Quadratic equation na may mga halimbawa ng modulo solution. Modulus ng numero (ganap na halaga ng numero), mga kahulugan, mga halimbawa, mga katangian

Isa sa pinakamahirap na paksa para sa mga mag-aaral ay ang paglutas ng mga equation na naglalaman ng variable sa ilalim ng modulus sign. Tingnan natin para sa isang simula kung ano ang konektado sa? Bakit, halimbawa, ang mga quadratic equation na karamihan sa mga bata ay nag-click tulad ng mga mani, ngunit sa isang malayo mula sa pinaka kumplikadong konsepto bilang isang module ay may napakaraming problema?

Sa aking opinyon, ang lahat ng mga paghihirap na ito ay nauugnay sa kakulangan ng malinaw na nabalangkas na mga patakaran para sa paglutas ng mga equation na may isang modulus. Oo, nagpapasya quadratic equation, siguradong alam ng mag-aaral na kailangan muna niyang ilapat ang discriminant formula, at pagkatapos ay ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation. Ngunit paano kung ang isang module ay nakatagpo sa equation? Susubukan naming malinaw na ilarawan kinakailangang plano mga aksyon para sa kaso kapag ang equation ay naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng modulus sign. Nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa para sa bawat kaso.

Ngunit una, tandaan natin kahulugan ng modyul. Kaya, ang modulus ng numero a ang numero mismo ay tinatawag na kung a di-negatibo at -a kung ang numero a mas mababa sa zero. Maaari mong isulat ito tulad nito:

|a| = a kung a ≥ 0 at |a| = -a kung a< 0

Sa pagsasalita tungkol sa geometric na kahulugan ng modyul, dapat itong alalahanin na ang bawat tunay na numero ay tumutugma sa isang tiyak na punto sa numero ng axis - nito sa coordinate. Kaya, ang module o ang absolute value ng isang numero ay ang distansya mula sa puntong ito hanggang sa pinagmulan ng numerical axis. Palaging ibinibigay ang distansya bilang positibong numero. Kaya, ang modulus ng anumang negatibong numero ay isang positibong numero. Sa pamamagitan ng paraan, kahit na sa yugtong ito, maraming mga mag-aaral ang nagsisimulang malito. Anumang numero ay maaaring nasa module, ngunit ang resulta ng paglalapat ng module ay palaging isang positibong numero.

Ngayon ay magpatuloy tayo sa paglutas ng mga equation.

1. Isaalang-alang ang isang equation ng anyong |x| = c, kung saan ang c ay isang tunay na numero. Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang kahulugan ng modulus.

Hinahati namin ang lahat ng tunay na numero sa tatlong grupo: ang mga mas malaki sa zero, ang mas mababa sa zero, at ang pangatlong grupo ay ang numero 0. Isinulat namin ang solusyon sa anyo ng isang diagram:

(±c kung c > 0

Kung |x| = c, pagkatapos x = (0 kung c = 0

(walang ugat kung may< 0

1) |x| = 5, dahil 5 > 0, pagkatapos x = ±5;

2) |x| = -5, kasi -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, pagkatapos x = 0.

2. Isang equation ng anyong |f(x)| = b, kung saan b > 0. Upang malutas ang equation na ito, kinakailangan upang mapupuksa ang modulus. Ginagawa namin ito ng ganito: f(x) = b o f(x) = -b. Ngayon ay kinakailangan upang malutas nang hiwalay ang bawat isa sa mga nakuha na equation. Kung sa orihinal na equation b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, dahil 4> 0, pagkatapos

x + 2 = 4 o x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, dahil 11 > 0, pagkatapos

x 2 - 5 = 11 o x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 walang ugat

3) |x 2 – 5x| = -8 , dahil -walo< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Isang equation ng anyong |f(x)| = g(x). Ayon sa kahulugan ng modyul, magkakaroon ng mga solusyon ang naturang equation kung ito kanang bahagi mas malaki sa o katumbas ng zero, i.e. g(x) ≥ 0. Pagkatapos ay mayroon tayong:

f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Ang equation na ito ay magkakaroon ng mga ugat kung 5x - 10 ≥ 0. Dito magsisimula ang solusyon ng naturang mga equation.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Solusyon:

2x - 1 = 5x - 10 o 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Pagsamahin ang O.D.Z. at ang solusyon, nakukuha namin:

Ang ugat x \u003d 11/7 ay hindi magkasya ayon sa O.D.Z., ito ay mas mababa sa 2, at x \u003d 3 ay natutugunan ang kundisyong ito.

Sagot: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito gamit ang interval method:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Solusyon:

x - 1 \u003d 1 - x 2 o x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 o x = 1 x = 0 o x = 1

3. Pagsamahin ang solusyon at O.D.Z.:

Ang mga ugat na x = 1 at x = 0 lamang ang angkop.

Sagot: x = 0, x = 1.

4. Isang equation ng anyong |f(x)| = |g(x)|. Ang nasabing equation ay katumbas ng sumusunod na dalawang equation f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Ang equation na ito ay katumbas ng sumusunod na dalawa:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 o x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 o x = 4 x = 2 o x = 1

Sagot: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit (pagbabago ng variable). Ang paraan ng solusyon na ito ay pinakamadaling ipaliwanag sa isang partikular na halimbawa. Kaya, hayaan ang isang quadratic equation na may modulus na ibigay:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Sa pamamagitan ng property ng module x 2 = |x| 2 , kaya ang equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Gawin natin ang pagbabago |x| = t ≥ 0, pagkatapos ay magkakaroon tayo ng:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Ang paglutas ng equation na ito, nakukuha natin na t \u003d 1 o t \u003d 5. Bumalik tayo sa kapalit:

|x| = 1 o |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Sagot: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa:

x 2 + |x| – 2 = 0. Sa pamamagitan ng katangian ng modyul x 2 = |x| 2, kaya

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Gawin natin ang pagbabago |x| = t ≥ 0, kung gayon:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Paglutas ng equation na ito, nakukuha namin, t \u003d -2 o t \u003d 1. Bumalik tayo sa kapalit:

|x| = -2 o |x| = 1

Walang mga ugat x = ± 1

Sagot: x = -1, x = 1.

