A b c co jest równe. Skrócone wzory mnożenia
Wyrażenia matematyczne(formuły) skrócone mnożenie(kwadrat sumy i różnicy, sześcian sumy i różnicy, różnica kwadratów, suma i różnica sześcianów) są niezwykle niezastąpione w wielu dziedzinach nauki ścisłe. Te 7-znakowe wpisy są niezastąpione podczas upraszczania wyrażeń, rozwiązywania równań, mnożenia wielomianów, zmniejszania ułamków, rozwiązywania całek i wielu innych. Dlatego bardzo przydatne będzie ustalenie, w jaki sposób są one uzyskiwane, do czego służą, a co najważniejsze, jak je zapamiętać, a następnie zastosować. Następnie aplikuję skrócone wzory mnożenia w praktyce najtrudniej będzie zobaczyć, co jest X i co. Oczywiście nie ma żadnych ograniczeń a oraz b nie, co oznacza, że może to być dowolne wyrażenie liczbowe lub dosłowne.
A więc oto one:
Pierwszy x 2 - o 2 = (x - y) (x + y).Liczyć różnica kwadratów dwa wyrażenia, konieczne jest pomnożenie różnic tych wyrażeń przez ich sumy.
Drugi (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Znaleźć suma do kwadratu dwa wyrażenia, musisz dodać do kwadratu pierwszego wyrażenia dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia przez drugie plus kwadrat drugiego wyrażenia.
Trzeci (x-y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Liczyć różnica do kwadratu dwa wyrażenia, musisz odjąć od kwadratu pierwszego wyrażenia dwa razy iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie plus kwadrat drugiego wyrażenia.
Czwarty (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 lata + 3x 2 + o 3. Liczyć kostka sumy dwa wyrażenia, musisz dodać do sześcianu pierwszego wyrażenia trzykrotność iloczynu kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego, plus trzykrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego, plus sześcian drugie wyrażenie.
Piąty (x-y) 3 = x 3 - 3x 2 lata + 3x 2 - o 3. Liczyć kostka różnicy dwa wyrażenia, należy odjąć od kostki pierwszego wyrażenia trzykrotność iloczynu kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus trzy razy iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadrat drugiego minus sześcian drugiego wyrażenie.
szósty x 3 + r 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Liczyć suma kostek dwa wyrażenia, musisz pomnożyć sumy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat różnicy tych wyrażeń.
siódmy x 3 - o 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Dokonać obliczeń różnice w kostkach dwa wyrażenia, należy pomnożyć różnicę pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.
Nietrudno zapamiętać, że wszystkie formuły służą do wykonywania obliczeń w odwrotnym kierunku (od prawej do lewej).
O istnieniu tych prawidłowości wiadomo było około 4 tys. lat temu. Były szeroko stosowane przez ludzi starożytny Babilon i Egipt. Ale w tamtych epokach wyrażano je werbalnie lub geometrycznie i nie używano w obliczeniach liter.
Przeanalizujmy suma kwadratowa dowód(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
Ten matematyczna prawidłowość udowodnił, że starożytny grecki naukowiec Euklides, który pracował w Aleksandrii w III wieku pne, zastosował do tego geometryczną metodę udowodnienia wzoru, ponieważ naukowcy starożytnej Hellady również nie używali liter do oznaczania liczb. Wszędzie używali nie „a 2”, ale „kwadratu na segmencie a”, nie „ab”, ale „prostokąta zamkniętego między segmentami a i b”.
Wzory mocy wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania złożonych wyrażeń, w rozwiązywaniu równań i nierówności.
Numer c jest n-ta potęga liczby a gdy:
Operacje ze stopniami.
1. Mnożenie potęg przez ta sama baza ich wyniki to:
jestema n = a m + n .
2. W podziale stopni o tej samej podstawie odejmuje się ich wskaźniki:
3. Stopień iloczynu 2 lub jeszcze czynniki są równe iloczynowi potęg tych czynników:
(abc…) n = a n b n c n …
4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:
(a/b) n = a n / b n .
5. Podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnożymy:
(am) n = am n .
Każda powyższa formuła jest poprawna w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.
Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operacje z korzeniami.
1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:
2. Pierwiastek tego stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnikowi pierwiastków:
3. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wystarczy podnieść liczbę pierwiastka do tej potęgi:
4. Jeśli zwiększymy stopień korzenia w n raz i jednocześnie podnieś do n potęga jest liczbą pierwiastkową, wtedy wartość pierwiastka nie zmieni się:
5. Jeśli zmniejszymy stopień pierwiastka w n rootować w tym samym czasie n th stopień od liczby radykalnej, wtedy wartość pierwiastka nie zmieni się:
Stopień z ujemnym wykładnikiem. Stopień pewnej liczby z wykładnikiem niedodatnim (całkowitym) definiuje się jako podzielony przez stopień tej samej liczby z wykładnikiem równym całkowita wartość wskaźnik niedodatni:
Formuła jestem:a n = a m - n może służyć nie tylko do m> n, ale także w m< n.
