Nihanja. Harmonične vibracije. Harmonična enačba

1.18. HARMONIČNA VIBRACIJA IN NJIHOVE ZNAČILNOSTI

Opredelitev harmoničnih vibracij. Značilnosti harmoničnega nihanja: odmik od ravnotežnega položaja, amplituda nihanja, faza nihanja, frekvenca in perioda nihanja. Hitrost in pospešek nihajne točke. Energija harmoničnega oscilatorja. Primeri harmoničnih oscilatorjev: matematični, vzmetni, torzijski in fizikalni Kitajska nihala.

Akustika, radiotehnika, optika in druge veje znanosti in tehnologije temeljijo na preučevanju nihanj in valov. Teorija tresljajev igra pomembno vlogo v mehaniki, predvsem pri izračunu trdnosti letal, mostov, posamezne vrste stroji in enote.

Nihanja so procesi, ki se ponavljajo v rednih intervalih (in niso vsi ponavljajoči se procesi nihanja!). Glede na fizikalno naravo ponavljajočega se procesa ločimo vibracije na mehanske, elektromagnetne, elektromehanske itd. Med mehanskimi nihanji se položaji in koordinate teles periodično spreminjajo.

obnavljanje moči - sila, pod vplivom katere se pojavi nihajni proces. Ta sila želi vrniti telo ali materialno točko, ki je odklonjena od položaja mirovanja, v prvotni položaj.

Glede na naravo vpliva na nihajoče telo ločimo proste (ali naravne) vibracije in prisilne vibracije.

Glede na naravo vpliva na nihajni sistem ločimo prosta nihanja, prisilna nihanja, lastna nihanja in parametrična nihanja.

prost (lasten) nihanja so tista nihanja, ki nastanejo v sistemu, ki je prepuščen samemu sebi, potem ko je bil potisnjen ali odmaknjen iz ravnotežnega položaja, tj. ko na nihajoče telo deluje samo obnovitvena sila.Primer je nihanje krogle, obešene na nitki. Da bi povzročili tresljaje, morate bodisi potisniti žogo ali jo premakniti na stran in jo spustiti. V primeru, da ne pride do disipacije energije, so prosta nihanja nedušena. Vendar pa so resnični nihajni procesi dušeni, ker na nihajoče telo delujejo sile upora gibanja (predvsem sile trenja).

· Prisilno imenujemo takšna nihanja, med katerimi je nihajni sistem izpostavljen zunanji periodično spreminjajoči se sili (na primer nihanja mostu, ki nastanejo, ko ljudje hodijo po njem, hodijo v koraku). V mnogih primerih so sistemi podvrženi nihanjem, ki se lahko štejejo za harmonična.

· Samonihanja , tako kot prisilna nihanja jih spremlja vpliv zunanjih sil na nihajni sistem, vendar pa časovne trenutke, ko se ti vplivi pojavijo, določa nihajni sistem sam. To pomeni, da sistem sam nadzoruje zunanje vplive. Primer samonihajnega sistema je ura, pri kateri je nihalo deležno sunkov zaradi energije dvignjene uteži ali zvite vzmeti, ti sunki pa nastanejo v trenutkih, ko gre nihalo skozi srednji položaj.

· Parametrični nihanja nastanejo, ko se parametri nihajnega sistema občasno spreminjajo (oseba, ki se guga na gugalnici, občasno dviguje in spušča svoje težišče in s tem spreminja parametre sistema). Pod določenimi pogoji postane sistem nestabilen - naključno odstopanje od ravnotežnega položaja povzroči nastanek in povečanje nihanj. Ta pojav imenujemo parametrično vzbujanje nihanj (t.j. nihanja se vzbujajo s spreminjanjem parametrov sistema), sama nihanja pa imenujemo parametrična.

