Google-ийн дараа юу ирдэг. Дэлхийн хамгийн том тоо
Хүүхэд байхдаа бид арав, дараа нь зуу, дараа нь мянга хүртэл тоолж сурсан. Тэгэхээр таны мэдэх хамгийн том тоо хэд вэ? Мянга, сая, тэрбум, их наяд ... Тэгээд дараа нь? Дэлбээ SI угтварыг огт өөр ойлголттой андуурсан тул хэн нэгэн буруу хэлэх болно.
Үнэндээ асуулт нь анх харахад тийм ч энгийн зүйл биш юм. Нэгдүгээрт, мянганы эрх мэдлийг нэрлэх тухай ярьж байна. Эндээс харахад олон хүмүүсийн америк кинонуудаас мэддэг хамгийн эхний нюанс бол манай тэрбумыг тэрбум гэж нэрлэдэг.
Цаашилбал, урт ба богино гэсэн хоёр төрлийн масштаб байдаг. Манай улсад богино хэмжээний масштабыг ашигладаг. Энэ масштабаар алхам бүрт манти нь гурван шатлалаар нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл. мянгаар үржүүлэх - мянга 10 3, сая 10 6, тэрбум / тэрбум 10 9, их наяд (10 12). Урт хугацаанд тэрбум 10 9-ийн дараа тэрбум 10 12 гарч ирэх бөгөөд ирээдүйд мантис аль хэдийн зургаан баллын дарааллаар нэмэгдэж, их наяд гэж нэрлэгддэг дараагийн тоо нь аль хэдийн 10 18 болж байна.
Гэхдээ бидний төрөлх хэмжүүр рүү буцах. Их наядын дараа юу болохыг мэдмээр байна уу? Та бүхэн:
10 3 мянга
10 6 сая
10 9 тэрбум
10 12 их наяд
10 15 квадриллион
10 18 квинтиллион
10 21 секстиллион
10 24 септийл
10 27 найм
10 30 тэрбум биш
10 33 децилл
10 36 дециллион
10 39 тэрбум
10 42 гурван тэрбум
10 45 кваттуордециллион
10 48 квиндиллион
10 51 sedecillion
10 54 septdecillion
10 57 дуодевигинтиллион
10 60 unvigintillion
10 63 вигинтиллион
10 66 жилийн өмнөх
10 69 дуовигинтиллион
10 72 тревигинтиллион
10 75 кватторвигинтиллион
10 78 квинвинтиллион
10 81 сексвигинтиллион
10 84 есдүгээр сар
10 87 октовигинтиллион
арваннэгдүгээр сарын 10 90
10 93 тригинтиллион
10 96 антиригинтиллион
Энэ тоогоор бидний богино хэмжээ зогсохгүй, ирээдүйд мантиса аажмаар нэмэгддэг.
10 100 гоол
10 123 квадрагинтиллон
10 153 квинвагинтиллион
10,183 сексагинтиллион
10 213 септуагинтиллион
10,243 октогинтиллион
10,273 нагинтиллион
10 303 центиль
10 306 зуун сая
10 309 центдуоллион
10 312 центриллион
10 315 цент квадриллион
10 402 центтртригинтиллион
10,603 децентиллион
10 903 трецентиллион
10 1203 квадрингиллион
10 1503 квингентиллион
10 1803 сецентиллион
10 2103 септингентиллион
10 2403 октингентиллион
10 2703 гентиллион
10 3003 сая
10 6003 тэрбум
10 9003 триллион
10 3000003 миамимилиа
10 6000003 дуомяммилиаиллион
10 10 100 googolplex
10 3×n+3 зия
googol(Англи хэлнээс googol) - аравтын бутархай тооллын системд 100 тэгтэй нэгжээр илэрхийлэгдэх тоо:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
1938 онд Америкийн математикч Эдвард Каснер (Эдвард Каснер, 1878-1955) хоёр зээтэйгээ цэцэрлэгт хүрээлэнд алхаж, тэдэнтэй олон тооны талаар ярилцаж байв. Ярилцлагын үеэр бид зуун тэгтэй, өөрийн гэсэн нэргүй тооны талаар ярилцав. Түүний ач хүүгийн нэг болох есөн настай Милтон Сиротта энэ дугаарыг "гоогол" гэж нэрлэхийг санал болгов. 1940 онд Эдвард Каснер Жеймс Ньюмантай хамтран "Математик ба төсөөлөл" ("Математик дахь шинэ нэрс") хэмээх шинжлэх ухааны алдартай ном бичиж, математик сонирхогчдод гооголын тооны талаар заажээ.
"Гоогол" гэсэн нэр томьёо нь онолын ноцтой утгагүй бөгөөд практик үнэ цэнэ. Каснер үүнийг төсөөлшгүй их тоо ба хязгааргүй байдлын ялгааг харуулахын тулд санал болгосон бөгөөд энэ зорилгоор заримдаа энэ нэр томъёог математикийн хичээлд ашигладаг.
Googolplex(Англи хэлнээс googolplex) - тэгийн googol бүхий нэгжээр илэрхийлэгдсэн тоо. Googol-ийн нэгэн адил googolplex гэсэн нэр томъёог Америкийн математикч Эдвард Каснер болон түүний ач хүү Милтон Сиротта нар бий болгосон.
Гооголын тоо нь орчлон ертөнцийн бидэнд мэдэгдэж байгаа хэсгийн бүх бөөмсийн тооноос их буюу 1079-1081. Иймд (googol + 1) цифрээс бүрдэх googolplexes-ийн тоог бичих боломжгүй. Мэдэгдэж байгаа бүх бодис нь орчлон ертөнцийн зарим хэсгийг цаас, бэх болгон эсвэл компьютерийн дискний зай болгон хувиргадаг ч гэсэн сонгодог "аравтын" хэлбэр.
Зиллион(eng. zillion) нь маш их тооны нийтлэг нэр юм.
Энэ нэр томъёонд математикийн хатуу тодорхойлолт байдаггүй. 1996 онд Конвей (Англи J. H. Conway) болон Guy (Англи R. K. Guy) нар "Англи хэл" номондоо. Тооны номонд n-р зэрэглэлийн триллионыг 10 3×n+3 гэж богино хэмжээний тоо нэрлэх системийн хувьд тодорхойлсон.
Шинжлэх ухааны ертөнц нь мэдлэгээрээ гайхалтай. Гэсэн хэдий ч дэлхийн хамгийн гайхалтай хүн хүртэл бүгдийг нь ойлгож чадахгүй. Гэхдээ та үүний төлөө хичээх хэрэгтэй. Тийм ч учраас энэ нийтлэлд би хамгийн том тоо гэж юу болохыг олж мэдэхийг хүсч байна.
