Koordinatna premica (številska premica), koordinatni žarek. Opombe o matematiki "rekonstrukcija izvora koordinatnega žarka in enotskega odseka iz koordinat" Nariši koordinatni žarek

Tema: Koordinate na žarku.

Cilji lekcije:

• razviti sposobnost določanja koordinat na numerični premici z danim enotskim segmentom;
• razviti sposobnost zapisovanja koordinat katere koli točke;
• uriti spretnost za kompetentno konstruiranje koordinatnih žarkov.

Med poukom

I. Samoodločba za dejavnost.

Otroci delajo stoje.

- Pripravimo se na delo. Zapri oči. Pobožaj se po glavi, po obrazu, zaželi si, da bi jasno razmišljal, trdno si zapomnil in bodi pozoren, kot obveščevalci. Močno se objemite in ljubite. Odpri oči in ponavljaj za mano:

Res si želim študirati!
Pripravljen sem na uspešno delo!
Delam odlično!

– Kaj ste se naučili v prejšnjih lekcijah? (Tehtnice. Številčni žarek.)

– Danes bomo nadaljevali s tem zanimivim delom.

– Moramo se povzpeti še na eno stopničko Lestve znanja, da bi spoznali nov koncept, povezan s številskim žarkom.

II. Posodobitev znanja in motivacije.

a) – Doma bi morali zgraditi številsko premico in na njej zabeležiti rezultate merjenja dolžin stranic podobnega mnogokotnika in jih razporediti v naraščajočem vrstnem redu.

Na primer: stranice mnogokotnika so enake:

3 cm, 6 cm, 9 cm, 12 cm, 15 cm, 18 cm, 21 cm, 24 cm, 27 cm.

– Pokaži mi: kaj si naredil?

Kdo je imel kakšne težave?

(Otroci pokažejo liste papirja z nalogo.)

– Kaj zanimivega ste opazili? (Številke, ki so večkratniki 3.)

– Kakšno znanje ste uporabili pri konstruiranju številskega žarka?

(1. Število 0 je začetek žarka. 2. Na številskem žarku so bili položeni enaki enotski segmenti. 3. Razdalja od vsake točke številskega žarka do začetka štetja je enaka številu, ki ustreza ta točka.)

– Katera dejanja vam omogoča številski žarek?

(Nariši poljubno število; seštevaj, odštevaj in primerjaj števila).

– Nato na svojo številsko premico narišite mešano število.

(Otroci se usedejo, 1 učenec pokaže na tabli ali na demonstracijskem vzorcu.)

– Kaj je potrebno za to?

(Vzemite 15 celih segmentov enote in 16. razdelite na 3 enake dele, vendar vzemite samo 1 od treh.)

b) – In zdaj vam bom dal "ključ", da odkrijete nov koncept, ki stoji na naslednji stopnici lestvice znanja.

– Če želite to narediti, na svojo številsko vrstico postavite črke, ki ustrezajo številkam v tej tabeli, in preberite nastalo besedo:

– Torej, na naslednji stopnici Lestve znanja se »pojavi« nov koncept - »koordinata«, katerega številčni žarek moramo zdaj ugotoviti pomen. lestvica

c) – Predlagam, da na posameznih listih rešite naslednjo nalogo:

"V 1 minuti določi in zapiši koordinate točk A, B, C, D v danem pravokotnem oknu." Lahko si izmislite svoj način snemanja ...

- Kdor je opravil nalogo - vstanite!

Kakšne posnetke ste naredili? Pokaži na tabli ...

(Več študentov pokaže svoje možnosti.)

– Kako je to mogoče: bila je ena naloga, vendar so se možnosti snemanja izkazale za različne?

Kakšno znanje ste uporabili pri snemanju?

III. Postavitev učne naloge.

(Otroci delajo stoje.)

– V čem se ta naloga razlikuje od prejšnje, ko ste na številski premici označili različna števila? (Ni bilo treba določiti in zabeležiti koordinat točk.)

– Torej, kaj točno je bil problem? Zakaj so posnetki izpadli drugače?

(Niso razumeli pomena besede »koordinata«; niso je znali pravilno zapisati; niso imeli časa ...)

– Kaj je namen naše lekcije? (Oziroma kaj bi se morali naučiti?)

(Pojasnite pomen pojma "koordinata" točke; naučite se določiti in zapisati koordinate poljubnih točk).

