ნებისმიერი რიცხვის ნულზე გამრავლების წესი. სკოლის მათემატიკის კურსი: რატომ არ შეიძლება სკოლაში ნულის გაყოფა

ევგენი შირიაევი, მასწავლებელი და პოლიტექნიკური მუზეუმის მათემატიკის ლაბორატორიის ხელმძღვანელიგანუცხადა AiF.ru-ს ნულზე გაყოფის შესახებ:

1. საკითხის იურისდიქცია

დამეთანხმებით, რაც წესს განსაკუთრებით პროვოკაციულს ხდის არის აკრძალვა. როგორ არ შეიძლება ეს? ვინ აკრძალა? რაც შეეხება ჩვენს სამოქალაქო უფლებებს?

არც რუსეთის ფედერაციის კონსტიტუცია, არც სისხლის სამართლის კოდექსი და არც თქვენი სკოლის წესდება არ აპროტესტებს ჩვენთვის საინტერესო ინტელექტუალურ ქმედებას. ეს ნიშნავს, რომ აკრძალვას არ აქვს იურიდიული ძალა და არაფერი გიშლით ხელს, რომ რაღაცის ნულზე გაყოფა სწორედ აქ, AiF.ru-ს გვერდებზე. მაგალითად, ათასი.

2. გავყოთ როგორც ასწავლეს

დაიმახსოვრეთ, როცა პირველად ისწავლეთ გაყოფა, პირველი მაგალითები ამოიხსნებოდა გამრავლების შემოწმებით: გამყოფზე გამრავლებული შედეგი უნდა ყოფილიყო გაყოფის იგივე. თუ ეს არ ემთხვეოდა, მათ არ გადაწყვიტეს.

მაგალითი 1. 1000: 0 =...

ერთი წუთით დავივიწყოთ აკრძალული წესი და რამდენიმე მცდელობა გამოვიცნოთ პასუხი.

არასწორებს ჩეკი ამოიჭრება. სცადეთ შემდეგი ვარიანტები: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000. თითოეული მათგანისთვის შემოწმება იგივე შედეგს მოგვცემს:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0

ნულის გამრავლებით ყველაფერი თავისთავად იქცევა და არასოდეს ათასად. დასკვნის ფორმულირება მარტივია: არცერთი რიცხვი არ გაივლის გამოცდას. ანუ, არც ერთი რიცხვი არ შეიძლება იყოს ნულოვანი რიცხვის ნულზე გაყოფის შედეგი. ასეთი დაყოფა არ არის აკრძალული, მაგრამ უბრალოდ შედეგი არ აქვს.

3. ნიუანსი

კინაღამ ხელიდან გავუშვით ერთი შესაძლებლობა აკრძალვის უარსაყოფად. დიახ, ჩვენ ვაღიარებთ, რომ არანულოვანი რიცხვი არ შეიძლება გაიყოს 0-ზე. მაგრამ იქნებ თავად 0 შეიძლება?

მაგალითი 2. 0: 0 = ...

რა წინადადებები გაქვთ პირადში? 100? გთხოვთ: 100-ის კოეფიციენტი გამრავლებული გამყოფ 0-ზე უდრის დივიდენდს 0-ს.

Მეტი არჩევანი! 1? უხდება ძალიან. და -23, და 17, და ეს არის ის. ამ მაგალითში ტესტი დადებითი იქნება ნებისმიერი რიცხვისთვის. და მართალი გითხრათ, ამ მაგალითში გამოსავალს უნდა ეწოდოს არა რიცხვი, არამედ რიცხვების ნაკრები. ყველას. და დიდი დრო არ სჭირდება იმის დათანხმებას, რომ ალისა არ არის ალისა, არამედ მერი ენი და ორივე მათგანი კურდღლის ოცნებაა.

4. რაც შეეხება უმაღლეს მათემატიკას?

პრობლემა მოგვარებულია, ნიუანსები გათვალისწინებულა, წერტილები განთავსდა, ყველაფერი ნათელი გახდა - ნულზე გაყოფით მაგალითზე პასუხი არ შეიძლება იყოს ერთი რიცხვი. ასეთი პრობლემების მოგვარება უიმედო და შეუძლებელია. რაც ნიშნავს... საინტერესოა! Აიღე ორი.

მაგალითი 3. გამოიცანით როგორ გავყოთ 1000 0-ზე.

მაგრამ არანაირად. მაგრამ 1000 ადვილად შეიძლება დაიყოს სხვა რიცხვებზე. კარგი, მოდი მაინც გავაკეთოთ ის, რაც შეგვიძლია, თუნდაც შევცვალოთ დავალება. შემდეგ კი, ხედავთ, ჩვენ გავიტაცებთ და პასუხი თავისთავად გამოჩნდება. დავივიწყოთ ნულის შესახებ ერთი წუთით და გავყოთ ასზე:

ასი შორს არის ნულიდან. მოდით გადავდგათ ნაბიჯი მისკენ გამყოფის შემცირებით:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

დინამიკა აშკარაა: რაც უფრო ახლოს არის გამყოფი ნულთან, მით უფრო დიდია კოეფიციენტი. ტენდენცია შეიძლება შეინიშნოს წილადებზე გადასვლით და მრიცხველის შემცირების გაგრძელებით:

ის რჩება აღვნიშნო, რომ ჩვენ შეგვიძლია მივუახლოვდეთ ნულს, რამდენიც გვსურს, რაც ჩვენ გვსურს.

ამ პროცესში არ არის ნული და არ არის ბოლო კოეფიციენტი. ჩვენ აღვნიშნეთ მოძრაობა მათკენ, რიცხვის ჩანაცვლებით იმ რიცხვთან მიმდევრობით, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს:

ეს გულისხმობს დივიდენდის მსგავს ჩანაცვლებას:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

ტყუილად არ არის ისრები, რომლებიც ორმხრივია: ზოგიერთი თანმიმდევრობა შეიძლება გადავიდეს რიცხვებთან. შემდეგ შეგვიძლია მივაკუთვნოთ თანმიმდევრობა მის რიცხვობრივ ზღვარს.

