უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM): განმარტება, მაგალითები და თვისებები. როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი

მაგრამ ბევრი ნატურალური რიცხვი ასევე იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვებზე.

Მაგალითად:

რიცხვი 12 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე;

რიცხვი 36 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე, 18-ზე, 36-ზე.

რიცხვები, რომლებითაც რიცხვი იყოფა მთელზე (12-ისთვის ეს არის 1, 2, 3, 4, 6 და 12) ეწოდება რიცხვების გამყოფები. ნატურალური რიცხვის გამყოფი ა- არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც ყოფს მოცემული ნომერი აუკვალოდ. ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აქვს ორზე მეტი გამყოფი, ეწოდება კომპოზიტური .

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ 12 და 36 რიცხვებს აქვთ საერთო ფაქტორები. ეს რიცხვებია: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ამ რიცხვების უდიდესი გამყოფი არის 12. ამ ორი რიცხვის საერთო გამყოფი ადა ბ- ეს ის რიცხვია, რომლითაც ორივე მოცემული რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე ადა ბ.

საერთო ჯერადებირამდენიმე რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე. Მაგალითად 9, 18 და 45 რიცხვებს აქვთ 180-ის საერთო ჯერადი. მაგრამ 90 და 360 ასევე მათი საერთო ჯერადებია. ყველა საერთო ჯერადს შორის ყოველთვის არის უმცირესი, ამ შემთხვევაში ის არის 90. ამ რიცხვს უწოდებენ ყველაზე პატარასაერთო მრავალჯერადი (CMM).

LCM ყოველთვის არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც უფრო დიდი უნდა იყოს იმ რიცხვებზე, რომლებისთვისაც ის არის განსაზღვრული.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). Თვისებები.

კომუტატიულობა:

ასოციაციურობა:

კერძოდ, თუ და არის ერთობლივი რიცხვები, მაშინ:

ორი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი მდა ნარის ყველა სხვა საერთო ჯერადის გამყოფი მდა ნ. უფრო მეტიც, საერთო ჯერადების ნაკრები მ, ნემთხვევა LCM-ის ჯერადების სიმრავლეს( მ, ნ).

ასიმპტოტიკა შეიძლება გამოიხატოს ზოგიერთი რიცხვის თეორიული ფუნქციით.

Ისე, ჩებიშევის ფუნქცია. და:

ეს გამომდინარეობს ლანდაუს ფუნქციის განსაზღვრებიდან და თვისებებიდან g(n).

რაც გამომდინარეობს მარტივი რიცხვების განაწილების კანონიდან.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნა.

NOC( ა, ბ) შეიძლება გამოითვალოს რამდენიმე გზით:

1. თუ ცნობილია უდიდესი საერთო გამყოფი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მისი კავშირი LCM-თან:

2. ცნობილი იყოს ორივე რიცხვის კანონიკური დაშლა მარტივ ფაქტორებად:

სად p 1,...,p k- სხვადასხვა მარტივი რიცხვები და d 1,...,d kდა e 1,...,e k- არაუარყოფითი მთელი რიცხვები (ისინი შეიძლება იყოს ნულები, თუ შესაბამისი მარტივი არ არის გაფართოებაში).

შემდეგ NOC ( ა,ბ) გამოითვლება ფორმულით:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, LCM დაშლა შეიცავს ყველა მარტივ ფაქტორს, რომელიც შედის რიცხვების მინიმუმ ერთ დაშლაში. ა, ბ, და აღებულია ამ მულტიპლიკატორის ორი მაჩვენებლიდან ყველაზე დიდი.

მაგალითი:

რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის გამოთვლა შეიძლება შემცირდეს ორი რიცხვის LCM-ის რამდენიმე თანმიმდევრულ გამოთვლებამდე:

წესი.რიცხვების სერიის LCM-ის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

- რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად;

- გადაიტანეთ უდიდესი გაფართოება (სასურველი პროდუქტის ფაქტორების პროდუქტი) სასურველი პროდუქტის ფაქტორებში დიდი რიცხვიმოცემულებიდან), შემდეგ კი დაამატეთ სხვა რიცხვების გაფართოების ფაქტორები, რომლებიც არ ჩანს პირველ რიცხვში ან ჩნდება მასში ნაკლებჯერ;

— მარტივი ფაქტორების შედეგად მიღებული ნამრავლი იქნება მოცემული რიცხვების LCM.

ნებისმიერი ორი ან მეტი ნატურალური რიცხვებიჰყავთ საკუთარი NOC. თუ რიცხვები არ არის ერთმანეთის ჯერადი ან არ აქვთ ერთი და იგივე ფაქტორები გაფართოებაში, მაშინ მათი LCM ტოლია ამ რიცხვების ნამრავლის.

რიცხვი 28 (2, 2, 7) პირველ ფაქტორებს ემატება 3-ის კოეფიციენტი (21 რიცხვი), შედეგად მიღებული ნამრავლი (84) იქნება უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა 21-ზე და 28-ზე.