- Oblikujte temo lekcije ... (na tabli se pojavi opomba): Koordinate na žarku.

- Dobro opravljeno!

– In na naslednji stopnji naše lekcije bomo razjasnili pomen pojma "koordinata" in se naučili pravilno zapisati koordinate katere koli točke.

IV. »Odkrivanje« novega znanja s strani otrok.

a) – Torej, kdo ali kaj je vaš prvi pomočnik v primeru težav?

(Slovar, učbenik, učitelj, znanje iz prejšnjih lekcij ...)

– Ste že slišali stavek: »Pusti svoje koordinate«? Kaj to pomeni?

(Pustite svoj naslov. Navedite svojo telefonsko številko.)

– Torej, govorimo o ... čem? ... ( O lokaciji.)

– Kaj se uporablja za zapis naslova? (Številka).

– Kaj je torej »koordinata« točke?

(To je številka, ki označuje lokacijo točke na številski premici, tj. "naslov" točke.)

– Torej smo izvedeli pomen besede "koordinata". Kdor želi, lahko med odmorom preveri razlagalni slovar! (Razlagalni slovar je na učiteljevi mizi.)

b) – Vrnimo se k naši nalogi: »Določi in zapiši koordinate točk A, B, C, D.«

– Kdor je pravilno opravil nalogo, pomagajte tistim, ki so se pri njej zmotili: razložite jim, kaj vam je pomagalo pravilno dokončati to nalogo? (Izjave učencev).

– Dejansko so v matematiki stroga pravila, obstajajo simboli.

– Pazljivo poglej nosilec: Kako je tu zapisana koordinata točke A?

(V oklepaju poleg oznake točke.)

– Kaj označuje številka v oklepaju?

(Število enotskih segmentov od izhodišča do točke A.)

- Pozor! Nad žarkom je črkovna oznaka točke, pod njim pa ustrezna številka!

– Napake v svojih zapisih popravi tisti, ki jih je naredil.

(Zborovski odgovor učencev s podporo.)

(Otroci se usedejo in sede nadaljujejo z delom.)

c) – Preizkusi se po učbeniku: str. 61 – branje zaključka pri sebi ...

– Torej, kaj je "koordinata točke"?

– Zakaj je koordinata vaše točke B enaka (8)?

(To je številka, ki prikazuje razdaljo od točke B do začetka žarka.)

– Kaj novega ste izvedeli o številskem žarku iz sklepa v učbeniku?

(Imenuje se tudi koordinatni žarek).

- Zakaj se še vedno tako imenuje?

(Ker vsaka točka numeričnega žarka ustreza številu, ki je enako koordinati te točke).

– Lestev znanja je bila dopolnjena še z enim dodatkom:

Psihične vaje! (Vstane.)

- Dobro opravljeno! Čudovito delo opravljaš. In da se še malo razvedrite - spet malo avtotreninga - zaprite oči, ponavljajte za mano:

Sem zdrav in močan v duhu!
Sem magnet za uspeh!
Zaupam sebi in življenju!
Zaslužim si vse najboljše!

V. Primarna konsolidacija.

4. naloga, str. 62

a) Izvaja se frontalno na tabli s komentarjem. Če bodo tisti, ki bodo želeli, bo to potekalo "verižno".

b) Izvedeno na tabli "v verigi", s komentarjem:

c) Izvedeno v povezavi z medsebojnim preverjanjem (1 par dela za tablo):

Naloga 2 (b), str. 61 – izvaja se ustno, frontalno.

– Ta naloga nas bo pripravila na študij naslednje teme.

1) 15-1=14 (posamični segmenti) razdalje od jedilnice do telefona;

2) 14 · 5 km=70 (km) razdalje od jedilnice do telefona.

(Če je segment enote 5 km, je razdalja od jedilnice do telefona 14 segmentov enote ali 70 km.)

VI. Samostojno delo s samotestiranjem po vzorcu.

Naloga 3 (a, b), str. 62 – po možnostih samostojno:

- Kdor je končal, naj vstane! Preverimo z vzorcem.

A) Vzorec na plošči:

– Kdo je naredil napako, pojasni, kaj točno (kje?) in zakaj?

Na čem bi še morali delati?

Otroci, ki so se zmotili, delajo samostojno na naslednji stopnji lekcije in opravijo podobno nalogo, na primer nalogo 4(c), str. 62.

