Lutasin ang quadratic equation formula. Ang tradisyunal na paraan ng paglutas at hindi kumpletong quadratic equation. Mga halimbawa ng quadratic equation

Ang mga quadratic equation ay pinag-aaralan sa grade 8, kaya walang kumplikado dito. Ang kakayahang malutas ang mga ito ay mahalaga.

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng anyong ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang mga coefficients a , b at c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.

Bago pag-aralan ang mga tiyak na pamamaraan ng solusyon, tandaan namin na ang lahat ng mga quadratic equation ay maaaring nahahati sa tatlong klase:

Walang mga ugat;
Mayroon silang eksaktong isang ugat;
Mayroon silang dalawang magkaibang ugat.

Ito ay isang mahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga quadratic at linear na equation, kung saan ang ugat ay palaging umiiral at natatangi. Paano matukoy kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang equation? Mayroong isang kahanga-hangang bagay para dito - may diskriminasyon.

diskriminasyon

Hayaang ibigay ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0. Kung gayon ang discriminant ay simpleng numero D = b 2 − 4ac .

Ang formula na ito ay dapat na kilala sa puso. Kung saan ito nanggaling ay hindi na mahalaga ngayon. Ang isa pang bagay ay mahalaga: sa pamamagitan ng pag-sign ng discriminant, matutukoy mo kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang quadratic equation. Namely:

Kung si D< 0, корней нет;
Kung D = 0, mayroong eksaktong isang ugat;
Kung D > 0, magkakaroon ng dalawang ugat.

Pakitandaan: ang discriminant ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat, at hindi sa lahat ng kanilang mga palatandaan, dahil sa ilang kadahilanan na iniisip ng maraming tao. Tingnan ang mga halimbawa at mauunawaan mo ang lahat sa iyong sarili:

Isang gawain. Gaano karaming mga ugat mayroon ang mga quadratic equation:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Isinulat namin ang mga coefficient para sa unang equation at hanapin ang discriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Kaya, ang discriminant ay positibo, kaya ang equation ay may dalawang magkaibang mga ugat. Sinusuri namin ang pangalawang equation sa parehong paraan:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Ang discriminant ay negatibo, walang mga ugat. Ang huling equation ay nananatili:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ang discriminant ay katumbas ng zero - ang ugat ay magiging isa.

Tandaan na ang mga coefficient ay naisulat para sa bawat equation. Oo, ito ay mahaba, oo, ito ay nakakapagod - ngunit hindi mo paghaluin ang mga posibilidad at hindi gumawa ng mga hangal na pagkakamali. Pumili para sa iyong sarili: bilis o kalidad.

Sa pamamagitan ng paraan, kung "punan mo ang iyong kamay", pagkatapos ng ilang sandali ay hindi mo na kailangang isulat ang lahat ng mga coefficient. Gagawin mo ang gayong mga operasyon sa iyong ulo. Karamihan sa mga tao ay nagsimulang gawin ito sa isang lugar pagkatapos ng 50-70 na nalutas na mga equation - sa pangkalahatan, hindi gaanong marami.

Ang mga ugat ng isang quadratic equation

Ngayon ay lumipat tayo sa solusyon. Kung ang discriminant D > 0, ang mga ugat ay makikita gamit ang mga formula:

Pangunahing pormula ng mga ugat quadratic equation

Kapag D = 0, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula na ito - makakakuha ka ng parehong numero, na siyang magiging sagot. Sa wakas, kung si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Unang equation:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila:

Pangalawang equation:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ang equation muli ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Panghuli, ang ikatlong equation:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ang equation ay may isang ugat. Maaaring gamitin ang anumang formula. Halimbawa, ang una:

Tulad ng nakikita mo mula sa mga halimbawa, ang lahat ay napaka-simple. Kung alam mo ang mga formula at marunong kang magbilang, walang magiging problema. Kadalasan, ang mga error ay nangyayari kapag ang mga negatibong coefficient ay pinalitan sa formula. Dito, muli, ang pamamaraan na inilarawan sa itaas ay makakatulong: tingnan ang formula nang literal, pintura ang bawat hakbang - at mapupuksa ang mga pagkakamali sa lalong madaling panahon.

Hindi kumpletong quadratic equation

Ito ay nangyayari na ang quadratic equation ay medyo naiiba sa kung ano ang ibinigay sa kahulugan. Halimbawa:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Madaling makita na ang isa sa mga termino ay nawawala sa mga equation na ito. Ang ganitong mga quadratic equation ay mas madaling lutasin kaysa sa karaniwang mga equation: hindi na nila kailangan pang kalkulahin ang discriminant. Kaya't ipakilala natin ang isang bagong konsepto:

Ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na incomplete quadratic equation kung b = 0 o c = 0, i.e. ang koepisyent ng variable na x o ang libreng elemento ay katumbas ng zero.

Siyempre, ang isang napakahirap na kaso ay posible kapag ang parehong mga coefficient na ito ay katumbas ng zero: b \u003d c \u003d 0. Sa kasong ito, ang equation ay tumatagal sa anyo ng ax 2 \u003d 0. Malinaw, ang gayong equation ay may isang solong ugat: x \u003d 0.

Isaalang-alang natin ang iba pang mga kaso. Hayaan ang b \u003d 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 + c \u003d 0. Bahagyang ibahin natin ito:

Dahil ang arithmetic square root ay umiiral lamang mula sa hindi negatibong numero, ang huling pagkakapantay-pantay ay may katuturan lamang para sa (−c /a ) ≥ 0. Konklusyon:

Kung ang isang hindi kumpletong parisukat na equation ng anyong ax 2 + c = 0 ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay (−c / a ) ≥ 0, magkakaroon ng dalawang ugat. Ang formula ay ibinigay sa itaas;
Kung (−c / a )< 0, корней нет.

Tulad ng nakikita mo, hindi kinakailangan ang discriminant - walang kumplikadong mga kalkulasyon sa hindi kumpletong quadratic equation. Sa katunayan, hindi na kailangang tandaan ang hindi pagkakapantay-pantay (−c / a ) ≥ 0. Ito ay sapat na upang ipahayag ang halaga ng x 2 at makita kung ano ang nasa kabilang panig ng equal sign. Kung mayroong positibong numero, magkakaroon ng dalawang ugat. Kung negatibo, walang magiging ugat.

Ngayon harapin natin ang mga equation ng form na ax 2 + bx = 0, kung saan ang libreng elemento ay katumbas ng zero. Ang lahat ay simple dito: palaging may dalawang ugat. Ito ay sapat na upang i-factor ang polynomial:

Inalis ang karaniwang salik sa bracket

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Dito nagmula ang mga ugat. Sa konklusyon, susuriin natin ang ilan sa mga equation na ito:

Isang gawain. Lutasin ang mga quadratic equation:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Walang mga ugat, dahil ang parisukat ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

Ang mga gawain para sa isang quadratic equation ay pinag-aaralan kapwa sa kurikulum ng paaralan at sa mga unibersidad. Nauunawaan ang mga ito bilang mga equation ng form a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kung saan x- variable, a,b,c – constants; a<>0 . Ang problema ay upang mahanap ang mga ugat ng equation.

Ang geometric na kahulugan ng quadratic equation

Ang graph ng isang function na kinakatawan ng isang quadratic equation ay isang parabola. Ang mga solusyon (roots) ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection ng parabola sa x-axis. Ito ay sumusunod na mayroong tatlong posibleng mga kaso:
1) ang parabola ay walang mga punto ng intersection sa x-axis. Nangangahulugan ito na ito ay nasa itaas na eroplano na may mga sanga pataas o ang mas mababang isa ay may mga sanga pababa. Sa ganitong mga kaso, ang quadratic equation ay walang tunay na ugat (ito ay may dalawang kumplikadong ugat).