6. Ang isa pang uri ng mga equation ay ang mga equation na may "kumplikadong" modulus. Kasama sa mga naturang equation ang mga equation na mayroong "mga module sa loob ng isang module". Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring malutas gamit ang mga katangian ng module.

1) |3 – |x|| = 4. Kami ay kumilos sa parehong paraan tulad ng sa mga equation ng pangalawang uri. kasi 4> 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang equation:

3 – |x| = 4 o 3 – |x| = -4.

Ngayon ipahayag natin ang module x sa bawat equation, pagkatapos |x| = -1 o |x| = 7.

Nalulutas namin ang bawat isa sa mga resultang equation. Walang mga ugat sa unang equation, dahil -isa< 0, а во втором x = ±7.

Sagot x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Nilulutas namin ang equation na ito sa katulad na paraan:

3 + |x + 1| = 5 o 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 o x + 1 = -2. Walang mga ugat.

Sagot: x = -3, x = 1.

meron din generic na pamamaraan solusyon ng mga equation na may modulus. Ito ang paraan ng spacing. Ngunit isasaalang-alang namin ito nang higit pa.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Hindi namin pinipili ang math ang kanyang propesyon, at siya ang pumili sa amin.

Ang Russian mathematician na si Yu.I. Manin

Mga Equation ng Modulo

Ang pinakamahirap na problemang lutasin sa matematika ng paaralan ay ang mga equation na naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign. Para sa matagumpay na solusyon tulad ng mga equation, kailangang malaman ang kahulugan at mga pangunahing katangian ng modyul. Natural, ang mga mag-aaral ay dapat magkaroon ng mga kasanayan upang malutas ang mga equation ng ganitong uri.

Mga pangunahing konsepto at katangian

Modulus (ganap na halaga) ng isang tunay na numero denoted at tinukoy bilang mga sumusunod:

Upang mga simpleng katangian Kasama sa module ang mga sumusunod na ugnayan:

Tandaan, na ang huling dalawang pag-aari ay nagtataglay para sa anumang kahit na antas.

Gayundin, kung , saan , pagkatapos at

Mas kumplikadong mga katangian ng module, na maaaring epektibong magamit sa paglutas ng mga equation na may mga module, ay nabuo sa pamamagitan ng mga sumusunod na theorems:

Teorama 1.Para sa anumang analytic function at ang hindi pagkakapantay-pantay

Teorama 2. Ang pagkakapantay-pantay ay kapareho ng hindi pagkakapantay-pantay.

Teorama 3. Pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay.

Isaalang-alang ang karaniwang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang “Equation, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign.

Paglutas ng mga Equation gamit ang Modulus

Pinaka-karaniwan sa matematika ng paaralan ang paraan para sa paglutas ng mga equation na may modulus ay ang pamamaraan, batay sa pagpapalawak ng modyul. Ang pamamaraang ito ay generic, gayunpaman, sa pangkalahatang kaso, ang paggamit nito ay maaaring humantong sa napakahirap na kalkulasyon. Kaugnay nito, dapat ding magkaroon ng kamalayan ang mga mag-aaral sa iba, higit pa mabisang pamamaraan at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation. Sa partikular, kailangang magkaroon ng mga kasanayan sa paglalapat ng mga theorems, ibinigay sa artikulong ito.

Halimbawa 1 Lutasin ang equation. (isa)

Solusyon. Ang equation (1) ay malulutas sa pamamagitan ng "classical" na paraan - ang module expansion method. Upang gawin ito, sinisira namin ang numerical axis tuldok at pagitan at isaalang-alang ang tatlong mga kaso.

1. Kung ang , kung gayon , , , at equation (1) ay may anyong . Ito ay sumusunod mula rito. Gayunpaman, dito , kaya ang nahanap na halaga ay hindi ang ugat ng equation (1).

2. Kung , pagkatapos ay mula sa equation (1) makuha namin o .

Simula noon ang ugat ng equation (1).

3. Kung , pagkatapos ay ang equation (1) ay kinuha ang form o . Tandaan na .

Sagot: , .

Kapag nilulutas ang mga sumusunod na equation sa isang module, aktibong gagamitin namin ang mga katangian ng mga module upang mapataas ang kahusayan ng paglutas ng mga naturang equation.

Halimbawa 2 lutasin ang equation.

Solusyon. Simula at pagkatapos ito ay sumusunod mula sa equation. Kaugnay nito, , , at ang equation ay nagiging. Mula dito nakukuha natin. gayunpaman, kaya ang orihinal na equation ay walang mga ugat.

Sagot: walang ugat.

Halimbawa 3 lutasin ang equation.

Solusyon. Simula noon . Kung , kung gayon , at ang equation ay nagiging.

Mula dito nakukuha natin.

Halimbawa 4 lutasin ang equation.

Solusyon.Isulat muli natin ang equation sa isang katumbas na anyo. (2)

Ang resultang equation ay nabibilang sa mga equation ng uri.

Isinasaalang-alang ang Theorem 2, maaari nating sabihin na ang equation (2) ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay. Mula dito nakukuha natin.

Sagot: .

Halimbawa 5 Lutasin ang equation.

Solusyon. Ang equation na ito ay may anyo. kaya lang , ayon sa Theorem 3, dito mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay o .

Halimbawa 6 lutasin ang equation.