VII. Vključevanje v sistem znanja in ponavljanje.

Učenci, ki so pri samostojnem delu delali napake, delajo sami (naloga 4 (c), str. 62),

opravlja podobno nalogo. Nato se preverijo glede na standard ali vzorec (na posameznih listih papirja). Po opravljeni nalogi se pridružijo delu razreda.

In v tem času ves razred opravlja frontalno delo.

– Rešimo nalogo za specifično uporabo novega znanja o koordinatnem žarku:

Naloga 7, str. 62 – ustno, frontalno ali v paru. Glasno branje naloge 1 učenec.

– Kaj je znano v problemu? Kam je peljal avto? (Od leve proti desni.)

– Kaj morate vedeti? kako (Izhodišče. Odštejte 6 enot segmentov od končne točke B (17).

- Torej, od koder je avto odšel? (Iz točke A (11.)

– Odgovorite na 2. vprašanje naloge. (Od desne proti levi pri 3.)

Naloga 9 (b, c, d, e), str. 63 – skupinsko delo:

– Ponovimo reševanje nalog z uporabo formul za pot, ceno, delo.

– Vodja ekip bosta zapisala črkovni izraz na tablo in dokazala svojo izbiro.

1. skupina: b) (x+x3):7;

2. skupina: c) (y:5)12;

3. skupina: d) (p:20)d;

4. skupina: e) c-(a4+c).

VIII. Odsev dejavnosti.

(Otroci delajo stoje.)

– Poimenujte ključne besede lekcije ...

– Kje v življenju lahko uporabite znanje današnje lekcije?

(Pri reševanju problemov, določanju naslova nečesa, nekoga itd.)

– In naša lekcija vas je pripravila na naslednjo, v kateri se boste naučili najti razdaljo

med točkami numeričnega žarka glede na njihove znane koordinate.

* Dobro opravljeno! Neverjetno!
*V redu, ampak lahko bi bilo bolje!
*Potruditi se! Bodi previden!

S prstom prekrijte snežinko s trditvijo, nasproti katere se strinjate.

– Kako bi ocenili delo celotnega razreda?

(»Šok« – roke gor »zaklenjeno«, »Lahko bi bilo bolje« – roke za hrbtom).

Domača naloga: 5. naloga, str. 62 – ustvarjalna narava (ustno);

Naloga 8, str. 62; Naloga 12 (a) ali 13, str. 63-64 (1 neobvezna).

Vsi mislijo: na čem naj še delajo?

Koordinata točke je njen »naslov« na številski premici, številska premica pa je »mesto«, v katerem živijo števila in katero koli število je mogoče najti po naslovu.

Več lekcij na spletnem mestu

Spomnimo se, kaj je naravna serija. To so vse številke, ki jih je mogoče uporabiti za štetje predmetov, ki stojijo strogo v vrstnem redu, enega za drugim, to je v vrsti. Ta niz števil se začne z 1 in nadaljuje v neskončnost z enakimi intervali med sosednjimi številkami. Dodajte 1 - in dobimo naslednjo številko, še 1 - in spet naslednjo. In ne glede na to, katero število vzamemo iz tega niza, so sosednje naravne številke 1 desno in 1 levo od njega. Edina izjema je število 1: naslednje naravno število je tam, prejšnje pa ne. 1 je najmanjše naravno število.

Obstaja ena geometrijska figura, ki ima veliko skupnega z naravnim nizom. Če pogledamo temo lekcije, napisano na tabli, ni težko uganiti, da je ta številka žarek. In v resnici ima žarek začetek, nima pa konca. In lahko bi nadaljevali in nadaljevali, pa bi enostavno zmanjkalo zvezka ali table in ne bi bilo več kam nadaljevati.

S temi podobnimi lastnostmi povežimo naravno vrsto števil in geometrijski lik - žarek.

