Wykonuj dodawanie i odejmowanie ułamków. Dodawanie ułamków zwykłych o liczbach całkowitych i różnych mianownikach

Jedną z najważniejszych nauk, której zastosowanie widać w takich dyscyplinach jak chemia, fizyka, a nawet biologia, jest matematyka. Studiowanie tej nauki pozwala rozwinąć pewne cechy umysłowe i poprawić zdolność koncentracji. Jednym z tematów zasługujących na szczególną uwagę na kursie matematyki jest dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych. Wielu studentom trudno jest się uczyć. Być może nasz artykuł pomoże lepiej zrozumieć ten temat.

Jak odejmować ułamki, których mianowniki są takie same

Ułamki to te same liczby, za pomocą których możesz tworzyć różne działania. Ich różnica w stosunku do liczb całkowitych polega na obecności mianownika. Dlatego wykonując operacje na ułamkach, musisz przestudiować niektóre ich cechy i zasady. Bardzo prosty przypadek to odejmowanie ułamków zwykłych, których mianowniki są reprezentowane przez tę samą liczbę. Wykonanie tej czynności nie będzie trudne, jeśli znasz prostą zasadę:

Aby odjąć sekundę od jednego ułamka, należy od licznika ułamka zmniejszanego odjąć licznik odejmowanego ułamka. Tę liczbę zapisujemy w liczniku różnicy, a mianownik pozostawiamy bez zmian: k/m - b/m = (k-b)/m.

Przykłady odejmowania ułamków, których mianowniki są takie same

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od licznika ułamka „7” odejmujemy licznik ułamka „3”, który ma zostać odjęty, otrzymujemy „4”. Zapisujemy tę liczbę w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku umieszczamy tę samą liczbę, która była w mianownikach pierwszego i drugiego ułamka - „19”.

Poniższy obrazek pokazuje jeszcze kilka podobnych przykładów.

Rozważmy bardziej złożony przykład, od którego odejmuje się ułamki same mianowniki:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od licznika ułamka „29” zmniejszamy odejmując kolejno liczniki wszystkich kolejnych ułamków - „3”, „8”, „2”, „7”. W rezultacie otrzymujemy wynik „9”, który zapisujemy w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku zapisujemy liczbę znajdującą się w mianownikach wszystkich tych ułamków - „47”.

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych odbywa się na tej samej zasadzie.

Aby dodać ułamki, których mianowniki są takie same, należy dodać liczniki. Otrzymana liczba jest licznikiem sumy, a mianownik pozostaje taki sam: k/m + b/m = (k + b)/m.

Zobaczmy jak to wygląda na przykładzie:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Do licznika pierwszego wyrazu ułamka - „1” - dodaj licznik drugiego wyrazu ułamka - „2”. Wynik - „3” - zapisuje się w liczniku sumy, a mianownik pozostaje taki sam, jak obecny w ułamkach - „4”.

Ułamki zwykłe o różnych mianownikach i ich odejmowanie

Rozważaliśmy już operację na ułamkach o tym samym mianowniku. Jak widać, znając proste zasady, rozwiązywanie takich przykładów jest dość łatwe. Ale co, jeśli chcesz wykonać operację na ułamkach o różnych mianownikach? Wielu uczniów szkół średnich jest zdezorientowanych takimi przykładami. Ale nawet tutaj, jeśli znasz zasadę rozwiązania, przykłady nie będą już dla ciebie trudne. Tutaj też obowiązuje zasada, bez której rozwiązywanie takich ułamków jest po prostu niemożliwe.

Aby odjąć ułamki różne mianowniki, należy je sprowadzić do tego samego najniższego mianownika.

Porozmawiamy bardziej szczegółowo o tym, jak to zrobić.

Własność ułamka

Aby sprowadzić kilka ułamków do tego samego mianownika, należy w rozwiązaniu zastosować główną właściwość ułamka: po podzieleniu lub pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę otrzymasz ułamek równy podanemu.

