Matrisdə e nədir. Xətti matris cəbri
Təlimatlar. Onlayn həll üçün matris ifadəsini təyin etməlisiniz. İkinci mərhələdə matrislərin ölçüsünü aydınlaşdırmaq lazımdır.
Etibarlı əməliyyatlar: vurma (*), toplama (+), çıxma (-), tərs matris A^(-1), eksponentasiya (A^2, B^3), matrisin köçürülməsi (A^T).Etibarlı əməliyyatlar: vurma (*), toplama (+), çıxma (-), tərs matris A^(-1), eksponentasiya (A^2, B^3), matrisin köçürülməsi (A^T).
Əməliyyatların siyahısını yerinə yetirmək üçün nöqtəli vergül (;) ayırıcısından istifadə edin. Məsələn, üç əməliyyatı yerinə yetirmək üçün:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
bunu belə yazmalısınız: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Matris m sətir və n sütundan ibarət düzbucaqlı ədədi cədvəldir, ona görə də matris sxematik olaraq düzbucaqlı kimi təqdim edilə bilər.
Sıfır matris (null matris) bütün elementləri sıfıra bərabər olan və 0 ilə işarələnən matrisdir.
Şəxsiyyət matrisi formanın kvadrat matrisi adlanır
İki A və B matrisləri bərabərdir, əgər onlar eyni ölçüdədirsə və onlara uyğun elementlər bərabərdirsə.
Tək matris müəyyənedicisi sıfıra bərabər olan matrisdir (Δ = 0).
müəyyən edək matrislər üzərində əsas əməliyyatlar.
Matris əlavəsi
Tərif. Eyni ölçülü iki matrisin cəmi elementləri düstura görə tapılan eyni ölçülü matrisdir.
. C = A+B ilə işarələnir. Misal 6. .
Matrislərin toplanması əməliyyatı istənilən sayda şərtlərə şamil edilir. Aydındır ki, A+0=A.
Bir daha vurğulayaq ki, yalnız eyni ölçülü matrislər əlavə edilə bilər; Müxtəlif ölçülü matrislər üçün toplama əməliyyatı müəyyən edilmir.
Matrislərin çıxılması
Tərif. Eyni ölçülü B və A matrislərinin B-A fərqi C matrisidir ki, A+ C = B olsun.Matrisin vurulması
Tərif. Matrisin α ədədi ilə hasili onun bütün elementlərini α, ilə vurmaqla A-dan alınan matrisdir.Tərif. İki matris verilsin
və , və A sütunlarının sayı B-nin sətirlərinin sayına bərabərdir. A-nın B-yə hasili elementləri düstura görə tapılan matrisdir. 
.
C = A·B ilə işarələnir.
Sxematik olaraq, matrisin çoxaldılması əməliyyatı aşağıdakı kimi təsvir edilə bilər:
və məhsulda elementin hesablanması qaydası:
Bir daha vurğulayaq ki, A·B məhsulu o zaman məna kəsb edir ki, birinci amilin sütunlarının sayı ikincinin sətirlərinin sayına bərabər olsun və məhsul sətirlərin sayı bərabər olan matris çıxarsın. birinci amilin sıralarının sayı, sütunların sayı isə ikincinin sütunlarının sayına bərabərdir. Xüsusi onlayn kalkulyatordan istifadə edərək çarpmanın nəticəsini yoxlaya bilərsiniz.
Misal 7. Verilmiş matrislər 
Və 
. C = A·B və D = B·A matrislərini tapın.
Həll.
Hər şeydən əvvəl qeyd edək ki, A·B məhsulu A-nın sütunlarının sayı B-nin sətirlərinin sayına bərabər olduğu üçün mövcuddur.
Qeyd edək ki, ümumi halda A·B≠B·A, yəni. matrislərin məhsulu antikommutativdir.
B·A (vurma mümkündür) tapaq.
Misal 8. Bir matris verilmişdir 
. 3A 2 - 2A tapın.
Həll.
.
; 
.
.
Aşağıdakı maraqlı faktı qeyd edək.
Bildiyiniz kimi, sıfırdan fərqli iki ədədin hasili sıfıra bərabər deyil. Matrislər üçün oxşar hal baş verə bilməz, yəni sıfırdan fərqli matrislərin məhsulu sıfır matrisə bərabər ola bilər.
