Modulu olan kvadrat tənliklər, həlli nümunələri. Ədədin modulu (ədədin mütləq qiyməti), təriflər, nümunələr, xassələr

Şagirdlər üçün ən çətin mövzulardan biri modul işarəsi altında dəyişən olan tənliklərin həllidir. Əvvəlcə bunun nə ilə əlaqəli olduğunu anlayaq? Niyə, məsələn, əksər uşaqlar kvadrat tənlikləri qoz-fındıq kimi sındırırlar, lakin modul kimi kompleksdən uzaq bir konsepsiya ilə bu qədər problem yaşayırlar?

Fikrimcə, bütün bu çətinliklər modullu tənliklərin həlli üçün aydın şəkildə tərtib edilmiş qaydaların olmaması ilə bağlıdır. Beləliklə, qərar vermək kvadrat tənlik, şagird dəqiq bilir ki, əvvəlcə diskriminant düsturunu, sonra isə kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturları tətbiq etməlidir. Tənlikdə modul tapılarsa nə etməli? Biz aydın təsvir etməyə çalışacağıq zəruri plan tənliyin modul işarəsi altında naməlum olduğu halda hərəkətlər. Hər bir hal üçün bir neçə nümunə verəcəyik.

Ancaq əvvəlcə xatırlayaq modulun tərifi. Beləliklə, nömrəni modullaşdırın a bu nömrənin özü if adlanır a qeyri-mənfi və -a, əgər nömrə a sıfırdan azdır. Bunu belə yaza bilərsiniz:

|a| = a, əgər a ≥ 0 və |a| = -a əgər a< 0

Modulun həndəsi mənası haqqında danışarkən, yadda saxlamaq lazımdır ki, hər bir həqiqi nömrə nömrə oxundakı müəyyən bir nöqtəyə uyğundur - onun əlaqələndirmək. Beləliklə, ədədin modulu və ya mütləq qiyməti bu nöqtədən ədədi oxun başlanğıcına qədər olan məsafədir. Məsafə həmişə müsbət ədəd kimi göstərilir. Beləliklə, istənilən mənfi ədədin modulu müsbət ədəddir. Yeri gəlmişkən, hətta bu mərhələdə bir çox tələbələr çaşqın olmağa başlayır. Modulda istənilən nömrə ola bilər, lakin moduldan istifadənin nəticəsi həmişə müsbət rəqəmdir.

İndi birbaşa tənliklərin həllinə keçək.

1. |x| formasının tənliyini nəzərdən keçirək = c, burada c həqiqi ədəddir. Bu tənliyi modul təyinindən istifadə etməklə həll etmək olar.

Bütün həqiqi ədədləri üç qrupa ayırırıq: sıfırdan böyük olanlar, sıfırdan kiçik olanlar, üçüncü qrup isə 0 rəqəmidir. Həllini diaqram şəklində yazırıq:

(±c, əgər c > 0 olarsa

Əgər |x| = c, onda x = (0, əgər c = 0 olarsa

(əgər varsa kökləri yoxdur< 0

1) |x| = 5, çünki 5 > 0, sonra x = ±5;

2) |x| = -5, çünki -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, sonra x = 0.

2. |f(x)| formasının tənliyi = b, burada b > 0. Bu tənliyi həll etmək üçün moduldan xilas olmaq lazımdır. Bunu belə edirik: f(x) = b və ya f(x) = -b. İndi ortaya çıxan tənliklərin hər birini ayrıca həll etməlisiniz. Əgər orijinal tənlikdə b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, çünki 4 > 0, sonra

x + 2 = 4 və ya x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, çünki 11 > 0, sonra

x 2 – 5 = 11 və ya x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 kök yoxdur

3) |x 2 – 5x| = -8, çünki -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| formasının tənliyi = g(x). Modulun mənasına görə, belə bir tənliyin həlli olarsa sağ hissə sıfırdan böyük və ya bərabər, yəni. g(x) ≥ 0. Onda bizdə olacaq:

f(x) = g(x) və ya f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. 5x – 10 ≥ 0 olarsa, bu tənliyin kökləri olacaq. Belə tənliklərin həlli buradan başlayır.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Həll yolu:

2x – 1 = 5x – 10 və ya 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Biz O.D.Z-ni birləşdiririk. və həllini əldə edirik:

Kök x = 11/7 O.D.Z.-yə uyğun gəlmir, 2-dən azdır, lakin x = 3 bu şərti ödəyir.

