Kahulugan ng square root. Paano mabilis na kunin ang mga square root

Bago ang pagdating ng mga calculator, kinakalkula ng mga mag-aaral at guro ang mga square root sa pamamagitan ng kamay. Mayroong ilang mga paraan upang manu-manong kalkulahin ang square root ng isang numero. Ang ilan sa kanila ay nag-aalok lamang ng isang tinatayang solusyon, ang iba ay nagbibigay ng eksaktong sagot.

Mga hakbang

Prime factorization

I-factor ang root number sa mga factor na square number. Depende sa root number, makakakuha ka ng tinatayang o eksaktong sagot. Mga numerong parisukat - mga numero kung saan maaari kang kumuha ng integer Kuwadrado na ugat. Ang mga kadahilanan ay mga numero na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng orihinal na numero. Halimbawa, ang mga salik ng numerong 8 ay 2 at 4, dahil 2 x 4 = 8, ang mga numerong 25, 36, 49 ay mga parisukat na numero, dahil √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Mga salik na parisukat ay mga kadahilanan , na mga parisukat na numero. Una, subukang i-factor ang root number sa square factor.

• Halimbawa, kalkulahin ang square root ng 400 (manual). Subukan munang i-factor ang 400 sa square factor. Ang 400 ay isang multiple ng 100, iyon ay, nahahati ng 25 - ito ay isang parisukat na numero. Ang paghahati ng 400 sa 25 ay magbibigay sa iyo ng 16. Ang bilang na 16 ay parisukat din na numero. Kaya, ang 400 ay maaaring i-factor sa square factor ng 25 at 16, iyon ay, 25 x 16 = 400.
• Ito ay maaaring isulat ng mga sumusunod: √400 = √(25 x 16).

1. Square root ng produkto ng ilang termino ay katumbas ng produkto square roots mula sa bawat termino, i.e. √(a x b) = √a x √b. Gamitin ang panuntunang ito at kunin ang square root ng bawat square factor at i-multiply ang mga resulta upang mahanap ang sagot.

   • Sa aming halimbawa, kunin ang square root ng 25 at 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Kung ang radikal na numero ay hindi nagsasaliksik sa dalawang parisukat na mga kadahilanan (at ito ay sa karamihan ng mga kaso), hindi mo mahahanap ang eksaktong sagot bilang isang integer. Ngunit maaari mong pasimplehin ang problema sa pamamagitan ng pag-decomposing ng root number sa isang square factor at isang ordinaryong factor (isang numero kung saan ang buong square root ay hindi maaaring kunin). Pagkatapos ay kukunin mo ang square root ng square factor at kukunin mo ang ugat ng ordinaryong factor.

   • Halimbawa, kalkulahin ang square root ng numero 147. Ang numero 147 ay hindi maaaring i-factor sa dalawang square factor, ngunit maaari itong i-factor sa mga sumusunod na salik: 49 at 3. Lutasin ang problema tulad ng sumusunod:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Kung kinakailangan, suriin ang halaga ng ugat. Ngayon ay maaari mong suriin ang halaga ng ugat (makahanap ng tinatayang halaga) sa pamamagitan ng paghahambing nito sa mga halaga ng mga ugat ng mga parisukat na numero na pinakamalapit (sa magkabilang panig ng linya ng numero) sa numero ng ugat. Makukuha mo ang halaga ng ugat bilang isang decimal fraction, na dapat i-multiply sa numero sa likod ng root sign.