მოდით შევხედოთ კოეფიციენტების თანმიმდევრობას:

ის იზრდება შეუზღუდავად, არ მიისწრაფვის რაიმე რიცხვისკენ და აჭარბებს ნებისმიერს. მათემატიკოსები რიცხვებს უმატებენ სიმბოლოებს ∞ რომ შეძლოთ ორმხრივი ისრის დადება ასეთი თანმიმდევრობის გვერდით:

რიგითობების რიცხვებთან შედარება, რომლებსაც აქვთ ლიმიტი, საშუალებას გვაძლევს შემოგთავაზოთ გამოსავალი მესამე მაგალითზე:

როდესაც ელემენტარულად ვყოფთ 1000-ზე დაახლოებულ მიმდევრობას დადებითი რიცხვების მიმდევრობით, რომლებიც იყრიან 0-ს, ვიღებთ მიმდევრობას, რომელიც აერთიანებს ∞-ს.

5. და აქ არის ნიუანსი ორი ნულით

რა შედეგია დადებითი რიცხვების ორი მიმდევრობის გაყოფა, რომლებიც გადადიან ნულამდე? თუ ისინი ერთნაირია, მაშინ ერთეული იდენტურია. თუ დივიდენდის თანმიმდევრობა უფრო სწრაფად უახლოვდება ნულს, მაშინ კოეფიციენტში მიმდევრობას აქვს ნულოვანი ზღვარი. და როდესაც გამყოფის ელემენტები მცირდება ბევრად უფრო სწრაფად, ვიდრე დივიდენდის ელემენტები, კოეფიციენტის თანმიმდევრობა მნიშვნელოვნად გაიზრდება:

გაურკვეველი ვითარება. და ამას ჰქვია: ტიპის გაურკვევლობა 0/0 . როდესაც მათემატიკოსები ხედავენ თანმიმდევრობებს, რომლებიც შეესაბამება ასეთ გაურკვევლობას, ისინი არ ჩქარობენ ორი იდენტური რიცხვის ერთმანეთზე გაყოფას, არამედ გაარკვიონ, რომელი მიმდევრობა გადის უფრო სწრაფად ნულამდე და როგორ ზუსტად. და თითოეულ მაგალითს ექნება თავისი კონკრეტული პასუხი!

6. ცხოვრებაში

Ohm-ის კანონი აკავშირებს დენი, ძაბვა და წინააღმდეგობა წრეში. ხშირად იწერება ამ ფორმით:

მოდით საკუთარ თავს უფლება მივცეთ უგულებელყოთ ფრთხილად ფიზიკური გაგება და ოფიციალურად შევხედოთ მარჯვენა მხარეროგორც ორი რიცხვის კოეფიციენტი. წარმოვიდგინოთ, რომ ელექტროენერგიაზე სკოლის პრობლემას ვაგვარებთ. მდგომარეობა იძლევა ძაბვას ვოლტებში და წინააღმდეგობას ომებში. კითხვა აშკარაა, გამოსავალი ერთ მოქმედებაშია.

ახლა მოდით გადავხედოთ ზეგამტარობის განმარტებას: ეს არის ზოგიერთი ლითონის თვისება, ჰქონდეს ნულოვანი ელექტრული წინააღმდეგობა.

აბა, მოვაგვაროთ ზეგამტარი წრედის პრობლემა? უბრალოდ დააყენე R= 0 ეს არ იმუშავებს, ფიზიკა აგდებს საინტერესო დავალება, რომლის უკან აშკარად მეცნიერული აღმოჩენა დგას. და ადამიანებმა, რომლებმაც მოახერხეს ამ სიტუაციაში ნულზე გაყოფა, მიიღეს ნობელის პრემია. სასარგებლოა ნებისმიერი აკრძალვის გვერდის ავლით!

”თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოფა ნულზე!” - სკოლის მოსწავლეების უმეტესობა ზეპირად სწავლობს ამ წესს, კითხვების დასმის გარეშე. ყველა ბავშვმა იცის, რა არის „შენ არ შეგიძლია“ და რა მოხდება, თუ ამის საპასუხოდ ჰკითხავ: „რატომ?“ მაგრამ სინამდვილეში, ძალიან საინტერესო და მნიშვნელოვანია იცოდე, რატომ არ შეგიძლია.

საქმე იმაშია, რომ არითმეტიკის ოთხი მოქმედება - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა - რეალურად არათანაბარია. მათემატიკოსები მხოლოდ ორ მათგანს აღიარებენ მართებულად - შეკრება და გამრავლება. ეს ოპერაციები და მათი თვისებები შედის რიცხვის კონცეფციის განმარტებაში. ყველა სხვა მოქმედება ასე თუ ისე აგებულია ამ ორიდან.

ჩვენ შევხედავთ გამოკლებას, მაგალითად. რას ნიშნავს 5-3? მოსწავლე ამაზე უბრალოდ უპასუხებს: თქვენ უნდა აიღოთ ხუთი ობიექტი, წაიღოთ (ამოიღოთ) სამი მათგანი და ნახოთ რამდენი დარჩა. მაგრამ მათემატიკოსები ამ პრობლემას სულ სხვანაირად უყურებენ. არ არის გამოკლება, არის მხოლოდ დამატება. მაშასადამე, აღნიშვნა 5 - 3 ნიშნავს რიცხვს, რომელიც, როდესაც 3 რიცხვს დაემატება, მისცემს რიცხვს 5. ანუ, 5 - 3 უბრალოდ არის განტოლების სტენოგრაფიული აღნიშვნა: x 3 = 5. არ არის გამოკლება ეს განტოლება. არსებობს მხოლოდ დავალება - იპოვოთ შესაფერისი ნომერი.

იგივეა გამრავლება და გაყოფა. ჩანაწერი 8:4 შეიძლება გავიგოთ, როგორც რვა ელემენტის ოთხ თანაბარ გროვად დაყოფის შედეგი. მაგრამ სინამდვილეში, ეს მხოლოდ 4 * x = 8 განტოლების შემოკლებული ფორმაა.

სწორედ აქ ირკვევა, თუ რატომ არის შეუძლებელი (უფრო სწორად შეუძლებელია) ნულზე გაყოფა. ჩანაწერი 5: 0 არის აბრევიატურა 0 * x = 5-ის. ანუ, ეს ამოცანაა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს 5-ს. მაგრამ ვიცით, რომ 0-ზე გამრავლებისას ყოველთვის მივიღებთ 0-ს. არის ნულის თანდაყოლილი თვისება, მკაცრად რომ ვთქვათ, მისი განმარტების ნაწილი.

არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს რაიმე სხვას ნულის გარდა. ანუ ჩვენს პრობლემას გამოსავალი არ აქვს. (დიახ, ეს ხდება; ყველა პრობლემას არ აქვს გამოსავალი.) ეს ნიშნავს, რომ ჩანაწერი 5:0 არ შეესაბამება რომელიმე კონკრეტულ რიცხვს და ის უბრალოდ არაფერს ნიშნავს და, შესაბამისად, არ აქვს მნიშვნელობა. ამ ჩანაწერის უაზრობა მოკლედ გამოიხატება იმით, რომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.

ამ ადგილის ყველაზე ყურადღებიანი მკითხველი აუცილებლად იკითხავს: შესაძლებელია თუ არა ნულის გაყოფა ნულზე? სინამდვილეში, განტოლება 0 * x = 0 შეიძლება უსაფრთხოდ გადაწყდეს. მაგალითად, შეგვიძლია ავიღოთ x = 0 და შემდეგ მივიღოთ 0 * 0 = 0. მაშ, 0: 0=0? მაგრამ ნუ ვიჩქარებთ. ვცადოთ ავიღოთ x = 1. მივიღებთ 0 * 1 = 0. არა? ანუ 0:0 = 1? მაგრამ ამ გზით შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი რიცხვი და მიიღოთ 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 და ა.შ.

მაგრამ თუ რომელიმე ნომერი შესაფერისია, მაშინ ჩვენ არ გვაქვს მიზეზი, ავირჩიოთ რომელიმე მათგანი. ანუ ვერ ვიტყვით, რომელ რიცხვს შეესაბამება ჩანაწერი 0:0 და თუ ასეა, მაშინ იძულებული ვართ ვაღიაროთ, რომ ამ ჩანაწერსაც აზრი არ აქვს. გამოდის, რომ ნულიც კი ვერ გაიყოფა ნულზე. (მათემატიკურ ანალიზში არის შემთხვევები, როდესაც პრობლემის დამატებითი პირობების გამო, შეიძლება უპირატესობა მიანიჭოს ერთ-ერთს. შესაძლო ვარიანტები 0 * x = 0 განტოლების ამონახსნები; ასეთ შემთხვევებში მათემატიკოსები საუბრობენ „გაურკვევლობის განბლოკვაზე“, მაგრამ ასეთი შემთხვევები არითმეტიკაში არ ხდება. ეს არის გაყოფის ოპერაციის თავისებურება. უფრო ზუსტად, გამრავლების ოპერაციას და მასთან დაკავშირებულ რიცხვს აქვს ნული.

ისე, ყველაზე ზედმიწევნით, ვინც აქამდე წაიკითხა, შეიძლება იკითხონ: რატომ ხდება ისე, რომ ვერ გაყოფ ნულზე, მაგრამ შეგიძლია გამოაკლო ნული? გარკვეული გაგებით, სწორედ აქ იწყება ნამდვილი მათემატიკა. მასზე პასუხის გაცემა შეგიძლიათ მხოლოდ რიცხვითი სიმრავლეების და მათზე მოქმედებების ფორმალურ მათემატიკური განმარტებების გაცნობით. არც ისე რთულია, მაგრამ რატომღაც სკოლაში არ ისწავლება. მაგრამ უნივერსიტეტში მათემატიკის ლექციებზე, პირველ რიგში, ზუსტად ამას გასწავლიან.

რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა? "არ შეიძლება ნულზე გაყოფა!" - სკოლის მოსწავლეების უმეტესობა ამ წესს ზეპირად, კითხვების გარეშე სწავლობს. ყველა ბავშვმა იცის, რა არის "შენ არ შეგიძლია" და რა მოხდება, თუ ამის საპასუხოდ ჰკითხავ: "რატომ?" მაგრამ სინამდვილეში, ძალიან საინტერესო და მნიშვნელოვანია იმის ცოდნა, თუ რატომ არ არის ეს შესაძლებელი. საქმე იმაშია, რომ არითმეტიკის ოთხი მოქმედება - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა - რეალურად არათანაბარია. მათემატიკოსები მხოლოდ ორ მათგანს აღიარებენ მართებულად - შეკრება და გამრავლება. ეს ოპერაციები და მათი თვისებები შედის რიცხვის კონცეფციის განმარტებაში. ყველა სხვა მოქმედება ასე თუ ისე აგებულია ამ ორიდან. განვიხილოთ, მაგალითად, გამოკლება. რას ნიშნავს 5-3? მოსწავლე ამაზე უბრალოდ უპასუხებს: თქვენ უნდა აიღოთ ხუთი ობიექტი, წაიღოთ (ამოიღოთ) სამი მათგანი და ნახოთ რამდენი დარჩა. მაგრამ მათემატიკოსები ამ პრობლემას სულ სხვანაირად უყურებენ. არ არის გამოკლება, არის მხოლოდ დამატება. მაშასადამე, აღნიშვნა 5 – 3 ნიშნავს რიცხვს, რომელიც, როდესაც 3 რიცხვს დაემატება, მისცემს რიცხვს 5. ანუ, 5 – 3 არის უბრალოდ სტენოგრაფიული აღნიშვნა განტოლების: x + 3 = 5. არ არის გამოკლება. ამ განტოლებაში. არსებობს მხოლოდ დავალება - იპოვოთ შესაფერისი ნომერი.იგივეა გამრავლება და გაყოფა. ჩანაწერი 8:4 შეიძლება გავიგოთ, როგორც რვა ელემენტის ოთხ თანაბარ გროვად დაყოფის შედეგი. მაგრამ ეს ნამდვილად არის 4 x = 8 განტოლების შემცირებული ფორმა.სწორედ აქ ირკვევა, თუ რატომ არის შეუძლებელი (უფრო სწორად შეუძლებელია) ნულზე გაყოფა. ჩანაწერი 5: 0 არის აბრევიატურა 0 x = 5-ის. ანუ, ეს ამოცანაა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს 5-ს. მაგრამ ვიცით, რომ 0-ზე გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის არის 0. არის ნულის თანდაყოლილი თვისება, მკაცრად რომ ვთქვათ, მისი განმარტების ნაწილი.არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს რაიმე სხვას ნულის გარდა. ანუ ჩვენს პრობლემას გამოსავალი არ აქვს. (დიახ, ასეც ხდება; ყველა პრობლემას არ აქვს გამოსავალი.) ეს ნიშნავს, რომ ჩანაწერი 5:0 არ შეესაბამება რომელიმე კონკრეტულ რიცხვს და ის უბრალოდ არაფერს ნიშნავს და შესაბამისად არა აქვს მნიშვნელობა. ამ ჩანაწერის უაზრობა მოკლედ გამოიხატება იმით, რომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.ამ ადგილის ყველაზე ყურადღებიანი მკითხველი აუცილებლად იკითხავს: შესაძლებელია თუ არა ნულის გაყოფა ნულზე? მართლაც, განტოლება 0 x = 0 შეიძლება უსაფრთხოდ გადაწყდეს. მაგალითად, შეგვიძლია ავიღოთ x = 0 და შემდეგ მივიღოთ 0 · 0 = 0. მაშ, 0: 0=0? მაგრამ ნუ ვიჩქარებთ. შევეცადოთ ავიღოთ x = 1. მივიღებთ 0 · 1 = 0. სწორია? ანუ 0:0 = 1? მაგრამ ამ გზით შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი რიცხვი და მიიღოთ 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 და ა.შ.მაგრამ თუ რომელიმე ნომერი შესაფერისია, მაშინ ჩვენ არ გვაქვს მიზეზი, ავირჩიოთ რომელიმე მათგანი. ანუ ვერ ვიტყვით რომელ რიცხვს შეესაბამება ჩანაწერი 0:0 და თუ ასეა, მაშინ იძულებული ვართ ვაღიაროთ, რომ ამ ჩანაწერსაც აზრი არ აქვს. გამოდის, რომ ნულიც კი ვერ გაიყოფა ნულზე. (მათემატიკურ ანალიზში არის შემთხვევები, როდესაც პრობლემის დამატებითი პირობების გამო, შეიძლება უპირატესობა მიანიჭოს განტოლების ერთ-ერთ შესაძლო ამონახსანს 0 x = 0; ასეთ შემთხვევებში მათემატიკოსები საუბრობენ „გაურკვევლობის გამოვლენაზე“, მაგრამ ასეთი შემთხვევები არ ხდება არითმეტიკაში.)ეს არის გაყოფის ოპერაციის თავისებურება. უფრო ზუსტად, გამრავლების ოპერაციას და მასთან დაკავშირებულ რიცხვს აქვს ნული. ისე, ყველაზე ზედმიწევნით, ვინც აქამდე წაიკითხა, შეიძლება იკითხონ: რატომ ხდება ისე, რომ ვერ გაყოფ ნულზე, მაგრამ შეგიძლია გამოაკლო ნული? გარკვეული გაგებით, სწორედ აქ იწყება ნამდვილი მათემატიკა. მასზე პასუხის გაცემა შეგიძლიათ მხოლოდ რიცხვითი სიმრავლეების და მათზე მოქმედებების ფორმალურ მათემატიკური განმარტებების გაცნობით. არც ისე რთულია, მაგრამ რატომღაც სკოლაში არ ისწავლება. მაგრამ უნივერსიტეტში მათემატიკის ლექციებზე პირველ რიგში სწორედ ამას გასწავლიან.