1-ci kurs, ali riyaziyyat, oxuyur matrislər və onlar üzrə əsas hərəkətlər. Burada matrislərlə yerinə yetirilə bilən əsas əməliyyatları sistemləşdiririk. Matrislərlə tanış olmağa haradan başlamaq lazımdır? Əlbəttə ki, ən sadə şeylərdən - təriflər, əsas anlayışlar və sadə əməliyyatlar. Sizi əmin edirik ki, matrislər onlara az da olsa vaxt ayıran hər kəs tərəfindən başa düşüləcək!
Matris tərifi
Matris elementlərin düzbucaqlı cədvəlidir. Yaxşı, sadə dillə - rəqəmlər cədvəli.
Tipik olaraq, matrislər böyük Latın hərfləri ilə qeyd olunur. Məsələn, matris A , matris B və s. Matrislər müxtəlif ölçülərdə ola bilər: düzbucaqlı, kvadrat və vektor adlanan sətir və sütun matrisləri də var. Matrisin ölçüsü satır və sütunların sayı ilə müəyyən edilir. Məsələn, ölçülü düzbucaqlı matrisi yazaq m haqqında n , Harada m – sətirlərin sayı və n - sütunların sayı.
Hansı üçün maddələr i=j (a11, a22, .. ) matrisin baş diaqonalını təşkil edir və diaqonal adlanır.
Matrislərlə nə edə bilərsiniz? Əlavə et/çıx, ədədlə çarpın, öz aralarında çoxalırlar, köçürmək. İndi ardıcıllıqla matrislər üzərində bütün bu əsas əməliyyatlar haqqında.
Matrisin toplama və çıxma əməliyyatları
Dərhal xəbərdar edək ki, yalnız eyni ölçülü matrislər əlavə edə bilərsiniz. Nəticə eyni ölçülü bir matris olacaq. Matrisləri əlavə etmək (və ya çıxmaq) sadədir - sadəcə onlara uyğun elementləri əlavə etmək lazımdır . Bir misal verək. İki-iki ölçülü A və B matrislərinin əlavə edilməsini yerinə yetirək.
Çıxarma bənzətmə ilə, yalnız əks işarə ilə həyata keçirilir.
İstənilən matris ixtiyari bir ədədə vurula bilər. Bunu etmək, onun hər bir elementini bu ədədə vurmaq lazımdır. Məsələn, birinci misaldan A matrisini 5 rəqəminə vuraq:
Matris vurma əməliyyatı
Bütün matrisləri birlikdə çoxaltmaq olmaz. Məsələn, bizdə iki matris var - A və B. Onlar yalnız A matrisinin sütunlarının sayı B matrisinin sətirlərinin sayına bərabər olduqda bir-birinə vurula bilər. Bu halda i-ci sətirdə və j-ci sütunda yerləşən nəticədə matrisin hər bir elementi birinci amilin i-ci sətirində və j-ci sütununda müvafiq elementlərin hasillərinin cəminə bərabər olacaqdır. ikinci. Bu alqoritmi başa düşmək üçün iki kvadrat matrisin necə vurulduğunu yazaq:
Və real nömrələrlə bir nümunə. Matrisləri çoxaldaq:
Matrisin köçürülməsi əməliyyatı
Matrisin köçürülməsi müvafiq sətirlərin və sütunların dəyişdirildiyi əməliyyatdır. Məsələn, birinci misaldan A matrisini köçürək:
Matris təyinedicisi
Determinant və ya determinant xətti cəbrin əsas anlayışlarından biridir. Bir zamanlar insanlar xətti tənliklərlə çıxış edirdilər və onlardan sonra müəyyənedicini ortaya qoymalı idilər. Nəhayət, bütün bunların öhdəsindən gəlmək sizə bağlıdır, buna görə də son təkan!
Determinant bir çox məsələləri həll etmək üçün lazım olan kvadrat matrisin ədədi xarakteristikasıdır.
Ən sadə kvadrat matrisin determinantını hesablamaq üçün əsas və ikinci dərəcəli diaqonalların elementlərinin məhsulları arasındakı fərqi hesablamaq lazımdır.
Birinci dərəcəli, yəni bir elementdən ibarət olan matrisin determinantı bu elementə bərabərdir.
Bəs matris üçə üç olarsa? Bu daha çətindir, amma siz idarə edə bilərsiniz.
Belə bir matris üçün determinantın qiyməti əsas diaqonalın elementlərinin hasillərinin və əsas diaqonala paralel üzü olan üçbucaqların üzərində uzanan elementlərin hasillərinin cəminə bərabərdir, ondan ikinci dərəcəli diaqonalın elementləri və paralel ikincil diaqonalın üzü olan üçbucaqlar üzərində uzanan elementlərin hasili çıxarılır.
Xoşbəxtlikdən, praktikada nadir hallarda böyük ölçülü matrislərin təyinedicilərini hesablamaq lazımdır.
Burada matrislər üzərində əsas əməliyyatlara baxdıq. Təbii ki, real həyatda heç vaxt matris tənliklər sisteminin bir işarəsi ilə rastlaşa bilməzsiniz və ya əksinə, həqiqətən beyninizi sındırmaq məcburiyyətində qaldığınız zaman daha mürəkkəb hallarla qarşılaşa bilərsiniz. Məhz belə hallar üçün peşəkar tələbə xidmətləri mövcuddur. Kömək istəyin, yüksək keyfiyyətli və ətraflı həll yolu əldə edin, akademik uğurdan və boş vaxtdan həzz alın.
Riyaziyyatda matrislər praktiki əhəmiyyət kəsb edən ən mühüm obyektlərdən biridir. Tez-tez matrislər nəzəriyyəsinə ekskursiya bu sözlərlə başlayır: "Matrisa düzbucaqlı bir cədvəldir ...". Bu ekskursiyaya bir az fərqli istiqamətdən başlayacağıq.
İstənilən ölçüdə və istənilən miqdarda abunəçi məlumatı olan telefon kitabçaları matrislərdən başqa bir şey deyil. Belə matrislər təxminən belə görünür:
Aydındır ki, hamımız belə matrislərdən demək olar ki, hər gün istifadə edirik. Bu matrislər müxtəlif sayda sıralarla gəlir (onlar telefon şirkəti tərəfindən buraxılan, minlərlə, yüz minlərlə və hətta milyonlarla sətirdən ibarət kataloq və yenicə başladığınız, on sətirdən az olan yeni notebook kimi dəyişir) və sütunlar (vəzifə və ofis nömrəsi və eyni ünvan kitabçası kimi sütunların ola biləcəyi bəzi təşkilatların kataloqu, burada addan başqa heç bir məlumat olmaya bilər və beləliklə, yalnız iki sütun var). orada - ad və telefon nömrəsi).
Hər cür matrisləri toplamaq və çoxaltmaq, eləcə də onların üzərində başqa əməliyyatlar etmək olar, lakin telefon məlumat kitabçalarını əlavə edib çoxaltmağa ehtiyac yoxdur, bundan heç bir fayda yoxdur və bundan başqa, ağlınızı işə sala bilərsiniz.
Lakin bir çox matrislər əlavə oluna və vurula bilər və edilməlidir və beləliklə də müxtəlif aktual məsələləri həll etmək olar. Aşağıda belə matrislərin nümunələri verilmişdir.
Sütunların müəyyən bir məhsul növünün vahidlərinin istehsalı olduğu matrislər və sətirlər bu məhsulun istehsalının qeydə alındığı illərdir:
Sənaye üzrə ümumi məlumat əldə etmək üçün müxtəlif müəssisələr tərəfindən oxşar məhsulların çıxışını nəzərə alan bu tip matrisləri əlavə edə bilərsiniz.
Və ya, məsələn, sətirlərin müəyyən bir məhsul növünün orta qiyməti olduğu bir sütundan ibarət matrislər:
Son iki növ matris çoxaldıla bilər və nəticədə il üzrə bütün növ məhsulların maya dəyərini ehtiva edən sıra matrisi əldə edilir.
Matrislər, əsas təriflər
Nömrələrdən ibarət düzbucaqlı cədvəl m xətlər və n sütunlar adlanır mn-matris (və ya sadəcə olaraq matris ) və belə yazılır:
(1)
(1) matrisindəki ədədlər onun adlanır elementləri (determinantda olduğu kimi, birinci indeks cərgənin nömrəsini, ikincisi - elementin kəsişməsindəki sütunu bildirir; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).
Matris deyilir düzbucaqlı , Əgər .
