Paglutas ng mga sistema ng linear equation gamit ang online substitution method. Aralin sa video "Paglutas ng mga sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Ang isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam ay dalawa o higit pang mga linear na equation kung saan kinakailangan upang mahanap ang lahat ng kanilang mga karaniwang solusyon. Isasaalang-alang namin ang mga sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam. Pangkalahatang anyo isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam ay ipinapakita sa figure sa ibaba:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Dito ang x at y ay mga hindi kilalang variable, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ang ilang mga tunay na numero. Ang isang solusyon sa isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam ay isang pares ng mga numero (x, y) na kung ang mga numerong ito ay ihahalili sa mga equation ng system, ang bawat isa sa mga equation ng system ay magiging isang tunay na pagkakapantay-pantay. Isaalang-alang ang isa sa mga paraan upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation, katulad ng paraan ng pagpapalit.

Algorithm para sa paglutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:

1. Pumili ng isang equation (mas mahusay na piliin ang isa kung saan ang mga numero ay mas maliit) at ipahayag ang isang variable mula dito sa pamamagitan ng isa pa, halimbawa, x hanggang y. (maaari mo ring y hanggang x).

2. Palitan ang resultang expression sa halip na ang kaukulang variable sa isa pang equation. Kaya, nakakakuha kami ng isang linear na equation na may isang hindi alam.

3. Nilulutas namin ang nagresultang linear equation at nakuha ang solusyon.

4. Pinapalitan namin ang nakuhang solusyon sa expression na nakuha sa unang talata, nakuha namin ang pangalawang hindi alam mula sa solusyon.

5. I-verify ang resultang solusyon.

Halimbawa

Upang gawing mas malinaw, lutasin natin ang isang maliit na halimbawa.

Halimbawa 1 Lutasin ang sistema ng mga equation:

(x+2*y=12
(2*x-3*y=-18

Solusyon:

1. Mula sa unang equation ng sistemang ito, ipinapahayag namin ang variable na x. Mayroon kaming x= (12 -2*y);

2. I-substitute ang expression na ito sa pangalawang equation, makakakuha tayo ng 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Nilulutas namin ang nagresultang linear equation: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y=-18; -7*y = -42; y=6;

4. Pinapalitan namin ang resultang nakuha sa expression na nakuha sa unang talata. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Sinusuri namin ang nakuha na solusyon, para dito pinapalitan namin ang mga numero na natagpuan sa orihinal na sistema.

(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay, samakatuwid, tama naming natagpuan ang solusyon.

Mga sistema ng equation na natanggap malawak na aplikasyon sa sektor ng ekonomiya sa pagmomodelo ng matematika ng iba't ibang proseso. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga problema sa pamamahala at pagpaplano ng produksyon, mga ruta ng logistik (problema sa transportasyon) o paglalagay ng kagamitan.

Ang mga sistema ng equation ay ginagamit hindi lamang sa larangan ng matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika at biology, kapag nilulutas ang mga problema sa paghahanap ng laki ng populasyon.

Ang isang sistema ng mga linear na equation ay isang termino para sa dalawa o higit pang mga equation na may ilang mga variable kung saan ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang karaniwang solusyon. Ang ganitong pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang lahat ng mga equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay o nagpapatunay na ang pagkakasunod-sunod ay hindi umiiral.

Linear Equation

Ang mga equation ng anyong ax+by=c ay tinatawag na linear. Ang mga pagtatalagang x, y ay ang mga hindi alam, ang halaga nito ay dapat matagpuan, b, a ay ang mga coefficient ng mga variable, c ay ang libreng termino ng equation.
Ang paglutas ng equation sa pamamagitan ng paglalagay ng graph nito ay magmumukhang isang tuwid na linya, ang lahat ng mga punto ay ang solusyon ng polynomial.

Mga uri ng mga sistema ng mga linear na equation

Ang pinakasimple ay mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable na X at Y.

F1(x, y) = 0 at F2(x, y) = 0, kung saan F1,2 ay function at (x, y) ay function variable.