Na przykład ułamek 2/3 może mieć mianowniki takie jak „6”, „9”, „12” itp., To znaczy może mieć postać dowolnej liczby będącej wielokrotnością „3”. Po pomnożeniu licznika i mianownika przez „2” otrzymujemy ułamek 4/6. Po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka pierwotnego przez „3” otrzymujemy 6/9, a jeśli podobna akcja produkujemy z liczbą „4”, otrzymujemy 8/12. Jedną równość można zapisać następująco:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Jak zamienić wiele ułamków zwykłych na ten sam mianownik

Przyjrzyjmy się, jak sprowadzić wiele ułamków do tego samego mianownika. Weźmy na przykład ułamki pokazane na poniższym obrazku. Najpierw musisz określić, która liczba może stać się mianownikiem dla nich wszystkich. Aby było łatwiej, rozłóżmy istniejące mianowniki na czynniki.

Mianownika ułamka 1/2 i ułamka 2/3 nie można rozłożyć na czynniki. Mianownik 7/9 ma dwa dzielniki 7/9 = 7/(3 x 3), a mianownik ułamka 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musimy określić, które czynniki będą najmniejsze dla wszystkich tych czterech ułamków. Skoro pierwszy ułamek ma w mianowniku liczbę „2”, oznacza to, że musi ona występować we wszystkich mianownikach; w ułamku 7/9 znajdują się dwie trójki, co oznacza, że obie muszą także występować w mianowniku. Biorąc pod uwagę powyższe ustalamy, że mianownik składa się z trzech dzielników: 3, 2, 3 i jest równy 3 x 2 x 3 = 18.

Rozważmy pierwszą frakcję - 1/2. W mianowniku jest „2”, ale nie ma ani jednej cyfry „3”, ale powinny być dwie. Aby to zrobić, mnożymy mianownik przez dwie trójki, ale zgodnie z właściwością ułamka musimy pomnożyć licznik przez dwie trójki:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Te same operacje wykonujemy z pozostałymi ułamkami.

2/3 - w mianowniku brakuje jednej trójki i jednej dwójki:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 lub 7/(3 x 3) - w mianowniku brakuje dwójki:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 lub 5/(2 x 3) - w mianowniku brakuje trójki:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Wszystko razem wygląda tak:

Jak odejmować i dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach

Jak wspomniano powyżej, aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie zastosować zasady odejmowania ułamków o tym samym mianowniku, które zostały już omówione.

Spójrzmy na to jako przykład: 18.04 - 15.03.

Znajdowanie wielokrotności liczb 18 i 15:

Liczba 18 składa się z 3 x 2 x 3.
Liczba 15 składa się z 5 x 3.
Wspólną wielokrotnością będą następujące czynniki: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po znalezieniu mianownika należy obliczyć współczynnik, który będzie inny dla każdego ułamka, to znaczy liczbę, przez którą konieczne będzie pomnożenie nie tylko mianownika, ale także licznika. Aby to zrobić, podziel znalezioną liczbę (wspólną wielokrotność) przez mianownik ułamka, dla którego należy określić dodatkowe współczynniki.

90 podzielone przez 15. Wynikowa liczba „6” będzie mnożnikiem przez 3/15.
90 podzielone przez 18. Wynikowa liczba „5” będzie mnożnikiem 4/18.

Kolejnym etapem naszego rozwiązania jest sprowadzenie każdego ułamka do mianownika „90”.

Mówiliśmy już o tym, jak to się robi. Zobaczmy jak to jest napisane na przykładzie:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jeśli ułamki mają małe liczby, możesz ustalić wspólny mianownik, jak w przykładzie pokazanym na obrazku poniżej.

To samo dotyczy osób o różnych mianownikach.