Solusyon. Ipagpalagay natin na . kasi , pagkatapos ang ibinigay na equation ay tumatagal ng anyo ng isang quadratic equation, (3)

saan . Dahil ang equation (3) ay may kakaiba positibong ugat at , pagkatapos . Mula dito nakakakuha tayo ng dalawang ugat ng orihinal na equation: at .

Halimbawa 7 lutasin ang equation. (4)

Solusyon. Mula noong equationay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation: at , pagkatapos kapag nilutas ang equation (4) ito ay kinakailangan upang isaalang-alang ang dalawang mga kaso.

1. Kung , kung gayon o .

Mula dito nakukuha natin ang , at .

2. Kung , kung gayon o .

Simula noon .

Sagot: , , , .

Halimbawa 8lutasin ang equation . (5)

Solusyon. Simula at , noon . Mula dito at mula sa Eq. (5) sinusundan nito iyon at , i.e. dito mayroon tayong sistema ng mga equation

Gayunpaman, ang sistemang ito ng mga equation ay hindi pare-pareho.

Sagot: walang ugat.

Halimbawa 9 lutasin ang equation. (6)

Solusyon. Kung italaga natin at mula sa equation (6) makuha natin

O kaya . (7)

Dahil ang equation (7) ay may anyo , ang equation na ito ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay . Mula dito nakukuha natin. Mula noon o .

Sagot: .

Halimbawa 10lutasin ang equation. (8)

Solusyon.Ayon sa Theorem 1, maaari tayong sumulat

(9)

Isinasaalang-alang ang equation (8), napagpasyahan namin na ang parehong hindi pagkakapantay-pantay (9) ay nagiging mga pagkakapantay-pantay, i.e. mayroong isang sistema ng mga equation

Gayunpaman, sa pamamagitan ng Theorem 3, ang sistema sa itaas ng mga equation ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

(10)

Paglutas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (10) nakukuha natin . Dahil ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (10) ay katumbas ng equation (8), ang orihinal na equation ay may iisang ugat .

Sagot: .

Halimbawa 11. lutasin ang equation. (11)

Solusyon. Hayaan at , pagkatapos ay ang equation (11) ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay .

Mula dito sinusundan iyon at . Kaya, dito mayroon tayong sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Ang solusyon sa sistemang ito ng hindi pagkakapantay-pantay ay at .

Sagot: , .

Halimbawa 12.lutasin ang equation. (12)

Solusyon. Ang equation (12) ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng sunud-sunod na pagpapalawak ng mga module. Upang gawin ito, isaalang-alang ang ilang mga kaso.

1. Kung , kung gayon .

1.1. Kung , pagkatapos at , .

1.2. Kung , kung gayon . gayunpaman, samakatuwid, sa kasong ito, ang equation (12) ay walang mga ugat.

2. Kung , kung gayon .

2.1. Kung , pagkatapos at , .

2.2. Kung , kung gayon at .

Sagot: , , , , .

Halimbawa 13lutasin ang equation. (13)

Solusyon. Dahil ang kaliwang parte equation (13) ay non-negatibo, pagkatapos ay at . Kaugnay nito, , at equation (13)

tumatagal ang form o .

Ito ay kilala na ang equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation at , paglutas na nakukuha natin, . kasi , pagkatapos ang equation (13) ay may isang ugat.

Sagot: .

Halimbawa 14 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (14)

Solusyon. Mula noon at , pagkatapos at . Samakatuwid, mula sa sistema ng mga equation (14) nakakakuha tayo ng apat na sistema ng mga equation:

Ang mga ugat ng mga sistema ng equation sa itaas ay ang mga ugat ng sistema ng mga equation (14).

Sagot: ,, , , , , , .

Halimbawa 15 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (15)

Solusyon. Simula noon . Kaugnay nito, mula sa sistema ng mga equation (15) nakakakuha tayo ng dalawang sistema ng mga equation

Ang mga ugat ng unang sistema ng mga equation ay at , at mula sa pangalawang sistema ng mga equation ay nakuha natin at .

Sagot: , , , .

Halimbawa 16 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (16)

Solusyon. Ito ay sumusunod mula sa unang equation ng system (16) na .

Simula noon . Isaalang-alang ang pangalawang equation ng system. Dahil ang, tapos , at ang equation ay nagiging, , o .

Kung papalitan natin ang halagasa unang equation ng system (16), pagkatapos , o .

Sagot: , .

Para sa mas malalim na pag-aaral ng mga paraan ng paglutas ng problema, nauugnay sa solusyon ng mga equation, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign, maaari kang magpayo mga gabay sa pag-aaral mula sa listahan ng mga inirerekomendang literatura.

1. Koleksyon ng mga gawain sa matematika para sa mga aplikante sa mga teknikal na unibersidad / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Mundo at Edukasyon, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: mga gawain ng mas kumplikado. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 p.

3. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: hindi karaniwang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.

May tanong ka ba?

Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Tochilkina Julia

Ang papel ay nagpapakita ng iba't ibang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may isang modulus.

I-download:

Preview:

Institusyong pang-edukasyon sa badyet ng munisipyo

"Secondary school No. 59"

Mga Equation ng Modulo

Abstract na gawain

Ginanap mag-aaral sa ika-9 na baitang

MBOU "Secondary School No. 59", Barnaul

Tochilkina Julia

Superbisor

Zakharova Ludmila Vladimirovna,

guro sa matematika

MBOU "Secondary School No. 59", Barnaul

Barnaul 2015

Panimula

Ako ay nasa ika-siyam na baitang. Ngayong akademikong taon kailangan kong makapasa sa huling sertipikasyon para sa kurso ng pangunahing paaralan. Upang maghanda para sa pagsusulit, bumili kami ng isang koleksyon ng D. A. Maltsev Mathematics. Baitang 9 Sa pagtingin sa koleksyon, nakita ko ang mga equation na naglalaman ng hindi lamang isa, kundi pati na rin ang ilang mga module. Ipinaliwanag sa akin ng guro at sa aking mga kaklase na ang mga naturang equation ay tinatawag na "nested modules" equation. Ang pangalang ito ay tila hindi pangkaraniwan para sa amin, at ang solusyon sa unang tingin, sa halip ay kumplikado. Ito ay kung paano lumitaw ang paksa para sa aking trabaho na "Equation with a modulus". Napagpasyahan kong pag-aralan ang paksang ito nang mas malalim, lalo na't ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa akin kapag pumasa sa mga pagsusulit sa pagtatapos. taon ng paaralan at sa tingin ko kakailanganin ito sa ika-10 at ika-11 na baitang. Ang lahat ng nasa itaas ay tumutukoy sa kaugnayan ng paksang aking pinili.