Kljub različni fizični naravi so za vibracije značilni enaki vzorci, ki jih proučujemo s splošnimi metodami. Pomembna kinematična značilnost je oblika nihanja. Določena je z vrsto časovne funkcije, ki opisuje spremembo ene ali druge fizikalne količine med nihanjem. Najpomembnejša nihanja so tista, pri katerih se nihajoča količina skozi čas spreminja. po zakonu sinusa ali kosinusa . Imenujejo se harmonično .

Harmonične vibracije imenujemo nihanja, pri katerih se nihajoča fizikalna količina spreminja po zakonu sinusa (ali kosinusa).

Ta vrsta nihanja je še posebej pomembna iz naslednjih razlogov. Prvič, vibracije v naravi in tehnologiji imajo pogosto značaj, ki je zelo blizu harmoničnim. Drugič, periodične procese drugačne oblike (z drugačno časovno odvisnostjo) lahko predstavimo kot superpozicijo ali superpozicijo harmoničnih nihanj.

Enačba harmoničnega oscilatorja

Harmonično nihanje opisuje periodični zakon:

riž. 18.1. Harmonično nihanje

tukaj

- karakterizira sprememba katera koli fizikalna veličina med nihanjem (premik položaja nihala iz ravnotežnega položaja; napetost na kondenzatorju v nihajnem krogu itd.), A - amplituda vibracij ,

- faza nihanja ,

- začetna faza ,

- ciklična frekvenca ; velikost

imenovan tudi lasten frekvenca vibracij. To ime poudarja, da je ta frekvenca določena s parametri nihajnega sistema. Sistem, katerega zakon gibanja ima obliko (18.1), se imenuje enodimenzionalni harmonični oscilator . Poleg navedenih količin so koncepti oz obdobje , tj. čas enega nihanja.

(Obdobje nihanja T je najkrajše časovno obdobje, po katerem se stanja nihajnega sistema ponovijo (končano je eno celotno nihanje) in faza nihanja prejme prirastek 2p).

in frekvence
, ki določa število nihanj na časovno enoto. Enota za frekvenco je frekvenca takšnega nihanja, katerega obdobje je 1 s. Ta enota se imenuje hertz (Hz ).

Frekvenca nihanjan je recipročna vrednost periode nihanja - število popolnih nihanj, opravljenih na časovno enoto.

Amplituda- največja vrednost premika ali spremembe spremenljivke med nihanjem ali valovnim gibanjem.

Faza nihanja- prepir periodična funkcija ali opisovanje harmoničnega nihajnega procesa (ω - kotna frekvenca, t- čas, - začetna faza nihanja, to je faza nihanja v začetnem trenutku časa. t = 0).

Prvi in drugi časovni odvod harmonično nihajoče količine prav tako izvajata harmonična nihanja iste frekvence:

V tem primeru se za osnovo vzame enačba harmoničnih nihanj, zapisana po kosinusnem zakonu. V tem primeru prva od enačb (18.2) opisuje zakon, po katerem se spreminja hitrost nihajoče materialne točke (telesa), druga enačba opisuje zakon, po katerem se spreminja pospešek nihajoče točke (telesa).

Amplitude
in
sta enaka oz
in
. Oklevanje
naprej
v fazi z ; in obotavljanje
naprej
na . Vrednote A in lahko določimo iz danih začetnih pogojev
in
:

,
. (18.3)

Energija nihanj oscilatorja

riž. 18.2. Vzmetno nihalo

Poglejmo zdaj, kaj se bo zgodilo vibracijska energija . Kot primer harmoničnih nihanj upoštevajte enodimenzionalna nihanja, ki jih izvaja telo z maso m Pod vplivom elastična moč

(na primer vzmetno nihalo, glej sliko 18.2). Sile drugačne narave kot elastične, vendar pri katerih je izpolnjen pogoj F = -kx, imenujemo kvazielastičen. Pod vplivom teh sil izvajajo tudi telesa harmonična nihanja. Naj bo:

pristranskost:
hitrost:
pospešek:

