Со природен индикатор и неговите својства. Својства на степени, формулации, докази, примери

Јас.Работа nфактори, од кои секој е еднаков Аповикани n-та моќ на бројот Аи е назначен Аn.

Примери. Напишете го производот како диплома.

1) mmmm; 2) ааабб; 3) 5 5 5 5 кубика; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Решение.

1) mmmm=m 4, бидејќи, по дефиниција за степен, производ на четири фактори, од кои секој е еднаков м, ќе четврта сила од м.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · ccc = 5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3.

II.Дејството со кое се наоѓа производ на неколку еднакви фактори се нарекува степенување. Бројот што е подигнат на моќност се нарекува основа на моќноста. Бројот што покажува до која моќност е подигната основата се нарекува експонент. Значи, Аn- степен, А- основата на степенот, n– експонент. На пример:

2 3 — тоа е диплома. Број 2 е основата на степенот, експонентот е еднаков на 3 . Вредност на степенот 2 3 еднакви 8, бидејќи 2 3 =2·2·2=8.

Примери. Напиши ги следните изрази без експонентот.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Решение.

5) 4 3 = 4,4,4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = ааабццц; 7) a 3 -b 3 = ааа-ббб; 8) 2a 4 +3b 2 = 2аааа+3бб.

III.и 0 =1 Секој број (освен нула) до нулта моќ е еднаков на еден. На пример, 25 0 = 1.
IV. a 1 =аСекој број до првата моќност е еднаков на самиот себе.

В.м∙ a n= м + n При множење на силите со по истите основиосновата останува иста, а индикаторите превиткан

Примери. Поедностави:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Решение.

9) a·a 3·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI.м: a n= м - nКога се делат моќи со иста основа, основата се остава иста, а експонентот на делителот се одзема од експонентот на дивидендата.

Примери. Поедностави:

12) a 8:a 3; 13) m 11:m 4; 14) 5 6:5 4 .

12)а 8:а 3=a 8-3 =a 5; 13) m 11: m 4= m 11-4 = m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (м) n= мин При подигање на моќност на јачина, основата се остава иста, а експонентите се множат.

Примери. Поедностави:

15) (а 3) 4 ; 16) (в 5) 2.

15) (а 3) 4=a 3·4 =a 12; 16) (в 5) 2= c 5 2 = c 10.

Забелешка, што, бидејќи производот не се менува од преуредување на факторите, Тоа:

15) (а 3) 4 = (а 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

ВЈас II. (a∙b) n =a n ∙b n При подигање на производ до моќ, секој од факторите се подига на таа моќ.

Примери. Поедностави:

17) (2а 2) 5; 18) 0,2 6 5 6 ; 19) 0,25 2 40 2.

Решение.

17) (2а 2) 5=2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.

IX.При подигање на дропка на моќ, и броителот и именителот на дропот се подигнуваат на таа моќност.

Примери. Поедностави:

Решение.

Страница 1 од 1 1

Час на тема: „Правила за множење и делење на силите со исти и различни експоненти. Примери“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби. Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Наставни помагала и симулатори во онлајн продавницата Интеграл за 7 одделение
Прирачник за учебник Ју.Н. Макаричева Прирачник за учебникот од А.Г. Мордкович

Цел на часот: научете да изведувате операции со моќи на броеви.

Прво, да се потсетиме на концептот на „моќта на бројот“. Израз на формата $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ може да се претстави како $a^n$.

Обратно е исто така точно: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Оваа еднаквост се нарекува „запишување на степенот како производ“. Тоа ќе ни помогне да одредиме како да ги множиме и делиме силите.
Запомнете:
а– основата на степенот.
n– експонент.
Ако n=1, што значи бројот Азеде еднаш и соодветно: $a^n= 1$.
Ако n= 0, потоа $a^0= 1$.

Можеме да дознаеме зошто тоа се случува кога ќе се запознаеме со правилата за множење и делење на силите.