   • Bumalik tayo sa ating halimbawa. Ang root number ay 3. Ang pinakamalapit na square number dito ay ang mga numerong 1 (√1 = 1) at 4 (√4 = 2). Kaya, ang halaga ng √3 ay nasa pagitan ng 1 at 2. Dahil ang halaga ng √3 ay malamang na mas malapit sa 2 kaysa sa 1, ang aming pagtatantya ay: √3 = 1.7. I-multiply namin ang halagang ito sa numero sa root sign: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Kung gagawin mo ang mga kalkulasyon sa isang calculator, makakakuha ka ng 12.13, na medyo malapit sa aming sagot.
     • Gumagana rin ang pamamaraang ito sa malalaking numero. Halimbawa, isaalang-alang ang √35. Ang root number ay 35. Ang pinakamalapit na square number dito ay ang mga numerong 25 (√25 = 5) at 36 (√36 = 6). Kaya, ang halaga ng √35 ay nasa pagitan ng 5 at 6. Dahil ang halaga ng √35 ay mas malapit sa 6 kaysa sa 5 (dahil ang 35 ay 1 lamang na mas mababa sa 36), maaari nating sabihin na ang √35 ay bahagyang mas mababa kaysa sa 6. Ang pagsuri gamit ang isang calculator ay nagbibigay sa amin ng sagot na 5.92 - tama kami.

4. Ang isa pang paraan ay ang pag-decompose ng root number sa prime factors. Ang mga pangunahing kadahilanan ay mga numero na nahahati lamang ng 1 at ng kanilang mga sarili. Isulat ang mga pangunahing kadahilanan sa isang hilera at maghanap ng mga pares ng magkatulad na mga kadahilanan. Ang ganitong mga kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng ugat.

   • Halimbawa, kalkulahin ang square root ng 45. Binubulok namin ang root number sa prime factor: 45 \u003d 9 x 5, at 9 \u003d 3 x 3. Kaya, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). Ang 3 ay maaaring alisin sa root sign: √45 = 3√5. Ngayon ay maaari nating tantyahin ang √5.
   • Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Mayroon kang tatlong multiplier 2s; kumuha ng isang pares ng mga ito at alisin ang mga ito sa tanda ng ugat.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Ngayon ay maaari nating suriin ang √2 at √11 at maghanap ng tinatayang sagot.

   Manu-manong pagkalkula ng square root

   Gamit ang paghahati ng hanay

   1. Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng isang proseso na katulad ng mahabang paghahati at nagbibigay ng tumpak na sagot. Una, gumuhit ng isang patayong linya na naghahati sa sheet sa dalawang halves, at pagkatapos ay sa kanan at isang maliit na mas mababa tuktok na gilid sheet sa patayong linya, gumuhit ng pahalang na linya. Ngayon hatiin ang root number sa mga pares ng mga numero, simula sa fractional na bahagi pagkatapos ng decimal point. Kaya, ang numerong 79520789182.47897 ay nakasulat bilang "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Halimbawa, kalkulahin natin ang square root ng numerong 780.14. Gumuhit ng dalawang linya (tulad ng ipinapakita sa larawan) at isulat ang numero sa kaliwang tuktok bilang "7 80, 14". Normal na ang unang digit mula sa kaliwa ay isang unpared digit. Sagot (ugat ng binigay na numero) ay isusulat sa kanang itaas.

   2. Dahil sa unang pares ng mga numero (o isang numero) mula sa kaliwa, hanapin ang pinakamalaking integer n na ang parisukat ay mas mababa sa o katumbas ng pares ng mga numero (o isang numero) na pinag-uusapan. Sa madaling salita, hanapin ang parisukat na numero na pinakamalapit sa, ngunit mas mababa sa, ang unang pares ng mga numero (o solong numero) mula sa kaliwa, at kunin ang square root ng square number na iyon; makukuha mo ang numero n. Isulat ang nahanap na n sa kanang itaas, at isulat ang parisukat n sa kanang ibaba.

      • Sa aming kaso, ang unang numero sa kaliwa ay ang numero 7. Susunod, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Ibawas ang parisukat ng numero n nakita mo lang mula sa unang pares ng mga numero (o isang numero) mula sa kaliwa. Isulat ang resulta ng pagkalkula sa ilalim ng subtrahend (ang parisukat ng bilang n).

      • Sa aming halimbawa, ibawas ang 4 mula sa 7 upang makakuha ng 3.

   4. Ibaba ang pangalawang pares ng mga numero at isulat ito sa tabi ng halaga na nakuha sa nakaraang hakbang. Pagkatapos ay i-double ang numero sa kanang tuktok at isulat ang resulta sa kanang ibaba na may "_×_=" na nakadugtong.

