Kvadrat tənliyin düsturunu həll edin. Ənənəvi həll yolu və natamam kvadrat tənliklər. Kvadrat tənliklərin nümunələri

Kvadrat tənliklər 8-ci sinifdə öyrənilir, ona görə də burada mürəkkəb bir şey yoxdur. Onları həll etmək bacarığı vacibdir.

Kvadrat tənlik ax 2 + bx + c = 0 formalı tənlikdir, burada a, b və c əmsalları ixtiyari ədədlər və a ≠ 0 olur.

Xüsusi həll üsullarını öyrənməzdən əvvəl bütün kvadrat tənlikləri üç sinfə bölmək olar:

Kökləri yoxdur;
Tam bir kök var;
Onların iki fərqli kökü var.

Bu, kökün həmişə mövcud olduğu və unikal olduğu kvadratik tənliklərlə xətti tənliklər arasında mühüm fərqdir. Tənliyin neçə kökü olduğunu necə müəyyən etmək olar? Bunun üçün gözəl bir şey var - diskriminant.

Diskriminant

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyi verilsin.Onda diskriminant sadəcə olaraq D = b 2 − 4ac ədədidir.

Bu düsturu əzbər bilməlisiniz. Onun haradan gəldiyi indi vacib deyil. Başqa bir şey vacibdir: diskriminantın işarəsi ilə kvadrat tənliyin neçə kökü olduğunu müəyyən edə bilərsiniz. Məhz:

Əgər D< 0, корней нет;
D = 0 olarsa, tam olaraq bir kök var;
Əgər D > 0 olarsa, iki kök olacaq.

Diqqət yetirin: ayrı-seçkilik köklərin sayını göstərir, nədənsə çoxlarının inandığı kimi, onların əlamətlərini deyil. Nümunələrə nəzər salın və hər şeyi özünüz başa düşəcəksiniz:

Tapşırıq. Kvadrat tənliklərin neçə kökü var:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Birinci tənlik üçün əmsalları yazaq və diskriminantı tapaq:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deməli diskriminant müsbətdir, ona görə də tənliyin iki fərqli kökü var. İkinci tənliyi oxşar şəkildə təhlil edirik:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant mənfidir, kökləri yoxdur. Qalan son tənlik belədir:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant sıfırdır - kök bir olacaq.

Nəzərə alın ki, hər bir tənlik üçün əmsallar yazılıb. Bəli, uzun, bəli, yorucudur, amma ehtimalları qarışdırıb axmaq səhvlər etməyəcəksiniz. Özünüz üçün seçin: sürət və ya keyfiyyət.

Yeri gəlmişkən, əgər bunu başa düşsəniz, bir müddət sonra bütün əmsalları yazmağa ehtiyac qalmayacaq. Belə əməliyyatları başınızda edəcəksiniz. Əksər insanlar bunu 50-70 həll edilmiş tənlikdən sonra hardasa etməyə başlayır - ümumiyyətlə, o qədər də çox deyil.

Kvadrat tənliyin kökləri

İndi həllin özünə keçək. Diskriminant D > 0 olarsa, kökləri düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar:

Əsas kök formulu kvadrat tənlik

D = 0 olduqda, bu düsturlardan hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz - eyni nömrəni alacaqsınız, bu da cavab olacaq. Nəhayət, əgər D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Birinci tənlik:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ tənliyin iki kökü var. Gəlin onları tapaq:

İkinci tənlik:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ tənliyin yenidən iki kökü var. Gəlin onları tapaq

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \sağ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \sağ))=3. \\ \end(hizalayın)\]

Nəhayət, üçüncü tənlik:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ tənliyin bir kökü var. Hər hansı bir formula istifadə edilə bilər. Məsələn, birincisi:

Nümunələrdən göründüyü kimi, hər şey çox sadədir. Əgər düsturları bilirsinizsə və saya bilirsinizsə, heç bir problem olmayacaq. Əksər hallarda düsturda mənfi əmsalları əvəz edərkən səhvlər baş verir. Yenə də yuxarıda təsvir olunan texnika kömək edəcək: düstura sözün əsl mənasında baxın, hər addımı yazın - və çox keçmədən səhvlərdən qurtulacaqsınız.

Natamam kvadrat tənliklər

Belə olur ki, kvadrat tənlik tərifdə veriləndən bir qədər fərqlidir. Misal üçün:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Bu tənliklərdə şərtlərdən birinin əskik olduğunu görmək asandır. Belə kvadrat tənlikləri həll etmək standart tənliklərdən daha asandır: onlar hətta diskriminantın hesablanmasını tələb etmirlər. Beləliklə, yeni bir konsepsiya təqdim edək:

ax 2 + bx + c = 0 tənliyi natamam kvadratik tənlik adlanır, əgər b = 0 və ya c = 0 olarsa, yəni. x dəyişəninin və ya sərbəst elementin əmsalı sıfıra bərabərdir.

Təbii ki, bu əmsalların hər ikisi sıfıra bərabər olduqda çox çətin vəziyyət mümkündür: b = c = 0. Bu halda tənlik ax 2 = 0 formasını alır. Aydındır ki, belə tənliyin tək kökü var: x. = 0.

Qalan halları nəzərdən keçirək. b = 0 olsun, onda ax 2 + c = 0 formasının natamam kvadrat tənliyini alaq. Onu bir az çevirək:

Arifmetik kvadrat kök yalnız olmayandan mövcud olduğundan mənfi rəqəm, sonuncu bərabərlik yalnız (−c /a) ≥ 0 üçün məna kəsb edir. Nəticə:

ax 2 + c = 0 formalı natamam kvadratik tənlikdə (−c /a) ≥ 0 bərabərsizliyi təmin edilərsə, iki kök olacaqdır. Formula yuxarıda verilmişdir;
Əgər (−c /a)< 0, корней нет.

Gördüyünüz kimi, diskriminant tələb olunmurdu - natamam kvadrat tənliklərdə heç bir mürəkkəb hesablamalar ümumiyyətlə yoxdur. Əslində (−c /a) ≥ 0 bərabərsizliyini xatırlamağa belə ehtiyac yoxdur. Bunun üçün x 2 qiymətini ifadə etmək və bərabər işarəsinin digər tərəfində nə olduğunu görmək kifayətdir. Müsbət ədəd varsa, iki kök olacaq. Əgər mənfi olarsa, kökləri ümumiyyətlə olmayacaq.

İndi sərbəst elementin sıfıra bərabər olduğu ax 2 + bx = 0 formalı tənliklərə baxaq. Burada hər şey sadədir: həmişə iki kök olacaq. Polinomu faktorlaşdırmaq kifayətdir:

Mötərizədə ümumi faktorun çıxarılması

Faktorlardan ən azı biri sıfır olduqda məhsul sıfırdır. Köklər buradan gəlir. Sonda bu tənliklərdən bir neçəsinə nəzər salaq:

Tapşırıq. Kvadrat tənlikləri həll edin:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Kökləri yoxdur, çünki kvadrat mənfi ədədə bərabər ola bilməz.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Kvadrat tənlik məsələləri həm məktəb proqramında, həm də universitetlərdə öyrənilir. Onlar a*x^2 + b*x + c = 0 formalı tənlikləri nəzərdə tuturlar, burada x- dəyişən, a, b, c – sabitlər; a<>0 . Tapşırıq tənliyin köklərini tapmaqdır.

Kvadrat tənliyin həndəsi mənası

Kvadrat tənliklə ifadə olunan funksiyanın qrafiki paraboladır. Kvadrat tənliyin həlləri (kökləri) parabolanın absis (x) oxu ilə kəsişmə nöqtələridir. Beləliklə, üç mümkün hal var:
1) parabolanın absis oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur. Bu o deməkdir ki, budaqları yuxarı olan yuxarı müstəvidə və ya budaqları aşağı olan aşağıdır. Belə hallarda kvadrat tənliyin həqiqi kökləri yoxdur (onun iki mürəkkəb kökü var).

