Kako razumjeti Talesovu teoremu. Tales iz Mileta, ili koliko je važno znati sličnost trokuta i Talesove teoreme
U teoremi nema ograničenja na međusobni raspored sekanti (to vrijedi i za prave i za paralelne). Takođe nije važno gde su segmenti linija na sekantima.
Dokaz u slučaju paralelnih pravih
Nacrtajmo pravu BC. Uglovi ABC i BCD su jednaki kao unutrašnji krstovi koji leže ispod paralelnih pravih AB i CD i sekansa BC, a uglovi ACB i CBD su jednaki kao unutrašnji krstovi koji leže ispod paralelnih pravih AC i BD i sekansa BC. Tada su, prema drugom kriteriju jednakosti trouglova, trouglovi ABC i DCB podudarni. Ovo implicira da je AC = BD i AB = CD. ■
Također postoji teorema o proporcionalnom segmentu:
Paralelne prave režu proporcionalne segmente na sekantima:Talesova teorema je poseban slučaj teoreme o proporcionalnim segmentima, budući da se jednaki segmenti mogu smatrati proporcionalnim segmentima sa koeficijentom proporcionalnosti jednakim 1.
Inverzna teorema
Ako u Talesovoj teoremi jednaki segmenti počinju od vrha (ova se formulacija često koristi u školskoj literaturi), tada obrnuta teorema takođe će biti istina. Za presečne sekante, formuliše se na sledeći način:
Dakle (vidi sl.) iz činjenice da proizilazi da je direktan .
Ako su sekante paralelne, onda je potrebno zahtijevati jednakost odsječaka na obje sekante između sebe, inače ova tvrdnja postaje netačna (kontraprimjer je trapez presječen pravom koja prolazi kroz sredine baza).
Varijacije i generalizacije
Sljedeća izjava je dvojna Sollertinskyjevoj lemi:
Napišite recenziju na članak "Talesova teorema"Književnost
Bilješkevidi takođe
Odlomak koji karakteriše Talesovu teoremu„Ne mislim ništa, samo ne razumem...- Čekaj, Sonya, sve ćeš razumjeti. Vidite kakva je on osoba. Ne misli loše o meni ili njemu. “Ne mislim loše o nikome: volim svakoga i sažaljevam sve. Ali šta da radim? Sonya nije odustajala od nežnog tona kojim joj se Nataša obraćala. Što je Natašin izraz lica bio mekši i traženiji, Sonjino lice je bilo ozbiljnije i strože. „Nataša“, rekla je, „zamolila si me da ne pričam sa tobom, ja nisam, sad si sama počela. Nataša, ne verujem mu. Zašto ova tajna? - Opet, opet! Natasha je prekinula. - Nataša, bojim se za tebe. - Čega se plašiti? „Bojim se da ćeš se upropastiti“, odlučno je rekla Sonya, i sama uplašena onim što je rekla. Natašino lice ponovo je izražavalo ljutnju. “I uništiću, uništiću, uništiću sebe što je pre moguće. Ne zanima te. Ne tebi, ali meni će biti loše. Odlazi, ostavi me. Mrzim te. - Natasha! poviče Sonya uplašeno. - Mrzim to, mrzim to! A ti si moj neprijatelj zauvijek! Natasha je istrčala iz sobe. Nataša više nije razgovarala sa Sonjom i izbjegavala ju je. S istim izrazom uzbuđenog iznenađenja i zločina koračala je po sobama, uzevši prvo ovo, a zatim još jedno zanimanje i odmah ih napustila. Koliko god Sonji bilo teško, držala je pogled na prijateljici. Uoči dana kada je grof trebao da se vrati, Sonja je primetila da je Nataša celo jutro sedela na prozoru dnevne sobe, kao da nešto čeka i da je vojniku u prolazu dala nekakav znak, koga je Sonya zamijenila za Anatola. Sonya je počela još pažljivije da posmatra svoju prijateljicu i primetila je da je Nataša sve vreme ručka i večeri bila u čudnom i neprirodnom stanju (neprimereno je odgovarala na pitanja koja su joj postavljena, počela je i nije završavala fraze, smejala se svemu). Nakon čaja, Sonya je ugledala plašljivu sluškinju kako je čeka na Natašinim vratima. Propustila ga je i, prisluškivajući na vratima, saznala da je pismo ponovo predato. I odjednom je Sonji