Na przykład. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Do formuły jestem:a n = a m - n stał się sprawiedliwy w m=n, potrzebujesz obecności zerowego stopnia.
Stopień z wykładnikiem zerowym. Potęga dowolnej liczby niezerowej z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.
Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą a do pewnego stopnia m/n, musisz wyodrębnić korzeń n stopień m potęga tej liczby a.
Aby uprościć wielomiany algebraiczne, istnieją skrócone wzory mnożenia. Nie ma ich zbyt wiele i są łatwe do zapamiętania, ale trzeba je zapamiętać. Notacja używana we wzorach może przybierać dowolną formę (liczbę lub wielomian).
Pierwsza skrócona formuła mnożenia nazywa się różnica kwadratów. Polega ona na tym, że od kwadratu jednej liczby odejmuje się kwadrat drugiej liczby równy różnicy między tymi liczbami, a także ich iloczynowi.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
Przeanalizujmy dla jasności:
22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)
Druga formuła o suma kwadratów. Wygląda na to, że suma dwóch wartości do kwadratu jest równa kwadratowi pierwszej wartości, dodaje się do niej podwójny iloczyn pierwszej wartości pomnożony przez drugą, dodaje się do nich kwadrat drugiej wartości.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Dzięki temu wzorowi znacznie łatwiej obliczyć kwadrat duża liczba bez użycia komputerów.
Na przykład: kwadrat 112 będzie
1) Na początku przeanalizujemy 112 na liczby, których kwadraty są nam znane
112 = 100 + 12
2) Otrzymany w nawiasie wpisujemy do kwadratu
112 2 = (100+12) 2
3) Stosując formułę otrzymujemy:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
Trzecia formuła to różnica do kwadratu. Co mówi, że dwie wartości odjęte od siebie do kwadratu są równe temu, że od pierwszej wartości do kwadratu odejmujemy iloczyn podwójny pierwszej wartości pomnożony przez drugą, dodając do nich kwadrat drugiej wartości .
(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
gdzie (a - b) 2 równa się (b - a) 2 . Aby to udowodnić, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2
Czwarta skrócona formuła mnożenia nazywa się kostka sumy. Brzmi to tak: dwa wyrazy wartości w sześcianie są równe sześcianowi o wartości 1, dodawany jest potrójny iloczyn 1 wartości do kwadratu pomnożony przez 2 wartość, do nich dodaje się potrójny iloczyn 1 wartości pomnożony przez kwadrat o wartości 2 plus druga wartość w sześcianie.
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Piąta, jak już zrozumiałeś, nazywa się kostka różnicy. Który znajduje różnice między wartościami, ponieważ od pierwszego oznaczenia w sześcianie odejmujemy iloczyn potrójny pierwszego oznaczenia kwadrat pomnożony przez drugie, dodawany jest do nich iloczyn potrójny pierwszego oznaczenia pomnożony przez kwadrat drugiego oznaczenia , minus drugie oznaczenie w kostce.
(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Szósty nazywa się suma kostek. Suma sześcianów jest równa iloczynowi dwóch wyrazów pomnożonych przez niepełny kwadrat różnicy, ponieważ w środku nie ma podwojonej wartości.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)
W inny sposób można powiedzieć, że sumę sześcianów można nazwać iloczynem w dwóch nawiasach.
Siódmy i finał nazywa się różnica kostek(łatwo to pomylić z formułą kostki różnicy, ale to są różne rzeczy). Różnica kostek jest równa iloczynowi różnicy dwóch wartości pomnożonej przez niepełny kwadrat sumy, ponieważ w środku nie ma podwojonej wartości.
a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)
I tak jest tylko 7 wzorów na skrócone mnożenie, są one do siebie podobne i łatwe do zapamiętania, ważne jest tylko, aby nie pomylić się w znakach. Są one również zaprojektowane do używania w odwrotnej kolejności i jest ich sporo w podręcznikach. Bądź ostrożny, a odniesiesz sukces.
Jeśli masz jakieś pytania dotyczące formuł, napisz je w komentarzach. Chętnie Ci odpowiemy!
Jeśli jesteś na urlopie macierzyńskim, ale chcesz zarobić. Wystarczy kliknąć link Internetowy biznes z Oriflame. Wszystko jest napisane i pokazane bardzo szczegółowo. To będzie interesujące!
Służą do uproszczenia obliczeń, a także do rozkładu wielomianów na czynniki, szybkiego mnożenia wielomianów. Większość skróconych wzorów mnożenia można uzyskać z dwumianu Newtona - wkrótce to zobaczysz.