      • Sa aming halimbawa, ang pangalawang pares ng mga numero ay "80". Isulat ang "80" pagkatapos ng 3. Pagkatapos, ang pagdodoble ng numero mula sa kanang itaas ay magbibigay ng 4. Isulat ang "4_×_=" mula sa kanang ibaba.

   5. Punan ang mga patlang sa kanan.

      • Sa aming kaso, kung sa halip na mga gitling ay inilalagay namin ang numero 8, pagkatapos ay 48 x 8 \u003d 384, na higit sa 380. Samakatuwid, ang 8 ay masyadong malaki ang isang numero, ngunit 7 ay maayos. Sumulat ng 7 sa halip na mga gitling at makakuha ng: 47 x 7 \u003d 329. Sumulat ng 7 mula sa kanang tuktok - ito ang pangalawang digit sa nais na square root ng numero 780.14.

   6. Ibawas ang resultang numero mula sa kasalukuyang numero sa kaliwa. Isulat ang resulta mula sa nakaraang hakbang sa ibaba ng kasalukuyang numero sa kaliwa, hanapin ang pagkakaiba at isulat ito sa ibaba ng ibinawas.

      • Sa aming halimbawa, ibawas ang 329 mula sa 380, na katumbas ng 51.

   7. Ulitin ang hakbang 4. Kung ang na-demolish na pares ng mga numero ay ang fractional na bahagi ng orihinal na numero, pagkatapos ay ilagay ang separator (comma) ng integer at fractional na mga bahagi sa gustong square root mula sa kanang tuktok. Sa kaliwa, dalhin pababa ang susunod na pares ng mga numero. Doblehin ang numero sa kanang itaas at isulat ang resulta sa kanang ibaba na may "_×_=" na nakadugtong.

      • Sa aming halimbawa, ang susunod na pares ng mga numero na wawasak ay ang fractional na bahagi ng numerong 780.14, kaya ilagay ang separator ng integer at fractional na mga bahagi sa nais na square root mula sa kanang tuktok. Gibain ang 14 at isulat sa kaliwang ibaba. Doblehin ang kanang itaas (27) ay 54, kaya isulat ang "54_×_=" sa kanang ibaba.

   8. Ulitin ang hakbang 5 at 6. Hanapin pinakamalaking bilang sa halip na mga gitling sa kanan (sa halip na mga gitling, kailangan mong palitan ang parehong numero) upang ang resulta ng pagpaparami ay mas mababa o katumbas ng kasalukuyang numero sa kaliwa.

      • Sa aming halimbawa, 549 x 9 = 4941, na mas mababa sa kasalukuyang numero sa kaliwa (5114). Isulat ang 9 sa kanang tuktok at ibawas ang resulta ng multiplikasyon mula sa kasalukuyang numero sa kaliwa: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kung kailangan mong maghanap ng higit pang mga decimal na lugar para sa square root, sumulat ng isang pares ng mga zero sa tabi ng kasalukuyang numero sa kaliwa at ulitin ang mga hakbang 4, 5 at 6. Ulitin ang mga hakbang hanggang makuha mo ang katumpakan ng sagot na kailangan mo (bilang ng mga decimal na lugar).

      Pag-unawa sa proseso

      1. Upang makabisado ang pamamaraang ito, isipin ang numero kung saan ang square root ay kailangan mong hanapin bilang ang lugar ng square S. Sa kasong ito, hahanapin mo ang haba ng gilid L ng naturang parisukat. Kalkulahin ang halaga ng L kung saan L² = S.

         Maglagay ng letra para sa bawat digit sa iyong sagot. Tukuyin sa pamamagitan ng A ang unang digit sa halaga ng L (ang gustong square root). Ang B ang magiging pangalawang digit, C ang pangatlo at iba pa.