Системийн тухай
Юуны өмнө дэлхий дээр тоонуудыг нэрлэх хоёр систем байдаг: Америк, Англи. Үүнээс хамааран ижил дугаарыг өөр өөрөөр дуудаж болно, гэхдээ тэдгээр нь ижил утгатай. Тодорхой бус байдал, төөрөгдөлөөс зайлсхийхийн тулд хамгийн эхэнд эдгээр нюансуудыг шийдвэрлэх шаардлагатай байна.
Америкийн систем
Энэ системийг зөвхөн Америк, Канадад төдийгүй Орос улсад ашигладаг нь сонирхолтой байх болно. Нэмж дурдахад энэ нь өөрийн гэсэн шинжлэх ухааны нэртэй байдаг: богино хэмжээний тоонуудыг нэрлэх систем. Энэ системд их тоог хэрхэн дууддаг вэ? За, нууц нь маш энгийн. Хамгийн эхэнд латин дарааллын дугаар байх бөгөөд үүний дараа сайн мэдэх "-сая" дагавар залгах болно. Дараах баримт нь сонирхолтой байх болно: орчуулгад Латин"сая" тоог "мянган" гэж орчуулж болно. Дараах тоонууд Америкийн системд хамаарна: триллион нь 10 12, квинтилион нь 10 18, октилион нь 10 27 гэх мэт. Мөн тоонд хэдэн тэг бичигдсэнийг олоход хялбар байх болно. Үүнийг хийхийн тулд та энгийн томъёог мэдэх хэрэгтэй: 3 * x + 3 (томьёоны "x" нь Латин тоо юм).
Англи систем
Гэсэн хэдий ч Америкийн системийн энгийн хэдий ч англи систем нь дэлхийд илүү түгээмэл хэвээр байгаа бөгөөд энэ нь урт масштабтай тоонуудыг нэрлэх систем юм. 1948 оноос хойш энэ нь Франц, Их Британи, Испани зэрэг улс орнуудад ашиглагдаж байна. хуучин колониудАнгли, Испани. Энд тоонуудыг бүтээх нь маш энгийн: Латин тэмдэглэгээнд "-сая" дагавар нэмсэн. Цаашилбал, хэрэв энэ тоо 1000 дахин их бол "-тэрбум" дагавар аль хэдийн нэмэгдсэн байна. Тоон дотор нуугдсан тэгийн тоог яаж олох вэ?
- Хэрэв тоо нь "-сая" -аар төгссөн бол 6 * x + 3 ("x" нь Латин тоо) томъёо хэрэгтэй болно.
- Хэрэв энэ тоо "-тэрбум"-аар төгссөн бол 6 * x + 6 томьёо хэрэгтэй болно ("x" нь дахин Латин тоо юм).
Жишээ
Дээр энэ үе шатжишээлбэл, бид ижил тоонуудыг хэрхэн дуудахыг авч үзэх боломжтой, гэхдээ өөр масштабаар.
Та ижил нэртэй болохыг хялбархан харж болно өөр өөр системүүдаа гэсэн үг өөр өөр тоо. Их наяд шиг. Тиймээс, тоог харгалзан та эхлээд ямар системээр бичигдсэнийг олж мэдэх хэрэгтэй.
Системээс гадуурх дугаарууд
Системийн дугаараас гадна системээс гадуурх дугаарууд байдгийг дурдах нь зүйтэй. Магадгүй тэдний дунд хамгийн олон нь алдагдсан байх? Үүнийг судалж үзэх нь зүйтэй юм.
- Google. Энэ тоо нь арваас зуу дахь зэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл нэгийн араас зуун тэг (10,100) байна. Энэ тоог анх 1938 онд эрдэмтэн Эдвард Каснер дурдсан байдаг. Маш сонирхолтой баримт: Дэлхийн хайлтын систем "Google" нь тухайн үед нэлээд олон тооны Google-ийн нэрээр нэрлэгдсэн. Мөн энэ нэр Каснерын залуу дүүтэй хамт гарч ирэв.
- Асанхия. Энэ бол санскрит хэлнээс "тоо томшгүй олон" гэж орчуулагдсан маш сонирхолтой нэр юм. Түүний тоон утга нь 140 тэгтэй нэг - 10140. Дараахь баримт нь сонирхолтой байх болно: үүнийг МЭӨ 100 жилийн өмнө хүмүүс мэддэг байсан. д., Буддын шашны алдарт зохиол болох Жайна сударт бичсэнээр нотлогддог. Нирванад хүрэхийн тулд ижил тооны сансрын мөчлөг шаардлагатай гэж үздэг тул энэ тоог онцгой гэж үздэг байв. Мөн тухайн үед энэ тоо хамгийн томд тооцогддог байв.
- Googolplex. Энэ дугаарыг ижил Эдвард Каснер болон түүний дээр дурдсан ач хүү зохион бүтээжээ. Түүний тоон тэмдэглэгээ нь араваас арав дахь хүч бөгөөд энэ нь эргээд зуу дахь хүчнээс (өөрөөр хэлбэл арав хүртэлх googolplex хүч) бүрдэнэ. Эрдэмтэн мөн ийм байдлаар та хүссэн хэмжээгээрээ тоо авах боломжтой гэж хэлсэн: googoltetraplex, googolhexaplex, googoloctaplex, googoldekaplex гэх мэт.
- Грахамын тоо бол Г. Энэ нь 1980 онд Гиннесийн амжилтын номонд бүртгэгдсэн хамгийн том тоо юм. Энэ нь googolplex болон түүний деривативуудаас хамаагүй том юм. Эрдэмтэд бүхэл бүтэн орчлон ертөнц Грахамын тооны аравтын бутархай тэмдэглэгээг бүхэлд нь багтаах боломжгүй гэж хэлсэн.
- Мозерын тоо, Скевесийн тоо. Эдгээр тоонууд нь хамгийн том тоонуудын нэг бөгөөд янз бүрийн таамаглал, теоремуудыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашиглагддаг. Эдгээр тоог нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хуулиар бичих боломжгүй тул эрдэмтэн бүр үүнийг өөрийнхөөрөө хийдэг.