Odejmowanie i posiadanie części całkowitych

Omówiliśmy już szczegółowo odejmowanie ułamków i ich dodawanie. Ale jak odjąć, jeśli ułamek ma część całkowitą? Ponownie zastosujmy kilka zasad:

Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Mówienie w prostych słowach, usuń całą część. Aby to zrobić, pomnóż liczbę części całkowitej przez mianownik ułamka i dodaj uzyskany iloczyn do licznika. Liczba, która wyjdzie po tych działaniach, jest licznikiem ułamka niewłaściwego. Mianownik pozostaje niezmieniony.
Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je sprowadzić do tego samego mianownika.
Wykonaj dodawanie lub odejmowanie przy tych samych mianownikach.
Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, wybierz całą część.

Istnieje inny sposób dodawania i odejmowania ułamków pełnych. Aby to zrobić, akcje są wykonywane osobno z całymi częściami, a akcje z ułamkami osobno, a wyniki są rejestrowane razem.

Podany przykład składa się z ułamków o tym samym mianowniku. W przypadku, gdy mianowniki są różne, należy je doprowadzić do tej samej wartości, a następnie wykonać czynności jak pokazano w przykładzie.

Odejmowanie ułamków od liczb całkowitych

Innym rodzajem operacji na ułamkach jest sytuacja, w której należy odjąć ułamek. Na pierwszy rzut oka taki przykład wydaje się trudny do rozwiązania. Jednak tutaj wszystko jest dość proste. Aby go rozwiązać, musisz przekonwertować liczbę całkowitą na ułamek i z tym samym mianownikiem, który jest w odejmowanym ułamku. Następnie wykonujemy odejmowanie podobne do odejmowania o identycznych mianownikach. Na przykładzie wygląda to tak:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odejmowanie ułamków (ocena 6) podane w tym artykule jest podstawą do rozwiązania większej liczby złożone przykłady, które omawiane są na kolejnych zajęciach. Znajomość tego tematu jest następnie wykorzystywana do rozwiązywania funkcji, pochodnych i tak dalej. Dlatego bardzo ważne jest zrozumienie i zrozumienie operacji na ułamkach omówionych powyżej.

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Koncepcja NOC
Sprowadzanie ułamków do tego samego mianownika
Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek

1 Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki, ale pozostawić mianownik bez zmian, na przykład:

Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian, na przykład:

Aby dodać ułamki mieszane, należy osobno dodać ich całe części, a następnie dodać ich części ułamkowe i wynik zapisać jako ułamek mieszany,

Jeśli podczas dodawania części ułamkowych otrzymasz ułamek niewłaściwy, wybierz z niego całą część i dodaj ją do całej części, na przykład:

2 Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Aby dodawać lub odejmować ułamki o różnych mianownikach, należy je najpierw sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie postępować zgodnie ze wskazówkami na początku tego artykułu. Wspólnym mianownikiem kilku ułamków jest LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność). Dla licznika każdego ułamka dodatkowe czynniki znajdują się poprzez podzielenie LCM przez mianownik tego ułamka. Przyjrzymy się przykładowi później, gdy zrozumiemy, czym jest NOC.

3 Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb (LCM) jest najmniejsza Liczba naturalna, która jest podzielna przez obie te liczby bez reszty. Czasami LCM można znaleźć ustnie, ale częściej, szczególnie podczas pracy z dużymi liczbami, trzeba znaleźć LCM na piśmie, stosując następujący algorytm:

Aby znaleźć LCM kilku liczb, potrzebujesz:

Rozłóż te liczby na czynniki pierwsze
Weź największe rozwinięcie i zapisz te liczby jako iloczyn
W pozostałych rozkładach wybierz liczby, które nie pojawiają się w największym rozkładzie (lub występują w nim mniej razy) i dodaj je do iloczynu.
Pomnóż wszystkie liczby w iloczynie, będzie to LCM.

Na przykład znajdźmy LCM liczb 28 i 21:

4Sprowadzanie ułamków do tego samego mianownika

Wróćmy do dodawania ułamków o różnych mianownikach.