Ni naključje, da je na začetku žarka prazen prostor: poleg naravnih števil je treba zapisati dobro znano število 0. Zdaj ima vsako naravno število, ki ga najdemo v naravnem nizu, dva soseda na žarku - enega manjšega in enega večjega. Če naredite samo en korak +1 od nič, lahko dobite število 1, in če naredite naslednji korak +1, lahko dobite število 2 ... Če stopite tako naprej, lahko dobimo vsa naravna števila eno za drugim. Tako se žarek, prikazan na tabli, imenuje koordinatni žarek. Lahko rečete bolj preprosto - s številčnim žarkom. Ima najmanjše število - število 0, ki se imenuje Izhodišče , vsako naslednje število je enako oddaljeno od prejšnjega, največjega števila pa ni, tako kot niti žarek niti naravna vrsta nima konca. Naj še enkrat poudarim, da je razdalja med začetkom štetja in naslednjim številom 1 enaka razdalji med katerima koli drugima dvema sosednjima številoma številskega žarka. Ta razdalja se imenuje en segment . Če želite na takšnem žarku označiti poljubno število, morate od izhodišča odložiti natanko enako število enotskih segmentov.

Na primer, da označimo številko 5 na žarku, odložimo 5 enotskih odsekov od začetne točke. Da označimo številko 14 na žarku, od nič odstavimo 14 enotskih odsekov.

Kot lahko vidite v teh primerih, so lahko na različnih risbah enotski segmenti različni(), toda na enem žarku so vsi enotski segmenti() enaki drug drugemu(). (morda bo prišlo do spremembe diapozitivov na slikah, potrditvenih premorov)

Kot veste, je v geometrijskih risbah običajno poimenovati točke z velikimi črkami latinske abecede. Uporabimo to pravilo za risbo na tabli. Vsak koordinatni žarek ima začetno točko, na numeričnem žarku ta točka ustreza številu 0 in ta točka se običajno imenuje črka O. Poleg tega bomo označili več točk na mestih, ki ustrezajo nekaterim številkam tega žarka. Zdaj ima vsaka žarkovna točka svoj specifičen naslov. A(3), ... (5-6 točk na obeh gredih). Imenuje se število, ki ustreza točki na žarku (tako imenovani naslov točke). koordinirati točke. In sam žarek je koordinatni žarek. Koordinatni žarek ali numerični - pomen se ne spremeni.

Opravimo nalogo – označimo točke na številski premici glede na njihove koordinate. Svetujem vam, da to nalogo opravite sami v zvezku. M(3), T(10), U(7).

Da bi to naredili, najprej sestavimo koordinatni žarek. To je žarek, katerega izhodišče je točka O(0). Zdaj morate izbrati en segment. Točno to potrebujemo izberite tako da se vse zahtevane točke prilegajo na risbo. Največja koordinata je zdaj 10. Če postavite začetek žarka 1-2 celici od levega roba strani, ga lahko podaljšate za več kot 10 cm. Nato vzemite enotski odsek 1 cm, ga označite na žarku in 10 cm od začetka žarka se nahaja številka 10. Temu številu ustreza točka T. (...)

Če pa morate na koordinatnem žarku označiti točko H (15), boste morali izbrati drug enotski segment. Navsezadnje ne bo več delovalo kot v prejšnjem primeru, ker prenosni računalnik ne bo ustrezal nosilcu zahtevane vidne dolžine. Izberete lahko en segment dolg 1 celico in preštejete 15 celic od nič do želene točke.

S ploščatim lesenim trakom lahko dve točki A in B povežemo z odsekom (slika 46). Vendar to primitivno orodje ne bo moglo izmeriti dolžine segmenta AB. Lahko se izboljša.

Na tirnici bomo nanesli poteze na vsak centimeter. Pod prvo potezo bomo postavili številko 0, pod drugo - 1, tretjo - 2 itd. (slika 47). V takih primerih pravijo, da je tirnica označena lestvica s ceno razdelka 1 cm Ta palica s šolo je podobna ravnilu. Najpogosteje pa se na ravnilo uporablja lestvica z vrednostjo delitve 1 mm (slika 48).

Iz vsakdanjega življenja so vam dobro znani še drugi merilni instrumenti, ki imajo lestvice različnih oblik. Na primer: številčnica ure z lestvico 1 min (slika 49), avtomobilski merilnik hitrosti z lestvico 10 km/h (slika 50), sobni termometer z lestvico 1 °C (slika 51) , tehtnice z merilom 50 g (slika 52).

Oblikovalec izdeluje merilne instrumente, katerih skale so končne, to pomeni, da je med številkami, označenimi na skali, vedno največje. Toda matematik lahko s pomočjo svoje domišljije sestavi neskončno lestvico.