Правила за множење

а) Ако се помножат силите со иста основа.
За да добиеме $a^n * a^m$, ги запишуваме степените како производ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(м)$.
Сликата покажува дека бројот Аимаат преземено n+mпати, потоа $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Овој имот е погодно да се користи за да се поедностави работата кога се подига број на поголема моќност.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Ако се множат степени со различни основи, но ист експонент.
За да добиеме $a^n * b^n$, ги запишуваме степените како производ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(м)$.
Ако ги замениме факторите и ги изброиме добиените парови, добиваме: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Значи $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила за поделба

а) Основата на степенот е иста, индикаторите се различни.
Размислете за делење моќ со поголем експонент со делење моќ со помал експонент.

Значи, ни треба $\frac(a^n)(a^m)$, Каде n>m.

Да ги запишеме степените како дропка:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

За погодност, поделбата ја пишуваме како едноставна дропка.

Сега да ја намалиме фракцијата.

Излегува: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Средства, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Овој имот ќе помогне да се објасни ситуацијата со подигнување на број на нулта моќност. Да претпоставиме дека n=m, тогаш $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Примери.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Основите на степенот се различни, индикаторите се исти.
Да речеме дека $\frac(a^n)(b^n)$ е неопходен. Ајде да ги запишеме силите на броевите како дропки:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(b * b * \ldots * b )_(n))$.

За погодност, ајде да замислиме.

Користејќи го својството на дропки, ја делиме големата дропка на производ на мали, добиваме.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b))_(n)$.
Според тоа: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Пример.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

примарна цел

Да ги запознае учениците со својствата на степените со природните експоненти и да ги научи како да вршат операции со степени.

Тема „Степенот и неговите својства“вклучува три прашања:

• Одредување на степен со природен индикатор.
• Множење и делење на силите.
• Експоненција на производот и степенот.

Контролни прашања

1. Формулирајте ја дефиницијата за степен со природен експонент поголем од 1. Наведете пример.
2. Формулирајте ја дефиницијата за степен со експонент 1. Наведете пример.
3. Каков е редоследот на операциите при пресметување на вредноста на изразот што содржи моќи?
4. Формулирајте го главното својство на степенот. Наведи пример.
5. Формулирајте го правилото за множење на силите со исти основи. Наведи пример.
6. Формулирајте правило за поделба на силите со исти основи. Наведи пример.
7. Формулирајте го правилото за степенување на производ. Наведи пример. Докажете го идентитетот (ab) n = a n b n .
8. Формулирајте го правилото за подигање на моќ на моќ. Наведи пример. Докажете го идентитетот (a m) n = a m n .

Дефиниција на степен.

Моќта на бројот асо природен индикатор n, поголем од 1, е производ на n фактори, од кои секој е еднаков А. Моќта на бројот Асо експонент 1 е самиот број А.

Степен со основа Аи индикатор nе напишано вака: и n. Тоа гласи „ Адо одреден степен n”; „Н-ти моќ на број А ”.

По дефиниција за степен:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Наоѓањето на вредноста на моќта се нарекува со експоненцијација .

1. Примери за степенување:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Најдете ги значењата на изразите:

а) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Опција 1

а) 0,3 0,3 0,3

в) б б б б б б

г) (-x) (-x) (-x) (-x)

д) (аб) (аб) (аб)

2. Претстави го бројот како квадрат:

3. Претстави ги броевите како коцка:

4. Најдете ги значењата на изразите:

в) -1 4 + (-2) 3

г) -4 3 + (-3) 2

д) 100 - 5 2 4

Множење на силите.

За кој било број a и произволни броеви m и n важи следново:

a m a n = a m + n.

Доказ:

Правило : При множење на силите со исти основи, основите се оставаат исти, а експонентите на силите се собираат.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

а) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

б) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

в) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

г) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

д) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

а) 2 3 2 = 2 4 = 16

б) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Опција 1

1. Претстави како диплома:

а) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

б) a 6 a 2 g) 3 3 9

в) y 4 y h) 7 4 49

г) a a 8 i) 16 2 7

д) 2 3 2 4 ѕ) 0,3 3 0,09

2. Претстави како степен и најде ја вредноста од табелата:

а) 2 2 2 3 в) 8 2 5

б) 3 4 3 2 г) 27 243

Поделба на степени.