გაყოფა ნულზემათემატიკაში გაყოფა, რომელშიც გამყოფი არის ნული. ასეთი გაყოფა შეიძლება ოფიციალურად დაიწეროს ⁄ 0, სადაც არის დივიდენდი.

ჩვეულებრივ არითმეტიკაში (რეალური რიცხვებით) ამ გამოთქმას აზრი არ აქვს, რადგან:

• ≠ 0-სთვის არ არსებობს რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას იძლევა, ამიტომ არცერთი რიცხვი არ შეიძლება მივიღოთ კოეფიციენტად ⁄ 0;
• = 0-ზე, ნულზე გაყოფა ასევე განუსაზღვრელია, რადგან ნებისმიერი რიცხვი 0-ზე გამრავლებისას იძლევა 0-ს და შეიძლება მივიღოთ 0 ⁄ 0 კოეფიციენტად.

ისტორიულად, ერთ-ერთი პირველი მითითება ⁄ 0 მნიშვნელობის მინიჭების მათემატიკური შეუძლებლობის შესახებ შეიცავს ჯორჯ ბერკლის უსასრულო გამოთვლების კრიტიკას.

ლოგიკური შეცდომები

ვინაიდან, როდესაც ჩვენ ვამრავლებთ ნებისმიერ რიცხვს ნულზე, ყოველთვის მივიღებთ ნულს, როდესაც ვყოფთ გამოთქმის ორივე ნაწილს × 0 = × 0, რაც მართალია, მიუხედავად მნიშვნელობისა და 0-ზე მივიღებთ არასწორს თვითნებურად მიცემული შემთხვევა ცვლადი გამოხატულება= . ვინაიდან ნული შეიძლება მითითებული იყოს არა ცალსახად, არამედ საკმაოდ რთული სახით მათემატიკური გამოხატულებამაგალითად, ორი მნიშვნელობის სხვაობის სახით, რომლებიც შემცირებულია ერთმანეთთან ალგებრული გარდაქმნები, ასეთი დაყოფა შეიძლება საკმაოდ შეუმჩნეველი შეცდომა იყოს. ასეთი დაყოფის შეუმჩნევლად შეყვანა მტკიცების პროცესში, რათა აჩვენოს აშკარად განსხვავებული რაოდენობების იდენტურობა, რითაც დადასტურდება რაიმე აბსურდული განცხადება, მათემატიკური სოფიზმის ერთ-ერთი სახეობაა.

კომპიუტერულ მეცნიერებაში

პროგრამირებისას, პროგრამირების ენიდან, მონაცემთა ტიპისა და დივიდენდის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, ნულზე გაყოფის მცდელობას შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული შედეგები. ნულზე გაყოფის შედეგები მთელ რიცხვში და რეალურ არითმეტიკაში ფუნდამენტურად განსხვავებულია:

• მცდელობა მთელი რიცხვინულზე გაყოფა ყოველთვის კრიტიკული შეცდომაა, რაც შეუძლებელს ხდის პროგრამის შემდგომ შესრულებას. ის ან აყენებს გამონაკლისს (რასაც პროგრამას შეუძლია დამოუკიდებლად გაუმკლავდეს, რითაც თავიდან აიცილებს ავარიას), ან იწვევს პროგრამის დაუყოვნებლივ შეჩერებას, გამოაჩენს შეცდომის გამოუსწორებელ შეტყობინებას და შესაძლოა ზარის სტეკის შიგთავსს. ზოგიერთ პროგრამირების ენაში, როგორიცაა Go, მთელი რიცხვის დაყოფა ნულოვანი მუდმივზე განიხილება სინტაქსის შეცდომად და იწვევს პროგრამის არანორმალურ კომპილაციას.
• IN რეალურიარითმეტიკული შედეგები შეიძლება განსხვავებული იყოს სხვადასხვა ენაზე:

