Примери за логаритам на броеви. Решавање логаритамски равенки
Последните видеа во долгата серија лекции за решавање на логаритамски равенки. Овој пат ќе работиме првенствено со ODZ на логаритмот - токму поради неправилно разгледување (или дури и игнорирање) на доменот на дефиниција повеќето грешки се јавуваат при решавање на вакви проблеми.
Во оваа кратка видео лекција, ќе ја разгледаме употребата на формули за собирање и одземање логаритми, а исто така ќе се занимаваме и со дробни рационални равенки, со кои многу ученици исто така имаат проблеми.
За што ќе разговараме? Главната формула што би сакал да ја разберам изгледа вака:
log a (f g ) = log a f + log a g
Ова е стандардна транзиција од производот до збирот на логаритми и назад. Веројатно ја знаете оваа формула уште од самиот почеток на проучувањето на логаритмите. Сепак, постои една напрега.
Сè додека променливите a, f и g се обични броеви, не се јавуваат проблеми. Оваа формула работи одлично.
Меѓутоа, штом функциите се појавуваат наместо f и g, проблемот на проширување или стеснување на доменот на дефиниција се јавува во зависност од тоа во која насока да се трансформира. Проценете сами: во логаритамот напишан лево, доменот на дефиниција е како што следува:
fg > 0
Но, во износот напишан на десната страна, доменот на дефиниција е веќе малку поинаков:
f > 0
g > 0
Овој сет на барања е построг од оригиналниот. Во првиот случај, ќе бидеме задоволни со опцијата f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 се извршува).
Значи, при движење од левата конструкција кон десната, доаѓа до стеснување на доменот на дефиниција. Ако на почетокот имавме збир и го презапишеме во форма на производ, тогаш доменот на дефиниција се проширува.
Со други зборови, во првиот случај можевме да изгубиме корени, а во вториот да добиеме дополнителни. Ова мора да се земе предвид при решавање на реални логаритамски равенки.
Значи, првата задача:
[Наслов за сликата] Лево го гледаме збирот на логаритми со користење на истата основа. Затоа, овие логаритми може да се додадат:
[Наслов за сликата] Како што можете да видите, десно ја заменивме нулата користејќи ја формулата:
a = дневник b b a
Ајде да ја преуредиме нашата равенка малку повеќе:
лог 4 (x − 5) 2 = лог 4 1
Пред нас е канонската форма на логаритамската равенка; можеме да го прецртаме знакот за дневник и да ги изедначиме аргументите:
(x − 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
Ве молиме запомнете: од каде потекнува модулот? Дозволете ми да ве потсетам дека коренот на точниот квадрат е еднаков на модулот:
[Наслов за сликата] Потоа ја решаваме класичната равенка со модул:
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
Еве два одговори на кандидатите. Дали тие се решение за првобитната логаритамска равенка? Нема шанси!
Немаме право се да оставиме така и да го запишеме одговорот. Погледнете го чекорот каде што го заменуваме збирот на логаритми со еден логаритам од производот на аргументите. Проблемот е што во оригиналните изрази имаме функции. Затоа, треба да барате:
x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.
Кога го трансформиравме производот, добивајќи точен квадрат, барањата се променија:
(x − 5) 2 > 0
Кога е исполнето ова барање? Да, скоро секогаш! Освен случајот кога x − 5 = 0. Односно нееднаквоста ќе се намали на една пробиена точка:
x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
Како што можете да видите, опсегот на дефиниција е проширен, за што зборувавме на самиот почеток на лекцијата. Како резултат на тоа, може да се појават дополнителни корени.
Како можете да спречите да се појават овие дополнителни корени? Многу е едноставно: ги гледаме добиените корени и ги споредуваме со доменот на дефиниција на првобитната равенка. Ајде да броиме:
x (x − 5) > 0
Ќе решиме со методот на интервал:
x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5
Ние ги означуваме добиените броеви на линијата. Недостасуваат сите точки бидејќи нееднаквоста е строга. Земете кој било број поголем од 5 и заменете:
[Наслов за сликата] Заинтересирани сме за интервалите (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Ако ги означиме нашите корени на отсечката, ќе видиме дека x = 4 не ни одговара, бидејќи овој корен лежи надвор од доменот на дефиниција на првобитната логаритамска равенка.
Се враќаме на тоталитетот, го прецртуваме коренот x = 4 и го запишуваме одговорот: x = 6. Ова е конечниот одговор на првобитната логаритамска равенка. Тоа е тоа, проблемот е решен.
