Bir çox insanlar eksponensial bərabərsizliklərin mürəkkəb və anlaşılmaz bir şey olduğunu düşünür. Və onları həll etməyi öyrənmək, demək olar ki, böyük bir sənətdir, onu yalnız seçilmişlər dərk edə bilər...

Tam cəfəngiyyat! Eksponensial bərabərsizliklər asandır. Və onlar həmişə sadə şəkildə həll olunur. Yaxşı, demək olar ki, həmişə. :)

Bu gün biz bu mövzuya daxildən və xaricdən baxacağıq. Bu dərs məktəb riyaziyyatının bu bölməsini yeni anlamağa başlayanlar üçün çox faydalı olacaq. Sadə problemlərdən başlayaq və daha mürəkkəb məsələlərə keçək. Bu gün heç bir çətin iş olmayacaq, amma indi oxuduqlarınız hər cür testlərdə və müstəqil işlərdə bərabərsizliklərin əksəriyyətini həll etmək üçün kifayət edəcəkdir. Həm də sizin bu imtahanınızda.

Həmişə olduğu kimi, tərifdən başlayaq. Eksponensial bərabərsizlik eksponensial funksiyanı ehtiva edən hər hansı bərabərsizlikdir. Başqa sözlə, həmişə formanın bərabərsizliyinə endirilə bilər

\[((a)^(x)) \gt b\]

Harada $b$-ın rolu adi bir rəqəm və ya bəlkə də daha sərt bir şey ola bilər. Nümunələr? Bəli, zəhmət olmasa:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ dördlük ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(hizalayın)\]

Məncə məna aydındır: $((a)^(x))$ eksponensial funksiyası var, onu nə iləsə müqayisə edirlər, sonra isə $x$ tapmağı xahiş edirlər. Xüsusilə kliniki hallarda, $x$ dəyişəninin yerinə bəzi $f\left(x \right)$ funksiyası qoya və bununla da bərabərsizliyi bir qədər çətinləşdirə bilər.

Təbii ki, bəzi hallarda bərabərsizlik daha şiddətli görünə bilər. Misal üçün:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Və ya hətta bu:

Ümumiyyətlə, belə bərabərsizliklərin mürəkkəbliyi çox müxtəlif ola bilər, lakin sonda onlar yenə də sadə konstruksiyaya qədər azalır $((a)^(x)) \gt b$. Və biz bir şəkildə belə bir quruluşu anlayacağıq (xüsusilə klinik hallarda, heç bir şey ağlımıza gəlmədikdə, logarifmlər bizə kömək edəcəkdir). Buna görə də, indi sizə bu cür sadə konstruksiyaları necə həll edəcəyinizi öyrədəcəyik.

Sadə eksponensial bərabərsizliklərin həlli

Çox sadə bir şeyə baxaq. Məsələn, bu:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Aydındır ki, sağdakı rəqəm ikinin gücü kimi yenidən yazıla bilər: $4=((2)^(2))$. Beləliklə, orijinal bərabərsizlik çox rahat bir formada yenidən yazıla bilər:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

İndi isə əllərim $x \gt 2$ cavabını almaq üçün səlahiyyətlər bazasında ikilikləri “xırdalamaq” üçün qaşınır. Ancaq hər hansı bir şeyi silməzdən əvvəl ikisinin gücünü xatırlayaq:

\[((2)^(1))=2;\dörd ((2)^(2))=4;\dörd ((2)^(3))=8;\dörd ((2)^( 4))=16;...\]

Gördüyünüz kimi, eksponentdəki rəqəm nə qədər böyükdürsə, çıxış nömrəsi bir o qədər böyükdür. "Sağ ol, Kap!" – tələbələrdən biri qışqıracaq. Fərqlidirmi? Təəssüf ki, olur. Misal üçün:

\[((\left(\frac(1)(2) \sağ))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ sağ))^(2))=\frac(1)(4);\dörd ((\sol(\frac(1)(2) \sağ))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Burada da hər şey məntiqlidir: dərəcə nə qədər böyükdürsə, 0,5 rəqəmi bir o qədər çox dəfə özünə vurulur (yəni yarıya bölünür). Beləliklə, nəticədə ədədlərin ardıcıllığı azalır və birinci və ikinci ardıcıllıq arasındakı fərq yalnız əsasdadır:

• Əgər dərəcənin bazası $a \gt 1$ olarsa, $n$ eksponenti artdıqca $((a)^(n))$ sayı da artacaq;
• Və əksinə, əgər $0 \lt a \lt 1$ olarsa, $n$ eksponenti artdıqca $((a)^(n))$ sayı azalacaq.

Bu faktları ümumiləşdirərək, eksponensial bərabərsizliklərin bütün həllinin əsaslandığı ən vacib ifadəni əldə edirik:

Əgər $a \gt 1$ olarsa, onda $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ bərabərsizliyi $x \gt n$ bərabərsizliyinə ekvivalentdir. Əgər $0 \lt a \lt 1$ olarsa, onda $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ bərabərsizliyi $x \lt n$ bərabərsizliyinə ekvivalentdir.

Başqa sözlə, baza birdən böyükdürsə, onu sadəcə silə bilərsiniz - bərabərsizlik işarəsi dəyişməyəcək. Baza birdən azdırsa, o da çıxarıla bilər, lakin eyni zamanda bərabərsizlik işarəsini dəyişdirməli olacaqsınız.

Nəzərə alın ki, biz $a=1$ və $a\le 0$ variantlarını nəzərdən keçirməmişik. Çünki bu hallarda qeyri-müəyyənlik yaranır. Tutaq ki, $((1)^(x)) \gt 3$ şəklində olan bərabərsizliyi necə həll etmək olar? Hər hansı bir gücə bir yenə birini verəcək - heç vaxt üç və ya daha çox almayacağıq. Bunlar. həll yolları yoxdur.

Mənfi səbəblərlə hər şey daha maraqlıdır. Məsələn, bu bərabərsizliyə nəzər salın:

\[((\left(-2 \sağ))^(x)) \gt 4\]

İlk baxışdan hər şey sadədir:

Düzdür? Amma yox! Həllin düzgün olmadığına əmin olmaq üçün $x$ əvəzinə bir neçə cüt və bir neçə tək rəqəmi əvəz etmək kifayətdir. Bax:

\[\begin(align) & x=4\Sağ ox ((\left(-2 \sağ))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Sağ ox ((\sol(-2 \sağ))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Sağ ox ((\sol(-2 \sağ))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Sağ ox ((\sol(-2 \sağ))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Gördüyünüz kimi, işarələr bir-birini əvəz edir. Amma fraksiya səlahiyyətləri və başqa cəfəngiyyatlar da var. Məsələn, $((\left(-2 \sağ))^(\sqrt(7)))$ (mənfi iki yeddinin qüvvəsinə) hesablamağı necə əmr edərdiniz? Heç bir şəkildə!

Buna görə də, müəyyənlik üçün bütün eksponensial bərabərsizliklərdə (yeri gəlmişkən, tənliklərdə də) $1\ne a \gt 0$ olduğunu fərz edirik. Və sonra hər şey çox sadə şəkildə həll olunur:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Sağ ox \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \sağ), \\ & x \lt n\quad \sol(0 \lt a \lt 1 \sağ). \\\sonu(düzləşdirin) \sağa.\]

Ümumiyyətlə, əsas qaydanı bir daha xatırlayın: eksponensial tənlikdəki baza birdən böyükdürsə, onu sadəcə silə bilərsiniz; və əgər baza birdən azdırsa, onu da çıxarmaq olar, lakin bərabərsizlik əlaməti dəyişəcək.

Həll nümunələri

Beləliklə, bir neçə sadə eksponensial bərabərsizliyə baxaq:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(hizalayın)\]

Bütün hallarda əsas vəzifə eynidir: bərabərsizlikləri ən sadə formaya endirmək $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Biz indi hər bərabərsizliklə məhz belə edəcəyik və eyni zamanda dərəcələrin və eksponensial funksiyaların xassələrini təkrarlayacağıq. Beləliklə, gedək!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Burada nə edə bilərsən? Yaxşı, solda artıq göstərici ifadəmiz var - heç nəyi dəyişdirmək lazım deyil. Ancaq sağda bir növ axmaqlıq var: kəsr və hətta məxrəcdə bir kök!