• გამონაკლისის დადება ან პროგრამის შეჩერება, როგორც მთელი რიცხვის გაყოფისას;
• ოპერაციის შედეგად სპეციალური არარიცხობრივი მნიშვნელობის მიღება. ამ შემთხვევაში, გამოთვლები არ წყდება და მათი შედეგი შემდგომში შეიძლება განიმარტოს თავად პროგრამის ან მომხმარებლის მიერ, როგორც მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა ან როგორც არასწორი გამოთვლების მტკიცებულება. ფართოდ გამოყენებული პრინციპი არის ის, რომ ⁄ 0-ის მსგავსად გაყოფისას, სადაც ≠ 0 არის მცურავი წერტილის რიცხვი, შედეგი უდრის პოზიტიურ ან უარყოფითს (დამოკიდებულია დივიდენდის ნიშანზე) უსასრულობას - ან, და როდესაც = 0 შედეგი არის სპეციალური მნიშვნელობა NaN (შემოკლ. . ინგლისურიდან “not a number” - “not a number”). ეს მიდგომა მიღებულია IEEE 754 სტანდარტში, რომელსაც ბევრი მხარს უჭერს თანამედროვე ენებიპროგრამირება.

შემთხვევითი გაყოფა ნულზე კომპიუტერული პროგრამაზოგჯერ იწვევს ძვირადღირებულ ან სახიფათო გაუმართაობას პროგრამის მიერ კონტროლირებად აღჭურვილობაში. მაგალითად, 1997 წლის 21 სექტემბერს, აშშ-ს საზღვაო ძალების კრეისერის USS Yorktown-ის (CG-48) კომპიუტერიზებული მართვის სისტემაში ნულზე გაყოფის შედეგად, სისტემაში არსებული ყველა ელექტრონული მოწყობილობა გამორთულია, რამაც გამოიწვია გემის მამოძრავებელი სისტემა. შეწყვიტოს მუშაობა.

იხილეთ ასევე

შენიშვნები

ფუნქცია = 1⁄. როცა მარჯვნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, უსასრულობისკენ მიისწრაფვის; როდესაც მარცხნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ

თუ ჩვეულებრივ კალკულატორზე რომელიმე რიცხვს ნულზე გაყოფთ, ის მოგცემთ ასო E ან სიტყვა Error, ანუ „შეცდომა“.

ანალოგიურ შემთხვევაში, კომპიუტერის კალკულატორი წერს (Windows XP-ში): "ნულზე გაყოფა აკრძალულია".

ყველაფერი შეესაბამება სკოლიდან ცნობილ წესს, რომ ნულზე ვერ გაყოფ.

მოდით გავარკვიოთ რატომ.

გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული მათემატიკური ოპერაცია. გაყოფა განისაზღვრება გამრავლებით.

გაყავით რიცხვი ა(იყოფა, მაგალითად 8) რიცხვით ბ(გამყოფი, მაგალითად რიცხვი 2) - ნიშნავს ასეთი რიცხვის პოვნას x(რაოდენობა), როცა გამრავლებულია გამყოფზე ბგამოდის დივიდენდი ა(4 2 = 8), ანუ აგაყოფა ბნიშნავს x · b = a განტოლების ამოხსნას.

განტოლება a: b = x უდრის x · b = a განტოლებას.

ჩვენ ვცვლით გაყოფას გამრავლებით: ნაცვლად 8: 2 = x ვწერთ x · 2 = 8.

8: 2 = 4 უდრის 4 2 = 8-ს

18: 3 = 6 უდრის 6 3 = 18-ს

20: 2 = 10 უდრის 10 2 = 20-ს

გაყოფის შედეგი ყოველთვის შეიძლება შემოწმდეს გამრავლებით. გამყოფის კოეფიციენტზე გამრავლების შედეგი უნდა იყოს დივიდენდი.

შევეცადოთ გავყოთ ნულზე იმავე გზით.

მაგალითად, 6: 0 = ... უნდა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს 6-ს. მაგრამ ვიცით, რომ ნულზე გამრავლებისას ყოველთვის მივიღებთ ნულს. არ არსებობს რიცხვი, რომელიც ნულზე გამრავლებისას ნულის გარდა სხვა რამეს იძლევა.

როცა ამბობენ, რომ ნულზე გაყოფა შეუძლებელია ან აკრძალულია, გულისხმობენ, რომ ასეთი გაყოფის შედეგის შესაბამისი რიცხვი არ არსებობს (ნულზე გაყოფა შესაძლებელია, მაგრამ გაყოფა არა :)).

რატომ ამბობენ სკოლაში, რომ ნულზე გაყოფა არ შეიძლება?

ამიტომ შიგნით განმარტება a b-ზე გაყოფის ოპერაცია მაშინვე ხაზს უსვამს, რომ b ≠ 0.

თუ ზემოთ დაწერილი ყველაფერი ძალიან რთულად მოგეჩვენათ, მაშინ უბრალოდ სცადეთ: 8-ის 2-ზე გაყოფა ნიშნავს იმის გარკვევას, თუ რამდენი ორი უნდა აიღოთ 8-ის მისაღებად (პასუხი: 4). 18-ის 3-ზე გაყოფა ნიშნავს იმის გარკვევას, თუ რამდენი სამეული უნდა აიღოთ 18-ის მისაღებად (პასუხი: 6).

6-ის გაყოფა ნულზე ნიშნავს იმის გარკვევას, თუ რამდენი ნულის აღება გჭირდებათ 6-ის მისაღებად. რამდენი ნულიც არ უნდა აიღოთ, მაინც მიიღებთ ნულს, მაგრამ ვერასდროს მიიღებთ 6-ს, ანუ ნულზე გაყოფა განუსაზღვრელია.

საინტერესო შედეგი მიიღება, თუ ანდროიდის კალკულატორზე ცდილობთ რიცხვის ნულზე გაყოფას. ეკრანზე გამოჩნდება ∞ (უსასრულობა) (ან - ∞ გაყოფის შემთხვევაში უარყოფითი რიცხვი). ეს შედეგიარასწორია, რადგან რიცხვი ∞ არ არსებობს. როგორც ჩანს, პროგრამისტებმა აირია სრულიად განსხვავებული ოპერაციები - რიცხვების გაყოფა და ლიმიტის პოვნა რიცხვების თანმიმდევრობა n/x, სადაც x → 0. ნულის ნულზე გაყოფისას დაიწერება NaN (არა რიცხვი).