Tisti. enačba takih nihanj ima obliko (18.1) z lastno frekvenco
. Kvazielastična sila je konzervativen . Zato mora skupna energija takšnih harmoničnih nihanj ostati konstantna. Med procesom nihanja se pretvarja kinetična energija E Za v potencial E p in obratno, pri čemer je v trenutkih največjega odstopanja od ravnotežnega položaja skupna energija enaka največji vrednosti potencialne energije, pri prehodu sistema skozi ravnotežni položaj pa je skupna energija enaka največji vrednosti kinetične energije. Ugotovimo, kako se kinetična in potencialna energija spreminjata skozi čas:

Kinetična energija:

Potencialna energija:

(18.5)

Glede na to, da je t.j. , lahko zadnji izraz zapišemo kot:

Tako se izkaže, da je celotna energija harmoničnega nihanja konstantna. Iz razmerij (18.4) in (18.5) tudi sledi, da sta povprečni vrednosti kinetične in potencialne energije med seboj enaki polovici celotne energije, saj sta povprečni vrednosti
in
na obdobje so enaki 0,5. S pomočjo trigonometričnih formul lahko ugotovimo, da se kinetična in potencialna energija spreminjata s frekvenco
, tj. s frekvenco, ki je dvakrat večja od frekvence harmoničnih vibracij.

Primeri harmoničnega oscilatorja vključujejo vzmetna nihala, fizikalna nihala, matematična nihala in torzijska nihala.

1. Vzmetno nihalo- to je breme z maso m, ki je obešeno na absolutno prožno vzmet in izvaja harmonična nihanja pod delovanjem prožnostne sile F = –kx, kjer je k togost vzmeti. Enačba gibanja nihala ima obliko ali (18.8) Iz formule (18.8) sledi, da vzmetno nihalo izvaja harmonična nihanja po zakonu x = Асos(ω 0 t+φ) s ciklično frekvenco.

(18.9) in pika

(18.10) Formula (18.10) velja za prožna nihanja v mejah, v katerih je izpolnjen Hookov zakon, to je, če je masa vzmeti majhna v primerjavi z maso telesa. Potencialna energija vzmetnega nihala je z uporabo (18.9) in formule za potencialno energijo iz prejšnjega razdelka enaka (glej 18.5)

2. Fizikalno nihalo- To trdna, ki pod vplivom gravitacije niha okoli nepremične vodoravne osi, ki poteka skozi točko O, ki ne sovpada s središčem mase C telesa (slika 1).

Slika 18.3 Fizikalno nihalo

Če nihalo odklonimo od ravnotežnega položaja za določen kot α, potem z uporabo enačbe dinamike rotacijskega gibanja togega telesa moment M obnovitvene sile (18.11), kjer je J vztrajnostni moment sile nihalo glede na os, ki poteka skozi vzmetno točko O, l je razdalja med osjo in masnim središčem nihala, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα je obnovitvena sila (predznak minus pomeni, da so smeri F τ in α sta si vedno nasprotna; sinα ≈ α, ker se nihanja nihala štejejo za majhna, tj. nihalo je odklonjeno od ravnotežnega položaja za majhne kote). Enačbo (18.11) zapišemo kot

Ali Če vzamemo (18.12), dobimo enačbo

Identično (18.8), katerega rešitev bo najdena in zapisana kot:

(18.13) Iz formule (18.13) sledi, da fizično nihalo pri majhnih nihanjih izvaja harmonična nihanja s ciklično frekvenco ω 0 in periodo

(18.14) kjer je vrednost L=J/(m l) - . Točko O" na nadaljevanju premice OS, ki se nahaja na razdalji zmanjšane dolžine L od točke O obešanja nihala, imenujemo nihajno središče fizično nihalo (slika 18.3). Z uporabo Steinerjevega izreka za vztrajnostni moment osi ugotovimo

To pomeni, da je OO" vedno večji od OS. Točka vzmetenja O nihala in središče nihanja O" imata lastnost zamenljivosti: če se točka vzmetenja premakne v središče nihanja, bo prejšnja točka vzmetenja O novo središče nihanja in perioda nihanja fizičnega nihala se ne bo spremenila.