Bununla belə, fraksiyalar və güclərlə işləmə qaydalarını xatırlayaq:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(hizalayın)\]

Bunun mənası nədi? Birincisi, kəsri mənfi eksponentli gücə çevirməklə onu asanlıqla qurtara bilərik. İkincisi, məxrəcin kökü olduğu üçün onu gücə çevirmək yaxşı olardı - bu dəfə kəsr göstəricisi ilə.

Bu hərəkətləri ardıcıl olaraq bərabərsizliyin sağ tərəfinə tətbiq edin və nə baş verdiyinə baxın:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \sağ))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \sağ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \sağ)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Unutmayın ki, bir dərəcəni bir gücə qaldırarkən, bu dərəcələrin göstəriciləri toplanır. Və ümumiyyətlə, eksponensial tənliklər və bərabərsizliklərlə işləyərkən, güclərlə işləmək üçün ən azı ən sadə qaydaları bilmək mütləq lazımdır:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \sağ))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(hizalayın)\]

Əslində biz son qaydanı tətbiq etdik. Beləliklə, orijinal bərabərsizliyimiz aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Sağ ox ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

İndi ikisini bazadan qurtarırıq. 2 > 1 olduğundan bərabərsizlik işarəsi eyni qalacaq:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty;\frac(2)(3) \sağ]. \\\end(align)\]

Həll budur! Əsas çətinlik eksponensial funksiyada deyil, orijinal ifadənin səriştəli çevrilməsindədir: diqqətlə və tez onu ən sadə formasına gətirməlisiniz.

İkinci bərabərsizliyi nəzərdən keçirin:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Belə-belə. Burada bizi ondalık kəsrlər gözləyir. Dəfələrlə dediyim kimi, səlahiyyətləri olan hər hansı ifadələrdə ondalık hissələrdən qurtulmalısınız - bu, tez və sadə həlli görməyin yeganə yoludur. Burada xilas olacağıq:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ sağ))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Sağ ox ((\left(\frac(1)(10) \sağ))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \sağ))^(2)). \\\end(hizalayın)\]

Burada yenə ən sadə bərabərsizliyə sahibik və hətta 1/10 bazası ilə, yəni. birdən azdır. Yaxşı, əsasları çıxarırıq, eyni zamanda işarəni “az”dan “daha ​​çox”a dəyişirik və alırıq:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(hizalayın)\]

Son cavabı aldıq: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Diqqət yetirin: cavab dəqiq dəstdir və heç bir halda $x \lt -1$ formasının konstruksiyası deyil. Çünki formal olaraq belə konstruksiya ümumiyyətlə çoxluq deyil, $x$ dəyişəninə münasibətdə bərabərsizlikdir. Bəli, çox sadədir, amma cavab bu deyil!

Vacib Qeyd. Bu bərabərsizlik başqa bir şəkildə həll edilə bilər - hər iki tərəfi birdən böyük bir gücə endirməklə. Bax:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Sağ ox ((\sol(((10)^(-1)) \sağ))^(1-x)) \ lt ((\sol(((10)^(-1)) \sağ))^(2))\Sağ ox ((10)^(-1\cdot \sol(1-x \sağ)) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Belə bir transformasiyadan sonra biz yenidən eksponensial bərabərsizlik əldə edəcəyik, lakin bazası 10 > 1. Bu o deməkdir ki, biz sadəcə onluğu kəsə bilərik - bərabərsizliyin işarəsi dəyişməyəcək. Biz əldə edirik:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(hizalayın)\]

Gördüyünüz kimi, cavab eyni idi. Eyni zamanda, özümüzü işarəni dəyişdirmək və ümumiyyətlə hər hansı qaydaları xatırlamaq ehtiyacından xilas etdik.

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Bununla belə, bunun sizi qorxutmasına imkan verməyin. Göstəricilərdə nə olursa olsun, bərabərsizliyin həlli texnologiyasının özü eyni olaraq qalır. Ona görə də əvvəlcə qeyd edək ki, 16 = 2 4. Bu faktı nəzərə alaraq orijinal bərabərsizliyi yenidən yazaq:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Yaşasın! Adi kvadrat bərabərsizliyi əldə etdik! İşarə heç yerdə dəyişməyib, çünki baza ikidir - birdən böyük bir rəqəm.

Ədəd xəttindəki funksiyanın sıfırları

$f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ funksiyasının işarələrini düzürük - aydındır ki, onun qrafiki budaqları yuxarı olan parabola olacaq, ona görə də “pluslar” olacaq. ” yanlarda. Biz funksiyanın sıfırdan az olduğu bölgə ilə maraqlanırıq, yəni. $x\in \left(2;5 \right)$ orijinal məsələnin cavabıdır.

Nəhayət, başqa bərabərsizliyə nəzər salın:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Yenə biz bazasında onluq kəsr olan eksponensial funksiya görürük. Bu kəsri ümumi kəsrə çevirək:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\sol(((5)^(-1)) \sağ))^(1+(x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \sağ)))\end(align)\]

Bu halda, biz daha əvvəl verilmiş qeyddən istifadə etdik - sonrakı həllimizi sadələşdirmək üçün bazanı 5 > 1 rəqəminə endirdik. Sağ tərəflə də eyni şeyi edək:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \sağ))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ sağa))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Hər iki çevrilməni nəzərə alaraq orijinal bərabərsizliyi yenidən yazaq:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Sağ ox ((5)^(-1\cdot \sol(1+) ((x)^(2)) \sağ)))\ge ((5)^(-2))\]

Hər iki tərəfdəki əsaslar eynidir və birdən çoxdur. Sağda və solda başqa terminlər yoxdur, ona görə də biz sadəcə beşlikləri “xırda edirik” və çox sadə bir ifadə alırıq:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Burada daha diqqətli olmaq lazımdır. Bir çox tələbə bərabərsizliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü götürüb $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ kimi bir şey yazmağı xoşlayır. Heç bir halda bunu etmək olmaz. , çünki dəqiq kvadratın kökü moduldur və heç bir halda orijinal dəyişən deyil:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\sol| x\right|\]

Bununla belə, modullarla işləmək ən xoş təcrübə deyil, elə deyilmi? Beləliklə, biz işləməyəcəyik. Bunun əvəzinə, biz sadəcə olaraq bütün şərtləri sola köçürürük və interval metodundan istifadə edərək adi bərabərsizliyi həll edirik:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \sol(x-1 \sağ)\sol(x+1 \sağ)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\dörd ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Alınan nöqtələri nömrə xəttində yenidən qeyd edirik və işarələrə baxırıq:

Diqqət edin: nöqtələr kölgəlidir

Qeyri-ciddi bərabərsizliyi həll etdiyimiz üçün qrafikdəki bütün nöqtələr kölgədədir. Buna görə də cavab belə olacaq: $x\in \left[ -1;1 \right]$ interval deyil, seqmentdir.

Ümumiyyətlə, qeyd etmək istərdim ki, eksponensial bərabərsizliklər haqqında mürəkkəb bir şey yoxdur. Bu gün həyata keçirdiyimiz bütün çevrilmələrin mənası sadə bir alqoritmə gəlir:

• Bütün dərəcələri azaldacağımız əsası tapın;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ formasının bərabərsizliyini əldə etmək üçün çevirmələri diqqətlə yerinə yetirin. Təbii ki, $x$ və $n$ dəyişənlərinin yerinə daha mürəkkəb funksiyalar ola bilər, lakin məna dəyişməyəcək;
• Dərəcələrin əsaslarını kəsin. Bu halda əsas $a \lt 1$ olarsa bərabərsizlik işarəsi dəyişə bilər.

Əslində, bu, bütün belə bərabərsizliklərin həlli üçün universal bir alqoritmdir. Və bu mövzuda sizə deyəcəkləri hər şey sadəcə çevrilməni asanlaşdıracaq və sürətləndirəcək xüsusi texnika və fəndlərdir. İndi bu üsullardan biri haqqında danışacağıq. :)

Rasionallaşdırma üsulu

Başqa bərabərsizliklər toplusunu nəzərdən keçirək:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi) \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \sağ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \sağ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \sağ))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \sağ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Bəs onlar haqqında bu qədər xüsusi olan nədir? Onlar yüngüldür. Baxmayaraq ki, dayan! π ədədi müəyyən gücə yüksəldilirmi? Nə cəfəngiyyat?