2) parabolanın Ox oxu ilə bir kəsişmə nöqtəsi var. Belə bir nöqtəyə parabolanın təpəsi deyilir və oradakı kvadrat tənlik onun minimumunu və ya maksimum dəyər. Bu halda kvadrat tənliyin bir həqiqi kökü (və ya iki eyni kök) olur.

3) Sonuncu hal praktikada daha maraqlıdır - parabolanın absis oxu ilə kəsişməsinin iki nöqtəsi var. Bu o deməkdir ki, tənliyin iki həqiqi kökü var.

Dəyişənlərin səlahiyyətlərinin əmsallarının təhlili əsasında parabolanın yerləşdirilməsi haqqında maraqlı nəticələr çıxarmaq olar.

1) a əmsalı sıfırdan böyükdürsə, parabolanın budaqları yuxarıya, mənfi olarsa, parabolanın budaqları aşağıya doğru yönəldilir.

2) Əgər b əmsalı sıfırdan böyükdürsə, onda parabolanın təpəsi sol yarımmüstəvidə yerləşirsə, mənfi məna- sonra sağda.

Kvadrat tənliyin həlli üçün düsturun çıxarılması

Kvadrat tənlikdən sabiti köçürək

bərabər işarəsi üçün ifadəni alırıq

Hər iki tərəfi 4a ilə vurun

Solda tam kvadrat əldə etmək üçün hər iki tərəfə b^2 əlavə edin və çevrilməni həyata keçirin

Buradan tapırıq

Kvadrat tənliyin diskriminantı və kökləri üçün düstur

Diskriminant radikal ifadənin qiymətidir, əgər müsbətdirsə, onda tənliyin düsturla hesablanmış iki həqiqi kökü olur. Diskriminant sıfır olduqda, kvadrat tənliyin bir həlli (iki üst-üstə düşən kök) olur ki, onu yuxarıdakı D=0 düsturundan asanlıqla əldə etmək olar.Diskriminant mənfi olduqda, tənliyin həqiqi kökləri yoxdur. Bununla belə, kvadrat tənliyin həlli kompleks müstəvidə tapılır və onların dəyəri düsturdan istifadə etməklə hesablanır.

Vyeta teoremi

Kvadrat tənliyin iki kökünü nəzərdən keçirək və onların əsasında kvadrat tənlik quraq.Vyeta teoreminin özü qeyddən asanlıqla belə çıxır: əgər formanın kvadrat tənliyi olarsa onda onun köklərinin cəmi əks işarə ilə alınan p əmsalına, tənliyin köklərinin hasili isə sərbəst q müddətinə bərabərdir. Yuxarıdakıların düstur şəklində təqdimatı belə görünəcək: Əgər klassik tənlikdə a sabiti sıfırdan fərqlidirsə, onda bütün tənliyi ona bölmək və sonra Vyeta teoremini tətbiq etmək lazımdır.

Faktorinq kvadrat tənlik cədvəli

Tapşırıq qoyulsun: kvadrat tənliyi əmsallayın. Bunun üçün əvvəlcə tənliyi həll edirik (kökləri tapırıq). Sonra tapılmış kökləri kvadrat tənliyin genişləndirmə düsturunda əvəz edirik.Bu, problemi həll edəcək.

Kvadrat tənlik məsələləri

Tapşırıq 1. Kvadrat tənliyin köklərini tapın

x^2-26x+120=0 .

Həlli: Əmsalları yazın və diskriminant düsturunda əvəz edin

kökü verilmiş dəyər 14-ə bərabərdir, bir kalkulyatorla tapmaq asandır və ya tez-tez istifadə edərək xatırlamaq olar, lakin rahatlıq üçün məqalənin sonunda bu cür problemlərdə tez-tez rast gəlinə bilən nömrələrin kvadratlarının siyahısını verəcəyəm.
Tapılan dəyər kök düsturunda əvəz olunur

və alırıq

Tapşırıq 2. Tənliyi həll edin

2x 2 +x-3=0.

Həlli: Tam kvadrat tənliyimiz var, əmsalları yazın və diskriminantı tapın

Məlum düsturlardan istifadə edərək kvadrat tənliyin köklərini tapırıq

Tapşırıq 3. Tənliyi həll edin

9x 2 -12x+4=0.

Həlli: Tam kvadrat tənliyimiz var. Diskriminantın müəyyən edilməsi

Köklərin üst-üstə düşdüyü bir vəziyyətimiz var. Düsturdan istifadə edərək köklərin dəyərlərini tapın

Tapşırıq 4. Tənliyi həll edin

x^2+x-6=0 .

Həlli: x üçün kiçik əmsalların olduğu hallarda Vyeta teoremini tətbiq etmək məsləhətdir. Şərtinə görə iki tənlik əldə edirik

İkinci şərtdən hasilin -6-ya bərabər olması lazım olduğunu alırıq. Bu o deməkdir ki, köklərdən biri mənfidir. Aşağıdakı mümkün həll yollarımız var(-3;2), (3;-2) . Birinci şərti nəzərə alaraq, ikinci həll cütünü rədd edirik.
Tənliyin kökləri bərabərdir

Məsələ 5. Perimetri 18 sm, sahəsi 77 sm 2 olan düzbucaqlının tərəflərinin uzunluqlarını tapın.

Həlli: Düzbucaqlının perimetrinin yarısı onun bitişik tərəflərinin cəminə bərabərdir. x işarə edək - böyük tərəf, sonra 18-x onun kiçik tərəfi. Düzbucaqlının sahəsi bu uzunluqların məhsuluna bərabərdir:
x(18-x)=77;
və ya
x 2 -18x+77=0.
Diskriminantı tapaq tənliklər

Tənliyin köklərinin hesablanması

Əgər x=11, Bu 18 = 7 , bunun əksi də doğrudur (x=7 olarsa, 21-lər=9).

Məsələ 6. 10x 2 -11x+3=0 kvadrat tənliyini əmsal edin.

Həlli: Gəlin tənliyin köklərini hesablayaq, bunun üçün diskriminant tapırıq

Tapılan dəyəri kök düsturunda əvəz edirik və hesablayırıq

Kvadrat tənliyi köklərə görə parçalamaq üçün düstur tətbiq edirik

Mötərizələri açaraq şəxsiyyət əldə edirik.

Parametrli kvadrat tənlik

Nümunə 1. Hansı parametr qiymətlərində A ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 tənliyinin bir kökü varmı?

Həlli: a=3 qiymətini birbaşa əvəz etməklə onun həlli olmadığını görürük. Sonra, sıfır diskriminantla tənliyin 2 çoxluğun bir kökü olması faktından istifadə edəcəyik. Diskriminantı yazaq

Gəlin onu sadələşdirək və sıfıra bərabərləşdirək

a parametri ilə bağlı kvadratik tənlik əldə etdik ki, onun həlli Vyeta teoremindən istifadə etməklə asanlıqla əldə edilə bilər. Köklərin cəmi 7, hasili isə 12-dir. Sadə axtarışla müəyyən edirik ki, 3,4 rəqəmləri tənliyin kökləri olacaqdır. Hesablamaların əvvəlində a=3 həllini artıq rədd etdiyimiz üçün yeganə düzgün olanı - a=4. Beləliklə, a=4 üçün tənliyin bir kökü var.

Misal 2. Hansı parametr qiymətlərində A , tənlik a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 birdən çox kök var?