         Tukuyin ang isang titik para sa bawat pares ng mga nangungunang digit. Tukuyin sa pamamagitan ng S a ang unang pares ng mga digit sa halagang S, sa pamamagitan ng S b ang pangalawang pares ng mga digit, at iba pa.

         Ipaliwanag ang koneksyon ng paraang ito sa mahabang paghahati. Tulad ng sa operasyon ng paghahati, kung saan sa bawat oras na interesado lamang kami sa isang susunod na digit ng divisible na numero, kapag kinakalkula ang square root, nagtatrabaho kami sa isang pares ng mga digit sa pagkakasunud-sunod (upang makuha ang susunod na isang digit sa square root value) .

      2. Isaalang-alang ang unang pares ng mga digit na Sa ng numerong S (Sa = 7 sa ating halimbawa) at hanapin ang square root nito. Sa kasong ito, ang unang digit na A ng hinahangad na halaga ng square root ay magiging tulad ng isang digit, ang parisukat na kung saan ay mas mababa sa o katumbas ng S a (iyon ay, naghahanap kami ng ganoong A na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 88962 sa 7; dito ang unang hakbang ay magiging katulad: isinasaalang-alang namin ang unang digit ng mahahati na numero 88962 (8) at piliin ang pinakamalaking numero na, kapag pinarami ng 7, ay nagbibigay ng halagang mas mababa sa o katumbas ng 8. Ibig sabihin, hinahanap namin isang numerong d kung saan totoo ang hindi pagkakapantay-pantay: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Isipin sa isip ang parisukat na ang lugar ay kailangan mong kalkulahin. Naghahanap ka ng L, iyon ay, ang haba ng gilid ng isang parisukat na ang lugar ay S. A, B, C ay mga numero sa numerong L. Maaari mo itong isulat nang iba: 10A + B \u003d L (para sa isang dalawa -digit na numero) o 100A + 10B + C \u003d L (para sa tatlong-digit na numero) at iba pa.

         • Hayaan (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Tandaan na ang 10A+B ay isang numero na ang B ay nangangahulugang isa at A ay nangangahulugang sampu. Halimbawa, kung A=1 at B=2, ang 10A+B ay katumbas ng bilang na 12. (10A+B)² ay ang lugar ng buong parisukat, 100A² ay ang lugar ng malaking panloob na parisukat, B² ay ang lugar ng maliit na panloob na parisukat, 10A×B ay ang lugar ng bawat isa sa dalawang parihaba. Ang pagdaragdag ng mga lugar ng mga figure na inilarawan, makikita mo ang lugar ng orihinal na parisukat.

Palaging tinatanong ng mga estudyante: “Bakit hindi ako makagamit ng calculator sa pagsusulit sa matematika? Paano kunin ang square root ng isang numero nang walang calculator? Subukan nating sagutin ang tanong na ito.

Paano kunin ang square root ng isang numero nang walang tulong ng isang calculator?

Aksyon square root extraction kabaligtaran ng parisukat.

√81= 9 9 2 =81

Kung kukunin natin ang square root ng isang positibong numero at parisukat ang resulta, makukuha natin ang parehong numero.

Mula sa maliliit na numero na perpektong mga parisukat natural na mga numero, halimbawa 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 square roots ay maaaring makuha sa salita. Karaniwan sa paaralan ay nagtuturo sila ng isang talahanayan ng mga parisukat ng mga natural na numero hanggang dalawampu't. Alam ang talahanayang ito, madaling i-extract ang square roots mula sa mga numerong 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Mula sa mga numerong higit sa 400, maaari mong kunin gamit ang paraan ng pagpili gamit ang ilang tip. Subukan natin ang isang halimbawa upang isaalang-alang ang pamamaraang ito.

Halimbawa: I-extract ang ugat ng numerong 676.

Napansin namin na 20 2 \u003d 400, at 30 2 \u003d 900, na nangangahulugang 20< √676 < 900.

Ang mga eksaktong parisukat ng mga natural na numero ay nagtatapos sa 0; isa; apat; 5; 6; 9.
Ang bilang 6 ay ibinibigay ng 4 2 at 6 2 .
Kaya, kung ang ugat ay kinuha mula sa 676, kung gayon ito ay alinman sa 24 o 26.