$2\sqrt(3)-3$ rəqəmini gücə necə qaldırmaq olar? Yoxsa $3-2\sqrt(2)$? Problemli yazıçılar işə oturmadan əvvəl çoxlu yemişan içiblər :)

Əslində bu vəzifələrdə qorxulu heç nə yoxdur. Xatırladıram: eksponensial funksiya $((a)^(x))$ formasının ifadəsidir, burada $a$ əsası birdən başqa istənilən müsbət ədəddir. π ədədi müsbətdir - biz bunu artıq bilirik. $2\sqrt(3)-3$ və $3-2\sqrt(2)$ rəqəmləri də müsbətdir - onları sıfırla müqayisə etsəniz bunu görmək asandır.

Belə çıxır ki, bütün bu "qorxulu" bərabərsizliklər yuxarıda müzakirə olunan sadələrdən heç bir fərqi yoxdur? Və onlar eyni şəkildə həll olunurmu? Bəli, bu tamamilə doğrudur. Bununla belə, onların nümunəsindən istifadə edərək, müstəqil işə və imtahanlara vaxta çox qənaət edən bir texnikanı nəzərdən keçirmək istərdim. Rasionallaşdırma üsulu haqqında danışacağıq. Beləliklə, diqqət:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ formasının istənilən eksponensial bərabərsizliyi $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) bərabərsizliyinə ekvivalentdir. sağa) \gt 0 $.

Bütün üsul budur :) Başqa bir oyun olacağını düşünürdünüzmü? Bu kimi heç nə! Amma hərfi mənada bir sətirdə yazılmış bu sadə fakt işimizi xeyli asanlaşdıracaq. Bax:

\[\begin(matris) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Aşağı \\ \sol(x+7-\sol(((x)^(2)) -3x+2 \sağ) \sağ)\cdot \sol(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \sağ) \gt 0 \\\end(matris)\]

Beləliklə, daha eksponensial funksiyalar yoxdur! Və işarənin dəyişib-dəyişmədiyini xatırlamaq lazım deyil. Ancaq yeni bir problem ortaya çıxır: \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] lənətə gəlmiş çarpanla nə etməli? π ədədinin dəqiq dəyərinin nə olduğunu bilmirik. Bununla belə, kapitan açıq-aydın eyham vurur:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\təxminən 3,14... \gt 3\Sağ ox \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Ümumiyyətlə, π-nin dəqiq dəyəri bizi həqiqətən də maraqlandırmır - yalnız bizim üçün hər bir halda $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 olduğunu başa düşmək vacibdir. $, t.e. bu müsbət sabitdir və bərabərsizliyin hər iki tərəfini onunla bölmək olar:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \sağ) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \sol(x-5 \sağ)\sol(x+1 \sağ) \lt 0. \\\end(align)\]

Gördüyünüz kimi, müəyyən bir anda mənfi birə bölmək məcburiyyətində qaldıq - və bərabərsizlik işarəsi dəyişdi. Sonda Vyeta teoremindən istifadə edərək kvadrat üçhəcmini genişləndirdim - aydındır ki, köklər $((x)_(1))=5$ və $((x)_(2))=-1$-a bərabərdir. . Sonra hər şey klassik interval üsulu ilə həll olunur:

İnterval üsulu ilə bərabərsizliyin həlli

Orijinal bərabərsizlik ciddi olduğundan bütün nöqtələr silinir. Mənfi dəyərləri olan bölgə ilə maraqlanırıq, ona görə də cavab $x\in \left(-1;5 \right)$-dır. Həll budur :)

Növbəti tapşırığa keçək:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \sağ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Burada hər şey ümumiyyətlə sadədir, çünki sağda bir vahid var. Və xatırlayırıq ki, bir sıfıra yüksəldilmiş istənilən rəqəmdir. Bu rəqəm solda əsasda irrasional ifadə olsa belə:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \sağ))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\end(hizalayın)\]

Yaxşı, rasionallaşdıraq:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \sağ) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Qalan yalnız əlamətləri anlamaqdır. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ faktorunda $x$ dəyişəni yoxdur - bu sadəcə sabitdir və onun işarəsini tapmaq lazımdır. Bunu etmək üçün aşağıdakıları qeyd edin:

\[\begin(matris) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Aşağı \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \sağ) \lt 2\cdot \left(2) -2 \sağ)=0 \\\end(matris)\]

Belə çıxır ki, ikinci faktor sadəcə sabit deyil, mənfi sabitdir! Və ona böldükdə ilkin bərabərsizliyin işarəsi əksinə dəyişir:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \sağ) \gt 0. \\\end(align)\]

İndi hər şey tamamilə aydın olur. Sağdakı kvadrat trinomialın kökləri aşağıdakılardır: $((x)_(1))=0$ və $((x)_(2))=2$. Onları rəqəm sətirində qeyd edirik və $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ funksiyasının işarələrinə baxırıq:

Bizi yan intervallarla maraqlandıran vəziyyət

Bizi plus işarəsi ilə qeyd olunan intervallar maraqlandırır. Yalnız cavabı yazmaq qalır:

Növbəti nümunəyə keçək:

\[((\left(\frac(1)(3) \sağ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ sağa))^(16-x))\]

Yaxşı, burada hər şey tamamilə aydındır: əsaslar eyni sayda səlahiyyətləri ehtiva edir. Buna görə də hər şeyi qısaca yazacağam:

\[\begin(matris) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Aşağı \\ ((\sol(((3)^(-1)) \sağ))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \sağ))^(16-x)) \\\end(matris)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ sol(16-x \sağ))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \sol(x+8 \sağ)\sol(x-4 \sağ) \lt 0. \\\end(align)\]

Göründüyü kimi, transformasiya zamanı biz mənfi ədədə vurmalı olduq, buna görə bərabərsizlik işarəsi dəyişdi. Sonda kvadrat üçhəcmli faktorlara Vyeta teoremini yenidən tətbiq etdim. Nəticə olaraq cavab belə olacaq: $x\in \left(-8;4 \right)$ - hər kəs bunu rəqəm xətti çəkərək, nöqtələri qeyd etməklə və işarələri saymaqla yoxlaya bilər. Bu vaxt "dəstimizdən" sonuncu bərabərsizliyə keçəcəyik:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \sağ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Gördüyünüz kimi, bazada yenə irrasional ədəd, sağda isə yenidən vahid var. Beləliklə, eksponensial bərabərsizliyimizi aşağıdakı kimi yenidən yazırıq:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \sağ))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ sağ)))^(0))\]

Rasionallaşdırma tətbiq edirik:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \sağ) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \sağ)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Bununla belə, tamamilə aydındır ki, $1-\sqrt(2) \lt 0$, çünki $\sqrt(2)\təqribən 1,4... \gt 1$. Beləliklə, ikinci amil yenə mənfi sabitdir və bərabərsizliyin hər iki tərəfini bölmək olar:

\[\begin(matris) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Aşağıya doğru \ \\son (matris)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \sağ) \lt 0. \\\end(align)\]

Başqa bazaya keçin

Eksponensial bərabərsizlikləri həll edərkən ayrıca bir problem "düzgün" əsasın axtarışıdır. Təəssüf ki, bir vəzifəyə ilk baxışdan nəyi əsas götürmək və bu əsasın dərəcəsinə görə nə etmək lazım olduğu həmişə aydın olmur.

