Поделете неправилна дропка со природен број. Операции со дропки
За да решите разни проблеми од курсевите по математика и физика, треба да поделите дропки. Многу е лесно да се направи ако знаете одредени правилаизведете ја оваа математичка операција.
Пред да продолжиме со формулирањето на правилото за делење дропки, да се потсетиме на некои математички поими:
- Горниот дел од дропката се нарекува броител, а долниот дел се нарекува именител.
- При делење, броевите се повикуваат на следниов начин: дивиденда: делител = количник
Како да се делат дропки: едноставни дропки
За да поделите две едноставни дропки, помножете ја дивидендата со реципроцитет на делителот. Оваа дропка се нарекува и превртена бидејќи се добива со замена на броителот и именителот. На пример:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Како да се делат дропки: мешани дропки
Ако треба да делиме мешани фракции, тогаш сè овде е исто така прилично едноставно и јасно. Прво мешаната дропка ја претвораме во правилна дропка Не правилна дропка. За да го направите ова, помножете го именителот на таквата дропка со цел број и додадете го броителот на добиениот производ. Како резултат на тоа, добивме нов броител мешана фракција, а неговиот именител ќе остане непроменет. Понатаму, поделбата на дропки ќе се изврши на ист начин како и поделбата на едноставни дропки. На пример:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Како да се подели дропка со број
За да се подели проста дропка со број, вториот треба да се запише како дропка (неправилна). Ова е многу лесно да се направи: овој број е напишан наместо броителот, а именителот на таква дропка е еднаков на еден. Понатамошната поделба се изведува на вообичаен начин. Да го погледнеме ова со пример:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Како да се делат децимали
Често возрасен има потешкотии да подели цел број или децимална дропка со децимална дропка без помош на калкулатор.
Значи, за да ги поделите децималите, само треба да ја прецртате запирката во делителот и да престанете да обрнувате внимание на неа. Во дивидендата, запирката мора да се помести надесно точно онолку места колку што беше во фракциониот дел од делителот, доколку е потребно, додавајќи нули. И тогаш тие ја вршат вообичаената поделба со цел број. За да го направите ова појасно, разгледајте го следниов пример.
§ 87. Собирање на дропки.
Собирањето дропки има многу сличности со собирањето цели броеви. Собирањето на дропки е дејство кое се состои во тоа што неколку дадени броеви (поими) се комбинираат во еден број (збир), кој ги содржи сите единици и фракции на единиците на поимите.
Ќе разгледаме три случаи последователно:
1. Собирање на дропки со исти именители.
2. Собирање на дропки со различни именители.
3. Собирање на мешани броеви.
1. Собирање на дропки со слични именители.
Размислете за пример: 1/5 + 2/5.
Да ја земеме отсечката AB (сл. 17), да ја земеме како една и да ја поделиме на 5 еднакви делови, тогаш делот AC од оваа отсечка ќе биде еднаков на 1/5 од отсечката AB, а дел од истата отсечка CD ќе биде еднаков на 2/5 АБ.
Од цртежот е јасно дека ако ја земеме отсечката AD, таа ќе биде еднаква на 3/5 AB; но отсечката AD е токму збирот на отсечките AC и CD. Така можеме да напишеме:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Со оглед на овие членови и добиениот збир, гледаме дека броителот на збирот е добиен со собирање на броителите на членовите, а именителот останал непроменет.
Од ова го добиваме следново правило: За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите истиот именител.
Ајде да погледнеме на пример:
2. Собирање на дропки со различни именители.
Да ги додадеме дропките: 3 / 4 + 3 / 8 Прво треба да се сведе на најмал заеднички именител:
Не можеше да се напише средната врска 6/8 + 3/8; го напишавме овде за јасност.
Така, за да додадете дропки со различни именители, прво мора да ги намалите на најмал заеднички именител, да ги додадете нивните броители и да го означите заедничкиот именител.
Да разгледаме пример (ќе напишеме дополнителни фактори над соодветните фракции):
3. Собирање на мешани броеви.
Да ги собереме броевите: 2 3/8 + 3 5/6.
Ајде прво да ги донесеме дробните делови од нашите броеви до заеднички именител и да ги преработиме повторно:
Сега последователно ги додаваме целобројните и фракционите делови:
§ 88. Одземање на дропки.
Одземањето на дропките се дефинира на ист начин како и одземањето на цели броеви. Ова е дејство со чија помош, со оглед на збирот на два члена и еден од нив, се наоѓа друг член. Да разгледаме три случаи последователно:
1. Одземање дропки со слични именители.
2. Одземање на дропки со различни именители.
3. Одземање на мешани броеви.
1. Одземање дропки со слични именители.
Ајде да погледнеме на пример:
13 / 15 - 4 / 15
Да ја земеме отсечката AB (сл. 18), да ја земеме како единица и да ја поделиме на 15 еднакви делови; тогаш делот AC од овој сегмент ќе претставува 1/15 од AB, а делот AD од истиот сегмент ќе одговара на 13/15 AB. Дозволете ни да одвоиме друга отсечка ED еднаква на 4/15 AB.
Дропката 4/15 треба да ја одземеме од 13/15. На цртежот, тоа значи дека сегментот ED мора да се одземе од сегментот AD. Како резултат на тоа, сегментот AE ќе остане, што е 9/15 од сегментот AB. Така можеме да напишеме:
Примерот што го направивме покажува дека броителот на разликата е добиен со одземање на броителите, но именителот останал ист.
Затоа, за да се одземат дропки со слични именители, треба да се одземе броителот на подлогата од броителот на минуендот и да се остави истиот именител.
2. Одземање на дропки со различни именители.
Пример. 3/4 - 5/8
Прво, да ги намалиме овие дропки на најмал заеднички именител:
Средното 6 / 8 - 5 / 8 е напишано овде за јасност, но може да се прескокне подоцна.
Така, за да одземете дропка од дропка, прво мора да ги намалите на најмал заеднички именител, потоа да го одземете броителот на минуендот од броителот на минуендот и да го потпишете заедничкиот именител под нивната разлика.