Nananatili itong suriin: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Sagot: √676 = 26 .

Higit pa halimbawa: √6889 .

Mula noong 80 2 \u003d 6400, at 90 2 \u003d 8100, pagkatapos ay 80< √6889 < 90.
Ang numero 9 ay ibinibigay ng 3 2 at 7 2, pagkatapos ay ang √6889 ay alinman sa 83 o 87.

Suriin: 83 2 = 6889.

Sagot: √6889 = 83 .

Kung nahihirapan kang lutasin sa pamamagitan ng paraan ng pagpili, maaari mong i-factor ang root expression.

Halimbawa, hanapin ang √893025.

I-factorize natin ang numerong 893025, tandaan, ginawa mo ito noong ika-anim na baitang.

Nakukuha namin ang: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Higit pa halimbawa: √20736. I-factorize natin ang numerong 20736:

Nakukuha natin ang √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Siyempre, ang factoring ay nangangailangan ng kaalaman sa divisibility criteria at factoring skills.

At sa wakas, mayroon square root rule. Tingnan natin ang panuntunang ito na may isang halimbawa.

Kalkulahin ang √279841.

Upang kunin ang ugat ng isang multi-digit na integer, hinati namin ito mula kanan pakaliwa sa mga mukha na naglalaman ng 2 digit bawat isa (maaaring mayroong isang digit sa kaliwang extreme na mukha). Sumulat ng ganito 27'98'41

Upang makuha ang unang digit ng ugat (5), kinukuha namin ang square root ng pinakamalaking eksaktong parisukat na nasa unang kaliwang mukha (27).
Pagkatapos ay ang parisukat ng unang digit ng ugat (25) ay ibabawas mula sa unang mukha at ang susunod na mukha (98) ay iniuugnay (giniba) sa pagkakaiba.
Sa kaliwa ng resultang numero 298, isinulat nila ang dobleng digit ng ugat (10), hatiin sa pamamagitan nito ang bilang ng lahat ng sampu ng dating nakuhang numero (29/2 ≈ 2), maranasan ang quotient (102 ∙ 2 = Ang 204 ay hindi dapat higit sa 298) at isulat ang (2) pagkatapos ng unang digit ng ugat.
Pagkatapos ay ang resultang quotient 204 ay ibabawas mula sa 298, at ang susunod na facet (41) ay iniuugnay (na-demolish) sa pagkakaiba (94).
Sa kaliwa ng nagresultang numero 9441, isinulat nila ang dobleng produkto ng mga numero ng ugat (52 ∙ 2 = 104), hatiin sa produktong ito ang bilang ng lahat ng sampu ng numero 9441 (944/104 ≈ 9), karanasan ang quotient (1049 ∙ 9 = 9441) ay dapat na 9441 at isulat ito (9) pagkatapos ng pangalawang digit ng ugat.

Nakuha namin ang sagot na √279841 = 529.

Katulad ng extract mga ugat ng mga decimal. Ang radikal na numero lamang ang dapat na hatiin sa mga mukha upang ang kuwit ay nasa pagitan ng mga mukha.

Halimbawa. Hanapin ang halaga √0.00956484.

Kailangan mo lang tandaan na kung decimal ay may kakaibang bilang ng mga decimal na lugar, hindi ito eksaktong sukat ng square root.