Cavab: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Bu bərabərsizliyi interval üsulu ilə həll edək:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Həll yolu:

x – 1 = 1 – x 2 və ya x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 və ya x = 1 x = 0 və ya x = 1

3. Biz həlli və O.D.Z-ni birləşdiririk:

Yalnız x = 1 və x = 0 kökləri uyğundur.

Cavab: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| formasının tənliyi = |g(x)|. Belə tənlik f(x) = g(x) və ya f(x) = -g(x) aşağıdakı iki tənliyə ekvivalentdir.

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Bu tənlik aşağıdakı ikiyə bərabərdir:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 və ya x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 və ya x = 4 x = 2 və ya x = 1

Cavab: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Əvəzetmə üsulu ilə həll olunan tənliklər (dəyişən əvəz). Bu həll üsulu xüsusi bir nümunə ilə izah etmək üçün ən asandır. Beləliklə, bizə modullu kvadrat tənlik verilsin:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Modul xassəsinə görə x 2 = |x| 2, beləliklə tənliyi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. |x| əvəzini edək = t ≥ 0, onda biz olacaq:

t 2 – 6t + 5 = 0. Bu tənliyi həll edərək tapırıq ki, t = 1 və ya t = 5. Əvəzlənməyə qayıdaq:

|x| = 1 və ya |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Cavab: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Başqa bir misala baxaq:

x 2 + |x| – 2 = 0. Modul xassəsinə görə x 2 = |x| 2, buna görə də

|x| 2 + |x| – 2 = 0. |x| əvəzini edək = t ≥ 0, onda:

t 2 + t – 2 = 0. Bu tənliyi həll edərək t = -2 və ya t = 1 alırıq. Əvəzinə qayıdaq:

|x| = -2 və ya |x| = 1

Kökləri yoxdur x = ± 1

Cavab: x = -1, x = 1.

6. Başqa bir tənlik növü “mürəkkəb” modullu tənliklərdir. Belə tənliklərə “modul daxilində modulları” olan tənliklər daxildir. Bu tip tənlikləri modulun xassələrindən istifadə etməklə həll etmək olar.

1) |3 – |x|| = 4. İkinci tip tənliklərdə olduğu kimi hərəkət edəcəyik. Çünki 4 > 0, onda iki tənlik alırıq:

3 – |x| = 4 və ya 3 – |x| = -4.

İndi hər bir tənlikdə x modulunu ifadə edək, sonra |x| = -1 və ya |x| = 7.

Yaranan tənliklərin hər birini həll edirik. Birinci tənlikdə heç bir kök yoxdur, çünki -1< 0, а во втором x = ±7.

Cavab x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Bu tənliyi oxşar şəkildə həll edirik:

3 + |x + 1| = 5 və ya 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 və ya x + 1 = -2. Kökləri yoxdur.

Cavab: x = -3, x = 1.

da var universal üsul modullu tənliklərin həlli. Bu interval üsuludur. Amma biz buna sonra baxacağıq.

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Biz riyaziyyatı seçmiriköz peşəsi və bizi seçir.

Rus riyaziyyatçısı Yu.İ. Manin

Modulu olan tənliklər

Məktəb riyaziyyatında həlli ən çətin məsələlər modul işarəsi altında dəyişənləri ehtiva edən tənliklərdir. üçün uğurlu həll Belə tənliklər üçün modulun tərifini və əsas xassələrini bilmək lazımdır. Təbii ki, tələbələr bu tip tənlikləri həll etmək bacarığına malik olmalıdırlar.

Əsas anlayışlar və xassələr

Həqiqi ədədin modulu (mütləq qiymət). ilə işarələnir və aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

TO sadə xassələri moduluna aşağıdakı əlaqələr daxildir:

Qeyd, son iki xassə istənilən cüt dərəcə üçün etibarlıdır.