3. Matematično nihalo je idealiziran sistem, sestavljen iz materialne točke z maso m, ki visi na neraztegljivi breztežnostni niti in niha pod vplivom gravitacije. Dober približek matematičnega nihala je majhna težka kroglica, obešena na dolgi tanki niti. Vztrajnostni moment matematičnega nihala

(8) kjer l- dolžina nihala.

Ker je matematično nihalo poseben primer fizikalnega nihala, če predpostavimo, da je vsa njegova masa skoncentrirana v eni točki - središču mase, potem s substitucijo (8) v (7) dobimo izraz za periodo majhnih nihanj matematičnega nihala (18.15) Če primerjamo formuli (18.13 ) in (18.15), vidimo, da če je zmanjšana dolžina L fizikalnega nihala enaka dolžini l matematično nihalo, potem so nihajne dobe teh nihal enake. pomeni, zmanjšana dolžina fizičnega nihala- to je dolžina matematičnega nihala, katerega nihajna doba sovpada z nihajno dobo danega fizičnega nihala. Za matematično nihalo (materialna točka z maso m, obešena na breztežni neraztegljivi niti dolžine l v gravitacijskem polju s pospeškom prostega pada, ki je enak g) pri majhnih kotih odstopanja (ki ne presegajo 5-10 kotnih stopinj) od ravnotežnega položaja, lastna frekvenca nihanj:
.

4. Telo, obešeno na elastični niti ali drugem elastičnem elementu, ki niha v vodoravni ravnini, je torzijsko nihalo.

To je mehanski nihajni sistem, ki uporablja sile elastične deformacije. Na sl. Slika 18.4 prikazuje kotni analog linearnega harmoničnega oscilatorja, ki izvaja torzijska nihanja. Vodoravno nameščen disk visi na elastični niti, pritrjeni na njegovo središče mase. Ko se disk zavrti za kot θ, se pojavi moment sile M kontrola elastične torzijske deformacije:

Kje jaz = jazC je vztrajnostni moment diska glede na os, ki poteka skozi središče mase, ε je kotni pospešek.

Po analogiji z obremenitvijo na vzmet lahko dobite.

Mehansko harmonično nihanje- to je premočrtno neenakomerno gibanje, pri katerem se koordinate nihajočega telesa (materialne točke) spreminjajo po zakonu kosinusa ali sinusa glede na čas.

Po tej definiciji ima zakon spremembe koordinat glede na čas obliko:

kjer je wt količina pod predznakom za kosinus ali sinus; w- koeficient, fizični pomen ki jih bomo razkrili v nadaljevanju; A je amplituda mehanskih harmoničnih nihanj.

Enačbe (4.1) so osnovne kinematične enačbe mehanskih harmoničnih nihanj.

Razmislite o naslednjem primeru. Vzemimo os Ox (slika 64). Iz točke 0 narišemo krog s polmerom R = A. Naj se točka M iz položaja 1 začne gibati po krogu s konstantno hitrostjo v(ali s konstantno kotno hitrostjo w, v = wA). Čez nekaj časa t se bo polmer zavrtel za kot f: f=mas.

Pri takšnem krožnem gibanju točke M se bo njena projekcija na os x M x premikala vzdolž osi x, katere koordinata x bo enaka x = A cos f = = A cos mas. Torej, če se materialna točka premika vzdolž kroga s polmerom A, katerega središče sovpada z izhodiščem koordinat, bo projekcija te točke na os x (in na os y) izvajala harmonične mehanske vibracije.

Če sta znani vrednost wt, ki je pod znakom kosinusa, in amplituda A, potem lahko x določimo tudi v enačbi (4.1).