Ancaq narahat olmayın: burada heç bir sehr və ya "gizli" texnologiya yoxdur. Riyaziyyatda alqoritmləşdirilməsi mümkün olmayan hər hansı bir bacarıq təcrübə vasitəsilə asanlıqla inkişaf etdirilə bilər. Ancaq bunun üçün müxtəlif səviyyəli mürəkkəblik problemlərini həll etməli olacaqsınız. Məsələn, bu kimi:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \sağ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \sağ))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \sağ))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \sağ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ bitir(hizalayın)\]

Çətin? Qorxulu? Asfalta toyuq vurmaqdan asandır! Gəlin cəhd edək. Birinci bərabərsizlik:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Düşünürəm ki, burada hər şey aydındır:

Hər şeyi iki əsasa endirərək orijinal bərabərsizliyi yenidən yazırıq:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Sağ ox \sol(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \sağ)\cdot \sol(2-1 \sağ) \lt 0\]

Bəli, bəli, düz eşitdiniz: yuxarıda təsvir olunan səmərələşdirmə metodunu tətbiq etdim. İndi biz diqqətlə işləməliyik: bizdə kəsr-rasional bərabərsizlik var (bu, məxrəcdə dəyişən olan bərabərsizlikdir), ona görə də hər şeyi sıfıra bərabərləşdirməzdən əvvəl hər şeyi ortaq məxrəcə gətirmək və sabit amildən xilas olmaq lazımdır. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \sağ)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

İndi standart interval metodundan istifadə edirik. Numerator sıfırları: $x=\pm 4$. Məxrəc yalnız $x=0$ olduqda sıfıra keçir. Rəqəm xəttində qeyd edilməli olan cəmi üç nöqtə var (bərabərsizlik işarəsi ciddi olduğu üçün bütün nöqtələr bərkidilir). Biz əldə edirik:

Daha mürəkkəb vəziyyət: üç kök

Təxmin etdiyiniz kimi, kölgələmə soldakı ifadənin mənfi qiymətlər aldığı intervalları qeyd edir. Buna görə də, yekun cavab eyni anda iki intervalı əhatə edəcək:

İlkin bərabərsizlik ciddi olduğundan intervalların ucları cavaba daxil edilmir. Bu cavabın əlavə yoxlanması tələb olunmur. Bu baxımdan, eksponensial bərabərsizliklər loqarifmiklərdən daha sadədir: ODZ yoxdur, məhdudiyyət yoxdur və s.

Növbəti tapşırığa keçək:

\[((\left(\frac(1)(3) \sağ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Burada da heç bir problem yoxdur, çünki biz artıq $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ olduğunu bildiyimiz üçün bütün bərabərsizliyi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Sağ ox ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\sol(-2 \sağ) \sağ. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Diqqət yetirin: üçüncü sətirdə xırda şeylərə vaxt itirməməyə və dərhal hər şeyi (−2) bölməsinə qərar verdim. Minul birinci mötərizəyə girdi (indi hər yerdə müsbətlər var), ikisi isə sabit faktorla azaldıldı. Müstəqil və sınaq işi üçün real hesablamalar hazırlayarkən məhz bunu etməlisiniz - hər bir hərəkəti və çevrilməni birbaşa təsvir etməyə ehtiyac yoxdur.

Sonra, tanış olan intervallar üsulu işə düşür. Numerator sıfırlar: lakin heç biri yoxdur. Çünki diskriminant mənfi olacaq. Öz növbəsində, məxrəc yalnız $x=0$ olduqda sıfırlanır - eynilə keçən dəfə olduğu kimi. Yaxşı, aydındır ki, $x=0$-ın sağında kəsr müsbət, sola isə mənfi qiymətlər alacaq. Mənfi dəyərlərlə maraqlandığımız üçün son cavab belədir: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \sağ))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \sağ))^(x))\ge 1\]

Eksponensial bərabərsizliklərdə onluq kəsrlərlə nə etmək lazımdır? Düzdür: onlardan qurtulun, onları adi olanlara çevirin. Burada tərcümə edəcəyik:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Sağ ox ((\left(0.16 \sağ))^(1+2x)) =(\ sol(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Sağ ox ((\sol(6,25 \sağ))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\sağ))^(x)). \\\end(hizalayın)\]

Beləliklə, eksponensial funksiyaların əsaslarında nə əldə etdik? Və iki qarşılıqlı tərs ədəd aldıq:

\[\frac(25)(4)=((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-1))\Sağ ox ((\sol(\frac(25)(4) \ sağ))^(x))=((\sol(((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-1)) \sağ))^(x))=((\\ sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-x))\]

Beləliklə, orijinal bərabərsizliyi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \sağ) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x+\left(-x \sağ)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(0) ). \\\end(hizalayın)\]

Təbii ki, gücləri eyni baza ilə vurarkən onların göstəriciləri toplanır, ikinci sətirdə belə oldu. Bundan əlavə, biz sağdakı bölməni, həmçinin 4/25 bazasında bir güc olaraq təmsil etdik. Yalnız rasionallaşdırmaq qalır:

\[((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(0)) \Sağ ox \sol(x+1-0 \sağ)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \sağ)\ge 0\]

Qeyd edək ki, $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, yəni. ikinci amil mənfi sabitdir və ona bölündükdə bərabərsizlik işarəsi dəyişir:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Nəhayət, cari “dəst” dən sonuncu bərabərsizlik:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \sağ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Prinsipcə, burada həll ideyası da aydındır: bərabərsizliyə daxil olan bütün eksponensial funksiyalar “3” bazasına endirilməlidir. Ancaq bunun üçün köklər və güclərlə bir az məşğul olmalı olacaqsınız:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3))))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\dörd 81=((3)^(4)). \\\end(hizalayın)\]

Bu faktları nəzərə alaraq, orijinal bərabərsizliyi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \sağ))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\sağ))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(hizalayın)\]

Hesablamaların 2-ci və 3-cü sətirlərinə diqqət yetirin: bərabərsizliklə bir şey etməzdən əvvəl onu dərsin əvvəlindən danışdığımız formaya gətirməyi unutmayın: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Nə qədər ki, solda və ya sağda bəzi solaxay amillər, əlavə sabitlər və s. heç bir səmərələşdirmə və ya əsasların “xırdalanması” həyata keçirilə bilməz! Bu sadə həqiqəti dərk edə bilməmək səbəbindən saysız-hesabsız tapşırıqlar səhv yerinə yetirilmişdir. Mən özüm eksponensial və loqarifmik bərabərsizlikləri yenicə təhlil etməyə başlayanda tələbələrimlə bu problemi daim müşahidə edirəm.

Ancaq gəlin vəzifəmizə qayıdaq. Gəlin bu dəfə rasionallaşdırmadan etməyə çalışaq. Xatırlayaq: dərəcənin əsası birdən böyükdür, ona görə də üçlükləri sadəcə kəsmək olar - bərabərsizlik işarəsi dəyişməyəcək. Biz əldə edirik:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Hamısı budur. Yekun cavab: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Sabit ifadənin təcrid edilməsi və dəyişənin dəyişdirilməsi

Yekun olaraq, hazırlıqsız tələbələr üçün onsuz da olduqca çətin olan daha dörd eksponensial bərabərsizliyin həllini təklif edirəm. Onların öhdəsindən gəlmək üçün dərəcələrlə işləmə qaydalarını xatırlamaq lazımdır. Xüsusilə, ümumi amilləri mötərizədən çıxarmaq.

Ancaq ən başlıcası, mötərizədə tam olaraq nəyin çıxarıla biləcəyini başa düşməyi öyrənməkdir. Belə bir ifadə sabit adlanır - onu yeni dəyişən ilə işarələmək və beləliklə, eksponensial funksiyadan xilas olmaq olar. Beləliklə, tapşırıqlara baxaq:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \sağ))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

İlk sətirdən başlayaq. Bu bərabərsizliyi ayrıca yazaq:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Qeyd edək ki, $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, belə ki, sağ əl tərəfi yenidən yazıla bilər:

Qeyd edək ki, bərabərsizlikdə $((5)^(x+1))$-dan başqa heç bir eksponensial funksiya yoxdur. Və ümumiyyətlə, $x$ dəyişəni başqa yerdə görünmür, ona görə də yeni dəyişən təqdim edək: $((5)^(x+1))=t$. Aşağıdakı tikintini alırıq:

\[\başla(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Orijinal dəyişənə qayıdırıq ($t=((5)^(x+1))$) və eyni zamanda 1=5 0 olduğunu xatırlayırıq. Bizdə:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(hizalayın)\]

Həll budur! Cavab: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. İkinci bərabərsizliyə keçək:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Burada hər şey eynidir. Qeyd edək ki, $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Sonra sol tərəf yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\sağ. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Sağ ox x\in \left[ 2;+\infty \sağ). \\\end(hizalayın)\]

Həqiqi testlər və müstəqil iş üçün bir həll hazırlamağınız təxminən belədir.

Yaxşı, daha mürəkkəb bir şeyə cəhd edək. Məsələn, burada bərabərsizlik var:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Burada problem nədir? Əvvəla, soldakı eksponensial funksiyaların əsasları fərqlidir: 5 və 25. Bununla belə, 25 = 5 2, buna görə də birinci hədd çevrilə bilər:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align) )\]

Gördüyünüz kimi, əvvəlcə hər şeyi eyni bazaya gətirdik, sonra birinci terminin asanlıqla ikinciyə endirilə biləcəyini gördük - sadəcə eksponenti genişləndirmək lazımdır. İndi siz təhlükəsiz şəkildə yeni dəyişəni təqdim edə bilərsiniz: $((5)^(2x+2))=t$ və bütün bərabərsizlik aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Və yenə də heç bir çətinlik yoxdur! Son cavab: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Bugünkü dərsimizdə yekun bərabərsizliyə keçək:

\[((\left(0,5 \sağ))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Diqqət etməli olduğunuz ilk şey, əlbəttə ki, birinci gücün bazasındakı onluq kəsrdir. Ondan qurtulmaq və eyni zamanda bütün eksponensial funksiyaları eyni bazaya - "2" rəqəminə gətirmək lazımdır:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Sağ ox ((\left(0.5 \sağ))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \sağ))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Sağ ox ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \sağ))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Əla, biz ilk addımı atdıq - hər şey eyni təmələ gətirib çıxardı. İndi sabit bir ifadə seçməlisiniz. Qeyd edək ki, $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Əgər yeni $((2)^(4x+6))=t$ dəyişəni təqdim etsək, onda ilkin bərabərsizlik aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(hizalayın)\]

Təbii ki, sual yarana bilər: 256 = 2 8 olduğunu necə kəşf etdik? Təəssüf ki, burada sadəcə ikinin səlahiyyətlərini (və eyni zamanda üç və beşin səlahiyyətlərini) bilmək lazımdır. Yaxşı, ya da nəticəni əldə edənə qədər 256-nı 2-yə bölün (bölmək olar, çünki 256 cüt ədəddir). Bu kimi bir şey görünəcək:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(align) )\]

Eyni şey üç (9, 27, 81 və 243 rəqəmləri onun dərəcələridir) və yeddi ilə (49 və 343 rəqəmlərini xatırlamaq yaxşı olardı) ilə də eynidir. Bəli, beşin də bilməli olduğunuz "gözəl" dərəcələri var:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(hizalayın)\]

Əlbəttə ki, istəsəniz, bütün bu rəqəmləri sadəcə ardıcıl olaraq bir-birinə vurmaqla zehninizdə bərpa etmək olar. Bununla belə, bir neçə eksponensial bərabərsizliyi həll etməli olduğunuzda və hər bir növbəti əvvəlkindən daha çətin olduqda, düşünmək istədiyiniz son şey bəzi ədədlərin səlahiyyətləridir. Və bu mənada bu problemlər interval üsulu ilə həll olunan “klassik” bərabərsizliklərdən daha mürəkkəbdir.

Ümid edirəm bu dərs bu mövzunu mənimsəməkdə sizə kömək etdi. Bir şey aydın deyilsə, şərhlərdə soruşun. Və növbəti dərslərdə görüşərik :)

Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı. 10-cu sinif. Dərs kitabı. Nikolski S.M. və s.

Əsas və profil səviyyələri

8-ci nəşr. - M.: Təhsil, 2009. - 430 s.

Dərslik riyaziyyat üzrə ümumi təhsilin dövlət standartının federal komponentlərinə uyğundur və həm əsas, həm də ixtisas səviyyələri üçün material ehtiva edir. Əvvəlki illərdə məktəblilərin hansı dərslikləri oxumasından asılı olmayaraq onunla işləyə bilərsiniz.

Dərslik tələbələri ali məktəblərə qəbula hazırlamaq məqsədi daşıyır.

Format: djvu

Ölçü: 15.2 MB

Baxın, endirin:drive.google ; Rghost

Format: pdf

Ölçü: 42.3 MB

Baxın, endirin:drive.google ; Rghost

Qeyd: PDF keyfiyyəti daha yaxşıdır, demək olar ki, əladır. Eyni skandan hazırlanıb, 150 dpi, rəngli. Ancaq DJVU-da bir az daha pis çıxır. Bu, ölçünün vacib olduğu bir vəziyyətdir.

MÜNDƏRİCAT
FƏSİL I. KÖKLƏR, GÜCLƏR, LOQARİFMLER
§ 1. Həqiqi ədədlər 3
1.1. Həqiqi ədəd 3 anlayışı
1.2. Çoxlu nömrələr. Həqiqi ədədlərin xassələri. ... 10
1.3*. Riyazi induksiya metodu 16
1.4. Permütasyonlar 22
1.5. Yerləşdirmə 25
1.6. Qarışıqlar 27
1.7*. Ədədi bərabərsizliklərin sübutu 30
1.8*. Tam ədədlərin bölünməsi 35
1.9*. Müqayisə modulu t 38
1.10*. Tam naməlumlarla problemlər 40
§ 2. Rasional tənliklər və bərabərsizliklər 44
2.1. Rasional ifadələr 44
2.2. Nyutonun binom düsturları, güclərin cəmi və fərqləri. . 48
2.3*. Çoxhədlilərin qalığa bölünməsi. Evklid alqoritmi... 53
2.4*. Bezout teoremi 57
2.5*. 60 polinomunun kökü
2.6. Rasional tənliklər 65
2.7. Rasional tənliklər sistemləri 70
2.8. Bərabərsizliklərin həlli üçün interval üsulu 75
2.9. Rasional bərabərsizliklər 79
2.10. Qeyri-sərt bərabərsizliklər 84
2.11. Rasional bərabərsizliklər sistemləri 88
§ 3. Dərəcənin kökü n 93
3.1. Funksiya anlayışı və onun qrafiki 93
3.2. y = x" 96 funksiyası
3.3. n 100 dərəcə kök anlayışı
3.4. Cüt və tək dərəcələrin kökləri 102
3.5. Arifmetik kök 106
3.6. l 111 dərəcəli köklərin xassələri
3.7*. y = nx (x > 0) funksiyası 114
3.8*. y = nVx 117 funksiyası
3.9*. 119 natural ədədinin kökü n
§ 4. 122 müsbət rəqəminin gücü
4.1. Rasional göstərici 122 olan güc
4.2. Rasional göstəricisi 125 olan dərəcələrin xassələri
4.3. Ardıcıllıq limiti anlayışı 131
4.4*. Limitlərin xassələri 134
4.5. Sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş. . . 137
4.6. Nömrə e 140
4.7. İrrasional göstəricili dərəcə anlayışı.... 142
4.8. Eksponensial funksiya 144
§ 5. Loqarifmlər 148
5.1. Loqarifm anlayışı 148
5.2. Loqarifmlərin xassələri 151
5.3. Loqarifmik funksiya 155
5.4*. Onluq loqarifmlər 157
5.5*. Güc funksiyaları 159
§ 6. Eksponensial və loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər. . 164
6.1. Ən sadə eksponensial tənliklər 164
6.2. Sadə loqarifmik tənliklər 166
6.3. Naməlum 169-u əvəz etməklə tənliklər ən sadəə endirilir
6.4. Ən sadə eksponensial bərabərsizliklər 173
6.5. Ən sadə loqarifmik bərabərsizliklər 178
6.6. Naməlum 182-ni əvəz etməklə bərabərsizliklər ən sadəə endirilir
Tarixi məlumat 187
II FƏSİL. TRIQONOMETRİK FORMULLAR. TRIQONOMETRİK FUNKSİYALAR
§ 7. Bucağın sinusu və kosinusu 193
7.1. Bucaq anlayışı 193
7.2. Radian bucağın ölçüsü 200
7.3. Bucağın sinusunun və kosinusunun təyini 203
7.4. Sin a və cos a 211 üçün əsas düsturlar
7.5. Arcsine 216
7.6. Qövs kosinusu 221
7.7*. Arksinus və arkkosindan istifadə nümunələri.... 225
7.8*. Arcsine və arkcosine üçün düsturlar 231
§ 8. 233-cü bucağın tangensi və kotangensi
8.1. Bucağın tangensi və kotangensinin təyini 233
8.2. tg a və ctg a 239 üçün əsas düsturlar
8.3. Arktangent 243
8.4*. Qövs tangensi 246
8.5*. Arktangent və arkkotangensdən istifadə nümunələri. . 249
8.6*. Arktangens və arkkotangens üçün düsturlar 255
§ 9. Əlavə düsturları 258
9.1. Fərqin kosinusu və iki bucağın cəminin kosinusu 258
9.2. Əlavə bucaqlar üçün düsturlar 262
9.3. İki bucağın cəminin sinusu və fərqinin sinusu 264
9.4. Sinus və kosinusların cəmi və fərqi 266
9.5. İki və yarım bucaq üçün düsturlar 268
9.6*. Sinusların və kosinusların hasilatı 273
9.7*. Tangens üçün düsturlar 275
§ 10. Ədədi arqumentin triqonometrik funksiyaları 280
10.1. y = sin x 281 funksiyası
10.2. y = cos x 285 funksiyası
10.3. Funksiya y = tg * 288
10.4. Funksiya y = ctg x 292
§ 11. Triqonometrik tənliklər və bərabərsizliklər 295
11.1. Sadə triqonometrik tənliklər 295
11.2. Naməlum 299-u əvəz etməklə tənliklər ən sadəə endirilir
11.3. 303-cü tənliklərin həllində əsas triqonometrik düsturların tətbiqi
11.4. Homojen tənliklər 307
11.5*. Sinus və kosinus üçün ən sadə bərabərsizliklər.... 310
11.6*. Tangens və kotangens üçün ən sadə bərabərsizliklər. . . 315
11.7*. Naməlum 319-u əvəz etməklə bərabərsizliklər ən sadəə endirilir
11.8*. Köməkçi bucağın tətbiqi 322
11.9*. Naməlum t = sin x + cos x 327-nin dəyişdirilməsi
Tarixi məlumat 330
III FƏSİL. Ehtimal NƏZƏRİYYƏSİNİN Elementləri
§ 12. 333-cü hadisənin baş vermə ehtimalı
12.1. Hadisə ehtimalı anlayışı 333
12.2. Hadisə ehtimallarının xassələri 338
§ 13*. Tezlik. Şərti ehtimal 342
13.1*. Hadisənin nisbi tezliyi 342
13.2*. Şərti ehtimal. Müstəqil hadisələr 344
§ 14*. Gözlənilən dəyər. Böyük ədədlər qanunu 348
14.1*. Riyazi gözlənti 348
14.2*. Çətin təcrübə 353
14.3*. Bernoulli düsturu. Böyük ədədlər qanunu 355
Tarixi məlumat 359
NƏZRƏ EDİN TAPŞIQLAR 362
Mövzu indeksi 407
Cavablar 410