Ајде да погледнеме на пример:
3. Одземање на мешани броеви.
Пример. 10 3/4 - 7 2/3.
Дозволете ни да ги намалиме дробните делови од минуендот и да ги подземиме на најмал заеднички именител:
Одземавме целина од целина и дропка од дропка. Но, има случаи кога фракциониот дел од подлогата е поголем од фракциониот дел од минуендот. Во такви случаи, треба да земете една единица од целиот дел од минуендот, да ја поделите на оние делови во кои е изразен фракциониот дел и да ја додадете во дробниот дел од минуендот. И тогаш одземањето ќе се изврши на ист начин како во претходниот пример:
§ 89. Множење на дропки.
Кога го проучуваме множењето на дропките ќе разгледаме следните прашања:
1. Множење на дропка со цел број.
2. Наоѓање на дропка од даден број.
3. Множење цел број со дропка.
4. Множење на дропка со дропка.
5. Множење на мешани броеви.
6. Концептот на интерес.
7. Наоѓање на процентот на даден број. Ајде да ги разгледаме последователно.
1. Множење на дропка со цел број.
Множењето на дропка со цел број има исто значење како и множењето на цел број со цел број. Да се помножи дропка (множител) со цел број (фактор) значи да се создаде збир од идентични членови, во кои секој член е еднаков на множителот, а бројот на членовите е еднаков на множителот.
Ова значи дека ако треба да помножите 1/9 со 7, тогаш тоа може да се направи вака:
Лесно го добивме резултатот, бидејќи дејството се сведе на собирање дропки со исти именители. Оттука,
Разгледувањето на ова дејство покажува дека множењето на дропка со цел број е еквивалентно на зголемување на оваа дропка онолку пати колку што има единици во целиот број. А бидејќи зголемувањето на дропка се постигнува или со зголемување на неговиот броител
или со намалување на неговиот именител 
, тогаш можеме или да го помножиме броителот со цел број или да го поделиме именителот со него, доколку таквото делење е можно.
Од тука го добиваме правилото:
За да помножите дропка со цел број, броителот го множите со цел број и го оставате именителот ист, или ако е можно, именителот го делите со тој број, оставајќи го броителот непроменет.
При множење, можни се кратенки, на пример:
2. Наоѓање на дропка од даден број.Има многу проблеми во кои треба да најдете, или пресметате, дел од даден број. Разликата помеѓу овие проблеми и другите е во тоа што тие го даваат бројот на некои предмети или мерни единици и треба да пронајдете дел од овој број, кој исто така овде е означен со одредена дропка. За да го олесниме разбирањето, прво ќе дадеме примери за вакви проблеми, а потоа ќе воведеме метод за нивно решавање.
Задача 1.Имав 60 рубли; Потрошив 1/3 од овие пари за купување книги. Колку чинеле книгите?
Задача 2.Возот мора да помине растојание помеѓу градовите А и Б еднакво на 300 km. Тој веќе помина 2/3 од ова растојание. Колку километри е ова?
Задача 3.Во селото има 400 куќи, од кои 3/4 се тули, останатите се дрвени. Колку куќи од тули има вкупно?
Ова се некои од многуте проблеми со кои се среќаваме за да најдеме дел од даден број. Тие обично се нарекуваат проблеми за да се најде дропка од даден број.
Решение за проблемот 1.Од 60 рубли. Потрошив 1/3 на книги; Ова значи дека за да ја пронајдете цената на книгите, треба да го поделите бројот 60 со 3:
Решавање на проблем 2.Поентата на проблемот е што треба да најдете 2/3 од 300 км. Прво да пресметаме 1/3 од 300; тоа се постигнува со делење на 300 km со 3:
300: 3 = 100 (тоа е 1/3 од 300).
За да најдете две третини од 300, треба да го удвоите добиениот количник, т.е. да се помножите со 2:
100 x 2 = 200 (тоа е 2/3 од 300).
Решавање на проблем 3.Овде треба да го одредите бројот на куќи од тули што сочинуваат 3/4 од 400. Прво да најдеме 1/4 од 400,
400: 4 = 100 (тоа е 1/4 од 400).
За да се пресметаат три четвртини од 400, добиениот количник мора да се тројно, односно да се помножи со 3:
100 x 3 = 300 (тоа е 3/4 од 400).
Врз основа на решението на овие проблеми, можеме да го изведеме следново правило:
За да ја пронајдете вредноста на дропка од даден број, треба да го поделите овој број со именителот на дропката и да го помножите добиениот количник со неговиот броител.
3. Множење цел број со дропка.
Претходно (§ 26) беше утврдено дека множењето на цели броеви треба да се сфати како собирање на идентични членови (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Во овој став (точка 1) беше утврдено дека множењето на дропка со цел број значи наоѓање на збир на идентични членови еднаков на оваа дропка.
Во двата случаи, множењето се состоеше од наоѓање на збир на идентични членови.
Сега продолжуваме да множиме цел број со дропка. Овде ќе сретнеме, на пример, множење: 9 2 / 3. Јасно е дека претходната дефиниција за множење не важи за овој случај. Ова е очигледно од фактот дека не можеме да го замениме таквото множење со собирање еднакви броеви.
Поради ова, ќе треба да дадеме нова дефиниција за множење, односно, со други зборови, да одговориме на прашањето што треба да се разбере со множење со дропка, како треба да се разбере ова дејство.
Значењето на множење цел број со дропка е јасно од следнава дефиниција: множење на цел број (множител) со дропка (множител) значи наоѓање на оваа дропка од множителот.
Имено, множењето 9 со 2/3 значи да се најдат 2/3 од девет единици. Во претходниот став, ваквите проблеми беа решени; па лесно е да сфатиме дека ќе завршиме со 6.
Но, сега има интересно и важно прашање: зошто се вакви на прв поглед? различни акциикако да се најде збирот еднакви броевии наоѓање на дропки од броеви, во аритметиката се нарекува ист збор „множење“?