Lutasin ang isang sistema ng mga equation - nangangahulugan ito ng paghahanap ng mga ganoong halaga (x, y) kung saan ang sistema ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay o itatag iyon angkop na mga halaga x at y ay wala.

Ang isang pares ng mga halaga (x, y), na isinulat bilang mga coordinate ng punto, ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation.

Kung ang mga sistema ay may isang karaniwang solusyon o walang solusyon, ang mga ito ay tinatawag na katumbas.

Ang mga homogenous na sistema ng mga linear equation ay mga sistema kanang bahagi na katumbas ng zero. Kung ang tamang bahagi pagkatapos ng "pantay" na tanda ay may halaga o ipinahayag ng isang function, ang naturang sistema ay hindi homogenous.

Ang bilang ng mga variable ay maaaring higit sa dalawa, pagkatapos ay dapat nating pag-usapan ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear equation na may tatlong variable o higit pa.

Nahaharap sa mga sistema, ipinapalagay ng mga mag-aaral na ang bilang ng mga equation ay kinakailangang magkasabay sa bilang ng mga hindi alam, ngunit hindi ito ganoon. Ang bilang ng mga equation sa system ay hindi nakasalalay sa mga variable, maaaring mayroong isang di-makatwirang malaking bilang ng mga ito.

Simple at kumplikadong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Walang pangkalahatang analytical na paraan upang malutas ang mga naturang sistema, ang lahat ng mga pamamaraan ay batay sa mga numerical na solusyon. SA kurso sa paaralan matematika, tulad ng mga pamamaraan tulad ng permutation, algebraic addition, substitution, pati na rin ang graphical at pamamaraan ng matrix, solusyon sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss.

Ang pangunahing gawain sa pagtuturo ng mga pamamaraan ng paglutas ay ang magturo kung paano maayos na pag-aralan ang system at hanapin pinakamainam na algorithm mga solusyon para sa bawat halimbawa. Ang pangunahing bagay ay hindi kabisaduhin ang isang sistema ng mga patakaran at aksyon para sa bawat pamamaraan, ngunit upang maunawaan ang mga prinsipyo ng paglalapat ng isang partikular na pamamaraan.

Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation ng ika-7 baitang ng pangkalahatang programa sa paaralan ng edukasyon ay medyo simple at ipinaliwanag nang detalyado. Sa anumang aklat-aralin sa matematika, ang bahaging ito ay binibigyan ng sapat na atensyon. Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss at Cramer ay pinag-aralan nang mas detalyado sa mga unang kurso ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Ang mga aksyon ng paraan ng pagpapalit ay naglalayong ipahayag ang halaga ng isang variable hanggang sa pangalawa. Ang expression ay pinapalitan sa natitirang equation, pagkatapos ito ay nabawasan sa isang solong variable na anyo. Ang aksyon ay paulit-ulit depende sa bilang ng mga hindi alam sa system

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation ng ika-7 klase sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang variable na x ay ipinahayag sa pamamagitan ng F(X) = 7 + Y. Ang resultang expression, na pinalitan sa 2nd equation ng system sa halip ng X, ay nakatulong upang makakuha ng isang variable Y sa 2nd equation. . Ang solusyon ng halimbawang ito ay hindi nagdudulot ng mga paghihirap at nagbibigay-daan sa iyong makuha ang halaga ng Y. Ang huling hakbang ay suriin ang mga nakuhang halaga.

Hindi laging posible na lutasin ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagpapalit. Ang mga equation ay maaaring kumplikado at ang pagpapahayag ng variable sa mga tuntunin ng pangalawang hindi alam ay magiging napakahirap para sa karagdagang mga kalkulasyon. Kapag mayroong higit sa 3 hindi alam sa system, ang solusyon sa pagpapalit ay hindi rin praktikal.

Solusyon ng isang halimbawa ng isang sistema ng linear inhomogeneous equation:

Solusyon gamit ang algebraic na karagdagan

Kapag naghahanap ng solusyon sa mga system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag, ang termino-by-term na pagdaragdag at pagpaparami ng mga equation sa pamamagitan ng iba't ibang mga numero ay isinasagawa. Ang pangwakas na layunin ng mga pagpapatakbo ng matematika ay isang equation na may isang variable.