İş yeri, vəzifəsi: - MOU-SOSH r.p. Puşkino, müəllim

Bölgə: — Saratov vilayəti

Dərsin (məşğələnin) xarakteristikası Təhsil səviyyəsi: - orta (tam) ümumi təhsil

Hədəf auditoriyası: — Şagird (tələbə)
Hədəf auditoriyası: — Müəllim (müəllim)

Sinif(lər): – 10-cu sinif

Mövzu(lar): – Cəbr

Dərsin məqsədi: - didaktik: loqarifmik və eksponensial bərabərsizliklərin həllinin əsas texnika və üsullarını təkmilləşdirmək və bütün şagirdlərin eksponensial və loqarifmik bərabərsizliklərin həllinin əsas alqoritmik üsullarını mənimsəmələrini təmin etmək; inkişaf etdirici: məntiqi təfəkkür, yaddaş, idrak marağı inkişaf etdirmək, riyazi nitqin formalaşmasını davam etdirmək, təhlil və müqayisə etmək bacarığını inkişaf etdirmək; təhsil: notebookda qeydlərin estetik dizaynını, başqalarını dinləmək bacarığını və ünsiyyət qurmaq, dəqiqlik və zəhmətkeşliyi aşılamaq.

Dərsin növü: — Biliyin ümumiləşdirilməsi və sistemləşdirilməsi dərsi

Sinifdəki şagirdlər (auditoriya): - 25

Qısa təsvir: - Eksponensial və loqarifmik bərabərsizliklərin həlli riyaziyyatın mürəkkəb mövzularından biri hesab olunur və şagirdlərdən yaxşı nəzəri biliklərə malik olmağı, onları praktikada tətbiq etmək bacarığını tələb edir, diqqət, zəhmət və zəka tələb edir. Dərsdə müzakirə olunan mövzu ali məktəblərə qəbul imtahanlarına və buraxılış imtahanlarına da götürülür. Bu növ dərs məntiqi təfəkkür, yaddaş, idrak marağı inkişaf etdirir, təhlil etmək, müqayisə etmək və başqalarını dinləmək bacarığının inkişafına töhfə verir.

Dərsin mərhələləri və onların məzmunu

Vaxt

(dəq)

fəaliyyət

müəllimlər

tələbə

1.Təşkilati mərhələ

təşkilati

İşdən kənarda qalanlar bildirilir.

2. Məqsəd təyini

Bu gün dərsimizdə eksponensial və loqarifmik bərabərsizliklərin həlli üçün öyrənilmiş əsas üsul və üsulları tətbiq etməyə davam edəcəyik, həmçinin loqarifmik və eksponensial bərabərsizliklərin həllinin digər yollarını nəzərdən keçirəcəyik: bu, naməlumu əvəz etməklə rasional bərabərsizliklərə keçiddir, eləcə də bərabərsizliyin hər iki tərəfini müsbət ədədə bölmək üsulu.

Dərsin mövzusunu, dərsin tarixini, dərsin məqsədini bildirir

Noutbuklara yazın

3. Ev tapşırığını yoxlamaq

Tələbələrin istəyi ilə 3 nəfəri şuraya çağırır və eyni zamanda nəzəri məsələlərlə bağlı frontal söhbət aparır.

Şurada dörd nəfər işləyir, qalanları nəzəri sorğuda iştirak edir

Ev tapşırığı üçün sizdən iki mürəkkəblik səviyyəsində loqarifmik və eksponensial bərabərsizlikləri həll etməyiniz xahiş olundu. Onlardan bəzilərinin həllini lövhədə görək

6.49(a); 6.52(d) 6.56(b),6.54(b).

4.Şagirdlərin biliklərinin yenilənməsi

Keçən dərsdə hansı üsulları müzakirə etdiyimizi xatırlayaq.

Bu gün biz yeni naməlumu təqdim etdikdən sonra rasional bərabərsizliklərə çevrilən bərabərsizliklərə baxacağıq.

Bunun üçün A(x) / B(x)>0 formalı rasional bərabərsizliyin həlli yolunu xatırlayaq? Rasional bərabərsizlikləri həll etmək üçün hansı üsuldan istifadə olunur?

5. Şagirdlərin bilik və bacarıqlarının təkmilləşdirilməsi

xx

Misal 1)2 - 9 / (2 -1)0

3 dəq

x +0,5xx +0,5

3). 25- 710+4>0

3 dəq

5). Yeni şeylərin konsolidasiyası.

Lövhədə məşqlər etmək

6.48(.g);6.58(b);6.59(b) - lövhədə 6.62(c)

Rasional həll metodunu seçmək üçün sizə rəhbərlik edir. mülahizələrin düzgünlüyünə və bərabərsizliyin həllinin düzgün qeydinə nəzarət edir. İşə görə qiymət verir

Bir şagird şurada qərar verir. Qalanları həlli dəftərə yazır.

6) Fərqləndirilmiş müstəqil iş (ekrandakı tapşırıq)

Səviyyə 1:

Seçim 12

№6.48(b);No.6.48(e);

№ 6.58(a) ;No 6.58(c)

Səviyyə 2:

Seçim 12

№6.61(b);No.6.61(d);

№ 6.62(c);No 6.62(d).

5 dəqiqə

Yan lövhədə 2 nəfər fərdi işləyir. Qalanları sahədə çoxsəviyyəli müstəqil işlər görürlər

7) Müstəqil işin yoxlanılması

3 dəq

8) Ev tapşırığı (ekranda)

1-ci səviyyə 6.6-cı bənd № 6.48 (a. № 6.50);

Səviyyə 2: bənd 6.6; № 6.59(c); No 6.62 (a, № 158 (səh. 382) № 168 (a, b) (s. 383);

2 dəqiqə

Ev tapşırığını izah edir, şagirdlərin diqqətini oxşar tapşırıqların sinifdə əhatə olunduğuna yönəldir.