2) ang parabola ay may isang punto ng intersection sa axis na Ox. Ang nasabing punto ay tinatawag na vertex ng parabola, at ang quadratic equation dito ay nakakakuha ng pinakamababa o pinakamataas na halaga. Sa kasong ito, ang quadratic equation ay may isang tunay na ugat (o dalawang magkaparehong ugat).

3) Ang huling kaso ay mas kawili-wili sa pagsasanay - mayroong dalawang punto ng intersection ng parabola na may abscissa axis. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tunay na ugat ng equation.

Batay sa pagsusuri ng mga coefficient sa mga kapangyarihan ng mga variable, ang mga kagiliw-giliw na konklusyon ay maaaring iguguhit tungkol sa paglalagay ng parabola.

1) Kung ang koepisyent a ay mas malaki kaysa sa zero, ang parabola ay nakadirekta paitaas, kung negatibo, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

2) Kung ang coefficient b ay mas malaki kaysa sa zero, kung gayon ang vertex ng parabola ay nasa kaliwang kalahating eroplano kung aabutin negatibong kahulugan- pagkatapos ay sa kanan.

Derivation ng isang formula para sa paglutas ng isang quadratic equation

Ilipat natin ang pare-pareho mula sa quadratic equation

para sa pantay na tanda, nakukuha namin ang expression

I-multiply ang magkabilang panig sa 4a

Upang makakuha ng isang buong parisukat sa kaliwa, idagdag ang b ^ 2 sa parehong bahagi at gawin ang pagbabago

Mula dito makikita natin

Formula ng discriminant at mga ugat ng quadratic equation

Ang discriminant ay ang halaga ng radical expression. Kung ito ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na kinakalkula ng formula Kapag ang discriminant ay zero, ang quadratic equation ay may isang solusyon (dalawang coinciding roots), na madaling makuha mula sa itaas na formula para sa D=0. Kapag ang discriminant ay negatibo, walang tunay na ugat ng equation. Gayunpaman, upang pag-aralan ang mga solusyon ng quadratic equation sa kumplikadong eroplano, at ang kanilang halaga ay kinakalkula ng formula

Ang teorama ni Vieta

Isaalang-alang ang dalawang ugat ng isang quadratic equation at bumuo ng isang quadratic equation sa kanilang batayan. Mula sa notasyon, ang Vieta theorem mismo ay madaling sumusunod: kung mayroon tayong quadratic equation ng form kung gayon ang kabuuan ng mga ugat nito ay katumbas ng koepisyent p, kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ng equation ay katumbas ng libreng termino q. Ang formula para sa itaas ay magmumukhang Kung ang pare-parehong a sa classical na equation ay nonzero, pagkatapos ay kailangan mong hatiin ang buong equation dito, at pagkatapos ay ilapat ang Vieta theorem.

Iskedyul ng quadratic equation sa mga salik

Hayaang itakda ang gawain: i-decompose ang quadratic equation sa mga salik. Upang maisagawa ito, lutasin muna natin ang equation (hanapin ang mga ugat). Susunod, pinapalitan natin ang mga natagpuang ugat sa formula para sa pagpapalawak ng quadratic equation. Ang problemang ito ay malulutas.

Mga gawain para sa isang quadratic equation

Gawain 1. Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation

x^2-26x+120=0 .

Solusyon: Isulat ang mga coefficient at palitan sa discriminant formula

ugat ng binigay na halaga katumbas ng 14, madaling mahanap ito gamit ang isang calculator, o tandaan ito sa madalas na paggamit, gayunpaman, para sa kaginhawahan, sa dulo ng artikulo ay bibigyan kita ng isang listahan ng mga parisukat ng mga numero na madalas na matatagpuan sa mga naturang gawain .
Ang nahanap na halaga ay pinapalitan sa root formula

at nakukuha namin

Gawain 2. lutasin ang equation

2x2+x-3=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation, isulat ang mga coefficient at hanapin ang discriminant

Gamit ang mga kilalang formula, makikita natin ang mga ugat ng quadratic equation

Gawain 3. lutasin ang equation

9x2 -12x+4=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation. Tukuyin ang discriminant

Nakuha namin ang kaso kapag ang mga ugat ay nag-tutugma. Nahanap namin ang mga halaga ng mga ugat sa pamamagitan ng formula

Gawain 4. lutasin ang equation

x^2+x-6=0 .

Solusyon: Sa mga kaso kung saan may maliliit na coefficient para sa x, ipinapayong ilapat ang Vieta theorem. Sa pamamagitan ng kondisyon nito, nakakakuha tayo ng dalawang equation

Mula sa pangalawang kondisyon, nakuha namin na ang produkto ay dapat na katumbas ng -6. Nangangahulugan ito na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Mayroon kaming sumusunod na posibleng pares ng mga solusyon(-3;2), (3;-2) . Isinasaalang-alang ang unang kundisyon, tinatanggihan namin ang pangalawang pares ng mga solusyon.
Ang mga ugat ng equation ay

Gawain 5. Hanapin ang mga haba ng mga gilid ng isang parihaba kung ang perimeter nito ay 18 cm at ang lawak ay 77 cm 2.

Solusyon: Ang kalahati ng perimeter ng isang parihaba ay katumbas ng kabuuan ng mga katabing gilid. Tukuyin natin ang x - malaking bahagi, pagkatapos ay 18-x ang mas maliit na bahagi nito. Ang lugar ng isang rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga haba na ito:
x(18x)=77;
o
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Hanapin natin ang discriminant mga equation

Kinakalkula namin ang mga ugat ng equation

Kung ang x=11, pagkatapos 18x=7 , vice versa ay totoo din (kung x=7, pagkatapos ay 21-x=9).

Suliranin 6. I-factorize ang quadratic 10x 2 -11x+3=0 equation.

Solusyon: Kalkulahin ang mga ugat ng equation, para dito makikita natin ang discriminant

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa formula ng mga ugat at kalkulahin

Inilapat namin ang formula para sa pagpapalawak ng quadratic equation sa mga tuntunin ng mga ugat

Pagpapalawak ng mga bracket, makukuha natin ang pagkakakilanlan.

Quadratic equation na may parameter

Halimbawa 1. Para sa anong mga halaga ng parameter a , may isang ugat ba ang equation (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0?

Solusyon: Sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ng halaga a=3, makikita natin na wala itong solusyon. Dagdag pa, gagamitin namin ang katotohanan na sa isang zero discriminant, ang equation ay may isang ugat ng multiplicity 2. Isulat natin ang discriminant

pasimplehin ito at katumbas ng zero

Nakakuha kami ng isang quadratic equation na may paggalang sa parameter a, ang solusyon kung saan ay madaling makuha gamit ang Vieta theorem. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang kanilang produkto ay 12. Sa pamamagitan ng simpleng enumeration, itinatatag namin na ang mga numero 3.4 ang magiging ugat ng equation. Dahil tinanggihan na natin ang solusyon a=3 sa simula ng mga kalkulasyon, ang tanging tama ay - a=4. Kaya, para sa a = 4, ang equation ay may isang ugat.

Halimbawa 2. Para sa anong mga halaga ng parameter a , ang equation a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 may higit sa isang ugat?