Ајде да преминеме на втората логаритамска равенка:
[Наслов за сликата] Ајде да го решиме. Забележете дека првиот член е дропка, а вториот е иста дропка, но превртена. Не плашете се од изразот lgx - едноставно е децимален логаритам, можеме да напишеме:
lgx = лог 10 x
Бидејќи имаме две превртени дропки, предлагам да се воведе нова променлива:
[Наслов за сликата] Затоа, нашата равенка може да се преработи на следниов начин:
t + 1/t = 2;
t + 1/t − 2 = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0.
Како што можете да видите, броителот на дропката е точен квадрат. Дропката е еднаква на нула кога нејзиниот броител е нула, а неговиот именител не е нула:
(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0
Да ја решиме првата равенка:
t − 1 = 0;
t = 1.
Оваа вредност го задоволува второто барање. Затоа, можеме да кажеме дека целосно ја решивме нашата равенка, но само во однос на променливата т. Сега да се потсетиме што е т:
[Наслов за сликата]Добивме пропорција:
logx = 2 logx + 1
2 logx − logx = −1
logx = −1
Ја доведуваме оваа равенка во нејзината канонска форма:
logx = log 10 −1
x = 10 −1 = 0,1
Како резултат на тоа, добивме еден корен, кој, теоретски, е решение за оригиналната равенка. Сепак, ајде сепак да играме на сигурно и да го напишеме доменот на дефиниција на оригиналната равенка:
[Наслов за сликата] Затоа, нашиот корен ги задоволува сите барања. Најдовме решение за оригиналната логаритамска равенка. Одговор: x = 0,1. Проблемот е решен.
Има само една клучна точка во денешната лекција: кога ја користите формулата за движење од производ до сума и назад, внимавајте да земете во предвид дека опсегот на дефиниција може да се стесни или прошири во зависност од тоа во која насока е направена транзицијата.
Како да се разбере што се случува: контракција или проширување? Многу едноставно. Ако порано функциите беа заедно, но сега се одвоени, тогаш опсегот на дефиниција е стеснет (бидејќи има повеќе барања). Ако на почетокот функциите стоеја одделно, а сега се заедно, тогаш доменот на дефиниција е проширен (помалку барања се наметнуваат на производот отколку на поединечни фактори).
Имајќи ја предвид оваа забелешка, би сакал да забележам дека втората логаритамска равенка воопшто не бара овие трансформации, односно никаде не ги собираме или множиме аргументите. Сепак, овде би сакал да го свртам вашето внимание на уште една прекрасна техника која може значително да го поедностави решението. Се работи за замена на променлива.
Сепак, запомнете дека ниту една замена не не ослободува од опсегот на дефиницијата. Затоа, откако беа пронајдени сите корени, не бевме мрзливи и се вративме на првобитната равенка за да го најдеме нејзиниот ОДЗ.
Често, кога се заменува променлива, се појавува досадна грешка кога учениците ќе ја најдат вредноста на t и мислат дека решението е целосно. Нема шанси!
Откако ќе ја пронајдете вредноста на t, треба да се вратите на првобитната равенка и да видите што точно мислевме со оваа буква. Како резултат на тоа, треба да решиме уште една равенка, која, сепак, ќе биде многу поедноставна од првобитната.
Токму ова е поентата на воведувањето на нова променлива. Оригиналната равенка ја делиме на две средни, од кои секоја има многу поедноставно решение.
Како да се решат „вгнездени“ логаритамски равенки
Денес продолжуваме да ги проучуваме логаритамските равенки и ќе ги анализираме конструкциите кога еден логаритам е под знакот на друг логаритам. Ќе ги решиме двете равенки користејќи ја канонската форма.
Денес продолжуваме да ги проучуваме логаритамските равенки и ќе ги анализираме конструкциите кога еден логаритам е под знакот на друг. Ќе ги решиме двете равенки користејќи ја канонската форма. Да ве потсетам дека ако ја имаме наједноставната логаритамска равенка од формата log a f (x) = b, тогаш за да решиме таква равенка ги извршуваме следните чекори. Пред сè, треба да го замениме бројот b:
b = log a a b
Забелешка: a b е аргумент. Слично на тоа, во оригиналната равенка, аргументот е функцијата f(x). Потоа ја препишуваме равенката и ја добиваме оваа конструкција:
log a f (x) = log a a b
Потоа можеме да го извршиме третиот чекор - да се ослободиме од знакот логаритам и едноставно да напишеме:
f (x) = a b
Како резултат на тоа, добиваме нова равенка. Во овој случај, не се наметнуваат ограничувања на функцијата f (x). На пример, логаритамска функција исто така може да го заземе своето место. И тогаш повторно ќе добиеме логаритамска равенка, која повторно ќе ја намалиме на наједноставната форма и ќе ја решиме преку канонската форма.