Kiedy redukujemy ułamki do tego samego mianownika, równego LCM obu mianowników, musimy pomnożyć liczniki tych ułamków przez dodatkowe mnożniki. Można je znaleźć, dzieląc LCM przez mianownik odpowiedniego ułamka, na przykład:

Zatem, aby zredukować ułamki do tego samego wykładnika, należy najpierw znaleźć LCM (tzn. najmniejsza liczba, który jest podzielny przez oba mianowniki) mianowników tych ułamków, następnie dodaj dodatkowe współczynniki do liczników ułamków. Można je znaleźć, dzieląc wspólny mianownik (CLD) przez mianownik odpowiedniego ułamka. Następnie musisz pomnożyć licznik każdego ułamka przez dodatkowy współczynnik i umieścić LCM jako mianownik.

5Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek

Aby dodać liczbę całkowitą i ułamek, wystarczy dodać tę liczbę przed ułamkiem, co spowoduje, że na przykład ułamek mieszany.

Ułamki zwykłe to zwykłe liczby, które można także dodawać i odejmować. Ale ze względu na to, że zawierają mianownik, więcej skomplikowane zasady niż dla liczb całkowitych.

Rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki o tych samych mianownikach. Następnie:

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.

Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i ponownie pozostawić mianownik bez zmian.

W każdym wyrażeniu mianowniki ułamków są równe. Z definicji dodawania i odejmowania ułamków otrzymujemy:

Jak widać, nie jest to nic skomplikowanego: po prostu dodajemy lub odejmujemy liczniki i gotowe.

Ale nawet w tak prostych działaniach ludziom udaje się popełniać błędy. Najczęściej zapomina się, że mianownik się nie zmienia. Na przykład, dodając je, zaczynają się one również sumować, co jest zasadniczo błędne.

Pozbyć się zły nawyk Dodawanie mianowników jest dość proste. Spróbuj tego samego podczas odejmowania. W efekcie mianownik wyniesie zero, a ułamek (nagle!) straci swoje znaczenie.

Dlatego pamiętajcie raz na zawsze: podczas dodawania i odejmowania mianownik się nie zmienia!

Wiele osób popełnia również błędy przy dodawaniu kilku ułamków ujemnych. Ze znakami jest zamieszanie: gdzie postawić minus, a gdzie plus.

Ten problem jest również bardzo łatwy do rozwiązania. Wystarczy pamiętać, że minus przed znakiem ułamka zawsze można przenieść na licznik - i odwrotnie. I oczywiście nie zapomnij o dwóch prostych zasadach:

Plus przez minus daje minus;
Dwa minusy dają odpowiedź twierdzącą.

Spójrzmy na to wszystko na konkretnych przykładach:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

W pierwszym przypadku wszystko jest proste, ale w drugim wprowadzamy minusy do liczników ułamków:

Co zrobić, jeśli mianowniki są różne

Nie można bezpośrednio dodawać ułamków o różnych mianownikach. Przynajmniej mi ta metoda nie jest znana. Jednak oryginalne ułamki zawsze można przepisać tak, aby mianowniki stały się takie same.

Istnieje wiele sposobów konwertowania ułamków zwykłych. Trzy z nich zostały omówione na lekcji „Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika”, więc nie będziemy się nad nimi tutaj rozwodzić. Spójrzmy na kilka przykładów:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

W pierwszym przypadku ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika metodą „na krzyż”. W drugim będziemy szukać NOC. Zauważ, że 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Ostatnie czynniki w tych rozwinięciach są równe, a pierwsze są względnie pierwsze. Zatem LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Co zrobić, jeśli ułamek ma część całkowitą

Mogę cię zadowolić: posiadanie różnych mianowników w ułamkach nie jest najważniejsze wielkie zło. Znacznie więcej błędów pojawia się, gdy w dodanych ułamkach zaznaczona jest cała część.

Oczywiście istnieją własne algorytmy dodawania i odejmowania takich ułamków, ale są one dość złożone i wymagają długich badań. Lepiej skorzystaj z prostego schematu poniżej:

Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Otrzymujemy wyrazy normalne (nawet o różnych mianownikach), które obliczamy według zasad omówionych powyżej;
Właściwie oblicz sumę lub różnicę powstałych ułamków. W rezultacie praktycznie znajdziemy odpowiedź;
Jeśli to wszystko, co było wymagane w zadaniu, wykonujemy transformację odwrotną, tj. Ułamek niewłaściwy pozbywamy się podświetlając całą część.