За кој било број a0 и произволни природни броеви m и n, така што m>n важи следново:

a m: a n = a m - n

Доказ:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

по дефиниција за количник:

a m: a n = a m - n.

Правило: Кога се делат моќи со иста основа, основата се остава иста, а експонентот на делителот се одзема од експонентот на дивидендата.

Дефиниција: Моќта на број а, не еднаков на нула, со нулта експонент е еднаква на еден:

бидејќи a n: a n = 1 на a0.

а) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

б) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

в) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6

г) од 5: од 0 = од 5: 1 = од 5

а) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

б) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

G)

г)

Опција 1

1. Претстави го количникот како моќност:

2. Најдете ги значењата на изразите:

Подигнување на моќта на производот.

За кои било a и b и произволен природен број n:

(ab) n = a n b n

Доказ:

По дефиниција за степен

(ab)n=

Групирајќи ги одделно факторите a и факторите b, добиваме:

=

Докажаното својство на моќноста на производот се протега на моќноста на производот на три или повеќе фактори.

На пример:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Правило: При подигање на производ на моќност, секој фактор се подига на таа моќност и резултатот се множи.

1. Подигнете до моќ:

а) (а б) 4 = а 4 б 4

б) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

в) (3 а) 4 = 3 4 а 4 = 81 а 4

г) (-5 y) 3 = (-5) 3 y 3 = -125 y 3

д) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2

д) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Најдете ја вредноста на изразот:

а) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

б) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000 = 90000

в) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

г) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

г)

Опција 1

1. Подигнете до моќ:

б) (2 а в) 4

д) (-0,1 x y) 3

2. Најдете ја вредноста на изразот:

б) (5 7 20) 2

Подигање до моќ на моќ.

За кој било број a и произволни природни броеви m и n:

(a m) n = a m n

Доказ:

По дефиниција за степен

(a m) n =

Правило: При подигање на моќност на јачина, основата се остава иста, а експонентите се множат.

1. Подигнете до моќ:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Поедностави ги изразите:

а) а 3 (а 2) 5 = а 3 а 10 = а 13

б) (б 3) 2 б 7 = б 6 б 7 = б 13

в) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

г) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

А)

б)

Опција 1

1. Подигнете до моќ:

а) (а 4) 2 б) (х 4) 5

в) (y 3) 2 г) (б 4) 4

2. Поедностави ги изразите:

а) а 4 (а 3) 2

б) (б 4) 3 б 5+

в) (x 2) 4 (x 4) 3

г) (y 9) 2

3. Најдете го значењето на изразите:

Апликација

Дефиниција на степен.

Опција 2

1. Напишете го производот како моќност:

а) 0,4 0,4 ​​0,4

в) а а а а а а а а

г) (-y) (-y) (-y) (-y)

д) (бс) (бс) (бс)

2. Претстави го бројот како квадрат:

3. Претстави ги броевите како коцка:

4. Најдете ги значењата на изразите:

в) -1 3 + (-2) 4

г) -6 2 + (-3) 2

д) 4 5 2 – 100

Опција 3

1. Напишете го производот како моќност:

а) 0,5 0,5 0,5

в) со со со со со со со со со со со

г) (-x) (-x) (-x) (-x)

д) (аб) (аб) (аб)

2. Претстави го бројот како квадрат: 100; 0,49; .

3. Претстави ги броевите како коцка:

4. Најдете ги значењата на изразите:

в) -1 5 + (-3) 2

г) -5 3 + (-4) 2

д) 5 4 2 - 100

Опција 4

1. Напишете го производот како моќност:

а) 0,7 0,7 0,7

в) x x x x x x

г) (-а) (-а) (-а)

д) (бс) (бс) (бс) (бц)

2. Претстави го бројот како квадрат:

3. Претстави ги броевите како коцка:

4. Најдете ги значењата на изразите:

в) -1 4 + (-3) 3

г) -3 4 + (-5) 2

д) 100 - 3 2 5

Множење на силите.

Опција 2

1. Претстави како диплома:

а) x 4 x 5 д) x 3 x 4 x 5

б) a 7 a 3 g) 2 3 4

в) y 5 y h) 4 3 16

г) a a 7 i) 4 2 5

д) 2 2 2 5 ѕ) 0,2 3 0,04

2. Претстави како степен и најде ја вредноста од табелата:

а) 3 2 3 3 в) 16 2 3

б) 2 4 2 5 г) 9 81

Опција 3

1. Претстави како диплома:

а) a 3 a 5 f) y 2 y 4 y 6

б) x 4 x 7 g) 3 5 9

в) b 6 b h) 5 3 25

г) y 8 i) 49 7 4

д) 2 3 2 6 ѕ) 0,3 4 0,27

2. Претстави како степен и најде ја вредноста од табелата:

а) 3 3 3 4 в) 27 3 4

б) 2 4 2 6 г) 16 64

Опција 4

1. Претстави како диплома:

а) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

б) x 7 x 8 g) 3 4 27

в) y 6 y h) 4 3 16

г) x x 10 i) 36 6 3

д) 2 4 2 5 ѕ) 0,2 2 0,008

2. Претстави како степен и најде ја вредноста од табелата:

а) 2 6 2 3 в) 64 2 4

б) 3 5 3 2 г) 81 27

Поделба на степени.

Опција 2

1. Претстави го количникот како моќност:

2. Најдете ги значењата на изразите.

Видео туторијал 2: Степен со природен индикатор и неговите својства

Предавање:

Степен со природен индикатор

Под степеннекој број "А"со некој индикатор "n"разбирање на производот на број "А"сам по себе "n"еднаш.

Кога зборуваме за степен со природен експонент, тоа значи дека бројот "n"мора да биде цел број, а не негативен.

А- основата на степенот, која покажува кој број треба да се помножи сам по себе,

n- експонент - кажува колку пати треба да се помножи основата сама по себе.

На пример:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Во овој случај, основата на степенот се подразбира дека е бројот „8“, експонентот на степенот е бројот „4“, а вредноста на степенот е бројот „4096“.

Најголемата и најчеста грешка при пресметување на степен е множење на експонентот со основата - ОВА НЕ Е ТОЧНО!

Кога зборуваме за степен со природен експонент, мислиме дека само експонентот (n)мора да биде природен број.

Можете да земете кој било број на бројната линија како основа.

На пример,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Математичката операција што се изведува врз основата и експонентот се нарекува степенување.

Собирањето\одземањето е математичка операција од првата фаза, множењето\делењето е дејство од втората фаза, подигањето моќ е математичко дејство од третата фаза, односно едно од највисоките.

Оваа хиерархија на математички операции го одредува редоследот во пресметката. Ако ова дејство се појави во задачи меѓу претходните две, тогаш тоа се прави прво.

На пример:

15 + 6 *2 2 = 39

Во овој пример, прво мора да подигнете 2 на моќност, т.е.

потоа помножете го резултатот со 6, т.е

Моќта со природен експонент се користи не само за специфични пресметки, туку и за практичноста за пишување големи броеви. Во овој случај, се користи и концептот „стандардна форма на број“. Оваа нотација вклучува множење на одреден број од 1 до 9 со моќ еднаква на 10 со одреден експонент.

На пример, за да го снимите радиусот на Земјата во стандардна форма, користете ја следната нотација:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

а масата на Земјата, на пример, е напишана на следниов начин:

Својства на степенот

За погодност за решавање на примери со степени, треба да ги знаете нивните основни својства:

1. Ако треба да помножите две сили кои имаат иста основа, тогаш во овој случај основата мора да се остави непроменета и да се додадат експонентите.

a n * a m = a n+m

На пример:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Ако е потребно да се поделат два степени кои имаат исти основи, тогаш во овој случај основата мора да се остави непроменета и да се одземат експонентите. Имајте предвид дека за операции со моќи со природен експонент, експонентот на дивидендата мора да биде поголем од експонентот на делителот. Во спротивно, количникот на ова дејство ќе биде број со негативен експонент.

a n / a m = a n-m

На пример,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Ако е неопходно да се подигне една моќност на друга, истиот број останува основата на резултатот, а експонентите се множат.