Son iki tapşırıq Moskva Dövlət Universitetinə və MTITF-ə qəbul olunduqdan sonra təklif edildi.

Müəllimi diqqətlə dinlədikdən sonra ev tapşırığını yazın. Çətinlik səviyyəsini özünüz seçirsiniz.

8) Dərsin yekunu: Göstərici və loqarifmik bərabərsizliklərin həlli məktəb riyaziyyat kursunun mürəkkəb mövzularından biri hesab olunur və şagirdlərdən yaxşı nəzəri biliklərə malik olmağı, onları praktikada tətbiq etmək bacarığını tələb edir, diqqət, zəhmət, intellekt tələb edir; bu səbəbdən dərsdə müzakirə olunan bərabərsizliklər universitetlərə giriş imtahanlarına və buraxılış imtahanlarına daxil edilir

Hamıya təşəkkürlər.

2 dəqiqə

Fayllar:
Fayl ölçüsü: 6789120 bayt.

Riyaziyyat müəllimi MOU - 2 nömrəli tam orta məktəb, Stepnoe Trufyakova Qalina İvanovna saytı

Slayd 2

Dərsin xülasəsi

Eksponensial bərabərsizliklər mövzusu Riyaziyyatın vacib mövzusudur. S. M. Nikolskinin dərsliyinə görə, 10-cu sinifdə öyrənilir və onun öyrənilməsinə planlaşdırmada 2 saat ayrılır: 1 saat - Ən sadə eksponensial bərabərsizliklər; 1 saat – Naməlumu əvəz etməklə bərabərsizliklər ən sadəə endirilir. Bu müddət ərzində tələbələri yeni və çox həcmli materialla tanış etmək, onlara eksponensial bərabərsizliklərin bütün növlərini həll etməyi öyrətmək və bu bacarıq və bacarıqları yaxşı tətbiq etmək lazımdır və kommunikasiya texnologiyaları bu problemləri tez və daha səmərəli şəkildə həll etməyə imkan verir.

Slayd 3

Slayd 4

Albert Eynşteyn

“Mən vaxtımı siyasətlə tənliklər və bərabərsizliklərin həlli arasında bölməliyəm. Ancaq tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli, mənim fikrimcə, çox daha vacibdir, çünki siyasət yalnız bu an üçün mövcuddur, lakin tənliklər və bərabərsizliklər əbədi olaraq mövcud olacaq”.

Slayd 5

Dərsin strukturu

Təşkilati məqam Məqsəd və vəzifələrin qoyulması Mühazirə planı Əvvəllər öyrənilmiş materialın təkrarı şəklində tələbələrin biliklərinin yenilənməsi Yeni biliklərin təqdim edilməsi Müsahibə şəklində biliklərin möhkəmləndirilməsi Dərsin yekunlaşdırılması Ev tapşırığı

Slayd 6

Təşkilat vaxtı

Şagirdləri salamlamaq Dərsdə olmayan tələbələrin adlarını sinif jurnalında qeyd edin

Slayd 7

Məqsəd və vəzifələrin qoyulması

Dərsin əvvəlində tələbələri mühazirə planı ilə tanış etmək və onu dəftərlərinə yazmaq.

Slayd 8

Dərsin Məqsədləri

Tədris Eksponensial bərabərsizliklər anlayışının formalaşdırılması Şagirdləri eksponensial bərabərsizliklərin növləri ilə tanış etmək Eksponensial bərabərsizlikləri həll etmək üçün bacarıq və bacarıqların formalaşdırılması

Slayd 9

Maarifləndirici Zəhməti tərbiyə etmək Məqsədlərə çatmaqda müstəqillik tərbiyə etmək Hesablama bacarıqlarını formalaşdırmaq Qeydlər apararkən estetik bacarıqları formalaşdırmaq

Slayd 10

İnkişaf Zehni fəaliyyətin inkişafı Yaradıcı təşəbbüsün inkişafı İdrak fəaliyyətinin inkişafı Nitqin və yaddaşın inkişafı

Slayd 11

Dərsin Məqsədləri

Eksponensial funksiyanın xassələrini nəzərdən keçirin Kvadrat və kəsr rasional bərabərsizliklərin həlli qaydalarını nəzərdən keçirin Ən sadə eksponensial bərabərsizliklərin həlli alqoritmini işləyib hazırlayın Şagirdlərə eksponensial bərabərsizliklərin növlərini ayırd etməyi öyrədin Şagirdlərə eksponensial bərabərsizlikləri həll etməyi öyrədin

Slayd 12

Dərs növü

Yeni biliklərin formalaşmasında dərs

Slayd 13

Dərs növü

Dərs - mühazirə

Slayd 14

Tədris metodları

İzahlı və illüstrativ Evristik Axtarış Problemli

Slayd 15

Təhsil texnologiyası

Problemli öyrənməyə əsaslanan informasiya və kommunikasiya texnologiyaları

Slayd 16

Mühazirə konturu

Eksponensial funksiyanın xassələrinin təkrarı Ən sadə eksponensial bərabərsizliklər Ən sadəə endirən eksponensial bərabərsizliklər Kvadrat bərabərsizliklərə endirən eksponensial bərabərsizliklər Birinci dərəcəli homojen eksponensial bərabərsizliklər İkinci dərəcəli eksponensial qeyri-bərabərlikləri azaldan eksponensial bərabərsizliklər. standart bərabərsizliklər

Slayd 17

Əvvəllər öyrənilmiş materialın təkrarlanması

Lövhədə və dəftərlərdə həll edin: a) kvadrat bərabərsizliklər: x² – 2x – 1≥0 x² – 2x - 3 ≤0 b) kəsr rasional bərabərsizliyi: (x – 5) \ (x - 2) ≤ 0

Slayd 18

Eksponensial funksiyanın xassələrinin təkrarı

Slayd 19

R üzərində monoton şəkildə azalır Ox oxu üfüqi asimptotdur R 8-də monoton şəkildə artır. x və y-nin istənilən real qiymətləri üçün; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asimptot 6. Ekstrema 5. Monotonluq 4. Cüt, tək 3. Funksiya qiymətlərinin vahidlə müqayisəsi üçün intervallar 2. Funksiya qiymətlərinin diapazonu 1 Funksiyanın təyini diapazonu Eksponensial funksiyanın xüsusiyyətləri Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Eksponensial funksiyanın ekstremumları yoxdur (ümumi forma funksiyası).

Slayd 20

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və 1 nömrəli tapşırığın həlli üsulları Funksiyanın təyin olunma oblastını tapın.

Slayd 21

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və 2 nömrəli tapşırığın həlli üsulları Qiymətləri müəyyən edin

Slayd 22

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları 3 nömrəli tapşırıq Artan azalan artan azalan funksiyanın növünü müəyyən edin.

Slayd 23

Yeni biliklərin tətbiqi

Slayd 24

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Ən sadə eksponensial bərabərsizliklərin TƏRİFİ: Birə bərabər olmayan verilmiş müsbət ədəd, b isə verilmiş həqiqi ədəd olsun. Onda ax>b (ax≥b) və ax bərabərsizlikləri

Slayd 25

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Bərabərsizliyin həlli NƏDİR? Naməlum x olan bərabərsizliyin həlli x0 ədədidir ki, bu bərabərsizlikdə əvəz edildikdə həqiqi ədədi bərabərsizlik yaranır.

Slayd 26

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həll üsulları Bərabərsizliyi həll etmək NƏ DEMƏKDİR? Bərabərsizliyi həll etmək onun bütün həll yollarını tapmaq və ya heç birinin olmadığını göstərmək deməkdir.

Slayd 27

y=ax, a>0, a≠1 funksiyasının və y=b düz xəttinin nisbi mövqeyini, onların növlərini və y x y x y=b, b 0 y=b, b> həll üsullarını nəzərdən keçirək. 0 0 1 0 1 x0 x0

Slayd 28

Göstərici bərabərsizliklər, onların növləri və həll üsulları NƏTİCƏ No 1: b≤0 olduqda y=b düz xətti y=ax funksiyasının qrafiki ilə kəsişmir, çünki y=ax əyrisindən aşağıda yerləşir, ona görə də ax>b(ax≥b) bərabərsizlikləri xR üçün ödənilir və ax bərabərsizlikləri

Slayd 29

NƏTİCƏ No 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Göstərici bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Əgər a>1 və b > 0 olarsa, onda hər x1 x0- üçün y=b düz xəttinin altında . 1 b> 0 üçün y = b düz xətti y = ax funksiyasının qrafikini tək nöqtədə kəsir, onun absisi x0 = loqabdır.