Həlli: Əvvəlcə tək nöqtələri nəzərdən keçirək, onlar a=0 və a=-3 qiymətləri olacaq. a=0 olduqda, tənlik 6x-9=0 formasına sadələşdiriləcək; x=3/2 və bir kök olacaq. a= -3 üçün 0=0 eyniliyini alırıq.
Diskriminantı hesablayaq

və müsbət olduğu a-nın qiymətini tapın

Birinci şərtdən a>3 alırıq. İkincisi üçün tənliyin diskriminantını və köklərini tapırıq

Funksiyanın müsbət qiymətlər aldığı intervalları müəyyən edək. a=0 nöqtəsini əvəz etməklə əldə edirik 3>0 . Deməli, (-3;1/3) intervalından kənar funksiya mənfidir. Nöqtəni unutma a=0, orijinal tənliyin bir kökü olduğu üçün bu istisna edilməlidir.
Nəticədə problemin şərtlərini ödəyən iki interval əldə edirik

Praktikada bir çox oxşar tapşırıqlar olacaq, tapşırıqları özünüz anlamağa çalışın və bir-birini istisna edən şərtləri nəzərə almağı unutmayın. Kvadrat tənliklərin həlli üçün düsturları yaxşı öyrənin, onlar tez-tez müxtəlif məsələlərdə və elmlərdə hesablamalarda lazım olur.

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyi verilsin.
y = ax 2 + bx + c funksiyasının qrafikinin parabola olması teoremini isbat edərkən § 13-də etdiyimiz eyni çevrilmələri 2 + bx + c kvadrat üçhəcmli baltaya tətbiq edək.
bizdə var

Adətən b 2 - 4ac ifadəsi D hərfi ilə işarələnir və ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyinin diskriminantı (və ya kvadrat üçhəcmli ax + bx + c diskriminantı) adlanır.

Beləliklə

Bu o deməkdir ki, balta 2 + onlar + c = O kvadrat tənliyini yenidən formada yazmaq olar.

İstənilən kvadrat tənliyi (1) formasına çevirmək olar, bu, indi görəcəyimiz kimi, kvadrat tənliyin köklərinin sayını təyin etmək və bu kökləri tapmaq üçün əlverişlidir.

Sübut. Əgər D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Misal 1 2x 2 + 4x + 7 = 0 tənliyini həll edin.
Həll. Burada a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Çünki D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Sübut. Əgər D = 0 olarsa, (1) tənliyi formasını alır

tənliyin yeganə köküdür.

Qeyd 1. Yadınızdadırmı ki, x = - y = ax 2 + onlar + c funksiyasının qrafiki rolunu oynayan parabolanın təpəsinin absisidir? Niyə bu
dəyər kvadrat tənliyin yeganə kökü oldu ax 2 + onları + c - 0? “Tabut” sadəcə açılır: əgər D 0-dırsa, əvvəllər təyin etdiyimiz kimi,

Eyni funksiyanın qrafiki nöqtədə təpəsi olan paraboladır (bax, məsələn, şək. 98). Bu o deməkdir ki, parabolanın təpəsinin absisi və D = 0 üçün kvadrat tənliyin yeganə kökü eyni ədəddir.

Misal 2 4x 2 - 20x + 25 = 0 tənliyini həll edin.
Həll. Burada a \u003d 4, b \u003d -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

D = 0 olduğundan, teorem 2-yə görə bu kvadrat tənliyin bir kökü var. Bu kök düsturla tapılır

Cavab: 2.5.

Qeyd 2. Qeyd edək ki, 4x2 - 20x +25 mükəmməl kvadratdır: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2.
Bunu dərhal görsəydik, tənliyi belə həll edərdik: (2x - 5) 2 = 0, yəni 2x - 5 = 0, ondan x = 2.5 alırıq. Ümumiyyətlə, əgər D = 0 olarsa, onda

ax 2 + bx + c = - biz bunu əvvəllər qeyd 1-də qeyd etmişdik.
Əgər D > 0 olarsa, ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyinin düsturlarla tapılan iki kökü var.

Sübut. ax 2 + b x + c = 0 kvadrat tənliyini (1) şəklində yenidən yazaq.

qoyaq
Şərtə görə D > 0, yəni tənliyin sağ tərəfi müsbət ədəddir. Onda (2) tənliyindən bunu alırıq

Beləliklə, verilmiş kvadrat tənliyin iki kökü var:

Qeyd 3. Riyaziyyatda nadir hallarda baş verir ki, təqdim olunan terminin, məcazi mənada desək, gündəlik fonu yoxdur. Gəlin yeni bir şey götürək
anlayış - diskriminant. “Ayrı-seçkilik” sözünü xatırlayın. Bunun mənası nədi? Bəzilərinin alçaldılması, bəzilərinin isə yüksəldilməsi deməkdir, yəni. fərqli münasibət
müxtəlif insanlara. Hər iki söz (ayrı-seçkilik və ayrı-seçkilik) latın diskriminantlarından - "ayrı-seçkilik" sözündəndir. Diskriminant kvadrat tənlikləri köklərin sayına görə fərqləndirir.

Misal 3 3x 2 + 8x - 11 = 0 tənliyini həll edin.
Həll. Burada a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
D > 0 olduğundan, Teorem 3-ə görə bu kvadrat tənliyin iki kökü var. Bu köklər (3) düsturlarına uyğun olaraq tapılır.

Əslində, biz aşağıdakı qaydanı hazırlamışıq:

Tənliyin həlli qaydası
ax 2 + bx + c = 0

Bu qayda universaldır, həm tam, həm də natamam kvadrat tənliklərə aiddir. Lakin natamam kvadrat tənliklər adətən bu qaydadan istifadə edilməklə həll edilmir, onları əvvəlki paraqrafda etdiyimiz kimi həll etmək daha rahatdır.

Misal 4 Tənlikləri həll edin:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Həlli.a) Burada a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

D > 0 olduğundan bu kvadrat tənliyin iki kökü var. Bu kökləri düsturlardan istifadə edərək tapırıq (3)

B) Təcrübə göstərir ki, aparıcı əmsalı müsbət olan kvadrat tənliklərlə məşğul olmaq daha rahatdır. Ona görə də əvvəlcə tənliyin hər iki tərəfini -1-ə vururuq, alırıq

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Burada a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
D = 0 olduğundan bu kvadrat tənliyin bir kökü var. Bu kök x = - düsturu ilə tapılır. O deməkdir ki,

Bu tənliyi başqa cür həll etmək olar: bəri
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, onda (Зх - I) 2 = 0 tənliyini alırıq, buradan Зх - 1 = 0 tapırıq, yəni x = .

c) Burada a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3.5= 1 - 28 = - 27. D-dən bəri< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Riyaziyyatçılar praktik, qənaətcil insanlardır. Niyə deyirlər ki, kvadrat tənliyi həll etmək üçün belə uzun bir qayda istifadə edin, dərhal ümumi bir düstur yazmaq daha yaxşıdır:

D = b 2 - 4ac diskriminantının mənfi ədəd olduğu ortaya çıxarsa, yazılı düsturun mənası yoxdur (işarənin altında). kvadrat kök mənfi ədəddir), yəni heç bir kök yoxdur. Diskriminantın sıfıra bərabər olduğu ortaya çıxarsa, alırıq

Yəni bir kök (onlar da deyirlər ki, bu vəziyyətdə kvadrat tənliyin iki eyni kökü var:

Nəhayət, b 2 - 4ac > 0 olduğu ortaya çıxarsa, yuxarıda göstərilən eyni düsturlarla (3) hesablanan iki x 1 və x 2 kök alırıq.

Bu vəziyyətdə ədədin özü müsbətdir (müsbət ədədin hər hansı kvadrat kökü kimi) və qarşısındakı qoşa işarə o deməkdir ki, bir halda (x 1-i taparkən) bu müsbət ədəd rəqəmə əlavə olunur - b və başqa halda (x 2 taparkən) bu müsbət ədəddir
nömrədən oxumaq - b.

Seçim azadlığınız var. Yuxarıda tərtib edilmiş qaydadan istifadə edərək kvadrat tənliyi ətraflı şəkildə həll etmək istəyirsiniz; İstəyirsinizsə, dərhal (4) düsturunu yazın və ondan lazımi nəticə çıxarmaq üçün istifadə edin.

Misal 5. Tənlikləri həll edin:

Həlli, a) Əlbəttə ki, bu halda (4) və ya (3) düsturlarından istifadə edə bilərsiniz Bəs niyə tam ədədlərlə məşğul olmaq daha asan və ən əsası daha xoşdursa, kəsrlərlə məşğul olursunuz? Gəlin məxrəclərdən xilas olaq. Bunu etmək üçün tənliyin hər iki tərəfini 12-yə, yəni tənliyin əmsalları kimi xidmət edən fraksiyaların ən aşağı ortaq məxrəcinə vurmaq lazımdır. alırıq

buradan 8x 2 + 10x - 7 = 0.

İndi (4) düsturundan istifadə edək

B) Yenə də kəsr əmsallı tənliyi əldə edirik: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Tənliyin hər iki tərəfini 100-ə vuraq, sonra tam əmsallı tənlik alırıq:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Sonra (4) düsturundan istifadə edirik:

Sadə hesablama göstərir ki, diskriminant (radikal ifadə) mənfi ədəddir. Bu o deməkdir ki, tənliyin heç bir kökü yoxdur.

Misal 6 Tənliyi həll edin
Həll. Burada, əvvəlki misaldan fərqli olaraq, qısaldılmış (4) düsturuna görə deyil, qaydaya əsasən hərəkət etmək üstünlük təşkil edir.

Bizdə a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4 var. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. D > 0 olduğundan, kvadrat tənliyin iki kökü var və biz onları (3) düsturlarından istifadə edərək axtaracağıq.

Misal 7 Tənliyi həll edin
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Həll. Bu kvadrat tənlik indiyə qədər nəzərdən keçirilən bütün kvadrat tənliklərdən onunla fərqlənir ki, əmsallar konkret rəqəmlər deyil, hərf ifadələridir. Belə tənliklərə hərf əmsallı tənliklər və ya parametrli tənliklər deyilir. Bu zaman p parametri (hərfi) ikinci əmsala və tənliyin sərbəst müddətinə daxil edilir.
Diskriminantı tapaq:

Misal 8. px 2 + (1 - p) x - 1 = 0 tənliyini həll edin.
Həll. Bu da p parametri olan bir tənlikdir, lakin əvvəlki nümunədən fərqli olaraq, (4) və ya (3) düsturlarından istifadə edərək dərhal həll edilə bilməz. Məsələ burasındadır ki, göstərilən düsturlar kvadrat tənliklərə şamil edilir, lakin verilmiş tənlik haqqında bunu hələ deyə bilmərik. Həqiqətən, əgər p = 0 olarsa? Sonra
tənlik 0 formasını alacaq. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, yəni x - 1 = 0, ondan x = 1 alırıq. İndi buna əminsinizsə, kvadratın kökləri üçün düsturları tətbiq edə bilərsiniz. tənlik:

Natamam kvadrat tənlik klassik (tam) tənliklərdən onun amillərinin və ya sərbəst müddətinin sıfıra bərabər olması ilə fərqlənir. Belə funksiyaların qrafikləri parabolalardır. Ümumi görünüşünə görə 3 qrupa bölünürlər. Bütün növ tənliklər üçün həll prinsipləri eynidir.

Natamam çoxhədlinin növünü təyin etməkdə mürəkkəb bir şey yoxdur. Vizual nümunələrdən istifadə edərək əsas fərqləri nəzərdən keçirmək daha yaxşıdır:

Əgər b = 0 olarsa, onda tənlik ax 2 + c = 0 olar.
Əgər c = 0 olarsa, onda ax 2 + bx = 0 ifadəsi həll edilməlidir.
Əgər b = 0 və c = 0 olarsa, çoxhədli ax 2 = 0 kimi bərabərliyə çevrilir.

Sonuncu hal daha çox nəzəri imkandır və heç vaxt biliyin yoxlanılması tapşırıqlarında baş vermir, çünki yeganə düzgün dəyər ifadədəki x dəyişəni sıfırdır. Gələcəkdə 1) və 2) tipli natamam kvadrat tənliklərin həlli üsulları və nümunələri nəzərdən keçiriləcək.

Dəyişənlərin axtarışı üçün ümumi alqoritm və həlləri olan nümunələr

Tənliyin növündən asılı olmayaraq, həll alqoritmi aşağıdakı addımlara endirilir:

İfadəni kökləri tapmaq üçün əlverişli formaya endirin.
Hesablamalar aparın.
Cavabı yazın.

Natamam tənlikləri həll etməyin ən asan yolu onları faktorla çıxarmaqdır sol tərəf və sağda bir sıfır qoyur. Beləliklə, kökləri tapmaq üçün natamam kvadrat tənliyin düsturu amillərin hər biri üçün x-in qiymətinin hesablanmasına endirilir.

Siz bunu yalnız təcrübə vasitəsilə necə həll edəcəyinizi öyrənə bilərsiniz, ona görə də natamam tənliyin köklərini tapmaq üçün konkret bir nümunə nəzərdən keçirək:

Gördüyünüz kimi, bu halda b = 0. Sol tərəfi faktorlara ayıraq və ifadəni alaq:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Aydındır ki, amillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir. Dəyişən x1 = 0,5 və (və ya) x2 = -0,5 dəyərləri oxşar tələblərə cavab verir.

Kvadrat trinomial faktorinq probleminin öhdəsindən asanlıqla və tez bir zamanda çıxmaq üçün aşağıdakı düsturu yadda saxlamalısınız:

İfadədə sərbəst termin yoxdursa, problem xeyli sadələşir. Sadəcə ortaq məxrəci tapmaq və mötərizə etmək kifayətdir. Aydınlıq üçün ax2 + bx = 0 formasının natamam kvadratik tənliklərinin həlli nümunəsinə nəzər salın.

Gəlin x dəyişənini mötərizədən çıxaraq və aşağıdakı ifadəni alaq:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Məntiqi rəhbər tutaraq belə nəticəyə gəlirik ki, x1 = 0, x2 = -3.

Ənənəvi həll üsulu və natamam kvadrat tənliklər

Diskriminant düsturunu tətbiq etsəniz və əmsalları sıfıra bərabər olan çoxhədlinin köklərini tapmağa çalışsanız nə olar? Riyaziyyatdan 2017-ci ildə Vahid Dövlət İmtahanı üçün standart tapşırıqlar toplusundan bir nümunə götürək, standart düsturlar və faktorizasiya metodundan istifadə edərək həll edək.

7x 2 – 3x = 0.

Diskriminant qiymətini hesablayaq: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Məlum olur ki, çoxhədlinin iki kökü var:

İndi tənliyi faktorinq üsulu ilə həll edək və nəticələri müqayisə edək.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Gördüyünüz kimi, hər iki üsul eyni nəticə verir, lakin ikinci üsuldan istifadə edərək tənliyi həll etmək çox asan və daha sürətli oldu.

Vyeta teoremi

Bəs sevimli Vyeta teoremi ilə nə etmək lazımdır? Bu üsul trinomial natamam olduqda istifadə edilə bilərmi? Gəlin kastinqin aspektlərini anlamağa çalışaq natamam tənliklər klassik formaya ax2 + bx + c = 0.

Əslində bu halda Vyeta teoremini tətbiq etmək olar. Yalnız itkin şərtləri sıfırla əvəz edərək ifadəni ümumi formaya gətirmək lazımdır.

Məsələn, b = 0 və a = 1 olduqda, çaşqınlıq ehtimalını aradan qaldırmaq üçün tapşırıq aşağıdakı formada yazılmalıdır: ax2 + 0 + c = 0. Sonra köklərin cəmi və hasilinin nisbəti və polinomun amilləri aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:

Nəzəri hesablamalar məsələnin mahiyyəti ilə tanış olmağa kömək edir, konkret məsələlərin həlli zamanı həmişə bacarıqların inkişaf etdirilməsini tələb edir. Yenidən Vahid Dövlət İmtahanı üçün standart tapşırıqların arayış kitabına müraciət edək və uyğun bir nümunə tapaq:

İfadəni Vyeta teoreminin tətbiqi üçün əlverişli formada yazaq:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Növbəti addım şərait sistemi yaratmaqdır:

Aydındır ki, kvadrat çoxhədlinin kökləri x 1 = 4 və x 2 = -4 olacaqdır.

İndi isə tənliyi ümumi formaya gətirməyə məşq edək. Aşağıdakı nümunəni götürün: 1/4× x 2 – 1 = 0

Vyeta teoremini ifadəyə tətbiq etmək üçün kəsirdən xilas olmaq lazımdır. Gəlin sol və sağ tərəfləri 4-ə vuraq və nəticəyə baxaq: x2– 4 = 0. Nəticə bərabərliyi Vyeta teoremi ilə həll etməyə hazırdır, lakin sadəcə c = hərəkət etməklə cavabı almaq çox asan və tezdir. 4-ə sağ tərəf tənlik: x2 = 4.

Xülasə, bunu demək lazımdır ən yaxşı yol natamam tənliklərin həlli faktorlara bölünür, ən sadədir və sürətli üsul. Kökləri tapmaq prosesində çətinliklə qarşılaşsanız, əlaqə saxlaya bilərsiniz ənənəvi üsul diskriminant vasitəsilə kökləri tapmaq.

Mövzunu öyrənməyə davam edirik tənliklərin həlli". Biz artıq xətti tənliklərlə tanış olmuşuq və indi də tanış olacağıq kvadrat tənliklər.

Əvvəlcə kvadrat tənliyin nə olduğunu, necə yazıldığını təhlil edəcəyik ümumi görünüş, və əlaqəli tərifləri verin. Bundan sonra natamam kvadrat tənliklərin necə həll edildiyini ətraflı araşdırmaq üçün nümunələrdən istifadə edəcəyik. Sonra, tam tənliklərin həllinə keçəcəyik, kök düsturunu alacağıq, kvadrat tənliyin diskriminantı ilə tanış olacağıq və tipik nümunələrin həllini nəzərdən keçirəcəyik. Nəhayət, köklər və əmsallar arasındakı əlaqəni izləyirik.

Səhifə naviqasiyası.

Kvadrat tənlik nədir? Onların növləri

Əvvəlcə kvadrat tənliyin nə olduğunu aydın başa düşməlisiniz. Buna görə də kvadrat tənliklər haqqında söhbətə kvadrat tənliyin tərifi, eləcə də əlaqəli təriflərlə başlamaq məntiqlidir. Bundan sonra, kvadrat tənliklərin əsas növlərini nəzərdən keçirə bilərsiniz: azaldılmış və azaldılmamış, həmçinin tam və natamam tənliklər.

Kvadrat tənliklərin tərifi və nümunələri

Tərif.

Kvadrat tənlik formanın tənliyidir a x 2 +b x+c=0, burada x dəyişəndir, a, b və c bəzi ədədlərdir, a isə sıfırdan fərqlidir.

Dərhal deyək ki, kvadrat tənliklər çox vaxt ikinci dərəcəli tənliklər adlanır. Bu, kvadrat tənliyin olması ilə əlaqədardır cəbri tənlik ikinci dərəcə.

Göstərilən tərif kvadrat tənliklərə nümunələr verməyə imkan verir. Beləliklə, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 və s. Bunlar kvadrat tənliklərdir.

Tərif.

Nömrələri a, b və c adlanır kvadrat tənliyin əmsalları a·x 2 +b·x+c=0 və a əmsalı birinci və ya ən yüksək adlanır və ya x 2 əmsalı, b ikinci əmsal və ya x əmsalı, c isə sərbəst termindir. .

Məsələn, 5 x 2 −2 x −3=0 formalı kvadrat tənliyi götürək, burada aparıcı əmsal 5, ikinci əmsal −2, sərbəst hədd isə −3-ə bərabərdir. Nəzərə alın ki, b və/və ya c əmsalları mənfi olduqda, indiki misalda olduğu kimi, kvadrat tənliyin qısa forması 5 x 2 +(−2 ) deyil, 5 x 2 −2 x−3=0 olur. ·x+(−3)=0 .

Qeyd etmək lazımdır ki, a və/və ya b əmsalları 1 və ya −1-ə bərabər olduqda, onlar adətən kvadrat tənlikdə açıq şəkildə mövcud olmur, bu da belə yazının xüsusiyyətləri ilə bağlıdır. Məsələn, y 2 −y+3=0 kvadrat tənliyində aparıcı əmsal bir, y əmsalı isə −1-ə bərabərdir.

Azaldılmış və azaldılmamış kvadrat tənliklər

Aparıcı əmsalın qiymətindən asılı olaraq azaldılmış və azaldılmamış kvadrat tənliklər fərqləndirilir. Müvafiq tərifləri verək.

Tərif.

Aparıcı əmsalı 1 olan kvadrat tənlik adlanır kvadrat tənlik verilmişdir. Əks halda kvadrat tənlik olar toxunulmamış.

Bu tərifə əsasən kvadrat tənliklər x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 və s. – verilmişdirsə, onların hər birində birinci əmsal birə bərabərdir. A 5 x 2 −x−1=0 və s. - azaldılmamış kvadrat tənliklər, onların aparıcı əmsalları 1-dən fərqlidir.

Hər hansı bir azaldılmamış kvadrat tənlikdən, hər iki tərəfi aparıcı əmsala bölməklə, azaldılmış birinə keçə bilərsiniz. Bu hərəkət ekvivalent çevrilmədir, yəni bu yolla əldə edilən azaldılmış kvadrat tənliyin ilkin azaldılmamış kvadrat tənliyi ilə eyni kökləri var və ya onun kimi heç bir kökü yoxdur.

Gəlin azaldılmamış kvadrat tənlikdən azaldılmış tənliyə keçidin necə həyata keçirildiyinə dair bir nümunəyə baxaq.

Misal.

3 x 2 +12 x−7=0 tənliyindən müvafiq azaldılmış kvadrat tənliyə keçin.

Həll.

Sadəcə olaraq, orijinal tənliyin hər iki tərəfini aparıcı əmsal 3-ə bölmək lazımdır, o, sıfırdan fərqlidir, ona görə də bu hərəkəti yerinə yetirə bilərik. Bizdə (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, eynidir, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, sonra isə (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, haradan. İlkin tənliyə ekvivalent olan azaldılmış kvadrat tənliyi belə əldə etdik.

Cavab:

Tam və natamam kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliyin tərifi a≠0 şərtini ehtiva edir. Bu şərt a x 2 + b x + c = 0 tənliyinin kvadratik olması üçün zəruridir, çünki a = 0 olduqda o, faktiki olaraq b x + c = 0 formasının xətti tənliyinə çevrilir.

b və c əmsallarına gəlincə, onlar həm fərdi, həm də birlikdə sıfıra bərabər ola bilər. Bu hallarda kvadrat tənlik natamam adlanır.

Tərif.

a x 2 +b x+c=0 kvadrat tənliyi adlanır natamam, əgər b, c əmsallarından ən azı biri sıfıra bərabərdirsə.

Öz növbəsində

Tərif.

Tam kvadrat tənliyi bütün əmsalların sıfırdan fərqli olduğu tənlikdir.

Belə adlar təsadüfən verilməyib. Bu, sonrakı müzakirələrdən aydın olacaq.

Əgər b əmsalı sıfırdırsa, onda kvadrat tənlik a·x 2 +0·x+c=0 şəklini alır və a·x 2 +c=0 tənliyinə ekvivalentdir. Əgər c=0, yəni kvadrat tənlik a·x 2 +b·x+0=0 formasına malikdirsə, o zaman onu a·x 2 +b·x=0 kimi yenidən yazmaq olar. Və b=0 və c=0 ilə a·x 2 =0 kvadrat tənliyini alırıq. Alınan tənliklər tam kvadrat tənlikdən onunla fərqlənir ki, onların sol tərəflərində nə x dəyişəni olan bir həddi, nə də sərbəst həddi və ya hər ikisini ehtiva etmir. Beləliklə, onların adı - natamam kvadrat tənliklər.

Beləliklə, x 2 +x+1=0 və −2 x 2 −5 x+0.2=0 tənlikləri tam kvadrat tənliklərə misaldır və x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 natamam kvadrat tənliklərdir.

Natamam kvadrat tənliklərin həlli

Əvvəlki paraqrafdakı məlumatlardan belə çıxır ki, var üç növ natamam kvadrat tənliklər:

a·x 2 =0, ona b=0 və c=0 əmsalları uyğundur;
b=0 olduqda a x 2 +c=0;
və c=0 olduqda a·x 2 +b·x=0.

Bu növlərin hər birinin natamam kvadratik tənliklərinin necə həll edildiyini ardıcıllıqla araşdıraq.

a x 2 = 0

b və c əmsallarının sıfıra bərabər olduğu natamam kvadrat tənlikləri, yəni a x 2 =0 formalı tənliklərlə həll etməyə başlayaq. a·x 2 =0 tənliyi hər iki hissəni sıfırdan fərqli a ədədinə bölmək yolu ilə orijinaldan alınan x 2 =0 tənliyinə ekvivalentdir. Aydındır ki, x 2 =0 tənliyinin kökü sıfırdır, çünki 0 2 =0. Bu tənliyin başqa kökləri yoxdur, bu, hər hansı sıfırdan fərqli p ədədi üçün p 2 >0 bərabərsizliyinin olması ilə izah olunur, yəni p≠0 üçün p 2 =0 bərabərliyi heç vaxt əldə olunmur.

Deməli, a·x 2 =0 natamam kvadrat tənliyinin tək kökü x=0 olur.

Nümunə olaraq −4 x 2 =0 natamam kvadrat tənliyin həllini veririk. O, x 2 =0 tənliyinə ekvivalentdir, onun yeganə kökü x=0-dır, ona görə də ilkin tənliyin tək kök sıfırı var.

Bu vəziyyətdə qısa bir həll aşağıdakı kimi yazıla bilər:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

İndi isə b əmsalı sıfır və c≠0 olan natamam kvadrat tənliklərin, yəni a x 2 +c=0 formalı tənliklərin necə həll edildiyinə baxaq. Biz bilirik ki, tənliyin bir tərəfindən digər tərəfə əks işarə ilə köçürülməsi, eləcə də tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli bir ədədə bölmək ekvivalent tənlik verir. Beləliklə, a x 2 +c=0 natamam kvadrat tənliyinin aşağıdakı ekvivalent çevrilmələrini həyata keçirə bilərik:

c-ni sağ tərəfə aparın, bu a x 2 =−c tənliyini verir,
və onun hər iki hissəsini a ilə bölün, alarıq.

Yaranan tənlik onun kökləri haqqında nəticə çıxarmağa imkan verir. a və c dəyərlərindən asılı olaraq ifadənin dəyəri mənfi ola bilər (məsələn, a=1 və c=2, onda ) və ya müsbət (məsələn, a=−2 və c=6 olarsa, onda ), sıfır deyil, çünki c≠0 şərti ilə. Biz halları ayrıca təhlil edəcəyik və .

Əgər , onda tənliyin kökü yoxdur. Bu ifadə istənilən ədədin kvadratının mənfi olmayan ədəd olmasından irəli gəlir. Buradan belə nəticə çıxır ki, olduqda, onda hər hansı p ədədi üçün bərabərlik doğru ola bilməz.

Əgər , onda tənliyin kökləri ilə bağlı vəziyyət fərqlidir. Bu halda, haqqında xatırlasaq, onda tənliyin kökü dərhal aydın olur; bu, rəqəmdir, çünki . Rəqəmin eyni zamanda tənliyin kökü olduğunu təxmin etmək asandır. Bu tənliyin, məsələn, ziddiyyətlə göstərilə bilən başqa kökləri yoxdur. Gəl edək.

İndicə elan edilmiş tənliyin köklərini x 1 və −x 1 kimi işarə edək. Tutaq ki, tənliyin göstərilən x 1 və −x 1 köklərindən fərqli daha bir x 2 kökü var. Məlumdur ki, onun köklərini x əvəzinə tənliklə əvəz etmək tənliyi düzgün ədədi bərabərliyə çevirir. x 1 və −x 1 üçün bizdə , x 2 üçün isə . Ədədi bərabərliklərin xassələri düzgün ədədi bərabərliklərin müddət üzrə çıxılmasını həyata keçirməyə imkan verir, ona görə də bərabərliklərin müvafiq hissələrini çıxmaqla x 1 2 −x 2 2 =0 alınır. Rəqəmlərlə əməliyyatların xassələri nəticədə yaranan bərabərliyi (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 şəklində yenidən yazmağa imkan verir. Biz bilirik ki, iki ədədin hasili sıfıra bərabərdir, o halda və yalnız onlardan ən azı biri sıfıra bərabərdir. Deməli, yaranan bərabərlikdən belə nəticə çıxır ki, x 1 −x 2 =0 və/yaxud x 1 +x 2 =0, eynidir, x 2 =x 1 və/və ya x 2 =−x 1. Beləliklə, biz ziddiyyətə gəldik, çünki əvvəldə dedik ki, x 2 tənliyinin kökü x 1 və −x 1-dən fərqlidir. Bu, tənliyin və -dən başqa kökə malik olmadığını sübut edir.

Bu paraqrafdakı məlumatları ümumiləşdirək. a x 2 +c=0 natamam kvadrat tənliyi tənliyə ekvivalentdir, hansı ki

kökləri yoxdursa,
iki kökə malikdir və əgər .

a·x 2 +c=0 formalı natamam kvadrat tənliklərin həlli nümunələrinə nəzər salın.

9 x 2 +7=0 kvadrat tənliyi ilə başlayaq. Sərbəst termini tənliyin sağ tərəfinə köçürdükdən sonra o, 9 x 2 =−7 formasını alacaq. Yaranan tənliyin hər iki tərəfini 9-a bölərək, -ə çatırıq. Sağ tərəfin mənfi ədədi olduğu üçün bu tənliyin kökü yoxdur, buna görə də ilkin natamam kvadratik tənliyin 9 x 2 +7 = 0 kökü yoxdur.

Başqa bir natamam kvadrat tənliyi −x 2 +9=0 həll edək. Doqquzu sağ tərəfə keçiririk: −x 2 =−9. İndi hər iki tərəfi −1-ə bölürük, x 2 =9 alırıq. Sağ tərəfdə müsbət bir ədəd var, ondan belə nəticəyə gəlirik və ya . Sonra yekun cavabı yazırıq: natamam kvadrat tənliyin −x 2 +9=0 iki kökü x=3 və ya x=−3 olur.

a x 2 +b x=0

C=0 üçün son növ natamam kvadrat tənliklərin həlli ilə məşğul olmaq qalır. a x 2 + b x = 0 formasının natamam kvadratik tənlikləri həll etməyə imkan verir. faktorizasiya üsulu. Aydındır ki, tənliyin sol tərəfində yerləşə bilərik, bunun üçün ümumi x amilini mötərizədən çıxarmaq kifayətdir. Bu, bizə ilkin natamam kvadrat tənlikdən x·(a·x+b)=0 şəklində olan ekvivalent tənliyə keçməyə imkan verir. Və bu tənlik x=0 və a·x+b=0 iki tənlik çoxluğuna ekvivalentdir, sonuncusu xətti və x=−b/a kökü var.