Ова се случува затоа што претходното дејство (повторување на број со членови неколку пати) и новото дејство (пронаоѓање на дропка од број) даваат одговори на хомогени прашања. Ова значи дека овде произлегуваме од размислувањата дека хомогени прашања или задачи се решаваат со исто дејство.
За да го разберете ова, размислете за следниот проблем: „1 м ткаенина чини 50 рубли. Колку ќе чини 4 м ваква ткаенина?
Овој проблем се решава со множење на бројот на рубли (50) со бројот на метри (4), односно 50 x 4 = 200 (рубли).
Да го земеме истиот проблем, но во него количината на ткаенина ќе биде изразена како дропка: „1 м ткаенина чини 50 рубли. Колку ќе чинат 3/4 m од таквата ткаенина?“
Овој проблем, исто така, треба да се реши со множење на бројот на рубли (50) со бројот на метри (3/4).
Можете да ги менувате броевите во него уште неколку пати, без да го менувате значењето на проблемот, на пример, земете 9/10 m или 2 3/10 m итн.
Бидејќи овие проблеми имаат иста содржина и се разликуваат само по бројки, дејствата што се користат при нивното решавање ги нарекуваме ист збор - множење.
Како се множи цел број со дропка?
Да ги земеме бројките што се сретнаа во последниот проблем:
Според дефиницијата, мора да најдеме 3/4 од 50. Прво да најдеме 1/4 од 50, а потоа 3/4.
1/4 од 50 е 50/4;
3/4 од бројот 50 е.
Оттука.
Да разгледаме уште еден пример: 12 5 / 8 =?
1/8 од бројот 12 е 12/8,
5/8 од бројот 12 е.
Оттука,
Од тука го добиваме правилото:
За да помножите цел број со дропка, треба да го помножите целиот број со броителот на дропката и да го направите овој производ броител, а именителот на оваа дропка да го потпишете како именител.
Ајде да го напишеме ова правило користејќи букви:
За да биде целосно јасно ова правило, треба да се запомни дека дропка може да се смета како количник. Затоа, корисно е да се спореди пронајденото правило со правилото за множење на број со количник, што беше наведено во § 38
Важно е да се запамети дека пред да извршите множење, треба да направите (ако е можно) намалувања, На пример:
4. Множење на дропка со дропка.Множењето дропка со дропка го има истото значење како и множењето цел број со дропка, т.е. кога множете дропка со дропка, треба да ја пронајдете дропот што е во факторот од првата дропка (множителот).
Имено, множењето 3/4 со 1/2 (половина) значи да се најде половина од 3/4.
Како се множи дропка со дропка?
Да земеме пример: 3/4 помножено со 5/7. Ова значи дека треба да најдете 5/7 од 3/4. Прво да најдеме 1/7 од 3/4, а потоа 5/7
1/7 од бројот 3/4 ќе се изрази на следниов начин:
5/7 броевите 3/4 ќе бидат изразени на следниов начин:
Така,
Друг пример: 5/8 помножено со 4/9.
1/9 од 5/8 е,
4/9 од бројот 5/8 е .
Така, 
Од овие примери може да се заклучи следново правило:
За да помножите дропка со дропка, треба да го помножите броителот со броителот, а именителот со именителот, и првиот производ да го направите броител, а вториот производ именителот на производот.
Ова е правило во општ погледможе да се напише вака:
При множење потребно е да се направат (ако е можно) намалувања. Ајде да погледнеме примери:
5. Множење на мешани броеви.Бидејќи мешаните броеви лесно можат да се заменат со несоодветни дропки, оваа околност обично се користи при множење мешани броеви. Ова значи дека во случаите кога множителот, или множителот, или двата фактора се изразуваат како мешани броеви, тие се заменуваат со неправилни дропки. Ајде да помножиме, на пример, мешани броеви: 2 1/2 и 3 1/5. Ајде да ја претвориме секоја од нив во неправилна дропка и потоа да ги помножиме добиените дропки според правилото за множење дропка со дропка:
Правило.За да множите мешани броеви, прво мора да ги претворите во неправилни дропки, а потоа да ги помножите според правилото за множење дропки со дропки.
Забелешка.Ако еден од факторите е цел број, тогаш множењето може да се изврши врз основа на законот за распределба на следниов начин:
6. Концептот на интерес.Кога решаваме проблеми и правиме различни практични пресметки, користиме секакви дропки. Но, мора да се има на ум дека многу количини дозволуваат не било какви, туку природни поделби за нив. На пример, може да земете една стотинка (1/100) од рубљата, тоа ќе биде копек, две стотинки се 2 копејки, три стотинки се 3 копејки. Можете да земете 1/10 од рубљата, тоа ќе биде "10 копејки, или парче од десет копејки. Можете да земете четвртина рубља, т.е. 25 копејки, половина рубља, т.е. 50 копејки (педесет копејки). Но. тие практично не земаат, на пример, 2/7 од рубљата бидејќи рубљата не е поделена на седми.
Единицата за тежина, т.е. килограм, првенствено дозволува децимални делби, на пример 1/10 kg или 100 g. А таквите фракции од килограм како 1/6, 1/11, 1/13 не се вообичаени.
Генерално, нашите (метрички) мерки се децимални и дозволуваат децимални поделби.
Сепак, треба да се забележи дека е исклучително корисно и погодно во широк спектар на случаи да се користи истиот (униформа) метод за поделба на количините. Долгогодишното искуство покажа дека таквата добро оправдана поделба е поделбата „стотка“. Да разгледаме неколку примери кои се однесуваат на најразновидните области на човековата практика.
1. Цената на книгите е намалена за 12/100 од претходната цена.
Пример. Претходната цена на книгата беше 10 рубли. Се намали за 1 рубља. 20 копејки
2. Штедилниците на штедачите им исплаќаат 2/100 од депонираниот износ за штедење во текот на годината.