უდიდესი რიცხვის 30-ის პირველ ფაქტორებს ავსებს 25 რიცხვის მე-5 კოეფიციენტი, შედეგად მიღებული ნამრავლი 150 მეტია უდიდეს რიცხვზე 30 და იყოფა ყველა მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. ეს არის უმცირესი შესაძლო ნამრავლი (150, 250, 300...), რომელიც არის ყველა მოცემული რიცხვის ჯერადი.

რიცხვები 2,3,11,37 არის მარტივი რიცხვები, ამიტომ მათი LCM უდრის მოცემული რიცხვების ნამრავლს.

წესი. მარტივი რიცხვების LCM-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ყველა ეს რიცხვი ერთად.

კიდევ ერთი ვარიანტი:

რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) მოსაძებნად გჭირდებათ:

1) წარმოადგინეთ თითოეული რიცხვი, როგორც მისი მარტივი ფაქტორების ნამრავლი, მაგალითად:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) ჩამოწერეთ ყველა ძირითადი ფაქტორის ძალა:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) ჩამოწერეთ თითოეული ამ რიცხვის ყველა მარტივი გამყოფი (გამრავლება);

4) აირჩიეთ თითოეული მათგანის უდიდესი ხარისხი, რომელიც გვხვდება ამ რიცხვების ყველა გაფართოებაში;

5) გაამრავლეთ ეს ძალა.

მაგალითი. იპოვეთ რიცხვების LCM: 168, 180 და 3024.

გამოსავალი. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

ჩვენ ვწერთ ყველა პირველ გამყოფთა უდიდეს ძალებს და ვამრავლებთ მათ:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

ქვემოთ წარმოდგენილი მასალა არის თეორიის ლოგიკური გაგრძელება სტატიიდან სათაურით LCM - ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი, განმარტება, მაგალითები, კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის. აქ ჩვენ ვისაუბრებთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა (LCM), და Განსაკუთრებული ყურადღებამოდით, ყურადღება გავამახვილოთ მაგალითების ამოხსნაზე. პირველი, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოითვლება ორი რიცხვის LCM ამ რიცხვების GCD-ის გამოყენებით. შემდეგი, ჩვენ შევხედავთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნას რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნაზე და ასევე ყურადღებას გავამახვილებთ უარყოფითი რიცხვების LCM-ის გამოთვლაზე.

გვერდის ნავიგაცია.

უმცირესი საერთო მრავალჯერადი (LCM) გამოთვლა GCD-ის საშუალებით

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის ერთ-ერთი გზა ემყარება LCM-სა და GCD-ს შორის ურთიერთობას. არსებული კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ორი დადებითი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი ცნობილი უდიდესის მეშვეობით საერთო გამყოფი. შესაბამისი ფორმულა არის LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . მოდით შევხედოთ LCM-ის პოვნის მაგალითებს მოცემული ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი.

იპოვეთ ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 126 და 70.

გამოსავალი.

ამ მაგალითში a=126, b=70. მოდით გამოვიყენოთ კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის, გამოხატული ფორმულით LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). ანუ ჯერ უნდა ვიპოვოთ 70 და 126 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი, რის შემდეგაც შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ რიცხვების LCM წერილობითი ფორმულით.

ვიპოვოთ GCD(126, 70) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, შესაბამისად, GCD(126, 70)=14.

ახლა ჩვენ ვიპოვით საჭირო უმცირეს საერთო ჯერადს: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

პასუხი:

LCM(126, 70)=630.

მაგალითი.

რის ტოლია LCM(68, 34)?

გამოსავალი.

იმიტომ რომ 68 იყოფა 34-ზე, შემდეგ GCD(68, 34)=34. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ უმცირეს საერთო ჯერადს: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

პასუხი:

LCM(68, 34)=68 .

გაითვალისწინეთ, რომ წინა მაგალითი შეესაბამება შემდეგ წესს LCM-ის პოვნისთვის დადებითი მთელი რიცხვებისთვის a და b: თუ რიცხვი a იყოფა b-ზე, მაშინ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის a.

LCM-ის პოვნა რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის კიდევ ერთი გზა ეფუძნება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გადაქცევას. თუ შეადგენთ ნამრავლს მოცემული რიცხვების ყველა მარტივი ფაქტორებიდან და შემდეგ ამ ნამრავლიდან გამორიცხავთ ყველა საერთო მარტივ ფაქტორს, რომელიც არსებობს მოცემული რიცხვების დაშლაში, მაშინ მიღებული ნამრავლი ტოლი იქნება მოცემული რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს. .

LCM-ის პოვნის დადგენილი წესი თანასწორობიდან გამომდინარეობს LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). მართლაც, a და b რიცხვების ნამრავლი ტოლია a და b რიცხვების გაფართოებაში მონაწილე ყველა ფაქტორის ნამრავლის. თავის მხრივ, gcd(a, b) პროდუქტის ტოლიყველა მარტივი ფაქტორი, რომელიც ერთდროულად არის a და b რიცხვების გაფართოებებში (როგორც აღწერილია GCD-ის პოვნაში რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გაფართოების გამოყენებით).