Хамгийн сүүлийн үеийн хөгжил
Гэсэн хэдий ч төгс төгөлдөрт хязгаар байхгүй гэдгийг хэлэх нь зүйтэй болов уу. Хамгийн олон тооны эрдэмтэд хараахан олдоогүй гэдэгт олон эрдэмтэд итгэж байсан бөгөөд одоо ч итгэдэг. Мэдээжийн хэрэг, үүнийг хийх нэр төрийн хэрэг тэдэнд унах болно. энэ төсөл дээр урт хугацааМиссуригийн Америкийн эрдэмтэн ажиллаж байсан бөгөөд түүний ажил амжилттай болсон. 2012 оны 1-р сарын 25-нд тэрээр арван долоон сая цифрээс бүрдэх дэлхийн хамгийн том шинэ тоог олсон (энэ нь Мерсений 49 дэх тоо юм). Анхаарна уу: тэр үеийг хүртэл хамгийн том тоо нь 2008 онд компьютерийн олсон тоо байсан бөгөөд 12 мянган оронтой бөгөөд дараах байдалтай байв: 2 43112609 - 1.
Эхний удаа биш
Үүнийг шинжлэх ухааны судлаачид нотолсон гэдгийг хэлэх нь зүйтэй болов уу. Энэ тоог гурван эрдэмтэн өөр өөр компьютер дээр гурван түвшний баталгаажуулалтад хамруулсан бөгөөд үүнд 39 хоног зарцуулсан. Гэсэн хэдий ч эдгээр нь Америкийн эрдэмтний эрэл хайгуулын анхны амжилт биш юм. Өмнө нь тэр аль хэдийн хамгийн их тоог нээсэн байсан. Энэ нь 2005, 2006 онд болсон. 2008 онд компьютер Кертис Куперийн ялалтын цувралыг тасалдуулж байсан ч 2012 онд тэрээр далдуу модыг эргүүлэн авч, нээлтийн гавьяат цолыг авсан юм.
Системийн тухай
Энэ бүхэн хэрхэн болдог вэ, эрдэмтэд хамгийн том тоог хэрхэн олох вэ? Тиймээс өнөөдөр тэдний ихэнх ажлыг компьютер хийдэг. Энэ тохиолдолд Купер тархсан тооцоолол ашигласан. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Эдгээр тооцоог судалгаанд сайн дураараа оролцохоор шийдсэн интернет хэрэглэгчдийн компьютерт суулгасан программуудаар хийдэг. Энэхүү төслийн хүрээнд Францын математикчийн нэрээр нэрлэгдсэн 14 Мерсений тоог тодорхойлсон (эдгээр нь зөвхөн өөртөө болон нэгээр хуваагддаг анхны тоонууд юм). Томъёоны хэлбэрээр энэ нь дараах байдалтай байна: M n = 2 n - 1 (энэ томьёоны "n" нь натурал тоо).
Урамшууллын тухай
Логик асуулт гарч ирж магадгүй: эрдэмтэд энэ чиглэлээр ажиллахад юу нөлөөлдөг вэ? Тэгэхээр энэ нь мэдээжийн хэрэг анхдагч болох хүсэл эрмэлзэл, хүсэл эрмэлзэл юм. Гэсэн хэдий ч энд ч гэсэн урамшуулал байдаг: Куртис Купер өөрийн оюун ухаанд зориулж 3000 долларын мөнгөн шагнал авсан. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм. Цахим хилийн тусгай сан (товчлол: EFF) ийм хайлтыг дэмжиж, 100 сая, нэг тэрбум анхны тоо илгээсэн хүмүүст нэн даруй 150,000, 250,000 долларын мөнгөн шагнал олгохоо амлаж байна. Тиймээс өнөөдөр дэлхий даяар асар олон тооны эрдэмтэд энэ чиглэлээр ажиллаж байгаа нь эргэлзээгүй юм.
Энгийн дүгнэлт
Тэгвэл өнөөдрийн хамгийн том тоо хэд вэ? Дээр Энэ мөчҮүнийг Миссуригийн Их Сургуулийн Америкийн эрдэмтэн Куртис Купер олсон бөгөөд үүнийг дараах байдлаар бичиж болно: 2 57885161 - 1. Түүнээс гадна энэ нь Францын математикч Мерсенний 48 дахь тоо юм. Гэхдээ эдгээр хайлтанд төгсгөл байхгүй гэдгийг хэлэх нь зүйтэй болов уу. Тодорхой хугацааны дараа эрдэмтэд дэлхийн дахин олдсон хамгийн том тоог бидэнд өгөх нь гайхах зүйл биш юм. Энэ нь маш ойрын ирээдүйд болно гэдэгт эргэлзэхгүй байна.
Өдөр бүр тоо томшгүй олон янзын тоо биднийг хүрээлж байдаг. Олон хүмүүс ядаж нэг удаа аль тоог хамгийн том гэж үздэгийг гайхаж байсан нь лавтай. Энэ бол сая гэж та хүүхдэд зүгээр л хэлж болно, гэхдээ бусад тоо саяыг дагадаг гэдгийг насанд хүрэгчид сайн мэддэг. Жишээлбэл, тоо бүрт нэгийг нэмэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь улам бүр нэмэгдэх болно - энэ нь хязгааргүй тохиолддог. Гэхдээ хэрэв та нэртэй тоонуудыг задалж үзвэл дэлхийн хамгийн том тоог юу гэж нэрлэдэг болохыг олж мэдэх боломжтой.
Тоонуудын нэрсийн дүр төрх: ямар аргыг ашигладаг вэ?
Өнөөдрийг хүртэл тоонуудад нэр өгдөг 2 систем байдаг - Америк, Англи. Эхнийх нь маш энгийн, хоёр дахь нь дэлхий даяар хамгийн түгээмэл байдаг. Америкчууд танд нэр өгөхийг зөвшөөрдөг том тооТиймээс: эхлээд латин хэл дээрх дарааллын тоог зааж, дараа нь "сая" гэсэн дагавар залгана (энд үл хамаарах зүйл нь сая, мянга гэсэн үг). Энэ системийг америк, франц, канадчууд ашигладаг бөгөөд манайд ч ашигладаг.
Англи, Испанид англи хэл өргөн хэрэглэгддэг. Үүний дагуу тоонуудыг ингэж нэрлэсэн: Латин хэл дээрх тоо нь "сая" дагавартай "нэмэх", дараагийн (мянга дахин их) тоо нь "нэмэх" "тэрбум" юм. Жишээлбэл, нэг их наяд нэгдүгээрт, араас нь их наяд, квадриллион нь квадриллион гэх мэт.
Тиймээс өөр өөр систем дэх ижил тоо нь өөр өөр утгатай байж болно, жишээлбэл, Английн систем дэх Америкийн тэрбумыг тэрбум гэж нэрлэдэг.