Layunin :

Isipin mo iba't ibang pamamaraan solusyon ng mga equation na may modulus.
Matutong lutasin ang mga equation na naglalaman ng sign ng absolute value gamit ang iba't ibang pamamaraan

Upang magtrabaho sa paksa, ang mga sumusunod na gawain ay binuo:

Mga gawain:

Upang pag-aralan ang teoretikal na materyal sa paksang "Ang modulus ng isang tunay na numero."
Isaalang-alang ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at pagsama-samahin ang kaalaman na nakuha sa pamamagitan ng paglutas ng mga problema.
Ilapat ang nakuhang kaalaman sa paglutas ng iba't ibang equation na naglalaman ng sign ng modulus sa mataas na paaralan

Layunin ng pag-aaral:mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may isang modulus

Paksa ng pag-aaral:modulo equation

Mga pamamaraan ng pananaliksik:

Teoretikal : pag-aaral ng panitikan sa paksa ng pananaliksik;

Internet - impormasyon.

Pagsusuri impormasyong nakuha sa pag-aaral ng panitikan; resultang nakuha kapag nilulutas ang mga equation na may modulus iba't ibang paraan.

Paghahambing mga paraan ng paglutas ng mga equation, ang paksa ng rasyonalidad ng kanilang paggamit sa paglutas ng iba't ibang mga equation na may isang module.

"Nagsisimula tayong mag-isip kapag may nabangga tayo." Paul Valerie.

1. Mga konsepto at kahulugan.

Ang konsepto ng "modulus" ay malawakang ginagamit sa maraming mga seksyon ng kurso sa matematika ng paaralan, halimbawa, sa pag-aaral ng ganap at kamag-anak na mga pagkakamali ng isang tinatayang numero; sa geometry at physics, ang mga konsepto ng isang vector at ang haba nito (vector modulus) ay pinag-aaralan. Ang konsepto ng isang module ay ginagamit sa mga kurso ng mas mataas na matematika, pisika at teknikal na agham na pinag-aralan sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon.

Ang salitang "module" ay nagmula sa salitang Latin na "modulus", na nangangahulugang "sukat" sa pagsasalin. Ang salitang ito ay may maraming kahulugan at ginagamit hindi lamang sa matematika, pisika at teknolohiya, kundi pati na rin sa arkitektura, programming at iba pang eksaktong agham.

Ito ay pinaniniwalaan na ang termino ay iminungkahi na gamitin ni Kots, isang estudyante ng Newton. Ang module sign ay ipinakilala noong ika-19 na siglo ni Weierstrass.

Sa arkitektura, ang isang module ay ang paunang yunit ng sukat na itinatag para sa isang partikular na istraktura ng arkitektura.

Sa engineering, ito ay isang terminong ginamit sa iba't ibang larangan pamamaraan, na nagsisilbing magtalaga ng iba't ibang mga coefficient at dami, halimbawa, ang modulus ng elasticity, ang modulus ng engagement ...

Sa matematika, ang isang modulus ay may ilang mga kahulugan, ngunit ituturing ko ito bilang ganap na halaga ng isang numero.

Depinisyon1: Modulus (ganap na halaga) ng isang tunay na numero a ang numero mismo ay tinatawag na kung a ≥0, o ang kabaligtaran na numero - Paano kung a ang modulus ng zero ay zero.

Kapag nilulutas ang mga equation sa isang module, maginhawang gamitin ang mga katangian ng module.

Isaalang-alang ang mga patunay ng 5,6,7 katangian.

Pahayag 5. Pagkakapantay-pantay │ ay totoo kung av ≥ 0.

Patunay. Sa katunayan, pagkatapos i-square ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito, makukuha natin, │ a+v │²=│ a │²+2│ ab │+│ hanggang │²,

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av │ + b², mula sa kung saan │ av │ = av

At ang huling pagkakapantay-pantay ay magiging totoo para sa av ≥0.

Pahayag 6. Pagkakapantay-pantay │ a-c │=│ a │+│ c │ ay totoo kapag av ≤0.

Patunay. Upang patunayan ito, sapat na ito sa pagkakapantay-pantay

│ a + in │=│ a │+│ in │ palitan in ng - in, pagkatapos ay a (- in) ≥0, kung saan av ≤0.

Pahayag 7. Pagkakapantay-pantay │ a │+│ in │= a + in ginanap sa a ≥0 at b ≥0.

Patunay . Isinasaalang-alang ang apat na kaso a ≥0 at b ≥0; a ≥0 at b a sa ≥0; a sa a ≥0 at b ≥0.

(a-c) sa ≥0.

Geometric na interpretasyon

|a| ay ang distansya sa linya ng coordinate mula sa punto na may coordinate a , sa pinanggalingan ng mga coordinate.

|-a| |a|

A 0 a x

Geometric na interpretasyon ng kahulugan |a| malinaw na nagpapatunay na |-a|=|a|

Kung ang 0, pagkatapos ay sa linya ng coordinate mayroong dalawang puntos a at -a, katumbas ng distansya mula sa zero, na ang mga module ay pantay.