მოვიყვანოთ მაგალითი. გავიგოთ, რომ 75=3·5·5 და 210=2·3·5·7. შევადგინოთ ნამრავლი ამ გაფართოების ყველა ფაქტორიდან: 2·3·3·5·5·5·7 . ახლა ამ პროდუქტიდან ჩვენ გამოვრიცხავთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც არსებობს როგორც 75-ის, ასევე 210-ის გაფართოებაში (ეს ფაქტორები არის 3 და 5), შემდეგ პროდუქტი მიიღებს 2·3·5·5·7 ფორმას. . ამ ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის 75-ისა და 210-ის უმცირეს საერთო ჯერადს, ანუ NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

მაგალითი.

441 და 700 რიცხვები გადაიტანეთ მარტივ ფაქტორებად და იპოვეთ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

გამოსავალი.

მოდით გავამრავლოთ რიცხვები 441 და 700 მარტივ ფაქტორებად:

ვიღებთ 441=3·3·7·7 და 700=2·2·5·5·7.

ახლა შევქმნათ პროდუქტი ამ რიცხვების გაფართოებაში მონაწილე ყველა ფაქტორიდან: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. მოდით ამ პროდუქტიდან გამოვრიცხოთ ყველა ფაქტორი, რომელიც ერთდროულად არის ორივე გაფართოებაში (არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი ფაქტორი - ეს არის რიცხვი 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. ამრიგად, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

პასუხი:

NOC(441, 700)= 44 100 .

LCM-ის პოვნის წესი რიცხვების მარტივ ფაქტორებად ფაქტორიზაციის გამოყენებით შეიძლება ჩამოყალიბდეს ოდნავ განსხვავებულად. თუ b რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებულ ფაქტორებს დაემატება a რიცხვის გაფართოების ფაქტორები, მაშინ მიღებული ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის a და b რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს..

მაგალითად, ავიღოთ იგივე რიცხვები 75 და 210, მათი დაშლა მარტივ ფაქტორებად ასეთია: 75=3·5·5 და 210=2·3·5·7. 3, 5 და 5 ფაქტორებს 75 რიცხვის გაფართოებიდან ვუმატებთ გამოტოვებულ 2 და 7 ფაქტორებს 210 რიცხვის გაფართოებიდან, ვიღებთ ნამრავლს 2·3·5·5·7, რომლის მნიშვნელობა არის ტოლია LCM(75, 210).

მაგალითი.

იპოვეთ 84-ისა და 648-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

გამოსავალი.

ჩვენ ჯერ ვიღებთ 84 და 648 რიცხვების დაშლას მარტივ ფაქტორებად. ისინი ჰგავს 84=2·2·3·7 და 648=2·2·2·3·3·3·3. 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს 84 რიცხვის გაფართოებიდან ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2, 3, 3 და 3 648 რიცხვის გაფართოებიდან, ვიღებთ ნამრავლს 2 2 2 3 3 3 3 7, რომელიც უდრის 4 536-ს. ამრიგად, 84-ისა და 648-ის სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი არის 4536.

პასუხი:

LCM(84, 648)=4,536.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნა

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი შეიძლება მოიძებნოს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრული ძიებით. გავიხსენოთ შესაბამისი თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM.

თეორემა.

დაე, დადებითი მთელი რიცხვები a 1 , a 2 , …, a k იყოს მოცემული, ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი m k გვხვდება m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a) თანმიმდევრული გამოთვლით. 3) , … , m k = LCM(m k−1, a k) .

განვიხილოთ ამ თეორემის გამოყენება ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი.

იპოვეთ ოთხი რიცხვის LCM 140, 9, 54 და 250.

გამოსავალი.

ამ მაგალითში a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

ჯერ ვიპოვით m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). ამისათვის ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით განვსაზღვრავთ GCD(140, 9), გვაქვს 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, შესაბამისად, GCD(140, 9)=1, საიდანაც GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. ანუ m 2 =1 260.

ახლა ჩვენ ვიპოვით m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). გამოვთვალოთ ის GCD(1 260, 54) მეშვეობით, რომელსაც ასევე განვსაზღვრავთ ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 1 260=54·23+18, 54=18·3. შემდეგ gcd(1,260, 54)=18, საიდანაც gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. ანუ m 3 =3 780.

რჩება მხოლოდ პოვნა m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ GCD(3,780, 250) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. ამიტომ, GCM(3,780, 250)=10, საიდანაც GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. ანუ მ 4 =94500.

ასე რომ, თავდაპირველი ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 94500.

პასუხი:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა მოცემული რიცხვების მარტივი ფაქტორიზაციების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაიცვან შემდეგი წესი. რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი ტოლია ნამრავლის, რომელიც შედგება შემდეგნაირად: მეორე რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებული ფაქტორები ემატება პირველი რიცხვის გაფართოების ყველა ფაქტორს, გამოტოვებული ფაქტორები გაფართოებიდან. მესამე რიცხვს ემატება მიღებული ფაქტორები და ა.შ.

მოდით შევხედოთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითს მარტივი ფაქტორიზაციის გამოყენებით.

მაგალითი.