postalo jasno da Nataša ima nekakav užasan plan za ovo veče. Sonya je pokucala na njena vrata. Nataša je nije pustila unutra. “Ona će pobjeći s njim! pomislila je Sonya. Ona je sposobna za sve. Danas je bilo nešto posebno patetično i odlučno na njenom licu. Briznula je u plač, opraštajući se od ujaka, prisjetila se Sonya. Da, tako je, ona trči s njim - ali šta da radim? pomisli Sonja, prisećajući se sada onih znakova koji su jasno dokazivali zašto je Nataša imala neku strašnu nameru. „Nema brojanja. Šta da radim, pišem Kuraginu, tražeći od njega objašnjenje? Ali ko mu kaže da odgovori? Pišite Pjeru, kao što je princ Andrej pitao u slučaju nesreće? ... Ali možda je, zapravo, već odbila Bolkonskog (jučer je poslala pismo princezi Mariji). Nema ujaka!” Sonji je izgledalo strašno da kaže Marji Dmitrijevni, koja je toliko verovala u Natašu. Ali ovako ili onako, pomislila je Sonya, stojeći u mračnom hodniku: sada ili nikad došlo je vrijeme da dokažem da se sjećam dobrih djela njihove porodice i da volim Nikolu. Ne, neću spavati najmanje tri noći, ali neću izaći iz ovog hodnika i neću je pustiti na silu, i neću dozvoliti da sramota padne na njihovu porodicu - mislila je. Anatole novije vrijeme preselio se u Dolohov. Dolohov je već nekoliko dana smišljao i pripremao plan za otmicu Rostove, a onog dana kada je Sonya, čuvši Natašu na vratima, odlučila da je zaštiti, ovaj plan je trebalo da se izvrši. Nataša je obećala da će izaći kod Kuragina na zadnji trem u deset sati uveče. Kuragin ju je trebao staviti u pripremljenu trojku i odvesti je 60 milja od Moskve do sela Kamenka, gdje je bio pripremljen dotjerani sveštenik, koji je trebao da ih vjenča. U Kamenki je bila gotova postavka, koja je trebalo da ih odvede na Varšavsku cestu, a tamo je trebalo da se voze u inostranstvo na poštarinu. |
Ako paralelne prave koje sijeku stranice ugla odsijeku jednake segmente na jednoj od njegovih strana, tada odsjeku jednake segmente na drugoj strani.
Dokaz. Neka su A 1, A 2, A 3 tačke preseka paralelnih pravih na jednoj od strana ugla, a A 2 leži između A 1 i A 3 (slika 1).
Neka su B 1 B 2 , B 3 odgovarajuće tačke preseka ovih pravih sa drugom stranom ugla. Dokažimo da ako je A 1 A 2 = A 2 A 3 , onda je V 1 V 2 = V 2 V 3 .
Povučemo pravu EF kroz tačku B 2 paralelnu pravoj A 1 A 3 . Svojstvom paralelograma A 1 A 2 \u003d FB 2, A 2 A 3 \u003d B 2 E.
A pošto A 1 A 2 = A 2 A 3, onda FB 2 = B 2 E.
Trokuti B 2 B 1 F i B 2 B 3 E su jednaki u drugom kriterijumu. Imaju B 2 F = B 2 E kao što je dokazano. Uglovi kod temena B 2 jednaki su vertikalnim, a uglovi B 2 FB 1 i B 2 EB 3 jednaki su kao unutrašnji krstovi koji leže sa paralelama A 1 B 1 i A 3 B 3 i sekantom EF. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost stranica: B 1 B 2 \u003d B 2 B 3. Teorema je dokazana.
Koristeći Talesovu teoremu, utvrđuje se sljedeća teorema.
Teorema 2. Srednja linija trougla je paralelna sa trećom stranom i jednaka njenoj polovini.
Srednja linija trougla je segment koji spaja sredine njegove dvije strane. Na slici 2, segment ED - srednja linija trougao ABC.
ED - srednja linija trougla ABC
Primjer 1 Podijelite ovaj segment na četiri jednaka dijela.
Rješenje. Neka je AB dati segment (slika 3), koji se mora podijeliti na 4 jednaka dijela.
Dijeljenje segmenta na četiri jednaka dijela
Da biste to učinili, povucite proizvoljnu polupravu a kroz tačku A i na njoj ucrtajte četiri uzastopno jednaka segmenta AC, CD, DE, EK.
Povežite tačke B i K sa segmentom. Povučemo prave kroz preostale tačke C, D, E, paralelne pravoj VC, tako da sijeku segment AB.