(a n) m = a n*m

На пример,

4. Ако е неопходно да се подигне производот на произволни броеви до одредена моќност, тогаш можете да користите одреден дистрибутивен закон, според кој го добиваме производот од различни бази со иста моќност.

(a * b) m = a m * b m

На пример,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Слично својство може да се користи за да се подели моќите, со други зборови, да се подигне обичен двојник на моќ.

(a / b) m = a m / b м

6. Секој број што е подигнат на експонент еднаков на еден е еднаков на оригиналниот број.

a 1 = a

На пример,

7. Кога ќе се подигне кој било број на моќност со експонент нула, резултатот од оваа пресметка секогаш ќе биде еден.

и 0 = 1

На пример,

Претходно веќе зборувавме за тоа што е моќ на број. Има одредени својства кои се корисни во решавањето на проблемите: тоа се сите можни индикатористепени што ќе ги испитаме во оваа статија. Исто така, јасно ќе покажеме со примери како тие можат да се докажат и правилно да се применат во пракса.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Да се ​​потсетиме на претходно формулираниот концепт за степен со природен експонент: ова е производ од n-тиот број на фактори, од кои секој е еднаков на a. Исто така, ќе треба да запомниме како правилно да ги множиме реалните броеви. Сето ова ќе ни помогне да ги формулираме следниве својства за степен со природен експонент:

Дефиниција 1

1. Главното својство на степенот: a m · a n = a m + n

Може да се генерализира на: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Својство на количникот за степени со исти основи: a m: a n = a m − n

3. Својство на моќноста на производот: (a · b) n = a n · b n

Равенството може да се прошири на: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n

4. Својство на количник на природен степен: (a: b) n = a n: b n

5. Подигнете ја моќноста на моќноста: (a m) n = a m n ,

Може да се генерализира на: (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 · n 2 · ... · n k

6. Споредете го степенот со нула:

• ако a > 0, тогаш за кој било природен број n, a n ќе биде поголем од нула;
• со еднаква на 0, a n исто така ќе биде еднаква на нула;
• на а< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• на а< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Еднаквост a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенството a m > a n ќе биде точно под услов m и n да се природни броеви, m да биде поголем од n и a да е поголем од нула и помал од еден.

Како резултат на тоа, добивме неколку еднаквости; доколку се исполнети сите услови наведени погоре, тие ќе бидат идентични. За секоја од еднаквостите, на пример, за главниот имот, можете да го замените правото и лева страна: a m · a n = a m + n - исто што и a m + n = a m · a n. Во оваа форма често се користи за поедноставување на изразите.

1. Да почнеме со основното својство на степенот: еднаквоста a m · a n = a m + n ќе биде точно за секое природно m и n и реално a. Како да се докаже оваа изјава?

Основната дефиниција на моќи со природни експоненти ќе ни овозможи да ја трансформираме еднаквоста во производ на фактори. Ќе добиеме ваков рекорд:

Ова може да се скрати на (сетете се на основните својства на множењето). Како резултат на тоа, ја добивме моќта на бројот a со природен експонент m + n. Така, m + n, што значи дека главното својство на степенот е докажано.

Ајде да погледнеме конкретен пример што го потврдува ова.

Пример 1

Значи, имаме две сили со основа 2. Нивните природни показатели се 2 и 3, соодветно. Ја имаме еднаквоста: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Ајде да ги пресметаме вредностите за да ја провериме валидноста на оваа еднаквост.

Да ги извршиме потребните математички операции: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 и 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Како резултат на тоа, добивме: 2 2 · 2 3 = 2 5. Имотот е докажан.

Поради својствата на множење, можеме да го генерализираме својството формулирајќи го во форма на три и повеќемоќи чии експоненти се природни броеви и чии основи се исти. Ако бројот на природните броеви n 1, n 2 итн. го означиме со буквата k, ја добиваме точната еднаквост:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Пример 2

2. Следно, треба да го докажеме следново својство, кое се нарекува својство на количник и е својствено за моќи со исти основи: ова е еднаквоста a m: a n = a m − n, што важи за секое природно m и n (и m е поголема од n)) и која било ненула реална a .