Kung a=0, pagkatapos ay sa coordinate line |a| kinakatawan ng punto 0.

Kahulugan 2: Ang equation na may modulus ay isang equation na naglalaman ng variable sa ilalim ng absolute value sign (sa ilalim ng modulus sign). Halimbawa: |x +3|=1

Kahulugan 3: Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng mga ugat nito, o pagpapatunay na walang mga ugat.

2. Mga paraan ng solusyon

Mula sa kahulugan at katangian ng modyul, ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may module ay sumusunod:

"Pagpapalawak" ng isang module (i.e. gamit ang isang kahulugan);
Gamit ang geometric na kahulugan ng module (property 2);
Paraan ng graphical na solusyon;
Paggamit ng mga katumbas na pagbabagong-anyo (mga katangian 4.6);
Variable substitution (gumagamit ito ng property 5).
paraan ng pagitan.

Sapat na ang desisyon ko malaking bilang ng mga halimbawa, ngunit sa gawaing ipinakita ko sa iyong pansin ay iilan lamang, sa palagay ko, ang mga tipikal na halimbawa ay nalutas sa iba't ibang paraan, dahil ang iba ay duplicate ang bawat isa at upang maunawaan kung paano malutas ang mga equation na may isang modulus, hindi na kailangang isaalang-alang ang lahat ng nalutas na mga halimbawa.

SOLUSYON NG EQUATIONS | f(x)| = a

Isaalang-alang ang equation | f(x)| = a, at R

Ang isang equation ng ganitong uri ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagtukoy sa modulus:

Kung ang a kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

Kung a= 0, kung gayon ang equation ay katumbas ng f(x)=0.

Kung a>0, kung gayon ang equation ay katumbas ng set

Halimbawa. Lutasin ang equation |3x+2|=4.

Solusyon.

|3x+2|=4, pagkatapos ay 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

Sagot: -2;2/3.

SOLUSYON NG EQUATIONS GAMIT ANG GEOMERIC PROPERTIES NG MODULE.

Halimbawa 1 Lutasin ang equation na /x-1/+/x-3/=6.

Solusyon.

Upang malutas ang equation na ito ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng naturang mga punto sa numerical axis na Ox, para sa bawat isa kung saan ang kabuuan ng mga distansya mula dito hanggang sa mga puntos na may mga coordinate 1 at 3 ay katumbas ng 6.

Wala sa mga punto sa segmentay hindi nakakatugon sa kundisyong ito, dahil ang kabuuan ng mga tinukoy na distansya ay 2. Sa labas ng segment na ito, mayroong dalawang puntos: 5 at -1.

1 1 3 5

Sagot: -1;5

Halimbawa 2 Lutasin ang equation |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

Solusyon.

Ipahiwatig ang x 2 + x-5 \u003d a, pagkatapos ay / a / + / a-4 //=10. Maghanap tayo ng mga puntos sa x-axis na para sa bawat isa sa kanila ang kabuuan ng mga distansya sa mga puntos na may mga coordinate 0 at 4 ay katumbas ng 10. Ang kundisyong ito ay nasiyahan ng -4 at 7.

3 0 4 7

Kaya x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

X 2 + x-2 \u003d 0 x 2 + x-12 \u003d 0

X 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4, x 2 \u003d 3 Sagot: -4; -2; isa; 3.

SOLUSYON NG EQUATIONS | f(x)| = | g(x)|.

Mula noong | a |=|b |, kung a=b, pagkatapos ay isang equation ng form | f(x)| = | g(x )| ay katumbas ng isang pinagsama-samang

Halimbawa1.

Lutasin ang equation | x–2| = |3 - x |.

Solusyon.

Ang equation na ito ay katumbas ng dalawang equation:

x - 2 \u003d 3 - x (1) at x - 2 \u003d -3 + x (2)

2 x = 5 -2 = -3 - hindi tama

X = 2.5 ang equation ay walang mga solusyon.

Sagot: 2.5.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation |x 2 + 3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Solusyon.

Dahil ang magkabilang panig ng equation ay hindi negatibo, kung gayonAng pag-squaring ay ang katumbas na pagbabagong-anyo:

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 -3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 -3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22)(2x 2 -18)=0,

6x-22=0 o 2x 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

Sagot: -3; 3; 11/3.

SOLUSYON NG EQUATIONS NG VIEW | f(x)| = g(x).

Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga equation na ito at| f(x)| = a na ang kanang bahagi ay isa ring variable. At maaari itong maging positibo at negatibo. Samakatuwid, kailangan mong tiyakin na ito ay hindi negatibo, dahil ang modulus ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero (property№1 )

1 paraan

Solusyon sa equation | f(x)| = g(x ) ay binabawasan sa hanay ng mga solusyon sa mga equationat pagsuri sa bisa ng hindi pagkakapantay-pantay g(x )>0 para sa mga nahanap na halaga ng hindi alam.

2 paraan (ayon sa kahulugan ng module)

Mula noong | f(x)| = g (x) kung f (x) = 0; | f(x)| = - f(x) kung f(x)

Halimbawa.

Lutasin ang Equation |3 x –10| = x - 2.

Solusyon.

Ang equation na ito ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema:

O t e t: 3; apat.

SOLUSYON NG EQUATIONS NG FORM |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

Ang solusyon ng mga equation ng ganitong uri ay batay sa kahulugan ng modyul. Para sa bawat function f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) kinakailangang hanapin ang domain ng kahulugan, ang mga zero nito at mga discontinuity point, na hinahati ang pangkalahatang domain ng kahulugan sa mga pagitan, kung saan ang bawat isa ay ang mga function f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) panatilihin ang kanilang tanda. Dagdag pa, gamit ang kahulugan ng modyul, para sa bawat isa sa mga nahanap na lugar ay nakakakuha tayo ng isang equation na dapat malutas sa isang naibigay na pagitan. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na "paraan ng pagitan»

Halimbawa.