იპოვეთ ხუთი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 84, 6, 48, 7, 143.

გამოსავალი.

ჯერ ვიღებთ ამ რიცხვების დაშლას მარტივ ფაქტორებად: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 მარტივი რიცხვია, ემთხვევა. თავის პირველ ფაქტორებად დაშლით) და 143=11·13.

ამ რიცხვების LCM-ის მოსაძებნად, პირველი ნომრის 84-ის ფაქტორებს (ისინი არის 2, 2, 3 და 7), თქვენ უნდა დაამატოთ დაკარგული ფაქტორები მეორე რიცხვ 6-ის გაფართოებიდან. რიცხვი 6-ის დაშლა არ შეიცავს გამოტოვებულ ფაქტორებს, რადგან 2 და 3 უკვე წარმოდგენილია პირველი რიცხვის 84-ის დაშლაში. შემდეგი, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს ვამატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2 და 2 მესამე რიცხვის 48 გაფართოებიდან, ვიღებთ 2, 2, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორების ერთობლიობას. შემდეგ ეტაპზე ამ კომპლექტში მულტიპლიკატორების დამატება არ იქნება საჭირო, რადგან მასში უკვე არის 7. და ბოლოს, 2, 2, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 11 და 13 143 რიცხვის გაფართოებიდან. ვიღებთ ნამრავლს 2·2·2·2·3·7·11·13, რომელიც უდრის 48048-ს.

ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. რიცხვთა ჯგუფის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა ჯგუფში თითოეულ რიცხვზე ნაშთის დატოვების გარეშე. უმცირესი საერთო ჯერადი რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა იპოვოთ მოცემული რიცხვების მარტივი ფაქტორები. LCM ასევე შეიძლება გამოითვალოს მრავალი სხვა მეთოდის გამოყენებით, რომლებიც გამოიყენება ორი ან მეტი რიცხვის ჯგუფებზე.

ნაბიჯები

მრავალჯერადი სერია

შეხედეთ ამ ციფრებს.აქ აღწერილი მეთოდი საუკეთესოდ გამოიყენება, როდესაც მოცემულია ორი რიცხვი, რომელთაგან თითოეული 10-ზე ნაკლებია. თუ მოცემულია დიდი რიცხვები, გამოიყენეთ სხვა მეთოდი.

• მაგალითად, იპოვეთ 5-ისა და 8-ის უმცირესი საერთო ჯერადი. ეს არის მცირე რიცხვები, ამიტომ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მეთოდი.

1. ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. გამრავლების ცხრილში შეგიძლიათ იხილოთ მრავალჯერადი.

   • მაგალითად, 5-ის ჯერადი რიცხვებია: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. ჩამოწერეთ რიცხვების სერია, რომელიც არის პირველი რიცხვის ჯერადი.გააკეთეთ ეს პირველი რიცხვის ჯერადების ქვეშ, რათა შევადაროთ რიცხვების ორი ნაკრები.

   • მაგალითად, რიცხვები, რომლებიც 8-ის ჯერადი არიან: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 და 64.

3. იპოვეთ უმცირესი რიცხვი, რომელიც არის მრავლობითის ორივე სიმრავლეში.საპოვნელად შეიძლება დაგჭირდეთ მრავლობითი გრძელი სერიების დაწერა საერთო რაოდენობა. უმცირესი რიცხვი, რომელიც გვხვდება მრავლობითთა ორივე სიმრავლეში, არის უმცირესი საერთო ჯერადი.

   • მაგალითად, ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც ჩნდება 5-ისა და 8-ის ჯერადების სერიაში, არის რიცხვი 40. შესაბამისად, 40 არის 5-ისა და 8-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

   ძირითადი ფაქტორიზაცია

   1. შეხედეთ ამ ციფრებს.აქ აღწერილი მეთოდი საუკეთესოდ გამოიყენება, როდესაც მოცემულია ორი რიცხვი, რომელთაგან თითოეული 10-ზე მეტია. თუ მოცემულია უფრო მცირე რიცხვები, გამოიყენეთ სხვა მეთოდი.

      • მაგალითად, იპოვეთ 20 და 84 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი. თითოეული რიცხვი 10-ზე მეტია, ამიტომ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მეთოდი.

   2. პირველი რიცხვი გადაანაწილეთ მარტივ ფაქტორებად.ანუ, თქვენ უნდა იპოვოთ ისეთი მარტივი რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას მიიღება მოცემული რიცხვი. როგორც კი იპოვით პირველ ფაქტორებს, ჩაწერეთ ისინი ტოლებად.

      • Მაგალითად, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2))\ჯერ 10=20)და 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ჯერ (\mathbf (5) )=10). ამრიგად, რიცხვი 20-ის მარტივი ფაქტორებია რიცხვები 2, 2 და 5. ჩაწერეთ ისინი გამოსახულებად: .

   3. მეორე რიცხვი გადაიტანეთ მარტივ ფაქტორებად.გააკეთეთ ეს ისევე, როგორც დაამატე პირველი რიცხვი, ანუ იპოვეთ ისეთი მარტივი რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ მოცემულ რიცხვს.

      • Მაგალითად, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ჯერ 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\ჯერ 6=42)და 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\ჯერ (\mathbf (2) )=6). ამრიგად, 84 რიცხვის მარტივი ფაქტორებია რიცხვები 2, 7, 3 და 2. დაწერეთ ისინი გამოსახულებად: .

   4. ჩაწერეთ ორივე რიცხვისთვის საერთო ფაქტორები.დაწერეთ ისეთი ფაქტორები, როგორიცაა გამრავლების ოპერაცია. როდესაც წერთ თითოეულ ფაქტორს, გადახაზეთ იგი ორივე გამონათქვამში (გამონათქვამები, რომლებიც აღწერს რიცხვების ფაქტორიზაციებს მარტივ ფაქტორებად).

      • მაგალითად, ორივე რიცხვს აქვს საერთო კოეფიციენტი 2, ასე რომ ჩაწერეთ 2 × (\displaystyle 2\ჯერ)და გადახაზეთ 2 ორივე გამონათქვამში.
      • ორივე რიცხვს საერთო აქვს 2-ის კიდევ ერთი ფაქტორი, ასე რომ დაწერეთ 2 × 2 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 2)და გადახაზეთ მეორე 2 ორივე გამონათქვამში.

   5. დაამატეთ დარჩენილი ფაქტორები გამრავლების ოპერაციას.ეს არის ფაქტორები, რომლებიც არ არის გადახაზული ორივე გამონათქვამში, ანუ ფაქტორები, რომლებიც არ არის საერთო ორივე რიცხვისთვის.

      • მაგალითად, გამონათქვამში 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ჯერ 2\ჯერ 5)ორივე ორი (2) გადახაზულია, რადგან ისინი საერთო ფაქტორებია. ფაქტორი 5 არ არის გადახაზული, ასე რომ ჩაწერეთ გამრავლების ოპერაცია ასე: 2 × 2 × 5 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 2\ჯერ 5)
      • გამოხატვისას 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\ჯერ 7\ჯერ 3\ჯერ 2)ორივე ორი (2) ასევე გადახაზულია. 7 და 3 ფაქტორები არ არის გადახაზული, ასე რომ დაწერეთ გამრავლების ოპერაცია ასე: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 2\ჯერ 5\ჯერ 7\ჯერ 3).

   6. გამოთვალეთ უმცირესი საერთო ჯერადი.ამისათვის გაამრავლეთ რიცხვები წერილობითი გამრავლების ოპერაციაში.

      • Მაგალითად, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 2\ჯერ 5\ჯერ 7\ჯერ 3=420). ასე რომ, 20-ისა და 84-ის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 420.

   საერთო ფაქტორების პოვნა

   1. დახაზეთ ბადე, როგორც ტიკ-ტაკ-ტოს თამაშისთვის.ასეთი ბადე შედგება ორი პარალელური ხაზისგან, რომლებიც კვეთენ (მართი კუთხით) კიდევ ორ პარალელურ წრფეს. ეს მოგცემთ სამ მწკრივს და სამ სვეტს (ბადე ძალიან ჰგავს # ხატულას). ჩაწერეთ პირველი რიცხვი პირველ სტრიქონში და მეორე სვეტში. ჩაწერეთ მეორე რიცხვი პირველ რიგში და მესამე სვეტში.

      • მაგალითად, იპოვეთ 18 და 30 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი. პირველ რიგში და მეორე სვეტში ჩაწერეთ რიცხვი 18, პირველ რიგში და მესამე სვეტში ჩაწერეთ რიცხვი 30.

   2. იპოვეთ ორივე რიცხვისთვის საერთო გამყოფი.ჩაწერეთ ის პირველ რიგში და პირველ სვეტში. უმჯობესია მოძებნოთ ძირითადი ფაქტორები, მაგრამ ეს არ არის მოთხოვნა.

      • მაგალითად, 18 და 30 ლუწი რიცხვებია, ამიტომ მათი საერთო კოეფიციენტია 2. ასე რომ ჩაწერეთ 2 პირველ რიგში და პირველ სვეტში.

   3. თითოეული რიცხვი გაყავით პირველ გამყოფზე.თითოეული კოეფიციენტი ჩაწერეთ შესაბამისი რიცხვის ქვეშ. კოეფიციენტი არის ორი რიცხვის გაყოფის შედეგი.

      • Მაგალითად, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)ასე რომ დაწერეთ 9 18-ზე.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)ასე რომ, ჩაწერეთ 15 30-მდე.

   4. იპოვნეთ საერთო გამყოფი ორივე კოეფიციენტისთვის.თუ ასეთი გამყოფი არ არის, გამოტოვეთ შემდეგი ორი ნაბიჯი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩაწერეთ გამყოფი მეორე რიგში და პირველ სვეტში.

      • მაგალითად, 9 და 15 იყოფა 3-ზე, ამიტომ ჩაწერეთ 3 მეორე რიგში და პირველ სვეტში.

   5. თითოეული კოეფიციენტი გაყავით მის მეორე გამყოფზე.თითოეული გაყოფის შედეგი ჩაწერეთ შესაბამისი კოეფიციენტის ქვეშ.

      • Მაგალითად, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)ასე რომ დაწერეთ 3 9-ის ქვეშ.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)ასე რომ დაწერეთ 5 15-ზე.

   6. საჭიროების შემთხვევაში, დაამატეთ დამატებითი უჯრედები ქსელში.გაიმეორეთ აღწერილი ნაბიჯები მანამ, სანამ კოეფიციენტებს არ ექნებათ საერთო გამყოფი.

   7. შემოხაზეთ რიცხვები ბადის პირველ სვეტში და ბოლო მწკრივში.შემდეგ ჩაწერეთ არჩეული რიცხვები გამრავლების ოპერაციის სახით.

      • მაგალითად, რიცხვები 2 და 3 არის პირველ სვეტში, ხოლო 3 და 5 რიცხვები ბოლო რიგში, ასე რომ ჩაწერეთ გამრავლების ოპერაცია ასე: 2 × 3 × 3 × 5 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 3\ჯერ 3\ჯერ 5).

   8. იპოვეთ რიცხვების გამრავლების შედეგი.ეს გამოთვლის ორი მოცემული რიცხვის უმცირეს საერთო ჯერადს.

      • Მაგალითად, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 3\ჯერ 3\ჯერ 5=90). ასე რომ, 18-ისა და 30-ის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 90.

   ევკლიდეს ალგორითმი

   1. გახსოვდეთ გაყოფის ოპერაციასთან დაკავშირებული ტერმინოლოგია.დივიდენდი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა. გამყოფი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა. კოეფიციენტი არის ორი რიცხვის გაყოფის შედეგი. ნაშთი არის დარჩენილი რიცხვი, როდესაც ორი რიცხვი იყოფა.

      • მაგალითად, გამონათქვამში 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 არის დივიდენდი
        6 არის გამყოფი
        2 არის კოეფიციენტი
        3 არის დარჩენილი.

დავიწყოთ ორი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის შესწავლა. ამ ნაწილში განვსაზღვრავთ ტერმინს, განვიხილავთ თეორემას, რომელიც ამყარებს კავშირს უმცირეს საერთო ჯერადსა და უდიდეს საერთო გამყოფს შორის და მოვიყვანთ ამოცანების ამოხსნის მაგალითებს.

საერთო ჯერადი – განმარტება, მაგალითები

ამ თემაში ჩვენ დავინტერესდებით მხოლოდ ნულის გარდა მთელი რიცხვების საერთო ჯერადებით.

განმარტება 1

მთელი რიცხვების საერთო ჯერადიარის მთელი რიცხვი, რომელიც არის ყველა მოცემული რიცხვის ნამრავლი. ფაქტობრივად, ეს არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი, რომელიც შეიძლება დაიყოს რომელიმე მოცემულ რიცხვზე.

საერთო ჯერადების განმარტება ეხება ორ, სამ ან მეტ მთელ რიცხვს.

მაგალითი 1

ზემოთ მოცემული განმარტების მიხედვით, რიცხვი 12-ის საერთო ჯერადებია 3 და 2. ასევე, რიცხვი 12 იქნება 2, 3 და 4 რიცხვების საერთო ჯერადი. რიცხვები 12 და -12 არის ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 რიცხვების საერთო ჯერადი.

ამავდროულად, 2 და 3 რიცხვების საერთო ჯერადი იქნება რიცხვები 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 და სხვათა მთელი რიგი.

თუ ავიღებთ რიცხვებს, რომლებიც იყოფა წყვილის პირველ რიცხვზე და არ იყოფა მეორეზე, მაშინ ასეთი რიცხვები არ იქნება საერთო ჯერადები. ასე რომ, 2 და 3 რიცხვებისთვის, რიცხვები 16, − 27, 5009, 27001 არ იქნება საერთო ჯერადი.

0 არის ნულის გარდა ნებისმიერი მთელი რიცხვების სიმრავლის საერთო ჯერადი.

თუ გავიხსენებთ გაყოფის თვისებას მიმართ საპირისპირო რიცხვები, მაშინ გამოდის, რომ ზოგიერთი მთელი რიცხვი k იქნება ამ რიცხვების საერთო ჯერადი, ისევე როგორც რიცხვი - k. ეს ნიშნავს, რომ საერთო გამყოფები შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი.

შესაძლებელია თუ არა LCM-ის პოვნა ყველა ნომრისთვის?

საერთო ჯერადი შეიძლება მოიძებნოს ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის.

მაგალითი 2

დავუშვათ, რომ გვეძლევა კმთელი რიცხვები a 1, a 2,…, a k. რიცხვი, რომელსაც მივიღებთ რიცხვების გამრავლებისას a 1 · a 2 · … · a kგაყოფადობის თვისების მიხედვით, იგი დაიყოფა თითოეულ ფაქტორად, რომელიც შედიოდა თავდაპირველ პროდუქტში. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვების ნამრავლი a 1, a 2,…, a kარის ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

რამდენი საერთო ჯერადი შეიძლება ჰქონდეს ამ მთელ რიცხვებს?

