Производот на дропка и неговиот именител е еднаков на неговиот броител.

Значи:
Правило 2. За да помножите цел број со дропка, треба да го помножите целиот број со броителот на дропката и да го направите овој производ броител, а именителот на оваа дропка да го потпишете како именител.
Правило 3. За да помножите дропка со дропка, треба да го помножите броителот со броителот и именителот со именителот, а првиот производ да го направите броител, а вториот именител на производот.

Коментар. Ова правило може да се примени и за множење на дропка со цел број и цел број со дропка, ако само го сметаме целиот број како дропка со именител од еден. Значи:

Така, трите правила што сега се наведени се содржани во едно, кое генерално може да се изрази на следниов начин:
4) Множење на мешани броеви.

Правило 4. За да множите мешани броеви, треба да ги претворите во неправилни дропки, а потоа да се множите според правилата за множење дропки. На пример:
§ 144. Намалување при множење. При множење на дропки, ако е можно, потребно е да се направи прелиминарно намалување, како што може да се види од следните примери:

Таквото намалување може да се направи затоа што вредноста на дропка нема да се промени ако нејзиниот броител и именителот се намалат за ист број пати.

§ 145. Промена на производ со променливи фактори.Кога факторите се менуваат, производот на дробните броеви ќе се промени на ист начин како и производот од цели броеви (§ 53), имено: ако го зголемите (или намалите) кој било фактор неколку пати, тогаш производот ќе се зголеми (или намали) за истиот износ.

Значи, ако во примерот:
за да помножите неколку дропки, треба да ги помножите нивните броители едни со други и именители едни со други и да го направите првиот производ броител, а вториот именителот на производот.

Коментар. Ова правило може да се примени и за такви производи во кои некои од множителите на бројот се цели броеви или измешани, само ако го земеме целиот број како дропка со именител еден, а мешаните броеви ги претвораме во неправилни дропки. На пример:
§ 147. Основни својства на множењето.Оние својства на множење што ги посочивме за цели броеви (§ 56, 57, 59) важат и за множење на дробни броеви. Дозволете ни да ги посочиме овие својства.

1) Производот не се менува кога се менуваат факторите.

На пример:

Навистина, според правилото од претходниот став, првиот производ е еднаков на дропката, а вториот е еднаков на дропката. Но, овие дропки се исти, бидејќи нивните поими се разликуваат само по редоследот на цели броеви, а производот на цели броеви не се менува кога се менуваат местата на множители.

2) Производот нема да се промени доколку некоја група фактори се замени со нивниот производ.

На пример:

Резултатите се исти.

Од ова својство на множење може да се извлече следниот заклучок:

за да помножите број со производ, можете да го помножите овој број со првиот фактор, да го помножите добиениот број со вториот, итн.

На пример:
3) Дистрибутивен закон на множење (во однос на собирањето). За да помножите збир со број, можете да го помножите секој член посебно со тој број и да ги додадете резултатите.

Овој закон беше објаснет од нас (§ 59) како што се применува на цели броеви. Останува точно без никакви промени за дробните броеви.

Да покажеме, всушност, дека еднаквоста

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(дистрибутивниот закон за множење во однос на собирањето) останува вистинит дури и кога буквите значат дробни броеви. Да разгледаме три случаи.

1) Прво да претпоставиме дека факторот m е цел број, на пример m = 3 (a, b, c – кои било броеви). Според дефиницијата за множење со цел број, можеме да напишеме (ограничувајќи се на три члена за едноставност):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Врз основа на асоцијативниот закон за собирање, можеме да ги изоставиме сите загради од десната страна; Со примена на комутативниот закон на собирање, а потоа повторно на асоцијативниот закон, очигледно можеме да го преработиме десна странаЗначи:

(а + а + а) + (б + б + б) + (в + в + в).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Тоа значи дека во овој случај се потврдува дистрибутивниот закон.

Множење и делење дропки

Сега е време да се занимаваме со множење и делење. Добрата вест е дека овие операции се уште поедноставни од собирањето и одземањето. Прво, да го разгледаме наједноставниот случај, кога има две позитивни дропки без одделен цел број.