Системээс гадуурх дугаарууд
Мэдэгдэж буй системүүдийн дагуу бичигдсэн тооноос гадна (дээр дурдсан) системээс гадуурх тоонууд бас байдаг. Тэд латин угтварыг оруулаагүй өөрийн гэсэн нэртэй байдаг.
Та тэдний асуудлыг тоо томшгүй олон тоогоор эхлүүлж болно. Энэ нь зуун зуу (10000) гэж тодорхойлогддог. Гэхдээ энэ үгийг зориулалтын дагуу ашигладаггүй, харин тоо томшгүй олон тооны шинж тэмдэг болгон ашигладаг. Далын толь бичиг хүртэл ийм тооны тодорхойлолтыг эелдэгээр өгөх болно.
Тоо томшгүй олон тооны дараа дараагийнх нь 100-ын хүчийг илэрхийлдэг гоогол юм. Энэ нэрийг анх удаа 1938 онд Америкийн математикч Э.Каснер ашигласан бөгөөд түүний ач хүү энэ нэрийг гаргасан гэж тэмдэглэжээ.
Google (хайлтын систем) нь Google-ийг хүндэтгэн нэрээ авсан. Тэгвэл тэгийн гооголтой 1 (1010100) нь googolplex юм - Каснер ч бас ийм нэрийг гаргаж ирсэн.
Гүүголплексээс ч том нь Скузегийн Риманы таамаглалыг батлахдаа санал болгосон Скевесийн тоо (e-ээс e-ээс e79-ийн хүч) юм. анхны тоонууд(1933). Өөр нэг Skewes тоо байдаг, гэхдээ энэ нь Римманы таамаглал шударга бус үед хэрэглэгддэг. Тэдгээрийн аль нь илүү болохыг хэлэхэд хэцүү байдаг, ялангуяа том хэмжээний тухай ярихад. Гэсэн хэдий ч энэ тоо хэдийгээр "асар том хэмжээтэй" ч гэсэн өөрийн гэсэн нэртэй хүмүүсийн дундаас хамгийн олон нь гэж үзэж болохгүй.
Мөн дэлхийн хамгийн том тоонуудын дунд тэргүүлэгч нь Грэмийн дугаар (G64) юм. Математикийн шинжлэх ухааны салбарт анх удаа нотлох баримт гаргахад түүнийг ашигласан (1977).
Ийм тооны тухай ярих юм бол та Кнутын бүтээсэн 64 түвшний тусгай системгүйгээр хийх боломжгүй гэдгийг мэдэх хэрэгтэй - үүний шалтгаан нь G тоог бихромат гиперкубуудтай холбосон явдал юм. Кнут дээд зэргийн зэрэглэлийг зохион бүтээсэн бөгөөд үүнийг бичихэд хялбар болгохын тулд дээшээ сум ашиглахыг санал болгов. Тиймээс бид дэлхийн хамгийн том тоог юу гэж нэрлэдэгийг олж мэдсэн. Энэ G тоо хуудаснууд дээр гарсан гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй алдартай номбичлэгүүд.
10-аас 3003 градус хүртэл
Аль нь хамгийн их вэ гэдэг маргаан том тооДэлхий дээр үргэлжилж байна. Төрөл бүрийн тооцооллын системийг санал болгодог янз бүрийн хувилбаруудмөн хүмүүс юунд итгэхээ мэдэхгүй, ямар дүрсийг хамгийн том гэж үзэхээ мэдэхгүй байна.
Энэ асуулт Ромын эзэнт гүрний үеэс эхлэн эрдэмтдийн сонирхлыг татсаар ирсэн. Хамгийн том гацаа нь "тоо" гэж юу вэ, "тоо" гэж юу вэ гэдгийг тодорхойлоход оршдог. Нэгэн цагт хүмүүс хамгийн их тоог децилл, өөрөөр хэлбэл 10-аас 33-р зэрэглэл гэж үздэг байв. Гэвч эрдэмтэд Америк, Английн хэмжүүрийн системийг идэвхтэй судалж эхэлсний дараа дэлхийн хамгийн том тоо нь 10-аас 3003-аас нэг сая болох нь тогтоогджээ. Эрэгтэйчүүд Өдөр тутмын амьдралхамгийн их тоо нь их наяд гэж бодъё. Түүгээр ч барахгүй энэ нь нэлээд албан ёсны хэрэг, учир нь нэг их наядын дараа нэр өгөхгүй, учир нь данс нь хэтэрхий төвөгтэй байдаг. Гэхдээ цэвэр онолын хувьд тэгийн тоог хязгааргүй нэмж болно. Тиймээс, цэвэр харааны их наяд, түүний дараа юу болохыг төсөөлөх нь бараг боломжгүй юм.
ром тоогоор
Нөгөөтэйгүүр математикчдийн ойлголтод "тоо" гэсэн тодорхойлолт арай өөр байдаг. Дүрс гэдэг нь нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэг бөгөөд тоогоор илэрхийлсэн хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэхэд хэрэглэгддэг. "Тоо" гэсэн хоёрдахь ойлголт нь тоон үзүүлэлтийг тоон утгыг ашиглан тохиромжтой хэлбэрээр илэрхийлэхийг хэлнэ. Үүнээс үзэхэд тоонууд нь цифрүүдээс бүрддэг. Зураг нь тэмдгийн шинж чанартай байх нь бас чухал юм. Тэд болзолт, танигдах, өөрчлөгдөх боломжгүй. Тоонууд нь бас тэмдгийн шинж чанартай байдаг боловч тоо нь цифрүүдээс бүрддэг тул тэдгээр нь үүсдэг. Эндээс бид их наяд гэдэг огт тоо биш, харин тоо гэсэн дүгнэлтэд хүрч болно. Тэгвэл энэ нь нэг их наяд биш бол дэлхийн хамгийн том тоо хэд вэ?
Хамгийн гол нь тоог бүрдүүлэгч тоо болгон ашигладаг, гэхдээ зөвхөн үүгээр зогсохгүй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид зарим зүйлийг тэгээс ес хүртэл тоолж байгаа бол энэ тоо ижил байна. Ийм тэмдгийн систем нь зөвхөн бидэнд танил болсон араб тоонууд төдийгүй Ромын I, V, X, L, C, D, M. Эдгээр нь Ромын тоонууд юм. Нөгөө талаас, V I I I нь Ромын тоо юм. Араб хэлээр энэ нь найман тоотой тохирч байна.