Solusyon: Isaalang-alang muna ang mga isahan na puntos, sila ang magiging mga halaga a=0 at a=-3. Kapag a=0, ang equation ay pasimplehin sa anyo na 6x-9=0; x=3/2 at magkakaroon ng isang ugat. Para sa a= -3 makuha natin ang pagkakakilanlan 0=0 .
Kalkulahin ang discriminant

at hanapin ang mga halaga ng isang kung saan ito ay positibo

Mula sa unang kundisyon nakakakuha tayo ng>3. Para sa pangalawa, makikita natin ang discriminant at ang mga ugat ng equation

Tukuyin natin ang mga pagitan kung saan kumukuha ang function ng mga positibong halaga. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng puntong a=0 nakukuha natin 3>0 . Kaya, sa labas ng pagitan (-3; 1/3) ang function ay negatibo. Huwag kalimutan ang tuldok a=0 na dapat na hindi kasama, dahil ang orihinal na equation ay may isang ugat dito.
Bilang resulta, nakakakuha kami ng dalawang pagitan na nakakatugon sa kondisyon ng problema

Magkakaroon ng maraming katulad na mga gawain sa pagsasanay, subukang harapin ang mga gawain sa iyong sarili at huwag kalimutang isaalang-alang ang mga kondisyon na kapwa eksklusibo. Pag-aralan nang mabuti ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation, madalas silang kailangan sa mga kalkulasyon sa iba't ibang mga problema at agham.

Hayaang ibigay ang quadratic equation na ax 2 + bx + c = 0.
Inilapat namin sa square trinomial ax 2 + bx + c ang parehong mga pagbabagong ginawa namin sa § 13 nang napatunayan namin ang theorem na ang graph ng function na y \u003d ax 2 + bx + c ay isang parabola.
Meron kami

Karaniwan, ang expression b 2 - 4ac ay tinutukoy ng titik D at tinatawag na discriminant ng quadratic equation ax 2 + bx + c \u003d 0 (o ang discriminant ng square trinomial ax + bx + c).

Sa ganitong paraan

Samakatuwid, ang quadratic equation ax 2 + their + c \u003d O ay maaaring isulat muli bilang

Anumang quadratic equation ay maaaring ibahin sa anyo (1), na maginhawa, gaya ng makikita natin ngayon, upang matukoy ang bilang ng mga ugat ng isang quadratic equation at mahanap ang mga ugat na ito.

Patunay. Kung si D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Halimbawa 1 Lutasin ang equation na 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Solusyon. Dito a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Mula noong D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Patunay. Kung D = 0, ang equation (1) ay kunin ang anyo

ay ang tanging ugat ng equation.

Puna 1. Naaalala mo ba na x \u003d - ay ang abscissa ng vertex ng parabola, na nagsisilbing graph ng function na y \u003d ax 2 + ux + c? Bakit ito
value pala ang tanging ugat ng quadratic equation ax 2 + x + c - 0? Ang "casket" ay bubukas lamang: kung ang D ay 0, kung gayon, tulad ng itinatag namin kanina,

Ang graph ng parehong function ay isang parabola na may vertex sa isang punto (tingnan, halimbawa, Fig. 98). Samakatuwid, ang abscissa ng vertex ng parabola at ang tanging ugat ng quadratic equation para sa D = 0 ay ang parehong numero.

Halimbawa 2 Lutasin ang equation na 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Solusyon. Narito ang isang \u003d 4, b \u003d -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. apat. 25 = 400 - 400 = 0.

Dahil D = 0, pagkatapos ay sa pamamagitan ng Theorem 2 ang quadratic equation na ito ay may isang ugat. Ang ugat na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Sagot: 2.5.

Puna 2. Tandaan na ang 4x2 - 20x +25 ay isang perpektong parisukat: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2.
Kung napansin namin ito kaagad, malulutas namin ang equation tulad nito: (2x - 5) 2 \u003d 0, na nangangahulugang 2x - 5 \u003d 0, kung saan nakukuha namin ang x \u003d 2.5. Sa pangkalahatan, kung D = 0, kung gayon

ax 2 + bx + c = - nabanggit namin ito kanina sa Remark 1.
Kung D > 0, kung gayon ang quadratic equation ax 2 + bx + c \u003d 0 ay may dalawang ugat, na matatagpuan ng mga formula

Patunay. Muli naming isinusulat ang quadratic equation ax 2 + b x + c = 0 sa anyo (1)

Ilagay natin
Sa pamamagitan ng pagpapalagay, D > 0, na nangangahulugan na ang kanang bahagi ng equation ay isang positibong numero. Pagkatapos mula sa equation (2) makuha namin iyon

Kaya, ang ibinigay na quadratic equation ay may dalawang ugat:

Puna 3. Sa matematika, bihirang mangyari na ang ipinakilalang termino ay walang, matalinghagang pagsasalita, araw-araw na background. Kumuha tayo ng bago
discriminant ang konsepto. Tandaan ang salitang "diskriminasyon". Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito ng kahihiyan ng ilan at ang kadakilaan ng iba, i.e. magkaibang ugali
nie sa iba't ibang pudya. Ang parehong mga salita (parehong discriminant at diskriminasyon) ay nagmula sa Latin na discriminans - "distinguishing". Tinutukoy ng discriminant ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng bilang ng mga ugat.

Halimbawa 3 Lutasin ang equation na 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Solusyon. Dito a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
Dahil D > 0, sa pamamagitan ng Theorem 3 ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat. Ang mga ugat na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula (3)

Sa katunayan, binuo namin ang sumusunod na panuntunan:

Tuntunin sa Paglutas ng Equation
ax 2 + bx + c = 0

Ang panuntunang ito ay unibersal, nalalapat ito sa parehong kumpleto at hindi kumpletong quadratic equation. Gayunpaman, ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay karaniwang hindi nalutas ayon sa panuntunang ito; ito ay mas maginhawa upang malutas ang mga ito tulad ng ginawa natin sa nakaraang talata.

Halimbawa 4 Lutasin ang mga Equation:

a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3.5 = 0.

Solusyon. a) Dito a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d Z 2 - 4. isa. (- 5) = 9 + 20 = 29.

Dahil D > 0, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat. Ang mga ugat na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula (3)

B) Gaya ng ipinapakita ng karanasan, mas maginhawang harapin ang mga quadratic equation kung saan ang nangungunang coefficient ay positibo. Samakatuwid, una nating i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa -1, nakukuha natin

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Narito ang isang \u003d 9, b \u003d -6, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 36 - 36 \u003d 0.
Dahil D = 0, ang quadratic equation na ito ay may isang ugat. Ang ugat na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula x \u003d -. Ibig sabihin,

Ang equation na ito ay maaaring malutas sa ibang paraan: since
9x 2 - 6x + 1 \u003d (Zx - IJ, pagkatapos ay makuha namin ang equation (3x - I) 2 \u003d 0, kung saan matatagpuan namin ang Zx - 1 \u003d 0, i.e. x \u003d.

c) Narito ang isang \u003d 2, b \u003d - 1, c \u003d 3.5, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 1 - 4. 2. 3.5= 1 - 28 = - 27. Dahil D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Ang mga mathematician ay praktikal, matipid na mga tao. Bakit, sabi nila, gumamit ng ganoong mahabang panuntunan para sa paglutas ng isang quadratic equation, mas mahusay na agad na magsulat ng isang pangkalahatang formula:

Kung lumalabas na ang discriminant D \u003d b 2 - 4ac ay isang negatibong numero, kung gayon ang nakasulat na pormula ay hindi makatwiran (sa ilalim ng tanda parisukat na ugat ay isang negatibong numero), kaya walang mga ugat. Kung ito ay lumabas na ang discriminant ay katumbas ng zero, pagkatapos ay makuha namin

Iyon ay, isang ugat (sinasabi rin nila na ang quadratic equation sa kasong ito ay may dalawang magkaparehong ugat:

Sa wakas, kung ito ay lumabas na b 2 - 4ac > 0, pagkatapos ay dalawang ugat x 1 at x 2 ay nakuha, na kung saan ay kinakalkula gamit ang parehong mga formula (3) tulad ng ipinahiwatig sa itaas.