Ang mga aplikasyon ng paraang ito ay nangangailangan ng pagsasanay at pagmamasid. Hindi madaling lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagdaragdag na may bilang ng mga variable na 3 o higit pa. Ang algebraic na karagdagan ay kapaki-pakinabang kapag ang mga equation ay naglalaman ng mga fraction at decimal na numero.

Algoritmo ng pagkilos ng solusyon:

1. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa ilang numero. Bilang resulta ng operasyon ng aritmetika, ang isa sa mga coefficient ng variable ay dapat maging katumbas ng 1.
2. Idagdag ang nagresultang termino ng expression ayon sa termino at hanapin ang isa sa mga hindi alam.
3. I-substitute ang resultang value sa 2nd equation ng system para mahanap ang natitirang variable.

Paraan ng solusyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable

Ang isang bagong variable ay maaaring ipakilala kung ang sistema ay kailangang makahanap ng solusyon para sa hindi hihigit sa dalawang equation, ang bilang ng mga hindi alam ay dapat ding hindi hihigit sa dalawa.

Ang pamamaraan ay ginagamit upang gawing simple ang isa sa mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable. Ang bagong equation ay nalutas na may kinalaman sa ipinasok na hindi alam, at ang resultang halaga ay ginagamit upang matukoy ang orihinal na variable.

Makikita mula sa halimbawa na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable t, posible na bawasan ang 1st equation ng system sa isang standard square trinomial. Maaari mong lutasin ang isang polynomial sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant.

Kinakailangang hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang kilalang formula: D = b2 - 4*a*c, kung saan ang D ay ang nais na discriminant, b, a, c ang mga multiplier ng polynomial. Sa ibinigay na halimbawa, a=1, b=16, c=39, kaya D=100. Kung mas malaki sa zero ang discriminant, may dalawang solusyon: t = -b±√D / 2*a, kung mas mababa sa zero ang discriminant, may isang solusyon lang: x= -b / 2*a.

Ang solusyon para sa mga nagresultang sistema ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.

Isang visual na paraan para sa paglutas ng mga sistema

Angkop para sa mga system na may 3 equation. Ang pamamaraan ay binubuo sa paglalagay ng mga graph ng bawat equation na kasama sa system sa coordinate axis. Ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga curves ang magiging pangkalahatang solusyon ng system.

Ang graphic na pamamaraan ay may isang bilang ng mga nuances. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa isang visual na paraan.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, dalawang puntos ang itinayo para sa bawat linya, ang mga halaga ng variable na x ay pinili nang arbitraryo: 0 at 3. Batay sa mga halaga ng x, ang mga halaga para sa y ay natagpuan: 3 at 0. Ang mga puntos na may mga coordinate (0, 3) at (3, 0) ay minarkahan sa graph at ikinonekta ng isang linya.

Ang mga hakbang ay dapat na ulitin para sa pangalawang equation. Ang punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon ng system.

Sa sumusunod na halimbawa, kinakailangan na makahanap ng isang graphical na solusyon sa sistema ng mga linear na equation: 0.5x-y+2=0 at 0.5x-y-1=0.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang sistema ay walang solusyon, dahil ang mga graph ay parallel at hindi nagsalubong sa kanilang buong haba.

Ang mga sistema mula sa Mga Halimbawa 2 at 3 ay magkatulad, ngunit kapag binuo, nagiging malinaw na ang kanilang mga solusyon ay magkaiba. Dapat tandaan na hindi laging posible na sabihin kung ang sistema ay may solusyon o wala, palaging kinakailangan na bumuo ng isang graph.

Matrix at mga varieties nito

Ginagamit ang mga matrice upang maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Ang matrix ay isang espesyal na uri ng talahanayan na puno ng mga numero. Ang n*m ay may n - row at m - column.