За почеток, да разјасниме што точно е значењето на условите што се споменати во формулацијата. Ако земеме еднакво на нула, тогаш завршуваме со делење со нула, што не можеме да го направиме (на крајот на краиштата, 0 n = 0). Условот дека бројот m мора да биде поголем од n е неопходен за да можеме да останеме во границите на природните експоненти: одземајќи n од m, добиваме природен број. Ако условот не е исполнет, ќе завршиме со негативен број или нула и повторно ќе одиме подалеку од проучувањето на степени со природни експоненти.

Сега можеме да преминеме на доказот. Од она што претходно го проучувавме, да се потсетиме на основните својства на дропките и да ја формулираме еднаквоста на следниов начин:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Од него можеме да заклучиме: a m − n · a n = a m

Да се ​​потсетиме на врската помеѓу делењето и множењето. Од него произлегува дека a m − n е количник на силите a m и a n . Ова е доказ за второто својство на степенот.

Пример 3

За јасност, да ги замениме специфичните броеви во експонентите и да ја означиме основата на степенот како π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Следно ќе го анализираме својството на моќноста на производот: (a · b) n = a n · b n за кое било реално a и b и природно n.

Според основната дефиниција за моќ со природен експонент, можеме да ја преформулираме еднаквоста на следниов начин:

Потсетувајќи се на својствата на множење, пишуваме: . Ова значи исто како a n · b n .

Пример 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Ако имаме три или повеќе фактори, тогаш ова својство важи и за овој случај. Да ја воведеме ознаката k за бројот на фактори и да напишеме:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Пример 5

Со конкретни броеви ја добиваме следната точна еднаквост: (2 · (- 2 , 3) ​​· а) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​7 · a

4. По ова, ќе се обидеме да го докажеме својството на количникот: (a: b) n = a n: b n за кое било реално a и b, ако b не е еднакво на 0 и n е природен број.

За да го докажете ова, можете да го користите претходното својство на степени. Ако (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , и (a: b) n · b n = a n , тогаш следува дека (a: b) n е количник на делење a n од b n.

Пример 6

Да пресметаме пример: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Пример 7

Да почнеме веднаш со пример: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Сега да формулираме синџир на еднаквости што ќе ни докаже дека еднаквоста е точна:

Ако имаме степени на степени во примерот, тогаш ова својство важи и за нив. Ако имаме природни броеви p, q, r, s, тогаш тоа ќе биде точно:

a p q y s = a p q y s

Пример 8

Ајде да додадеме некои специфики: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. Друго својство на силите со природен експонент што треба да го докажеме е својството на споредба.

Прво, да го споредиме степенот со нула. Зошто a n > 0, под услов a да е поголемо од 0?

Ако помножиме еден позитивен број со друг, добиваме и позитивен број. Знаејќи го овој факт, можеме да кажеме дека не зависи од бројот на фактори - резултатот од множење на кој било број позитивни броеви е позитивен број. Што е степен ако не е резултат на множење броеви? Тогаш за која било моќност a n со позитивна основа и природен експонент тоа ќе биде точно.

Пример 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0

Очигледно е и дека моќта со основа еднаква на нула сама по себе е нула. На која моќ и да подигнеме нула, таа ќе остане нула.

Пример 10

0 3 = 0 и 0 762 = 0

Ако основата на степенот е негативен број, тогаш доказот е малку покомплициран, бидејќи концептот парен/непарен експонент станува важен. Прво да го земеме случајот кога експонентот е парен и да го означиме 2 · m, каде што m е природен број.

Ајде да се потсетиме како правилно да се множиме негативни броеви: производот a · a е еднаков на производот на модулите и затоа ќе биде позитивен број. Потоа и степенот a 2 m се исто така позитивни.

Пример 11

На пример, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0

Што ако експонентот со негативна основа е непарен број? Да го означиме 2 · m − 1 .

Потоа

Сите производи a · a, според својствата на множење, се позитивни, а исто така и нивниот производ. Но, ако го помножиме со единствениот преостанат број a, тогаш конечниот резултат ќе биде негативен.