За да поделите две дропки, треба да ја помножите првата дропка со „превртената“ втора дропка.

По дефиниција имаме:

Множење дропки со цели делови и негативни дропки

Плус по минус дава минус;
Два негатива прават афирмативен.

Негативите ги прецртуваме во парови додека целосно не исчезнат. Во екстремни случаи, може да преживее еден минус - оној за кој немаше партнер;
Ако нема никакви минуси, операцијата е завршена - можете да започнете со множење. Ако последниот минус не е пречкртан затоа што немало пар за него, го вадиме надвор од границите на множење. Резултатот е негативна дропка.

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Обрнете внимание и на негативните броеви: кога се множат, тие се затворени во загради. Ова е направено со цел да се одделат минусите од знаците за множење и да се направи целата нотација попрецизна.

Намалување на фракции во лет

Задача. Најдете го значењето на изразот:

По дефиниција имаме:

Во сите примери со црвено се означени бројките што се намалени и што останало од нив.

Ве молиме имајте предвид: во првиот случај, множителите беа целосно намалени. На нивно место остануваат единици кои, генерално кажано, не треба да се пишуваат. Во вториот пример, не беше можно да се постигне целосно намалување, но вкупниот износ на пресметки сепак се намали.

Не можете да го направите тоа!

Едноставно нема други причини за намалување на дропките, така што точното решение на претходниот проблем изгледа вака:

Како што можете да видите, точниот одговор се покажа дека не е толку убав. Во принцип, бидете внимателни.

Множење на дропки.

За правилно множење дропка со дропка или дропка со број, треба да знаете едноставни правила. Сега детално ќе ги анализираме овие правила.

Множење на заедничка дропка со дропка.

За да помножите дропка со дропка, треба да го пресметате производот на броителите и производот на именители на овие дропки.

Ајде да погледнеме на пример:
Броителот на првата дропка го множиме со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка го множиме со именителот на втората дропка.

Множење на дропка со број.

Прво, да се потсетиме на правилото, кој било број може да се претстави како дропка \(\bf n = \frac \) .

Ајде да го користиме ова правило при множење.

Несоодветната дропка \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) беше претворена во мешана дропка.

Со други зборови, Кога множиме број со дропка, го множиме бројот со броителот и го оставаме именителот непроменет.Пример:

Множење мешани дропки.

За да множите мешани дропки, прво мора да ја претставите секоја мешана дропка како неправилна дропка, а потоа да го користите правилото за множење. Броителот го множиме со броителот, а именителот со именителот.

Множење на реципрочни дропки и броеви.

Поврзани прашања:
Како да се помножи дропка со дропка?
Одговор: Производот на обичните дропки е множење на броител со броител, именител со именител. За да го добиете производот од мешаните фракции, треба да ги претворите во неправилна дропка и да се множите според правилата.

Како да се множат дропки со различни именители?
Одговор: не е важно дали се исти или различни именителиЗа дропки, множењето се случува според правилото за наоѓање на производот на броителот со броителот, именителот со именителот.

Како да се множат мешаните дропки?
Одговор: пред сè, треба да ја претворите мешаната дропка во неправилна дропка, а потоа да го пронајдете производот користејќи ги правилата за множење.

Како да помножите број со дропка?
Одговор: го множиме бројот со броителот, но именителот го оставаме ист.

Пример #1:
Пресметајте го производот: а) \(\frac \times \frac \) б) \(\frac \times \frac \)

Пример #2:
Пресметај ги производите на број и дропка: а) \(3 \пати \фрак \) б) \(\фрак \пати 11\)

Пример #3:
Напиши го реципроцитетот на дропката \(\frac \)?
Одговор: \(\frac = 3\)

Пример #4:
Пресметајте го производот на две меѓусебно инверзни дропки: а) \(\frac \times \frac \)

Пример #5:
Дали реципрочните дропки можат да бидат:
а) истовремено со соодветни дропки;
б) истовремено неправилни фракции;
в) истовремено природни броеви?