"ნულის გაყოფა არ შეიძლება!" - სკოლის მოსწავლეების უმეტესობა ამ წესს ზეპირად, კითხვების გარეშე სწავლობს. ყველა ბავშვმა იცის, რა არის "შენ არ შეგიძლია" და რა მოხდება, თუ ამის საპასუხოდ ჰკითხავ: "რატომ?" მაგრამ სინამდვილეში, ძალიან საინტერესო და მნიშვნელოვანია იმის ცოდნა, თუ რატომ არ არის ეს შესაძლებელი.

საქმე იმაშია, რომ არითმეტიკის ოთხი მოქმედება - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა - რეალურად არათანაბარია. მათემატიკოსები მხოლოდ ორ მათგანს აღიარებენ მართებულად: შეკრება და გამრავლება. ეს ოპერაციები და მათი თვისებები შედის რიცხვის კონცეფციის განმარტებაში. ყველა სხვა მოქმედება ასე თუ ისე აგებულია ამ ორიდან.

განვიხილოთ, მაგალითად, გამოკლება. Რას ნიშნავს 5 - 3 ? მოსწავლე ამაზე უბრალოდ უპასუხებს: თქვენ უნდა აიღოთ ხუთი ობიექტი, წაიღოთ (ამოიღოთ) სამი მათგანი და ნახოთ რამდენი დარჩა. მაგრამ მათემატიკოსები ამ პრობლემას სულ სხვანაირად უყურებენ. არ არის გამოკლება, არის მხოლოდ დამატება. ამიტომ შესვლა 5 - 3 ნიშნავს რიცხვს, რომელიც რიცხვს დაემატება 3 მისცემს ნომერს 5 . ანუ 5 - 3 უბრალოდ განტოლების სტენოგრაფიული ვერსიაა: x + 3 = 5. ამ განტოლებაში არ არის გამოკლება.

გაყოფა ნულზე

არსებობს მხოლოდ დავალება - იპოვოთ შესაფერისი ნომერი.

იგივეა გამრავლება და გაყოფა. ჩანაწერი 8: 4 შეიძლება გავიგოთ, როგორც რვა ობიექტის ოთხ თანაბარ გროვად დაყოფის შედეგი. მაგრამ სინამდვილეში ეს განტოლების მხოლოდ შემოკლებული ფორმაა 4 x = 8.

სწორედ აქ ირკვევა, თუ რატომ არის შეუძლებელი (უფრო სწორად შეუძლებელია) ნულზე გაყოფა. ჩანაწერი 5: 0 არის აბრევიატურა 0 x = 5. ანუ, ეს ამოცანაა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 0 მისცემს 5 . მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ გამრავლებისას 0 ის ყოველთვის მუშაობს 0 . ეს არის ნულის თანდაყოლილი თვისება, მკაცრად რომ ვთქვათ, მისი განმარტების ნაწილი.

ისეთი რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 0 მისცემს რაიმეს გარდა ნულისა, ის უბრალოდ არ არსებობს. ანუ ჩვენს პრობლემას გამოსავალი არ აქვს. (დიახ, ეს ხდება; ყველა პრობლემას არ აქვს გამოსავალი.) რაც ნიშნავს ჩანაწერებს 5: 0 არ შეესაბამება რომელიმე კონკრეტულ რიცხვს და ის უბრალოდ არაფერს ნიშნავს და შესაბამისად არა აქვს მნიშვნელობა. ამ ჩანაწერის უაზრობა მოკლედ გამოიხატება იმით, რომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.

ამ ადგილის ყველაზე ყურადღებიანი მკითხველი აუცილებლად იკითხავს: შესაძლებელია თუ არა ნულის გაყოფა ნულზე?

მართლაც, განტოლება 0 x = 0წარმატებით გადაწყდა. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ x = 0და შემდეგ მივიღებთ 0 0 = 0. თურმე 0: 0=0 ? მაგრამ ნუ ვიჩქარებთ. ვცადოთ ავიღოთ x = 1. ვიღებთ 0 1 = 0. მართალია? ნიშნავს, 0: 0 = 1 ? მაგრამ შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი ნომერი და მიიღოთ 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 და ა.შ.

მაგრამ თუ რომელიმე ნომერი შესაფერისია, მაშინ ჩვენ არ გვაქვს მიზეზი, ავირჩიოთ რომელიმე მათგანი. ანუ ვერ ვიტყვით რომელ რიცხვს შეესაბამება ჩანაწერი 0: 0 . და თუ ასეა, მაშინ ჩვენ იძულებულნი ვართ ვაღიაროთ, რომ ამ ჩანაწერსაც აზრი არ აქვს. გამოდის, რომ ნულიც კი ვერ გაიყოფა ნულზე. (მათემატიკურ ანალიზში არის შემთხვევები, როდესაც პრობლემის დამატებითი პირობების გამო, შეიძლება უპირატესობა მიანიჭოს განტოლების ერთ-ერთ შესაძლო ამონახს. 0 x = 0; ასეთ შემთხვევებში მათემატიკოსები საუბრობენ „განვითარებულ გაურკვევლობაზე“, მაგრამ ასეთი შემთხვევები არითმეტიკაში არ ხდება.)

ეს არის გაყოფის ოპერაციის თავისებურება. უფრო ზუსტად, გამრავლების ოპერაციას და მასთან დაკავშირებულ რიცხვს აქვს ნული.

ისე, ყველაზე ზედმიწევნით, ვინც აქამდე წაიკითხა, შეიძლება იკითხონ: რატომ ხდება ისე, რომ ვერ გაყოფ ნულზე, მაგრამ შეგიძლია გამოაკლო ნული? გარკვეული გაგებით, სწორედ აქ იწყება ნამდვილი მათემატიკა. მასზე პასუხის გაცემა შეგიძლიათ მხოლოდ რიცხვითი სიმრავლეების და მათზე მოქმედებების ფორმალურ მათემატიკური განმარტებების გაცნობით. არც ისე რთულია, მაგრამ რატომღაც სკოლაში არ ისწავლება. მაგრამ უნივერსიტეტში მათემატიკის ლექციებზე პირველ რიგში სწორედ ამას გასწავლიან.