араб тоогоор
Тиймээс тэгээс ес хүртэлх нэгжийг тоолох нь тоо гэж тооцогддог бөгөөд бусад бүх зүйл нь тоо юм. Эндээс дэлхийн хамгийн том тоо есөн гэсэн дүгнэлт гарч байна. 9 нь тэмдэг, тоо нь энгийн тоон хийсвэрлэл юм. Их наяд бол тоо биш харин тоо, тиймээс дэлхийн хамгийн том тоо байж чадахгүй. Нэг триллионыг дэлхийн хамгийн том тоо, дараа нь зөвхөн нэрлэсэн тоо гэж нэрлэж болно, учир нь тоог хязгааргүй хүртэл тоолж болно. Цифрүүдийн тоо хатуу хязгаарлагдмал - 0-ээс 9 хүртэл.
Араб, Ромын тоо, тоо бүхий жишээнүүдээс харахад янз бүрийн тооцооллын системийн тоо, тоо таарахгүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Учир нь тоо, тоо гэдэг нь хүн өөрөө зохиосон энгийн ойлголт юм. Тиймээс нэг тооцооллын системийн тоо нь нөгөөгийнх нь тоо байж болно.
Тиймээс хамгийн том тоог тоолж баршгүй, учир нь цифрүүдээс тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлэн нэмж болно. Тоонуудын хувьд нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн системд 9-ийг хамгийн том тоо гэж үздэг.
Тооны цуваа нь дээд хязгааргүй тул энэ асуултад зөв хариулах боломжгүй юм. Тиймээс аль ч тоон дээр нэгийг нэмэхэд л хангалттай. Хэдийгээр тоонууд нь өөрөө хязгааргүй боловч ихэнх нь жижиг тоонуудаас бүрдсэн нэрэнд сэтгэл хангалуун байдаг тул тэдгээр нь тийм ч олон зохих нэргүй байдаг. Жишээлбэл, тоонууд нь "нэг" ба "зуун" гэсэн нэртэй байдаг бөгөөд тооны нэр нь аль хэдийн нийлмэл байдаг ("нэг зуун нэг"). Хүн төрөлхтөний олгосон хязгаарлагдмал тооны тоонд байгаа нь тодорхой юм өөрийн нэрхамгийн том тоо байх ёстой. Гэхдээ үүнийг юу гэж нэрлэдэг, юутай тэнцүү вэ? Үүнийг ойлгохыг хичээцгээе, мөн тэр үед математикчид ямар том тоог гаргаж ирснийг олж мэдье.
"Богино" ба "урт" масштаб
Өгүүллэг орчин үеийн системОлон тооны нэрс нь 15-р зууны дунд үеэс Италид "сая" (шууд утгаараа - том мянга) гэсэн үгийг мянган квадрат, "бимиллион" -ыг нэг сая квадрат, "тримиллион" гэж хэрэглэж эхэлсэн үеэс эхэлдэг. сая кубын төлөө. Францын математикч Николас Чуке (1450 - 1500 он) -ын ачаар бид энэ системийн талаар мэддэг болсон: "Тооны шинжлэх ухаан" (Triparty en la Science des nombres, 1484) зохиолдоо тэрээр энэ санааг боловсруулж, цаашдын үйл ажиллагааг санал болгожээ. Латин кардинал тоонуудыг ашиглана уу (хүснэгтийг үз), "-сая" төгсгөлд нэмнэ. Ингээд Шүкээгийн "бимиллиан" тэрбум болж, "гурван сая" нь их наяд болж, дөрөв дэх зэрэглэлийн нэг сая нь "квадриллион" болж хувирав.
Шукегийн системд саяас тэрбум хүртэлх тоо нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаггүй бөгөөд зүгээр л "мянган сая", "мянган тэрбум", "мянган их наяд" гэх мэтээр нэрлэдэг байв. Энэ нь тийм ч тохиромжтой биш байсан бөгөөд 1549 онд Францын зохиолч, эрдэмтэн Жак Пелетье ду Манс (1517-1582) ийм "завсрын" тоог ижил латин угтвар, харин "-тэрбум" гэсэн төгсгөлийг ашиглан нэрлэхийг санал болгов. Тиймээс үүнийг "тэрбум", - "билльярд", - "триллиард" гэх мэт нэрлэж эхэлсэн.
Shuquet-Peletier систем нь аажмаар түгээмэл болж, Европ даяар ашиглагдаж эхэлсэн. Гэсэн хэдий ч 17-р зуунд гэнэтийн асуудал гарч ирэв. Зарим эрдэмтэд яагаад ч юм андуурч, энэ тоог "тэрбум", "мянган сая" биш, харин "тэрбум" гэж нэрлэх болсон нь тодорхой болов. Удалгүй энэ алдаа хурдан тархаж, парадокс нөхцөл байдал үүссэн - "тэрбум" нь "тэрбум" () ба "сая сая" () гэсэн үгийн ижил утгатай болсон.
Энэхүү төөрөгдөл удаан хугацаанд үргэлжилж, АНУ-д тэд олон тооны нэр өгөх системийг бий болгоход хүргэсэн. Америкийн системийн дагуу тоонуудын нэрийг Шуке системтэй ижил аргаар бүтээдэг - Латин угтвар ба "сая" гэсэн төгсгөл. Гэсэн хэдий ч эдгээр тоо өөр байна. Хэрэв Schuecke системд "сая" гэсэн төгсгөлтэй нэрс нь саяын хүчирхэг тоог хүлээн авдаг байсан бол Америкийн системд "-сая" гэсэн төгсгөл нь мянганы хүчийг хүлээн авдаг. Өөрөөр хэлбэл, мянган сая () нь "тэрбум", () - "их наяд", () - "квадриллион" гэх мэт нэртэй болсон.
Олон тооны нэрийг нэрлэх хуучин системийг консерватив Их Британид үргэлжлүүлэн хэрэглэж, Францын Шукет, Пелетье нар зохион бүтээсэн ч дэлхий даяар "Британ" гэж нэрлэгдэж эхэлсэн. Гэсэн хэдий ч 1970-аад онд Их Британи албан ёсоор "Америкийн систем" рүү шилжсэн нь нэг системийг Америк, нөгөө системийг Британи гэж нэрлэх нь ямар нэгэн байдлаар хачирхалтай болоход хүргэсэн. Үүний үр дүнд Америкийн системийг одоо "богино хэмжээний", Британийн буюу Чукет-Пелетиерийн системийг "урт масштаб" гэж нэрлэх болсон.
Төөрөлдөхгүйн тулд завсрын үр дүнг нэгтгэн дүгнэж үзье.
| Тооны нэр | "Богино хэмжээний" үнэ цэнэ | "Урт цар хүрээ" дэх үнэ цэнэ |
| Сая | ||
| Тэрбум | ||
| Тэрбум | ||
| бильярд | - | |
| Их наяд | ||
| их наяд | - | |
| квадриллион | ||
| квадриллион | - | |
| квинтилион | ||
| квинтиллион | - | |
| Секстиллион | ||
| Секстиллион | - | |
| Септилион | ||
| Септиллиард | - | |
| Октилион | ||
| Октиллиард | - | |
| квинтилион | ||
| Ниллиардгүй | - | |
| Дециллион | ||
| Децилярд | - | |
| Вигинтилион | ||
| Вигин тэрбум | - | |
| Центиллион | ||
| Цент тэрбум | - | |
| сая сая | ||
| Миллиард | - |
Богино нэршлийн хуваарийг одоогоор АНУ, Их Британи, Канад, Ирланд, Австрали, Бразил, Пуэрто Рикод ашиглаж байна. Орос, Дани, Турк, Болгар зэрэг улсууд ч гэсэн богино хэмжигдэхүүнийг ашигладаг бөгөөд энэ тоог "тэрбум" гэхээсээ илүү "тэрбум" гэж нэрлэдэг. Урт хэмжүүрийг өнөөдөр бусад ихэнх улс орнуудад ашигласаар байна.
Манай улсад богино хэмжээст шилжилт зөвхөн 20-р зууны хоёрдугаар хагаст болсон нь сонин юм. Жишээлбэл, Яков Исидорович Перелман (1882-1942) хүртэл "Зөөлөн арифметик" номондоо ЗХУ-д хоёр масштаб зэрэгцэн оршдог тухай дурдсан байдаг. Перелманы хэлснээр богино масштабыг өдөр тутмын амьдрал, санхүүгийн тооцоололд ашигладаг байсан бол уртыг одон орон, физикийн шинжлэх ухааны номонд ашигласан. Гэсэн хэдий ч одоо ОХУ-д олон тоо байгаа хэдий ч урт масштаб ашиглах нь буруу юм.
Гэхдээ хамгийн их тоог олох руу буцах. Аравтын дараа угтваруудыг нэгтгэн тоонуудын нэрийг гаргана. Индециллион, 12 дециллион, тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион, сексдециллион, септемдециллион, найм дециллион, новемдециллион гэх мэт тоонуудыг олж авдаг. Гэсэн хэдий ч, бид хамгийн том тоог өөрийн нийлмэл бус нэртэй олохоор тохиролцсон тул эдгээр нэрс бидний сонирхлыг татахаа больсон.
Хэрэв бид латин хэлний дүрэмд хандвал Ромчууд араваас дээш тооны нийлмэл бус гурван нэр л байсныг олж мэдэх болно: viginti - "хорин", centum - "нэг зуун", mille - "мянган". "Мянган" -аас дээш тооны хувьд Ромчууд өөрсдийн гэсэн нэртэй байсангүй. Жишээлбэл, нэг сая () Ромчууд үүнийг "decies centena milia", өөрөөр хэлбэл "арав дахин зуун мянга" гэж нэрлэдэг байв. Schuecke-ийн дүрмийн дагуу эдгээр гурван үлдсэн латин тоо нь бидэнд "вигинтиллион", "центиллион", "сая" гэх мэт тооны нэрийг өгдөг.
Тиймээс, "богино хэмжээний" хувьд өөрийн гэсэн нэртэй, жижиг тоонуудын нийлмэл биш хамгийн дээд тоо нь "сая" () болохыг олж мэдсэн. Хэрэв Орос улсад тоонуудыг нэрлэх "урт масштаб" батлагдсан бол өөрийн гэсэн нэртэй хамгийн том тоо нь "сая сая" байх болно.
Гэсэн хэдий ч үүнээс ч илүү тооны нэрс байдаг.
Системээс гадуурх тоонууд
Зарим тоо нь латин угтвар ашиглан нэрлэх системтэй ямар ч холбоогүй өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Мөн ийм олон тоо бий. Жишээлбэл, та е тоо, "пи" тоо, арав, араатны тоо гэх мэтийг санаж болно. Гэсэн хэдий ч бид одоо олон тооны тоонуудыг сонирхож байгаа тул бид зөвхөн тэдгээр тоонуудыг зөвхөн өөр өөр тоогоор авч үзэх болно. сая гаруй нийлмэл нэр.
17-р зууныг хүртэл Орос улс тоог нэрлэх өөрийн системийг ашигладаг. Хэдэн арван мянгатыг "харанхуй", хэдэн зуун мянгатыг нь "легион", саяыг нь "леодра", хэдэн арван саяыг нь "хэрээ", хэдэн зуун саяыг "дац" гэж нэрлэдэг байв. Хэдэн зуун сая хүртэлх энэ дансыг "жижиг данс" гэж нэрлэдэг байсан бөгөөд зарим гар бичмэлд зохиогчид "их данс" гэж үздэг байсан бөгөөд үүнд ижил нэрсийг олон тоогоор ашигласан боловч өөр утгатай байв. Тэгэхээр "харанхуй" гэдэг нь арван мянга биш, мянган мянга гэсэн үг юм () , "легион" - эдгээрийн харанхуй () ; "леодр" - легионуудын легион () , "хэрээ" - Леодр Леодров (). Агуу славян хэл дээрх "тац" нь ямар нэг шалтгаанаар "хэрээ хэрээ" гэж нэрлэгддэггүй байв. () , гэхдээ зөвхөн арван "хэрээ", өөрөөр хэлбэл (хүснэгтийг үз).
| Тооны нэр | "Бага тоо" гэсэн утгатай | "Агуу данс" дахь утга | Зориулалт |
| Харанхуй | |||
| Легион | |||
| Леодр | |||
| Хэрээ (хэрээ) | |||
| Тавцан | |||
| Сэдвүүдийн харанхуй байдал |  |
Энэ тоо нь бас өөрийн гэсэн нэртэй бөгөөд есөн настай хүүгийн зохион бүтээсэн. Тэгээд ийм байсан. 1938 онд Америкийн математикч Эдвард Каснер (Эдвард Каснер, 1878–1955) хоёр зээтэйгээ цэцэрлэгт хүрээлэнд алхаж, тэдэнтэй олон тооны талаар ярилцаж байв. Ярилцлагын үеэр бид зуун тэгтэй, өөрийн гэсэн нэргүй тооны талаар ярилцав. Түүний ач хүүгийн нэг болох есөн настай Милтон Сиротт энэ дугаарыг "гоогол" гэж нэрлэхийг санал болгов. 1940 онд Эдвард Каснер Жеймс Ньюмантай хамтран "Математик ба төсөөлөл" хэмээх шинжлэх ухааны алдартай ном бичиж, математик сонирхогчдод гооголын тооны тухай өгүүлжээ. 1990-ээд оны сүүлээр Google-ийн нэрээр нэрлэгдсэн Google хайлтын системийн ачаар Google улам бүр алдартай болсон.