Količino wt, ki stoji pod znakom kosinusa (ali sinusa), ki enolično določa koordinato nihajne točke pri določeni amplitudi, imenujemo faza nihanja. Za točko M, ki se giblje po krožnici, pomeni vrednost w njeno kotno hitrost. Kakšen je fizični pomen vrednosti w za točko M x, ki izvaja mehanska harmonična nihanja? Koordinate nihajne točke M x so enake v neki točki časa t in (T +1) (iz definicije obdobja T), tj. A cos teža = A cos w (t + T), kar pomeni, da w(t + T) - wt = 2 PI(iz lastnosti periodičnosti kosinusne funkcije). Sledi, da

Posledično lahko za materialno točko, ki izvaja harmonična mehanska nihanja, vrednost w interpretiramo kot število nihanj za določeno cikelčas enak 2l. Zato vrednost w klical ciklično(oz krožno) frekvenco.

Če se točka M začne premikati ne od točke 1, ampak od točke 2, bo enačba (4.1) dobila obliko:

Velikost f 0 klical začetna faza.

Hitrost točke M x najdemo kot odvod koordinate glede na čas:

Pospešek točke, ki niha po harmoničnem zakonu, definiramo kot odvod hitrosti:

Iz formule (4.4) je razvidno, da se po kosinusnem zakonu spreminja tudi hitrost točke, ki izvaja harmonična nihanja. Toda fazna hitrost je pred koordinatno za PI/2. Pospešek med harmoničnim nihanjem se spreminja po kosinusnem zakonu, vendar je pred koordinato v fazi za p. Enačbo (4.5) lahko zapišemo v smislu koordinate x:

Pospešek med harmoničnimi nihanji je sorazmeren s premikom z nasprotnim predznakom. Pomnožimo desno in levo stran enačbe (4.5) z maso nihajoče materialne točke m, dobimo naslednje razmerje:

Po drugem Newtonovem zakonu je fizični pomen desne strani izraza (4.6) projekcija sile F x, ki zagotavlja harmonično mehansko gibanje:

Vrednost F x je sorazmerna s premikom x in je usmerjena proti njemu. Primer takšne sile je elastična sila, katere velikost je sorazmerna z deformacijo in usmerjena nasproti njej (Hookov zakon).

Vzorec pospeška v primerjavi s premikom, ki izhaja iz enačbe (4.6), ki smo jo obravnavali za mehanska harmonična nihanja, lahko posplošimo in uporabimo pri obravnavanju nihanj drugačne fizične narave (na primer sprememba toka v nihajnem krogu, sprememba naboja, napetosti, indukcije magnetno polje itd.). Zato enačbo (4.8) imenujemo glavna enačba harmonična dinamika.

Oglejmo si gibanje vzmeti in matematičnega nihala.

Naj bo vzmet (slika 63), ki leži vodoravno in pritrjena na točki 0, na enem koncu pritrjena na telo z maso m, ki se lahko brez trenja giblje vzdolž osi x. Naj bo koeficient togosti vzmeti enak k. Odmaknimo telo m z zunanjo silo iz ravnotežnega položaja in ga sprostimo. Potem bo vzdolž osi x na telo delovala le elastična sila, ki bo po Hookovem zakonu enaka: F yпp = -kx.

Enačba gibanja tega telesa bo:

Če primerjamo enačbi (4.6) in (4.9), potegnemo dva zaključka:

Iz formul (4.2) in (4.10) izpeljemo formulo za obdobje nihanja bremena na vzmeti:

Matematično nihalo je telo z maso m, ki visi na dolgi neraztegljivi niti zanemarljive mase. V ravnotežnem položaju bosta na to telo delovali sila težnosti in prožnostna sila niti. Te sile se bodo uravnovesile.

Če je nit nagnjena pod kotom A iz ravnotežnega položaja, potem na telo delujejo iste sile, vendar se med seboj ne uravnotežijo več in telo se začne gibati vzdolž loka pod vplivom gravitacijske komponente, ki je usmerjena vzdolž tangente na lok in je enaka mg sin a.

Enačba gibanja nihala ima obliko:

Znak minus na desni strani pomeni, da je sila F x = mg sin a usmerjena proti premiku. Harmonično nihanje se bo pojavilo pri majhnih odklonskih kotih, tj a 2* greh a.