მთელი რიცხვების ჯგუფს შეიძლება ჰქონდეს დიდი რიცხვისაერთო ჯერადები. სინამდვილეში, მათი რიცხვი უსასრულოა.

მაგალითი 3

დავუშვათ, გვაქვს გარკვეული რიცხვი k. მაშინ k · z რიცხვების ნამრავლი, სადაც z არის მთელი რიცხვი, იქნება k და z რიცხვების საერთო ჯერადი. იმის გათვალისწინებით, რომ რიცხვების რაოდენობა უსასრულოა, საერთო ჯერადების რაოდენობა უსასრულოა.

ყველაზე ნაკლებად გავრცელებული მრავლობითი (LCM) – განმარტება, აღნიშვნა და მაგალითები

გავიხსენოთ კონცეფცია ყველაზე პატარა რიცხვირიცხვების მოცემული ნაკრებიდან, რომელიც ჩვენ შევხედეთ განყოფილებაში „მთელი რიცხვების შედარება“. ამ კონცეფციის გათვალისწინებით, ჩვენ ვაყალიბებთ უმცირეს საერთო ჯერადის განმარტებას, რომელსაც ყველაზე დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს ყველა საერთო ჯერადებს შორის.

განმარტება 2

მოცემული მთელი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადიარის ამ რიცხვების უმცირესი დადებითი საერთო ჯერადი.

უმცირესი საერთო ჯერადი არსებობს მოცემული რიცხვების ნებისმიერი რაოდენობისთვის. საცნობარო ლიტერატურაში კონცეფციის ყველაზე ხშირად გამოყენებული აბრევიატურა არის NOC. მოკლე აღნიშვნა რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადისთვის a 1, a 2,…, a kექნება ფორმა LOC (a 1, a 2, ..., a k).

მაგალითი 4

6-ისა და 7-ის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 42. იმათ. LCM(6, 7) = 42. ოთხი რიცხვის 2, 12, 15 და 3 უმცირესი საერთო ჯერადი არის 60. მოკლე აღნიშვნა გამოიყურება LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

უმცირესი საერთო ჯერადი არ არის აშკარა მოცემული რიცხვების ყველა ჯგუფისთვის. ხშირად ის უნდა გამოითვალოს.

ურთიერთობა NOC-სა და GCD-ს შორის

უმცირესი საერთო ჯერადი და უდიდესი საერთო გამყოფი დაკავშირებულია. ცნებებს შორის ურთიერთობა დგინდება თეორემით.

თეორემა 1

ორი დადებითი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი a და b უდრის a და b ნამრავლს გაყოფილი a და b-ის უდიდეს საერთო გამყოფზე, ანუ LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

მტკიცებულება 1

დავუშვათ, გვაქვს რაღაც M რიცხვი, რომელიც არის a და b რიცხვების ჯერადი. თუ რიცხვი M იყოფა a-ზე, ასევე არსებობს მთელი რიცხვი z , რომლის მიხედვითაც თანასწორობა მართალია M = კ. გაყოფადობის განმარტების მიხედვით, თუ M იყოფა ბ, ასე შემდეგ a · kიყოფა ბ.

თუ შემოვიყვანთ ახალ აღნიშვნას gcd (a, b) as-ისთვის დ, მაშინ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ტოლობები a = a 1 dდა b = b 1 · d. ამ შემთხვევაში ორივე თანასწორობა ორმხრივი იქნება მარტივი რიცხვები.

ზემოთ უკვე დავადგინეთ a · kიყოფა ბ. ახლა ეს პირობა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:
1 დ კიყოფა ბ 1 დ, რაც პირობის ტოლფასია 1 კიყოფა ბ 1გაყოფადობის თვისებების მიხედვით.

თანამარტივი რიცხვების თვისების მიხედვით თუ a 1და ბ 1- ერთობლივი ნომრები, a 1არ იყოფა ბ 1მიუხედავად იმისა, რომ 1 კიყოფა ბ 1, ეს ბ 1უნდა გაიზიაროს კ.

ამ შემთხვევაში, მიზანშეწონილი იქნება ვივარაუდოთ, რომ არსებობს რიცხვი ტ, რისთვისაც k = b 1 ტდა მას შემდეგ b 1 = b: d, ეს k = b: d t.

ახლა ნაცვლად კჩავანაცვლოთ თანასწორობით M = კფორმის გამოხატულება ბ: დ ტ. ეს საშუალებას გვაძლევს მივაღწიოთ თანასწორობას M = a b: d t. ზე t = 1შეგვიძლია მივიღოთ a და b-ის უმცირესი დადებითი საერთო ჯერადი , თანაბარი ა ბ: დ, იმ პირობით, რომ a და b რიცხვები დადებითი.

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ LCM (a, b) = a · b: GCD (ა, ბ).

LCM-სა და GCD-ს შორის კავშირის დამყარება საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ უმცირესი საერთო ჯერადი ორი ან მეტი მოცემული რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით.

განმარტება 3

თეორემას აქვს ორი მნიშვნელოვანი შედეგი:

• ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი იგივეა, რაც ამ ორი რიცხვის საერთო ჯერადები;
• a და b დადებითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი მათი ნამრავლის ტოლია.