Ang matrix ay parisukat kapag ang bilang ng mga column at row ay pantay. Ang matrix-vector ay isang single-column matrix na may walang katapusang posibleng bilang ng mga row. Ang isang matrix na may mga yunit kasama ang isa sa mga diagonal at iba pang mga zero na elemento ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Ang isang kabaligtaran na matrix ay tulad ng isang matrix, kapag pinarami kung saan ang orihinal ay nagiging isang yunit, ang gayong matrix ay umiiral lamang para sa orihinal na parisukat.

Mga panuntunan para sa pagbabago ng isang sistema ng mga equation sa isang matrix

Tungkol sa mga sistema ng mga equation, ang mga coefficient at libreng mga miyembro ng mga equation ay nakasulat bilang mga numero ng matrix, isang equation ay isang hilera ng matrix.

Ang isang matrix row ay tinatawag na non-zero kung hindi bababa sa isang elemento ng row ay hindi katumbas ng zero. Samakatuwid, kung sa alinman sa mga equation ang bilang ng mga variable ay naiiba, pagkatapos ay kinakailangan na magpasok ng zero sa lugar ng nawawalang hindi alam.

Ang mga column ng matrix ay dapat na mahigpit na tumutugma sa mga variable. Nangangahulugan ito na ang mga coefficient ng variable x ay maaari lamang isulat sa isang column, halimbawa ang una, ang coefficient ng hindi kilalang y - sa pangalawa lamang.

Kapag nagpaparami ng isang matrix, ang lahat ng mga elemento ng matrix ay sunud-sunod na pinarami ng isang numero.

Mga opsyon para sa paghahanap ng inverse matrix

Ang formula para sa paghahanap ng inverse matrix ay medyo simple: K -1 = 1 / |K|, kung saan ang K -1 ay ang inverse matrix at |K| - determinant ng matrix. |K| hindi dapat katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon.

Ang determinant ay madaling kalkulahin para sa isang two-by-two matrix, kinakailangan lamang na i-multiply ang mga elemento nang pahilis sa bawat isa. Para sa opsyong "three by three", mayroong formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Maaari mong gamitin ang formula, o maaari mong tandaan na kailangan mong kumuha ng isang elemento mula sa bawat row at bawat column upang ang mga numero ng column at row ng mga elemento ay hindi na maulit sa produkto.

Solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng matrix method

Ang paraan ng matrix ng paghahanap ng solusyon ay ginagawang posible upang mabawasan ang masalimuot na mga entry kapag nilulutas ang mga sistema na may malaking bilang ng mga variable at equation.

Sa halimbawa, ang isang nm ay ang mga coefficient ng mga equation, ang matrix ay isang vector x n ang mga variable, at ang b n ay ang mga libreng termino.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss

Sa mas mataas na matematika, ang Gauss method ay pinag-aaralan kasama ng Cramer method, at ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa mga system ay tinatawag na Gauss-Cramer method of solving. Ang mga pamamaraan na ito ay ginagamit upang mahanap ang mga variable ng mga system na may malaking bilang ng mga linear equation.

Ang pamamaraang Gauss ay halos kapareho sa mga solusyon gamit ang mga pamalit at algebraic na karagdagan ngunit mas sistematiko. Sa kurso ng paaralan, ang solusyong Gaussian ay ginagamit para sa mga sistema ng 3 at 4 na equation. Ang layunin ng pamamaraan ay upang dalhin ang sistema sa anyo ng isang baligtad na trapezoid. paraan mga pagbabagong algebraic at ang mga pagpapalit ay ang halaga ng isang variable sa isa sa mga equation ng system. Ang pangalawang equation ay isang expression na may 2 hindi alam, at 3 at 4 - na may 3 at 4 na variable, ayon sa pagkakabanggit.

Pagkatapos dalhin ang system sa inilarawang anyo, ang karagdagang solusyon ay ibinababa sa sunud-sunod na pagpapalit ng mga kilalang variable sa mga equation ng system.

Sa mga aklat-aralin sa paaralan para sa ika-7 baitang, ang isang halimbawa ng solusyong Gaussian ay inilarawan bilang sumusunod:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, sa hakbang (3) dalawang equation ang nakuha 3x 3 -2x 4 =11 at 3x 3 +2x 4 =7. Ang solusyon ng alinman sa mga equation ay magbibigay-daan sa iyo upang malaman ang isa sa mga variable x n.