Nadomestimo greh in v enačbo (4.12), dobimo naslednjo enačbo.

(lat. amplituda- magnituda) je največji odklon nihajočega telesa od njegovega ravnotežnega položaja.

Za nihalo je to največja razdalja, na katero se kroglica odmakne od svojega ravnotežnega položaja (slika spodaj). Za nihanja z majhnimi amplitudami lahko takšno razdaljo vzamemo kot dolžino loka 01 ali 02 in dolžine teh segmentov.

Amplitudo nihanj merimo v dolžinskih enotah - metrih, centimetrih itd. Na grafu nihanj je amplituda definirana kot največja (modulo) ordinata sinusne krivulje (glej spodnjo sliko).

Obdobje nihanja.

Obdobje nihanja- to je najkrajše časovno obdobje, v katerem se nihajoči sistem ponovno vrne v isto stanje, v katerem je bil v poljubno izbranem začetnem časovnem trenutku.

Z drugimi besedami, nihajna doba ( T) je čas, v katerem pride do enega popolnega nihanja. Na spodnji sliki je na primer to čas, ki je potreben, da se trb nihala premakne od skrajne desne točke skozi ravnovesno točko O do skrajne leve točke in nazaj skozi točko O spet skrajno desno.

zadaj polno obdobje nihanja, torej telo prepotuje pot, ki je enaka štirim amplitudam. Perioda nihanja se meri v časovnih enotah - sekunde, minute itd. Perioda nihanja se lahko določi iz dobro znanega grafa nihanj (glej spodnjo sliko).

Koncept "nihajne dobe", strogo gledano, velja le, če se vrednosti nihajne količine natančno ponovijo po določenem časovnem obdobju, to je za harmonična nihanja. Vendar pa ta koncept velja tudi za primere približno ponavljajočih se količin, na primer za dušena nihanja.

Frekvenca nihanja.

Frekvenca nihanja- to je število nihanj, izvedenih na enoto časa, na primer v 1 s.

Enota SI za frekvenco je poimenovana hertz(Hz) v čast nemškemu fiziku G. Hertzu (1857-1894). Če frekvenca nihanja ( v) je enako 1 Hz, to pomeni, da je vsako sekundo eno nihanje. Frekvenca in perioda nihanj sta povezani z razmerji:

V teoriji nihanj uporabljajo tudi koncept ciklično, oz krožna frekvenca ω . Povezan je z normalno frekvenco v in nihajno obdobje T razmerja:

Ciklična frekvenca je število opravljenih nihanj na 2π sekund

Poleg translacijskih in rotacijskih gibanj teles so v mehaniki pomembna tudi nihajna gibanja. Mehanske vibracije so gibanja teles, ki se natančno (ali približno) ponavljajo v enakih časovnih intervalih. Zakon gibanja nihajočega telesa je določen z določeno periodično funkcijo časa x = f (t). Grafični prikaz te funkcije daje vizualni prikaz poteka nihajnega procesa skozi čas.

Primeri preprostih nihajnih sistemov so obremenitev na vzmeti ali matematično nihalo (slika 2.1.1).

Mehanske vibracije, tako kot nihajni procesi katere koli druge fizične narave, so lahko prost in prisiljeni. Brezplačne vibracije so storjeni pod vplivom notranje sile sistem potem, ko je sistem spravljen iz ravnovesja. Nihanje bremena na vzmeti ali nihanje nihala je proste vibracije. Vibracije, ki nastanejo pod vplivom zunanji Periodično spreminjajoče se sile imenujemo prisiljeni .

Najenostavnejši tip nihajnega procesa je preprost harmonične vibracije , ki jih opisuje enačba

x = x mcos(ω t + φ 0).