Kaya, ngayon ay nakakita ka ng tatlong paraan upang kunin ang ugat. Piliin ang isa na pinakaangkop sa iyo at magsanay. Upang matutunan kung paano lutasin ang mga problema, kailangan mong lutasin ang mga ito. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, mag-sign up para sa aking mga aralin.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Sa maraming kaalaman na tanda ng karunungang bumasa't sumulat, ang alpabeto ay nasa unang lugar. Ang susunod, ang parehong "sign" na elemento, ay ang mga kasanayan ng karagdagan-pagpaparami at, katabi ng mga ito, ngunit baligtad sa kahulugan, mga operasyon ng aritmetika ng pagbabawas-dibisyon. Ang mga kasanayang natutunan sa malayong paaralan ng pagkabata ay nagsisilbi nang tapat araw at gabi: TV, pahayagan, SMS, At saanman tayo magbasa, sumulat, magbilang, magdagdag, magbawas, magparami. At, sabihin mo sa akin, madalas ka bang mag-ugat sa buhay, maliban sa bansa? Halimbawa, tulad ng isang nakakaaliw na problema, tulad ng, ang square root ng numero 12345 ... Mayroon pa bang pulbura sa mga flasks ng pulbos? Kaya ba natin? Oo, walang mas madali! Nasaan ang aking calculator ... At kung wala ito, hand-to-hand, mahina?

Una, linawin natin kung ano ito - ang square root ng isang numero. Sa pangkalahatan, "upang mag-extract ng ugat mula sa isang numero" ay nangangahulugang gawin ang aritmetika na operasyon na kabaligtaran ng pagtaas sa isang kapangyarihan - dito mayroon kang pagkakaisa ng mga magkasalungat sa aplikasyon sa buhay. sabihin nating ang isang parisukat ay isang multiplikasyon ng isang numero sa pamamagitan ng kanyang sarili, ibig sabihin, tulad ng itinuro nila sa paaralan, X * X = A o sa ibang notasyon X2 = A, at sa mga salita - "X squared ay katumbas ng A". Kung gayon ang kabaligtaran na problema ay ganito ang tunog: ang parisukat na ugat ng numerong A, ay ang numerong X, na, kapag naka-square, ay katumbas ng A.

Pag-extract ng square root

Mula sa kurso sa paaralan Alam ng aritmetika ang mga paraan ng pagkalkula ng "sa isang hanay", na tumutulong upang maisagawa ang anumang mga kalkulasyon gamit ang unang apat na operasyon ng aritmetika. Sayang ... Para sa parisukat, at hindi lamang parisukat, ang mga ugat ng naturang mga algorithm ay hindi umiiral. At sa kasong ito, paano kunin ang square root nang walang calculator? Batay sa kahulugan ng square root, mayroon lamang isang konklusyon - kinakailangan upang piliin ang halaga ng resulta sa pamamagitan ng sequential enumeration ng mga numero, ang parisukat na kung saan ay lumalapit sa halaga ng root expression. Tanging at lahat! Bago lumipas ang isang oras o dalawa, paano mo makalkula gamit ang mahusay kilalang trick multiplikasyon sa isang "column", anumang square root. Kung mayroon kang mga kasanayan, sapat na ang ilang minuto para dito. Kahit na ang isang hindi masyadong advanced na calculator o PC user ay ginagawa ito sa isang mabilis na pag-unlad - pag-unlad.

Ngunit seryoso, ang pagkalkula ng square root ay madalas na ginagawa gamit ang "artillery fork" na pamamaraan: una, kumuha sila ng isang numero na ang parisukat ay humigit-kumulang na tumutugma sa root expression. Mas mabuti kung ang "aming parisukat" ay bahagyang mas mababa kaysa sa expression na ito. Pagkatapos ay itinatama nila ang numero ayon sa kanilang sariling kasanayan sa pag-unawa, halimbawa, i-multiply sa dalawa, at ... i-square ito muli. Kung ang resulta mas maraming numero sa ilalim ng ugat, sunud-sunod na inaayos ang orihinal na numero, unti-unting lumalapit sa "kasama" nito sa ilalim ng ugat. Tulad ng nakikita mo - walang calculator, tanging ang kakayahang magbilang "sa isang hanay". Siyempre, mayroong maraming mga siyentipikong katwiran at na-optimize na square root algorithm, ngunit para sa " gamit sa bahay» Ang pamamaraan sa itaas ay nagbibigay ng 100% kumpiyansa sa resulta.