Решение:
а) за да одговориме на првото прашање, да дадеме пример. Дропката \(\frac \) е правилна, нејзината инверзна дропка ќе биде еднаква на \(\frac \) - неправилна дропка. Одговор: не.

б) во скоро сите набројувања на дропки овој услов не е исполнет, но има некои броеви кои го исполнуваат условот истовремено да се неправилна дропка. На пример, неправилна дропка е \(\frac \) , нејзината инверзна дропка е еднаква на \(\frac \). Добиваме две неправилни дропки. Одговор: не секогаш под одредени услови кога броителот и именителот се еднакви.

в) природните броеви се броеви што ги користиме при броење, на пример, 1, 2, 3, .... Ако го земеме бројот \(3 = \frac \), тогаш неговата инверзна дропка ќе биде \(\frac \). Дропката \(\frac \) не е природен број. Ако ги поминеме сите броеви, реципроцитетот на бројот е секогаш дропка, освен 1. Ако го земеме бројот 1, тогаш неговата реципрочна дропка ќе биде \(\frac = \frac = 1\). Бројот 1 е природен број. Одговор: тие можат истовремено да бидат природни броеви само во еден случај, ако тоа е бројот 1.

Пример #6:
Направете го производот од измешаните дропки: а) \(4 \пати 2\фрак \) б) \(1\фрак \пати 3\фрак \)

Решение:
а) \(4 \пати 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
б) \(1\frac \пати 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Пример #7:
Дали можат да постојат два реципрочни броја во исто време? мешани броеви?

Ајде да погледнеме на пример. Да земеме измешана дропка \(1\frac \), да ја најдеме нејзината инверзна дропка, за да го направиме тоа ја претвораме во неправилна дропка \(1\frac = \frac \) . Нејзината инверзна дропка ќе биде еднаква на \(\frac \) . Дропката \(\frac\) е правилна дропка. Одговор: Две дропки кои се меѓусебно инверзни не можат да бидат мешани броеви во исто време.

Множење децимална со природен број

Презентација за лекцијата

Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

На забавен начин преставете им го на учениците правилото за множење децимална дропка со природен број, со единица вредност и правилото за изразување децимална дропка во проценти. Развијте ја способноста за примена на стекнатото знаење при решавање на примери и проблеми.
Да се развие и активира логичното размислување на учениците, способноста да се идентификуваат обрасците и да се генерализираат, да се зајакне меморијата, способноста за соработка, давање помош, оценување на сопствената работа и работата на едни со други.
Негувајте интерес за математика, активност, мобилност и комуникациски вештини.

Опрема:интерактивна табла, постер со циферграм, постери со изјави од математичари.

Време на организирање.
Усна аритметика – генерализација на претходно изучен материјал, подготовка за изучување на нов материјал.
Објаснување на нов материјал.
Домашна задача.
Математичко физичко образование.
Генерализирање и систематизирање на стекнатото знаење на разигран начин со користење на компјутер.
Оценување.

2. Момци, денес нашата лекција ќе биде невообичаена, бидејќи нема да ја предавам сам, туку со мојот пријател. И мојот пријател е исто така необичен, ќе го видите сега. (На екранот се појавува компјутер од цртан филм.) Мојот пријател има име и може да зборува. Како се викаш другар? Компоша одговара: „Моето име е Компоша“. Дали сте подготвени да ми помогнете денес? ДА! Па, тогаш, да ја започнеме лекцијата.