Üstəlik, əgər, harada, onda və

Daha mürəkkəb modul xüsusiyyətləri, modullu tənliklərin həlli zamanı səmərəli istifadə oluna bilər, aşağıdakı teoremlər vasitəsilə tərtib edilir:

Teorem 1.İstənilən analitik funksiyalar üçün Və bərabərsizlik doğrudur

Teorem 2. Bərabərlik bərabərsizliyə bərabərdir.

Teorem 3. Bərabərlik bərabərsizliyə bərabərdir.

“Tənliklər, modul işarəsi altında dəyişənləri ehtiva edir."

Modullu tənliklərin həlli

Ən çox yayılmışdır məktəb riyaziyyatı modullu tənliklərin həlli üsuludur, modulun genişləndirilməsinə əsaslanır. Bu üsul universaldır, lakin ümumi halda onun istifadəsi çox çətin hesablamalara səbəb ola bilər. Bu baxımdan tələbələr başqalarını bilməlidirlər, daha çox təsirli üsullar və belə tənliklərin həlli üsulları. Xüsusilə, teoremləri tətbiq etmək bacarığına malik olmaq lazımdır, bu məqalədə verilmişdir.

Misal 1. Tənliyi həll edin. (1)

Həll. Biz (1) tənliyini “klassik” metoddan – modulların aşkarlanması metodundan istifadə edərək həll edəcəyik. Bunun üçün ədəd oxunu bölək nöqtələr və intervallara bölün və üç halı nəzərdən keçirin.

1. Əgər , , , və tənliyi (1) formasını alır. Bundan belə çıxır. Lakin burada , ona görə də tapılan dəyər (1) tənliyinin kökü deyil.

2. Əgər, onda (1) tənliyindən alırıq və ya .

O vaxtdan bəri (1) tənliyinin kökü.

3. Əgər, onda (1) tənliyi formasını alır və ya . Qeyd edək ki.

Cavab: , .

Sonrakı tənlikləri modulla həll edərkən, belə tənliklərin həllinin səmərəliliyini artırmaq üçün modulların xassələrindən fəal şəkildə istifadə edəcəyik.

Misal 2. Tənliyi həll edin.

Həll. O vaxtdan və onda tənlikdən belə çıxır. Bu mövzuda, , , və tənlik formasını alır. Buradan alırıq. Bununla belə, buna görə də ilkin tənliyin kökləri yoxdur.

Cavab: kökləri yoxdur.

Misal 3. Tənliyi həll edin.

Həll. O vaxtdan bəri. Əgər, onda və tənlik formasını alır.

Buradan alırıq.

Misal 4. Tənliyi həll edin.

Həll.Gəlin bərabərliyi ekvivalent formada yenidən yazaq. (2)

Əldə edilən tənlik tipli tənliklərə aiddir.

Teorem 2-ni nəzərə alaraq, (2) tənliyinin bərabərsizliyə ekvivalent olduğunu iddia etmək olar. Buradan alırıq.

Cavab: .

Misal 5. Tənliyi həll edin.

Həll. Bu tənliyin forması var. Buna görə də , 3-cü teoremə görə, burada bərabərsizlik var və ya .

Misal 6. Tənliyi həll edin.

Həll. Fərz edək ki. Çünki, onda verilmiş tənlik kvadrat tənlik şəklini alır, (3)

Harada . Çünki (3) tənliyi unikaldır müsbət kök daha sonra . Buradan orijinal tənliyin iki kökünü alırıq: Və .

Misal 7. Tənliyi həll edin. (4)

Həll. Tənlikdən bəriiki tənliyin birləşməsinə bərabərdir: Və , onda (4) tənliyini həll edərkən iki halı nəzərə almaq lazımdır.

1. Əgər , onda və ya .

Buradan alırıq və .

2. Əgər , onda və ya .

O vaxtdan bəri.

Cavab: , , , .

Misal 8.Tənliyi həll edin . (5)

Həll. O vaxtdan bəri və sonra. Buradan və tənlikdən (5) belə çıxır ki, və , yəni. burada tənliklər sistemimiz var

Lakin bu tənliklər sistemi uyğunsuzdur.

Cavab: kökləri yoxdur.