Prema Talesovoj teoremi, segment AB podijeljen je na četiri jednaka dijela.
Primjer 2 Dijagonala pravougaonika je a. Koliki je obim četvorougla čiji su vrhovi sredine stranica pravougaonika?
Rješenje. Neka slika 4 odgovara uslovu problema.
Tada je EF srednja linija trougla ABC i, prema teoremi 2, $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$
Slično $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) , EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2) , FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ i, prema tome, obim četvorougla EFGH je 2a.
Primjer 3 Stranice trougla su 2 cm, 3 cm i 4 cm, a njegovi vrhovi su sredine stranica drugog trougla. Pronađite obim velikog trougla.
Rješenje. Neka slika 5 odgovara uslovu problema.
Segmenti AB, BC, AC su srednje linije trougla DEF. Dakle, prema teoremi 2 $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ AC = \frac(1)(2)DF $$ ili $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ odakle je $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ i stoga je obim trougla DEF 18 cm.
Primjer 4 U pravokutnom trokutu, ravne linije su povučene kroz sredinu njegove hipotenuze, paralelne s njegovim kracima. Nađite obim dobijenog pravougaonika ako su katete trokuta 10 cm i 8 cm.
Rješenje. U trouglu ABC (slika 6)
∠ Prava linija, AB = 10 cm, AC = 8 cm, KD i MD su srednje linije trougla ABC, odakle je $$ KD = \frac(1)(2)AC = 4 cm. \\ MD = \frac(1 ) (2) AB = 5 cm $$ Obim pravougaonika K DMA je 18 cm.
Planimetrijska teorema o paraleli i sekanti.
Izvan literature na ruskom jeziku, Talesova teorema se ponekad naziva još jednom teoremom planimetrije, naime, tvrdnja da je upisani ugao zasnovan na prečniku kruga pravi. Otkriće ove teoreme se zaista pripisuje Talesu, o čemu svjedoči Proklo.
Formulacija [ | ]
Ako se na jednoj od dvije ravne linije uzastopno položi nekoliko jednakih segmenata i kroz njihove krajeve se povuku paralelne linije koje sijeku drugu ravnu liniju, tada će odsjeći jednake segmente na drugoj pravoj liniji.
Općenitija formulacija, tzv teorema o proporcionalnom segmentu
Paralelne prave režu proporcionalne segmente na sekantima:
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)Napomene [ | ]
- Talesova teorema je poseban slučaj teoreme o proporcionalnim segmentima, budući da se jednaki segmenti mogu smatrati proporcionalnim segmentima sa koeficijentom proporcionalnosti jednakim 1.
Dokaz u slučaju sekanata
Razmotrimo varijantu s nepovezanim parovima segmenata: neka ugao preseku prave linije A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) i gde A B = C D (\displaystyle AB=CD).
Dokaz u slučaju paralelnih pravih
Hajde da nacrtamo pravu liniju BC. uglovi ABC i BCD jednaki su kao unutrašnji krstovi koji leže na paralelnim linijama AB i CD i sekansa BC, i uglovi ACB i CBD jednaki su kao unutrašnji krstovi koji leže na paralelnim linijama AC i BD i sekansa BC. Zatim, prema drugom kriteriju za jednakost trokuta, trouglovi ABC i DCB su jednaki. Otuda to sledi AC = BD i AB = CD. ■
Varijacije i generalizacije[ | ]
Inverzna teorema[ | ]
Ako u Talesovoj teoremi jednaki segmenti počnu od vrha (ova se formulacija često koristi u školskoj literaturi), tada će se ispostaviti da je i obrnuta teorema. Za presečne sekante, formuliše se na sledeći način:
U inverznoj Talesovoj teoremi važno je da jednaki segmenti počinju od vrha
Dakle (vidi sl.) iz činjenice da C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), slijedi to A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).
Ako su sekante paralelne, onda je potrebno zahtijevati jednakost odsječaka na obje sekante između sebe, inače ova tvrdnja postaje netačna (kontraprimjer je trapez presječen pravom koja prolazi kroz sredine baza).
Ova teorema se koristi u navigaciji: sudar brodova koji se kreću konstantnom brzinom je neizbježan ako se održava smjer od jednog broda do drugog.
Lema Solertinskog[ | ]
Sljedeća izjava je dvojna Sollertinskyjevoj lemi:
|
Neka f (\displaystyle f)- projektivna korespondencija između tačaka prave l (\displaystyle l) i direktno m (\displaystyle m). Tada će skup linija biti skup tangenti na neki (moguće degenerirani) konusni presjek. |
U slučaju Talesove teoreme, konika će biti beskonačna tačka koja odgovara smjeru paralelnih linija.
Ova izjava je, pak, ograničavajući slučaj sljedeće izjave:
|
Neka f (\displaystyle f) je projektivna transformacija konike. Zatim omotnica skupa linija X f (X) (\displaystyle Xf(X)) postojaće konus (moguće degenerisan). | ]Ova grobnica je mala, ali je slava nad njom ogromna. Natpis na grobu Talesa iz Mileta
Zamislite takvu sliku. 600 pne Egipat. Pred vama je ogromna egipatska piramida. Da biste iznenadili faraona i ostali među njegovim favoritima, potrebno je izmjeriti visinu ove piramide. Nemate... ništa na raspolaganju. Možete pasti u očaj, ili možete učiniti šta Tales iz Mileta: koristite teoremu sličnosti trougla. Da, ispostavilo se da je sve prilično jednostavno. Tales iz Mileta je čekao dok se dužina njegove sjene i visina ne poklope, a zatim je, koristeći teoremu sličnosti trougla, pronašao dužinu sjene piramide, koja je, prema tome, bila jednaka sjeni koju je bacala piramida. Ko je ovo Tales iz Mileta? Čovjek koji je stekao slavu kao jedan od "sedam mudraca" antike? Tales iz Mileta je starogrčki filozof koji se istakao u astronomiji, kao i u matematici i fizici. Godine njegovog života utvrđene su samo približno: 625-645 pne Među dokazima o Talesovom poznavanju astronomije je i sljedeći primjer. 28. maja 585. pne predviđanje Mileta pomračenje sunca pomogao da se okonča šestogodišnji rat između Lidije i Medije. Ova pojava je toliko uplašila Medijce da su pristali na nepovoljne uslove za sklapanje mira sa Lidjancima. Legenda koja karakteriše Talesa kao snalažljivu osobu prilično je poznata. Tales je često čuo nelaskave komentare o svom siromaštvu. Jednom je odlučio da dokaže da filozofi mogu, ako žele, živjeti u izobilju. Čak je i zimi Tales, posmatrajući zvezde, utvrdio da će ih leti biti dobra žetva masline. Zatim je unajmio preše za ulje u Miletu i Hiosu. To ga je koštalo prilično jeftino, jer zimi za njima praktički nema potražnje. Kada su masline dale bogat rod, Tales je počeo da izdaje svoje preše za ulje. Prikupljeno veliki broj novac se ovim metodom smatrao dokazom da filozofi mogu zaraditi svojim umom, ali je njihov poziv viši od ovakvih ovozemaljskih problema. Ovu legendu je, inače, ponovio i sam Aristotel. Što se geometrije tiče, mnoga njegova "otkrića" su posuđena od Egipćana. Pa ipak, ovaj prijenos znanja u Grčku smatra se jednom od glavnih zasluga Talesa iz Mileta. Talesova dostignuća su formulacija i dokaz sljedećeg teoreme:
Još jedna teorema je nazvana po Talesu, koja je korisna u rješavanju geometrijskih problema. Postoji njegov generalizirani i poseban oblik, inverzna teorema, formulacije se također mogu neznatno razlikovati ovisno o izvoru, ali značenje svih ostaje isto. Razmotrimo ovu teoremu. Ako paralelne prave sijeku stranice ugla i odsjeku jednake segmente na jednoj od njegovih strana, tada odsijecaju jednake segmente na drugoj strani. Recimo da su tačke A 1, A 2, A 3 tačke preseka paralelnih pravih sa jednom stranom ugla, a B 1, B 2, B 3 su tačke preseka paralelnih pravih sa drugom stranom ugla. ugao. Potrebno je dokazati da ako je A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, onda je B 1 B 2 = B 2 B 3. Povucite pravu kroz tačku B 2 paralelno sa pravom A 1 A 2 . Označimo novu pravu liniju S 1 S 2 . Razmotrimo paralelograme A 1 C 1 B 2 A 2 i A 2 B 2 C 2 A 3 . Svojstva paralelograma nam omogućavaju da tvrdimo da su A1A2 = C 1 B 2 i A 2 A 3 = B 2 C 2 . A pošto prema našem uvjetu A 1 A 2 = A 2 A 3, onda C 1 B 2 = B 2 C 2. I na kraju, razmotrite trouglove ∆ C 1 B 2 B 1 i ∆ C 2 B 2 B 3 . C 1 B 2 = B 2 C 2 (dokazano gore). A to znači da će Δ C 1 B 2 B 1 i Δ C 2 B 2 B 3 biti jednaki prema drugom znaku jednakosti trouglova (duž strane i susjednih uglova). Time je dokazana Talesova teorema. Upotreba ove teoreme uvelike će olakšati i ubrzati rješavanje geometrijskih problema. Sretno u savladavanju ove zabavne nauke matematike! stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor. Znate li da je Tales iz Mileta bio jedan od sedam najpoznatijih mudraca u Grčkoj tog vremena. Osnovao je jonsku školu. Ideja koju je Thales promovirao u ovoj školi bila je jedinstvo svih stvari. Mudrac je vjerovao da postoji jedan izvor iz kojeg su sve stvari potekle. Velika zasluga Talesa iz Mileta je stvaranje naučne geometrije. Ovo veliko učenje je bilo u stanju da stvori deduktivnu geometriju iz egipatske umetnosti merenja, čija je osnova zajednička osnova. Pored svog ogromnog znanja iz geometrije, Tales je takođe bio dobro upućen u astronomiju. Em je bio prvi koji je predvidio potpuno pomračenje Sunca. Ali to se nije dogodilo u modernom svijetu, već u dalekoj 585. godini, čak i prije naše ere. Tales iz Mileta je bio čovjek koji je shvatio da se sjever može precizno odrediti po sazviježđu Malog medvjeda. Ali ovo nije bilo njegovo posljednje otkriće, budući da je mogao precizno odrediti dužinu godine, razbiti je na tri stotine šezdeset pet dana, a također je odrediti vrijeme ekvinocija. Tales je zapravo bio svestrano razvijen i mudar čovjek. Osim što je bio poznat kao izvrstan matematičar, fizičar i astronom, bio je i kao pravi meteorolog u stanju da prilično precizno predvidi berbu maslina. Ali najzanimljivije je to što Tales nikada nije ograničavao svoje znanje samo na naučno i teorijsko polje, već je uvek pokušavao da konsoliduje dokaze svojih teorija u praksi. A najzanimljivije je da se veliki mudrac nije fokusirao ni na jedno područje svog znanja, njegovo interesovanje je imalo različite smjerove. Ime Thales je već tada postalo poznato ime za mudraca. Njegov značaj i značaj za Grčku bio je veliki kao i ime Lomonosova za Rusiju. Naravno, njegova mudrost se može tumačiti na različite načine. Ali definitivno možemo reći da ga je odlikovala i domišljatost, i praktična domišljatost, a donekle i odvojenost. Tales iz Mileta je bio izvrstan matematičar, filozof, astronom, volio je da putuje, bio je trgovac i preduzetnik, bavio se trgovinom, a bio je i dobar inženjer, diplomata, vidovnjak i aktivno učestvovao u političkom životu. Čak je uspio da odredi visinu piramide uz pomoć štapa i sjene. I bilo je tako. Jednog lijepog sunčanog dana, Tales je stavio svoj štap na granicu gdje se završavala sjena piramide. Zatim je sačekao da se dužina senke njegovog štapa izjednači sa njegovom visinom i izmerio je dužinu senke piramide. Dakle, čini se da je Tales jednostavno odredio visinu piramide i dokazao da je dužina jedne sjene povezana s dužinom druge sjene, kao što je visina piramide povezana s visinom štapa. To je pogodilo samog faraona Amasisa. Zahvaljujući Thalesu, sva znanja koja su tada bila poznata preneta su u oblast naučnog interesa. Bio je u mogućnosti da rezultate dovede na nivo pogodan za naučnu upotrebu, ističući određeni skup koncepata. A možda je uz pomoć Thalesa započeo kasniji razvoj antičke filozofije. Talesova teorema igra važnu ulogu u matematici. Bila je poznata ne samo u starom Egiptu i Babilonu, već iu drugim zemljama i bila je osnova za razvoj matematike. Da, i u svakodnevnom životu, u izgradnji zgrada, objekata, puteva itd., Ne može se bez Talesove teoreme. Talesova teorema postala je poznata ne samo u matematici, već je uvedena i u kulturu. Jednom je argentinska muzička grupa Les Luthiers (španska) predstavila publici pjesmu koju su posvetili poznatoj teoremi. Članovi Les Luthiers-a dali su dokaz za direktnu teoremu za proporcionalne segmente u svom video klipu posebno za ovu pjesmu. |