Deməli, a·x 2 +b·x=0 natamam kvadrat tənliyinin x=0 və x=−b/a iki kökü var.

Materialı birləşdirmək üçün konkret bir nümunənin həllini təhlil edəcəyik.

Misal.

Tənliyi həll edin.

Həll.

Mötərizədə x-i çıxarmaq tənliyi verir. O, iki x=0 və tənliyinə ekvivalentdir. Əldə etdiklərimizi həll edirik xətti tənlik: , və bölməni yerinə yetirir qarışıq nömrə haqqında adi fraksiya, Biz tapdıq . Buna görə də ilkin tənliyin kökləri x=0 və .

Lazımi təcrübə əldə etdikdən sonra belə tənliklərin həlli qısa şəkildə yazıla bilər:

Cavab:

x=0, .

Diskriminant, kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur

Kvadrat tənlikləri həll etmək üçün kök düsturu var. Gəlin yazaq kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur: , Harada D=b 2 −4 a c- sözdə kvadrat tənliyin diskriminantı. Giriş mahiyyətcə bunu ifadə edir.

Kök düsturunun necə alındığını və kvadrat tənliklərin köklərinin tapılmasında necə istifadə edildiyini bilmək faydalıdır. Gəlin bunu anlayaq.

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturun çıxarılması

a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tənliyini həll etməliyik. Bəzi ekvivalent çevrilmələri həyata keçirək:

Bu tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli a ədədinə bölmək olar, nəticədə aşağıdakı kvadrat tənlik yaranır.
İndi tam kvadrat seçin onun sol tərəfində: . Bundan sonra tənlik formasını alacaq.
Bu mərhələdə son iki termini əks işarə ilə sağ tərəfə köçürmək mümkündür, bizdə .
Və sağ tərəfdəki ifadəni də çevirək: .

Nəticədə ilkin a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tənliyinə ekvivalent olan tənliyə gəlirik.

Əvvəlki paraqraflarda tədqiq etdiyimiz zaman formaca oxşar tənlikləri artıq həll etmişik. Bu, tənliyin kökləri ilə bağlı aşağıdakı nəticələr çıxarmağa imkan verir:

əgər , onda tənliyin həqiqi həlli yoxdur;
əgər , onda tənlik onun yeganə kökünün göründüyü , deməli, formasına malikdir;
əgər , onda və ya , və ya ilə eynidir, yəni tənliyin iki kökü var.

Beləliklə, tənliyin köklərinin və buna görə də ilkin kvadrat tənliyin olması və ya olmaması ifadənin sağ tərəfdəki işarəsindən asılıdır. Öz növbəsində, 4·a 2 məxrəci həmişə müsbət olduğundan, yəni b 2 −4·a·c ifadəsinin işarəsi ilə bu ifadənin işarəsi paylayıcının işarəsi ilə müəyyən edilir. Bu b 2 −4 a c ifadəsi adlanırdı kvadrat tənliyin diskriminantı və məktubla təyin olunur D. Buradan diskriminantın mahiyyəti aydın olur - onun dəyərinə və işarəsinə əsasən kvadrat tənliyin həqiqi kökləri olub-olmaması, əgər varsa, onların sayı neçədir - bir və ya iki olduğu qənaətinə gəlirlər.

Tənliyə qayıdaq və diskriminant qeydindən istifadə edərək onu yenidən yazaq: . Və nəticə çıxarırıq:

əgər D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
əgər D=0, onda bu tənliyin tək kökü var;
nəhayət, əgər D>0 olarsa, onda tənliyin iki kökü var və ya onu və ya şəklində yenidən yazmaq olar və kəsrləri genişləndirib ortaq məxrəcə gətirdikdən sonra əldə edirik.

Beləliklə, biz kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturlar əldə etdik, onlar belə görünür, burada D diskriminantı D=b 2 −4·a·c düsturu ilə hesablanır.

Onların köməyi ilə müsbət diskriminantla kvadrat tənliyin hər iki həqiqi kökünü hesablaya bilərsiniz. Diskriminant sıfıra bərabər olduqda, hər iki düstur kvadrat tənliyin unikal həllinə uyğun olan kökün eyni qiymətini verir. Mənfi diskriminantla isə kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturdan istifadə etməyə çalışarkən mənfi ədədin kvadrat kökünü çıxarmaqla qarşılaşırıq ki, bu da bizi məktəb kurrikulumundan kənara çıxarır. Mənfi diskriminantla kvadrat tənliyin həqiqi kökləri yoxdur, lakin bir cüt var mürəkkəb birləşmə kökləri, əldə etdiyimiz eyni kök düsturlarından istifadə etməklə tapıla bilər.

Kök düsturlarından istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli alqoritmi

Praktikada kvadrat tənlikləri həll edərkən onların qiymətlərini hesablamaq üçün dərhal kök düsturundan istifadə edə bilərsiniz. Ancaq bu daha çox mürəkkəb kökləri tapmaqla bağlıdır.

Bununla belə, in məktəb kursu Cəbr adətən komplekslə deyil, kvadrat tənliyin həqiqi kökləri ilə məşğul olur. Bu halda, kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturlardan istifadə etməzdən əvvəl, əvvəlcə diskriminantı tapmaq, onun mənfi olmadığına əmin olmaq məsləhət görülür (əks halda, tənliyin həqiqi kökləri olmadığı qənaətinə gələ bilərik), və yalnız bundan sonra köklərin dəyərlərini hesablayın.

Yuxarıdakı əsaslandırma bizə yazmağa imkan verir kvadrat tənliyin həlli alqoritmi. a x 2 + b x + c \u003d 0 kvadrat tənliyini həll etmək üçün sizə lazımdır:

diskriminant düsturundan istifadə edərək D=b 2 −4 a c onun qiymətini hesablayın;
diskriminant mənfi olarsa, kvadrat tənliyin həqiqi kökləri olmadığı qənaətinə gəlmək;
D=0 olduqda düsturdan istifadə edərək tənliyin yeganə kökünü hesablayın;
diskriminant müsbət olarsa, kök düsturundan istifadə edərək kvadrat tənliyin iki həqiqi kökünü tapın.

Burada sadəcə qeyd edirik ki, diskriminant sıfıra bərabərdirsə, düsturdan da istifadə edə bilərsiniz; o, ilə eyni dəyəri verəcəkdir.

Kvadrat tənliklərin həlli üçün alqoritmdən istifadə nümunələrinə keçə bilərsiniz.

Kvadrat tənliklərin həlli nümunələri

Müsbət, mənfi və sıfır diskriminantlı üç kvadrat tənliyin həllərini nəzərdən keçirək. Onların həlli ilə məşğul olduqdan sonra bənzətmə ilə istənilən başqa kvadrat tənliyi həll etmək mümkün olacaqdır. Başlayaq.

Misal.

x 2 +2·x−6=0 tənliyinin köklərini tapın.

Həll.

Bu halda kvadrat tənliyin aşağıdakı əmsallarına sahibik: a=1, b=2 və c=−6. Alqoritmə görə, əvvəlcə diskriminantı hesablamalısınız, bunun üçün qeyd olunan a, b və c-ni diskriminant düsturunda əvəz edirik, əlimizdə var. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0, yəni diskriminant sıfırdan böyük olduğundan kvadrat tənliyin iki həqiqi kökü var. Onları kök düsturundan istifadə edərək tapaq, əldə edirik, buradan edərək nəticədə yaranan ifadələri sadələşdirə bilərsiniz çarpanı kök işarəsindən kənara çıxarmaq ardınca fraksiyanın azalması:

Cavab:

Növbəti tipik nümunəyə keçək.