Zasady przejścia do ułamki niewłaściwe i wyróżnianie całej części opisano szczegółowo w lekcji „Co to jest ułamek liczbowy”. Jeśli nie pamiętasz, koniecznie powtórz. Przykłady:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Tutaj wszystko jest proste. Mianowniki w każdym wyrażeniu są równe, więc pozostaje tylko zamienić wszystkie ułamki zwykłe na niewłaściwe i policzyć. Mamy:

Aby uprościć obliczenia, w ostatnich przykładach pominąłem kilka oczywistych kroków.

Mała uwaga do dwóch ostatnich przykładów, gdzie odejmowane są ułamki z zaznaczoną częścią całkowitą. Minus przed drugim ułamkiem oznacza, że odejmowany jest cały ułamek, a nie tylko jego część.

Przeczytaj jeszcze raz to zdanie, spójrz na przykłady i pomyśl o tym. Tutaj początkujący popełniają ogromną liczbę błędów. Uwielbiają zlecać takie zadania testy. Spotkasz je także kilka razy w testach do tej lekcji, które zostaną wkrótce opublikowane.

Podsumowanie: ogólny schemat obliczeń

Podsumowując, dam algorytm ogólny, które pomogą Ci znaleźć sumę lub różnicę dwóch lub więcej ułamków:

Jeśli jeden lub więcej ułamków ma część całkowitą, zamień te ułamki na niewłaściwe;
Doprowadź wszystkie ułamki do wspólnego mianownika w dowolny dogodny dla ciebie sposób (chyba że oczywiście zrobili to autorzy problemów);
Dodaj lub odejmij powstałe liczby zgodnie z zasadami dodawania i odejmowania ułamków o podobnych mianownikach;
Jeśli to możliwe, skróć wynik. Jeśli ułamek jest nieprawidłowy, wybierz całą część.

Pamiętaj, że lepiej zaznaczyć całą część na samym końcu zadania, bezpośrednio przed zapisaniem odpowiedzi.

W V wieku p.n.e. starożytny grecki filozof Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:

Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ... dyskusje trwają do dziś; w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii na temat istoty paradoksów ... w badaniu tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.

Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.

Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie z stała prędkość. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przeskakuj wzajemne. W języku Zenona wygląda to tak:

W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.

Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.

Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:

Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.

W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach w czasie, ale nie można określić odległości od nich. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). Na co chcę zwrócić uwagę Specjalna uwaga, jest to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ zapewniają różne możliwości badawcze.

środa, 4 lipca 2018 r

Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.

Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.

Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.

Bez względu na to, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.

Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśnijmy matematykowi, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.

Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształów i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...

A teraz mam ich najwięcej zainteresowanie Zapytaj: gdzie jest linia, poza którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.

Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.

Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.

Niedziela, 18 marca 2018 r

Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.

Czy potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. Przecież liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.

Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.

1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekształciliśmy liczbę w graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.

2. Jeden powstały obraz wycinamy na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.

3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.

4. Dodaj powstałe liczby. To jest teraz matematyka.

Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia”, prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.

Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Więc w różne systemy W rachunku różniczkowym suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Z duża liczba 12345 Nie chcę oszukiwać głowy, spójrzmy na liczbę 26 z artykułu o . Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem; już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.

Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.

Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.

Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb o różnych jednostkach miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różnych wyników po ich porównaniu, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.

Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak wtedy, gdy wynik operacji matematycznej nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.

Znak na drzwiach Otwiera drzwi i mówi:

Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?

Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.

Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,

Nic więc dziwnego, że nagle znajdujesz w swoim samochodzie dziwną ikonę:

Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jeden obrazek) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie sądzę, że ta dziewczyna jest głupia, która nie zna fizyki. Ma po prostu silny stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.