Misal 9. Tənliyi həll edin. (6)

Həll. işarə etsək, onda və (6) tənliyindən alırıq

Və ya . (7)

(7) tənliyi formaya malik olduğundan bu tənlik bərabərsizliyə bərabərdir. Buradan alırıq. O vaxtdan bəri və ya.

Cavab: .

Misal 10.Tənliyi həll edin. (8)

Həll.1-ci teoremə görə yaza bilərik

(9)

(8) tənliyini nəzərə alaraq belə nəticəyə gəlirik ki, hər iki bərabərsizlik (9) bərabərliyə çevrilir, yəni. tənliklər sistemi mövcuddur

Lakin 3-cü teoremə görə yuxarıdakı tənliklər sistemi bərabərsizliklər sisteminə ekvivalentdir.

(10)

Bərabərsizliklər sistemini həll edərək (10) əldə edirik. (10) bərabərsizliklər sistemi (8) tənliyinə ekvivalent olduğundan, ilkin tənliyin tək kökü var.

Cavab: .

Misal 11. Tənliyi həll edin. (11)

Həll. və , onda bərabərlik (11) tənliyindən gəlir.

Bundan sonra gəlir və . Beləliklə, burada bərabərsizliklər sistemi var

Bu bərabərsizliklər sisteminin həlli budur Və .

Cavab: , .

Misal 12.Tənliyi həll edin. (12)

Həll. Tənlik (12) modulların ardıcıl genişləndirilməsi üsulu ilə həll olunacaq. Bunun üçün bir neçə halı nəzərdən keçirək.

1. Əgər , onda .

1.1. Əgər , onda və , .

1.2. Əgər, onda. Bununla belə, ona görə də bu halda (12) tənliyinin kökü yoxdur.

2. Əgər , onda .

2.1. Əgər , onda və , .

2.2. Əgər , onda və .

Cavab: , , , , .

Misal 13.Tənliyi həll edin. (13)

Həll.Çünki sol tərəf(13) tənliyi mənfi deyil, onda . Bu baxımdan və tənlik (13)

və ya formasını alır.

Məlumdur ki, tənlik iki tənliyin birləşməsinə bərabərdir Və , aldığımız həll, . Çünki, onda (13) tənliyinin bir kökü var.

Cavab: .

Misal 14. Tənliklər sistemini həll edin (14)

Həll. ildən və , sonra və . Nəticədə (14) tənliklər sistemindən dörd tənlik sistemi əldə edirik:

Yuxarıdakı tənlik sistemlərinin kökləri tənliklər sisteminin kökləridir (14).

Cavab: ,, , , , , , .

Misal 15. Tənliklər sistemini həll edin (15)

Həll. O vaxtdan bəri. Bununla əlaqədar (15) tənliklər sistemindən iki tənlik sistemi əldə edirik

Birinci tənliklər sisteminin kökləri və , ikinci tənliklər sistemindən isə və əldə edirik.

Cavab: , , , .

Misal 16. Tənliklər sistemini həll edin (16)

Həll.(16) sisteminin birinci tənliyindən belə çıxır ki.

O vaxtdan bəri . Sistemin ikinci tənliyini nəzərdən keçirək. Çünki, Bu, və tənlik formasını alır, , və ya .

Əgər dəyəri əvəz etsənizsistemin birinci tənliyinə (16), sonra və ya .

Cavab: , .

Problemin həlli üsullarının daha dərindən öyrənilməsi üçün, tənliklərin həlli ilə bağlıdır, modul işarəsi altında dəyişənləri ehtiva edir, məsləhət verə bilərsiniz tədris vəsaitləri tövsiyə olunan ədəbiyyat siyahısından.

1. Kolleclərə qəbul olan abituriyentlər üçün riyaziyyatdan məsələlər toplusu / Red. M.İ. Skanavi. – M.: Sülh və Təhsil, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: artan mürəkkəblik tapşırıqları. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200 s.

3. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: problemlərin həlli üçün qeyri-standart üsullar. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 s.

Hələ suallarınız var?

Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Toçilkina Yuliya

İş modullu tənliklərin həlli üçün müxtəlif üsulları təqdim edir.

Yüklə:

Önizləmə:

Bələdiyyə büdcəli təhsil müəssisəsi

“59 nömrəli tam orta məktəb”

Modulu olan tənliklər

Abstrakt iş

İfa etdi 9A sinif şagirdi

MBOU "59 nömrəli orta məktəb" Barnaul

Toçilkina Yuliya

Nəzarətçi

Zaxarova Lyudmila Vladimirovna,

riyaziyyat müəllimi

MBOU "59 nömrəli orta məktəb" Barnaul

Barnaul 2015

Giriş

Mən doqquzuncu sinifdəyəm. Bu tədris ilində mən əsas məktəb kursu üçün yekun attestasiyadan keçməliyəm. İmtahana hazırlaşmaq üçün D. A. Maltsev Riyaziyyat kolleksiyasını aldıq. 9-cu sinif. Kolleksiyaya nəzər salarkən mən təkcə bir deyil, həm də bir neçə moduldan ibarət tənliklər kəşf etdim. Müəllim mənə və sinif yoldaşlarıma izah etdi ki, belə tənliklər “iç-içə modul” tənlikləri adlanır. Bu ad bizə qeyri-adi göründü və həlli, ilk baxışdan, kifayət qədər mürəkkəb idi. “Modulu olan tənliklər” adlı işim üçün mövzu belə ortaya çıxdı. Bu mövzunu daha dərindən öyrənmək qərarına gəldim, xüsusən də sonunda imtahan verərkən mənim üçün faydalı olacaq tədris ili və məncə 10 və 11-ci siniflərdə lazım olacaq. Yuxarıda göstərilənlərin hamısı mənim seçdiyim mövzunun aktuallığını müəyyən edir.

İşin məqsədi:

düşünün müxtəlif üsullar modullu tənliklərin həlli.
Müxtəlif üsullardan istifadə edərək mütləq dəyər işarəsi olan tənlikləri həll etməyi öyrənin

Mövzu üzərində işləmək üçün aşağıdakı vəzifələr tərtib edilmişdir:

Tapşırıqlar:

“Həqiqi ədədin modulu” mövzusunda nəzəri materialı öyrənin.
Tənliklərin həlli üsullarını nəzərdən keçirin və məsələləri həll etməklə əldə edilmiş bilikləri möhkəmləndirin.
Orta məktəbdə modul işarəsi olan müxtəlif tənlikləri həll edərkən əldə edilmiş bilikləri tətbiq edin

Tədqiqatın obyekti:modullu tənliklərin həlli üsullarını

Tədqiqatın mövzusu:modullu tənliklər

Tədqiqat üsulları:

nəzəri : tədqiqat mövzusu üzrə ədəbiyyatın öyrənilməsi;

İnternet - məlumat.

Təhlil ədəbiyyatı öyrənməkdən əldə edilən məlumatlar; modullu tənliklərin həlli zamanı alınan nəticələr fərqli yollar.

Müqayisə tənliklərin həlli üsulları modullu müxtəlif tənliklərin həlli zamanı onlardan istifadənin rasionallığının mövzusudur.

"Bir şeyə dəyəndə düşünməyə başlayırıq." Paul Valeri.

1. Anlayışlar və təriflər.

“Modul” anlayışı məktəb riyaziyyat kursunun bir çox bölmələrində, məsələn, təxmini ədədin mütləq və nisbi səhvlərinin öyrənilməsində geniş istifadə olunur; həndəsə və fizikada vektor və onun uzunluğu (vektor modulu) anlayışları öyrənilir. Modulun anlayışları ali təhsil müəssisələrində öyrənilən ali riyaziyyat, fizika və texniki elmlər kurslarında istifadə olunur.

“Modul” sözü latınca “ölçü” mənasını verən “modulus” sözündəndir. Bu sözün bir çox mənası var və təkcə riyaziyyat, fizika və texnologiyada deyil, həm də memarlıq, proqramlaşdırma və digər dəqiq elmlərdə istifadə olunur.

Bu terminin Nyutonun tələbəsi Kotes tərəfindən təklif edildiyi güman edilir. Modul işarəsi 19-cu əsrdə Weierstrass tərəfindən təqdim edilmişdir.

Memarlıqda modul müəyyən bir memarlıq quruluşu üçün qurulmuş ilkin ölçü vahididir.

