Jak dodać kwadraty liczb. Formuły korzeniowe. Właściwości korzenia. Jak pomnożyć korzenie? Przykłady

Pierwiastek kwadratowy z liczby X nazywany numerem A, który w procesie mnożenia się przez siebie ( A*A) może podać liczbę X.
Te. ZA * ZA = ZA 2 = X, I √X = A.

Ponad pierwiastkami kwadratowymi ( √x), podobnie jak w przypadku innych liczb, można wykonywać operacje arytmetyczne, takie jak odejmowanie i dodawanie. Aby odjąć i dodać pierwiastki, należy je połączyć za pomocą znaków odpowiadających tym działaniom (np √x- √ y ).
A następnie przynieś korzenie do ich najprostszej formy - jeśli są między nimi podobne, musisz wykonać rzut. Polega ona na tym, że współczynniki wyrazów podobnych wzięto ze znakami wyrazów odpowiadających, następnie ujęto je w nawiasy, a pierwiastek wspólny wykazano poza nawiasami mnożnika. Otrzymany współczynnik jest uproszczony zgodnie ze zwykłymi zasadami.

Krok 1. Wyodrębnianie pierwiastków kwadratowych

Po pierwsze, aby dodać pierwiastki kwadratowe, musisz najpierw wyodrębnić te pierwiastki. Można to zrobić, jeśli liczby pod znakiem pierwiastka są idealnymi kwadratami. Weźmy na przykład podane wyrażenie √4 + √9 . Pierwszy numer 4 jest kwadratem liczby 2 . Drugi numer 9 jest kwadratem liczby 3 . Można zatem otrzymać następującą równość: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Wszystko, przykład rozwiązany. Ale nie zawsze tak się dzieje.

Krok 2. Wyjmowanie mnożnika liczby spod pierwiastka

Jeżeli pod pierwiastkiem nie ma pełnych kwadratów, możesz spróbować wyciągnąć mnożnik liczby spod pierwiastka. Weźmy na przykład wyrażenie √24 + √54 .

Rozłóżmy liczby na czynniki:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Wśród 24 mamy mnożnik 4 , można go wyjąć spod znaku pierwiastek kwadratowy. Wśród 54 mamy mnożnik 9 .

Otrzymujemy równość:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Biorąc pod uwagę ten przykład, otrzymujemy usunięcie czynnika spod znaku pierwiastka, upraszczając w ten sposób dane wyrażenie.

Krok 3. Zmniejszenie mianownika

Rozważmy następującą sytuację: suma dwóch pierwiastków kwadratowych jest mianownikiem ułamka, na przykład: A / (√a + √b).
Teraz stoimy przed zadaniem „pozbycia się irracjonalności w mianowniku”.
Zastosujmy następującą metodę: pomnóż licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie √a - √b.

Otrzymujemy teraz skróconą formułę mnożenia w mianowniku:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Podobnie, jeśli w mianowniku znajduje się różnica pierwiastków: √a - √b, licznik i mianownik ułamka mnoży się przez wyrażenie √a + √b.

Weźmy na przykład ułamek:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Przykład złożonej redukcji mianownika

Teraz rozważmy wystarczająco dużo złożony przykład pozbycie się irracjonalności w mianowniku.

Weźmy na przykład ułamek: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Musisz wziąć jego licznik i mianownik i pomnożyć przez wyrażenie √2 + √3 - √5 .

Otrzymujemy:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Krok 4. Oblicz przybliżoną wartość na kalkulatorze

Jeśli potrzebujesz tylko przybliżonej wartości, możesz to zrobić na kalkulatorze, obliczając wartość pierwiastków kwadratowych. Oddzielnie dla każdej liczby obliczana jest wartość i zapisywana z wymaganą dokładnością, którą określa liczba miejsc po przecinku. Ponadto wykonywane są wszystkie wymagane operacje, jak w przypadku zwykłych liczb.

Przykład obliczeń szacunkowych

Konieczne jest obliczenie przybliżonej wartości tego wyrażenia √7 + √5 .

W rezultacie otrzymujemy:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Uwaga: w żadnym wypadku nie należy dodawać pierwiastków kwadratowych, np liczby pierwsze, jest to całkowicie niedopuszczalne. Oznacza to, że jeśli dodamy pierwiastek kwadratowy z pięciu i trzech, nie otrzymamy pierwiastka kwadratowego z ośmiu.