Nariši žarek OX. Na tem žarku označimo točko E. Nad točko O zapišimo številko 0, pod točko E pa številko 1 (slika 53).

Rekli bomo, da točka O prikazuještevilo je 0, točka E pa je število 1. Običajno je tudi reči, da točka O ustrezaštevilka 0, točka E pa številka 1.

Desno od točke E odložimo odsek, ki je enak odseku OE. Dobimo točko M, ki predstavlja število 2 (glej sliko 53). Na enak način označite točko N, ki predstavlja številko 3. Tako korak za korakom dobimo točke, ki ustrezajo številkam 4, 5, 6, .... Mentalno lahko ta proces nadaljujete, kolikor dolgo želite.

Nastala neskončna lestvica se imenuje koordinatni žarek, točka O − Izhodišče, in segment OE − en segment koordinatni žarek.

Na sliki 53 točka K predstavlja število 5. Pravijo, da je številka 5 koordinirati točke K in zapiši K(5). Podobno lahko zapišemo O(0); E(1); M(2); N(3).

Pogosto namesto »označimo točko s koordinato, ki je enaka ...« rečejo »označimo številko ...«.

Žarek je del premice, ki ima začetek in nima konca (sončni žarek, žarek svetilke). Oglejte si risbo in ugotovite, katere figure so upodobljene, v čem so si podobne, v čem se razlikujejo in kako jih lahko imenujemo. http://bit.ly/2DusaQv

Slika prikazuje dele ravne črte, ki imajo začetek in nimajo konca; to so žarki, ki jih lahko imenujemo "o x".

• en žarek je označen z velikimi črkami OX, v imenu drugega pa je ena črka velika, druga pa majhna Ox;
• prvi žarek je čist, drugi pa je videti kot ravnilo, saj so na njem označene številke;
• na drugem žarku je označena črka E, pod njo pa številka 1;
• na desnem koncu tega žarka je puščica;
• morda bi ga lahko imenovali številski žarek.

Drugi žarek lahko imenujemo numerični žarek Ox:

• O je izhodišče in ima koordinato nič;
• zapisano O(0); odčita se točka O s koordinato nič;
• Pod točko, označeno s črko O, je običajno napisati številko nič (0);
• segment OE - segment enote;
• točka E ima koordinato 1 (na risbi označena s pomišljajem);
• E (1) je zapisano; preberite točko E s koordinato ena;
• puščica na desnem koncu žarka označuje smer, v kateri poteka štetje;
• uvedli smo nove pojme koordinate, kar pomeni, da lahko žarek imenujemo koordinata;
• Ker so na žarek vrisane koordinate različnih točk, v imenu žarka na desni strani zapišemo malo črko x.

Konstrukcija koordinatnega žarka

Razkrili smo koncept koordinatnega žarka in z njim povezano terminologijo, kar pomeni, da se ga moramo naučiti sestaviti:

• sestavimo žarek in označimo Ox;
• navedite smer s puščico;
• Začetek odštevanja označimo s številko 0;
• Označimo en segment OE (lahko je različnih dolžin);
• koordinato točke E označimo s številko 1;
• preostale točke bodo na enaki razdalji drug od drugega, vendar jih ni običajno postaviti na koordinatni žarek, da ne bi motili risbe.

Za vizualno predstavitev številk je običajno uporabiti koordinatni žarek, na katerem so številke razporejene v naraščajočem vrstnem redu od leve proti desni. Tako je število, ki se nahaja desno, vedno večje od števila, ki se nahaja levo na ravni črti.

Konstrukcija koordinatnega žarka se začne v točki O, ki jo imenujemo koordinatni izhodišče. Iz te točke potegnemo žarek v desno in na njegovem koncu narišemo puščico v desno. Točka O ima koordinato 0. Od nje na žarek položimo enotski odsek, katerega konec ima koordinato 1. Od konca enotskega odseka odložimo eno enako dolgo roto, na koncu katere postavimo koordinata 2 itd.

§ 1 Koordinatni žarek

V tej lekciji se boste naučili zgraditi koordinatni žarek in določiti koordinate točk, ki se nahajajo na njem.

Za izdelavo koordinatnega žarka najprej seveda potrebujemo sam žarek.

Označimo ga z OX, točka O je začetek žarka.

Če pogledamo naprej, povejmo, da se točka O imenuje izhodišče koordinatnega žarka.

Žarek lahko narišemo v kateri koli smeri, vendar je v mnogih primerih žarek narisan vodoravno in desno od svojega izhodišča.

Torej, narišimo žarek OX vodoravno od leve proti desni in njegovo smer označimo s puščico. Na žarku označimo točko E.

Nad začetkom žarka (točka O) zapišemo 0, nad točko E pa številko 1.

Odsek OE se imenuje enota.

Torej, korak za korakom, odklanjamo posamezne segmente, dobimo neskončno lestvico.

Števila 0, 1, 2 imenujemo koordinate točk O, E in A. Zapišite točko O in v oklepaju navedite njeno koordinato nič - O (o), točko E in v oklepaju njeno koordinato ena - E (1), točko A in v oklepaju je njegova koordinata dve A(2).

Tako je za konstrukcijo koordinatnega žarka potrebno:

1. nariši žarek OX vodoravno od leve proti desni in s puščico označi njegovo smer, nad točko O zapiši številko 0;

2. morate nastaviti tako imenovani segment enote. Če želite to narediti, morate na žarku označiti točko, ki ni točka O (na tem mestu je običajno, da ne postavite pike, ampak črto) in nad črto napišite številko 1;

3. na žarku od konca segmenta enote morate odložiti še en odsek enote, ki je enak enoti, in prav tako postaviti črto, nato pa od konca tega segmenta odložiti še en segment , označimo tudi s črto itd.;

4. Da bi koordinatni žarek dobil svojo končno obliko, ostane še zapisati številke iz naravnega niza številk nad potezami od leve proti desni: 2, 3, 4 itd.

§ 2 Določanje koordinat točke

Izpolnimo nalogo:

Na koordinatnem žarku naj bodo označene naslednje točke: točka M s koordinato 1, točka P s koordinato 3 in točka A s koordinato 7.

Konstruirajmo koordinatni žarek z začetkom v točki O. Izberemo enotski odsek tega žarka 1 cm, to je 2 celici (po 2 celicah od nič damo praštevilo in številko 1, nato še po dveh celicah - praštevilo in število 2; nato 3; 4; 5; 6; 7 in tako naprej).

Točka M se bo nahajala desno od ničle za dve celici, točka P bo locirana desno od ničle za 6 celic, saj bo 3 pomnoženo z 2 6, točka A pa bo locirana desno od ničle za 14 celic, saj bo 7 pomnoženo z 2 14.

Naslednja naloga:

Poišči in zapiši koordinate točk A; IN; in C označena na tem koordinatnem žarku

Ta koordinatni žarek ima enotski segment, ki je enak eni celici, kar pomeni, da je koordinata točke A 4, koordinata točke B 8 in koordinata točke C 12.

Če povzamemo, žarek OX z izhodiščem v točki O, na kateri sta navedena enotski odsek in smer, imenujemo koordinatni žarek. Koordinatni žarek ni nič drugega kot neskončna lestvica.

Število, ki ustreza točki na koordinatnem žarku, se imenuje koordinata te točke.

Na primer: A in v oklepaju 3.

Beri: točka A s koordinato 3.

Opozoriti je treba, da je zelo pogosto koordinatni žarek upodobljen kot žarek z začetkom v točki O, od njegovega začetka pa je odložen en segment enote, nad koncem katerega sta napisani številki 0 in 1. V tem primeru , se razume, da lahko po potrebi enostavno nadaljujemo s konstrukcijo lestvice, tako da na žarek zaporedno položimo posamezne segmente.

Tako ste se v tej lekciji naučili sestaviti koordinatni žarek in določiti koordinate točk, ki se nahajajo na koordinatnem žarku.

Seznam uporabljene literature:

1. Matematika 5. razred. Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I. in drugi 31. izd., izbrisano. - M: 2013.
2. Didaktična gradiva za matematiko 5. razred. Avtor - Popov M.A. – 2013.
3. Računamo brez napak. Delo s samotestiranjem pri matematiki 5.-6. Avtor - Minaeva S.S. – 2014.
4. Didaktična gradiva za matematiko 5. razred. Avtorji: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. – 2010.
5. Testi in samostojno delo pri matematiki 5. razred. Avtorji - Popov M.A. - 2012.
6. Matematika. 5. razred: poučna. za splošnoizobraževalce. ustanove / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009.