Пример. Во касата се депонираат 500 рубли, приходот од оваа сума за годината е 10 рубли.
3. Бројот на матуранти од едно училиште бил 5/100 од вкупниот број ученици.
ПРИМЕР Во училиштето имало само 1.200 ученици, од кои 60 дипломирале.
Стотиот дел од бројот се нарекува процент.
Зборот „процент“ е позајмен од Латински јазика неговиот корен „цент“ значи сто. Заедно со предлогот (pro centum), овој збор значи „за сто“. Значењето на таквиот израз произлегува од фактот дека првично во антички Римкаматата биле парите што должникот му ги плаќал на заемодавачот „за секои сто“. Зборот „цент“ се слуша со такви познати зборови: центнер (сто килограми), сантиметар (да речеме сантиметар).
На пример, наместо да кажеме дека во изминатиот месец фабриката произвела 1/100 од сите производи произведени од неа биле неисправни, ќе кажеме вака: во изминатиот месец фабриката произвела еден процент од дефектите. Наместо да кажеме: комбинатот произведе 4/100 производи повеќе од утврдениот план, ќе речеме: комбинатот го надмина планот за 4 проценти.
Горенаведените примери може да се изразат поинаку:
1. Цената на книгите е намалена за 12 отсто од претходната цена.
2. Штедилниците на штедачите им исплаќаат 2 отсто годишно на износот што е депониран во штедните влогови.
3. Бројот на матуранти од едно училиште бил 5 проценти од сите ученици.
За да се скрати буквата, вообичаено е да се напише симболот % наместо зборот „процент“.
Сепак, треба да запомните дека при пресметките знакот % обично не е напишан; може да се напише во изјавата за проблемот и во конечниот резултат. Кога вршите пресметки, наместо цел број со овој симбол треба да напишете дропка со именител 100.
Треба да можете да замените цел број со наведената икона со дропка со именител 100:
Спротивно на тоа, треба да се навикнете да пишувате цел број со наведениот симбол наместо дропка со именител 100:
7. Наоѓање на процентот на даден број.
Задача 1.Училиштето доби 200 кубни метри. м огревно дрво, при што огревното дрво од бреза учествува со 30%. Колку огревно дрво од бреза имаше?
Значењето на овој проблем е дека огревното дрво од бреза сочинувало само дел од огревното дрво што било доставено до училиштето, а тој дел е изразен во дропка 30/100. Тоа значи дека имаме задача да најдеме дропка од број. За да го решиме, мора да помножиме 200 со 30/100 (проблеми со наоѓање на дропка од број се решаваат со множење на бројот со дропка.).
Ова значи дека 30% од 200 е еднакво на 60.
Дропката 30/100 што се среќава во овој проблем може да се намали за 10. Би било можно да се направи ова намалување од самиот почеток; решението на проблемот немаше да се промени.
Задача 2.Во кампот имало 300 деца различни возрасти. Децата на 11 години сочинуваат 21%, децата на 12 години сочинуваат 61% и на крајот децата на 13 години сочинуваат 18%. Колку деца од секоја возраст имаше во кампот?
Во овој проблем треба да направите три пресметки, односно последователно да го пронајдете бројот на деца на 11 години, потоа 12 години и на крајот 13 години.
Ова значи дека тука ќе треба да ја пронајдете дропот од бројот три пати. Ајде да го направиме тоа:
1) Колку 11-годишни деца имаше?
2) Колку 12-годишни деца имаше?
3) Колку 13-годишни деца имаше?
По решавањето на проблемот, корисно е да се додадат пронајдените броеви; нивниот збир треба да биде 300:
63 + 183 + 54 = 300
Исто така, треба да се забележи дека збирот на процентите дадени во изјавата за проблемот е 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ова сугерира дека вкупен бројдецата во кампот беа земени како 100%.
3 и ч и 3.Работникот добивал 1.200 рубли месечно. Од нив 65% потрошил за храна, 6% за станови и греење, 4% за гас, струја и радио, 10% за културни потреби и 15% заштеди. Колку пари се потрошени за потребите наведени во задачата?
За да го решите овој проблем треба 5 пати да ја пронајдете дропот од 1200. Ајде да го направиме ова.
1) Колку пари се потрошени за храна? Проблемот вели дека овој трошок е 65% од вкупната заработка, односно 65/100 од бројот 1.200. Да ја направиме пресметката:
2) Колку пари плати за стан со парно? Расудувајќи слично како претходното, доаѓаме до следната пресметка:
3) Колку пари плативте за гас, струја и радио?
4) Колку пари се потрошени за културни потреби?
5) Колку пари заштедил работникот?
За да проверите, корисно е да ги соберете броевите пронајдени во овие 5 прашања. Износот треба да биде 1.200 рубли. Сите приходи се земаат како 100%, што е лесно да се провери со собирање на процентуалните броеви дадени во изјавата за проблемот.
Решивме три проблеми. И покрај тоа што овие проблеми се занимаваа со различни работи (испорака на огревно дрво за училиштето, број на деца од различна возраст, работнички трошоци), тие беа решени на ист начин. Ова се случи затоа што во сите проблеми беше неопходно да се најдат неколку проценти од дадените броеви.
§ 90. Поделба на дропки.
Додека ја проучуваме поделбата на дропки, ќе ги разгледаме следните прашања:
1. Поделете цел број со цел број.
2. Делење дропка со цел број
3. Делење цел број со дропка.
4. Делење дропка со дропка.
5. Поделба на мешани броеви.
6. Наоѓање број од неговата дадена дропка.
7. Наоѓање број според неговиот процент.
Ајде да ги разгледаме последователно.
1. Поделете цел број со цел број.
Како што беше наведено во одделот за цели броеви, поделбата е дејство што се состои во тоа што, со оглед на производот на два фактора (дивиденда) и еден од овие фактори (делител), се наоѓа друг фактор.