Wzory na kwadraty często używane w obliczeniach. Zaczynają się uczyć w szkolnym programie nauczania od 7 klasy do końca szkolenia, formuły kwadratów i kostek, uczniowie powinni znać na pamięć.
Formuły kostki niezbyt skomplikowane i muszą być znane przy redukcji wielomianów do postaci standardowej, aby uprościć wzrost sumy lub różnicy zmiennej i liczby do sześcianu.
Wzory zaznaczone na czerwono pochodzą z poprzedniego grupowania podobnych terminów.
Wzory dla potęgi czwartej i piątej w kurs szkolny niewiele osób się przyda, jednak są zadania z matematyki wyższej, w których trzeba obliczyć współczynniki potęgowania.
Formuły stopniowe n są namalowane w postaci współczynników dwumianowych za pomocą silni w następujący sposób 
Przykłady zastosowania skróconych wzorów mnożenia
Przykład 1. Oblicz 51^2.
Rozwiązanie. Jeśli masz kalkulator, możesz go łatwo znaleźć
Żartowałem - wszyscy są mądrzy z kalkulatorem, bez niego ... (nie mówmy o smutnych rzeczach).
Bez kalkulatora i znając powyższe zasady znajdujemy kwadrat liczby według reguły
Przykład 2 Znajdź 99^2.
Rozwiązanie. Zastosuj drugą formułę
Przykład 3: Podnoszenie do kwadratu wyrażenia
(x+y-3).
Rozwiązanie. Rozważamy w myślach sumę dwóch pierwszych wyrazów jako jeden wyraz i zgodnie z drugim wzorem na skrócone mnożenie mamy
Przykład 4. Znajdź różnicę kwadratów
11^2-9^2.
Rozwiązanie. Ponieważ liczby są małe, możesz po prostu podstawić wartości kwadratów
Ale nasz cel jest zupełnie inny - nauczyć się, jak używać skróconych formuł mnożenia, aby uprościć obliczenia. W tym przykładzie zastosuj trzecią formułę
Przykład 5. Znajdź różnicę kwadratów
17^2-3^2
.
Rozwiązanie. W tym przykładzie będziesz już chciał poznać zasady, aby zredukować obliczenia do jednej linii
Jak widać, nie zrobiliśmy nic niesamowitego.
Przykład 6: Uprość wyrażenie
(x-y)^2-(x+y)^2.
Rozwiązanie. Możesz układać kwadraty, a później grupować podobne terminy. Można jednak bezpośrednio zastosować różnicę kwadratów 
Proste i bez długich rozwiązań.
Przykład 7. Sześcian wielomianu
x^3-4.
Rozwiązanie . Zastosujmy skróconą formułę mnożenia 5 
Przykład 8. Zapisz jako różnicę kwadratów lub ich sumę
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29
Rozwiązanie. a) Zmień kolejność terminów
b) Uprość na podstawie poprzedniego rozumowania 
Przykład 9. Rozwiń ułamek wymierny
Rozwiązanie. Zastosuj różnicę formuły kwadratów 
Tworzymy układ równań do wyznaczania stałych
Do potrojonego pierwszego równania dodajemy drugie równanie. Znalezioną wartość podstawiamy do pierwszego równania 
Wreszcie rozszerzenie przybiera formę 
Często konieczne jest rozwinięcie ułamka wymiernego przed całkowaniem w celu zmniejszenia potęgi mianownika.
Przykład 10. Używając dwumianu Newtona, pomaluj
wyrażenie (x-a)^7.
Rozwiązanie. Prawdopodobnie już wiesz, czym jest dwumian Newtona. Jeśli nie, poniżej znajdują się współczynniki dwumianowe
Tworzą się one w następujący sposób: wzdłuż krawędzi znajdują się jednostki, współczynniki między nimi w dolnej linii są tworzone przez zsumowanie sąsiednich górnych. Jeśli w pewnym stopniu szukamy różnicy, znaki w harmonogramie zmieniają się z plusa na minus. Tak więc dla siódmego rzędu otrzymujemy następujące wyrównanie
Uważnie przyjrzyj się również, jak zmieniają się wskaźniki - dla pierwszej zmiennej zmniejszają się o jeden w każdym kolejnym okresie odpowiednio, dla drugiego - rosną o jeden. Podsumowując, wskaźniki powinny zawsze być równe stopniowi rozkładu (= 7).
Myślę, że na podstawie powyższego materiału będziesz w stanie rozwiązać problemy na dwumianu Newtona. Naucz się skróconych wzorów mnożenia i stosuj wszędzie tam, gdzie może to uprościć obliczenia i zaoszczędzić czas na zadaniu.