Ang Theorem 5, na binanggit sa teksto, ay nagsasaad na kung ang isa sa mga equation ng sistema ay papalitan ng isang katumbas, kung gayon ang resultang sistema ay magiging katumbas din ng orihinal.

Ang pamamaraang Gaussian ay mahirap para sa mga mag-aaral sa gitnang paaralan na maunawaan, ngunit isa sa mga pinaka mga kawili-wiling paraan upang paunlarin ang katalinuhan ng mga batang nakatala sa advanced na programa sa pag-aaral sa mga klase sa matematika at pisika.

Para sa kadalian ng pag-record ng mga kalkulasyon, kaugalian na gawin ang mga sumusunod:

Ang mga equation coefficient at libreng termino ay nakasulat sa anyo ng isang matrix, kung saan ang bawat hilera ng matrix ay tumutugma sa isa sa mga equation ng system. naghihiwalay kaliwang bahagi mga equation mula sa kanan. Ang mga numerong Romano ay tumutukoy sa mga bilang ng mga equation sa sistema.

Una, isinulat nila ang matrix kung saan gagana, pagkatapos ay ang lahat ng mga aksyon na isinasagawa sa isa sa mga hilera. Ang resultang matrix ay isinulat pagkatapos ng "arrow" sign at patuloy na isagawa ang mga kinakailangang algebraic operation hanggang sa makamit ang resulta.

Bilang isang resulta, ang isang matrix ay dapat makuha kung saan ang isa sa mga diagonal ay 1, at lahat ng iba pang mga coefficient ay katumbas ng zero, iyon ay, ang matrix ay nabawasan sa isang solong anyo. Hindi natin dapat kalimutang gumawa ng mga kalkulasyon sa mga numero ng magkabilang panig ng equation.

Ang notasyong ito ay hindi gaanong masalimuot at nagbibigay-daan sa iyo na hindi magambala sa pamamagitan ng paglilista ng maraming hindi alam.

Ang libreng aplikasyon ng anumang paraan ng solusyon ay mangangailangan ng pangangalaga at isang tiyak na dami ng karanasan. Hindi lahat ng pamamaraan ay inilalapat. Ang ilang mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon ay mas kanais-nais sa isang partikular na lugar ng aktibidad ng tao, habang ang iba ay umiiral para sa layunin ng pag-aaral.

1. Pamamaraan ng pagpapalit: mula sa anumang equation ng system ay ipinapahayag namin ang isang hindi alam sa mga tuntunin ng isa pa at pinapalitan ito sa pangalawang equation ng system.

Gawain. Lutasin ang sistema ng mga equation:

Solusyon. Mula sa unang equation ng system, ipinapahayag namin sa sa pamamagitan ng X at palitan sa pangalawang equation ng system. Kunin natin ang sistema katumbas ng orihinal.

Pagkatapos dalhin ang mga naturang termino, kukuha ang system ng form:

Mula sa pangalawang equation nakita namin ang: . Ang pagpapalit ng halagang ito sa equation sa = 2 - 2X, nakukuha namin sa= 3. Samakatuwid, ang solusyon ng sistemang ito ay isang pares ng mga numero .

2. Algebraic na paraan ng pagdaragdag: sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang equation, kumuha ng equation na may isang variable.

Gawain. Lutasin ang system equation:

Solusyon. Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng pangalawang equation sa pamamagitan ng 2, makuha natin ang sistema katumbas ng orihinal. Ang pagdaragdag ng dalawang equation ng system na ito, dumating tayo sa system

Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino, ang sistemang ito ay kukuha ng anyo: Mula sa pangalawang equation nakita namin. Ang pagpapalit ng halagang ito sa Equation 3 X + 4sa= 5, nakukuha namin , saan . Samakatuwid, ang solusyon ng sistemang ito ay isang pares ng mga numero .

3. Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable: naghahanap kami ng ilang paulit-ulit na mga expression sa system, na aming tutukuyin sa pamamagitan ng mga bagong variable, sa gayon ay pinapasimple ang anyo ng system.