Slayd 30

NƏTİCƏ No 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 Göstərici bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Əgər a>1 və b > 0 olarsa, onda hər bir x1 >x0 üçün qrafikin müvafiq nöqtəsi y=ax funksiyası y=b düz xəttinin üstündə yerləşir və hər bir x2 0 üçün y = b düz xətti y = ax funksiyasının qrafikini bir nöqtədə kəsir, onun absisi x0 = loqab x2 olur.

Slayd 31

Ən sadə eksponensial bərabərsizliklər Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları

Slayd 32

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həll üsulları Nümunə № 1.1 Cavab: tərifin bütün sahəsi üzrə artır, Həlli:

Slayd 33

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Nümunə № 1.2 Həlli: Cavab: tərifin bütün sahəsi üzrə azalır,

Slayd 34

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Nümunə № 1.3 Həlli: Cavab: tərifin bütün sahəsi üzrə artır,

Slayd 35

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Eksponensial bərabərsizliklərin növləri və onların həlli üsulları 1) Ən sadələrə endirilən eksponensial bərabərsizliklər bütün tərif dairəsi üzrə artır. Nümunə 1 Cavab: Həlli:

Slayd 36

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Nümunə № 1.4 Həlli: tərifin bütün sahəsi üzrə artır, Cavab:

Slayd 37

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Eksponensial bərabərsizliklərin növləri və onların həlli üsulları Ən sadəyə endirilmiş eksponensial bərabərsizliklər Nümunə 2. Bütün tərif sahəsi üzrə artır Cavab: Həlli:

Slayd 38

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Eksponensial bərabərsizliklərin növləri və onların həlli üsulları 2) Eksponensial bərabərsizliklər, kvadrat bərabərsizliklərə endirmə Nümunə Tərif oblastından x dəyişəninin bütün x üçün artırdığına qayıdaq Cavab: Həlli:

Slayd 39

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Göstərici bərabərsizliklərin növləri və onların həlli üsulları 3) I və II dərəcəli bircins eksponensial bərabərsizliklər. Birinci dərəcəli homojen eksponensial bərabərsizliklər Nümunə №1 bütün tərif sahəsi üzrə artır Cavab: Həlli:

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Eksponensial bərabərsizliklərin növləri və onların həlli üsulları 4) Eksponensial bərabərsizliklər, rasional bərabərsizliklərə endirmə Nümunə Bütün tərif sahəsi üzrə artan x dəyişəninə qayıdaq Cavab: Həlli:

Slayd 43

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Eksponensial bərabərsizliklərin növləri və onların həlli üsulları 5) Eksponensial qeyri-standart bərabərsizliklər Nümunə Həlli: Çoxluğun hər bir ifadəsini ayrıca həll edək. Bərabərsizlik ümumiyə bərabərdir

Slayd 44

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları Eksponensial bərabərsizliklərin növləri və onların həlli üsulları 5) Eksponensial qeyri-standart bərabərsizliklər Nümunə Cavab: Yoxlayın Yoxlama nəticəsində məlum oldu ki, x=1, x=3, x=1.5 həllərdir. tənliyi və x=2 tənliyin həlli deyil. Belə ki,

Slayd 45

Biliyin konsolidasiyası

Hansı bərabərsizliklərə eksponensial deyilir? Eksponensial bərabərsizliyin hər hansı x dəyəri üçün həlli nə vaxt olur? Nə vaxt eksponensial bərabərsizliyin həlli yoxdur? Bu dərsdə hansı bərabərsizlik növlərini öyrəndiniz? Ən sadə bərabərsizliklər necə həll olunur? Kvadrat bərabərsizliklərə endirilən bərabərsizliklər necə həll olunur? Homojen bərabərsizliklər necə həll olunur? Rasional olanlara endirilə bilən bərabərsizliklər necə həll olunur?

Slayd 46

Dərsin xülasəsi

Yeni tələbələrin bu dərsdə nə öyrəndiklərini öyrənin. Dərsdəki işlərinə görə şagirdlərə ətraflı şərhlərlə qiymət verin

Slayd 47

Ev tapşırığı

10-cu sinif “Cəbr və təhlilin başlanğıcı” üçün dərslik müəllif S.M.Nikolski Tədqiqat 6.4 və 6.6, No 6.31-6.35 və 6.45-6.50-ci bəndləri həll edir.

Slayd 48

Eksponensial bərabərsizliklər, onların növləri və həlli üsulları

Mövzu 6. Eksponensial və loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər (11 saat)
Dərs mövzusu. Naməlumları əvəz etməklə bərabərsizliklər ən sadəə endirilir.
Dərsin məqsədi: Eksponensial və loqarifmik bərabərsizlikləri ən sadəə endirməklə, naməlumları əvəz etməklə həll etmək bacarıqlarını inkişaf etdirmək.
Tapşırıqlar:
Təhsil: "Ən sadə eksponensial və loqarifmik bərabərsizliklərin həlli" mövzusunda bilikləri təkrarlayın və möhkəmləndirin, əvəzetmə metodundan istifadə edərək loqarifmik və eksponensial bərabərsizlikləri həll etməyi öyrənin.
İnkişaf etdirici: şagirdin iki növ bərabərsizliyi müəyyən etmək və onların həlli yollarını müəyyən etmək bacarığını inkişaf etdirmək (məntiqi və intuitiv təfəkkür, mühakimələrin əsaslandırılması, təsnifat, müqayisə), özünə nəzarət və özünü sınamaq bacarıqlarını inkişaf etdirmək, hərəkət etmək bacarığı. verilmiş alqoritmə uyğun olaraq, alınan nəticəni qiymətləndirmək və düzəltmək.
Təhsil: tələbələrin bu kimi keyfiyyətlərini inkişaf etdirməyə davam edin: bir-birini dinləmək bacarığı; qarşılıqlı nəzarət və özünə hörmət etmək bacarığı.
Dərsin növü: birləşdirilmiş.
Dərslik cəbr 10 sinif S.M. Nikolski, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Şevkin
Dərslər zamanı
Təşkilat vaxtı.
Ev tapşırığını yoxlamaq.
Əsas biliklərin yenilənməsi.
Frontal:
1. Hansı bərabərsizliklərə ən sadə eksponensial bərabərsizliklər deyilir?
2. Sadə eksponensial bərabərsizliklərin həllinin mənasını izah edin.
3. Hansı bərabərsizliklər ən sadə loqarifmik bərabərsizliklər adlanır?
4. Sadə loqarifmik bərabərsizliklərin həllinin mənasını izah edin.
Lövhədə yazı ilə (hər biri 1 şagird):
Bərabərsizlikləri həll edin
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Yeni materialın izahı və onun addım-addım möhkəmləndirilməsi.
1.1. Yeni materialın izahı.
1. Bərabərsizliyi həll edin:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, onda
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Bizi “−−” işarəsi maraqlandırır
Cavab:x∈(1;2)
2. Bərabərsizliyi həll edin

1.2. Addım-addım konsolidasiya.
№ 6.49(a, c).
№ 6.52(d).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Cavab: -∞;1∪54;+∞в) (13)5х2-4х-3>95х2-4х-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Cavab: -15;1d) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Cavab: -2;-1∪3;42.1. Yeni materialın izahı.
3. Bərabərsizliyi həll edin

Sonra 1 bərabərsizlik bütün x üçün məna kəsb edir, ikincisi isə

2.2. Addım-addım konsolidasiya.
6.56(c) №-li bərabərsizliyi həll edin
3.1. Yeni materialın izahı.
4. Bərabərsizliyi həll edin

3.2. Addım-addım konsolidasiya.
6.60(a) №-li bərabərsizliyi həll edin
Dərsi yekunlaşdırmaq.
Refleksiya.
Ev tapşırığı.
S. 6.6
№ 6.49 (b, d)
№ 6.52 (a, b)
№ 6.56 (d)
№ 6.60 (b)

Əlavə edilmiş fayllar