Денес добив шифрирана циферграма, момци, која мора заедно да ја решиме и дешифрираме. (Постер со вербално броењена собирање и одземање децимали, како резултат на што децата го добиваат следниот код 523914687. )

Компоша помага да се дешифрира примениот код. Резултатот од декодирањето е зборот МНОЖЕЊЕ. Множењето е клучен збортеми на денешниот час. На мониторот се прикажува темата на часот: „Множење децимална дропка со природен број“

Момци, знаеме да се множиме природни броеви. Денес ќе разгледаме множење децимални броеви со природен број. Множењето децимална дропка со природен број може да се смета како збир на членови, од кои секој е еднаков на оваа децимална дропка, а бројот на членовите е еднаков на овој природен број. На пример: 5,21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Значи, 5,21 ·3 = 15,63. Презентирајќи го 5.21 како заедничка дропка на природен број, добиваме

И во овој случај го добивме истиот резултат: 15,63. Сега, игнорирајќи ја запирката, наместо бројот 5.21, земете го бројот 521 и помножете го со овој природен број. Овде мораме да запомниме дека во еден од факторите запирката е поместена две места надесно. При множење на броевите 5, 21 и 3, добиваме производ еднаков на 15,63. Сега во овој пример ја поместуваме запирката на лево две места. Така, за колку пати е зголемен еден од факторите, за колку пати е намален производот. Врз основа на сличностите на овие методи, ќе извлечеме заклучок.

Да се размножуваат децималназа природен број, потребно е:
1) без да обрнувате внимание на запирката, множете ги природните броеви;
2) во добиениот производ, одделете онолку цифри од десно со запирка колку што има во децималната дропка.

Следниве примери се прикажани на мониторот, кои ги анализираме заедно со Компоша и момците: 5,21 ·3 = 15,63 и 7,624 ·15 = 114,34. Потоа прикажувам множење со кружен број 12,6 · 50 = 630. Следно, продолжувам кон множење децимална дропка со единица вредност на место. Ги прикажувам следните примери: 7.423 · 100 = 742.3 и 5.2 · 1000 = 5200. Значи, го воведувам правилото за множење децимална дропка со цифрена единица:

За да помножите децимална дропка со цифри единици 10, 100, 1000 итн., треба да ја поместите децималната точка во оваа дропка надесно за онолку места колку што има нули во цифрената единица.

Моето објаснување го завршувам со изразување на децималната дропка во проценти. Го воведувам правилото:

За да изразите децимална дропка како процент, мора да ја помножите со 100 и да го додадете знакот %.

Ќе дадам пример на компјутер: 0,5 100 = 50 или 0,5 = 50%.

4. На крајот од објаснувањето им давам на момците домашна работа, кој исто така се прикажува на компјутерскиот монитор: № 1030, № 1034, № 1032.

5. За да се одморат малку момците, заедно со Компоша правиме сесија по математичко физичко образование за да ја консолидираме темата. Сите стануваат, ги покажуваат решените примери на одделението и мора да одговорат дали примерот е решен правилно или неточно. Ако примерот е решен правилно, тогаш тие ги креваат рацете над главите и плескаат со дланките. Ако примерот не е решен правилно, момците ги истегнуваат рацете на страните и ги истегнуваат прстите.

6. И сега малку се одморивте, можете да ги решите задачите. Отворете го учебникот на страница 205, № 1029. Во оваа задача треба да ја пресметате вредноста на изразите:

Задачите се појавуваат на компјутерот. Како што се решаваат, се појавува слика со ликот на чамец што исплива кога целосно ќе се склопи.

Со решавање на оваа задача на компјутер, ракетата постепено се преклопува, по решавањето на последниот пример, ракетата лета. Наставникот им дава малку информации на учениците: „Секоја година од почвата на Казахстан, од космодромот Бајконур, тие полетуваат до ѕвездите вселенски бродови. Казахстан го гради својот нов космодром Бајтерек во близина на Бајконур.

Колку далеку ќе помине патнички автомобил за 4 часа ако брзината на патничкиот автомобил е 74,8 km/h.

Сертификат за подарок Не знаете што да му подарите на вашиот близок, пријатели, вработени, роднини? Искористете ја нашата специјална понуда: „Подарок сертификат за хотелот Blue Sedge Country.” Сертификатот дава […]

Замена на мерач на гас: правила за трошоци и замена, работен век, список на документи Секој сопственик на имот е заинтересиран за висококвалитетните перформанси на мерачот на гас. Доколку не го замените навреме, тогаш [...]