გაყოფის ფუნქცია არ არის განსაზღვრული დიაპაზონისთვის, სადაც გამყოფი არის ნული. შეგიძლიათ გაყოთ, მაგრამ შედეგი არ არის გარკვეული

ნულზე ვერ გაყოფ. საშუალო სკოლის მე-2 კლასი მათემატიკა.

თუ ჩემი მეხსიერება სწორად მემსახურება, მაშინ ნული შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობა, ასე რომ იქნება უსასრულობა. და სკოლა "ნულოვანი - არაფერი" უბრალოდ გამარტივებაა; სკოლის მათემატიკაში ამდენი მათგანია). მაგრამ მათ გარეშე შეუძლებელია, ყველაფერი თავის დროზე მოხდება.

შედით პასუხის დასაწერად

გაყოფა ნულზე

კოეფიციენტი ეხლა გაყოფა ნულზენულის გარდა სხვა რიცხვი არ არსებობს.

მსჯელობა აქ ასეთია: ვინაიდან ამ შემთხვევაში ვერცერთი რიცხვი ვერ დააკმაყოფილებს კოეფიციენტის განსაზღვრას.

დავწეროთ, მაგალითად,

რა რიცხვიც არ უნდა სცადოთ (ვთქვათ, 2, 3, 7), ის არ არის შესაფერისი, რადგან:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

რა მოხდება, თუ გაყოფთ 0-ზე?

და ა.შ., მაგრამ თქვენ უნდა მიიღოთ 2,3,7 პროდუქტში.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ არანულოვანი რიცხვის ნულზე გაყოფის პრობლემას არ აქვს ამოხსნა. თუმცა, ნულის გარდა სხვა რიცხვი შეიძლება დაიყოს ნულთან ახლოს არსებულ რიცხვზე, რაც უფრო ახლოს არის გამყოფი ნულთან, მით უფრო დიდია კოეფიციენტი. ასე რომ, თუ გავყოფთ 7-ზე

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

შემდეგ ვიღებთ კოეფიციენტებს 70, 700, 7000, 70,000 და ა.შ., რომლებიც იზრდება შეუზღუდავად.

ამიტომ, ისინი ხშირად ამბობენ, რომ 7-ის კოეფიციენტი გაყოფილი 0-ზე არის „უსასრულოდ დიდი“, ან „უდრის უსასრულობის“ და წერენ.

\[ 7: 0 = \infin \]

ამ გამოთქმის მნიშვნელობა არის ის, რომ თუ გამყოფი უახლოვდება ნულს და დივიდენდი რჩება 7-ის ტოლი (ან უახლოვდება 7-ს), მაშინ კოეფიციენტი იზრდება ლიმიტის გარეშე.

ძალიან ხშირად, ბევრ ადამიანს აინტერესებს, რატომ არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნულზე გაყოფა? ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად ვისაუბრებთ იმაზე, თუ საიდან გაჩნდა ეს წესი, ასევე რა ქმედებები შეიძლება შესრულდეს ნულით.

კონტაქტში

ნულს შეიძლება ეწოდოს ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო ნომრები. ამ რიცხვს აზრი არ აქვს, ეს ნიშნავს სიცარიელეს ამ სიტყვის სრული გაგებით. თუმცა, თუ რაიმე რიცხვის გვერდით არის ნული, მაშინ ამ რიცხვის მნიშვნელობა რამდენჯერმე დიდი გახდება.

თავად რიცხვი ძალიან იდუმალია. ისევ გამოვიყენე უძველესი ხალხიმაიას. მაიასთვის ნული ნიშნავს "დაწყებას" და თვლას კალენდარული დღეებიასევე დაიწყო ნულიდან.

ძალიან საინტერესო ფაქტიარის ის, რომ ნულის ნიშანი და გაურკვევლობის ნიშანი მსგავსი იყო. ამით მაიას სურდათ ეჩვენებინათ, რომ ნული იგივე ნიშანია, როგორც გაურკვევლობა. ევროპაში აღნიშვნა ნულოვანი შედარებით ცოტა ხნის წინ გამოჩნდა.

ბევრმა ასევე იცის ნულთან დაკავშირებული აკრძალვა. ამას ნებისმიერი იტყვის ნულზე ვერ გაყოფ. ამას სკოლაში მასწავლებლები ამბობენ და ბავშვები, როგორც წესი, თავიანთ სიტყვას ემორჩილებიან. ჩვეულებრივ, ბავშვებს ან უბრალოდ არ აინტერესებთ ამის ცოდნა, ან იციან, რა მოხდება, თუ მნიშვნელოვანი აკრძალვის მოსმენის შემდეგ დაუყოვნებლივ ჰკითხავენ: "რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა?" მაგრამ როცა დაბერდები, შენი ინტერესი იღვიძებს და გსურს მეტი იცოდე ამ აკრძალვის მიზეზების შესახებ. თუმცა, არსებობს გონივრული მტკიცებულება.

მოქმედებები ნულით

ჯერ უნდა დაადგინოთ, რა მოქმედებები შეიძლება შესრულდეს ნულით. არსებობს რამდენიმე სახის მოქმედება:

• დამატება;
• გამრავლება;
• გამოკლება;
• გაყოფა (ნული რიცხვით);
• ექსპონენტაცია.

Მნიშვნელოვანი!თუ შეკრების დროს ნებისმიერ რიცხვს დაუმატებთ ნულს, მაშინ ეს რიცხვი იგივე დარჩება და არ შეცვლის მის რიცხვობრივ მნიშვნელობას. იგივე ხდება, თუ რომელიმე რიცხვს გამოაკლებ ნულს.

როდესაც გამრავლება და გაყოფა, ყველაფერი ცოტა განსხვავებულია. თუ გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ნულზე, მაშინ პროდუქტიც გახდება ნული.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

მოდით დავწეროთ ეს, როგორც დამატება:

სულ ხუთი ნულია, ასე გამოდის

შევეცადოთ გავამრავლოთ ერთი ნულზე. შედეგი ასევე იქნება ნული.

ნული ასევე შეიძლება დაიყოს ნებისმიერ სხვა რიცხვზე, რომელიც არ არის მისი ტოლი. ამ შემთხვევაში, შედეგი იქნება , რომლის ღირებულებაც იქნება ნული. იგივე წესი მოქმედებს უარყოფით რიცხვებზე. თუ ნული იყოფა უარყოფით რიცხვზე, შედეგი არის ნული.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ააწყოთ ნებისმიერი რიცხვი ნულ ხარისხამდე. ამ შემთხვევაში შედეგი იქნება 1. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ გამოთქმა „ნული ნულის ხარისხზე“ აბსოლუტურად უაზროა. თუ თქვენ ცდილობთ ნულის ამაღლებას ნებისმიერ სიმძლავრემდე, მიიღებთ ნულს. მაგალითი:

ვიყენებთ გამრავლების წესს და ვიღებთ 0-ს.