Ang numero mismo sa kasong ito ay positibo (tulad ng anumang square root ng isang positibong numero), at ang double sign sa harap nito ay nangangahulugan na sa isang kaso (kapag nahanap ang x 1) ang positibong numerong ito ay idinagdag sa numero - b, at sa kabilang kaso (kapag ang paghahanap ng x 2) ay isang positibong numero na-
basahin mula sa bilang - b.

May kalayaan kang pumili. Kung gusto mo, lutasin nang detalyado ang quadratic equation gamit ang panuntunang binalangkas sa itaas; kung gusto mo, isulat kaagad ang formula (4) at gamitin ito upang makagawa ng mga kinakailangang konklusyon.

Halimbawa 5. Lutasin ang mga Equation:

Solusyon, a) Siyempre, maaaring gamitin ang mga formula (4) o (3), kung isasaalang-alang iyon sa kasong ito Ngunit bakit nagsasagawa ng mga operasyon na may mga fraction kung ito ay mas madali at, pinaka-mahalaga, mas kaaya-aya upang makitungo sa mga integer? Alisin natin ang mga denominador. Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng 12, iyon ay, sa pamamagitan ng hindi bababa sa karaniwang denominator ng mga fraction na nagsisilbing coefficients ng equation. Kunin

kung saan 8x 2 + 10x - 7 = 0.

At ngayon ginagamit namin ang formula (4)

B) Muli kaming may equation na may mga fractional coefficient: a \u003d 3, b \u003d - 0.2, c \u003d 2.77. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 100, pagkatapos ay makakakuha tayo ng equation na may integer coefficients:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Susunod, ginagamit namin ang formula (4):

Ang isang simpleng hula ay nagpapakita na ang discriminant (radical expression) ay isang negatibong numero. Kaya ang equation ay walang mga ugat.

Halimbawa 6 lutasin ang equation
Solusyon. Dito, sa kaibahan sa nakaraang halimbawa, mas mainam na kumilos ayon sa tuntunin, at hindi ayon sa pinababang pormula (4).

Mayroon kaming \u003d 5, b \u003d -, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Dahil D > 0, ang quadratic equation ay may dalawang ugat, na hahanapin natin gamit ang mga formula (3)

Halimbawa 7 lutasin ang equation
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 + p-2) = 0

Solusyon. Ang quadratic equation na ito ay naiiba sa lahat ng quadratic equation na isinasaalang-alang sa ngayon dahil ang mga coefficient ay hindi mga tiyak na numero, ngunit literal na mga expression. Ang ganitong mga equation ay tinatawag na mga equation na may mga letter coefficient o mga equation na may mga parameter. Sa kasong ito, ang parameter (letra) p ay kasama sa pangalawang koepisyent at ang libreng termino ng equation.
Hanapin natin ang discriminant:

Halimbawa 8. Lutasin ang equation na px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Solusyon. Ito rin ay isang equation na may parameter p, ngunit, hindi katulad ng nakaraang halimbawa, hindi ito malulutas kaagad gamit ang mga formula (4) o (3). Ang katotohanan ay ang mga formula na ito ay naaangkop sa mga quadratic equation, ngunit hindi pa natin ito masasabi tungkol sa isang ibinigay na equation. Sa katunayan, paano kung p = 0? Pagkatapos
ang equation ay kukuha ng form 0 . x 2 + (1-0)x- 1 \u003d 0, i.e. x - 1 \u003d 0, kung saan nakukuha namin ang x \u003d 1. Ngayon, kung sigurado ka na, maaari mong ilapat ang mga formula ng mga ugat ng quadratic equation:

Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ay naiiba sa mga klasikal (kumpleto) na equation na ang mga kadahilanan o libreng term nito ay katumbas ng zero. Ang graph ng naturang mga function ay parabolas. Depende sa pangkalahatang hitsura, nahahati sila sa 3 grupo. Ang mga prinsipyo ng solusyon para sa lahat ng uri ng mga equation ay pareho.

Walang mahirap sa pagtukoy ng uri ng hindi kumpletong polynomial. Pinakamabuting isaalang-alang ang mga pangunahing pagkakaiba sa mga halimbawa ng paglalarawan:

Kung b = 0, ang equation ay ax 2 + c = 0.
Kung c = 0, dapat lutasin ang expression na ax 2 + bx = 0.
Kung b = 0 at c = 0, ang polynomial ay magiging equality ng type ax 2 = 0.

Ang huling kaso ay higit pa sa isang teoretikal na posibilidad at hindi kailanman nangyayari sa mga pagsubok sa kaalaman, dahil ang tanging tamang halaga variable x sa expression ay zero. Sa hinaharap, isasaalang-alang ang mga pamamaraan at halimbawa ng paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation 1) at 2) ng mga uri.

Pangkalahatang Algorithm para sa Paghahanap ng mga Variable at Mga Halimbawa na may Solusyon

Anuman ang uri ng equation, ang algorithm ng solusyon ay binabawasan sa mga sumusunod na hakbang:

Dalhin ang expression sa isang form na maginhawa para sa paghahanap ng mga ugat.
Gumawa ng mga kalkulasyon.
Isulat ang sagot.

Ito ay pinakamadaling lutasin ang mga hindi kumpletong equation sa pamamagitan ng factoring kaliwang parte at nag-iiwan ng zero sa kanan. Kaya, ang formula para sa isang hindi kumpletong quadratic equation para sa paghahanap ng mga ugat ay nabawasan sa pagkalkula ng halaga ng x para sa bawat isa sa mga kadahilanan.

Maaari mong matutunan kung paano lutasin lamang sa pagsasanay, kaya isaalang-alang natin ang isang partikular na halimbawa ng paghahanap ng mga ugat ng isang hindi kumpletong equation:

Tulad ng nakikita mo, sa kasong ito b = 0. Isinasaalang-alang namin ang kaliwang bahagi at makuha ang expression:

4(x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

Malinaw, ang produkto ay katumbas ng zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Ang mga katulad na kinakailangan ay natutugunan ng mga halaga ng variable x1 = 0.5 at (o) x2 = -0.5.

Upang madali at mabilis na makayanan ang gawain ng pag-factor ng isang square trinomial sa mga kadahilanan, dapat mong tandaan ang sumusunod na formula:

Kung walang libreng termino sa expression, ang gawain ay lubos na pinasimple. Ito ay sapat na upang mahanap at alisin ang karaniwang denominator. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang isang halimbawa kung paano lutasin ang mga hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax2 + bx = 0.

Alisin natin ang variable x sa mga bracket at kunin ang sumusunod na expression:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Batay sa lohika, napagpasyahan namin na ang x1 = 0 at x2 = -3.

Ang tradisyunal na paraan ng paglutas at hindi kumpletong quadratic equation

Ano ang mangyayari kung ilalapat natin ang discriminant formula at subukang hanapin ang mga ugat ng polynomial, na may mga coefficient na katumbas ng zero? Kumuha tayo ng isang halimbawa mula sa isang koleksyon ng mga tipikal na gawain para sa Unified State Examination sa matematika sa 2017, malulutas natin ito gamit ang mga karaniwang formula at ang paraan ng factorization.

7x 2 - 3x = 0.

Kalkulahin ang halaga ng discriminant: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Lumalabas na ang polynomial ay may dalawang ugat:

Ngayon, lutasin ang equation sa pamamagitan ng factoring at ihambing ang mga resulta.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga pamamaraan ay nagbibigay ng parehong resulta, ngunit ang pangalawang paraan upang malutas ang equation ay naging mas madali at mas mabilis.