Бенефиции за деца во Краснодар и Краснодарската територија во 2018 година Населението на топлиот (во споредба со многу други региони на Русија) Кубан постојано расте поради миграцијата и зголемувањето на наталитетот. Сепак, властите на оваа тема […]

Инвалидска пензија за воен персонал во 2018 година Воениот рок е дејност која се карактеризира со посебен здравствен ризик. Затоа, законодавството на Руската Федерација предвидува посебни услови за притвор на лица со посебни потреби, [...]

Детски бенефиции во Самара и регионот Самара во 2018 година Поволностите за малолетни лица во регионот Самара се наменети за граѓаните кои воспитуваат деца од предучилишна возраст и ученици. При доделување средства не само [...]

Одредба за пензија за жителите на Краснодар и Краснодарската територија во 2018 година Инвалидните лица признати како такви со закон добиваат финансиска поддршка од државата. Преправајте се дека буџетски ресурси […]

Одредба за пензија за жителите на Челјабинск и регионот Челјабинск во 2018 година На возраст утврдена со закон, граѓаните добиваат право на пензиско обезбедување. Може да биде различно и условите за закажување варираат. На пример, […]

Бенефиции за деца во Московскиот регион во 2018 година Социјалната политика на Московскиот регион е насочена кон идентификување на семејствата на кои им е потребна дополнителна поддршка од благајната. Мерки за федерална поддршка за семејства со деца во 2018 година […]

Содржина на лекцијата

Собирање на дропки со слични именители

Постојат два вида на собирање на дропки:

Собирање на дропки со слични именители
Собирање на дропки со различни именители

Прво, да научиме собирање дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет. На пример, да ги додадеме дропките и . Додадете ги броителите и оставете го именителот непроменет:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако додадете пица на пицата, добивате пица:

Пример 2.Додадете дропки и .

Одговорот се покажа како несоодветна дропка. Кога ќе дојде крајот на задачата, вообичаено е да се ослободите од несоодветните фракции. За да се ослободите од несоодветна фракција, треба да го изберете целиот дел од неа. Во нашиот случај, целиот дел лесно се изолира - два поделени со два еднакви:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пица која е поделена на два дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате една цела пица:

Пример 3. Додадете дропки и .

Повторно, ги собираме броителите и го оставаме именителот непроменет:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на три дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате пица:

Пример 4.Најдете ја вредноста на изразот

Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Броителите мора да се додадат, а именителот да остане непроменет:

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пици на пица и додадете повеќе пици, ќе добиете 1 цела пица и повеќе пици.

Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во собирањето дропки со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:

За да додадете дропки со ист именител, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет;

Собирање на дропки со различни именители

Сега да научиме како да собираме дропки со различни именители. При собирање дропки, именителите на дропките мора да бидат исти. Но, тие не се секогаш исти.

На пример, дропките може да се додаваат затоа што имаат исти именители.

Но, дропките не можат веднаш да се соберат, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.

Постојат неколку начини за намалување на дропките на ист именител. Денес ќе разгледаме само еден од нив, бидејќи другите методи може да изгледаат комплицирани за почетник.

Суштината на овој метод е дека прво се пребарува LCM на именители на двете дропки. LCM потоа се дели со именителот на првата дропка за да се добие првиот дополнителен фактор. Истото го прават и со втората дропка - LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор.

Броителите и именителот на дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие дејства, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки.

Пример 1. Да ги собереме дропките и

Како прво, го наоѓаме најмалиот заеднички множител на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 2. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 6

LCM (2 и 3) = 6

Сега да се вратиме на дропките и . Прво, поделете го LCM со именителот на првата дропка и добијте го првиот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 6 со 3, добиваме 2.

Добиениот број 2 е првиот дополнителен множител. Го запишуваме до првата дропка. За да го направите ова, направете мала коси линија над дропот и запишете го дополнителниот фактор што се наоѓа над неа:

Истото го правиме и со втората дропка. LCM го делиме со именителот на втората дропка и го добиваме вториот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на втората дропка е бројот 2. Поделете 6 со 2, добиваме 3.