Гооголоос ч илүү тооны нэр 1950 онд компьютерийн шинжлэх ухааны эцэг Клод Шеннон (Claude Elwood Shannon, 1916–2001)-ийн ачаар үүссэн. Тэрээр “Шатар тоглох компьютерийг програмчлах нь” гэсэн нийтлэлдээ энэ тоог тооцоолохыг оролдсон байна сонголтуудшатрын тоглоом. Үүний дагуу, тоглоом бүр дунджаар нүүдэл хийдэг бөгөөд нүүдэл бүр дээр тоглогч дунджаар сонголтуудыг хийдэг бөгөөд энэ нь тоглоомын сонголттой (ойролцоогоор тэнцүү) тохирдог. Энэ ажил нь олон нийтэд танигдсан бөгөөд өгсөн дугаарШэннон тоо гэж нэрлэгддэг болсон.
МЭӨ 100 онд хамаарах Буддын шашны алдарт "Жайна Билгүүн"-д "асанхэй" тоо нь -тэй тэнцүү байдаг. Энэ тоо нь нирваныг олж авахад шаардагдах сансрын мөчлөгийн тоотой тэнцүү гэж үздэг.
Есөн настай Милтон Сиротта математикийн түүхэнд гооголын тоог зохион бүтээснээс гадна нэгэн зэрэг өөр нэг тоо болох "гооголплекс"-ийг санал болгосноороо "гоогол"-ын чадалтай тэнцэхүйц "googolplex"-ийг санал болгожээ. тэгийн гооголтой.
Өмнөд Африкийн математикч Стэнли Скевес (1899-1988) Риманы таамаглалыг батлахдаа googolplex-ээс том хоёр тоог санал болгосон. Хожим нь "Skews-ийн анхны тоо" гэж нэрлэгдэх болсон эхний тоо нь -ийн зэрэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл,. Гэсэн хэдий ч "хоёр дахь Skewes тоо" нь бүр ч том бөгөөд .
Мэдээжийн хэрэг, градусын тоо их байх тусам тоонуудыг бичиж, уншихдаа утгыг нь ойлгоход хэцүү байдаг. Түүнээс гадна, градусын зэрэг нь хуудсан дээр тохирохгүй байгаа тохиолдолд ийм тоонуудыг гаргаж авах боломжтой (мөн тэдгээрийг аль хэдийн зохион бүтээсэн). Тийм ээ, ямар хуудас вэ! Тэд бүхэл бүтэн ертөнцийн хэмжээтэй номонд ч багтахгүй! Энэ тохиолдолд ийм тоог хэрхэн бичих вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Асуудал нь аз болоход шийдвэрлэх боломжтой бөгөөд математикчид ийм тоог бичих хэд хэдэн зарчмыг боловсруулсан. Үнэн бол энэ асуудлыг асуусан математикч бүр өөрийн гэсэн бичих арга барилтай болсон нь их тоог бичих хэд хэдэн харилцан хамааралгүй аргуудыг бий болгоход хүргэсэн - эдгээр нь Кнут, Конвей, Штайнхаус гэх мэт тэмдэглэгээ юм. Одоо бид үүнийг шийдвэрлэх шаардлагатай болно. тэдний заримтай нь.
Бусад тэмдэглэгээ
1938 онд есөн настай Милтон Сиротта гоогол, гооголплекс тоог гаргаж ирсэн тэр жил Польшид "Математикийн калейдоскоп" нэртэй хөгжилтэй математикийн тухай Хюго Дионизи Штайнхаус (1887–1972) ном хэвлэгджээ. Энэ ном маш их алдартай болж, олон хэвлэлийг дамжиж, англи, орос зэрэг олон хэл рүү орчуулагдсан. Үүнд, Штайнхаус олон тооны талаар ярилцаж байхдаа гурвыг ашиглан бичих энгийн аргыг санал болгож байна геометрийн дүрсүүд- гурвалжин, дөрвөлжин, тойрог:
"гурвалжинд" гэдэг нь "",
"дөрвөлжин" нь "гурвалжинд" гэсэн утгатай.
"тойрог" нь "дөрвөлжин" гэсэн утгатай.
Энэхүү бичих аргыг тайлбарлахдаа Штайнхаус "мега" гэсэн тоог гаргаж ирээд тойрогт тэнцүү бөгөөд энэ нь "дөрвөлжин" эсвэл гурвалжинд тэнцүү болохыг харуулж байна. Тооцоолохын тулд та үүнийг хүчин чадалд өсгөж, үр дүнгийн тоог өсгөж, дараа нь гарсан тоог үр дүнгийн тоонд өсгөж, цаг хугацааны хүчийг нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, MS Windows-ийн тооцоолуур нь хоёр гурвалжинд ч халиснаас болж тооцоолж чадахгүй. Ойролцоогоор энэ асар их тоо нь .
"Мега" тоог тодорхойлсны дараа Штайнхаус уншигчдыг өөр нэг дугаарыг бие даан үнэлэхийг урьж байна - "medzon", дугуй хэлбэртэй тэнцүү. Номын өөр нэг хэвлэлд Штайнхаус medzone-ийн оронд илүү их тоог тооцоолохыг санал болгож байна - "мегистон", тойрогтой тэнцүү. Штайнхаусын дараа би уншигчдад энэ бичвэрээс хэсэг хугацаанд салж, тэдний асар том хэмжээг мэдрэхийн тулд энгийн хүчийг ашиглан эдгээр тоонуудыг өөрсдөө бичихийг зөвлөж байна.
Гэсэн хэдий ч олон тооны нэрс байдаг. Тиймээс Канадын математикч Лео Мозер (Лео Мозер, 1921-1970) Стайнхаусын тэмдэглэгээг эцэслэн боловсруулсан бөгөөд энэ нь хэрэв мегистоноос хамаагүй том тоонуудыг бичих шаардлагатай байсан бол олон тооны бэрхшээл, хүндрэл гарах болно гэсэн үндэслэлээр хязгаарлагддаг. Тойрог бие биенийхээ дотор зурах ёстой. Мозер квадратуудын дараа тойрог биш, харин таван өнцөгт, дараа нь зургаан өнцөгт гэх мэт зурахыг санал болгов. Тэрээр мөн эдгээр олон өнцөгтүүдийн албан ёсны тэмдэглэгээг санал болгосон бөгөөд ингэснээр нарийн төвөгтэй хэв маягийг зурахгүйгээр тоонуудыг бичиж болно. Мозерын тэмдэглэгээ дараах байдалтай байна.
"гурвалжин" = =;
"дөрвөлжинд" = = "гурвалжинд" =;
"бес өнцөгт" = = "дөрвөлжинд" = ;
"in -gon" = = "in -gons" =.
Тиймээс Мозерын тэмдэглэгээний дагуу Steinhausian "mega" нь "medzon" гэж, "megiston" гэж бичдэг. Үүнээс гадна Лео Мозер талуудын тоо нь мегатай тэнцүү олон өнцөгтийг "мегагон" гэж нэрлэхийг санал болгов. Тэгээд дугаар санал болгов « мегагон дотор", өөрөөр хэлбэл. Энэ тоог Мозерын тоо буюу зүгээр л "мозер" гэж нэрлэх болсон.
Гэхдээ "мозер" ч гэсэн хамгийн том тоо биш юм. Тиймээс математикийн нотолгоонд ашигласан хамгийн том тоо бол "Грэмийн тоо" юм. Энэ тоог анх 1977 онд Америкийн математикч Рональд Грахам Рамсигийн онолын нэг тооцоог батлахдаа, тухайлбал тодорхой тоонуудын хэмжээсийг тооцоолохдоо ашиглаж байжээ. - хэмжээстбихроматик гиперкубууд. Грэмийн дугаар Мартин Гарднерийн 1989 онд хэвлэгдсэн "Пенроузын мозайкаас найдвартай шифр хүртэл" номонд бичсэний дараа л алдар нэрийг олж авсан.
Грахамын тоо ямар том болохыг тайлбарлахын тулд 1976 онд Дональд Кнутын танилцуулсан их тоо бичих өөр аргыг тайлбарлах хэрэгтэй. Америкийн профессор Доналд Кнут дээд зэрэглэлийн тухай ойлголтыг гаргаж, сумыг дээш чиглүүлж бичихийг санал болгов.
Нийтлэг арифметик үйлдлүүд - нэмэх, үржүүлэх, нэмэгдүүлэх - байгалийндараах байдлаар гипероператоруудын дараалал болгон өргөжүүлж болно.
Үржүүлэх натурал тоонууддавтан нэмэх үйлдлээр тодорхойлж болно ("тооны хуулбарыг нэмэх"):
Жишээлбэл,
Тоог зэрэглэлд хүргэхийг давтан үржүүлэх үйлдлээр ("тооны хуулбарыг үржүүлэх") тодорхойлж болох бөгөөд Кнутын тэмдэглэгээнд энэ тэмдэглэгээ нь дээш чиглэсэн ганц сум шиг харагдана:
Жишээлбэл,
Ийм ганц дээш сумыг Algol програмчлалын хэлэнд зэрэглэлийн дүрс болгон ашигласан.
Жишээлбэл,
Энд болон доор илэрхийллийн үнэлгээ үргэлж баруунаас зүүн тийш явагддаг, мөн Knuth-ийн сум операторууд (түүнчлэн экспонентиацийн үйлдэл) нь тодорхойлолтоор барууны холбоо (баруунаас зүүн дараалал) байдаг. Энэ тодорхойлолтын дагуу
Энэ нь аль хэдийн нэлээд том тоонд хүргэдэг боловч тэмдэглэгээ үүгээр дуусдаггүй. Гурвалсан сум оператор нь давхар сум операторын давтагдах экспонентацийг бичихэд хэрэглэгддэг (мөн "пентаци" гэж нэрлэдэг):
Дараа нь "дөрвөлсөн сум" оператор:
гэх мэт. Ерөнхий дүрэмоператор "-Бисум" нь баруун нэгдлийн дагуу дараалсан цуврал операторууд руу баруун тийш үргэлжилдэг « сум". Үүнийг бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичиж болно.
Жишээлбэл:
Тэмдэглэгээний хэлбэрийг ихэвчлэн сумаар бичихэд ашигладаг.
Зарим тоонууд нь маш том тул Кнутын сумаар бичих нь хэтэрхий төвөгтэй болдог; Энэ тохиолдолд -arrow операторыг (мөн түүнчлэн хувьсах тооны сумтай тайлбарын хувьд) ашиглах нь илүү тохиромжтой, эсвэл гипероператоруудтай адил юм. Гэхдээ зарим тоо нь маш том тул ийм тэмдэглэгээ ч хангалттай биш юм. Жишээлбэл, Грахамын тоо.
Knuth's Arrow тэмдэглэгээг ашиглах үед Грахамын тоог дараах байдлаар бичиж болно
Давхарга тус бүрийн сумны тоог дээд талаас нь дараагийн давхаргын тоогоор тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл энд , сумны дээд тэмдэг нь нийт сумны тоог заана. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь алхам алхмаар тооцогдоно: эхний шатанд бид гурвын хоорондох дөрвөн сумаар тооцоолно, хоёр дахь нь - гурвын хоорондох сумтай, гурав дахь нь - гурвын хоорондох сумтай гэх мэт; эцэст нь бид гурвалсан хоёрын хоорондох сумнаас тооцоолно.
Үүнийг , энд гэж бичиж болно, энд y дээд тэмдэг нь функцийн давталтуудыг илэрхийлдэг.
Хэрэв "нэр"-тэй бусад тоонууд нь объектын харгалзах тоотой таарч байвал (жишээлбэл, Орчлон ертөнцийн харагдах хэсэг дэх оддын тоог секстилионоор тооцдог - , атомын тоог бүрдүүлдэг. Дэлхий dodecallions дараалалтай), тэгвэл googol нь аль хэдийн "виртуал", Грахамын тоог дурдахгүй. Зөвхөн эхний нэр томъёоны цар хүрээ нь маш том тул үүнийг ойлгох бараг боломжгүй боловч дээрх тэмдэглэгээг ойлгоход харьцангуй хялбар байдаг. Хэдийгээр - гэдэг нь зөвхөн энэ томьёо дахь цамхагийн тоо боловч энэ тоо нь ажиглагдаж болох орчлон ертөнцөд агуулагдах Планкийн хэмжээнээс (хамгийн бага физик эзэлхүүн) хамаагүй их байна (ойролцоогоор ). Эхний гишүүний дараа хурдацтай хөгжиж буй дарааллын өөр нэг гишүүн биднийг хүлээж байна.