Сепак, доста од текстовите. Да го решиме вистинскиот проблем. Значи, задача број 1:
дневник 2 (1 + 3 дневник 2 x ) = 2
Како што можете да видите, имаме едноставна логаритамска равенка. Улогата на f (x) е конструкцијата 1 + 3 log 2 x, а улогата на бројот b е бројот 2 (улогата на a ја играат и два). Ајде да ги преработиме овие две на следниов начин:
Важно е да разбереме дека првите две две ни дојдоа од основата на логаритмот, т.е. ако имаше 5 во првобитната равенка, тогаш ќе добиеме дека 2 = лог 5 5 2. Во принцип, основата зависи исклучиво од логаритамот што првично беше даден во проблемот. И во нашиот случај ова е бројот 2.
Значи, ја препишуваме нашата логаритамска равенка земајќи го предвид фактот дека двете од десната страна се всушност и логаритам. Добиваме:
дневник 2 (1 + 3 дневник 2 x ) = дневник 2 4
Ајде да преминеме на последниот чекор од нашата шема - да се ослободиме од канонската форма. Може да се каже, ние едноставно ги прекрстуваме знаците на дневник. Сепак, од математичка гледна точка, невозможно е да се „пречкрта логот“ - би било поправилно да се каже дека едноставно ги изедначуваме аргументите:
1 + 3 дневник 2 x = 4
Оттука лесно можеме да најдеме 3 дневник 2 x:
3 дневник 2 x = 3
дневник 2 x = 1
Повторно ја добивме наједноставната логаритамска равенка, да ја вратиме во канонската форма. За да го направите ова, треба да ги направиме следните промени:
1 = дневник 2 2 1 = дневник 2 2
Зошто има два во основата? Затоа што во нашата канонска равенка лево има логаритам точно на основата 2. Проблемот го препишуваме земајќи го предвид овој факт:
дневник 2 x = дневник 2 2
Повторно се ослободуваме од знакот логаритам, т.е едноставно ги изедначуваме аргументите. Имаме право да го направиме ова бидејќи основите се исти, и не беа извршени повеќе дополнителни дејства ниту десно, ниту лево:
Тоа е се! Проблемот е решен. Најдовме решение за логаритамската равенка.
Забелешка! Иако променливата x се појавува во аргументот (т.е. има барања за доменот на дефиниција), ние нема да поставуваме никакви дополнителни барања.
Како што реков погоре, оваа проверка е излишна ако променливата се појавува само во еден аргумент од само еден логаритам. Во нашиот случај, x навистина се појавува само во аргументот и само под еден знак за дневник. Затоа, не се потребни дополнителни проверки.
Меѓутоа, ако не му верувате на овој метод, можете лесно да потврдите дека x = 2 е навистина корен. Доволно е да се замени овој број во првобитната равенка.
Да преминеме на втората равенка, тоа е малку поинтересно:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1
Ако изразот во големиот логаритам го означиме со функцијата f (x), ја добиваме наједноставната логаритамска равенка со која ја започнавме денешната видео лекција. Затоа, можеме да ја примениме канонската форма, за која ќе треба да ја претставиме единицата во формата log 2 2 1 = log 2 2.
Ајде да ја преработиме нашата голема равенка:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2
Да се оддалечиме од знакот на логаритамот, изедначувајќи ги аргументите. Имаме право да го направиме ова, бидејќи и лево и десно основите се исти. Дополнително, имајте предвид дека дневникот 2 4 = 2:
лог 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
лог 1/2 (2x − 1) = 0
Пред нас повторно е наједноставната логаритамска равенка од формата log a f (x) = b. Да преминеме на канонската форма, односно претставуваме нула во формата log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.
Ја препишуваме нашата равенка и се ослободуваме од знакот за дневник, изедначувајќи ги аргументите:
лог 1/2 (2x − 1) = лог 1/2 1
2x − 1 = 1
Повторно веднаш добивме одговор. Не се потребни дополнителни проверки бидејќи во оригиналната равенка само еден логаритам ја содржи функцијата како аргумент.
Затоа, не се потребни дополнителни проверки. Можеме безбедно да кажеме дека x = 1 е единствениот корен на оваа равенка.
Но, ако во вториот логаритам имало некоја функција на x наместо четири (или 2x не била во аргументот, туку во основата) - тогаш би било неопходно да се провери доменот на дефиниција. Во спротивно, постои голема шанса да навлезете во дополнителни корени.
Од каде доаѓаат овие дополнителни корени? Оваа точка мора да се разбере многу јасно. Погледнете ги оригиналните равенки: секаде функцијата x е под знакот логаритам. Следствено, бидејќи го запишавме дневникот 2 x, автоматски го поставуваме барањето x > 0. Во спротивно, овој запис едноставно нема смисла.
Меѓутоа, додека ја решаваме логаритамската равенка, се ослободуваме од сите знаци на дневник и добиваме едноставни конструкции. Овде нема поставени ограничувања, бидејќи линеарната функција е дефинирана за која било вредност на x.
Токму овој проблем, кога конечната функција е дефинирана насекаде и секогаш, но првобитната не е дефинирана насекаде и не секогаш, тоа е причината зошто многу често се појавуваат дополнителни корени при решавањето на логаритамските равенки.
Но, повторувам уште еднаш: ова се случува само во ситуација кога функцијата е или во неколку логаритми или во основата на еден од нив. Во проблемите што ги разгледуваме денес, во принцип, нема проблеми со проширување на доменот на дефиниција.
Случаи од различни основи
Оваа лекција е посветена на повеќе комплексни структури. Логаритмите во денешните равенки веќе нема да се решаваат веднаш; прво ќе треба да се направат некои трансформации.
Почнуваме да решаваме логаритамски равенки со сосема различни основи, кои не се точни моќи една на друга. Не дозволувајте таквите проблеми да ве плашат - тие не се потешки за решавање од наједноставните дизајни за кои разговаравме погоре.
Но, пред да преминете директно на проблемите, дозволете ми да ве потсетам на формулата за решавање на наједноставните логаритамски равенки со помош на канонската форма. Размислете за проблем како овој:
log a f (x) = b
Важно е дека функцијата f (x) е само функција, а улогата на броевите a и b треба да биде броеви (без никакви променливи x). Се разбира, буквално за една минута ќе разгледаме такви случаи кога наместо променливите a и b има функции, но сега не станува збор за тоа.
Како што се сеќаваме, бројот b мора да се замени со логаритам на истата основа a, која е лево. Ова е направено многу едноставно:
b = log a a b
Се разбира, зборовите „било кој број б“ и „било кој број а“ значат вредности што го задоволуваат опсегот на дефиницијата. Конкретно, во оваа равенка зборуваме само за основата a > 0 и a ≠ 1.
Сепак, ова барање се задоволува автоматски, бидејќи оригиналниот проблем веќе содржи логаритам за основа a - тој сигурно ќе биде поголем од 0 и не е еднаков на 1. Затоа, продолжуваме со решавање на логаритамската равенка:
log a f (x) = log a a b
Таквата нотација се нарекува канонска форма. Неговата погодност лежи во фактот што можеме веднаш да се ослободиме од знакот за дневник со изедначување на аргументите:
f (x) = a b
Токму оваа техника сега ќе ја користиме за решавање на логаритамски равенки со променлива основа. Значи, ајде да одиме!
дневник 2 (x 2 + 4x + 11) = дневник 0,5 0,125
Што е следно? Некој сега ќе каже дека треба да го пресметате вистинскиот логаритам, или да ги намалите на истата основа, или нешто друго. И навистина, сега треба да ги доведеме двете основи во иста форма - или 2 или 0,5. Но, да го научиме следново правило еднаш засекогаш:
Ако логаритамската равенка содржи децимали, не заборавајте да ги претворите овие дропки од децимална нотација во обични. Оваа трансформација може многу да го поедностави решението.
Таквата транзиција мора да се изврши веднаш, дури и пред да се извршат какви било дејства или трансформации. Ајде да погледнеме:
дневник 2 (x 2 + 4x + 11) = дневник 1 /2 1/8
Што ни дава таков рекорд? Можеме да ги претставиме 1/2 и 1/8 како сили со негативен експонент:
[Наслов за сликата] Пред нас е канонската форма. Ги изедначуваме аргументите и го добиваме класичното квадратна равенка:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
Пред нас е следната квадратна равенка, која лесно може да се реши со помош на формулите на Виета. Во средно училиште, треба да видите слични прикази буквално усно:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Тоа е се! Оригиналната логаритамска равенка е решена. Добивме два корени.
Да ве потсетам дека во овој случај не е неопходно да се одреди доменот на дефиниција, бидејќи функцијата со променливата x е присутна само во еден аргумент. Затоа, опсегот на дефиниција се врши автоматски.
Значи, првата равенка е решена. Да преминеме на второто:
дневник 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = дневник 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1
Сега забележете дека аргументот на првиот логаритам може да се запише и како моќност со негативен експонент: 1/2 = 2 −1. Потоа можете да ги извадите силите од двете страни на равенката и да поделите сè со -1:
[Наслов за сликата] И сега завршивме многу важен чекор во решавањето на логаритамската равенка. Можеби некој не забележал нешто, па да објаснам.
Погледнете ја нашата равенка: и лево и десно има знак за дневник, но лево има логаритам до основата 2, а десно логаритам до основата 3. Три не е цел број на два и, обратно, не можете да напишете дека 2 е 3 во цел број степени.
Следствено, ова се логаритми со различни основи кои не можат да се сведуваат еден на друг со едноставно додавање моќи. Единствениот начин да се решат ваквите проблеми е да се ослободиме од еден од овие логаритми. Во овој случај, бидејќи сè уште размислуваме за прилично едноставни проблеми, логаритамот од десната страна беше едноставно пресметан и ја добивме наједноставната равенка - токму онаа за која зборувавме на самиот почеток на денешната лекција.
Да го претставиме бројот 2, кој е десно, како лог 2 2 2 = лог 2 4. И тогаш се ослободуваме од знакот логаритам, по што едноставно ни останува квадратна равенка:
дневник 2 (5x 2 + 9x + 2) = дневник 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x − 2 = 0
Пред нас имаме обична квадратна равенка, но таа не е намалена бидејќи коефициентот x 2 е различен од единството. Затоа, ќе го решиме користејќи го дискриминаторот:
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = −2
Тоа е се! Ги најдовме двата корени, што значи дека добивме решение за првобитната логаритамска равенка. Навистина, во оригиналниот проблем, функцијата со променлива x е присутна само во еден аргумент. Следствено, не се потребни дополнителни проверки на доменот на дефиниција - двата корени што ги најдовме сигурно ги исполнуваат сите можни ограничувања.
Ова би можело да биде крајот на денешната видео лекција, но како заклучок би сакал повторно да кажам: не заборавајте да ги претворите сите децимални дропки во обични дропки кога решавате логаритамски равенки. Во повеќето случаи, ова во голема мера го поедноставува нивното решение.
Ретко, многу ретко, наидувате на проблеми во кои ослободувањето од децималните фракции само ги комплицира пресметките. Меѓутоа, во такви равенки, по правило, првично е јасно дека нема потреба да се ослободите од децималните фракции.
Во повеќето други случаи (особено ако штотуку почнувате да вежбате да решавате логаритамски равенки), слободно ослободете се од децималите и претворете ги во обични. Бидејќи практиката покажува дека на овој начин значително ќе го поедноставите последователното решение и пресметките.
Суптилностите и триковите на решението
Денес продолжуваме на повеќе сложени задачии ќе решиме логаритамска равенка, чија основа не е број, туку функција.
И дури и ако оваа функција е линеарна, ќе треба да се направат мали промени во шемата за решение, чие значење се сведува на дополнителни барања наметнати на доменот на дефинирање на логаритамот.
Комплексни задачи
Овој туторијал ќе биде доста долг. Во него ќе анализираме две прилично сериозни логаритамски равенки, при чие решавање многу ученици грешат. За време на мојата пракса како учител по математика, постојано наидував на два типа на грешки:
- Појавата на дополнителни корени поради проширување на доменот на дефиниција на логаритми. За да избегнете такви навредливи грешки, само внимателно следете ја секоја трансформација;
- Губење на корените поради фактот што студентот заборавил да разгледа некои „суптилни“ случаи - ова се ситуациите на кои ќе се фокусираме денес.
Ова е последната лекција за логаритамски равенки. Ќе биде долго, ќе анализираме сложени логаритамски равенки. Удобете се, направете си чај и ајде да започнеме.
Првата равенка изгледа сосема стандардно:
log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)
Веднаш да забележиме дека и двата логаритма се превртени копии еден на друг. Да се потсетиме на прекрасната формула:
log a b = 1/log b a
Меѓутоа, оваа формула има голем број ограничувања што се јавуваат ако наместо броевите a и b има функции на променливата x:
б > 0
1 ≠ a > 0
Овие барања се однесуваат на основата на логаритмот. Од друга страна, во дропка од нас се бара да имаме 1 ≠ a > 0, бидејќи не само што променливата a е во аргументот на логаритмот (оттука a > 0), туку и самиот логаритам е во именителот на дропката . Но, log b 1 = 0, и именителот мора да биде не-нула, па a ≠ 1.
Значи, ограничувањата на променливата a остануваат. Но, што се случува со променливата b? Од една страна, основата имплицира b > 0, од друга страна, променливата b ≠ 1, бидејќи основата на логаритмот мора да се разликува од 1. Севкупно, од десната страна на формулата следува дека 1 ≠ б > 0.
Но, тука е проблемот: второто барање (b ≠ 1) недостасува од првата неравенка, која се занимава со левиот логаритам. Со други зборови, при вршењето на оваа трансформација мораме проверете посебно, дека аргументот b е различен од еден!