Gawain. Lutasin ang sistema ng mga equation:

Solusyon. Isulat natin ang sistemang ito nang iba:

Hayaan x + y = ikaw, hu = v. Pagkatapos makuha namin ang sistema

Solusyonan natin ito sa pamamagitan ng substitution method. Mula sa unang equation ng system, ipinapahayag namin u sa pamamagitan ng v at palitan sa pangalawang equation ng system. Kunin natin ang sistema mga.

Mula sa pangalawang equation ng system nakita namin v 1 = 2, v 2 = 3.

Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa equation u = 5 - v, nakukuha namin u 1 = 3,
u 2 = 2. Pagkatapos ay mayroon tayong dalawang sistema

Ang paglutas ng unang sistema, nakakakuha tayo ng dalawang pares ng mga numero (1; 2), (2; 1). Ang pangalawang sistema ay walang solusyon.

Mga ehersisyo para sa malayang gawain

1. Lutasin ang mga sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit.

Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Ang mga equation ay ginagamit ng tao mula pa noong unang panahon at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Ang paraan ng pagpapalit ay nagpapadali sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation ng anumang kumplikado. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay na, gamit ang unang pagpapahayag ng sistema, ipinapahayag namin ang "y", at pagkatapos ay pinapalitan namin ang nagresultang expression sa pangalawang equation ng system sa halip na "y". Dahil ang equation ay naglalaman na ng hindi dalawang hindi alam, ngunit isa lamang, madali nating mahahanap ang halaga ng variable na ito, at pagkatapos ay gamitin ito upang matukoy ang halaga ng pangalawa.

Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang sistema ng mga linear na equation ng sumusunod na anyo:

\[\left\(\begin(matrix) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

Express \

\[\left\(\begin(matrix) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

I-substitute ang resultang expression sa 2nd equation:

\[\left\(\begin(matrix) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end(matrix)\right.\]

Hanapin ang halaga \

Pasimplehin at lutasin ang equation sa pamamagitan ng pagbubukas ng mga bracket at isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa paglilipat ng mga termino:

Ngayon alam na natin ang halaga ng \ Gamitin natin ito upang mahanap ang halaga ng \

Sagot: \[(4;2).\]

Saan ko malulutas ang isang sistema ng mga equation online gamit ang paraan ng pagpapalit?

Maaari mong lutasin ang sistema ng mga equation sa aming website. Ang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang online na equation ng anumang kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari mo ring matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming Vkontakte group.

Paglutas ng mga sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Alalahanin kung ano ang isang sistema ng mga equation.

Ang isang sistema ng dalawang equation na may dalawang variable ay dalawang equation na nakasulat sa ibaba ng isa, pinagsama ng isang kulot na bracket. Ang paglutas ng isang sistema ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang pares ng mga numero na magiging solusyon sa una at pangalawang equation sa parehong oras.

Sa araling ito, makikilala natin ang isang paraan ng paglutas ng mga sistema tulad ng paraan ng pagpapalit.

Tingnan natin ang sistema ng mga equation:

Maaari mong lutasin ang sistemang ito nang graphical. Upang gawin ito, kakailanganin naming bumuo ng mga graph ng bawat isa sa mga equation sa isang coordinate system, na i-convert ang mga ito sa form:

Pagkatapos ay hanapin ang mga coordinate ng intersection point ng mga graph, na siyang magiging solusyon ng system. Ngunit ang graphical na paraan ay malayo sa palaging maginhawa, dahil. naiiba sa mababang katumpakan, at kahit na hindi naa-access sa lahat. Tingnan natin ang ating sistema. Ngayon ay mukhang:

Makikita na ang mga kaliwang bahagi ng mga equation ay pantay, na nangangahulugan na ang kanang bahagi ay dapat ding pantay. Pagkatapos makuha namin ang equation:

Ito ay isang pamilyar na one-variable equation na alam natin kung paano lutasin. Ilipat natin ang hindi kilalang mga termino sa kaliwang bahagi, at ang mga kilalang - sa kanan, hindi nakakalimutang baguhin ang mga palatandaan +, - kapag naglilipat. Nakukuha namin:

Ngayon ay pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng x sa anumang equation ng system at hanapin ang halaga ng y. Sa aming system, mas maginhawang gamitin ang pangalawang equation y \u003d 3 - x, pagkatapos ng pagpapalit ay nakukuha namin ang y \u003d 2. Ngayon suriin natin ang gawaing nagawa. Una, sa unang equation, ipinahayag namin ang variable y sa mga tuntunin ng variable x. Pagkatapos ang resultang expression - 2x + 4 ay pinalitan sa pangalawang equation sa halip na variable na y. Pagkatapos ay nalutas namin ang nagresultang equation na may isang variable x at natagpuan ang halaga nito. At sa konklusyon, ginamit namin ang nahanap na halaga ng x upang makahanap ng isa pang variable na y. Dito lumitaw ang tanong: kinakailangan bang ipahayag ang variable y mula sa parehong mga equation nang sabay-sabay? Syempre hindi. Maaari naming ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa lamang sa isang equation ng system at gamitin ito sa halip na ang kaukulang variable sa pangalawa. Bukod dito, ang anumang variable mula sa anumang equation ay maaaring ipahayag. Narito ang pagpili ay nakasalalay lamang sa kaginhawahan ng account. Tinawag ng mga mathematician ang pamamaraang ito bilang algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng dalawang equation na may dalawang variable gamit ang paraan ng pagpapalit. Narito kung ano ang hitsura nito.

1. Ipahayag ang isa sa mga variable sa mga tuntunin ng isa sa isa sa mga equation ng system.

2. Palitan ang resultang expression sa halip na ang kaukulang variable sa isa pang equation ng system.

3. Lutasin ang resultang equation na may isang variable.

4. Palitan ang nahanap na halaga ng variable sa expression na nakuha sa unang talata at hanapin ang halaga ng isa pang variable.

5. Isulat ang sagot bilang isang pares ng mga numero na natagpuan sa ikatlo at ikaapat na hakbang.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa. Lutasin ang sistema ng mga equation:

Dito mas madaling ipahayag ang variable y mula sa unang equation. Nakukuha namin ang y \u003d 8 - 2x. Ang resultang expression ay dapat palitan para sa y sa pangalawang equation. Nakukuha namin:

Isinulat namin ang equation na ito nang hiwalay at lutasin ito. Buksan muna natin ang mga panaklong. Nakukuha namin ang equation na 3x - 16 + 4x \u003d 5. Kolektahin natin ang hindi kilalang mga termino sa kaliwang bahagi ng equation, at ang mga kilala sa kanang bahagi at magbigay ng mga katulad na termino. Nakukuha namin ang equation na 7x \u003d 21, samakatuwid x \u003d 3.

Ngayon, gamit ang nahanap na halaga ng x, mahahanap mo ang:

Sagot: isang pares ng mga numero (3; 2).

Kaya, sa araling ito, natutunan nating lutasin ang mga sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam sa isang analytical, tumpak na paraan, nang hindi gumagamit ng mga kahina-hinalang graphical na pamamaraan.

Listahan ng ginamit na panitikan:

1. Mordkovich A.G., Algebra grade 7 sa 2 bahagi, Part 1, Textbook para sa institusyong pang-edukasyon/ A.G. Mordkovich. - 10th ed., binago - Moscow, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra grade 7 sa 2 bahagi, Part 2, Task book para sa mga institusyong pang-edukasyon / [A.G. Mordkovich at iba pa]; inedit ni A.G. Mordkovich - ika-10 edisyon, binago - Moscow, Mnemosyne, 2007.
3. SIYA. Tulcinskaya, Algebra Baitang 7. Blitz survey: isang gabay para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon, ika-4 na edisyon, binago at dinagdagan, Moscow, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra Grade 7. Gumagana ang tematikong pag-verify bagong anyo para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon, na-edit ni A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", 2011.
5. Alexander L.A. Algebra ika-7 baitang. Pansariling gawain para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon, na-edit ni A.G. Mordkovich - ika-6 na edisyon, stereotypical, Moscow, "Mnemosyne", 2010.