Разгледавме делење на цел број со цел број во делот за цели броеви. Таму наидовме на два случаи на делење: делење без остаток или „целосно“ (150: 10 = 15) и делење со остаток (100: 9 = 11 и 1 остаток). Затоа можеме да кажеме дека во полето на цели броеви, не е секогаш можна точна поделба, бидејќи дивидендата не е секогаш производ на делителот со цел број. По воведувањето на множење со дропка, може да се разгледа секој случај на делење цели броеви (само делењето со нула е исклучено).
На пример, делењето 7 со 12 значи наоѓање број чиј производ со 12 би бил еднаков на 7. Таков број е дропот 7/12 бидејќи 7/12 12 = 7. Друг пример: 14: 25 = 14 / 25, бидејќи 14 / 25 25 = 14.
Така, за да се подели цел број со цел број, треба да се создаде дропка чиј броител е еднаков на дивидендата, а именителот е еднаков на делителот.
2. Делење дропка со цел број.
Дропката 6/7 поделете ја со 3. Според дефиницијата за делење дадена погоре, овде го имаме производот (6/7) и еден од факторите (3); потребно е да се најде втор фактор кој, кога ќе се помножи со 3, ќе го даде дадениот производ 6/7. Очигледно, треба да биде три пати помал од овој производ. Тоа значи дека задачата што беше поставена пред нас беше да ја намалиме дропот 6/7 за 3 пати.
Веќе знаеме дека намалувањето на дропка може да се направи или со намалување на неговиот броител или со зголемување на неговиот именител. Затоа можете да напишете:
Во овој случај, броителот 6 е делив со 3, така што броителот треба да се намали за 3 пати.
Да земеме уште еден пример: 5 / 8 поделено со 2. Овде броителот 5 не е делив со 2, што значи дека именителот ќе треба да се помножи со овој број:
Врз основа на ова, може да се направи правило: За да се подели дропка со цел број, треба да се подели броителот на дропката со цел број.(ако е можно), оставајќи го истиот именител или помножете го именителот на дропката со овој број, оставајќи го истиот броител.
3. Делење цел број со дропка.
Нека е неопходно да се подели 5 со 1/2, т.е., да се најде број кој, откако ќе се помножи со 1/2, ќе го даде производот 5. Очигледно, овој број мора да биде поголем од 5, бидејќи 1/2 е соодветна дропка , а при множење на број, производот на соодветна дропка мора да биде помал од производот што се множи. За да биде ова појасно, ајде да ги запишеме нашите дејства на следниов начин: 5: 1 / 2 = X , што значи x 1 / 2 = 5.
Мора да најдеме таков број X , кој, ако се помножи со 1/2, ќе даде 5. Бидејќи множењето на одреден број со 1/2 значи наоѓање на 1/2 од овој број, тогаш, значи, 1/2 од непознатиот број X е еднакво на 5, а целиот број X двојно повеќе, т.е. 5 2 = 10.
Значи 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Ајде да провериме: 
Ајде да погледнеме друг пример. Да речеме дека сакате да поделите 6 со 2/3. Ајде прво да се обидеме да го најдеме саканиот резултат користејќи го цртежот (сл. 19).
Сл.19
Да нацртаме отсечка AB еднаква на 6 единици и да ја поделиме секоја единица на 3 еднакви делови. Во секоја единица, три третини (3/3) од целиот сегмент AB е 6 пати поголем, т.е. д. 18/3. Користејќи мали загради, ги поврзуваме 18-те добиени сегменти од 2; Ќе има само 9 сегменти. Тоа значи дека дропот 2/3 е содржан во 6 единици 9 пати, или, со други зборови, дропот 2/3 е 9 пати помал од 6 цели единици. Оттука,
Како да го добиете овој резултат без цртеж само користејќи пресметки? Да резонираме вака: треба да поделиме 6 со 2/3, т.е. треба да одговориме на прашањето колку пати 2/3 е содржано во 6. Прво да дознаеме: колку пати 1/3 е содржано во 6? Во цела единица има 3 третини, а во 6 единици има 6 пати повеќе, односно 18 третини; за да го најдеме овој број, мора да помножиме 6 со 3. Тоа значи дека 1/3 е содржана во b единици 18 пати, а 2/3 е содржана во b единици не 18 пати, туку половина од повеќе пати, т.е. 18: 2 = 9 Затоа, кога делиме 6 со 2/3 завршивме следните дејства:
Од тука го добиваме правилото за делење цел број со дропка. За да поделите цел број со дропка, треба да го помножите овој цел број со именителот на дадената дропка и, правејќи го овој производ броител, да го поделите со броителот на дадената дропка.
Ајде да го напишеме правилото користејќи букви:
За да биде целосно јасно ова правило, треба да се запомни дека дропка може да се смета како количник. Затоа, корисно е да се спореди правилото пронајдено со правилото за делење на број со количник, што беше наведено во § 38. Ве молиме имајте предвид дека истата формула беше добиена таму.
При делење, можни се кратенки, на пример:
4. Делење дропка со дропка.
Да речеме дека треба да поделиме 3/4 со 3/8. Што ќе значи бројот што произлегува од делењето? Ќе одговори на прашањето колку пати дропката 3/8 е содржана во дропката 3/4. За да го разбереме ова прашање, ајде да направиме цртеж (сл. 20).
Да земеме отсечка AB, да ја земеме како една, да ја поделиме на 4 еднакви делови и да означиме 3 такви дела. Сегментот AC ќе биде еднаков на 3/4 од сегментот AB. Сега да ја поделиме секоја од четирите оригинални отсечки на половина, тогаш отсечката AB ќе се подели на 8 еднакви делови и секој таков дел ќе биде еднаков на 1/8 од отсечката AB. Дозволете ни да поврземе 3 такви отсечки со лакови, тогаш секој од отсечките AD и DC ќе биде еднаков на 3/8 од отсечката AB. Цртежот покажува дека отсечка еднаква на 3/8 е содржана во отсечка еднаква на 3/4 точно 2 пати; Ова значи дека резултатот од поделбата може да се запише на следниов начин:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Ајде да погледнеме друг пример. Да речеме дека треба да се подели 15/16 со 3/32:
Можеме да расудуваме вака: треба да најдеме број кој, откако ќе се помножи со 3/32, ќе даде производ еднаков на 15/16. Ајде да ги напишеме пресметките вака:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 непознат број X се 15/16
1/32 од непознат број X е,
32/32 броеви X Шминка .