ამ ორი ფაქტის დასაბუთება რთული არ არის. a და b რიცხვების M-ის ნებისმიერი საერთო ჯერადი განისაზღვრება M = LCM (a, b) · t ტოლობით ზოგიერთი მთელი რიცხვისთვის t. ვინაიდან a და b შედარებით მარტივია, მაშინ gcd (a, b) = 1, შესაბამისად, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი, საჭიროა თანმიმდევრულად ვიპოვოთ ორი რიცხვის LCM.

თეორემა 2

მოდი ვიჩვენოთ, რომ a 1, a 2,…, a kარის რამდენიმე დადებითი მთელი რიცხვი. LCM-ის გამოსათვლელად მ კეს რიცხვები, თანმიმდევრულად უნდა გამოვთვალოთ მ 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2, a 3) , …, m k = NOC(მ კ - 1, ა კ) .

მტკიცებულება 2

ამ თემაში განხილული პირველი თეორემიდან პირველი დასკვნა დაგვეხმარება დავამტკიცოთ მეორე თეორემის მართებულობა. მსჯელობა ეფუძნება შემდეგ ალგორითმს:

• რიცხვების საერთო ჯერადები a 1და a 2ემთხვევა მათი LCM-ის ჯერადებს, ფაქტობრივად, ისინი ემთხვევა რიცხვის ჯერადებს მ 2;
• რიცხვების საერთო ჯერადები a 1, a 2და a 3 მ 2და a 3 მ 3;
• რიცხვების საერთო ჯერადები a 1, a 2,…, a kემთხვევა რიცხვების საერთო ჯერადებს მ კ - 1და კშესაბამისად, ემთხვევა რიცხვის ჯერადებს მ კ;
• იმის გამო, რომ რიცხვის უმცირესი დადებითი ჯერადი მ კარის თავად ნომერი მ კ, მაშინ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი a 1, a 2,…, a kარის მ კ.

ასე დავამტკიცეთ თეორემა.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი პირდაპირ კავშირშია ამ რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფთან. ეს კავშირი GCD-სა და NOC-ს შორისგანისაზღვრება შემდეგი თეორემით.

თეორემა.

ორი დადებითი მთელი რიცხვის a და b-ის უმცირესი საერთო ჯერადი ტოლია a და b-ის ნამრავლის გაყოფილი a და b-ის უდიდეს საერთო გამყოფზე, ანუ: LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

მტკიცებულება.

დაე M არის a და b რიცხვების რამდენიმე ჯერადი. ანუ M იყოფა a-ზე და გაყოფის განმარტებით არის გარკვეული მთელი რიცხვი k ისეთი, რომ ტოლობა M=a·k მართალია. მაგრამ M ასევე იყოფა b-ზე, შემდეგ a·k იყოფა b-ზე.

gcd(a, b) ავღნიშნოთ როგორც d. მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობები a=a 1 ·d და b=b 1 ·d, და a 1 =a:d და b 1 =b:d იქნება შედარებით მარტივი რიცხვები. შესაბამისად, წინა აბზაცში მიღებული პირობა, რომ a · k იყოფა b-ზე, შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: a 1 · d · k იყოფა b 1 · d-ზე და ეს, გაყოფის თვისებების გამო, უდრის პირობას. რომ a 1 · k იყოფა b 1-ზე.

თქვენ ასევე უნდა ჩამოწეროთ ორი მნიშვნელოვანი დასკვნა განხილული თეორემიდან.

ორი რიცხვის საერთო ჯერადები იგივეა, რაც მათი უმცირესი საერთო ჯერადი.

ეს მართლაც ასეა, რადგან a და b რიცხვების M-ის ნებისმიერი საერთო ჯერადი განისაზღვრება M=LMK(a, b)·t ტოლობით ზოგიერთი მთელი რიცხვისთვის t.

a და b დადებითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი მათი ნამრავლის ტოლია.

ამ ფაქტის დასაბუთება საკმაოდ აშკარაა. ვინაიდან a და b შედარებით მარტივია, მაშინ gcd(a, b)=1, შესაბამისად, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა შეიძლება შემცირდეს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრულ პოვნამდე. როგორ კეთდება ეს ნაჩვენებია შემდეგ თეორემაში: a 1, a 2,…, a k ემთხვევა m k-1 და a k რიცხვების საერთო ჯერადებს, შესაბამისად, ემთხვევა m k რიცხვის საერთო ჯერადებს. და რადგან m k რიცხვის უმცირესი დადებითი ჯერადი არის თავად m k რიცხვი, მაშინ a 1, a 2, ..., a k რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის m k.

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია. და სხვა.მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის.
• ვინოგრადოვი ი.მ. რიცხვების თეორიის საფუძვლები.
• მიხელოვიჩ შ.ჰ. რიცხვების თეორია.
• კულიკოვი ლ.ია. და სხვა.. ამოცანების კრებული ალგებრაში და რიცხვთა თეორიაში: სახელმძღვანელოფიზიკა-მათემატიკის სტუდენტებისთვის. პედაგოგიური ინსტიტუტების სპეციალობები.