Przydatna rada: jeśli zdecydujesz się na rozkład liczby na czynniki, aby wyprowadzić kwadrat spod znaku pierwiastka, musisz wykonać sprawdzenie odwrotne, czyli pomnożyć wszystkie czynniki, które wynikały z obliczeń, i końcowy wynik tego obliczenia matematyczne powinny być liczbą, którą otrzymaliśmy pierwotnie.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków- jedna z najczęstszych „przeszkod” dla osób podejmujących zajęcia z matematyki (algebry) w szkole średniej. Jednak nauczenie się prawidłowego ich dodawania i odejmowania jest bardzo ważne, ponieważ przykłady sumy lub różnicy pierwiastków zawarte są w programie podstawowego egzaminu Unified State Exam z dyscypliny „matematyka”.

Aby opanować rozwiązywanie takich przykładów, potrzebujesz dwóch rzeczy - zrozumienia zasad, a także zdobycia praktyki. Po rozwiązaniu jednego lub dwóch tuzinów typowych przykładów uczeń doprowadzi tę umiejętność do automatyzmu i wtedy na egzaminie nie będzie miał się czego bać. Opanowanie działań arytmetycznych warto rozpocząć od dodawania, gdyż dodawanie jest nieco łatwiejsze niż odejmowanie.

Najłatwiej to wyjaśnić na przykładzie pierwiastka kwadratowego. W matematyce istnieje dobrze ugruntowany termin „kwadrat”. „Kwadrat” oznacza jednokrotne pomnożenie określonej liczby przez siebie.. Na przykład, jeśli podniesiesz kwadrat 2, otrzymasz 4. Jeśli podniesiesz kwadrat 7, otrzymasz 49. Kwadrat 9 to 81. Zatem pierwiastek kwadratowy z 4 to 2, z 49 to 7, a z 81 to 9.

Z reguły nauczanie tego tematu z matematyki rozpoczyna się od pierwiastków kwadratowych. Aby od razu to ustalić, licealista musi znać na pamięć tabliczkę mnożenia. Dla tych, którzy nie znają dobrze tej tabeli, trzeba skorzystać z podpowiedzi. Zwykle proces wyodrębniania pierwiastka z liczby jest podawany w formie tabeli na okładkach wielu szkolnych zeszytów matematycznych.

Korzenie są następujących typów:

kwadrat;
sześcienny (lub tzw. Trzeci stopień);
czwarty stopień;
piąty stopień.

Zasady dodawania

Aby pomyślnie rozwiązać typowy przykład, należy pamiętać, że nie wszystkie liczby pierwiastkowe można układać jeden w drugim. Aby móc je zestawić, należy je sprowadzić w jeden wzór. Jeśli nie jest to możliwe, problem nie ma rozwiązania. Problemy tego typu często spotykane są także w podręcznikach do matematyki jako swego rodzaju pułapka na uczniów.

Dodawanie nie jest dozwolone w przypisaniach, gdy wyrażenia radykalne różnią się od siebie. Można to zilustrować w dobry przykład:

uczeń staje przed zadaniem: dodać pierwiastek kwadratowy z 4 i 9;
niedoświadczony student, znając zasady, zwykle pisze: „pierwiastek kwadratowy z 4 + pierwiastek z 9 \u003d pierwiastek z 13”.
bardzo łatwo jest udowodnić, że taki sposób rozwiązania jest błędny. Aby to zrobić, musisz znaleźć pierwiastek kwadratowy z 13 i sprawdzić, czy przykład został poprawnie rozwiązany;
za pomocą mikrokalkulatora można określić, że jest to około 3,6. Teraz pozostaje sprawdzić rozwiązanie;
pierwiastek z 4=2 i z 9=3;
Suma dwóch i trzech wynosi pięć. Zatem ten algorytm rozwiązania można uznać za nieprawidłowy.

Jeśli korzenie mają ten sam stopień, ale są różne wyrażenia numeryczne, jest wyjmowany z nawiasów i wpisywany w nawiasach suma dwóch radykalnych wyrażeń. Zatem jest już wyodrębniony z tej kwoty.

Algorytm dodawania

Aby podjąć właściwą decyzję najprostsze zadanie, niezbędny:

Określ, co dokładnie wymaga dodania.
Dowiedz się, czy można dodawać do siebie wartości, kierując się zasadami obowiązującymi w matematyce.
Jeśli nie można ich dodać, należy je przekształcić w taki sposób, aby można je było dodać.
Po przeprowadzeniu wszystkich niezbędnych przekształceń należy wykonać dodawanie i zapisać gotową odpowiedź. Dodawanie można wykonać mentalnie lub za pomocą kalkulatora, w zależności od złożoności przykładu.

Jakie są podobne korzenie

Aby poprawnie rozwiązać przykład dodawania, należy przede wszystkim pomyśleć o tym, jak można go uprościć. Aby to zrobić, musisz mieć podstawową wiedzę na temat tego, czym jest podobieństwo.

Umiejętność identyfikacji podobnych pozwala szybko rozwiązać tego samego rodzaju przykłady dodawania, sprowadzając je do uproszczonej formy. Aby uprościć typowy przykład dodawania, musisz:

Znajdź podobne i przydziel je do jednej grupy (lub kilku grup).
Przepisz istniejący przykład w taki sposób, aby pierwiastki o tym samym wskaźniku wyraźnie następowały po sobie (nazywa się to „grupowaniem”).
Następnie należy napisać wyrażenie jeszcze raz, tym razem w taki sposób, aby podobne (które mają ten sam wskaźnik i tę samą cyfrę pierwiastkową) również następowały po sobie.

Następnie uproszczony przykład jest zwykle łatwy do rozwiązania.

Aby poprawnie rozwiązać dowolny przykład dodawania, musisz dobrze zrozumieć podstawowe zasady dodawania, a także wiedzieć, czym jest pierwiastek i jak to się dzieje.

Czasami takie zadania na pierwszy rzut oka wydają się bardzo skomplikowane, ale zazwyczaj można je łatwo rozwiązać, grupując podobne. Najważniejsza jest praktyka, a wtedy uczeń zacznie „klikać zadania jak szalone”. Dodawanie pierwiastków jest jedną z najważniejszych dziedzin matematyki, dlatego nauczyciele powinni przeznaczyć odpowiednią ilość czasu na jej studiowanie.

Wideo

Ten film pomoże Ci zrozumieć równania z pierwiastkiem kwadratowym.

Pierwiastek kwadratowy z liczby x to liczba a, która pomnożona przez siebie daje liczbę x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Jak w przypadku każdej liczby, można wykonywać operacje arytmetyczne dodawania i odejmowania na pierwiastkach kwadratowych.

Instrukcja

1. Po pierwsze, dodając pierwiastki kwadratowe, spróbuj je wyodrębnić. Będzie to obowiązywać, jeśli liczby pod znakiem pierwiastka są idealnymi kwadratami. Powiedzmy, że podane jest wyrażenie?4 +?9. Pierwsza liczba 4 to kwadrat liczby 2. Druga liczba 9 to kwadrat liczby 3. Okazuje się więc, że: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Jeśli pod znakiem pierwiastka nie ma pełnych kwadratów, spróbuj przenieść mnożnik liczby spod znaku pierwiastka. Powiedzmy, niech zostanie podane wyrażenie?24 +?54. Rozłóż liczby na czynniki: 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 54 \u003d 2 * 3 * 3 * 3. W liczbie 24 znajduje się współczynnik 4, ten, który można przenieść ze znaku pierwiastka kwadratowego. W liczbie 54 występuje współczynnik 9. Okazuje się zatem, że: W tym przykładzie w wyniku usunięcia czynnika ze znaku pierwiastka okazało się uproszczenie danego wyrażenia.

3. Niech suma 2 pierwiastków kwadratowych będzie mianownikiem ułamka, powiedzmy A / (?a + ?b). I nawet jeśli staniesz przed zadaniem „pozbycia się irracjonalności w mianowniku”. Wtedy możesz używać dalsza metoda. Pomnóż licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie?a -?b. Zatem w mianowniku zostanie uzyskany wzór na skrócone mnożenie: (a + yb) * (a - yb) \u003d a - b. Analogicznie, jeśli w mianowniku podana jest różnica pierwiastków: a - yb, to licznik i mianownik ułamka należy pomnożyć przez wyrażenie α + βb. Załóżmy na przykład, że 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ? 5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Rozważ trudniejszy przykład pozbycia się irracjonalności w mianowniku. Niech zostanie podany ułamek 12 / (?2 +?3 +?5). Należy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie? 2 + ? 3 - ? 5:12 / (? 2 + ? 3 + ? 5) = 12 * (? + ?5) * (?2 + ? 3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) \u003d 2 *? 3 + 3 *? 2 -? 30.

5. I na koniec, jeśli potrzebujesz tylko wartości przybliżonej, możesz obliczyć pierwiastki kwadratowe na kalkulatorze. Oblicz wartości osobno dla całej liczby i zapisz z wymaganą dokładnością (powiedzmy dwa miejsca po przecinku). A następnie wykonaj wymagane operacje arytmetyczne, jak w przypadku zwykłe liczby. Powiedzmy, że musisz znaleźć przybliżoną wartość wyrażenia?7 +?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Powiązane wideo

Notatka!
W żadnym wypadku nie można dodawać pierwiastków kwadratowych jako liczb pierwotnych, tj. ?3 + ?2? ?5!!!

Pomocna rada
Jeśli uwzględnisz liczbę, aby przesunąć kwadrat spod znaku pierwiastka, wykonaj odwrotną kontrolę - pomnóż wszystkie otrzymane współczynniki i otrzymaj pierwotną liczbę.

Cześć kotki! Ostatnim razem szczegółowo analizowaliśmy, czym są korzenie (jeśli nie pamiętasz, polecam przeczytać). główny wniosek lekcja: istnieje tylko jedna uniwersalna definicja korzeni i to właśnie musisz znać. Reszta to bzdury i strata czasu.

Dziś idziemy dalej. Nauczymy się mnożyć pierwiastki, przestudiujemy pewne problemy związane z mnożeniem (jeśli te problemy nie zostaną rozwiązane, mogą okazać się fatalne na egzaminie) i będziemy odpowiednio ćwiczyć. Zatem zaopatrzcie się w popcorn, rozgośćcie się - i zaczynamy. :)

Jeszcze nie paliłeś, prawda?

Lekcja okazała się dość obszerna, dlatego podzieliłem ją na dwie części:

Najpierw przyjrzymy się zasadom mnożenia. Czapka wydaje się sugerować: dzieje się tak, gdy są dwa pierwiastki, między nimi znajduje się znak „mnożenia” - i chcemy coś z tym zrobić.
Następnie przeanalizujemy sytuację odwrotną: jest jedna duży korzeń i nie mogliśmy się doczekać, aby przedstawić go jako iloczyn dwóch pierwiastków w prostszy sposób. Z jakim strachem jest to konieczne, to osobne pytanie. Przeanalizujemy jedynie algorytm.

Tych, którzy nie mogą się doczekać, aby przejść od razu do części 2, zapraszamy. Zacznijmy od reszty w kolejności.

Podstawowa zasada mnożenia

Zacznijmy od najprostszego - klasycznego pierwiastka kwadratowego. Te, które są oznaczone przez $\sqrt(a)$ i $\sqrt(b)$. Dla nich wszystko jest ogólnie jasne:

reguła mnożenia. Aby pomnożyć jeden pierwiastek kwadratowy przez drugi, wystarczy pomnożyć ich wyrażenia radykalne i zapisać wynik pod wspólnym pierwiastkiem:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Na liczby po prawej lub lewej stronie nie są nakładane żadne dodatkowe ograniczenia: jeśli istnieją pierwiastki mnożnika, to iloczyn również istnieje.

Przykłady. Rozważ cztery przykłady z liczbami na raz:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Jak widać, głównym znaczeniem tej reguły jest uproszczenie wyrażeń irracjonalnych. A jeśli w pierwszym przykładzie wyciągnęlibyśmy pierwiastki z 25 i 4 bez żadnych nowych reguł, to zaczyna się cyna: $\sqrt(32)$ i $\sqrt(2)$ nie liczą się same, ale ich iloczyn okazuje się dokładnym kwadratem, więc jego pierwiastek jest równy liczbie wymiernej.

Osobno chciałbym zwrócić uwagę na ostatnią linijkę. Tam oba radykalne wyrażenia są ułamkami. Dzięki produktowi wiele czynników znosi się, a całe wyrażenie zamienia się w odpowiednią liczbę.

Oczywiście nie wszystko zawsze będzie takie piękne. Czasami pod korzeniami będzie kompletna bzdura - nie wiadomo co z tym zrobić i jak przekształcić po pomnożeniu. Nieco później, kiedy zaczniesz studiować irracjonalne równania i nierówności, ogólnie rzecz biorąc, będziesz mieć do czynienia z różnego rodzaju zmiennymi i funkcjami. I bardzo często kompilatorzy problemów liczą po prostu na to, że znajdą się pewne warunki lub czynniki umowne, po których zadanie zostanie znacznie uproszczone.

Ponadto nie jest konieczne mnożenie dokładnie dwóch pierwiastków. Możesz pomnożyć trzy na raz, cztery - tak, nawet dziesięć! Nie zmieni to zasady. Spójrz:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

I znowu mała uwaga do drugiego przykładu. Jak widać, w trzecim mnożniku pod pierwiastkiem znajduje się ułamek dziesiętny - w procesie obliczeń zastępujemy go zwykłym, po czym wszystko łatwo się redukuje. Zatem: gorąco polecam pozbycie się ułamków dziesiętnych we wszelkich wyrażeniach irracjonalnych (to znaczy zawierających co najmniej jedną ikonę radykalną). Zaoszczędzi to mnóstwo czasu i nerwów w przyszłości.

Była to jednak dygresja liryczna. Rozważmy teraz bardziej ogólny przypadek - gdy wykładnik pierwiastkowy zawiera dowolną liczbę $n$, a nie tylko „klasyczną” dwójkę.

Przypadek dowolnego wskaźnika

Więc obliczyliśmy pierwiastki kwadratowe. A co zrobić z kostkami? Lub ogólnie z pierwiastkami dowolnego stopnia $n$? Tak, wszystko jest takie samo. Zasada pozostaje ta sama:

Aby pomnożyć dwa pierwiastki stopnia $n$, wystarczy pomnożyć ich wyrażenia radykalne, po czym wynik zapisuje się pod jednym pierwiastkiem.

Generalnie nic skomplikowanego. Chyba że ilość obliczeń może być większa. Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykłady. Oblicz produkty:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

I znowu uwaga na drugie wyrażenie. Mnożymy się korzenie sześcienne, pozbyć się Ułamek dziesiętny i w rezultacie otrzymujemy w mianowniku iloczyn liczb 625 i 25. Jest to dość duża liczba- Osobiście nie zastanawiam się od razu, co to jest równe.

Dlatego po prostu wybraliśmy dokładną kostkę w liczniku i mianowniku, a następnie użyliśmy jednej z kluczowych właściwości (lub, jeśli wolisz, definicji) pierwiastka z $n$tego stopnia:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\lewo| \prawo|. \\ \end(align)\]

Takie „oszustwa” mogą zaoszczędzić dużo czasu na egzaminie lub kontrolować pracę więc pamiętaj:

Nie spiesz się, aby pomnożyć liczby w wyrażeniu radykalnym. Najpierw sprawdź: co jeśli dokładny stopień dowolnego wyrażenia jest tam „zaszyfrowany”?

Przy całej oczywistości tej uwagi muszę przyznać, że większość nieprzygotowanych studentów nie widzi dokładnych stopni. Zamiast tego mnożą wszystko do przodu, a potem zastanawiają się: dlaczego dostali takie brutalne liczby? :)

Jednak wszystko to jest dziecinnie proste w porównaniu z tym, co będziemy teraz studiować.

Mnożenie pierwiastków o różnych wykładnikach

Cóż, teraz możemy pomnożyć pierwiastki o tych samych wykładnikach. A co jeśli wyniki będą inne? Powiedz, jak pomnożyć zwykłe $\sqrt(2)$ przez jakieś bzdury, takie jak $\sqrt(23)$? Czy w ogóle można to zrobić?

Tak oczywiście możesz. Wszystko odbywa się według tej formuły:

Zasada mnożenia pierwiastków. Aby pomnożyć $\sqrt[n](a)$ przez $\sqrt[p](b)$, wykonaj następującą transformację:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Jednak ta formuła działa tylko wtedy, gdy wyrażenia radykalne są nieujemne. To bardzo ważna uwaga, do której powrócimy nieco później.

Na razie spójrzmy na kilka przykładów:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Jak widać nic skomplikowanego. Teraz zastanówmy się, skąd wziął się wymóg nieujemności i co się stanie, jeśli go naruszymy. :)

Łatwo jest mnożyć pierwiastki.

Dlaczego wyrażenia radykalne muszą być nieujemne?

Oczywiście możesz stać się nauczycielem w szkole i zacytować podręcznik o eleganckim wyglądzie:

Wymóg nieujemności wiąże się z różnymi definicjami pierwiastków stopnia parzystego i nieparzystego (odpowiednio różne są także ich dziedziny definicji).

No i stało się jaśniej? Osobiście, kiedy przeczytałem te bzdury w 8 klasie, zrozumiałem dla siebie coś takiego: „Wymóg nienegatywności wiąże się z *#&^@(*#@^#)~%” - krótko mówiąc, ja wtedy nic nie rozumiałem. :)

Więc teraz wyjaśnię wszystko w normalny sposób.

Najpierw dowiedzmy się, skąd pochodzi powyższy wzór na mnożenie. Aby to zrobić, przypomnę Ci jedno ważna własnośćźródło:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Innymi słowy, możemy bezpiecznie podnieść wyrażenie radykalne do dowolnego stopień naturalny$k$ - w tym przypadku indeks główny będzie musiał zostać pomnożony przez ten sam stopień. Dlatego możemy łatwo sprowadzić dowolne pierwiastki do wspólnego wskaźnika, po czym pomnożymy. Stąd pochodzi wzór na mnożenie:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Istnieje jednak jeden problem, który poważnie ogranicza zastosowanie wszystkich tych formuł. Rozważ tę liczbę:

Zgodnie z podanym wzorem możemy dodać dowolny stopień. Spróbujmy dodać $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Usunęliśmy minus właśnie dlatego, że kwadrat spala minus (jak każdy inny parzysty stopień). A teraz wykonajmy odwrotną transformację: „zmniejsz” wykładnik i stopień. W końcu każdą równość można czytać zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Ale wtedy dzieje się coś szalonego:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

To nie może być spowodowane tym, że $\sqrt(-5) \lt 0$ i $\sqrt(5) \gt 0$. Stąd dla parzystych potęg i liczby ujemne nasza formuła już nie działa. Po czym mamy dwie możliwości:

Walczyć ze ścianą i twierdzić, że matematyka jest głupią nauką, w której „są pewne zasady, ale to jest nieścisłe”;
Wprowadź dodatkowe ograniczenia, przy których formuła zacznie działać w 100%.

W pierwszej opcji będziemy musieli stale wyłapywać „niedziałające” przypadki – jest to trudne, długie i ogólnie fu. Dlatego matematycy woleli drugą opcję. :)

Ale nie martw się! W praktyce to ograniczenie nie wpływa w żaden sposób na obliczenia, ponieważ wszystkie opisane problemy dotyczą tylko pierwiastków stopnia nieparzystego i można z nich wyciągnąć minusy.

Dlatego formułujemy kolejną regułę, która ma zastosowanie ogólnie do wszystkich działań z korzeniami:

Przed pomnożeniem pierwiastków upewnij się, że wyrażenia radykalne są nieujemne.

Przykład. W liczbie $\sqrt(-5)$ możesz wyjąć minus spod znaku pierwiastka - wtedy wszystko będzie dobrze:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Poczuj różnicę? Jeśli zostawisz minus pod pierwiastkiem, to gdy radykalne wyrażenie zostanie podniesione do kwadratu, zniknie i zacznie się bzdura. A jeśli najpierw wyjmiesz minus, możesz nawet podnieść/usunąć kwadrat, aż będziesz niebieski na twarzy - liczba pozostanie ujemna. :)

Zatem najbardziej poprawny i najbardziej niezawodny sposób pomnożenia pierwiastków jest następujący:

Usuń wszystkie minusy spod rodników. Minusy znajdują się tylko w pierwiastkach nieparzystej wielokrotności - można je umieścić przed pierwiastkiem i, jeśli to konieczne, zmniejszyć (na przykład, jeśli są dwa takie minusy).
Wykonaj mnożenie według zasad omówionych powyżej na dzisiejszej lekcji. Jeśli indeksy pierwiastków są takie same, po prostu pomnóż wyrażenia pierwiastkowe. A jeśli są różne, używamy złego wzoru \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. Cieszymy się z wyniku i dobrych ocen. :)

Dobrze? Będziemy ćwiczyć?

Przykład 1. Uprość wyrażenie:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

To najprostsza opcja: wskaźniki pierwiastków są takie same i dziwne, problem dotyczy tylko minus drugiego mnożnika. Znosimy ten minus nafig, po którym wszystko jest łatwo rozważane.

Przykład 2. Uprość wyrażenie:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( wyrównywać)\]

W tym przypadku wielu byłoby zdezorientowanych faktem, że wynik okazał się liczbą niewymierną. Tak, zdarza się: nie mogliśmy całkowicie pozbyć się korzenia, ale przynajmniej znacznie uprościliśmy wyrażenie.

Przykład 3. Uprość wyrażenie:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Na to właśnie chciałbym zwrócić Waszą uwagę. Są tu dwa punkty:

Pod pierwiastkiem nie znajduje się konkretna liczba czy stopień, ale zmienna $a$. Na pierwszy rzut oka jest to trochę niezwykłe, ale w rzeczywistości przy rozwiązywaniu problemy matematyczne najczęściej będziesz miał do czynienia ze zmiennymi.
Ostatecznie udało nam się „zredukować” wykładnik pierwiastkowy i stopień w wyrażeniu radykalnym. Zdarza się to dość często. A to oznacza, że można było znacznie uprościć obliczenia, jeśli nie skorzystano z głównego wzoru.

Możesz na przykład zrobić tak:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(wyrównaj)\]

W rzeczywistości wszystkie transformacje przeprowadzono tylko z drugim rodnikiem. A jeśli nie pomalujesz szczegółowo wszystkich etapów pośrednich, ostatecznie liczba obliczeń znacznie się zmniejszy.

W rzeczywistości napotkaliśmy już podobne zadanie powyżej, rozwiązując przykład $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Teraz można to zapisać znacznie łatwiej:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Cóż, wymyśliliśmy mnożenie pierwiastków. Rozważmy teraz operację odwrotną: co zrobić, gdy pod korzeniem znajduje się praca?

Pierwiastek kwadratowy liczby x to liczba a, która pomnożona przez samą siebie daje liczbę x: a * a = a^2 = x, √x = a. Podobnie jak w przypadku każdej liczby, na pierwiastkach kwadratowych można wykonywać operacje arytmetyczne polegające na dodawaniu i odejmowaniu.

Instrukcja

Po pierwsze, dodając pierwiastki kwadratowe, spróbuj je wyodrębnić. Będzie to możliwe, jeśli liczby pod znakiem pierwiastka będą idealnymi kwadratami. Przykładowo niech zostanie podane wyrażenie √4 + √9. Pierwsza liczba 4 to kwadrat liczby 2. Druga liczba 9 to kwadrat liczby 3. Okazuje się więc, że: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Jeśli pod znakiem pierwiastka nie ma pełnych kwadratów, spróbuj wyjąć mnożnik liczby spod znaku pierwiastka. Załóżmy na przykład, że dane jest √24 + √54. Uwzględnij liczby: 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 54 \u003d 2 * 3 * 3 * 3. Liczba 24 ma współczynnik 4, który można wyjąć ze znaku pierwiastka kwadratowego. Liczba 54 ma współczynnik 9. Okazuje się zatem, że: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . W tym przykładzie w wyniku wyjęcia mnożnika ze znaku pierwiastka okazało się uproszczenie danego wyrażenia.
Niech suma dwóch pierwiastków kwadratowych będzie mianownikiem ułamka, na przykład A / (√a + √b). I niech twoim zadaniem będzie „pozbyć się irracjonalności w mianowniku”. Następnie możesz zastosować następującą metodę. Pomnóż licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie √a - √b. Zatem w mianowniku otrzymamy wzór na skrócone mnożenie: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Analogicznie, jeśli w mianowniku podana jest różnica pierwiastków: √a - √b, to licznik i mianownik ułamka należy pomnożyć przez wyrażenie √a + √b. Na przykład, biorąc pod uwagę ułamek 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
Rozważ bardziej złożony przykład pozbycia się irracjonalności w mianowniku. Niech zostanie podany ułamek 12 / (√2 + √3 + √5). Konieczne jest pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez wyrażenie √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
I na koniec, jeśli potrzebujesz tylko wartości przybliżonej, możesz obliczyć pierwiastki kwadratowe na kalkulatorze. Oblicz wartości osobno dla każdej liczby i zapisz z wymaganą precyzją (na przykład dwa miejsca po przecinku). A następnie wykonaj wymagane operacje arytmetyczne, tak jak w przypadku zwykłych liczb. Załóżmy na przykład, że chcesz poznać przybliżoną wartość wyrażenia √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.