Lutasin ang equation |x-2|-3|x+4|=1.

Solusyon.

Hanapin natin ang mga punto kung saan ang mga expression ng submodule ay katumbas ng zero

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

Hatiin natin ang linya ng numero sa pagitan ng x

Ang solusyon ng equation ay nabawasan sa solusyon ng tatlong sistema:

Sagot: -15, -1.8.

GRAPHIC NA PARAAN PARA SA PAGLUTAS NG MGA EQUATION NA NILALAMAN MODULE SIGN.

Ang graphical na paraan ng paglutas ng mga equation ay tinatayang, dahil ang katumpakan ay nakasalalay sa napiling solong segment, ang kapal ng lapis, ang mga anggulo kung saan ang mga linya ay nagsalubong, atbp. Ngunit binibigyang-daan ka ng pamamaraang ito na tantyahin kung gaano karaming mga solusyon ang mayroon ang isang partikular na equation.

Halimbawa. Lutasin nang grapiko ang equation |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Solusyon. Bumuo tayo ng mga graph ng mga function sa isang coordinate system

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| at y=9.

Upang bumuo ng isang graph, isaalang-alang function na ito sa bawat pagitan (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞)

Sagot: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Ginamit din namin ang paraan ng mga katumbas na pagbabago sa paglutas ng mga equation | f(x)| = | g(x)|.

EQUATIONS NA MAY "COMPLEX MODULE"

Ang isa pang uri ng mga equation ay ang mga equation na may "kumplikadong" modulus. Kasama sa mga naturang equation ang mga equation na mayroong "mga module sa loob ng isang module". Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring malutas gamit ang iba't ibang mga pamamaraan.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Solusyon.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng modyul, mayroon tayong:

Lutasin natin ang unang equation.

||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

Lutasin natin ang pangalawang equation.

||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 at | x | = 1,

x = 3; x = 1.

O n e t: 1; 3; 7.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation |2 – |x + 1|| = 3.

Solusyon.

Lutasin natin ang equation sa pamamagitan ng paglalagay ng bagong variable.

Hayaan | x + 1| = y , pagkatapos |2 – y | = 3, samakatuwid

Gawin natin ang reverse substitution:

(1) | x + 1| = -1 - walang solusyon.

(2) | x + 1| = 5

A n e t: -6; apat.

Halimbawa3 .

Ilang ugat ang ginagawa ng equation | 2 | x | -6 | = 5 - x?

Solusyon. Lutasin natin ang equation gamit ang equivalence schemes.

Equation | 2 | x | -6 | = 5 -x ay katumbas ng system:

Sa artikulong ito, susuriin namin nang detalyado ang ganap na halaga ng isang numero. Magbibigay kami ng iba't ibang mga kahulugan ng modulus ng isang numero, ipakilala ang notasyon at magbibigay ng mga graphic na ilustrasyon. Sa paggawa nito, isaalang-alang iba't ibang halimbawa paghahanap ng modulus ng isang numero sa pamamagitan ng kahulugan. Pagkatapos nito, inilista namin at binibigyang-katwiran ang mga pangunahing katangian ng modyul. Sa pagtatapos ng artikulo, pag-uusapan natin kung paano tinutukoy at natagpuan ang modulus ng isang kumplikadong numero.

Pag-navigate sa pahina.

Modulus ng numero - kahulugan, notasyon at mga halimbawa

Magpakilala muna kami pagtatalaga ng modulus. Ang module ng numerong a ay isusulat bilang , ibig sabihin, sa kaliwa at sa kanan ng numero ay maglalagay tayo ng mga patayong linya na bumubuo sa tanda ng module. Magbigay tayo ng ilang halimbawa. Halimbawa, ang modulo -7 ay maaaring isulat bilang ; Ang module 4,125 ay isinusulat bilang , at ang module ay isinusulat bilang .

Ang sumusunod na kahulugan ng modyul ay tumutukoy sa, at samakatuwid, sa, at sa mga integer, at sa mga makatwiran at hindi makatwiran na mga numero, bilang sa mga bumubuong bahagi ng hanay ng mga tunay na numero. Pag-uusapan natin ang tungkol sa modulus ng isang kumplikadong numero sa.

Kahulugan.

Modulus ng a ay alinman sa numero a mismo, kung ang a ay isang positibong numero, o ang numero −a , kabaligtaran na numero a , kung ang a ay isang negatibong numero, o 0 kung a=0 .

Ang tininigan na kahulugan ng modulus ng isang numero ay kadalasang nakasulat sa sumusunod na anyo , ang notasyong ito ay nangangahulugan na kung a>0 , kung a=0 , at kung a<0 .

Ang rekord ay maaaring katawanin sa isang mas compact na anyo . Ang notasyong ito ay nangangahulugan na kung (a ay mas malaki kaysa o katumbas ng 0 ), at kung a<0 .

May record din . Dito, ang kaso kapag ang a=0 ay dapat ipaliwanag nang hiwalay. Sa kasong ito, mayroon tayong , ngunit −0=0 , dahil ang zero ay itinuturing na isang numero na kabaligtaran sa sarili nito.

Dalhin natin mga halimbawa ng paghahanap ng modulus ng isang numero na may ibinigay na kahulugan. Halimbawa, hanapin natin ang mga module ng mga numero 15 at . Magsimula tayo sa paghahanap. Dahil ang numero 15 ay positibo, ang modulus nito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, katumbas ng numerong ito mismo, iyon ay, . Ano ang modulus ng isang numero? Dahil isang negatibong numero, kung gayon ang modulus nito ay katumbas ng bilang na kabaligtaran ng numero, iyon ay, ang numero . Sa ganitong paraan, .