Тогаш добиваме: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Како да се докаже ова?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Пример 12

На пример, следните неравенки се вистинити: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Треба само да го докажеме последното својство: ако имаме две сили чии основи се идентични и позитивни, а чии експоненти се природни броеви, тогаш оној чијшто експонент е помал е поголем; а од две сили со природни експоненти и идентични основи поголеми од еден, поголем е оној чијшто експонент е поголем.

Да ги докажеме овие изјави.

Прво треба да се увериме дека м< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Да извадиме n од загради, по што нашата разлика ќе добие форма a n · (a m − n − 1) . Неговиот резултат ќе биде негативен (бидејќи резултатот од множење позитивен број со негативен број е негативен). На крајот на краиштата, според почетните услови, m − n > 0, тогаш a m − n − 1 е негативен, а првиот фактор е позитивен, како и секој природен степенсо позитивна основа.

Се покажа дека a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Останува да се докаже вториот дел од изјавата формулирана погоре: a m > a е точно за m > n и a > 1. Да ја означиме разликата и да ставиме n надвор од заградите: (a m − n − 1) Моќта на a n за поголема од една ќе даде позитивен резултат; а и самата разлика ќе испадне позитивна поради почетните услови, а за a > 1 степенот a m − n е поголем од еден. Излегува дека a m − a n > 0 и a m > a n , што ни требаше да го докажеме.

Пример 13

Пример со конкретни броеви: 3 7 > 3 2

Основни својства на степени со целобројни експоненти

За моќи со позитивни цели броеви, својствата ќе бидат слични, бидејќи позитивните цели броеви се природни броеви, што значи дека сите еднаквости докажани погоре важат и за нив. Тие се исто така погодни за случаи кога експонентите се негативни или еднакви на нула (под услов основата на самиот степен да не е нула).

Така, својствата на силите се исти за кои било основи a и b (под услов овие броеви да се реални и да не се еднакви на 0) и сите експоненти m и n (под услов да се цели броеви). Да ги напишеме накратко во форма на формули:

Дефиниција 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n предмет на позитивен цел број n, позитивен a и b, a< b

7 часот наутро< a n , при условии целых m и n , m >n и 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Ако основата на степенот е нула, тогаш записите a m и a n имаат смисла само во случај на природни и позитивни m и n. Како резултат на тоа, откриваме дека формулациите погоре се исто така погодни за случаи со моќност со нулта основа, доколку се исполнети сите други услови.

Доказите за овие својства во овој случај се едноставни. Ќе треба да запомниме што е степен со природен и цел број експонент, како и својствата на операциите со реални броеви.

Да го погледнеме својството моќ-на-моќ и да докажеме дека тоа е точно и за позитивни и за непозитивни цели броеви. Да почнеме со докажување на еднаквостите (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) и (a − p) − q = a (− p) · (− q)

Услови: p = 0 или природен број; q – слично.

Ако вредностите на p и q се поголеми од 0, тогаш добиваме (a p) q = a p · q. Слична еднаквост веќе докажавме и претходно. Ако p = 0, тогаш:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Затоа, (a 0) q = a 0 q

За q = 0 сè е сосема исто:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Резултат: (a p) 0 = a p · 0 .

Ако двата индикатора се нула, тогаш (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 · 0 = a 0 = 1, што значи (a 0) 0 = a 0 · 0.

Да се ​​потсетиме на својството на количниците до степен докажан погоре и да напишеме:

1 a p q = 1 q a p q

Ако 1 p = 1 1 … 1 = 1 и a p q = a p q, тогаш 1 q a p q = 1 a p q

Оваа нотација можеме да ја трансформираме врз основа на основните правила на множење во a (− p) · q.

Исто така: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Останатите својства на степенот можат да се докажат на сличен начин со трансформирање на постоечките неравенки. Ние нема да се задржиме на ова подетално, ќе ги посочиме само тешките точки.

Доказ за претпоследното својство: запомнете, a − n > b − n е точно за сите цели броеви негативни вредностии секое позитивно a и b, под услов a да е помало од b.

Тогаш неравенството може да се трансформира на следниов начин:

1 a n > 1 b n

Да ги напишеме десната и левата страна како разлика и да ги извршиме потребните трансформации:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Потсетиме дека во условот a е помал од b, тогаш, според дефиницијата за степен со природен експонент: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n завршува како позитивен број бидејќи неговите фактори се позитивни. Како резултат на тоа, ја имаме дропот b n - a n a n · b n, што на крајот исто така дава позитивен резултат. Оттука 1 a n > 1 b n од каде a − n > b − n , што ни требаше да го докажеме.

Последното својство на силите со целобројни експоненти се докажува слично како и својството на силите со природни експоненти.

Основни својства на моќите со рационални експоненти

Во претходните написи, разгледавме што е степен со рационален (фракционо) експонент. Нивните својства се исти како оние на степените со целобројни експоненти. Ајде да запишеме:

Дефиниција 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 за > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогаш за ≥ 0 (својство на производот степени со исти основи).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ако a > 0 (својство на количник).

3. a · b m n = a m n · b m n за a > 0 и b > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогаш за a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (својство на производот во фракционо степен).

4. a: b m n = a m n: b m n за a > 0 и b > 0, а ако m n > 0, тогаш за a ≥ 0 и b > 0 (својството на количник на фракциона моќност).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 за > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогаш за ≥ 0 (својство на степен во степени).

6.а стр< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; ако стр< 0 - a p >b p (својство на споредување на моќи со еднакви рационални експоненти).

7.а стр< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q на 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

За да ги докажеме овие одредби, треба да запомниме што е степен со фракционо експонент, кои се својствата на аритметичкиот корен од n-ти степен и кои се својствата на степенот со целобројни експоненти. Ајде да го разгледаме секој имот.

Според тоа колку е степен со дробен експонент, добиваме:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 и a m 2 n 2 = a m 2 n 2, според тоа, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Својствата на коренот ќе ни овозможат да изведеме еднаквости:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Од ова добиваме: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Ајде да се трансформираме:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Експонентот може да се запише како:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Ова е доказот. На ист начин се докажува и второто својство. Ајде да напишеме синџир на еднаквости:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Докази за преостанатите еднаквости:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (а: б) m n = (а: б) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Следното својство: да докажеме дека за кои било вредности на a и b поголеми од 0, ако a е помало од b, ќе биде задоволено a p< b p , а для p больше 0 - a p >б стр

Да го претставиме рационалниот број p како m n. Во овој случај, m е цел број, n е природен број. Потоа условите стр< 0 и p >0 ќе се прошири до m< 0 и m >0 . За m > 0 и a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Го користиме својството на корените и излезот: a m n< b m n

Земајќи ги предвид позитивните вредности на a и b, неравенството ја препишуваме како m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

На ист начин за м< 0 имеем a a m >b m, добиваме m n > b m n што значи a m n > b m n и a p > b p.

Останува да обезбедиме доказ за последниот имот. Да докажеме дека за рационални броеви p и q, p > q на 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 ќе биде точно a p > a q .

Рационалните броеви p и q може да се сведат на заеднички именител и да се добијат дропките m 1 n и m 2 n

Овде m 1 и m 2 се цели броеви, а n е природен број. Ако p > q, тогаш m 1 > m 2 (земајќи го предвид правилото за споредување дропки). Потоа на 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – нееднаквост a 1 m > a 2 m.

Тие можат да се препишат на следниов начин:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Потоа можете да направите трансформации и да завршите со:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Да резимираме: за p > q и 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Основни својства на моќи со ирационални експоненти

До таков степен може да се прошират сите својства опишани погоре што ги има степенот со рационални експоненти. Ова произлегува од самата негова дефиниција, која ја дадовме во една од претходните написи. Да ги формулираме накратко овие својства (услови: a > 0, b > 0, експонентите p и q се ирационални броеви):

Дефиниција 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (а · б) p = a p · b стр

4. (а: б) p = a p: b стр

5. (a p) q = a p · q

6.а стр< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >б стр

7.а стр< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, потоа a p > a q.

Така, сите сили чии експоненти p и q се реални броеви, под услов a > 0, ги имаат истите својства.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter