Wpisy oznaczone jako „konwertuj wyrażenie ze zmienną”. Wyrażenia ze zmiennymi

Pisanie warunków zadania za pomocą notacji przyjętej w matematyce prowadzi do pojawienia się tzw wyrażenia matematyczne, które są po prostu nazywane wyrażeniami. W tym artykule omówimy szczegółowo wyrażenia liczbowe, literałowe i zmienne: podamy definicje i podamy przykłady wyrażeń każdego typu.

Nawigacja po stronach.

Wyrażenia liczbowe - co to jest?

Znajomość wyrażeń liczbowych zaczyna się prawie od pierwszych lekcji matematyki. Ale ich nazwa - wyrażenia liczbowe - oficjalnie nabywają nieco później. Na przykład, jeśli podążasz za kursem M. I. Moro, dzieje się to na stronach podręcznika do matematyki dla klasy 2. Tam reprezentacja wyrażeń liczbowych jest podana w następujący sposób: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 itd. - to wszystko wyrażenia numeryczne, a jeśli wykonamy wskazane w wyrażeniu czynności, to znajdziemy wartość wyrażenia.

Można stwierdzić, że na tym etapie nauki matematyki wyrażenia liczbowe nazywa się zapisami o znaczeniu matematycznym, złożonymi z liczb, nawiasów i znaków dodawania i odejmowania.

Nieco później, po zapoznaniu się z mnożeniem i dzieleniem, wpisy wyrażeń liczbowych zaczynają zawierać znaki „·” i „:”. Oto kilka przykładów: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 itd.

A w liceum różnorodność wpisów dla wyrażeń liczbowych rośnie jak śnieżka tocząca się z góry. Wyglądają zwyczajnie i ułamki dziesiętne, liczby mieszane oraz liczby ujemne, potęgi, pierwiastki, logarytmy, sinusy, cosinusy i tak dalej.

Podsumujmy wszystkie informacje zawarte w definicji wyrażenia liczbowego:

Definicja.

Wyrażenie numeryczne jest kombinacją liczb, znaków operacji arytmetycznych, kresek ułamkowych, znaków pierwiastków (rodników), logarytmów, notacji funkcji trygonometrycznych, odwrotnych trygonometrycznych i innych, a także nawiasów i innych specjalnych symboli matematycznych, zestawionych zgodnie z zasadami przyjętymi w matematyka.

Wyjaśnijmy wszystkie części składowe definicji dźwięcznej.

W wyrażeniach liczbowych mogą brać udział absolutnie dowolne liczby: od naturalnych do rzeczywistych, a nawet złożonych. Oznacza to, że w wyrażeniach liczbowych można się spotkać

Wszystko jest jasne ze znakami operacji arytmetycznych - są to odpowiednio znaki dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, mające postać „+”, „−”, „·” i „:”. W wyrażeniach liczbowych może występować jeden z tych znaków, niektóre z nich lub wszystkie naraz i więcej niż jeden raz. Oto przykłady wyrażeń liczbowych z nimi: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41-2 4:2-5+12 3 2:2:3:12-1/12.

Jeśli chodzi o nawiasy, istnieją zarówno wyrażenia liczbowe, w których występują nawiasy, jak i wyrażenia bez nich. Jeśli w wyrażeniu liczbowym występują nawiasy, to w zasadzie są to

A czasami nawiasy w wyrażeniach liczbowych mają określony, oddzielnie wskazany specjalny cel. Na przykład możesz znaleźć nawiasy kwadratowe oznaczające część całkowitą liczby, więc wyrażenie liczbowe+2 oznacza, że liczba 2 jest dodawana do części całkowitej liczby 1,75.

Z definicji wyrażenia liczbowego wynika również, że wyrażenie może zawierać , , log , ln , lg , oznaczenia itp. Oto przykłady wyrażeń liczbowych z nimi: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 i .

Podział w wyrażeniach liczbowych można oznaczać za pomocą . W tym przypadku istnieją wyrażenia liczbowe z ułamkami. Oto przykłady takich wyrażeń: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 i .

Jako specjalne symbole matematyczne i zapisy, które można znaleźć w wyrażeniach liczbowych, podajemy. Na przykład pokażmy wyrażenie liczbowe z modułem .

Co to są wyrażenia dosłowne?

Pojęcie wyrażeń dosłownych podaje się niemal natychmiast po zapoznaniu się z wyrażeniami liczbowymi. Wprowadza się to w ten sposób. W pewnym wyrażeniu liczbowym nie zapisuje się jednej z liczb, ale w jej miejsce wstawia się okrąg (lub kwadrat lub coś podobnego) i mówi się, że można zastąpić okrąg pewną liczbą. Weźmy ten wpis jako przykład. Jeśli umieścisz na przykład liczbę 2 zamiast kwadratu, otrzymasz wyrażenie liczbowe 3 + 2. Czyli zamiast kółek, kwadratów itp. zgodził się pisać listy, a takie wyrażenia z literami nazywano wyrażenia dosłowne. Wróćmy do naszego przykładu, jeśli w tym wpisie zamiast kwadratu umieścimy literę a, to otrzymamy dosłowne wyrażenie postaci 3+a.

Tak więc, jeśli w wyrażeniu liczbowym dopuścimy obecność liter oznaczających pewne liczby, otrzymamy tak zwane wyrażenie dosłowne. Podajmy odpowiednią definicję.

Definicja.

Wyrażenie zawierające litery oznaczające niektóre liczby nazywa się dosłowne wyrażenie.

Z tej definicji jasno wynika, że zasadniczo wyrażenie dosłowne różni się od wyrażenia liczbowego tym, że może zawierać litery. Zwykle w wyrażeniach dosłownych używane są małe litery alfabetu łacińskiego (a, b, c, ...), a przy oznaczaniu kątów małe litery alfabetu greckiego (α, β, γ, ...).

Tak więc wyrażenia dosłowne mogą składać się z liczb, liter i zawierać wszystkie symbole matematyczne, które można znaleźć w wyrażeniach liczbowych, takie jak nawiasy, znaki pierwiastków, logarytmy, funkcje trygonometryczne i inne itp. Osobno podkreślamy, że wyrażenie dosłowne zawiera co najmniej jedną literę. Ale może również zawierać kilka identycznych lub różnych liter.

Teraz podajemy kilka przykładów wyrażeń dosłownych. Na przykład a+b jest wyrażeniem dosłownym z literami a i b . Oto kolejny przykład wyrażenia dosłownego 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. I podajemy przykład dosłownego wyrażenia formy złożonej: .

Wyrażenia ze zmiennymi

Jeśli w wyrażeniu dosłownym litera oznacza wartość, która nie przyjmuje żadnej określonej wartości, ale może przyjmować różne wartości, wówczas ta litera jest nazywana zmienny a wyrażenie nazywa się wyrażenie zmienne.

Definicja.

Wyrażenie ze zmiennymi to wyrażenie dosłowne, w którym litery (wszystkie lub niektóre) oznaczają ilości, które przyjmują różne wartości.

Np. niech w wyrażeniu x 2 −1 litera x może przyjmować dowolne wartości naturalne z przedziału od 0 do 10, wtedy x jest zmienną, a wyrażenie x 2 −1 jest wyrażeniem ze zmienną x .

Warto zauważyć, że w wyrażeniu może być kilka zmiennych. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę x i y jako zmienne, to wyrażenie jest wyrażeniem z dwiema zmiennymi x i y .

Ogólnie rzecz biorąc, przejście od pojęcia wyrażenia dosłownego do wyrażenia ze zmiennymi następuje w 7 klasie, kiedy zaczynają uczyć się algebry. Do tego momentu wyrażenia dosłowne modelowały pewne określone zadania. W algebrze zaczynają patrzeć na wyrażenie bardziej ogólnie, bez odniesienia do konkretnego zadania, rozumiejąc, że wyrażenie to pasuje do ogromnej liczby zadań.

Kończąc ten akapit, zwróćmy uwagę na jeszcze jeden punkt: według wygląd zewnętrzny wyrażenie dosłowne, nie można stwierdzić, czy litery w nim zawarte są zmiennymi, czy nie. Dlatego nic nie stoi na przeszkodzie, abyśmy uznali te litery za zmienne. W tym przypadku znika różnica między terminami „wyrażenie dosłowne” i „wyrażenie ze zmiennymi”.

Bibliografia.

Matematyka. 2 komórki Proc. dla kształcenia ogólnego instytucje z przym. do elektronu. nośnik. O godzinie 2, część 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova i inni] - 3. ed. - M.: Edukacja, 2012. - 96 s.: chor. - (Szkoła Rosji). - ISBN 978-5-09-028297-0.
Matematyka: studia. na 5 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. ed., wymazane. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ch. ISBN 5-346-00699-0.
Algebra: podręcznik na 7 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M. : Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Nazywa się wyrażenia złożone z liczb, znaków czynności i nawiasów wyrażenia liczbowe. Liczba będąca wynikiem wykonania wszystkich czynności w wyrażeniu liczbowym nazywa się wartość wyrażenia liczbowego. Mówi się, że wyrażenia numeryczne, które nie mają znaczenia, są nie ma sensu.

Znaki służą do porównywania liczb. ,,,,. W tym przypadku podwójne nierówności formy
itp. Nierówności posługujące się znakami oraz , nazywa rygorystyczny, które używają znaków oraz , –nieścisłe.

Wyrażenia złożone z cyfr, liter, znaków akcji i nawiasów nazywane są wyrażeniami dosłownymi lub wyrażenia zmienne lub ze zmiennymi. Zbiór wartości zmiennych, dla których wyrażenie ze zmienną ma wartość liczbową (ma sens) nazywa się Prawidłowy zakres zmienna tego wyrażenia.

Wyrażenia zmienne służą do zapisywania liczb określonego rodzaju. Na przykład wpis
oznacza dowolną liczbę trzycyfrową, która ma setki dziesiątki i jednostki, tj.
. Za pomocą wyrażeń dosłownych wygodnie jest zapisywać reguły matematyczne, prawa, definicje. Na przykład, definicja modułu(całkowita wartość) liczby można napisać tak:
.

Elementy statystyki

Seria liczb uzyskana w wyniku badania statystycznego nazywa się próbkowanie statystyczne lub po prostu próbowanie, a każda liczba w tej serii to opcja próbki. Liczba liczb w rzędzie nazywa się tom próbki. Nagrywanie próbki, gdy następna opcja jest nie mniejsza niż poprzednia jest wywoływana uporządkowane serie danych(lub seria wariacyjna).

Średnia arytmetyczna próbki nazywamy ilorazem sumy wszystkich wariantów próby i liczby wariantów (tj. ilorazem sumy wszystkich wariantów i tom próbki). Liczba wystąpień tego samego wariantu w próbie nazywa się częstotliwość ta opcja. Próbka o najwyższej częstotliwości nazywa się pobieranie próbek mody. Różnica między największą a najmniejszą próbką nazywa się na wielką skalę próbki. Jeśli w uporządkowanej serii danych występuje nieparzysta liczba wariantów, nazywana jest średnia wyniku wariantu mediana. Jeżeli w uporządkowanej serii jest parzysta liczba opcji, wówczas nazywana jest średnia arytmetyczna z dwóch średnich wyników mediana.

Opcja przygotowawcza

Na lekcjach algebry w szkole spotykamy wyrażenia różnego rodzaju. Kiedy uczysz się nowego materiału, wyrażenia stają się bardziej zróżnicowane i złożone. Na przykład zapoznaliśmy się ze stopniami - stopnie pojawiały się w wyrażeniach, badane ułamki - pojawiały się wyrażenia ułamkowe itp.

Dla wygody opisu materiału wyrażeniom składającym się z podobnych elementów nadano określone nazwy w celu odróżnienia ich od całej gamy wyrażeń. W tym artykule zapoznamy się z nimi, czyli przedstawimy przegląd podstawowych wyrażeń poznawanych na lekcjach algebry w szkole.

Nawigacja po stronach.

Jednomiany i wielomiany

Zacznijmy od wyrażeń zwanych jednomiany i wielomiany. W momencie pisania tego tekstu rozmowa o jednomianach i wielomianach zaczyna się na lekcjach algebry w klasie 7. Podano tam następujące definicje.

Definicja.

jednomiany liczby, zmienne, ich stopnie z wskaźnik naturalny, a także wszelkie dzieła z nich złożone.

Definicja.

Wielomiany to suma jednomianów.

Na przykład liczba 5 , zmienna x , stopień z 7 , iloczyny 5 x i 7 x 2 7 z 7 są jednomianami. Jeśli weźmiemy sumę jednomianów, na przykład 5+x lub z 7 +7+7 x 2 7 z 7 , otrzymamy wielomian.

Praca z jednomianami i wielomianami często oznacza robienie z nimi różnych rzeczy. Tak więc na zbiorze jednomianów określa się mnożenie jednomianów i podnoszenie jednomianu do potęgi w tym sensie, że w wyniku ich wykonania uzyskuje się jednomian.

Na zbiorze wielomianów definiuje się dodawanie, odejmowanie, mnożenie, potęgowanie. Jak te akcje są zdefiniowane i według jakich reguł są wykonywane, omówimy w artykule akcje z wielomianami.

Jeśli mówimy o wielomianach z jedną zmienną, to podczas pracy z nimi podział wielomianu przez wielomian ma duże znaczenie praktyczne i często takie wielomiany muszą być reprezentowane jako iloczyn, działanie to nazywa się faktoryzacją wielomianu.

Ułamki wymierne (algebraiczne)

W klasie 8 rozpoczyna się badanie wyrażeń zawierających dzielenie przez wyrażenie ze zmiennymi. A pierwsze takie wyrażenia to ułamki wymierne, który niektórzy autorzy nazywają ułamki algebraiczne.

Definicja.

Ułamek wymierny (algebraiczny) jest to ułamek, którego licznik i mianownik są wielomianami, w szczególności jednomianami i liczbami.

Oto kilka przykładów ułamków wymiernych: i . Nawiasem mówiąc, każdy zwykły ułamek jest ułamkiem wymiernym (algebraicznym).

Na planie ułamki algebraiczne Wprowadzono dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i potęgowanie. Jak to się robi, wyjaśniono w artykule Operacje na ułamkach algebraicznych.

Często trzeba dokonywać przekształceń ułamków algebraicznych, z których najczęstsze to redukcja i redukcja do nowego mianownika.

Wyrażenia racjonalne

Definicja.

Wyrażenia z uprawnieniami ( wyrażenia mocy) są wyrażeniami zawierającymi stopnie w ich notacji.

Oto kilka przykładów wyrażeń z uprawnieniami. Nie mogą zawierać zmiennych, takich jak 2 3 , . Istnieją również wyrażenia potęgowe ze zmiennymi: itp.

Nie zaszkodzi zapoznać się z tym, jak transformacja wyrażeń z mocami.

Wyrażenia irracjonalne, wyrażenia z korzeniami

Definicja.

Wyrażenia zawierające logarytmy są nazywane wyrażenia logarytmiczne.

Przykładami wyrażeń logarytmicznych są log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , .

Bardzo często w wyrażeniach zarówno stopnie, jak i logarytmy występują jednocześnie, co jest zrozumiałe, ponieważ z definicji logarytm jest wykładnikiem. Dzięki temu wyrażenia tego rodzaju wyglądają naturalnie: .

Kontynuując temat, odsyłam do materiału transformacja wyrażeń logarytmicznych.

Frakcje

W tym akapicie rozważymy wyrażenia specjalnego rodzaju - ułamki.

Frakcja rozszerza pojęcie. Ułamki mają również licznik i mianownik znajdujące się odpowiednio powyżej i poniżej poziomej kreski ułamkowej (po lewej i prawej stronie ukośnika). Tylko w przeciwieństwie do zwykłe ułamki, licznik i mianownik mogą zawierać nie tylko liczby całkowite, ale także wszelkie inne liczby, a także wszelkie wyrażenia.

Zdefiniujmy więc ułamek.

Definicja.

Frakcja jest wyrażeniem składającym się z licznika i mianownika oddzielonych kreską ułamkową, które reprezentują wyrażenie numeryczne lub alfabetyczne lub liczbę.

Ta definicja pozwala nam podać przykłady ułamków.

Zacznijmy od przykładów ułamków, których licznikami i mianownikami są liczby: 1/4, , (-15)/(-2) . W liczniku i mianowniku ułamka mogą występować wyrażenia zarówno liczbowe, jak i alfabetyczne. Oto przykłady takich ułamków: (a+1)/3 , (a+b+c)/(a 2 +b 2) , .

Ale wyrażenia 2/5−3/7 nie są ułamkami, chociaż zawierają ułamki w swoich wpisach.

Wyrażenia ogólne

W liceum, zwłaszcza w zadaniach o podwyższonym stopniu trudności i zadaniach grupy C z Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki, napotkamy wyrażenia o złożonej formie zawierające pierwiastki, potęgi, logarytmy, funkcje trygonometryczne itp. Na przykład, lub . Wydają się pasować do kilku typów wyrażeń wymienionych powyżej. Ale zwykle nie są klasyfikowane jako jeden z nich. Są brane pod uwagę wyrażenia ogólna perspektywa , a opisując, po prostu wypowiadają wyrażenie, bez dodawania dodatkowych wyjaśnień.

Kończąc artykuł, chciałbym powiedzieć, że jeśli to wyrażenie jest uciążliwe, a jeśli nie jesteś do końca pewien, do jakiego rodzaju należy, to lepiej nazywać to tylko wyrażeniem niż nazywać to wyrażeniem, które nie jest .

Bibliografia.

Matematyka: studia. na 5 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. ed., wymazane. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ch. ISBN 5-346-00699-0.
Matematyka. Klasa 6: podręcznik. dla kształcenia ogólnego instytucje / [N. Ya Vilenkin i inni]. - wyd. 22, ks. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: podręcznik na 7 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M. : Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: Klasa 9: podręcznik. dla kształcenia ogólnego instytucje / [Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; Wyd. A. N. Kolmogorova.- 14. wyd.- M.: Oświecenie, 2004.- 384 s.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji: wprowadzić pojęcia wyrażenia ze zmiennymi, znaczenie wyrażenia ze zmiennymi, wzór, nauczyć się rozróżniać wyrażenia, które nie mają sensu.

Rodzaj lekcji: lekcja połączona.

Ekwipunek: karty do indywidualnej ankiety, karty do gry „Matematyczne Lotto”, prezentacja.

Podczas zajęć

I.Inicjacja.

A) Gotowość do lekcji.

B) Pozdrowienia.

II. Praca domowa.

s.7 nr 25, 31, 44.

III. Aktualizacja wiedzy.

a) Sprawdzanie pracy domowej.

840=23*3*5*7; 1260=22*3*5*31

GCD (840, 1260)=23*3*5*7*31=26040.

Odpowiedź: 26040.

GCD (120, 280, 320)=23*5=40

40>30, 40 (konto) - w pierwszej klasie.

Odpowiedź: 40 uczniów.

1 sposób

x=3,2*200/1000; x=0,64.

0,64 (%) - tłuszcz

x=2,5*200/1000; x=0,5.

0,5 (%) - białko

x=4,7*200/1000; x=0,94.

0,94 (%) - węglowodany

2 sposób

1000/200=5 (razy) - zmniejszyła się objętość mleka

3,2:5=0,64 (%) - tłuszcz
2,5:5=0,5 (%) - białko
4,7:5=0,94 (%) - węglowodany

Odpowiedź: 0,64%, 0,5%, 0,94%.

a) 28+15; b) 6*3; c) 3-8,7; d) 0,8:0,4.

B) Karty indywidualne.

Znajdź NWD liczb 24 i 34.
Znajdź wartość wyrażenia: a) 69,95+27,8; b) 54,5-6,98.

Znajdź NWD liczb 27 i 19.
Oblicz: a) 85-98,04; b) 65,7 * 13,4.

Znajdź NWD liczb 17 i 36.
Oblicz: a) 0,48 * 5,6; b) 67,89-23,3.

C) Lotto matematyczne.

Wykonuj działania i uzyskaj obraz.

8,5-7,3	5,6+0,9	2,5-(3,2+1,8)
4,7*12,3	2*9,5+14	6,1*(8,4:4)
65:1,3	(10-2,7):5	(6,4+7):2

1,2	6,5	-2,5
57,81	33	12,81
50	1,46	6,7

IV. Formowanie nowych pojęć i przekonań.

1. Nowy materiał.

Wyrażenia ze zmiennymi

Poruszając się z prędkością 70 km/h, samochód pokona 70*3 km w 3 godziny, 70*4 km w 4 godziny, 70*5 km w 5 godzin, a 70*5,5 km w 5,5 godziny.

Jaką odległość przebył samochód w t godzin? Generalnie w ciągu przejedzie 70t km. Zmieniając wartość t, możemy użyć wyrażenia 70t, aby znaleźć drogę przebytą przez samochód w różnych okresach czasu. Aby to zrobić, wystarczy zastąpić literę t jej wartością i wykonać mnożenie. Literę t w wyrażeniu 70t nazywamy zmienną, a samo wyrażenie 70t nazywamy wyrażeniem ze zmienną.

Weźmy inny przykład. Niech długości boków prostokąta wyniosą cm i cm, wtedy jego powierzchnia będzie równa śr cm2. Wyrażenie ab zawiera dwie zmienne a i b. Pokazuje, jak znaleźć obszar prostokąta różne wartości a i c. Na przykład:

jeśli a = 8 i b = 11, to ab = 8-11 = 88;

jeśli a = 25 i b = 4, to ab = 25-4=100.

Jeżeli w wyrażeniu ze zmiennymi podstawimy którąkolwiek z jego wartości zamiast każdej zmiennej, otrzymamy wyrażenie liczbowe. Jego wartość nazywana jest wartością wyrażenia ze zmiennymi dla wybranych wartości zmiennych.

Tak więc liczba 88 jest wartością wyrażenia ab dla a = 8 i 6=11, liczba 100 jest wartością tego wyrażenia dla a = 25 i 6 = 4.

Niektóre wyrażenia nie mają sensu dla niektórych wartości zmiennej, podczas gdy inne mają sens dla wszystkich wartości zmiennej. Przykładami są wyrażenia

x(x + 1), ay - 4.

Wyrażenia zmienne służą do pisania formuł. Rozważ przykłady.

Dowolną parzystą liczbę m można przedstawić jako iloczyn 2 i liczby całkowitej n, tj. m=2n.

Jeżeli w tym wzorze za n zostaną podstawione liczby całkowite, to wartości zmiennej m będą liczbami parzystymi. Formuła m= 2n nazywana jest formułą liczb parzystych.

Formuła m= 2n + 1, gdzie n jest liczbą całkowitą, nazywana jest formułą liczb nieparzystych.

Podobnie jak wzór na liczbę parzystą, możesz zapisać wzór na wielokrotność dowolnej innej liczby naturalnej.

Na przykład wzór na liczbę będącą wielokrotnością 3 można zapisać w następujący sposób: m=3n, gdzie n jest liczbą całkowitą.

V. Zastosowanie zdobytej wiedzy w praktyce.

Realizacja nr 19-24 według podręcznika.

Rezerwa #26.

VI. Odbicie.

Co to jest wyrażenie zmienne?
Jaką wartość ma wyrażenie ze zmienną?
Podaj przykłady wyrażeń ze zmiennymi.

I. Wyrażenia, w których wraz z literami mogą być używane liczby, znaki operacji arytmetycznych i nawiasy nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.

Przykłady wyrażeń algebraicznych:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Ponieważ literę w wyrażeniu algebraicznym można zastąpić różnymi liczbami, literę nazywamy zmienną, a samo wyrażenie algebraiczne nazywamy wyrażeniem ze zmienną.

II. Jeśli w wyrażeniu algebraicznym litery (zmienne) są zastępowane ich wartościami i wykonywane są określone czynności, to wynikowa liczba nazywana jest wartością wyrażenia algebraicznego.

Przykłady. Znajdź wartość wyrażenia:

1) a + 2b-c dla a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| w x = -8; y=-5; z = 6.

Rozwiązanie.

1) a + 2b-c dla a = -2; b = 10; c = -3,5. Zamiast zmiennych podstawiamy ich wartości. Otrzymujemy:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| w x = -8; y=-5; z = 6. Podstawiamy wskazane wartości. Pamiętaj, że moduł Liczba ujemna jest równy jej przeciwnej liczbie, a moduł liczby dodatniej jest równy tej liczbie. Otrzymujemy:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Wartości litery (zmiennej), dla których wyrażenie algebraiczne ma sens, nazywane są prawidłowymi wartościami litery (zmiennej).

Przykłady. Przy jakich wartościach zmiennej wyrażenie nie ma sensu?

Rozwiązanie. Wiemy, że nie da się dzielić przez zero, dlatego każde z tych wyrażeń nie będzie miało sensu przy wartości litery (zmiennej), która zamienia mianownik ułamka na zero!