Əgər m = n, sonra matris çağırılır kvadrat , və n ədədi onundur qaydasında .
Kvadrat matrisin təyinedicisi A elementləri matrisin elementləri olan müəyyənedicidir A. | simvolu ilə göstərilir A|.
Kvadrat matrisa deyilir xüsusi deyil (və ya qeyri-degenerativ , qeyri-təkdir ), onun təyinedicisi sıfır deyilsə və xüsusi (və ya degenerasiya etmək , tək ) əgər onun təyinedicisi sıfırdırsa.
Matrislər adlanır bərabərdir , əgər onların eyni sayda sətir və sütun varsa və bütün uyğun elementlər uyğun gəlirsə.
Matris deyilir sıfır , əgər onun bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə. Sıfır matrisini simvolla işarə edəcəyik 0 və ya .
Misal üçün,
Matris sıra (və ya kiçik hərf ) 1 adlanır n-matris, və matris-sütun (və ya sütunlu ) – m 1-matris.
Matris A", matrisdən əldə edilir A onun içindəki sətir və sütunların dəyişdirilməsi deyilir köçürülmüşdür matrisə nisbətən A. Beləliklə, (1) matris üçün köçürülmüş matrisdir
Matris keçid əməliyyatı A"matrislə əlaqədar olaraq köçürülür A, matris transpozisiyası adlanır A. üçün mn-köçürülmüş matrisdir nm-matris.
Matrisə münasibətdə köçürülmüş matrisdir A, yəni
(A")" = A .
Misal 1. Matris tapın A" , matrisə münasibətdə köçürülür
və orijinal və köçürülmüş matrislərin təyinedicilərinin bərabər olub olmadığını öyrənin.
Əsas diaqonal Kvadrat matris onun elementlərini birləşdirən xəyali bir xəttdir, bunun üçün hər iki indeks eynidir. Bu elementlər adlanır diaqonal .
Əsas diaqonaldan kənarda olan bütün elementlərin sıfıra bərabər olduğu kvadrat matrisa deyilir diaqonal . Diaqonal matrisin bütün diaqonal elementləri mütləq sıfırdan fərqli deyil. Onların arasında sıfıra bərabər ola bilər.
Əsas diaqonaldakı elementlərin eyni ədədə bərabər, sıfırdan fərqli, digərlərinin isə sıfıra bərabər olduğu kvadrat matrisə deyilir. skalyar matris .
Şəxsiyyət matrisi bütün diaqonal elementlərinin birinə bərabər olduğu diaqonal matris adlanır. Məsələn, üçüncü dərəcəli şəxsiyyət matrisi matrisdir
Misal 2. Verilmiş matrislər:
Həll. Bu matrislərin təyinedicilərini hesablayaq. Üçbucaq qaydasından istifadə edərək tapırıq
Matris təyinedicisi B düsturundan istifadə edərək hesablayaq 
Biz bunu asanlıqla əldə edirik 
Beləliklə, matrislər A və tək olmayan (degenerasiya olunmayan, tək olmayan) və matrisdir B– xüsusi (degenerasiya, tək).
Hər hansı bir sıranın eynilik matrisinin determinantı açıq şəkildə birə bərabərdir.
Matris problemini özünüz həll edin, sonra həllinə baxın
Misal 3. Verilmiş matrislər
,
,
Onlardan hansının qeyri-tək (qeyri-degenerasiya, qeyri-tək) olduğunu müəyyən edin.
Riyazi və iqtisadi modelləşdirmədə matrislərin tətbiqi
Müəyyən bir obyekt haqqında strukturlaşdırılmış məlumatlar matrislər şəklində sadə və rahat şəkildə qeyd olunur. Matris modelləri təkcə bu strukturlaşdırılmış verilənləri saxlamaq üçün deyil, həm də xətti cəbrdən istifadə etməklə bu verilənlərlə bağlı müxtəlif problemləri həll etmək üçün yaradılmışdır.
Beləliklə, iqtisadiyyatın məşhur matris modeli rus əsilli Amerika iqtisadçısı Vasili Leontiev tərəfindən təqdim edilən giriş-çıxış modelidir. Bu model iqtisadiyyatın bütün istehsal sektorunun bölündüyü fərziyyəsinə əsaslanır n təmiz sənayelər. Hər bir sənaye yalnız bir növ məhsul istehsal edir və müxtəlif sənayelər müxtəlif məhsullar istehsal edir. Bu sahələr arasında əmək bölgüsü ilə əlaqədar olaraq sahələrarası əlaqələr yaranır ki, bunun mənası ondan ibarətdir ki, hər bir sənayenin istehsalının bir hissəsi istehsal resursu kimi digər sənaye sahələrinə ötürülür.
Məhsulun həcmi i-hesabat dövründə istehsal edilmiş sənaye (müəyyən ölçü vahidi ilə ölçülür) ilə işarələnir və tam məhsul adlanır. i-ci sənaye. Problemlər rahat şəkildə yerləşdirilə bilər n-matrisanın komponent cərgəsi.
Vahidlərin sayı i-xərclənməsi lazım olan sənaye j-məhsul vahidinin istehsalı üçün sənaye təyin edilir və birbaşa xərc əmsalı adlanır.
Bu, matrislərlə yerinə yetirilən bütün mümkün əməliyyatları ümumiləşdirən anlayışdır. Riyazi matris - elementlər cədvəli. Bir masa haqqında harada m xətlər və n sütunlar, bu matrisin ölçüsünə sahib olduğu deyilir m haqqında n.
Matrisin ümumi görünüşü:
üçün matris həlləri matrisin nə olduğunu başa düşmək və onun əsas parametrlərini bilmək lazımdır. Matrisin əsas elementləri:
- Elementlərdən ibarət əsas diaqonal a 11, a 22…..a mn.
- Elementlərdən ibarət yan diaqonal a 1n , a 2n-1 .....a m1.
Matrislərin əsas növləri:
- Kvadrat sətirlərin sayı = sütunların sayı olduğu bir matrisdir ( m=n).
- Sıfır - burada bütün matrisin elementləri = 0.
- Köçürülən matris - matris IN, orijinal matrisdən əldə edilmişdir A sətirləri sütunlarla əvəz etməklə.
- Birlik - əsas diaqonalın bütün elementləri = 1, digərləri = 0.
- Tərs matris, orijinal matrislə vurulduqda eynilik matrisi ilə nəticələnən bir matrisdir.
Matris əsas və ikinci dərəcəli diaqonallara görə simmetrik ola bilər. Yəni əgər a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, onda matris əsas diaqonala görə simmetrikdir. Yalnız kvadrat matrislər simmetrik ola bilər.
Matrislərin həlli üsulları.
Demək olar ki, hamısı matrisin həlli üsulları onun təyinedicisini tapmaqdan ibarətdir n-ci sifariş və onların əksəriyyəti olduqca ağırdır. 2-ci və 3-cü dərəcəli determinantı tapmaq üçün başqa, daha rasional üsullar var.
2-ci dərəcəli determinantların tapılması.
Matrisin determinantını hesablamaq üçün A 2-ci qaydada, əsas diaqonalın elementlərinin hasilindən ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin məhsulunu çıxarmaq lazımdır:
3-cü dərəcəli determinantların tapılması üsulları.
Aşağıda 3-cü dərəcəli determinantı tapmaq qaydaları verilmişdir.
Üçbucağın sadələşdirilmiş qaydası matrisin həlli üsulları, bu şəkildə təsvir edilə bilər:
Başqa sözlə, birinci təyinedicidə düz xətlərlə bağlanan elementlərin hasili “+” işarəsi ilə alınır; Həmçinin, 2-ci təyinedici üçün müvafiq məhsullar “-” işarəsi ilə, yəni aşağıdakı sxemə uyğun olaraq alınır:
At Sarrus qaydasından istifadə edərək matrislərin həlli, determinantın sağında ilk 2 sütunu əlavə edin və əsas diaqonalda və ona paralel olan diaqonallarda müvafiq elementlərin hasilləri “+” işarəsi ilə götürülür; ikinci dərəcəli diaqonalın müvafiq elementlərinin və ona paralel olan diaqonalların hasilləri “-” işarəsi ilə:
Matrislərin həlli zamanı müəyyənedicinin sətir və ya sütunda parçalanması.
Determinant determinantın cərgəsinin elementlərinin hasillərinin və onların cəbri tamamlamalarının cəminə bərabərdir. Adətən sıfırları ehtiva edən sətir/sütun seçilir. Parçalanmanın aparıldığı sətir və ya sütun oxla göstəriləcək.