Sa pagtatapos ng talatang ito, nagbibigay kami ng isang konklusyon, na kung saan ay napaka-maginhawa upang mailapat sa pagsasanay kapag hinahanap ang modulus ng isang numero. Mula sa depinisyon ng modulus ng isang numero ito ay sumusunod na ang modulus ng isang numero ay katumbas ng numero sa ilalim ng sign ng modulus, anuman ang sign nito, at mula sa mga halimbawang tinalakay sa itaas, ito ay napakalinaw na nakikita. Ang tinig na pahayag ay nagpapaliwanag kung bakit tinatawag din ang modulus ng isang numero ang ganap na halaga ng numero. Kaya ang modulus ng isang numero at ang ganap na halaga ng isang numero ay iisa at pareho.

Modulus ng isang numero bilang distansya

Sa geometriko, ang modulus ng isang numero ay maaaring bigyang-kahulugan bilang distansya. Dalhin natin pagpapasiya ng modulus ng isang numero sa mga tuntunin ng distansya.

Kahulugan.

Modulus ng a ay ang distansya mula sa pinanggalingan sa linya ng coordinate hanggang sa punto na tumutugma sa bilang a.

Ang kahulugan na ito ay naaayon sa kahulugan ng modulus ng isang numero na ibinigay sa unang talata. Ipaliwanag natin ang puntong ito. Ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto na tumutugma sa isang positibong numero ay katumbas ng numerong ito. Ang zero ay tumutugma sa reference point, samakatuwid ang distansya mula sa reference point hanggang sa point na may coordinate 0 ay katumbas ng zero (walang solong segment at walang segment na bumubuo ng anumang fraction ng isang solong segment ang kailangan upang makarating mula sa point O hanggang sa point na may coordinate 0). Ang distansya mula sa pinanggalingan sa isang punto na may negatibong coordinate ay katumbas ng bilang na kabaligtaran ng coordinate ng ibinigay na punto, dahil ito ay katumbas ng distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto na ang coordinate ay ang kabaligtaran na numero.

Halimbawa, ang modulus ng numero 9 ay 9, dahil ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto na may coordinate 9 ay siyam. Kumuha tayo ng isa pang halimbawa. Ang puntong may coordinate −3.25 ay nasa layo na 3.25 mula sa punto O, kaya .

Ang tunog na kahulugan ng modulus ng isang numero ay isang espesyal na kaso ng pagtukoy sa modulus ng pagkakaiba ng dalawang numero.

Kahulugan.

Pagkakaiba ng modulus ng dalawang numero a at b ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga punto ng coordinate line na may mga coordinate a at b .

Iyon ay, kung ang mga punto sa coordinate line A(a) at B(b) ay ibinigay, kung gayon ang distansya mula sa punto A hanggang sa punto B ay katumbas ng modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng mga numerong a at b. Kung kukunin natin ang point O (reference point) bilang point B, makukuha natin ang kahulugan ng modulus ng numerong ibinigay sa simula ng talatang ito.

Pagtukoy sa modulus ng isang numero sa pamamagitan ng arithmetic square root

Minsan nahanap pagpapasiya ng modulus sa pamamagitan ng arithmetic square root.

Halimbawa, kalkulahin natin ang mga module ng mga numero −30 at batay sa kahulugang ito. Meron kami . Katulad nito, kinakalkula namin ang modulus ng dalawang-katlo: .

Ang kahulugan ng modulus ng isang numero sa mga tuntunin ng arithmetic square root ay pare-pareho din sa kahulugan na ibinigay sa unang talata ng artikulong ito. Ipakita natin. Hayaan ang isang positibong numero, at hayaang ang −a ay negatibo. Pagkatapos at , kung a=0 , kung gayon .

Mga Katangian ng Module

Ang module ay may ilang mga katangian na resulta - katangian ng module. Ngayon ay ibibigay namin ang pangunahing at pinakakaraniwang ginagamit sa kanila. Kapag pinatunayan ang mga katangiang ito, aasa tayo sa kahulugan ng modulus ng isang numero sa mga tuntunin ng distansya.

Magsimula tayo sa pinaka-halatang module property − Ang modulus ng isang numero ay hindi maaaring negatibong numero. Sa literal na anyo, ang property na ito ay may anyo para sa anumang numerong a . Napakadaling bigyang-katwiran ang property na ito: ang modulus ng isang numero ay ang distansya, at ang distansya ay hindi maaaring ipahayag bilang negatibong numero.

Lumipat tayo sa susunod na katangian ng modyul. Ang modulus ng isang numero ay katumbas ng zero kung at kung ang numerong ito ay zero. Ang modulus ng zero ay zero sa pamamagitan ng kahulugan. Ang zero ay tumutugma sa pinagmulan, walang ibang punto sa linya ng coordinate ang tumutugma sa zero, dahil ang bawat tunay na numero ay nauugnay sa isang solong punto sa linya ng coordinate. Para sa parehong dahilan, ang anumang numero maliban sa zero ay tumutugma sa isang punto maliban sa pinagmulan. At ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa anumang punto maliban sa puntong O ay hindi katumbas ng zero, dahil ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos ay katumbas ng zero kung at kung ang mga puntong ito ay magkasabay. Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapatunay na ang modulus lamang ng zero ay katumbas ng zero.

Move on. Ang mga magkasalungat na numero ay may pantay na mga module, iyon ay, para sa anumang numero a . Sa katunayan, ang dalawang punto sa linya ng coordinate, na ang mga coordinate ay magkasalungat na mga numero, ay nasa parehong distansya mula sa pinanggalingan, na nangangahulugan na ang mga module ng magkasalungat na mga numero ay pantay.