Оттука,
Така, за да поделите дропка со дропка, треба да го помножите броителот на првата дропка со именителот на втората, а именителот на првата дропка да го помножите со броителот на вториот и да го направите првиот производ броител, а вториот именителот.
Ајде да го напишеме правилото користејќи букви:
При делење, можни се кратенки, на пример:
5. Поделба на мешани броеви.
Кога се делат мешани броеви, тие прво мора да се претворат во неправилни дропки, а потоа добиените дропки мора да се поделат според правилата за делење дропки. Ајде да погледнеме на пример:
Ајде да ги претвориме мешаните броеви во неправилни дропки:
Сега да поделиме:
Така, за да ги делите мешаните броеви, треба да ги претворите во неправилни дропки, а потоа да делите користејќи го правилото за делење дропки.
6. Наоѓање број од неговата дадена дропка.
Меѓу различни задачина дропки, понекогаш има и такви во кои е дадена вредноста на некоја дропка од непознат број и треба да го пронајдете овој број. Овој тип на проблем ќе биде обратен на проблемот за наоѓање на дропка од даден број; таму беше даден број и се бараше да се најде некоја дропка од овој број, овде беше дадена дропка од број и се бараше самиот да се најде овој број. Оваа идеја ќе стане уште појасна ако се свртиме кон решавање на овој тип на проблем.
Задача 1.Првиот ден, стакларите застаклија 50 прозорци, што е 1/3 од сите прозорци на изградената куќа. Колку прозорци има во оваа куќа?
Решение.Проблемот вели дека 50 застаклени прозорци сочинуваат 1/3 од сите прозорци на куќата, што значи дека има вкупно 3 пати повеќе прозорци, т.е.
Куќата имаше 150 прозорци.
Задача 2.Продавницата продала 1.500 кг брашно, што е 3/8 од вкупната залиха на брашно што ја имала продавницата. Која беше почетната понуда на брашно во продавницата?
Решение.Од условите на проблемот е јасно дека 1.500 кг продадено брашно сочинуваат 3/8 од вкупната залиха; Ова значи дека 1/8 од оваа резерва ќе биде 3 пати помала, односно за да ја пресметате треба да намалите 1500 за 3 пати:
1.500: 3 = 500 (ова е 1/8 од резервата).
Очигледно, целата понуда ќе биде 8 пати поголема. Оттука,
500 8 = 4.000 (кг).
Почетната залиха на брашно во продавницата беше 4.000 кг.
Од разгледувањето на овој проблем, може да се изведе следново правило.
За да се најде број од дадена вредност на нејзината дропка, доволно е оваа вредност да се подели со броителот на дропката и да се помножи резултатот со именителот на дропката.
Решивме два задачи за наоѓање број со оглед на неговата дропка. Ваквите проблеми, како што особено јасно се гледа од последната, се решаваат со две дејства: делење (кога ќе се најде еден дел) и множење (кога ќе се најде целиот број).
Меѓутоа, откако ќе го научиме делењето на дропките, горенаведените задачи може да се решат со едно дејство и тоа: делење со дропка.
На пример, последната задача може да се реши со една акција како ова:
Во иднина ќе решаваме задачи за наоѓање број од неговата дропка со едно дејство - делење.
7. Наоѓање број според неговиот процент.
Во овие проблеми ќе треба да најдете број кој знае неколку проценти од тој број.
Задача 1.На почетокот на оваа година добив 60 рубли од штедилницата. приход од сумата што ја вложив во заштеди пред една година. Колку пари ставив во штедилницата? (Гасичките им даваат на штедачите поврат од 2% годишно.)
Поентата на проблемот е што ставив одредена сума пари во штедилница и останав таму една година. По една година добив 60 рубли од неа. приход, кој е 2/100 од парите што ги депонирав. Колку пари вложив?
Следствено, знаејќи дел од овие пари, изразени на два начина (во рубли и фракции), мора да ја најдеме целата, сè уште непозната сума. Ова е обичен проблем за наоѓање број со оглед на неговата дропка. Следниве проблеми се решаваат со делење:
Тоа значи дека во штедилницата биле депонирани 3.000 рубли.
Задача 2.Рибарите за две недели го исполнија месечниот план за 64 отсто, собирајќи 512 тони риба. Кој беше нивниот план?
Од условите на проблемот се знае дека рибарите завршиле дел од планот. Овој дел е еднаков на 512 тони, што е 64% од планот. Не знаеме колку тони риба треба да се подготват според планот. Пронаоѓањето на овој број ќе биде решение за проблемот.
Ваквите проблеми се решаваат со поделба:
Тоа значи дека според планот треба да се подготват 800 тони риба.
Задача 3.Возот тргна од Рига до Москва. Кога го поминал 276-от километар, еден од патниците го прашал кондуктерот кој минувал колку од патувањето веќе поминале. Кондуктерот на ова одговори: „Веќе покривавме 30% од целото патување“. Колку е растојанието од Рига до Москва?
Од проблематичните услови е јасно дека 30% од рутата од Рига до Москва е 276 км. Треба да го најдеме целото растојание помеѓу овие градови, т.е., за овој дел, да го најдеме целото:
§ 91. Реципрочни броеви. Замена на делењето со множење.
Да ја земеме дропот 2/3 и да го замениме броителот на местото на именителот, добиваме 3/2. Добивме инверзна дропка.
За да се добие инверзна дропка, треба да го ставите неговиот броител на местото на именителот, а именителот на местото на броителот. На овој начин можеме да го добиеме реципроцитетот на која било дропка. На пример:
3/4, обратна 4/3; 5/6, обратна 6/5
Две дропки кои имаат својство дека броителот на првиот е именителот на вториот, а именителот на првиот е броителот на вториот, се викаат меѓусебно инверзно.
Сега да размислиме која дропка ќе биде реципрочна од 1/2. Очигледно, ќе биде 2 / 1, или само 2. Со барање на инверзната дропка од дадената, добивме цел број. И овој случај не е изолиран; напротив, за сите дропки со броител 1 (еден), реципроците ќе бидат цели броеви, на пример:
1/3, обратна 3; 1/5, обратно 5
Бидејќи при пронаоѓањето на реципрочни дропки наидовме и на цели броеви, во продолжение ќе зборуваме не за реципрочни дропки, туку за реципрочни броеви.
Ајде да разбереме како да напишеме инверзна цел број. За дропки, ова може да се реши едноставно: треба да го ставите именителот на местото на броителот. На ист начин, можете да добиете инверзна на цел број, бидејќи секој цел број може да има именител 1. Тоа значи дека инверзната на 7 ќе биде 1/7, бидејќи 7 = 7/1; за бројот 10 инверзната ќе биде 1/10, бидејќи 10 = 10/1
Оваа идеја може да се изрази поинаку: реципроцитет на даден број се добива со делење на еден со даден број. Оваа изјава е точна не само за цели броеви, туку и за дропки. Всушност, ако треба да ја напишеме инверзната дропка 5/9, тогаш можеме да земеме 1 и да ја поделиме со 5/9, т.е.
Сега да истакнеме една работа имотреципрочни броеви, кои ќе ни бидат корисни: производот на реципрочните броеви е еднаков на еден.Навистина:
Користејќи го ова својство, можеме да најдеме реципрочни броеви на следниот начин. Да речеме дека треба да ја најдеме инверзната 8.
Да го означиме со буквата X , потоа 8 X = 1, оттука X = 1/8. Да најдеме друг број што е инверзен на 7/12 и да го означиме со буквата X , потоа 7/12 X = 1, оттука X = 1: 7 / 12 или X = 12 / 7 .
Овде го воведовме концептот на реципрочни броеви со цел малку да ги дополниме информациите за делење дропки.
Кога го делиме бројот 6 со 3/5, го правиме следново:
Ве молиме плати Посебно вниманиена изразот и спореди го со дадениот: .
Ако го земеме изразот одделно, без врска со претходниот, тогаш е невозможно да се реши прашањето од каде дошол: од делење 6 со 3/5 или од множење 6 со 5/3. Во двата случаи се случува истото. Затоа можеме да кажеме дека делењето на еден број со друг може да се замени со множење на дивидендата со инверзната на делителот.
Примерите што ги даваме подолу целосно го потврдуваат овој заклучок.
Дропка е еден или повеќе делови од целина, обично се зема како еден (1). Како и кај природните броеви, можете да ги извршите сите основни аритметички операции (собирање, одземање, делење, множење) со дропки; за да го направите ова, треба да ги знаете карактеристиките на работа со дропки и да ги разликувате нивните типови. Постојат неколку видови на дропки: децимални и обични или едноставни. Секој тип на дропка има свои специфики, но штом темелно ќе разберете како да се справите со нив, ќе можете да ги решите сите примери со дропки, бидејќи ќе ги знаете основните принципи за вршење аритметички пресметки со дропки. Ајде да погледнеме примери за тоа како да се подели дропка со цел број користејќи различни типовидропки.
Како да се подели едноставна дропка со природен број?Обични или едноставни дропки се дропки кои се пишуваат во форма на однос на броеви во кои дивидендата (броителот) е означена на врвот на дропката, а делителот (именителот) на дропката е означен на дното. Како да се подели таква дропка со цел број? Ајде да погледнеме пример! Да речеме дека треба да се подели 8/12 со 2.
За да го направите ова, мора да извршиме голем број дејства:
Така, ако се соочиме со задача да делиме дропка со цел број, дијаграмот за решение ќе изгледа вака: 
На сличен начин, можете да ја поделите секоја обична (едноставна) дропка со цел број.
Како да се подели децимална со цел број?
Децимална е дропка што се добива со делење на единица на десет, илјада и така натаму делови. Аритметичките операции со децимали се прилично едноставни.
Ајде да погледнеме пример за тоа како да се подели дропка со цел број. Да речеме дека треба да ја поделиме децималната дропка 0,925 со природниот број 5.
Да резимираме, да се задржиме на две главни точки кои се важни при извршувањето на операцијата за делење децимални фракции со цел број: - за разделба децималнаПоделбата на колоните се користи за природен број;
- Запирка се става во количник кога е завршена поделбата на целиот дел од дивидендата.
Обичните фракциони броеви најпрво ги среќаваат учениците од 5-то одделение и ги придружуваат во текот на нивниот живот, бидејќи во секојдневниот живот често е неопходно да се разгледа или да се користи предмет не како целина, туку во посебни парчиња. Почнете да ја проучувате оваа тема - споделува. Акциите се еднакви делови, на кој е поделен овој или оној објект. На крајот на краиштата, не е секогаш можно да се изрази, на пример, должината или цената на производот како цел број; делови или фракции од некоја мерка треба да се земат предвид. Формиран од глаголот „да се подели“ - да се дели на делови и со арапски корени, самиот збор „фракција“ се појавил на рускиот јазик во 8 век.
Дробните изрази долго време се сметаа за најтешката гранка на математиката. Во 17 век, кога се појавија првите учебници по математика, тие беа наречени „скршени броеви“, што беше многу тешко за луѓето да го разберат.
Модерен изгледедноставни фракциони остатоци, чии делови се одделени со хоризонтална линија, прв ги промовирал Фибоначи - Леонардо од Пиза. Неговите дела се датирани во 1202 година. Но, целта на оваа статија е едноставно и јасно да му објасни на читателот како се множат мешаните дропки со различни именители.
Множење дропки со различни именители
Првично вреди да се одреди видови дропки:
- точно;
- погрешно;
- измешани.