W przykładzie 1) jest to wartość a = 0. Rzeczywiście, jeśli zamiast a podstawimy 0, to liczba 6 będzie musiała zostać podzielona przez 0, ale nie można tego zrobić. Odpowiedź: wyrażenie 1) nie ma sensu, gdy a = 0.

W przykładzie 2) mianownik x - 4 = 0 przy x = 4, zatem ta wartość x = 4 i nie może być wzięta. Odpowiedź: wyrażenie 2) nie ma sensu dla x = 4.

W przykładzie 3) mianownik to x + 2 = 0 dla x = -2. Odpowiedź: wyrażenie 3) nie ma sensu przy x = -2.

W przykładzie 4) mianownik to 5 -|x| = 0 dla |x| = 5. A ponieważ |5| = 5 i |-5| \u003d 5, to nie możesz wziąć x \u003d 5 i x \u003d -5. Odpowiedź: wyrażenie 4) nie ma sensu dla x = -5 i dla x = 5.
IV. Mówi się, że dwa wyrażenia są identycznie równe, jeśli dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych odpowiadające im wartości tych wyrażeń są równe.

Przykład: 5 (a - b) i 5a - 5b są identyczne, ponieważ równość 5 (a - b) = 5a - 5b będzie prawdziwa dla dowolnych wartości a i b. Równość 5 (a - b) = 5a - 5b jest identycznością.

Tożsamość to równość obowiązująca dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w niej zmiennych. Przykładami już znanych Tobie tożsamości są na przykład właściwości dodawania i mnożenia, właściwość dystrybucji.

Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie mu równym, nazywamy transformacją identyczną lub po prostu transformacją wyrażenia. Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi są wykonywane na podstawie właściwości operacji na liczbach.

Przykłady.

a) przekonwertuj wyrażenie na identycznie równe, używając właściwości rozdzielczej mnożenia:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Rozwiązanie. Przypomnijmy własność rozdzielczą (prawo) mnożenia:

(a+b) c=a c+b c(rozdzielcze prawo mnożenia względem dodawania: aby pomnożyć sumę dwóch liczb przez trzecią liczbę, każdy wyraz można pomnożyć przez tę liczbę i dodać wyniki).
(a-b) c=a c-b c(Dystrybucyjne prawo mnożenia względem odejmowania: aby pomnożyć różnicę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć przez tę liczbę oddzielnie pomniejszoną i odejmowaną i odjąć drugą od pierwszego wyniku).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6 rano -2an +ak.

b) przekształć wyrażenie na identycznie równe, korzystając z przemiennych i asocjacyjnych własności (praw) dodawania:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Rozwiązanie. Stosujemy prawa (właściwości) dodawania:

a+b=b+a(przesunięcie: suma nie zmienia się od zmiany warunków).
(a+b)+c=a+(b+c)(skojarzenie: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch wyrazów, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej do pierwszej liczby).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

w) przekształć wyrażenie na identycznie równe za pomocą przemiennych i łącznych własności (praw) mnożenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 lata · (-jeden); 9) 3a · (-3) · 2s.

Rozwiązanie. Zastosujmy prawa (własności) mnożenia:

a b=b a(przemieszczenie: permutacja czynników nie zmienia produktu).
(a b) c=a (b c)(łącznie: aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 lata · (-1) = 7 lat.

9) 3a · (-3) · 2s = -18s.

Jeśli wyrażenie algebraiczne jest podane jako ułamek redukowalny, to przy użyciu reguły redukcji ułamka można je uprościć, tj. zamień identycznie równe mu na prostsze wyrażenie.

Przykłady. Uprość, stosując redukcję frakcji.

Rozwiązanie. Zmniejszenie ułamka oznacza podzielenie jego licznika i mianownika przez tę samą liczbę (wyrażenie) inną niż zero. Frakcja 10) zostanie zmniejszona o 3b; frakcja 11) zmniejszyć o a i frakcja 12) zmniejszyć o 7n. Otrzymujemy:

Wyrażenia algebraiczne służą do formułowania formuł.

Formuła to wyrażenie algebraiczne zapisane jako równość, które wyraża związek między dwiema lub większą liczbą zmiennych. Przykład: formuła ścieżki, którą znasz s=v t(s to przebyta odległość, v to prędkość, t to czas). Pamiętaj, jakie inne formuły znasz.

Strona 1 z 1 1