ანუ შესაძლებელია ნულზე გაყოფა?

ასე რომ, აქ მივედით მთავარ კითხვამდე. შესაძლებელია თუ არა გაყოფა ნულზე?საერთოდ? და რატომ არ შეგვიძლია რიცხვის ნულზე გაყოფა, თუ გავითვალისწინებთ, რომ ყველა სხვა ქმედება ნულთან ერთად არსებობს და გამოიყენება? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად აუცილებელია მივმართოთ უმაღლეს მათემატიკას.

დავიწყოთ ცნების განმარტებით, რა არის ნული? სკოლის მასწავლებლები ამბობენ, რომ ნული არაფერია. Სიცარიელე. ანუ როცა ამბობ, რომ 0 სახელური გაქვს, ეს ნიშნავს, რომ სახელურები საერთოდ არ გაქვს.

უმაღლეს მათემატიკაში „ნულის“ ცნება უფრო ფართოა. ეს სულაც არ ნიშნავს სიცარიელეს. აქ ნულს გაურკვევლობა ჰქვია, რადგან თუ მცირე კვლევას ჩავატარებთ, აღმოჩნდება, რომ როდესაც ნულს გავყოფთ ნულზე, შეიძლება მივიღოთ ნებისმიერი სხვა რიცხვი, რომელიც შეიძლება სულაც არ იყოს ნული.

იცოდით, რომ ის მარტივი არითმეტიკული მოქმედებები, რომლებიც სკოლაში სწავლობდით, არც ისე ტოლია ერთმანეთის? ყველაზე ძირითადი მოქმედებებია შეკრება და გამრავლება.

მათემატიკოსებისთვის "" და "გამოკლების" ცნებები არ არსებობს. ვთქვათ: თუ სამს გამოაკლებ ხუთს, დარჩება ორი. ასე გამოიყურება გამოკლება. თუმცა მათემატიკოსები ამას ასე დაწერენ:

ამრიგად, გამოდის, რომ უცნობი სხვაობა არის გარკვეული რიცხვი, რომელიც უნდა დაემატოს 3-ს, რომ მიიღოთ 5. ანუ, თქვენ არ გჭირდებათ არაფრის გამოკლება, თქვენ უბრალოდ უნდა იპოვოთ შესაბამისი რიცხვი. ეს წესი ვრცელდება დამატებით.

საქმეები ცოტა განსხვავებულია გამრავლებისა და გაყოფის წესები.ცნობილია, რომ ნულზე გამრავლება იწვევს ნულოვან შედეგს. მაგალითად, თუ 3:0=x, მაშინ თუ შეცვლით ჩანაწერს, მიიღებთ 3*x=0. და რიცხვი, რომელიც გამრავლდა 0-ზე, მისცემს ნულს ნამრავლში. გამოდის, რომ არ არსებობს რიცხვი, რომელიც მისცემს რაიმე სხვა მნიშვნელობას ნულის გარდა ნულის ნამრავლში. ეს ნიშნავს, რომ ნულზე გაყოფა უაზროა, ანუ ერგება ჩვენს წესს.

მაგრამ რა მოხდება, თუ ცდილობთ ნულის თავისთავად გაყოფას? ავიღოთ რაღაც განუსაზღვრელი რიცხვი, როგორც x. შედეგად მიღებული განტოლებაა 0*x=0. მისი მოგვარება შესაძლებელია.

თუ x-ის ნაცვლად ნულის აღებას ვცდილობთ, მივიღებთ 0:0=0. ლოგიკური ჩანდეს? მაგრამ თუ ვცდილობთ ავიღოთ ნებისმიერი სხვა რიცხვი, მაგალითად, 1, x-ის ნაცვლად, მივიღებთ 0:0=1. იგივე სიტუაცია იქნება, თუ ავიღებთ სხვა რიცხვს და შეაერთეთ იგი განტოლებაში.

ამ შემთხვევაში გამოდის, რომ ფაქტორად ნებისმიერი სხვა რიცხვი შეგვიძლია ავიღოთ. შედეგი იქნება უსასრულო რიცხვი სხვადასხვა ნომრები. ხანდახან უმაღლეს მათემატიკაში 0-ზე გაყოფა მაინც აზრი აქვს, მაგრამ შემდეგ ჩვეულებრივ ჩნდება გარკვეული პირობა, რომლის წყალობით მაინც შეგვიძლია ავირჩიოთ ერთი შესაფერისი რიცხვი. ამ მოქმედებას ეწოდება "გაურკვევლობის გამჟღავნება". ჩვეულებრივ არითმეტიკაში, ნულზე გაყოფა კვლავ დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან ჩვენ ვერ შევძლებთ ავირჩიოთ ერთი რიცხვი სიმრავლიდან.

Მნიშვნელოვანი!ნულის ნულზე გაყოფა არ შეიძლება.

ნული და უსასრულობა

უსასრულობა ძალიან ხშირად გვხვდება უმაღლეს მათემატიკაში. ვინაიდან სკოლის მოსწავლეებისთვის უბრალოდ არ არის მნიშვნელოვანი იცოდნენ, რომ მათემატიკური მოქმედებებიც არსებობს უსასრულობასთან, მასწავლებლებს არ შეუძლიათ სწორად აუხსნან ბავშვებს, თუ რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა.

სტუდენტები იწყებენ ძირითადი მათემატიკური საიდუმლოებების შესწავლას მხოლოდ ინსტიტუტის პირველ წელს. უმაღლესი მათემატიკა იძლევა ამოცანების დიდ კომპლექსს, რომლებსაც არ აქვთ გადაწყვეტა. ყველაზე ცნობილი პრობლემებია უსასრულობის პრობლემები. მათი გადაჭრა შესაძლებელია გამოყენებით მათემატიკური ანალიზი.

ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას უსასრულობაზე ელემენტარული მათემატიკური ოპერაციები:შეკრება, რიცხვით გამრავლება. როგორც წესი, ისინი ასევე იყენებენ გამოკლებას და გაყოფას, მაგრამ საბოლოოდ მაინც ორ მარტივ ოპერაციამდე ჩამოდიან.