Следно, треба да запомните како се множат дробните броеви со исти именители. Самото правило на овој процес не е тешко да се формулира независно: резултатот од множење едноставни дропки со идентични именители е фракционо изразување, чиј броител е производ на броителите, а именителот е производ на именителот на овие дропки. . Тоа е, всушност, новиот именител е квадратот на еден од првично постоечките.
При множење едноставни дропки со различни именителиза два или повеќе фактори правилото не се менува:
а/б * в/г = a*c / b*d.
Единствената разлика е во тоа формиран бројпод дробната линија ќе биде производ на различни броеви и, природно, квадрат од еден нумерички изразневозможно е да се именува.
Вреди да се разгледа множењето на дропки со различни именители користејќи примери:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Примерите користат методи за намалување на дропските изрази. Можете да ги намалите броителите само со броеви именители; соседните фактори над или под линијата на дропка не може да се намалат.
Заедно со едноставните дропки, постои концептот на мешани дропки. Мешаниот број се состои од цел број и фракционо дел, односно тоа е збир на овие броеви:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Како функционира множењето?
Неколку примери се дадени за разгледување.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Примерот користи множење на број со обичен дробен дел, правилото за оваа акција може да се запише како:
а* б/в = a*b /в.
Всушност, таков производ е збир на идентични фракциони остатоци, а бројот на членовите го означува овој природен број. Посебен случај:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Постои уште едно решение за множење на број со фракционо остаток. Треба само да го поделите именителот со овој број:
г* д/ѓ = д/ѓ: г.
Оваа техника е корисна за употреба кога именителот е поделен со природен број без остаток или, како што велат, со цел број.
Претворете ги мешаните броеви во неправилни дропки и добијте го производот на претходно опишаниот начин:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Овој пример вклучува начин на претставување на мешана дропка како неправилна дропка, таа може да биде претставена и како општа формула:
а бв = a*b+ c / c, каде што именителот на новата дропка се формира со множење на целиот дел со именителот и собирање со броителот на првобитниот дробен остаток, а именителот останува ист.
Овој процес исто така функционира во задната страна. За да го одделите целиот дел и фракциониот остаток, треба да го поделите броителот на неправилна дропка со неговиот именител користејќи „агол“.
Множење на неправилни дропкипроизведуваат на општо прифатен начин. Кога пишувате под една линија на дропка, треба да ги намалите дропките колку што е потребно за да ги намалите броевите користејќи го овој метод и да го олесните пресметувањето на резултатот.
На Интернет има многу помошници за решавање дури и сложени проблеми. математички проблемиво различни програмски варијации. Доволен број такви услуги ја нудат својата помош при броење множење на дропки со различни броевиво именители - таканаречени онлајн калкулатори за пресметување дропки. Тие се способни не само да се множат, туку и да ги вршат сите други едноставни аритметички операции со обични дропки и мешани броеви. Не е тешко да се работи со тоа; ги пополнувате соодветните полиња на страницата на веб-страницата, го избирате знакот за математичката операција и кликнете „пресметај“. Програмата се пресметува автоматски.
Темата аритметички операции со дропки е актуелна во текот на образованието на средношколците и средношколците. Во средно училиште веќе не ги сметаат наједноставните видови, туку целина фракциони изрази , но знаењето за правилата за трансформација и пресметките добиени порано се применува во неговата оригинална форма. Добро научените основни знаења даваат целосна довербаво успешно решение најмногу сложени задачи.
Како заклучок, има смисла да се цитираат зборовите на Лев Николаевич Толстој, кој напиша: „Човекот е дропка. Не е во моќта на човекот да го зголеми својот броител - неговите заслуги - но секој може да го намали својот именител - своето мислење за себе, и со ова намалување да се доближи до неговото совршенство.
Се појавува поделба. Во оваа статија ќе зборуваме за делење на обични дропки. Прво, ќе дадеме правило за делење на обични дропки и ќе разгледаме примери за делење дропки. Следно ќе се фокусираме на делење обична дропка со природен број и броеви со дропка. Конечно, да погледнеме како да се подели заедничка дропка со мешан број.
Навигација на страница.
Делење на заедничка дропка со заедничка дропка
Познато е дека делењето е инверзно дејство на множењето (видете ја врската помеѓу делењето и множењето). Односно, поделбата вклучува пронаоѓање на непознат фактор кога производот и друг фактор се познати. Истото значење на делењето е зачувано и при делење на обични дропки.
Ајде да погледнеме примери за делење на обични дропки.
Забележете дека не треба да заборавиме на намалување на фракциите и одвојување на целиот дел од несоодветна дропка.
Делење дропка со природен број
Веднаш ќе го дадеме правило за делење дропка со природен број: за да се подели дропката a/b со природен број n, треба да го оставите броителот ист и да го помножите именителот со n, односно .
Ова правило за делење произлегува директно од правилото за делење на обични дропки. Навистина, претставувањето на природен број како дропка води до следните еднаквости 
.
Да го погледнеме примерот за делење дропка со број.
Пример.
Дропката 16/45 поделете ја со природниот број 12.
Решение.
Според правилото за делење дропка со број имаме 
. Ајде да ја направиме кратенката: . Оваа поделба е завршена.
Одговор:
.
Делење природен број со дропка
Слично е правилото за делење дропки правило за делење природен број со дропка: за да се подели природен број n со заедничка дропка a/b, треба да се помножи бројот n со реципроцитет на дропката a/b.
Според наведеното правило, и правилото за множење на природен број со обична дропка дозволува тој да се препише во форма.
Ајде да погледнеме на пример.
Пример.
Подели го природниот број 25 со дропката 15/28.
Решение.
Да преминеме од делење на множење, имаме 
. По намалувањето и изборот на целиот дел, добиваме .
Одговор:
.
Делење дропка со мешан број
Делење дропка со мешан бројлесно се сведува на делење обични дропки. За да го направите ова, доволно е да се спроведе