Ang teorama ni Vieta

Ngunit ano ang gagawin sa minamahal na Vieta theorem? Maaari bang ilapat ang pamamaraang ito sa isang hindi kumpletong trinomial? Subukan nating maunawaan ang mga aspeto ng paghahagis hindi kumpletong equation sa klasikal na anyo ax2 + bx + c = 0.

Sa katunayan, posibleng ilapat ang teorama ni Vieta sa kasong ito. Kinakailangan lamang na dalhin ang expression sa isang pangkalahatang anyo, na pinapalitan ang mga nawawalang termino ng zero.

Halimbawa, na may b = 0 at a = 1, upang maalis ang posibilidad ng pagkalito, ang gawain ay dapat na nakasulat sa anyo: ax2 + 0 + c = 0. Pagkatapos ay ang ratio ng kabuuan at produkto ng mga ugat at Ang mga kadahilanan ng polynomial ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:

Ang mga teoretikal na kalkulasyon ay tumutulong upang makilala ang kakanyahan ng isyu, at palaging nangangailangan ng pag-unlad ng kasanayan sa paglutas ng mga partikular na problema. Muli nating buksan ang sangguniang aklat ng mga karaniwang gawain para sa pagsusulit at humanap ng angkop na halimbawa:

Isinulat namin ang expression sa isang form na maginhawa para sa paglalapat ng Vieta theorem:

x2 + 0 - 16 = 0.

Ang susunod na hakbang ay upang lumikha ng isang sistema ng mga kondisyon:

Malinaw, ang mga ugat ng square polynomial ay magiging x 1 \u003d 4 at x 2 \u003d -4.

Ngayon, magsanay tayo na dalhin ang equation sa isang pangkalahatang anyo. Kunin ang sumusunod na halimbawa: 1/4× x 2 – 1 = 0

Upang mailapat ang Vieta theorem sa expression, kailangan mong alisin ang fraction. I-multiply natin ang kaliwa at kanang panig sa 4 at tingnan ang resulta: x2– 4 = 0. Ang resultang pagkakapantay-pantay ay handa nang lutasin ng Vieta theorem, ngunit mas madali at mas mabilis na makuha ang sagot sa pamamagitan lamang ng paglilipat ng c = 4 hanggang kanang bahagi mga equation: x2 = 4.

Summing up, dapat sabihin na ang pinakamahusay na paraan solusyon ng hindi kumpletong equation ay factorization, ay ang pinakasimpleng at mabilis na pamamaraan. Kung nakatagpo ka ng mga paghihirap sa proseso ng paghahanap ng mga ugat, maaari kang makipag-ugnay tradisyonal na pamamaraan paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng discriminant.

Ipinagpatuloy namin ang pag-aaral ng paksa solusyon ng mga equation". Nakilala na natin ang mga linear equation at ngayon ay makikilala natin ang quadratic equation.

Una, susuriin natin kung ano ang isang quadratic equation, kung paano ito nakasulat pangkalahatang pananaw, at magbigay ng mga kaugnay na kahulugan. Pagkatapos nito, gamit ang mga halimbawa, susuriin namin nang detalyado kung paano nalutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation. Susunod, magpatuloy tayo sa paglutas ng mga kumpletong equation, kunin ang formula para sa mga ugat, kilalanin ang discriminant ng isang quadratic equation, at isaalang-alang ang mga solusyon sa karaniwang mga halimbawa. Sa wakas, sinusubaybayan namin ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang isang quadratic equation? Yung mga tipo nila

Una kailangan mong malinaw na maunawaan kung ano ang isang quadratic equation. Samakatuwid, lohikal na simulan ang pag-uusap tungkol sa mga quadratic equation na may kahulugan ng isang quadratic equation, pati na rin ang mga kahulugan na nauugnay dito. Pagkatapos nito, maaari mong isaalang-alang ang mga pangunahing uri ng quadratic equation: nabawasan at hindi nabawas, pati na rin ang kumpleto at hindi kumpletong mga equation.

Kahulugan at mga halimbawa ng quadratic equation

Kahulugan.

Quadratic equation ay isang equation ng form a x 2 +b x+c=0, kung saan ang x ay isang variable, ang a , b at c ay ilang mga numero, at ang a ay iba sa zero.

Sabihin natin kaagad na ang mga quadratic equation ay madalas na tinatawag na mga equation ng pangalawang degree. Ito ay dahil ang quadratic equation ay algebraic equation ikalawang antas.

Ang tunog na kahulugan ay nagpapahintulot sa amin na magbigay ng mga halimbawa ng mga quadratic equation. Kaya 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, atbp. ay mga quadratic equation.

Kahulugan.

Numero a, b at c ay tinatawag coefficients ng quadratic equation a x 2 + b x + c \u003d 0, at ang coefficient a ay tinatawag na una, o senior, o coefficient sa x 2, b ay ang pangalawang coefficient, o coefficient sa x, at c ay isang libreng miyembro.

Halimbawa, kunin natin ang isang parisukat na equation ng anyo 5 x 2 −2 x−3=0, dito ang nangungunang koepisyent ay 5, ang pangalawang koepisyent ay −2, at ang libreng termino ay −3. Tandaan na kapag ang mga coefficient b at/o c ay negatibo, tulad ng ibinigay na halimbawa, ang maikling anyo ng quadratic equation ng form na 5 x 2 −2 x−3=0 ang ginagamit, hindi 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na kapag ang mga coefficients a at / o b ay katumbas ng 1 o −1, kung gayon ang mga ito ay karaniwang hindi tahasang naroroon sa notasyon ng quadratic equation, na dahil sa mga kakaibang notasyon ng naturang . Halimbawa, sa quadratic equation y 2 −y+3=0, ang leading coefficient ay isa, at ang coefficient sa y ay −1.

Mga pinababang at hindi pinababang quadratic equation

Depende sa halaga ng nangungunang koepisyent, ang nabawasan at hindi nabawasang quadratic equation ay nakikilala. Ibigay natin ang mga kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Ang isang quadratic equation kung saan ang leading coefficient ay 1 ay tinatawag pinababang quadratic equation. Kung hindi, ang quadratic equation ay hindi nabawasan.

Ayon sa kahulugang ito, ang mga quadratic equation x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, atbp. - nabawasan, sa bawat isa sa kanila ang unang koepisyent ay katumbas ng isa. At 5 x 2 −x−1=0 , atbp. - unreduced quadratic equation, ang kanilang mga nangungunang coefficient ay iba sa 1 .

Mula sa anumang non-reduced quadratic equation, sa pamamagitan ng paghahati sa parehong bahagi nito sa nangungunang coefficient, maaari kang pumunta sa pinababang isa. Ang aksyon na ito ay isang katumbas na pagbabagong-anyo, iyon ay, ang pinababang quadratic na equation na nakuha sa paraang ito ay may parehong mga ugat gaya ng orihinal na non-reduced quadratic equation, o, tulad nito, ay walang mga ugat.

Kumuha tayo ng isang halimbawa kung paano ginaganap ang paglipat mula sa isang hindi nabawas na quadratic equation patungo sa isang pinababang equation.

Halimbawa.

Mula sa equation na 3 x 2 +12 x−7=0, pumunta sa katumbas na pinababang quadratic equation.

Solusyon.

Sapat na para sa amin na isagawa ang paghahati ng parehong bahagi ng orihinal na equation sa pamamagitan ng nangungunang koepisyent 3, ito ay hindi zero, upang maisagawa namin ang pagkilos na ito. Mayroon kaming (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , na kapareho ng (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , at iba pa (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , kung saan . Kaya nakuha namin ang pinababang quadratic equation, na katumbas ng orihinal.

Sagot:

Kumpleto at hindi kumpletong quadratic equation

Mayroong kundisyon a≠0 sa kahulugan ng isang quadratic equation. Ang kundisyong ito ay kinakailangan upang ang equation na a x 2 +b x+c=0 ay eksaktong parisukat, dahil sa a=0 ito ay talagang nagiging isang linear na equation ng anyong b x+c=0 .

Tulad ng para sa mga coefficient b at c, maaari silang maging katumbas ng zero, parehong hiwalay at magkasama. Sa mga kasong ito, ang quadratic equation ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan.

Ang quadratic equation na a x 2 +b x+c=0 ay tinatawag hindi kumpleto, kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient b , c ay katumbas ng zero.

Sa turn nito

Kahulugan.

Kumpletuhin ang quadratic equation ay isang equation kung saan ang lahat ng coefficient ay iba sa zero.

Ang mga pangalang ito ay hindi binigay ng pagkakataon. Magiging malinaw ito sa susunod na talakayan.

Kung ang koepisyent b ay katumbas ng zero, kung gayon ang parisukat na equation ay kumukuha ng anyo a x 2 +0 x+c=0 , at ito ay katumbas ng equation na a x 2 +c=0 . Kung c=0 , iyon ay, ang quadratic equation ay may anyo na a x 2 +b x+0=0 , kung gayon maaari itong muling isulat bilang isang x 2 +b x=0 . At sa b=0 at c=0 makuha natin ang quadratic equation a·x 2 =0. Ang mga resultang equation ay naiiba sa buong quadratic equation dahil ang kanilang mga kaliwang bahagi ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable na x, o isang libreng termino, o pareho. Samakatuwid ang kanilang pangalan - hindi kumpletong mga quadratic equation.

Kaya ang mga equation na x 2 +x+1=0 at −2 x 2 −5 x+0,2=0 ay mga halimbawa ng kumpletong quadratic equation, at x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Ito ay sumusunod mula sa impormasyon ng nakaraang talata na mayroon tatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

a x 2 =0 , ang mga coefficient b=0 at c=0 ay tumutugma dito;
a x 2 +c=0 kapag b=0 ;
at a x 2 +b x=0 kapag c=0 .

Suriin natin sa pagkakasunud-sunod kung paano nalutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation ng bawat isa sa mga uri na ito.

a x 2 \u003d 0

Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation kung saan ang mga coefficient b at c ay katumbas ng zero, iyon ay, na may mga equation ng form a x 2 =0. Ang equation na a·x 2 =0 ay katumbas ng equation na x 2 =0, na nakuha mula sa orihinal sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang bahagi nito sa isang di-zero na numerong a. Malinaw, ang ugat ng equation x 2 \u003d 0 ay zero, dahil 0 2 \u003d 0. Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na ipinaliwanag, sa katunayan, para sa anumang di-zero na numerong p, ang hindi pagkakapantay-pantay na p 2 >0 ay nagaganap, na nagpapahiwatig na para sa p≠0, ang pagkakapantay-pantay na p 2 =0 ay hindi kailanman makakamit.

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 \u003d 0 ay may isang solong ugat x \u003d 0.

Bilang halimbawa, ibinibigay namin ang solusyon ng isang hindi kumpletong quadratic equation −4·x 2 =0. Ito ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0, ang tanging ugat nito ay x \u003d 0, samakatuwid, ang orihinal na equation ay may isang solong root zero.

Ang isang maikling solusyon sa kasong ito ay maaaring mailabas tulad ng sumusunod:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Ngayon isaalang-alang kung paano nalutas ang mga hindi kumpletong quadratic equation, kung saan ang coefficient b ay katumbas ng zero, at c≠0, iyon ay, mga equation ng form a x 2 +c=0. Alam natin na ang paglipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda, pati na rin ang paghahati ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang di-zero na numero, ay nagbibigay ng katumbas na equation. Samakatuwid, ang mga sumusunod na katumbas na pagbabagong-anyo ng hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +c=0 ay maaaring isagawa:

ilipat ang c sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation na a x 2 =−c,
at hatiin ang parehong bahagi nito sa pamamagitan ng isang , nakukuha natin .

Ang resultang equation ay nagpapahintulot sa amin na gumawa ng mga konklusyon tungkol sa mga ugat nito. Depende sa mga halaga ng a at c, ang halaga ng expression ay maaaring negatibo (halimbawa, kung a=1 at c=2 , pagkatapos ) o positibo, (halimbawa, kung a=−2 at c=6 , pagkatapos ), hindi ito katumbas ng zero , dahil sa kondisyon c≠0 . Hiwalay naming susuriin ang mga kaso at .

Kung , kung gayon ang equation ay walang mga ugat. Ang pahayag na ito ay sumusunod sa katotohanan na ang parisukat ng anumang numero ay isang hindi negatibong numero. Ito ay sumusunod mula dito na kapag , kung gayon para sa anumang bilang p ang pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring totoo.

Kung , kung gayon ang sitwasyon na may mga ugat ng equation ay iba. Sa kasong ito, kung naaalala natin, kung gayon ang ugat ng equation ay agad na nagiging halata, ito ay ang numero, dahil. Madaling hulaan na ang numero ay ang ugat din ng equation , sa katunayan, . Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na maaaring ipakita, halimbawa, sa pamamagitan ng kontradiksyon. Gawin natin.

Tukuyin natin ang kaka-voice na ugat ng equation bilang x 1 at −x 1 . Ipagpalagay na ang equation ay may isa pang ugat na x 2 na iba sa ipinahiwatig na mga ugat x 1 at −x 1 . Ito ay kilala na ang pagpapalit sa equation sa halip na x ng mga ugat nito ay nagiging equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Para sa x 1 at −x 1 mayroon tayo , at para sa x 2 mayroon tayo . Ang mga katangian ng numerical equalities ay nagbibigay-daan sa amin na magsagawa ng term-by-term na pagbabawas ng tunay na numerical equalities, kaya ang pagbabawas ng mga katumbas na bahagi ng equalities ay nagbibigay ng x 1 2 − x 2 2 =0. Ang mga katangian ng mga operasyon na may mga numero ay nagbibigay-daan sa amin na muling isulat ang resultang pagkakapantay-pantay bilang (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Alam natin na ang produkto ng dalawang numero ay katumbas ng zero kung at kung kahit isa sa mga ito ay katumbas ng zero. Samakatuwid, sumusunod mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay na x 1 −x 2 =0 at/o x 1 +x 2 =0 , na pareho, x 2 =x 1 at/o x 2 = −x 1 . Kaya kami ay dumating sa isang kontradiksyon, dahil sa simula sinabi namin na ang ugat ng equation x 2 ay naiiba mula sa x 1 at −x 1 . Ito ay nagpapatunay na ang equation ay walang iba pang mga ugat maliban sa at .

Ibuod natin ang impormasyon sa talatang ito. Ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +c=0 ay katumbas ng equation , na

walang ugat kung ,
ay may dalawang ugat at kung .

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation ng anyong a·x 2 +c=0 .

Magsimula tayo sa quadratic equation 9 x 2 +7=0 . Pagkatapos ilipat ang libreng termino sa kanang bahagi ng equation, ito ay kukuha ng anyong 9·x 2 =−7. Ang paghahati sa magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng 9, dumating tayo sa . Dahil ang isang negatibong numero ay nakuha sa kanang bahagi, ang equation na ito ay walang mga ugat, samakatuwid, ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation 9 x 2 +7=0 ay walang mga ugat.

Lutasin natin ang isa pang hindi kumpletong quadratic equation −x 2 +9=0. Inilipat namin ang siyam sa kanang bahagi: -x 2 \u003d -9. Ngayon hinati namin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng −1, nakukuha namin ang x 2 =9. Ang kanang bahagi ay naglalaman ng isang positibong numero, kung saan namin tapusin na o . Pagkatapos nating isulat ang huling sagot: ang hindi kumpletong quadratic equation −x 2 +9=0 ay may dalawang ugat x=3 o x=−3.

a x 2 +b x=0

Nananatili itong harapin ang solusyon ng huling uri ng hindi kumpletong quadratic equation para sa c=0 . Ang hindi kumpletong quadratic equation ng form na a x 2 +b x=0 ay nagpapahintulot sa iyo na malutas paraan ng factorization. Malinaw, magagawa natin, na matatagpuan sa kaliwang bahagi ng equation, kung saan sapat na upang alisin ang karaniwang salik na x sa mga bracket. Ito ay nagpapahintulot sa amin na lumipat mula sa orihinal na hindi kumpletong quadratic equation patungo sa isang katumbas na equation ng form na x·(a·x+b)=0 . At ang equation na ito ay katumbas ng set ng dalawang equation x=0 at a x+b=0 , ang huli ay linear at may ugat na x=−b/a .

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +b x=0 ay may dalawang ugat x=0 at x=−b/a.

Upang pagsamahin ang materyal, susuriin namin ang solusyon ng isang tiyak na halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Solusyon.

Kinukuha namin ang x sa mga bracket, nagbibigay ito ng equation. Ito ay katumbas ng dalawang equation x=0 at . Inaayos namin ang natanggap linear equation: , at paghahati halo-halong numero sa karaniwang fraction, nahanap namin. Samakatuwid, ang mga ugat ng orihinal na equation ay x=0 at .

Matapos makuha ang kinakailangang pagsasanay, ang mga solusyon ng naturang mga equation ay maaaring maisulat nang maikli:

Sagot:

x=0 , .

Discriminant, formula ng mga ugat ng isang quadratic equation

Upang malutas ang mga quadratic equation, mayroong isang root formula. Isulat natin ang formula ng mga ugat ng quadratic equation: , saan D=b 2 −4 a c- tinatawag na discriminant ng isang quadratic equation. Ang notasyon ay mahalagang nangangahulugan na .

Kapaki-pakinabang na malaman kung paano nakuha ang root formula, at kung paano ito inilapat sa paghahanap ng mga ugat ng quadratic equation. Harapin natin ito.

Derivation ng formula ng mga ugat ng isang quadratic equation

Kailangan nating lutasin ang quadratic equation a·x 2 +b·x+c=0 . Magsagawa tayo ng ilang katumbas na pagbabago:

Maaari nating hatiin ang parehong bahagi ng equation na ito sa pamamagitan ng isang non-zero number a, bilang isang resulta makuha natin ang pinababang quadratic equation.
Ngayon pumili ng isang buong parisukat sa kaliwang bahagi nito: . Pagkatapos nito, ang equation ay kukuha ng form .
Sa yugtong ito, posible na isakatuparan ang paglipat ng huling dalawang termino sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda, mayroon kaming .
At ibahin din natin ang ekspresyon sa kanang bahagi: .

Bilang resulta, dumating tayo sa equation , na katumbas ng orihinal na quadratic equation a·x 2 +b·x+c=0 .

Nalutas na natin ang mga equation na katulad ng anyo sa mga nakaraang talata noong sinuri natin. Ito ay nagpapahintulot sa amin na gumuhit ng mga sumusunod na konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation:

kung , kung gayon ang equation ay walang tunay na solusyon;
kung , kung gayon ang equation ay may anyo , samakatuwid, , kung saan makikita ang tanging ugat nito;
kung , pagkatapos o , na kapareho ng o , ibig sabihin, ang equation ay may dalawang ugat.

Kaya, ang presensya o kawalan ng mga ugat ng equation, at samakatuwid ang orihinal na quadratic equation, ay nakasalalay sa tanda ng expression sa kanang bahagi. Sa turn, ang sign ng expression na ito ay tinutukoy ng sign ng numerator, dahil ang denominator 4 a 2 ay palaging positibo, iyon ay, ang sign ng expression b 2 −4 a c . Ang expression na ito b 2 −4 a c ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation at minarkahan ng liham D. Mula dito, ang kakanyahan ng discriminant ay malinaw - sa pamamagitan ng halaga at tanda nito, napagpasyahan kung ang quadratic equation ay may tunay na mga ugat, at kung gayon, ano ang kanilang numero - isa o dalawa.

Bumalik kami sa equation , muling isulat ito gamit ang notation ng discriminant: . At nagtatapos kami:

kung D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
kung D=0, ang equation na ito ay may iisang ugat;
sa wakas, kung D>0, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat o , na maaaring muling isulat sa anyo o , at pagkatapos palawakin at bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, makukuha natin .

Kaya nakuha namin ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation, ang hitsura nila ay , kung saan ang discriminant D ay kinakalkula ng formula D=b 2 −4 a c .

Sa kanilang tulong, na may positibong diskriminasyon, maaari mong kalkulahin ang parehong tunay na mga ugat ng isang quadratic equation. Kapag ang discriminant ay katumbas ng zero, ang parehong mga formula ay nagbibigay ng parehong root value na tumutugma sa tanging solusyon ng quadratic equation. At sa isang negatibong diskriminasyon, kapag sinusubukang gamitin ang formula para sa mga ugat ng isang parisukat na equation, nahaharap tayo sa pagkuha ng square root mula sa isang negatibong numero, na nagdadala sa atin na lampas sa saklaw ng kurikulum ng paaralan. Sa isang negatibong discriminant, ang quadratic equation ay walang tunay na mga ugat, ngunit may isang pares kumplikadong conjugate mga ugat, na makikita gamit ang parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang root formula

Sa pagsasagawa, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, maaari mong agad na gamitin ang root formula, kung saan makalkula ang kanilang mga halaga. Ngunit ito ay higit pa tungkol sa paghahanap ng mga kumplikadong ugat.

Gayunpaman, sa kurso sa paaralan Ang algebra ay karaniwang hindi tungkol sa kumplikado, ngunit tungkol sa mga tunay na ugat ng isang quadratic equation. Sa kasong ito, ipinapayong hanapin muna ang discriminant bago gamitin ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation, siguraduhin na ito ay hindi negatibo (kung hindi, maaari nating tapusin na ang equation ay walang tunay na ugat), at pagkatapos nito kalkulahin ang mga halaga ng mga ugat.

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na magsulat algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation. Upang malutas ang quadratic equation a x 2 + b x + c \u003d 0, kailangan mo:

gamit ang discriminant formula D=b 2 −4 a c kalkulahin ang halaga nito;
tapusin na ang quadratic equation ay walang tunay na ugat kung ang discriminant ay negatibo;
kalkulahin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula kung D=0 ;
maghanap ng dalawang tunay na ugat ng isang quadratic equation gamit ang root formula kung ang discriminant ay positibo.

Dito lamang natin napapansin na kung ang discriminant ay katumbas ng zero, ang formula ay maaari ding gamitin, ito ay magbibigay ng parehong halaga bilang .

Maaari kang magpatuloy sa mga halimbawa ng paglalapat ng algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Isaalang-alang ang mga solusyon ng tatlong quadratic equation na may positibo, negatibo, at walang diskriminasyon. Ang pagkakaroon ng pakikitungo sa kanilang solusyon, sa pamamagitan ng pagkakatulad ay magiging posible na malutas ang anumang iba pang quadratic equation. Magsimula na tayo.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation x 2 +2 x−6=0 .

Solusyon.

Sa kasong ito, mayroon tayong mga sumusunod na coefficient ng quadratic equation: a=1 , b=2 at c=−6 . Ayon sa algorithm, kailangan mo munang kalkulahin ang discriminant, para dito pinapalitan namin ang ipinahiwatig na a, b at c sa discriminant formula, mayroon kaming D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Dahil ang 28>0, iyon ay, ang discriminant ay mas malaki kaysa sa zero, ang quadratic equation ay may dalawang tunay na ugat. Hanapin natin ang mga ito sa pamamagitan ng pormula ng mga ugat , nakukuha natin , dito maaari nating gawing simple ang mga expression na nakuha sa pamamagitan ng paggawa factoring out ang tanda ng ugat sinusundan ng pagbawas ng fraction:

Sagot:

Lumipat tayo sa susunod na karaniwang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang quadratic equation −4 x 2 +28 x−49=0 .

Solusyon.

Magsisimula tayo sa paghahanap ng discriminant: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Samakatuwid, ang quadratic equation na ito ay may iisang ugat, na makikita natin bilang , iyon ay,

Sagot:

x=3.5 .

Nananatili itong isaalang-alang ang solusyon ng mga quadratic equation na may negatibong discriminant.

Halimbawa.

Lutasin ang equation 5 y 2 +6 y+2=0 .

Solusyon.

Narito ang mga coefficient ng quadratic equation: a=5 , b=6 at c=2 . Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa discriminant formula, mayroon kami D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Ang discriminant ay negatibo, samakatuwid, ang quadratic equation na ito ay walang tunay na ugat.

Kung kailangan mong tukuyin ang mga kumplikadong ugat, pagkatapos ay ginagamit namin ang kilalang formula para sa mga ugat ng quadratic equation, at gumanap mga operasyon na may mga kumplikadong numero:

Sagot:

walang tunay na ugat, ang kumplikadong ugat ay: .

Muli, tandaan namin na kung negatibo ang discriminant ng quadratic equation, kadalasang isinulat kaagad ng paaralan ang sagot, kung saan ipinapahiwatig nila na walang tunay na mga ugat, at hindi sila nakakahanap ng mga kumplikadong ugat.

Root formula para sa kahit na pangalawang coefficient

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation , kung saan ang D=b 2 −4 a c ay nagbibigay-daan sa iyong makakuha ng mas compact na formula na nagbibigay-daan sa iyong lutasin ang mga quadratic equation na may pantay na koepisyent sa x (o sa simpleng coefficient na mukhang 2 n , halimbawa, o 14 ln5=2 7 ln5 ). Ilabas na natin siya.

Sabihin nating kailangan nating lutasin ang isang quadratic equation ng form a x 2 +2 n x + c=0 . Hanapin natin ang mga ugat nito gamit ang formula na alam natin. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang discriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), at pagkatapos ay ginagamit namin ang root formula:

Tukuyin ang expression na n 2 −a c bilang D 1 (kung minsan ito ay tinutukoy na D "). Pagkatapos ay ang formula para sa mga ugat ng itinuturing na quadratic equation na may pangalawang coefficient 2 n ay nagkakaroon ng anyo , kung saan D 1 =n 2 −a c .

Madaling makita na D=4·D 1 , o D 1 =D/4 . Sa madaling salita, ang D 1 ay ang ikaapat na bahagi ng discriminant. Malinaw na ang tanda ng D 1 ay kapareho ng tanda ng D . Iyon ay, ang sign D 1 ay isa ring tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng quadratic equation.

Kaya, upang malutas ang isang quadratic equation na may pangalawang koepisyent 2 n, kailangan mo

Kalkulahin ang D 1 =n 2 −a·c ;
Kung D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Kung D 1 =0, pagkatapos ay kalkulahin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula;
Kung D 1 >0, pagkatapos ay maghanap ng dalawang tunay na ugat gamit ang formula.

Isaalang-alang ang solusyon ng halimbawa gamit ang root formula na nakuha sa talatang ito.

Halimbawa.

Lutasin ang quadratic equation 5 x 2 −6 x−32=0 .

Solusyon.

Ang pangalawang koepisyent ng equation na ito ay maaaring katawanin bilang 2·(−3) . Iyon ay, maaari mong muling isulat ang orihinal na quadratic equation sa anyong 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , dito a=5 , n=−3 at c=−32 , at kalkulahin ang ikaapat na bahagi ng may diskriminasyon: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Dahil ang halaga nito ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Natagpuan namin ang mga ito gamit ang kaukulang root formula:

Tandaan na posibleng gamitin ang karaniwang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, ngunit sa kasong ito, mas maraming computational work ang kailangang gawin.

Sagot:

Pagpapasimple ng anyo ng mga quadratic equation

Minsan, bago simulan ang pagkalkula ng mga ugat ng isang quadratic equation gamit ang mga formula, hindi masakit na tanungin ang tanong na: "Posible bang gawing simple ang anyo ng equation na ito"? Sumang-ayon na sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon ay magiging mas madaling lutasin ang quadratic equation 11 x 2 −4 x −6=0 kaysa sa 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Karaniwan, ang isang pagpapasimple ng anyo ng isang quadratic equation ay nakakamit sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati sa magkabilang panig nito sa ilang numero. Halimbawa, sa nakaraang talata, nagawa naming makamit ang pagpapasimple ng equation na 1100 x 2 −400 x −600=0 sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng 100 .

Ang isang katulad na pagbabago ay isinasagawa gamit ang mga quadratic equation, ang mga coefficient nito ay hindi . Karaniwang hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng ganap na mga halaga mga coefficient nito. Halimbawa, kunin natin ang quadratic equation na 12 x 2 −42 x+48=0. ganap na mga halaga ng mga coefficient nito: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Hinahati ang parehong bahagi ng orihinal na quadratic equation sa pamamagitan ng 6 , dumating tayo sa katumbas na quadratic equation 2 x 2 −7 x+8=0 .

At ang pagpaparami ng parehong bahagi ng quadratic equation ay karaniwang ginagawa upang maalis ang mga fractional coefficient. Sa kasong ito, ang pagpaparami ay isinasagawa sa mga denominador ng mga coefficient nito. Halimbawa, kung ang parehong bahagi ng isang quadratic equation ay pinarami ng LCM(6, 3, 1)=6 , magkakaroon ito ng mas simpleng anyo x 2 +4 x−18=0 .

Sa pagtatapos ng talatang ito, napapansin namin na halos palaging alisin ang minus sa nangungunang koepisyent ng quadratic equation sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan ng lahat ng mga termino, na tumutugma sa pag-multiply (o paghahati) sa parehong bahagi ng −1. Halimbawa, kadalasan mula sa quadratic equation −2·x 2 −3·x+7=0 pumunta sa solusyon 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation ay nagpapahayag ng mga ugat ng isang equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito. Batay sa formula ng mga ugat, maaari kang makakuha ng iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at koepisyent.

Ang pinakakilala at naaangkop na mga formula mula sa Vieta theorem ng form at . Sa partikular, para sa ibinigay na quadratic equation, ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay ang libreng termino. Halimbawa, sa pamamagitan ng anyo ng quadratic equation 3 x 2 −7 x+22=0, masasabi natin kaagad na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7/3, at ang produkto ng mga ugat ay 22/3.

Gamit ang mga nakasulat na formula, maaari kang makakuha ng ilang iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng quadratic equation. Halimbawa, maaari mong ipahayag ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang quadratic equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito: .

Bibliograpiya.

Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 p.m. Bahagi 1. Batayang aklat ng mag-aaral institusyong pang-edukasyon/ A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.