Па ајде да го провериме. Ајде да ја примениме нашата формула:
[Наслов за сликата] 1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
Така, добивме дека веќе од првобитната логаритамска равенка произлегува дека и a и b мора да бидат поголеми од 0 и не еднакви на 1. Ова значи дека лесно можеме да ја инвертираме логаритамската равенка:
Предлагам да се воведе нова променлива:
log x + 1 (x − 0,5) = t
Во овој случај, нашата конструкција ќе биде препишана на следниов начин:
(t 2 − 1)/t = 0
Забележете дека во броителот имаме разлика на квадрати. Ја откриваме разликата на квадратите користејќи ја скратената формула за множење:
(t − 1) (t + 1)/t = 0
Дропката е еднаква на нула кога нејзиниот броител е нула, а неговиот именител не е нула. Но, броителот содржи производ, така што секој фактор го изедначуваме со нула:
t 1 = 1;
t 2 = −1;
t ≠ 0.
Како што можеме да видиме, двете вредности на променливата ни одговараат. Сепак, решението не завршува тука, бидејќи треба да ја најдеме не t, туку вредноста на x. Се враќаме на логаритмот и добиваме:
log x + 1 (x − 0,5) = 1;
log x + 1 (x − 0,5) = −1.
Ајде да ја ставиме секоја од овие равенки во канонска форма:
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1
Се ослободуваме од знакот логаритам во првиот случај и ги изедначуваме аргументите:
x − 0,5 = x + 1;
x − x = 1 + 0,5;
Таквата равенка нема корени, затоа и првата логаритамска равенка нема корени. Но, со втората равенка сè е многу поинтересно:
(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)
Решавајќи ја пропорцијата, добиваме:
(x − 0,5) (x + 1) = 1
Дозволете ми да ве потсетам дека при решавање на логаритамски равенки е многу попогодно да се користат сите децимални фракции како обични, па ајде да ја преработиме нашата равенка на следниов начин:
(x − 1/2) (x + 1) = 1;
x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;
x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.
Пред нас е квадратната равенка подолу, таа лесно може да се реши со помош на формулите на Виета:
(x + 3/2) (x − 1) = 0;
x 1 = −1,5;
x 2 = 1.
Добивме два корени - тие се кандидати за решавање на првобитната логаритамска равенка. За да разбереме кои корени всушност ќе влезат во одговорот, да се вратиме на првобитниот проблем. Сега ќе го провериме секој од нашите корени за да видиме дали тие се вклопуваат во доменот на дефиниција:
1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.
Овие барања се еднакви на двојна нееднаквост:
1 ≠ x > 0,5
Од тука веднаш гледаме дека коренот x = −1,5 не ни одговара, но x = 1 ни одговара доста добро. Затоа x = 1 е конечното решение на логаритамската равенка.
Ајде да преминеме на втората задача:
дневник x 25 + дневник 125 x 5 = дневник 25 x 625
На прв поглед, може да изгледа дека сите логаритми имаат различни основи и различни аргументи. Што да се прави со такви структури? Пред сè, забележете дека броевите 25, 5 и 625 се сили од 5:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
Сега да ја искористиме прекрасната особина на логаритамот. Поентата е дека можете да извлечете моќи од аргумент во форма на фактори:
log a b n = n ∙ log a b
Оваа трансформација е исто така предмет на ограничувања во случај кога b се заменува со функција. Но, за нас, b е само бројка и не се појавуваат дополнителни ограничувања. Ајде да ја преработиме нашата равенка:
2 ∙ дневник x 5 + дневник 125 x 5 = 4 ∙ дневник 25 x 5
Добивме равенка со три члена што го содржат знакот за дневник. Покрај тоа, аргументите на сите три логаритми се еднакви.
Време е да ги смениме логаритмите за да ги доведеме до истата основа - 5. Бидејќи променливата b е константа, не се случуваат промени во доменот на дефиниција. Ние само препишуваме:
[Наслов за сликата] Очекувано, истите логаритми се појавија во именителот. Предлагам да ја замените променливата:
дневник 5 x = t
Во овој случај, нашата равенка ќе биде препишана на следниов начин:
Ајде да го напишеме броителот и да ги отвориме заградите:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
Да се вратиме на нашата фракција. Бројачот мора да биде нула:
[Наслов за сликата] И именителот е различен од нула:
t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2
Последните барања се исполнуваат автоматски, бидејќи сите се „врзани“ за цели броеви, а сите одговори се ирационални.
Значи, фракциона рационална равенкарешени, се наоѓаат вредностите на променливата t. Да се вратиме на решавање на логаритамската равенка и да се потсетиме што е t:
[Наслов за сликата] Ја намалуваме оваа равенка на канонска форма и добиваме број со ирационален степен. Не дозволувајте ова да ве збуни - дури и таквите аргументи може да се изедначат:
[Наслов за сликата] Добивме два корени. Поточно, два одговори кандидати - да ги провериме дали се усогласени со доменот на дефиниција. Бидејќи основата на логаритмот е променливата x, го бараме следново:
1 ≠ x > 0;
Со истиот успех тврдиме дека x ≠ 1/125, инаку основата на вториот логаритам ќе се претвори во единство. Конечно, x ≠ 1/25 за третиот логаритам.
Вкупно добивме четири ограничувања:
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25
Сега се поставува прашањето: дали нашите корени ги задоволуваат овие барања? Секако дека задоволуваат! Бидејќи 5 на која било моќност ќе биде поголема од нула, а барањето x > 0 се задоволува автоматски.
Од друга страна, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, што значи дека овие ограничувања за нашите корени (кои, да ве потсетам, имаат ирационален број во експонентот) исто така се задоволни, а двата одговори се решенија на проблемот.
Значи, го имаме конечниот одговор. Клучните точкиИма два во овој проблем:
- Бидете внимателни кога превртувате логаритам кога аргументот и основата се заменуваат. Ваквите трансформации наметнуваат непотребни ограничувања на опсегот на дефиницијата.
- Не плашете се да ги трансформирате логаритмите: тие не само што може да се поништат, туку и да се прошират со помош на формулата за збир и генерално да се менуваат со користење на сите формули што сте ги проучувале кога решавате логаритамски изрази. Сепак, секогаш запомнете: некои трансформации го прошируваат опсегот на дефиниција, а некои ги стеснуваат.
Еден од елементите на алгебрата на примитивно ниво е логаритамот. Името доаѓа од грчкиот јазик од зборот „број“ или „моќ“ и значи моќност до која треба да се подигне бројот во основата за да се најде конечниот број.
Видови логаритми
- log a b – логаритам на бројот b до основата a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – децимален логаритам (логаритам до основата 10, a = 10);
- ln b – природен логаритам (логаритам до основата e, a = e).
Како да се решат логаритми?
Логаритмот од b до основата a е експонент кој бара b да се подигне на основата a. Добиениот резултат се изговара вака: „логаритам од b до основата a“. Решението за логаритамските проблеми е тоа што треба да одредите дадена моќност во бројки според посочените броеви. Постојат некои основни правила за одредување или решавање на логаритам, како и конвертирање на самата нотација. Користејќи ги, се решаваат логаритамски равенки, се наоѓаат изводи, се решаваат интеграли и се вршат многу други операции. Во основа, решението на самиот логаритам е неговата поедноставена нотација. Подолу се дадени основните формули и својства:
За било кој а ; a > 0; a ≠ 1 и за кој било x; y > 0.
- a log a b = b – основен логаритамски идентитет
- логирај а 1 = 0
- лога a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x, за k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – формула за преместување во нова база
- log a x = 1/log x a
Како да решавате логаритми - чекор-по-чекор инструкции за решавање
- Прво, запишете ја потребната равенка.
Ве молиме имајте предвид: ако основниот логаритам е 10, тогаш записот е скратен, што резултира со децимален логаритам. Ако вреди природен бројд, потоа го запишуваме, скратувајќи го во природен логаритам. Ова значи дека резултатот на сите логаритми е моќноста на која се подига основниот број за да се добие бројот b.
Директно, решението лежи во пресметувањето на овој степен. Пред да се реши изразот со логаритам, тој мора да се поедностави според правилото, односно со користење на формули. Главните идентитети можете да ги најдете ако се вратите малку назад во статијата.
Собирање и одземање логаритми со два различни броја, но со по истите основи, заменете со еден логаритам со производот или поделбата на броевите b и c, соодветно. Во овој случај, можете да ја примените формулата за преместување во друга база (види погоре).
Ако користите изрази за поедноставување на логаритам, има некои ограничувања што треба да се земат предвид. А тоа е: основата на логаритмот a е само позитивен број, но не е еднаков на еден. Бројот b, како a, мора да биде поголем од нула.
Има случаи каде што, со поедноставување на изразот, нема да можете нумерички да го пресметате логаритамот. Се случува таквиот израз да нема смисла, бидејќи многу сили се ирационални броеви. Под овој услов, оставете ја моќноста на бројот како логаритам.
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска процедура, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини органи на територијата на Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Денес ќе разговараме за логаритамски формулиа ние ќе дадеме индикативно примери за решенија.
Тие самите имплицираат шеми на решенија според основните својства на логаритмите. Пред да примените логаритамски формули за решавање, да ве потсетиме на сите својства:
Сега, врз основа на овие формули (својства), ќе покажеме примери за решавање логаритми.
Примери за решавање на логаритми врз основа на формули.
ЛогаритамПозитивен број b за основата a (означен со лог a b) е експонент на кој мора да се подигне a за да се добие b, со b > 0, a > 0 и 1.
Според дефиницијата, log a b = x, што е еквивалентно на x = b, затоа log a a x = x.
Логаритми, примери:
дневник 2 8 = 3, бидејќи 2 3 = 8
дневник 7 49 = 2, бидејќи 7 2 = 49
дневник 5 1/5 = -1, бидејќи 5 -1 = 1/5
Децимален логаритам- ова е обичен логаритам, чија основа е 10. Се означува како lg.
дневник 10 100 = 2, бидејќи 10 2 = 100
Природен логаритам- исто така обичен логаритам, логаритам, но со основа e (e = 2,71828... - ирационален број). Означено како ln.
Препорачливо е да се запаметат формулите или својствата на логаритмите, бидејќи тие ќе ни требаат подоцна при решавање на логаритми, логаритамски равенки и неравенки. Ајде да работиме низ секоја формула повторно со примери.
- Основен логаритамски идентитет
а дневник a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Логаритам на производот еднаков на збиротлогаритми
log a (bc) = log a b + log a cдневник 3 8,1 + дневник 3 10 = дневник 3 (8,1*10) = дневник 3 81 = 4
- Логаритмот на количникот е еднаков на разликата на логаритмите
log a (b/c) = log a b - log a c9 дневник 5 50 /9 лог 5 2 = 9 дневник 5 50- лог 5 2 = 9 лог 5 25 = 9 2 = 81
- Својства на моќноста на логаритамскиот број и основата на логаритамот
Експонент на логаритамскиот број log a b m = mlog a b
Експонент на основата на логаритамот log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ако m = n, добиваме log a n b n = log a b
дневник 4 9 = дневник 2 2 3 2 = дневник 2 3
- Транзиција кон нова основа
log a b = log c b/log c a,ако c = b, добиваме log b b = 1
тогаш log a b = 1/log b a
лог 0,8 3*лог 3 1,25 = лог 0,8 3*лог 0,8 1,25/лог 0,8 3 = лог 0,8 1,25 = лог 4/5 5/4 = -1
Како што можете да видите, формулите за логаритми не се толку комплицирани како што изгледаат. Сега, гледајќи во примери за решавање логаритми, можеме да преминеме на логаритамски равенки. Ќе разгледаме примери за решавање на логаритамски равенки подетално во статијата: "". Не пропуштајте!
Ако сè уште имате прашања за решението, напишете ги во коментарите на статијата.
Забелешка: решивме да добиеме поинаков степен на образование и да студираме во странство како опција.
Следи од неговата дефиниција. И така логаритамот на бројот ббазирано на Асе дефинира како експонент до кој мора да се подигне број аза да го добиете бројот б(логаритам постои само за позитивни броеви).
Од оваа формулација произлегува дека пресметката x=log a b, е еквивалентно на решавање на равенката a x =b.На пример, дневник 2 8 = 3бидејќи 8 = 2 3 . Формулирањето на логаритмот овозможува да се оправда дека ако b=a c, потоа логаритам на бројот ббазирано на аеднакви Со. Исто така, јасно е дека темата за логаритми е тесно поврзана со темата за силите на бројот.
Со логаритми, како и со сите броеви, можете да направите операции собирање, одземањеи да се трансформираат на секој можен начин. Но, поради фактот што логаритмите не се сосема обични броеви, овде важат нивните посебни правила, кои се нарекуваат главните својства.
Собирање и одземање логаритми.
Да земеме два логаритами со исти основи: логирајте xИ најавите y. Тогаш е можно да се извршат операции за собирање и одземање:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
дневник а(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = логирајте x 1 + логирајте x 2 + логирајте x 3 + ... + log a x k.
Од Теорема за логаритамски количникМоже да се добие уште едно својство на логаритмот. Општо познато е дека дневникот а 1= 0, значи
дневник а 1 /б= дневник а 1 - дневник а б= -лог а б.
Ова значи дека постои еднаквост:
log a 1 / b = - log a b.
Логаритми од два реципрочни бројаод истата причина ќе се разликуваат едни од други исклучиво по знак. Значи:
Дневник 3 9= - дневник 3 1 / 9 ; дневник 5 1 / 125 = - дневник 5 125.