Tukaj x- odmik telesa iz ravnotežnega položaja, x m - amplituda nihanj, tj. največji odmik od ravnotežnega položaja, ω - ciklično ali krožno frekvenco obotavljanje, t- čas. Količina pod znakom kosinusa φ = ω t+ φ 0 imenujemo faza harmonični proces. pri t= 0 φ = φ 0, zato se imenuje φ 0 začetna faza. Imenuje se minimalni časovni interval, skozi katerega se gibanje telesa ponavlja obdobje nihanja T. Fizikalna količina, inverzna na periodo nihanja, se imenuje frekvenca vibracij:

Frekvenca nihanja f prikazuje, koliko nihanj se zgodi v 1 s. Frekvenčna enota - hertz(Hz). Frekvenca nihanja f povezana s ciklično frekvenco ω in nihajno periodo T razmerja:

Na sl. 2.1.2 prikazuje položaje telesa v enakih časovnih intervalih med harmoničnimi nihanji. Takšno sliko lahko dobimo eksperimentalno, če nihajoče telo osvetlimo s kratkimi periodičnimi bliski svetlobe ( stroboskopska razsvetljava). Puščice predstavljajo vektorje hitrosti telesa v različnih časih.

riž. 2.1.3 ponazarja spremembe, ki se pojavijo na grafu harmoničnega procesa, če se spremeni amplituda nihanj x m ali pika T(ali pogostost f), oziroma začetno fazo φ 0.

Ko telo niha vzdolž premice (osi OX) je vektor hitrosti vedno usmerjen vzdolž te premice. Hitrost υ = υ x gibanje telesa določa izraz

V matematiki je postopek za iskanje meje razmerja pri Δ t→ 0 imenujemo izračun odvoda funkcije x (t) po času t in je označen kot ali kot x"(t) ali končno kot . Za harmonični zakon gibanja izračun odvoda vodi do naslednjega rezultata:

Pojav izraza + π / 2 v argumentu kosinusa pomeni spremembo v začetni fazi. Največje absolutne vrednosti hitrosti υ = ω x m se dosežejo v tistih trenutkih, ko telo prehaja skozi ravnovesne položaje ( x= 0). Na podoben način se določi pospešek a = ax telesa med harmoničnimi nihanji:

torej pospešek a je enaka odvodu funkcije υ ( t) po času t, ali drugi odvod funkcije x (t). Izračuni dajejo:

Znak minus v tem izrazu pomeni, da je pospešek a (t) ima vedno nasprotni predznak od predznaka premika x (t), zato je po drugem Newtonovem zakonu sila, zaradi katere telo izvaja harmonična nihanja, vedno usmerjena proti ravnotežnemu položaju ( x = 0).

Enačba harmoničnega nihanja

Enačba harmoničnega nihanja ugotavlja odvisnost koordinat telesa od časa

Kosinusni graf ima v začetnem trenutku največjo vrednost, sinusni graf pa ničelno vrednost v začetnem trenutku. Če nihanje začnemo opazovati iz ravnotežnega položaja, bo nihanje ponavljalo sinusoido. Če začnemo nihanje obravnavati iz položaja največjega odstopanja, bo nihanje opisano s kosinusom. Ali pa lahko takšno nihanje opišemo s sinusno formulo z začetno fazo.

Sprememba hitrosti in pospeška med harmoničnim nihanjem

Ne le koordinata telesa se s časom spreminja po zakonu sinusa ali kosinusa. Podobno pa se spreminjajo tudi količine, kot so sila, hitrost in pospešek. Sila in pospešek sta največja, ko je nihajoče telo v skrajnih legah, kjer je premik največji, in enaka nič, ko gre telo skozi ravnotežni položaj. Hitrost, nasprotno, v skrajnih položajih je enaka nič, in ko telo prehaja skozi ravnotežni položaj, doseže največjo vrednost.

Če je nihanje opisano s kosinusnim zakonom

Če nihanje opišemo po sinusnem zakonu

Vrednosti največje hitrosti in pospeška

Po analizi enačb odvisnosti v(t) in a(t) lahko ugibamo, da največje vrednosti hitrost in pospešek se upoštevata, ko je trigonometrični faktor 1 ali -1. Določeno s formulo