Ang susunod na katangian ng module ay: ang modulus ng produkto ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng mga module ng mga numerong ito, yan ay, . Sa pamamagitan ng kahulugan, ang modulus ng produkto ng mga numero a at b ay alinman sa a b kung , o −(a b) kung . Ito ay sumusunod mula sa mga tuntunin ng pagpaparami ng mga tunay na numero na ang produkto ng moduli ng mga numerong a at b ay katumbas ng alinman sa a b , , o −(a b) , kung , na nagpapatunay sa itinuturing na pag-aari.

Ang modulus ng quotient ng paghahati ng a sa b ay katumbas ng quotient ng paghahati ng modulus ng a sa modulus ng b, yan ay, . Bigyan natin ng katwiran ang katangiang ito ng modyul. Dahil ang quotient ay katumbas ng produkto, kung gayon . By virtue of the previous property, we have . Nananatili lamang itong gamitin ang pagkakapantay-pantay , na wasto dahil sa kahulugan ng modulus ng numero.

Ang sumusunod na katangian ng module ay isinulat bilang isang hindi pagkakapantay-pantay: Ang , a , b at c ay mga arbitrary na tunay na numero. Ang nakasulat na hindi pagkakapantay-pantay ay walang iba kundi hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok. Upang gawing malinaw ito, kunin natin ang mga puntos na A(a) , B(b) , C(c) sa linya ng coordinate, at isaalang-alang ang degenerate triangle ABC, na ang mga vertices ay nasa parehong linya. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang modulus ng pagkakaiba ay katumbas ng haba ng segment AB, - ang haba ng segment AC, at - ang haba ng segment CB. Dahil ang haba ng alinmang panig ng isang tatsulok ay hindi lalampas sa kabuuan ng mga haba ng iba pang dalawang panig, ang hindi pagkakapantay-pantay , samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroon din.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na napatunayan ay mas karaniwan sa anyo . Ang nakasulat na hindi pagkakapantay-pantay ay karaniwang itinuturing bilang isang hiwalay na pag-aari ng modyul na may pormulasyon: " Ang modulus ng kabuuan ng dalawang numero ay hindi lalampas sa kabuuan ng moduli ng mga numerong ito". Ngunit ang hindi pagkakapantay-pantay ay direktang sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay , kung ilalagay natin ang −b sa halip na b dito, at kukunin ang c=0 .

Complex number modulus

Pagbigyan natin pagpapasiya ng modulus ng isang kumplikadong numero. Pagbigyan tayo kumplikadong numero, nakasulat sa algebraic form , kung saan ang x at y ay ilang tunay na numero, na kumakatawan, ayon sa pagkakabanggit, sa tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang ibinigay na kumplikadong numero z, at ito ay isang haka-haka na yunit.

Ang termino (module) sa literal na pagsasalin mula sa Latin ay nangangahulugang "sukat". Ang konseptong ito ay ipinakilala sa matematika ng Ingles na siyentipiko na si R. Cotes. At ipinakilala ng German mathematician na si K. Weierstrass ang module sign - isang simbolo kung saan ang konseptong ito ay tinutukoy kapag nagsusulat.

Sa unang pagkakataon ang konseptong ito ay pinag-aralan sa matematika sa ilalim ng programa ng ika-6 na baitang ng mataas na paaralan. Ayon sa isang kahulugan, ang modulus ay ang ganap na halaga ng isang tunay na numero. Sa madaling salita, upang malaman ang modulus ng isang tunay na numero, dapat mong itapon ang sign nito.

Graphically ganap na halaga a tinutukoy bilang |a|.

Ang pangunahing natatanging tampok ng konseptong ito ay palaging isang hindi negatibong halaga.

Ang mga numero na naiiba sa bawat isa lamang sa sign ay tinatawag na magkasalungat na numero. Kung ang halaga ay positibo, ang kabaligtaran nito ay negatibo, at ang zero ay ang sarili nitong kabaligtaran.

geometric na halaga

Kung isasaalang-alang natin ang konsepto ng isang module mula sa kinatatayuan ng geometry, ito ay magsasaad ng distansya na sinusukat sa mga segment ng yunit mula sa pinanggalingan hanggang sa isang naibigay na punto. Ang kahulugang ito ay ganap na nagpapakita ng geometriko na kahulugan ng terminong pinag-aaralan.

Sa graphical, ito ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod: |a| = O.A.

Mga katangian ng ganap na halaga

Sa ibaba ay isasaalang-alang natin ang lahat ng mga katangian ng matematika ng konseptong ito at mga paraan ng pagsulat sa anyo ng mga literal na expression:

Mga tampok ng paglutas ng mga equation na may isang modulus

Kung pinag-uusapan natin ang paglutas ng mga mathematical equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng module, kailangan mong tandaan na upang malutas ang mga ito, kakailanganin mong buksan ang sign na ito.

Halimbawa, kung ang tanda ng absolute value ay naglalaman ng ilang mathematical expression, pagkatapos bago buksan ang module, kinakailangang isaalang-alang ang kasalukuyang mga kahulugan ng matematika.

|A + 5| = A + 5 kung ang A ay mas malaki sa o katumbas ng zero.

5-A kung ang A ay mas mababa sa zero.

Sa ilang mga kaso, ang sign ay maaaring hindi malabo na pinalawak para sa anumang halaga ng variable.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Bumuo tayo ng isang linya ng coordinate, kung saan minarkahan namin ang lahat ng mga numerical na halaga, na ang ganap na halaga ay magiging 5.

Una kailangan mong gumuhit ng isang linya ng coordinate, italaga ang pinagmulan ng mga coordinate dito at itakda ang laki ng isang solong segment. Bilang karagdagan, ang linya ay dapat na may direksyon. Ngayon sa tuwid na linya na ito ay kinakailangan na maglapat ng mga marka na magiging katumbas ng halaga ng isang solong segment.

Kaya, makikita natin na sa linya ng coordinate na ito ay magkakaroon ng dalawang punto ng interes sa amin na may mga halaga 5 at -5.