Misal.

−4 x 2 +28 x−49=0 kvadrat tənliyini həll edin.

Həll.

Diskriminantı tapmaqla başlayırıq: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Buna görə də, bu kvadrat tənliyin bir kökü var, biz onu , yəni,

Cavab:

x=3.5.

Mənfi diskriminantla kvadrat tənliklərin həllini nəzərdən keçirmək qalır.

Misal.

5·y 2 +6·y+2=0 tənliyini həll edin.

Həll.

Budur kvadrat tənliyin əmsalları: a=5, b=6 və c=2. Bu dəyərləri diskriminant düsturla əvəz edirik, bizdə var D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant mənfidir, ona görə də bu kvadrat tənliyin həqiqi kökləri yoxdur.

Mürəkkəb kökləri göstərmək lazımdırsa, onda kvadrat tənliyin kökləri üçün tanınmış düsturu tətbiq edirik və yerinə yetiririk. kompleks ədədlərlə əməliyyatlar:

Cavab:

həqiqi köklər yoxdur, mürəkkəb köklər bunlardır: .

Bir daha qeyd edək ki, kvadrat tənliyin diskriminantı mənfi olarsa, məktəbdə adətən dərhal həqiqi köklərin olmadığını, mürəkkəb köklərin tapılmadığını bildirən bir cavab yazırlar.

Hətta ikinci əmsallar üçün kök düsturu

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur, burada D=b 2 −4·a·c daha yığcam formalı düstur əldə etməyə imkan verir, x üçün bərabər əmsallı kvadratik tənlikləri həll etməyə imkan verir (və ya sadəcə olaraq a məsələn, 2·n formasına malik olan əmsal və ya 14· ln5=2·7·ln5 ). Gəlin onu çıxaraq.

Tutaq ki, a x 2 +2 n x+c=0 şəklində olan kvadrat tənliyi həll etməliyik. Bildiyimiz düsturdan istifadə edərək onun köklərini tapaq. Bunun üçün diskriminantı hesablayırıq D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), və sonra kök düsturundan istifadə edirik:

n 2 −a c ifadəsini D 1 kimi işarə edək (bəzən onu D " işarəsi ilə də göstərirlər). Onda ikinci əmsalı 2 n olan baxılan kvadrat tənliyin köklərinin düsturu formasını alacaq. , burada D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1 və ya D 1 =D/4 olduğunu görmək asandır. Başqa sözlə, D 1 diskriminantın dördüncü hissəsidir. Aydındır ki, D 1 işarəsi D işarəsi ilə eynidir. Yəni D 1 işarəsi həm də kvadrat tənliyin köklərinin olub-olmamasının göstəricisidir.

Beləliklə, ikinci əmsalı 2·n olan kvadrat tənliyi həll etmək üçün sizə lazımdır

D 1 =n 2 −a·c hesablayın;
Əgər D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Əgər D 1 =0 olarsa, onda düsturdan istifadə edərək tənliyin yeganə kökünü hesablayın;
Əgər D 1 >0 olarsa, düsturdan istifadə edərək iki həqiqi kök tapın.

Bu paraqrafda əldə edilmiş kök düsturundan istifadə edərək nümunənin həllini nəzərdən keçirək.

Misal.

5 x 2 −6 x −32=0 kvadrat tənliyini həll edin.

Həll.

Bu tənliyin ikinci əmsalı 2·(−3) kimi göstərilə bilər. Yəni ilkin kvadrat tənliyi 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, burada a=5, n=−3 və c=−32 şəklində yenidən yazıb, dördüncü hissəsini hesablaya bilərsiniz. diskriminant: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Qiyməti müsbət olduğundan tənliyin iki həqiqi kökü var. Müvafiq kök düsturundan istifadə edərək onları tapaq:

Qeyd edək ki, kvadrat tənliyin kökləri üçün adi düsturdan istifadə etmək mümkün idi, lakin bu halda daha çox hesablama işi aparılmalı olacaqdı.

Cavab:

Kvadrat tənliklərin formasının sadələşdirilməsi

Bəzən düsturlardan istifadə edərək kvadrat tənliyin köklərini hesablamağa başlamazdan əvvəl “Bu tənliyin formasını sadələşdirmək mümkündürmü?” sualını vermək zərər vermir. Razılaşın ki, hesablamalar baxımından 11 x 2 −4 x−6=0 kvadrat tənliyini həll etmək 1100 x 2 −400 x−600=0-dan daha asan olacaq.

Tipik olaraq, kvadrat tənliyin formasını sadələşdirmək hər iki tərəfi müəyyən bir ədədə vurmaq və ya bölmək yolu ilə əldə edilir. Məsələn, əvvəlki abzasda hər iki tərəfi 100-ə bölməklə 1100 x 2 −400 x −600=0 tənliyini sadələşdirmək mümkün idi.

Bənzər bir çevrilmə əmsalları olmayan kvadratik tənliklərlə həyata keçirilir. Bu halda biz adətən tənliyin hər iki tərəfini bölünür mütləq dəyərlər onun əmsalları. Məsələn, 12 x 2 −42 x+48=0 kvadrat tənliyini götürək. onun əmsallarının mütləq dəyərləri: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. İlkin kvadrat tənliyin hər iki tərəfini 6-ya bölməklə, 2 x 2 −7 x+8=0 ekvivalent kvadrat tənliyinə gəlirik.

Kvadrat tənliyin hər iki tərəfini vurmaq adətən kəsr əmsallarından xilas olmaq üçün edilir. Bu halda, vurma onun əmsallarının məxrəcləri ilə həyata keçirilir. Məsələn, kvadrat tənliyin hər iki tərəfi LCM(6, 3, 1)=6 ilə vurularsa, o zaman x 2 +4·x−18=0 daha sadə formasını alacaq.

Bu bəndin yekununda qeyd edirik ki, onlar demək olar ki, həmişə kvadrat tənliyin ən yüksək əmsalındakı mənfidən bütün üzvlərin işarələrini dəyişdirməklə xilas olurlar ki, bu da hər iki tərəfi -1-ə vurmağa (və ya bölməyə) uyğun gəlir. Məsələn, adətən −2 x 2 −3 x+7=0 kvadrat tənliyindən 2 x 2 +3 x−7=0 həllinə keçir.

Kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında əlaqə

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur tənliyin köklərini onun əmsalları vasitəsilə ifadə edir. Kök düsturuna əsasən, siz köklər və əmsallar arasında başqa əlaqələr əldə edə bilərsiniz.

Vyeta teoremindən ən məşhur və tətbiq olunan düsturlar və formasıdır. Xüsusilə, verilmiş kvadrat tənlik üçün köklərin cəmi əks işarəli ikinci əmsala, köklərin hasili isə sərbəst müddətə bərabərdir. Məsələn, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 kvadrat tənliyinin formasına nəzər salmaqla dərhal deyə bilərik ki, onun köklərinin cəmi 7/3-ə, köklərin hasili isə 22-yə bərabərdir. /3.

Artıq yazılmış düsturlardan istifadə edərək, kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında bir sıra digər əlaqələr əldə edə bilərsiniz. Məsələn, kvadrat tənliyin köklərinin kvadratlarının cəmini onun əmsalları vasitəsilə ifadə etmək olar: .

Biblioqrafiya.

Cəbr: dərs kitabı 8-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkoviç A.G. Cəbr. 8-ci sinif. Saat 14:00-da 1-ci hissə. Tələbələr üçün dərslik təhsil müəssisələri/ A. G. Mordkoviç. - 11-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01155-2.