1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.

Ułamki mieszane są takie same jak proste ułamki można odjąć. Aby odejmować liczby mieszane ułamków zwykłych, musisz znać kilka zasad odejmowania. Przeanalizujmy te zasady na przykładach.

Odejmowanie ułamków mieszanych o podobnych mianownikach.

Rozważmy przykład pod warunkiem, że liczba całkowita podlegająca redukcji i część ułamkowa są większe niż odpowiednio liczba całkowita i część ułamkowa, które są odejmowane. W takich warunkach odejmowanie odbywa się osobno. Od części całkowitej odejmujemy część całkowitą, a od części ułamkowej część ułamkową.

Spójrzmy na przykład:

Odejmij ułamki mieszane \(5\frac(3)(7)\) i \(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)

Poprawność odejmowania sprawdzamy dodając. Sprawdźmy odejmowanie:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)

Rozważmy przykład z warunkiem, że część ułamkowa odejmowania jest mniejsza niż odpowiadająca jej część ułamkowa odejmowania. W tym przypadku pożyczamy jeden od całości w odjętości.

Spójrzmy na przykład:

Odejmij ułamki mieszane \(6\frac(1)(4)\) i \(3\frac(3)(4)\).

Minuend \(6\frac(1)(4)\) ma mniejszą część ułamkową niż część ułamkowa odejmowania \(3\frac(3)(4)\). Oznacza to, że \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(czerwony) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(czerwony) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\\end(align)\)

Następny przykład:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Odejmowanie ułamka mieszanego od liczby całkowitej.

Przykład: \(3-1\frac(2)(5)\)

Minuenda 3 nie ma części ułamkowej, więc nie możemy od razu odjąć. Pożyczymy jeden z całej części liczby 3, a następnie dokonamy odejmowania. Zapiszemy jednostkę jako \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5 )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Odejmowanie ułamków mieszanych o różnych mianownikach.

Rozważmy przykład pod warunkiem, że części ułamkowe odjemnej i odejmowanej mają różne mianowniki. Musisz sprowadzić to do wspólnego mianownika, a następnie wykonać odejmowanie.

Odejmij dwa ułamki mieszane o różnych mianownikach \(2\frac(2)(3)\) i \(1\frac(1)(4)\).

Wspólnym mianownikiem będzie liczba 12.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)

Pytania na ten temat:
Jak odejmować ułamki mieszane? Jak rozwiązywać ułamki mieszane?
Odpowiedź: musisz zdecydować, do jakiego typu należy wyrażenie i zastosować algorytm rozwiązania w oparciu o typ wyrażenia. Od części całkowitej odejmujemy liczbę całkowitą, od części ułamkowej odejmujemy część ułamkową.

Jak odjąć ułamek od liczby całkowitej? Jak odjąć ułamek od liczby całkowitej?
Odpowiedź: musisz wziąć jednostkę z liczby całkowitej i zapisać tę jednostkę jako ułamek

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

a następnie odejmij całość od całości, odejmij część ułamkową od części ułamkowej. Przykład:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7 )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Przykład 1:
Odejmij ułamek właściwy od jedności: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)

Rozwiązanie:
a) Wyobraźmy sobie jeden jako ułamek o mianowniku 33. Otrzymujemy \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

b) Wyobraźmy sobie jedynkę jako ułamek o mianowniku 7. Otrzymujemy \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

Przykład nr 2:
Wykonaj odejmowanie frakcja mieszana z liczby całkowitej: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)

Rozwiązanie:
a) Pożyczmy 21 jednostek z liczby całkowitej i zapiszmy to w ten sposób \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

b) Weźmy jeden z liczby całkowitej 2 i zapiszmy to w ten sposób \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)

Przykład nr 3:
Odejmij liczbę całkowitą od ułamka mieszanego: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)

a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Przykład nr 4:
Od ułamka mieszanego odejmij ułamek właściwy: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

Przykład nr 5:
Oblicz \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(czerwony) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(czerwony) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(wyrównaj)\)