Oo, halos nakalimutan ko, upang kumpirmahin ang aming tumaas na karunungang bumasa't sumulat, kinakalkula namin ang square root ng dating ipinahiwatig na numero 12345. Ginagawa namin ito nang sunud-sunod:

1. Kunin, puro intuitively, X=100. Kalkulahin natin: X * X = 10000. Ang intuition ay nasa itaas - ang resulta ay mas mababa sa 12345.

2. Subukan natin, din puro intuitively, X = 120. Pagkatapos: X * X = 14400. At muli, na may intuition, ang pagkakasunud-sunod - ang resulta ay higit sa 12345.

3. Sa itaas, isang "tinidor" na 100 at 120 ang nakuha. Pumili tayo ng mga bagong numero - 110 at 115. Nakukuha natin, ayon sa pagkakabanggit, 12100 at 13225 - ang tinidor ay makitid.

4. Sinusubukan namin ang "siguro" X = 111. Nakukuha namin ang X * X = 12321. Ang numerong ito ay medyo malapit na sa 12345. Alinsunod sa kinakailangang katumpakan, ang "angkop" ay maaaring ipagpatuloy o ihinto sa resulta na nakuha. Iyon lang. Tulad ng ipinangako - ang lahat ay napaka-simple at walang calculator.

Medyo may kasaysayan...

Maging ang mga Pythagorean, mga estudyante ng paaralan at mga tagasunod ng Pythagoras, ay naisipang gumamit ng square roots, 800 BC. at doon mismo, "bumangga sa" mga bagong tuklas sa larangan ng mga numero. At saan ito nanggaling?

1. Ang solusyon ng problema sa pagkuha ng ugat, ay nagbibigay ng resulta sa anyo ng mga numero ng isang bagong klase. Tinawag silang hindi makatwiran, sa madaling salita, "hindi makatwiran", dahil. hindi sila nakasulat bilang isang kumpletong numero. Ang pinaka-klasikong halimbawa ng ganitong uri ay ang square root ng 2. Ang kasong ito ay tumutugma sa pagkalkula ng dayagonal ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng 1 - narito ito, ang impluwensya ng Pythagorean school. Ito ay lumabas na sa isang tatsulok na may isang napaka tiyak na laki ng yunit ng mga gilid, ang hypotenuse ay may sukat na ipinahayag ng isang numero na "walang katapusan." Kaya sa matematika ay lumitaw

2. Nalaman na ang mathematical operation na ito ay naglalaman ng isa pang catch - ang pagkuha ng ugat, hindi natin alam kung anong parisukat kung aling numero, positibo o negatibo, ang root expression. Ang kawalan ng katiyakan na ito, ang dobleng resulta mula sa isang operasyon, ay isinulat.

Ang pag-aaral ng mga problemang nauugnay sa hindi pangkaraniwang bagay na ito ay naging direksyon sa matematika na tinatawag na teorya ng isang kumplikadong variable, na may malaking praktikal na halaga sa mathematical physics.

Ito ay kakaiba na ang root designation - radical - ay ginamit sa kanyang "Universal Arithmetic" ng parehong nasa lahat ng dako I. Newton, ngunit eksakto modernong hitsura Ang root record ay kilala mula noong 1690 mula sa aklat ng Frenchman Roll na "Gabay sa Algebra".

Ang di-negatibong square root ng isang positibong numero ay tinatawag arithmetic square root at tinutukoy gamit ang radical sign.

Mga kumplikadong numero

Sa larangan ng kumplikadong mga numero, palaging may dalawang solusyon, na naiiba lamang sa sign (maliban sa square root ng zero). Ang ugat ng isang kumplikadong numero ay madalas na tinutukoy bilang , ngunit ang notasyong ito ay dapat gamitin nang may pag-iingat. Karaniwang pagkakamali:

Upang kunin ang square root ng isang kumplikadong numero, maginhawang gamitin ang exponential notation ng isang kumplikadong numero: kung

kung saan ang ugat ng modulo ay nauunawaan sa kahulugan ng isang arithmetic na halaga, at ang k ay maaaring kunin ang mga halaga k=0 at k=1, kaya ang resulta ay dalawang magkaibang resulta sa sagot.

Paglalahat

Ang mga square root ay ipinakilala bilang mga solusyon sa mga equation ng form at para sa iba pang mga bagay: matrice, function, operator, atbp. Sa kasong ito, maaaring gamitin ang medyo di-makatwirang multiplicative operation, halimbawa, superposition.

Square root sa computer science

Sa maraming functional-level programming language (pati na rin ang mga markup language tulad ng LaTeX), ang square root function ay tinutukoy bilang sqrt(mula sa English. parisukat na ugat"Square root").

Algorithm para sa paghahanap ng square root

Ang paghahanap o pagkalkula ng square root ng isang naibigay na numero ay tinatawag pagkuha(parisukat) ugat.

Pagpapalawak ng serye ng Taylor

Arithmetic square root

Para sa mga parisukat ng mga numero, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

Iyon ay, maaari mong malaman ang integer na bahagi ng square root ng isang numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula dito ng lahat ng mga kakaibang numero sa pagkakasunud-sunod, hanggang ang natitira ay mas mababa kaysa sa susunod na ibinawas na numero o katumbas ng zero, at pagbibilang ng bilang ng mga aksyon na ginawa. Halimbawa, tulad nito:

Nagsagawa ng 3 hakbang, ang square root ng 9 ay 3.

Ang kawalan ng pamamaraang ito ay kung ang nakuhang ugat ay hindi isang integer, maaari mong malaman lamang ang bahagi ng integer nito, ngunit hindi mas tumpak. Kasabay nito, ang pamamaraang ito ay medyo naa-access sa mga bata na malulutas ang pinakasimpleng mga problema. mga problema sa matematika, na nangangailangan ng pagkuha ng square root.

magaspang na pagtatantya

Maraming mga algorithm para sa pagkalkula ng mga square root ng isang positibong tunay na numero S nangangailangan ng ilang paunang halaga. Kung ang paunang halaga ay masyadong malayo sa tunay na halaga ng ugat, ang mga kalkulasyon ay bumagal. Samakatuwid, ito ay kapaki-pakinabang na magkaroon ng isang magaspang na pagtatantya na maaaring masyadong hindi tumpak ngunit madaling kalkulahin. Kung ang S≥ 1, hayaan D ang magiging bilang ng mga digit S sa kaliwa ng decimal point. Kung ang S < 1, пусть D ay ang bilang ng magkakasunod na zero sa kanan ng decimal point, na kinukuha gamit ang minus sign. Pagkatapos ay ganito ang hitsura ng isang magaspang na pagtatantya:

Kung ang D kakaiba, D = 2n+ 1, pagkatapos ay ginagamit namin Kung ang D kahit, D = 2n+ 2, pagkatapos ay ginagamit namin

Dalawa at anim ang ginagamit dahil at

Kapag nagtatrabaho sa isang binary system (tulad sa loob ng mga computer), ibang pagtatantya ang dapat gamitin (dito D ay ang bilang ng mga binary digit).

Geometric square root

Upang manu-manong kunin ang ugat, ginagamit ang isang notasyong katulad ng paghahati ng hanay. Ang numero na ang ugat na hinahanap natin ay nakasulat. Sa kanan nito, unti-unti nating makukuha ang mga numero ng gustong ugat. Hayaang makuha ang ugat mula sa isang numero na may hangganan na bilang ng mga decimal na lugar. Upang magsimula, sa isip o sa mga label, hinahati namin ang numero N sa mga pangkat ng dalawang digit sa kaliwa at kanan ng decimal point. Kung kinakailangan, ang mga grupo ay nilagyan ng mga zero - ang bahagi ng integer ay may palaman sa kaliwa, ang fractional sa kanan. Kaya 31234.567 ay maaaring katawanin bilang 03 12 34 . 56 70. Hindi tulad ng paghahati, ang demolisyon ay isinasagawa sa naturang mga grupo ng 2 digit.

Visual na paglalarawan ng algorithm: