Paano pinaparami ang mga fractional number. Maliit na bahagi. Multiplikasyon ng ordinaryo, decimal, mixed fractions
Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at nasa likod nito ng isang libong hakbang. Sa panahon kung saan tumatakbo si Achilles sa distansyang ito, gumagapang ang pagong ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag si Achilles ay nakatakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay gagapang ng isa pang sampung hakbang, at iba pa. Magpapatuloy ang proseso nang walang hanggan, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.
Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Lahat sila, sa isang paraan o iba pa, ay itinuturing na aporias ni Zeno. Napakalakas ng shock kaya" ... nagpapatuloy ang mga talakayan sa kasalukuyang panahon, ang pamayanang pang-agham ay hindi pa nakakakuha ng isang karaniwang opinyon tungkol sa kakanyahan ng mga kabalintunaan ... mathematical analysis, set theory, bagong pisikal at pilosopiko na mga diskarte ay kasangkot sa pag-aaral ng isyu ; wala sa kanila ang naging isang pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Naiintindihan ng lahat na sila ay niloloko, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang panlilinlang.
Mula sa pananaw ng matematika, malinaw na ipinakita ni Zeno sa kanyang aporia ang paglipat mula sa halaga hanggang. Ang paglipat na ito ay nagsasangkot ng paglalapat sa halip na mga constants. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paglalapat ng mga variable na unit ng pagsukat ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nalalapat sa aporia ni Zeno. Ang paggamit ng aming karaniwang lohika ay humahantong sa amin sa isang bitag. Kami, sa pamamagitan ng pagkawalang-kilos ng pag-iisip, inilalapat ang pare-parehong mga yunit ng oras sa kapalit. Sa pisikal na pananaw, parang bumagal ang oras hanggang sa tuluyang huminto sa sandaling naabutan ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na maabutan ni Achilles ang pagong.
Kung ibabalik natin ang lohika na nakasanayan natin, lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo kasama si Achilles pare-pareho ang bilis. Ang bawat kasunod na segment ng landas nito ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Mabilis na maaabutan ni Achilles ang pagong."
Paano maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa pare-parehong mga yunit ng oras at huwag lumipat sa mga kapalit. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:
Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo ng isang libong hakbang, ang pagong ay gumagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras, katumbas ng una, tatakbo si Achilles ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay nauuna ng walong daang hakbang kaysa sa pagong.
Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi masusupil na bilis ng liwanag ay halos kapareho sa aporia ni Zeno na "Achilles at ang pagong". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.
Ang isa pang kawili-wiling aporia ni Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:
Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nagpapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.
Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay nagtagumpay nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang lumilipad na arrow ay nakapahinga sa iba't ibang mga punto sa espasyo, na, sa katunayan, ay paggalaw. May isa pang punto na dapat pansinin dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada, imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy ang katotohanan ng paggalaw ng kotse, dalawang larawan na kinunan mula sa parehong punto sa iba't ibang mga punto sa oras ay kinakailangan, ngunit hindi ito magagamit upang matukoy ang distansya. Upang matukoy ang distansya sa kotse, kailangan mo ng dalawang litrato na kinuha mula sa iba't ibang mga punto sa espasyo nang sabay, ngunit hindi mo matukoy ang katotohanan ng paggalaw mula sa kanila (natural, kailangan mo pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya). Ano ang gusto kong pagtuunan ng pansin Espesyal na atensyon, ay ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa kalawakan ay magkaibang mga bagay na hindi dapat malito, dahil nagbibigay sila ng magkakaibang pagkakataon para sa paggalugad.
Miyerkules, Hulyo 4, 2018
Napakahusay na inilarawan sa Wikipedia ang mga pagkakaiba sa pagitan ng set at multiset. Tumingin kami.
Tulad ng nakikita mo, "ang set ay hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaparehong elemento", ngunit kung mayroong magkaparehong elemento sa set, ang naturang set ay tinatawag na "multiset". Hindi kailanman mauunawaan ng mga makatwirang nilalang ang gayong lohika ng kahangalan. Ito ang antas ng pakikipag-usap ng mga parrot at sinanay na unggoy, kung saan ang isip ay wala sa salitang "ganap." Ang mga mathematician ay kumikilos bilang mga ordinaryong tagapagsanay, na ipinangangaral sa amin ang kanilang mga walang katotohanan na ideya.
Noong unang panahon, ang mga inhinyero na gumawa ng tulay ay nasa isang bangka sa ilalim ng tulay sa panahon ng mga pagsubok sa tulay. Kung ang tulay ay gumuho, ang pangkaraniwang inhinyero ay namatay sa ilalim ng mga durog na bato ng kanyang nilikha. Kung ang tulay ay makatiis sa karga, ang mahuhusay na inhinyero ay gumawa ng iba pang mga tulay.
Gaano man magtago ang mga mathematician sa likod ng pariralang "isipin mo, nasa bahay ako", o sa halip ay "pag-aaral ng matematika ng mga abstract na konsepto", mayroong isang pusod na hindi mapaghihiwalay na nag-uugnay sa kanila sa katotohanan. Ang pusod na ito ay pera. Ilapat natin ang mathematical set theory sa mga mathematician mismo.
Nag-aral kami ng mabuti sa matematika at ngayon ay nakaupo kami sa cash desk, nagbabayad ng suweldo. Narito ang isang mathematician ay pumunta sa amin para sa kanyang pera. Binibilang namin ang buong halaga sa kanya at inilalatag ito sa aming mesa sa iba't ibang mga tambak, kung saan naglalagay kami ng mga bill ng parehong denominasyon. Pagkatapos ay kukuha kami ng isang bill mula sa bawat tumpok at ibigay sa mathematician ang kanyang "mathematical salary set". Ipinapaliwanag namin ang matematika na matatanggap niya ang natitirang mga bayarin kapag napatunayan niya na ang hanay na walang magkaparehong elemento ay hindi katumbas ng set na may magkaparehong elemento. Dito nagsisimula ang saya.
Una sa lahat, gagana ang lohika ng mga kinatawan: "maaari mong ilapat ito sa iba, ngunit hindi sa akin!" Dagdag pa, magsisimula ang mga katiyakan na mayroong iba't ibang mga numero ng banknote sa mga banknote ng parehong denominasyon, na nangangahulugan na hindi sila maaaring ituring na magkakaparehong elemento. Well, binibilang namin ang suweldo sa mga barya - walang mga numero sa mga barya. Dito maaalala ng mathematician ang pisika: ang iba't ibang mga barya ay may iba't ibang dami ng dumi, ang kristal na istraktura at pag-aayos ng mga atomo para sa bawat barya ay natatangi ...
At ngayon ako ang may pinakamarami interes Magtanong: nasaan ang hangganan kung saan ang mga elemento ng isang multiset ay nagiging mga elemento ng isang set at vice versa? Ang ganitong linya ay hindi umiiral - ang lahat ay napagpasyahan ng mga shaman, ang agham dito ay hindi kahit na malapit.
Tumingin dito. Pumili kami ng mga football stadium na may parehong field area. Ang lugar ng mga patlang ay pareho, na nangangahulugang mayroon kaming multiset. Ngunit kung isasaalang-alang natin ang mga pangalan ng parehong mga istadyum, marami tayong makukuha, dahil magkaiba ang mga pangalan. Tulad ng nakikita mo, ang parehong hanay ng mga elemento ay parehong set at multiset sa parehong oras. Paano tama? At dito ang mathematician-shaman-shuller ay kumuha ng isang trump ace mula sa kanyang manggas at nagsimulang sabihin sa amin ang tungkol sa isang set o isang multiset. Sa anumang kaso, kukumbinsihin niya tayo na tama siya.
Upang maunawaan kung paano gumagana ang mga modernong shaman sa teorya ng set, tinali ito sa katotohanan, sapat na upang sagutin ang isang tanong: paano naiiba ang mga elemento ng isang set mula sa mga elemento ng isa pang set? Ipapakita ko sa iyo, nang walang anumang "maiisip bilang hindi isang solong kabuuan" o "hindi maiisip bilang isang solong kabuuan."
Linggo, Marso 18, 2018
Ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay isang sayaw ng mga shaman na may tamburin, na walang kinalaman sa matematika. Oo, sa mga aralin sa matematika ay tinuturuan tayong hanapin ang kabuuan ng mga digit ng isang numero at gamitin ito, ngunit sila ay mga shaman para doon, upang turuan ang kanilang mga inapo ng kanilang mga kasanayan at karunungan, kung hindi, ang mga shaman ay mamamatay lamang.
Kailangan mo ba ng patunay? Buksan ang Wikipedia at subukang hanapin ang pahina ng "Sum of Digits of a Number". Wala siya. Walang formula sa matematika kung saan makikita mo ang kabuuan ng mga digit ng anumang numero. Pagkatapos ng lahat, ang mga numero ay mga graphic na simbolo kung saan kami nagsusulat ng mga numero, at sa wika ng matematika, ang gawain ay ganito ang tunog: "Hanapin ang kabuuan ng mga graphic na simbolo na kumakatawan sa anumang numero." Hindi malulutas ng mga mathematician ang problemang ito, ngunit magagawa ito ng mga shaman sa elementarya.
Alamin natin kung ano at paano natin gagawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng isang naibigay na numero. At kaya, sabihin nating mayroon tayong numerong 12345. Ano ang kailangang gawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito? Isaalang-alang natin ang lahat ng mga hakbang sa pagkakasunud-sunod.
1. Isulat ang numero sa isang papel. Ano'ng nagawa natin? Na-convert namin ang numero sa isang numerong graphic na simbolo. Ito ay hindi isang mathematical operation.
2. Pinutol namin ang isang natanggap na larawan sa ilang mga larawan na naglalaman ng magkakahiwalay na mga numero. Ang pagputol ng larawan ay hindi isang mathematical operation.
3. I-convert ang mga indibidwal na graphic na character sa mga numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.
4. Pagsamahin ang mga resultang numero. Ngayon ay matematika na.
Ang kabuuan ng mga digit ng numerong 12345 ay 15. Ito ang "mga kurso sa pagputol at pananahi" mula sa mga shaman na ginagamit ng mga mathematician. Ngunit hindi lang iyon.
Mula sa punto ng view ng matematika, hindi mahalaga kung aling sistema ng numero ang isinusulat namin ang numero. Kaya, sa iba't ibang sistema pagtutuos, mag-iiba ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero. Sa matematika, ang sistema ng numero ay ipinahiwatig bilang isang subscript sa kanan ng numero. MULA SA isang malaking bilang 12345 Hindi ko nais na lokohin ang aking ulo, isaalang-alang ang numero 26 mula sa artikulo tungkol sa. Isulat natin ang numerong ito sa binary, octal, decimal at hexadecimal number system. Hindi namin isasaalang-alang ang bawat hakbang sa ilalim ng mikroskopyo, nagawa na namin iyon. Tingnan natin ang resulta.
Tulad ng nakikita mo, sa iba't ibang mga sistema ng numero, ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero ay iba. Ang resultang ito ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay tulad ng paghahanap ng lugar ng isang parihaba sa metro at sentimetro ay magbibigay sa iyo ng ganap na magkakaibang mga resulta.
Ang zero sa lahat ng mga sistema ng numero ay mukhang pareho at walang kabuuan ng mga digit. Ito ay isa pang argumentong pabor sa katotohanan na . Isang tanong para sa mga mathematician: paano ito tinutukoy sa matematika na hindi isang numero? Ano, para sa mga mathematician, walang iba kundi mga numero ang umiiral? Para sa mga shaman, maaari kong payagan ito, ngunit para sa mga siyentipiko, hindi. Ang katotohanan ay hindi lamang tungkol sa mga numero.
Ang resulta na nakuha ay dapat isaalang-alang bilang patunay na ang mga sistema ng numero ay mga yunit ng pagsukat ng mga numero. Pagkatapos ng lahat, hindi natin maihahambing ang mga numero sa iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Kung ang parehong mga aksyon na may iba't ibang mga yunit ng pagsukat ng parehong dami ay humantong sa iba't ibang mga resulta pagkatapos ihambing ang mga ito, kung gayon ito ay walang kinalaman sa matematika.
Ano ang tunay na matematika? Ito ay kapag ang resulta ng isang mathematical na aksyon ay hindi nakasalalay sa halaga ng numero, ang yunit ng sukat na ginamit, at kung sino ang nagsasagawa ng pagkilos na ito.
Aray! Hindi ba ito ang palikuran ng mga babae?
- Batang babae! Ito ay isang laboratoryo para sa pag-aaral ng walang katapusang kabanalan ng mga kaluluwa sa pag-akyat sa langit! Nimbus sa itaas at arrow pataas. Anong palikuran?
Babae... Isang halo sa itaas at isang arrow pababa ay lalaki.
Kung mayroon kang isang gawa ng sining ng disenyo na kumikislap sa harap ng iyong mga mata nang maraming beses sa isang araw,
Kung gayon hindi nakakagulat na bigla kang makakita ng kakaibang icon sa iyong sasakyan:
Sa personal, nagsusumikap ako sa aking sarili na makita ang minus apat na degree sa isang taong tumatae (isang larawan) (komposisyon ng ilang mga larawan: minus sign, numero apat, pagtatalaga ng degree). At hindi ko itinuturing ang babaeng ito na isang tanga na hindi marunong sa pisika. Mayroon lang siyang arc stereotype ng perception ng mga graphic na larawan. At itinuturo ito sa amin ng mga mathematician sa lahat ng oras. Narito ang isang halimbawa.
Ang 1A ay hindi "minus four degrees" o "one a". Ito ay "pooping man" o ang bilang na "dalawampu't anim" sa hexadecimal number system. Ang mga taong patuloy na nagtatrabaho sa sistema ng numero na ito ay awtomatikong nakikita ang numero at titik bilang isang graphic na simbolo.
Sa kursong middle at high school, pinag-aralan ng mga estudyante ang paksang "Fractions". Gayunpaman, ang konseptong ito ay mas malawak kaysa sa ibinigay sa proseso ng pag-aaral. Ngayon, ang konsepto ng isang fraction ay madalas na nakatagpo, at hindi lahat ay maaaring kalkulahin ang anumang expression, halimbawa, multiply fractions.
Ano ang isang fraction?
Ito ay nangyari sa kasaysayan na mga fractional na numero lumitaw dahil sa pangangailangang sukatin. Tulad ng ipinapakita ng kasanayan, madalas na may mga halimbawa para sa pagtukoy ng haba ng isang segment, ang dami ng isang parihaba na parihaba.
Sa una, ang mga mag-aaral ay ipinakilala sa naturang konsepto bilang isang pagbabahagi. Halimbawa, kung hahatiin mo ang isang pakwan sa 8 bahagi, ang bawat isa ay makakakuha ng isang-ikawalo ng isang pakwan. Ang isang bahagi ng walo ay tinatawag na bahagi.
Ang isang bahagi na katumbas ng ½ ng anumang halaga ay tinatawag na kalahati; ⅓ - pangatlo; ¼ - isang quarter. Ang mga entry tulad ng 5/8, 4/5, 2/4 ay tinatawag na mga karaniwang fraction. Ang ordinaryong fraction ay nahahati sa numerator at denominator. Sa pagitan ng mga ito ay isang fractional line, o fractional line. Ang isang fractional bar ay maaaring iguhit bilang alinman sa isang pahalang o isang slanted na linya. Sa kasong ito, ito ay kumakatawan sa tanda ng dibisyon.
Ang denominator ay kumakatawan sa kung gaano karaming pantay na pagbabahagi ng halaga, ang bagay ay nahahati sa; at ang numerator ay kung gaano karaming pantay na bahagi ang kinuha. Ang numerator ay nakasulat sa itaas ng fractional bar, ang denominator sa ibaba nito.
Ito ay pinaka-maginhawa upang ipakita ang mga ordinaryong fraction sa isang coordinate ray. Kung ang isang solong segment ay nahahati sa 4 na pantay na bahagi, ang bawat bahagi ay itinalaga ng isang Latin na titik, kung gayon bilang isang resulta maaari kang makakuha ng isang mahusay biswal na materyal. Kaya, ang punto A ay nagpapakita ng bahagi na katumbas ng 1/4 ng kabuuan iisang segment, at ang point B ay nagmamarka ng 2/8 ng segment na ito.
Mga uri ng fraction
Ang mga fraction ay karaniwan, desimal, at halo-halong mga numero. Bilang karagdagan, ang mga praksiyon ay maaaring hatiin sa wasto at hindi wasto. Ang pag-uuri na ito ay mas angkop para sa ordinaryong fraction.
Ang wastong fraction ay isang numero na ang numerator ay mas mababa sa denominator. Alinsunod dito, ang improper fraction ay isang numero na ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator. Ang pangalawang uri ay karaniwang isinusulat bilang halo-halong numero. Ang nasabing expression ay binubuo ng isang integer na bahagi at isang fractional na bahagi. Halimbawa, 1½. 1 - integer na bahagi, ½ - fractional. Gayunpaman, kung kailangan mong magsagawa ng ilang manipulasyon gamit ang expression (paghahati o pagpaparami ng mga fraction, pagbabawas o pag-convert sa mga ito), ang pinaghalong numero ay isinasalin sa hindi wastong bahagi.
Tama fractional expression ay palaging mas mababa sa isa, at ang mali ay palaging mas malaki sa o katumbas ng 1.
Tulad ng para sa expression na ito, naiintindihan nila ang isang talaan kung saan ang anumang numero ay kinakatawan, ang denominator ng fractional na expression na maaaring ipahayag sa pamamagitan ng isa na may ilang mga zero. Kung tama ang fraction, magiging zero ang bahagi ng integer sa decimal notation.
Upang magsulat ng decimal, kailangan mo munang isulat ang integer na bahagi, paghiwalayin ito mula sa fractional gamit ang kuwit, at pagkatapos ay isulat ang fractional expression. Dapat tandaan na pagkatapos ng kuwit ang numerator ay dapat maglaman ng kasing dami ng mga numeric na character na may mga zero sa denominator.
Halimbawa. Katawan ang fraction 7 21 / 1000 sa decimal notation.
Algorithm para sa pag-convert ng hindi tamang fraction sa isang mixed number at vice versa
Hindi tama na isulat ang isang hindi wastong bahagi sa sagot ng problema, kaya dapat itong i-convert sa isang halo-halong numero:
- hatiin ang numerator sa umiiral na denominator;
- sa isang partikular na halimbawa, ang isang hindi kumpletong quotient ay isang integer;
- at ang natitira ay ang numerator ng fractional na bahagi, na ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago.
Halimbawa. I-convert ang improper fraction sa mixed number: 47 / 5 .
Solusyon. 47: 5. Ang hindi kumpletong kusyente ay 9, ang natitira = 2. Samakatuwid, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Minsan kailangan mong katawanin ang isang halo-halong numero bilang isang hindi tamang fraction. Pagkatapos ay kailangan mong gamitin ang sumusunod na algorithm:
- ang integer na bahagi ay pinarami ng denominator ng fractional expression;
- ang resultang produkto ay idinagdag sa numerator;
- ang resulta ay nakasulat sa numerator, ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago.
Halimbawa. Ipahayag ang bilang sa magkahalong anyo bilang di-wastong bahagi: 9 8 / 10 .
Solusyon. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ang numerator.
Sagot: 98 / 10.
Pagpaparami ng mga ordinaryong fraction
Maaari kang magsagawa ng iba't ibang algebraic na operasyon sa mga ordinaryong fraction. Upang i-multiply ang dalawang numero, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator. Bukod dito, ang multiplikasyon ng mga fraction na may iba't ibang denominator ay hindi naiiba sa produkto ng mga fractional na numero na may parehong denominator.
Nangyayari na pagkatapos mahanap ang resulta, kailangan mong bawasan ang bahagi. AT walang sablay ang resultang expression ay dapat na gawing simple hangga't maaari. Siyempre, hindi masasabing isang pagkakamali ang improper fraction sa sagot, ngunit mahirap ding tawagin itong tamang sagot.
Halimbawa. Hanapin ang produkto ng dalawang ordinaryong fraction: ½ at 20/18.
Tulad ng makikita mula sa halimbawa, pagkatapos mahanap ang produkto, ang isang reducible fractional notation ay nakuha. Parehong ang numerator at denominator sa kasong ito ay nahahati sa 4, at ang resulta ay ang sagot na 5/9.
Pagpaparami ng mga decimal fraction
Ang produkto ng mga decimal fraction ay medyo naiiba sa produkto ng mga ordinaryong fraction sa prinsipyo nito. Kaya, ang pagpaparami ng mga fraction ay ang mga sumusunod:
- dalawang decimal fraction ay dapat na nakasulat sa ilalim ng bawat isa upang ang pinakakanang mga digit ay isa sa ilalim ng isa;
- kailangan mong i-multiply ang mga nakasulat na numero, sa kabila ng mga kuwit, iyon ay, bilang natural na mga numero;
- bilangin ang bilang ng mga digit pagkatapos ng kuwit sa bawat isa sa mga numero;
- sa resulta na nakuha pagkatapos ng multiplikasyon, kailangan mong bilangin ang bilang ng maraming mga digital na character sa kanan na nilalaman sa kabuuan sa parehong mga kadahilanan pagkatapos ng decimal point, at maglagay ng separating sign;
- kung mayroong mas kaunting mga digit sa produkto, napakaraming mga zero ang dapat na nakasulat sa harap ng mga ito upang masakop ang numerong ito, maglagay ng kuwit at magtalaga ng integer na bahagi na katumbas ng zero.
Halimbawa. Kalkulahin ang produkto ng dalawang decimal: 2.25 at 3.6.
Solusyon.
Pagpaparami ng mga pinaghalong fraction
Upang kalkulahin ang produkto ng dalawang magkahalong fraction, kailangan mong gamitin ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction:
- i-convert ang mga pinaghalong numero sa hindi wastong mga fraction;
- hanapin ang produkto ng mga numerator;
- hanapin ang produkto ng mga denominador;
- isulat ang resulta;
- pasimplehin ang expression hangga't maaari.
Halimbawa. Hanapin ang produkto ng 4½ at 6 2/5.
Pagpaparami ng numero sa isang fraction (mga fraction sa isang numero)
Bilang karagdagan sa paghahanap ng produkto ng dalawang fraction, halo-halong mga numero, may mga gawain kung saan kailangan mong i-multiply sa isang fraction.
Kaya, upang mahanap ang trabaho decimal fraction at isang natural na numero, kailangan mo:
- isulat ang numero sa ilalim ng fraction upang ang pinakakanang mga digit ay isa sa itaas ng isa;
- hanapin ang trabaho, sa kabila ng kuwit;
- sa resultang nakuha, paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang isang kuwit, binibilang sa kanan ang bilang ng mga character na pagkatapos ng decimal point sa fraction.
Upang i-multiply ang isang ordinaryong fraction sa isang numero, dapat mong hanapin ang produkto ng numerator at ang natural na kadahilanan. Kung ang sagot ay isang reducible fraction, dapat itong i-convert.
Halimbawa. Kalkulahin ang produkto ng 5 / 8 at 12.
Solusyon. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Sagot: 7 1 / 2.
Tulad ng nakikita mo mula sa nakaraang halimbawa, kinakailangan upang bawasan ang resultang resulta at i-convert ang maling fractional expression sa isang halo-halong numero.
Gayundin, ang pagpaparami ng mga praksiyon ay nalalapat din sa paghahanap ng produkto ng isang numero sa magkahalong anyo at isang natural na salik. Upang i-multiply ang dalawang numerong ito, dapat mong i-multiply ang integer na bahagi ng mixed factor sa numero, i-multiply ang numerator sa parehong halaga, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Kung kinakailangan, kailangan mong gawing simple ang resulta hangga't maaari.
Halimbawa. Hanapin ang produkto ng 9 5/6 at 9.
Solusyon. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.
Sagot: 88 1 / 2.
Multiplikasyon sa pamamagitan ng mga salik 10, 100, 1000 o 0.1; 0.01; 0.001
Ang sumusunod na tuntunin ay sumusunod mula sa nakaraang talata. Upang i-multiply ang isang decimal fraction sa 10, 100, 1000, 10000, atbp., kailangan mong ilipat ang kuwit sa kanan ng kasing dami ng mga digit na character dahil may mga zero sa multiplier pagkatapos ng isa.
Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng 0.065 at 1000.
Solusyon. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.
Sagot: 65.
Halimbawa 2. Hanapin ang produkto ng 3.9 at 1000.
Solusyon. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.
Sagot: 3900.
Kung kailangan mong i-multiply ang isang natural na numero at 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001, atbp., dapat mong ilipat ang kuwit sa kaliwa sa resultang produkto ng kasing dami ng mga digit na character dahil may mga zero bago ang isa. Kung kinakailangan, ang isang sapat na bilang ng mga zero ay nakasulat sa harap ng isang natural na numero.
Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng 56 at 0.01.
Solusyon. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.
Sagot: 0,56.
Halimbawa 2. Hanapin ang produkto ng 4 at 0.001.
Solusyon. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.
Sagot: 0,004.
Kaya, ang paghahanap ng produkto ng iba't ibang fraction ay hindi dapat maging sanhi ng mga kahirapan, maliban sa marahil ang pagkalkula ng resulta; Sa kasong ito, hindi mo magagawa nang walang calculator.
Ang isa pang operasyon na maaaring isagawa sa mga ordinaryong fraction ay multiplikasyon. Susubukan naming ipaliwanag ang mga pangunahing alituntunin nito kapag nilulutas ang mga problema, ipakita kung paano pinarami ang isang ordinaryong fraction sa isang natural na numero at kung paano tama ang pagpaparami ng tatlo o higit pang ordinaryong fraction.
Isulat muna natin ang pangunahing tuntunin:
Kahulugan 1
Kung magpaparami tayo ng isang ordinaryong fraction, ang numerator ng resultang fraction ay magiging ay katumbas ng produkto numerator ng orihinal na mga fraction, at ang denominator - ang produkto ng kanilang mga denominator. Sa literal na anyo, para sa dalawang fraction na a / b at c / d, ito ay maaaring ipahayag bilang a b · c d = a · c b · d.
Tingnan natin ang isang halimbawa kung paano ilapat nang tama ang panuntunang ito. Sabihin nating mayroon tayong parisukat na ang panig ay katumbas ng isang numerical unit. Pagkatapos ang lugar ng figure ay magiging 1 square. yunit. Kung hahatiin natin ang parisukat sa pantay na mga parihaba na may mga gilid na katumbas ng 1 4 at 1 8 ng numerical unit, makukuha natin na ito ngayon ay binubuo ng 32 parihaba (dahil 8 4 = 32). Alinsunod dito, ang lugar ng bawat isa sa kanila ay magiging katumbas ng 1 32 ng lugar ng buong figure, i.e. 1 32 sq. mga yunit.
Mayroon kaming shaded na fragment na may mga gilid na katumbas ng 5 8 numerical units at 3 4 numerical units. Alinsunod dito, upang makalkula ang lugar nito, kinakailangan upang i-multiply ang unang bahagi ng pangalawa. Ito ay magiging katumbas ng 5 8 3 4 metro kuwadrado. mga yunit. Ngunit maaari lamang nating bilangin kung gaano karaming mga parihaba ang kasama sa fragment: mayroong 15 sa kanila, na nangangahulugan na ang kabuuang lugar ay 1532 square units.
Dahil 5 3 = 15 at 8 4 = 32 maaari nating isulat ang sumusunod na equation:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Ito ay isang kumpirmasyon ng panuntunan ng pagpaparami ng mga ordinaryong fraction na binuo namin, na ipinahayag bilang a b · c d = a · c b · d. Pareho itong gumagana para sa parehong wasto at hindi wastong mga fraction; Maaari itong gamitin upang i-multiply ang mga fraction na may magkaiba at magkaparehong denominator.
Suriin natin ang mga solusyon ng ilang mga problema para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction.
Halimbawa 1
I-multiply ang 7 11 sa 9 8 .
Solusyon
Upang magsimula, kinakalkula namin ang produkto ng mga numerator ng ipinahiwatig na mga praksyon sa pamamagitan ng pagpaparami ng 7 sa 9. Nakakuha kami ng 63. Pagkatapos ay kalkulahin natin ang produkto ng mga denominador at makuha ang: 11 8 = 88 . Buuin natin ang sagot mula sa dalawang numero: 63 88.
Ang buong solusyon ay maaaring isulat tulad nito:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Sagot: 7 11 9 8 = 63 88 .
Kung sa sagot ay nakakuha tayo ng reducible fraction, kailangan nating kumpletuhin ang kalkulasyon at gawin ang pagbabawas nito. Kung makakakuha tayo ng hindi tamang bahagi, kailangan nating piliin ang buong bahagi mula dito.
Halimbawa 2
Kalkulahin ang produkto ng mga fraction 4 15 at 55 6 .
Solusyon
Ayon sa tuntunin na pinag-aralan sa itaas, kailangan nating i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator. Ang entry ng solusyon ay magiging ganito:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Nakakuha kami ng pinababang bahagi, i.e. isa na may tanda ng divisibility ng 10.
Bawasan natin ang fraction: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. Bilang isang resulta, nakakuha kami ng isang hindi wastong bahagi, kung saan pipiliin namin ang buong bahagi at nakakuha ng isang halo-halong numero: 22 9 \u003d 2 4 9.
Sagot: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Para sa kaginhawaan ng pagkalkula, maaari rin nating bawasan ang mga orihinal na fraction bago isagawa ang pagpaparami ng pagpaparami, kung saan kailangan nating dalhin ang fraction sa anyo na a · c b · d. Binubulok namin ang mga halaga ng mga variable sa simpleng mga kadahilanan at kanselahin ang pareho.
Ipaliwanag natin kung ano ang hitsura nito gamit ang data ng isang partikular na problema.
Halimbawa 3
Kalkulahin ang produkto 4 15 55 6 .
Solusyon
Isulat natin ang mga kalkulasyon batay sa tuntunin ng multiplikasyon. Aming makakaya na:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Dahil bilang 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 at 6 = 2 3 , pagkatapos ay 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Sagot: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Numeric na expression, kung saan nagaganap ang multiplikasyon ng mga ordinaryong fraction, ay may commutative property, iyon ay, kung kinakailangan, maaari nating baguhin ang pagkakasunud-sunod ng mga salik:
a b c d = c d a b = a c b d
Paano i-multiply ang isang fraction na may natural na numero
Isulat natin kaagad ang pangunahing tuntunin, at pagkatapos ay subukang ipaliwanag ito sa pagsasanay.
Kahulugan 2
Upang i-multiply ang isang ordinaryong fraction sa isang natural na numero, kailangan mong i-multiply ang numerator ng fraction na ito sa numerong ito. Sa kasong ito, ang denominator ng huling fraction ay magiging katumbas ng denominator ng orihinal na ordinaryong fraction. Ang pagpaparami ng ilang fraction a b sa natural na bilang n ay maaaring isulat bilang formula a b · n = a · n b .
Madaling maunawaan ang formula na ito kung naaalala mo na ang anumang natural na numero ay maaaring katawanin bilang isang ordinaryong fraction na may denominator na katumbas ng isa, iyon ay:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Ipaliwanag natin ang ating ideya gamit ang mga tiyak na halimbawa.
Halimbawa 4
Compute the product of 2 27 by 5 .
Solusyon
Bilang resulta ng pagpaparami ng numerator ng orihinal na fraction sa pangalawang kadahilanan, makakakuha tayo ng 10. Sa bisa ng tuntunin sa itaas, makakakuha tayo ng 10 27 bilang resulta. Ang buong solusyon ay ibinigay sa post na ito:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Sagot: 2 27 5 = 10 27
Kapag pinarami natin ang isang natural na numero na may karaniwang fraction, kadalasan kailangan nating bawasan ang resulta o kinakatawan ito bilang isang pinaghalong numero.
Halimbawa 5
Kundisyon: Kalkulahin ang produkto ng 8 beses 5 12 .
Solusyon
Ayon sa panuntunan sa itaas, pinarami namin ang isang natural na numero ng numerator. Bilang resulta, nakukuha natin na 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Ang huling bahagi ay may mga palatandaan ng divisibility ng 2, kaya kailangan nating bawasan ito:
LCM (40, 12) \u003d 4, kaya 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
Ngayon kailangan lang nating piliin ang bahaging integer at isulat ang natapos na sagot: 10 3 = 3 1 3.
Sa entry na ito, makikita mo ang buong solusyon: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .
Maaari rin nating bawasan ang fraction sa pamamagitan ng pag-factor ng numerator at denominator sa prime factor, at ang resulta ay magiging eksaktong pareho.
Sagot: 5 12 8 = 3 1 3 .
Ang isang numerical expression kung saan ang isang natural na numero ay pinarami ng isang fraction ay mayroon ding katangian ng displacement, iyon ay, ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay hindi nakakaapekto sa resulta:
a b n = n a b = a n b
Paano magparami ng tatlo o higit pang karaniwang mga fraction
Maaari nating pahabain sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction ang parehong mga katangian na katangian ng pagpaparami ng mga natural na numero. Ito ay sumusunod mula sa mismong kahulugan ng mga konseptong ito.
Salamat sa kaalaman sa mga katangian ng associative at commutative, posibleng i-multiply ang tatlo o higit pang ordinaryong fraction. Pinahihintulutan na muling ayusin ang mga salik sa mga lugar para sa higit na kaginhawahan o ayusin ang mga bracket sa paraang magpapadali sa pagbilang.
Magpakita tayo ng isang halimbawa kung paano ito ginagawa.
Halimbawa 6
I-multiply ang apat na karaniwang praksiyon 1 20 , 12 5 , 3 7 at 5 8 .
Solusyon: Una, itala natin ang gawain. Nakukuha natin ang 1 20 12 5 3 7 5 8 . Kailangan nating i-multiply ang lahat ng numerator at ang lahat ng denominator nang magkasama: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
Bago natin simulan ang multiplikasyon, maaari nating gawing mas madali para sa ating sarili ang ilang mga numero at gawing pangunahing mga kadahilanan para sa karagdagang pagbabawas. Ito ay magiging mas madali kaysa sa pagbabawas ng natapos na fraction na nagreresulta mula dito.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Sagot: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.
Halimbawa 7
Multiply 5 numero 7 8 12 8 5 36 10 .
Solusyon
Para sa kaginhawahan, maaari nating pangkatin ang fraction 78 na may numero 8 at ang numero 12 na may fraction na 536, dahil magiging malinaw sa atin ang mga pagbabawas sa hinaharap. Bilang resulta, makakakuha tayo ng:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 3 10 = 7 3 = 5 30 3 116 2 3
Sagot: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Upang wastong i-multiply ang isang fraction sa isang fraction o isang fraction sa isang numero, kailangan mong malaman simpleng tuntunin. Susuriin natin ngayon nang detalyado ang mga patakarang ito.
Pagpaparami ng fraction sa fraction.
Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong kalkulahin ang produkto ng mga numerator at ang produkto ng mga denominator ng mga fraction na ito.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Pina-multiply natin ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at pinaparami rin natin ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ beses 3)(7 \beses 3) = \frac(4)(7)\\\)
Ang fraction \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) ay nabawasan ng 3.
Pagpaparami ng fraction sa isang numero.
Magsimula tayo sa panuntunan anumang numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Gamitin natin ang panuntunang ito para sa pagpaparami.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Hindi wastong fraction \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) ay na-convert sa halo-halong bahagi.
Sa ibang salita, Kapag nagpaparami ng numero sa isang fraction, i-multiply ang numero sa numerator at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Halimbawa:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Pagpaparami ng mga pinaghalong fraction.
Upang i-multiply ang mga mixed fraction, kailangan mo munang katawanin ang bawat mixed fraction bilang hindi tamang fraction, at pagkatapos ay gamitin ang multiplication rule. Ang numerator ay pinarami sa numerator, ang denominator ay pinarami sa denominator.
Halimbawa:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Pagpaparami ng reciprocal fraction at numero.
Ang fraction \(\bf \frac(a)(b)\) ay ang kabaligtaran ng fraction \(\bf \frac(b)(a)\), na ibinigay a≠0,b≠0.
Ang mga fraction na \(\bf \frac(a)(b)\) at \(\bf \frac(b)(a)\) ay tinatawag na reciprocals. Ang produkto ng mga reciprocal fraction ay 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Halimbawa:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Mga kaugnay na tanong:
Paano i-multiply ang isang fraction sa isang fraction?
Sagot: ang produkto ng mga ordinaryong fraction ay ang multiplikasyon ng numerator sa numerator, ang denominator na may denominator. Upang makuha ang produkto ng mga mixed fraction, kailangan mong i-convert ang mga ito sa isang hindi tamang fraction at i-multiply ayon sa mga panuntunan.
Paano i-multiply ang mga fraction na may iba't ibang denominator?
Sagot: hindi mahalaga kung pareho sila o iba't ibang denominador para sa mga fraction, ang multiplikasyon ay nangyayari ayon sa panuntunan ng paghahanap ng produkto ng numerator na may numerator, ang denominator na may denominator.
Paano i-multiply ang mixed fractions?
Sagot: una sa lahat, kailangan mong i-convert ang mixed fraction sa isang hindi tamang fraction at pagkatapos ay hanapin ang produkto ayon sa mga patakaran ng multiplikasyon.
Paano i-multiply ang isang numero sa isang fraction?
Sagot: I-multiply natin ang numero sa numerator, at iiwan ang denominator na pareho.
Halimbawa #1:
Kalkulahin ang produkto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)
Solusyon:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( pula) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Halimbawa #2:
Kalkulahin ang produkto ng isang numero at isang fraction: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Solusyon:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Halimbawa #3:
Isulat ang kapalit ng \(\frac(1)(3)\)?
Sagot: \(\frac(3)(1) = 3\)
Halimbawa #4:
Kalkulahin ang produkto ng dalawang reciprocal fraction: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Solusyon:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Halimbawa #5:
Maaaring ang magkabaligtaran na mga praksiyon ay:
a) parehong wastong fraction;
b) sabay-sabay na mga hindi wastong fraction;
c) sa parehong oras natural na mga numero?
Solusyon:
a) Gumamit tayo ng isang halimbawa upang sagutin ang unang tanong. Ang fraction na \(\frac(2)(3)\) ay wasto, ang reciprocal nito ay magiging katumbas ng \(\frac(3)(2)\) - isang improper fraction. Sagot: hindi.
b) sa halos lahat ng enumerasyon ng mga fraction, ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, ngunit may ilang mga numero na tumutupad sa kondisyon ng pagiging isang hindi wastong fraction sa parehong oras. Halimbawa, ang improper fraction ay \(\frac(3)(3)\) , ang reciprocal nito ay \(\frac(3)(3)\). Nakakakuha kami ng dalawang hindi tamang fraction. Sagot: hindi palaging sa ilalim ng ilang mga kundisyon, kapag ang numerator at denominator ay pantay.
c) ang mga natural na numero ay ang mga numerong ginagamit natin kapag nagbibilang, halimbawa, 1, 2, 3, .... Kung kukunin natin ang numerong \(3 = \frac(3)(1)\), kung gayon ang kapalit nito ay magiging \(\frac(1)(3)\). Ang fraction na \(\frac(1)(3)\) ay hindi isang natural na numero. Kung susuriin natin ang lahat ng mga numero, ang reciprocal ay palaging isang fraction, maliban sa 1. Kung kukunin natin ang numero 1, kung gayon ang kapalit nito ay magiging \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Ang numero 1 ay isang natural na numero. Sagot: maaari silang maging natural na mga numero sa parehong oras lamang sa isang kaso, kung ang numerong ito ay 1.
Halimbawa #6:
Gawin ang produkto ng mga pinaghalong fraction: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Solusyon:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Halimbawa #7:
Maaari bang umiral ang dalawang reciprocal na numero sa parehong oras? magkahalong numero?
Tingnan natin ang isang halimbawa. Kumuha tayo ng halo-halong fraction \(1\frac(1)(2)\), hanapin ang kapalit nito, para dito isinasalin natin ito sa hindi tamang fraction \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Ang kapalit nito ay magiging katumbas ng \(\frac(2)(3)\) . Ang fraction na \(\frac(2)(3)\) ay isang proper fraction. Sagot: Ang dalawang magkabaligtaran na fraction ay hindi maaaring pinaghalong mga numero nang sabay.