Matrisləri həll edərkən determinantın üçbucaq formasına endirilməsi.
At matrislərin həlli determinantı üçbucaqlı formaya endirmə metodu, onlar belə işləyirlər: sətir və ya sütunlarda ən sadə çevrilmələrdən istifadə edərək, determinant formada üçbucaqlı olur və sonra determinantın xüsusiyyətlərinə uyğun olaraq onun dəyəri məhsula bərabər olacaqdır. əsas diaqonalda olan elementlərin.
Matrislərin həlli üçün Laplas teoremi.
Laplas teoremindən istifadə edərək matrisləri həll edərkən teoremin özünü bilmək lazımdır. Laplas teoremi: Qoy Δ - bu müəyyənedicidir n-ci sifariş. Hər hansı birini seçirik k sətirlər (və ya sütunlar) təmin edilir k≤ n - 1. Bu halda, bütün yetkinlik yaşına çatmayanların məhsullarının cəmi k-seçilmiş sifarişdə var k cəbri tamamlamalarına görə sətirlər (sütunlar) təyinediciyə bərabər olacaqdır.
Tərs matrisin həlli.
Üçün hərəkətlərin ardıcıllığı tərs matris həlləri:
- Verilmiş matrisin kvadrat olub olmadığını müəyyənləşdirin. Cavab mənfi olarsa, onun üçün tərs matris ola bilməyəcəyi aydın olur.
- Cəbri tamamlamaları hesablayırıq.
- Birlik (qarşılıqlı, bitişik) matris tərtib edirik C.
- Cəbri əlavələrdən tərs matrisi düzəldirik: bitişik matrisin bütün elementləri C ilkin matrisin determinantına bölün. Son matris verilənə nisbətən tələb olunan tərs matris olacaq.
- Görülən işi yoxlayırıq: ilkin matrisi və nəticədəki matrisi çoxaldırıq, nəticə eynilik matrisi olmalıdır.
Matris sistemlərinin həlli.
üçün matris sistemlərinin həlləri Qauss metodu ən çox istifadə olunur.
Gauss metodu xətti cəbri tənliklər sistemlərinin (SLAE) həlli üçün standart bir üsuldur və dəyişənlərin ardıcıl olaraq aradan qaldırılmasından, yəni elementar dəyişikliklərin köməyi ilə tənliklər sisteminin ekvivalent üçbucaqlı sistemə gətirilməsindən ibarətdir. forma və ondan ardıcıl olaraq sonuncudan başlayaraq (nömrə görə) sistemin hər bir elementini tapın.
Gauss üsulu matris həllərini tapmaq üçün ən çox yönlü və ən yaxşı vasitədir. Əgər sistemin sonsuz sayda həlli varsa və ya sistem uyğun gəlmirsə, onu Kramer qaydası və matris metodu ilə həll etmək olmaz.
Gauss metodu həmçinin birbaşa (genişlənmiş matrisin pilləli formaya endirilməsi, yəni əsas diaqonalın altında sıfırların əldə edilməsi) və əks (genişlənmiş matrisin əsas diaqonalından yuxarı sıfırların əldə edilməsi) hərəkətləri nəzərdə tutur. İrəli hərəkət Gauss üsulu, əks hərəkət Qauss-Jordan üsuludur. Gauss-Jordan metodu Gauss metodundan yalnız dəyişənlərin aradan qaldırılması ardıcıllığına görə fərqlənir.
Bu təlimat sizə necə yerinə yetirməyi öyrənməyə kömək edəcək matrislərlə əməliyyatlar: matrislərin toplanması (çıxılması), matrisin köçürülməsi, matrislərin vurulması, tərs matrisin tapılması. Bütün material sadə və əlçatan formada təqdim olunur, müvafiq nümunələr verilir, belə ki, hətta hazırlıqsız bir şəxs matrislərlə hərəkətləri necə yerinə yetirməyi öyrənə bilər. Özünə nəzarət və özünü sınamaq üçün siz matris kalkulyatorunu pulsuz yükləyə bilərsiniz >>>.
Mən nəzəri hesablamaları minimuma endirməyə çalışacağam; Möhkəm nəzəriyyə həvəskarları, lütfən tənqidlə məşğul olmayın, bizim vəzifəmiz budur matrislərlə əməliyyatları yerinə yetirməyi öyrənin.
Mövzu üzrə SUPER FAST hazırlığı üçün ("yandıran") intensiv pdf kursu var Matris, determinant və test!
Matris bəzilərinin düzbucaqlı cədvəlidir elementləri. kimi elementləriədədləri, yəni ədədi matrisləri nəzərdən keçirəcəyik. ELEMENT termindir. Termini xatırlamaq məsləhətdir, tez-tez görünəcək, onu vurğulamaq üçün qalın şriftdən istifadə etməyim təsadüfi deyil.
Təyinat: matrislər adətən böyük latın hərfləri ilə işarələnir
Misal:İki-üç matrisi nəzərdən keçirin:
Bu matris altıdan ibarətdir elementləri:
Matrisdəki bütün ədədlər (elementlər) öz-özünə mövcuddur, yəni hər hansı bir çıxmadan söhbət gedə bilməz: 
Bu, sadəcə nömrələr cədvəlidir (dəsti)!
Biz də razılaşacağıq yenidən təşkil etməyin izahatlarda başqa hal nəzərdə tutulmayıbsa, nömrələr. Hər nömrənin öz yeri var və qarışdırıla bilməz!
Sözügedən matrisin iki cərgəsi var: 
və üç sütun: 
STANDART: matris ölçüləri haqqında danışarkən, onda əvvəlcə sətirlərin sayını və yalnız bundan sonra sütunların sayını göstərin. Biz indicə iki-üç matrisi parçaladıq.
Bir matrisin sətir və sütunlarının sayı eyni olarsa, matris adlanır. kvadrat, Misal üçün: 
– üçə üç matris.
Əgər matrisin bir sütunu və ya bir sırası varsa, belə matrislər də adlanır vektorlar.
Əslində, biz matris anlayışını məktəbdən bəri bilirik, məsələn, “x” və “y” koordinatları olan bir nöqtəni nəzərdən keçirək: . Əsasən, bir nöqtənin koordinatları bir-iki matrisə yazılır. Yeri gəlmişkən, burada nömrələrin sırasının niyə vacib olduğuna dair bir nümunə var: və təyyarədə tamamilə fərqli iki nöqtədir.
İndi keçək öyrənməyə matrislərlə əməliyyatlar:
1) Birinci hərəkət. Matrisdən minusun çıxarılması (matrisəyə mənfi daxil edilməsi).
Matrisimizə qayıdaq 
. Yəqin ki, fikir verdiyiniz kimi, bu matrisdə çoxlu mənfi ədədlər var. Bu, matrislə müxtəlif hərəkətlərin yerinə yetirilməsi baxımından çox əlverişsizdir, bu qədər mənfi cəhətləri yazmaq əlverişsizdir və dizaynda sadəcə çirkin görünür.
Matrisin HƏR elementinin işarəsini dəyişdirərək mənfini matrisdən kənara çıxaraq:
Sıfırda, başa düşdüyünüz kimi, Afrikada da sıfır işarəsi dəyişmir;
Əks nümunə: 
. Çirkin görünür.
Matrisin HƏR elementinin işarəsini dəyişdirərək matrisə mənfi daxil edək:
Yaxşı, daha gözəl çıxdı. Və ən əsası, matrislə istənilən hərəkəti yerinə yetirmək DAHA ASAN olacaq. Çünki belə bir riyazi xalq işarəsi var: mənfi cəhətlər nə qədər çox olarsa, bir o qədər qarışıqlıq və səhvlər olur.
2) İkinci hərəkət. Bir matrisin ədədə vurulması.
Misal:
Bu sadədir, matrisi bir ədədə vurmaq üçün sizə lazımdır hər matris elementi verilmiş ədədə vurulur. Bu vəziyyətdə - üç.
Başqa bir faydalı nümunə:
– matrisi kəsrə vurmaq
Əvvəlcə nə edəcəyimizə baxaq EHTİYAC YOXDUR:
Matrisə kəsr daxil etməyə LAZIM YOXDUR, birincisi, bu, yalnız matrislə sonrakı hərəkətləri çətinləşdirir, ikincisi, müəllimin həllini yoxlamasını çətinləşdirir (xüsusilə də; 
– tapşırığın yekun cavabı).
Və xüsusilə, EHTİYAC YOXDUR matrisin hər bir elementini mənfi yeddiyə bölün:
Məqalədən Dummies üçün riyaziyyat və ya haradan başlamaq lazımdır, xatırlayırıq ki, ali riyaziyyatda onlar hər cür şəkildə vergüllə onluq kəsrlərdən qaçmağa çalışırlar.
Tək şey budur tercihen Bu nümunədə nə etməli, matrisə mənfi əlavə etməkdir:
Amma kaş ki HAMISI matrisin elementləri 7-yə bölünür izsiz, onda bölmək mümkün (və lazımlı!) olardı.
Misal:
Bu vəziyyətdə, edə bilərsiniz LAZIMDIR matrisin bütün elementlərini 2-yə çarpın, çünki bütün matris nömrələri 2-yə bölünür izsiz.
Qeyd: ali məktəb riyaziyyatı nəzəriyyəsində “bölmə” anlayışı yoxdur. “Bu, buna bölünür” demək əvəzinə, həmişə “bunu kəsrə vurdu” deyə bilərsiniz. Yəni bölmə çoxalmanın xüsusi halıdır.
3) Üçüncü akt. Matrisin köçürülməsi.
Matrisi köçürmək üçün onun sətirlərini köçürülmüş matrisin sütunlarına yazmaq lazımdır.
Misal:
Transpoze matrisi
Burada yalnız bir sətir var və qaydaya görə, onu bir sütunda yazmaq lazımdır:
– köçürülmüş matris.
Köçürülən matris adətən yuxarı sağda yuxarı və ya əsas işarə ilə göstərilir.
Addım-addım nümunə:
Transpoze matrisi 
Əvvəlcə birinci sətri birinci sütuna yenidən yazırıq:
Sonra ikinci sətri ikinci sütuna yenidən yazırıq: 
Və nəhayət, üçüncü sətri üçüncü sütuna yenidən yazırıq:
Hazır. Kobud desək, transpozisiya matrisi yan tərəfə çevirmək deməkdir.
4) dördüncü akt. Matrislərin cəmi (fərqi)..
Matrislərin cəmi sadə bir əməliyyatdır.
BÜTÜN MATRİSALARI QATLAMAQ OLMAZ. Matrisləri toplamaq (çıxma) etmək üçün onların EYNİ ÖLÇÜDƏ olması lazımdır.
Məsələn, iki-iki matris verilirsə, o zaman yalnız iki-iki matrislə əlavə edilə bilər, başqa heç bir şey yoxdur! 
Misal:
Matrislər əlavə edin 
Və 
Matrisləri əlavə etmək üçün onlara uyğun elementləri əlavə etməlisiniz:
Matrislərin fərqi üçün qayda oxşardır, uyğun elementlərin fərqini tapmaq lazımdır.
Misal:
Matris fərqini tapın 
, 
Qarışıq olmamaq üçün bu nümunəni necə daha asan həll edə bilərsiniz? Bunu etmək üçün lazımsız mənfi cəhətlərdən qurtulmaq, matrisə mənfi əlavə etmək məsləhətdir;
Qeyd: ali məktəb riyaziyyatı nəzəriyyəsində “çıxma” anlayışı yoxdur. “Bunu buradan çıxarın” demək əvəzinə, həmişə “buna mənfi ədəd əlavə et” deyə bilərsiniz. Yəni, çıxma toplamanın xüsusi halıdır.
5) Beşinci hərəkət. Matrisin vurulması.
Hansı matrisləri çoxaltmaq olar?
Bir matrisin bir matrislə çarpılması üçün bu lazımdır belə ki, matrisin sütunlarının sayı matris sətirlərinin sayına bərabər olsun.
Misal:
Bir matrisi matrisə vurmaq mümkündürmü?
Bu o deməkdir ki, matris verilənləri çoxalda bilər.
Ancaq matrislər yenidən qurulursa, bu halda vurma artıq mümkün deyil!
Buna görə vurma mümkün deyil:
Tələbədən çoxalması mümkün olmayan matrisləri çoxaltmaq istənildikdə, hiylə ilə tapşırıqlarla qarşılaşmaq o qədər də nadir deyil.
Qeyd etmək lazımdır ki, bəzi hallarda matrisləri hər iki yolla çoxaltmaq mümkündür.
Məsələn, matrislər üçün həm vurma, həm də vurma mümkündür