Добиениот број 3 е вториот дополнителен множител. Го запишуваме до втората дропка. Повторно, правиме мала коси линија над втората дропка и го запишуваме дополнителниот фактор пронајден над неа:

Сега имаме сè подготвено за додавање. Останува да се помножат броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни фактори:

Погледнете внимателно до што дојдовме. Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:

Ова го комплетира примерот. Излегува да се додаде .

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пица на пица, добивате една цела пица и уште една шестина од пица:

Намалувањето на дропките на ист (заеднички) именител може да се прикаже и со помош на слика. Намалувајќи ги дропките и на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие две фракции ќе бидат претставени со исти парчиња пица. Единствената разлика ќе биде што овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви акции (сведени на ист именител).

Првиот цртеж претставува дропка (четири парчиња од шест), а вториот цртеж претставува дропка (три дела од шест). Додавајќи ги овие парчиња добиваме (седум парчиња од шест). Оваа дропка е неправилна, па затоа го истакнавме целиот дел од неа. Како резултат на тоа, добивме (една цела пица и друга шеста пица).

Ве молиме имајте предвид дека овој пример го опишавме премногу детално. ВО образовните институцииНе е вообичаено да се пишува толку детално. Треба да можете брзо да го најдете LCM на именителот и дополнителните фактори за нив, како и брзо да ги помножите пронајдените дополнителни фактори со вашите броителите и именители. Ако бевме на училиште, ќе требаше да го напишеме овој пример на следниов начин:

Но, исто така постои задна странамедали. Ако не земате детални белешки во првите фази од изучувањето на математиката, тогаш почнуваат да се појавуваат прашања од тој вид. „Од каде доаѓа тој број?“, „Зошто дропките одеднаш се претвораат во сосема различни дропки? «.

За полесно да додавате дропки со различни именители, можете да ги користите следните чекор-по-чекор инструкции:

Најдете LCM на именители на дропки;
Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка;
Помножете ги броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни множители;
Додадете дропки кои имаат исти именители;
Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, тогаш изберете го целиот негов дел;

Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот .

Ајде да ги користиме упатствата дадени погоре.

Чекор 1. Најдете го LCM на именителот на дропките

Најдете го LCM на именителот на двете дропки. Именители на дропките се броевите 2, 3 и 4

Чекор 2. Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка

Поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 2. Поделете 12 со 2, добиваме 6. Го добивме првиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над првата дропка:

Сега го делиме LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Го добиваме вториот дополнителен фактор 4. Го запишуваме над втората дропка:

Сега го делиме LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на третата дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Го добиваме третиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над третата дропка:

Чекор 3. Помножете ги броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни множители

Ги множиме броителите и именителот со нивните дополнителни фактори:

Чекор 4. Додадете дропки со исти именители

Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. Останува само да се додадат овие фракции. Додај го:

Додавањето не одговараше на една линија, па го преместивме преостанатиот израз во следниот ред. Ова е дозволено во математиката. Кога изразот не одговара на една линија, тој се преместува во следниот ред, и потребно е да се стави знак за еднаквост (=) на крајот од првиот ред и на почетокот на новиот ред. Знакот за еднаквост на вториот ред покажува дека ова е продолжение на изразот што беше на првиот ред.

Чекор 5. Ако одговорот се покаже дека е неправилна дропка, тогаш изберете го целиот негов дел

Нашиот одговор се покажа како неправилна дропка. Мораме да истакнеме цел дел од тоа. Истакнуваме:

Добивме одговор

Одземање на дропки со слични именители

Постојат два вида на одземање на дропки:

Одземање на дропки со слични именители
Одземање на дропки со различни именители

Прво, да научиме како да одземаме дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка, но именителот да го оставите ист.

На пример, да ја најдеме вредноста на изразот . За да го решите овој пример, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот непроменет. Да го направиме ова:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:

Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот.

Повторно, од броителот на првата дропка, одземете го броителот на втората дропка и оставете го именителот непроменет:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на три дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:

Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот

Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Од броителот на првата дропка треба да ги одземете броителите на останатите дропки:

Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во одземањето на дропките со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:

За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот непроменет;
Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, тогаш треба да го истакнете целиот дел од него.

Одземање на дропки со различни именители

На пример, може да одземе дропка од дропка бидејќи дропките имаат исти именители. Но, не можете да одземете дропка од дропка, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.

Заедничкиот именител се наоѓа користејќи го истиот принцип што го користевме кога собиравме дропки со различни именители. Најпрво пронајдете го LCM на именителот на двете дропки. Потоа LCM се дели со именителот на првата дропка и се добива првиот дополнителен фактор кој се запишува над првата дропка. Слично, LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор кој е запишан над втората дропка.

Дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие операции, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки.

Пример 1.Најдете го значењето на изразот:

Овие дропки имаат различни именители, затоа треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.

Прво го наоѓаме LCM на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 4. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 12

LCM (3 и 4) = 12

Сега да се вратиме на дропки и

Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Запишете четворка над првата дропка:

Истото го правиме и со втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Запишете тројка над втората дропка:

Сега сме подготвени за одземање. Останува да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:

Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:

Добивме одговор

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако ја исечете пицата од пица, добивате пица

Ова е деталната верзија на решението. Да бевме на училиште, овој пример ќе требаше да го решиме пократко. Таквото решение би изгледало вака:

Намалувањето на дропките до заеднички именител може да се прикаже и со помош на слика. Сведувајќи ги овие дропки на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие дропки ќе бидат претставени со исти парчиња пица, но овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви делови (сведени на ист именител):

На првата слика е прикажана дропка (осум парчиња од дванаесет), а на втората слика е прикажана дропка (три парчиња од дванаесет). Со сечење три парчиња од осум парчиња, добиваме пет парчиња од дванаесет. Дропката ги опишува овие пет парчиња.

Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот

Овие дропки имаат различни именители, па прво треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.

Да го најдеме LCM на именителот на овие дропки.

Именители на дропките се броевите 10, 3 и 5. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Сега наоѓаме дополнителни фактори за секоја дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на секоја дропка.

Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на првата дропка е бројот 10. Поделете 30 со 10, го добиваме првиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над првата дропка:

Сега наоѓаме дополнителен фактор за втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 30, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 30 со 3, го добиваме вториот дополнителен фактор 10. Го запишуваме над втората дропка:

Сега наоѓаме дополнителен фактор за третата дропка. Поделете го LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на третата дропка е бројот 5. Поделете 30 со 5, го добиваме третиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над третата дропка:

Сега сè е подготвено за одземање. Останува да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:

Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го завршиме овој пример.

Продолжението на примерот нема да се вклопи на една линија, па продолжението го преместуваме во следниот ред. Не заборавајте за знакот за еднаквост (=) на новата линија:

Одговорот се покажа како редовна дропка, и се чини дека сè ни одговара, но е премногу гломазен и грд. Треба да го направиме поедноставно. Што може да се направи? Можете да ја скратите оваа фракција.

За да намалите дропка, треба да ги поделите неговиот броител и именителот со (GCD) од броевите 20 и 30.

Значи, го наоѓаме gcd на броевите 20 и 30:

Сега се враќаме на нашиот пример и го делиме броителот и именителот на дропката со пронајдениот gcd, односно со 10

Добивме одговор

Множење на дропка со број

За да помножите дропка со број, треба да го помножите броителот на дадената дропка со тој број и да го оставите именителот ист.

Пример 1. Помножете дропка со бројот 1.

Помножете го броителот на дропката со бројот 1

Снимката може да се сфати како да трае половина време. На пример, ако земете пица еднаш, добивате пица

Од законите за множење знаеме дека ако множителот и факторот се заменат, производот нема да се промени. Ако изразот е напишан како , тогаш производот сепак ќе биде еднаков на . Повторно, правилото за множење цел број и дропка функционира:

Оваа нотација може да се сфати како преземање на половина од еден. На пример, ако има 1 цела пица и земеме половина од неа, тогаш ќе имаме пица:

Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот

Помножете го броителот на дропката со 4

Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:

Изразот може да се сфати како преземање две четвртини 4 пати. На пример, ако земете 4 пици, ќе добиете две цели пици

И ако го замениме множителот и множителот, го добиваме изразот . Исто така, ќе биде еднакво на 2. Овој израз може да се сфати како преземање две пици од четири цели пици:

Множење на дропки

За да множите дропки, треба да ги помножите нивните броители и именители. Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, треба да го истакнете целиот дел од него.

Пример 1.Најдете ја вредноста на изразот.

Добивме одговор. Препорачливо е да се намали оваа фракција. Дропката може да се намали за 2. Тогаш конечното решение ќе ја добие следната форма:

Изразот може да се разбере како да се земе пица од половина пица. Да речеме дека имаме половина пица:

Како да земете две третини од оваа половина? Прво треба да ја поделите оваа половина на три еднакви делови:

И земете две од овие три парчиња:

Ќе направиме пица. Запомнете како изгледа пицата кога е поделена на три дела:

Едно парче од оваа пица и двете парчиња што ги земавме ќе имаат исти димензии:

Со други зборови, зборуваме за пица со иста големина. Затоа вредноста на изразот е

Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот

Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:

Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:

Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот

Одговорот се покажа како правилна дропка, но би било добро да се скрати. За да ја намалите оваа дропка, треба да ги поделите броителот и именителот на оваа дропка со најголемиот заеднички делител (GCD) од броевите 105 и 450.

Значи, да го најдеме gcd на броевите 105 и 450:

Сега ги делиме броителот и именителот на нашиот одговор со gcd што сега го најдовме, односно со 15

Претставување цел број како дропка

Секој цел број може да се претстави како дропка. На пример, бројот 5 може да се претстави како . Ова нема да го промени значењето на пет, бидејќи изразот значи „бројот пет поделен со еден“, а ова, како што знаеме, е еднакво на пет:

Реципрочни броеви

Сега ќе се запознаеме со многу интересна темапо математика. Тоа се нарекува „обратни броеви“.

Дефиниција. Обратно на бројота е број кој, кога ќе се помножи соа дава еден.

Ајде да ја замениме оваа дефиниција наместо променливата аброј 5 и обидете се да ја прочитате дефиницијата:

Обратно на бројот 5 е број кој, кога ќе се помножи со 5 дава еден.

Дали е можно да се најде број кој, помножен со 5, дава еден? Излегува дека е можно. Ајде да замислиме пет како дропка:

Потоа помножете ја оваа дропка сама по себе, само заменете ги броителот и именителот. Со други зборови, ајде да ја помножиме дропот сама по себе, само наопаку:

Што ќе се случи како резултат на ова? Ако продолжиме да го решаваме овој пример, ќе добиеме еден:

Ова значи дека инверзната на бројот 5 е бројот, бидејќи кога ќе помножите 5 со ќе добиете еден.

Реципроцитет на број може да се најде и за кој било друг цел број.

Можете да го најдете и реципроцитетот на која било друга дропка. За да го направите ова, само превртете го.

Делење дропка со број

Да речеме дека имаме половина пица:

Ајде да го поделиме подеднакво на две. Колку пица ќе добие секој човек?

Се гледа дека по делењето на половина од пицата се добиени две еднакви парчиња, од кои секое претставува пица. Значи секој добива пица.

Поделбата на дропките се врши со помош на реципрочни. Реципрочните броеви ви дозволуваат да го замените делењето со множење.

За да поделите дропка со број, треба да ја помножите дропот со инверзната на делителот.

Користејќи го ова правило, ќе ја запишеме поделбата на нашата половина од пицата на два дела.

Значи, треба да ја поделите дропот со бројот 2. Овде дивидендата е дропка, а делителот е бројот 2.

За да поделите дропка со бројот 2, треба да ја помножите оваа дропка со реципроцитет на делителот 2. Реципроцитет на делителот 2 е дропка. Значи треба да се множи со