Texnologiyada bu, istifadə olunan bir termindir müxtəlif sahələr müxtəlif əmsalları və kəmiyyətləri təyin etməyə xidmət edən texnologiya, məsələn, elastiklik modulu, nişan modulu...

Riyaziyyatda modulun bir neçə mənası var, amma mən onu ədədin mütləq qiyməti kimi nəzərdən keçirəcəyəm.

Tərif 1: Həqiqi ədədin modulu (mütləq qiymət). A bu nömrənin özü if adlanır A ≥0 və ya əks rəqəm - və əgər A sıfırın modulu sıfırdır.

Modullu tənlikləri həll edərkən modulun xassələrindən istifadə etmək rahatdır.

5,6,7 xassələrinin sübutlarını nəzərdən keçirək.

Bəyanat 5. Bərabərlik │ a+b │=│ a │+│ b │ doğrudur, əgər av ≥ 0.

Sübut. Həqiqətən də, bu bərabərliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdırdıqdan sonra │ alırıq a+b │²=│ a │²+2│ ab │+│ c │²,

a²+ 2 ab+b²=a²+ 2│ ab │+ b², buradan │ ab │= ab

Və son bərabərlik nə vaxt doğru olacaq av ≥0.

Bəyanat 6. Bərabərlik │ a-c │=│ a │+│ c │ olduqda doğrudur av ≤0.

Sübut. Bunu sübut etmək üçün bərabərlikdə kifayətdir

│ а+в │=│ а │+│ в │ в-i - в ilə əvəz edin, sonra a· (- в ) ≥0, buradan ав ≤0.

Bəyanat 7. Bərabərlik │ a │+│ b │= a+b -da ifa olunub a ≥0 və b ≥0.

Sübut . Dörd işə baxdıqdan sonra a ≥0 və b ≥0; a ≥0 və c A ≥0-da; A V a ≥0 və b ≥0.

(a-c) ≥0-da.

Həndəsi şərh

|a| - bu koordinat xəttində koordinat olan nöqtədən məsafədir A , mənşəyinə.

|-a| |a|

A 0 a x

|a|-nın mənasının həndəsi şərhi aydın şəkildə təsdiq edir ki, |-a|=|a|

Əgər a 0, onda koordinat xəttində modulları bərabər olan sıfırdan bərabər məsafədə iki a və –a nöqtəsi var.

Əgər a=0 olarsa, o zaman koordinat xəttində |a| 0 nöqtəsi ilə təmsil olunur.

Tərif 2: Modulu olan tənlik, mütləq dəyər işarəsi altında (modul işarəsi altında) dəyişəni ehtiva edən tənlikdir. Məsələn: |x +3|=1

Tərif 3: Tənliyi həll etmək onun bütün köklərini tapmaq və ya heç bir kök olmadığını sübut etmək deməkdir.

2. Həll üsulları

Modulun tərifindən və xassələrindən modul ilə tənliklərin həlli üçün əsas üsullar aşağıdakılardır:

Modulun "genişləndirilməsi" (yəni tərifdən istifadə etməklə);
Modulun həndəsi mənasından istifadə etməklə (2-ci xassə);
Qrafik həll üsulu;
Ekvivalent çevrilmələrdən istifadə (xassələr 4.6);
Bir dəyişənin dəyişdirilməsi (bu, 5-dən istifadə edir).
İnterval üsulu.

Mən kifayət qədər qərar verdim çoxlu sayda misallar, amma işdə diqqətinizə yalnız bir neçə, fikrimcə, müxtəlif üsullarla həll edilən tipik nümunələri təqdim edirəm, çünki qalanları bir-birini təkrarlayır və modullu tənliklərin necə həll olunacağını başa düşmək üçün buna ehtiyac yoxdur. həll olunan bütün nümunələri nəzərdən keçirin.

tənliklərin həlli | f(x)| = a

| tənliyini nəzərdən keçirin f(x)| = a, bir R

Bu tip tənlik modulun tərifi ilə həll edilə bilər:

Əgər A onda tənliyin kökü yoxdur.

Əgər a= 0 olarsa, tənlik f(x)=0-a bərabərdir.

Əgər a>0, onda tənlik çoxluğa ekvivalentdir

Misal. |3x+2|=4 tənliyini həll edin.

Həll.

|3x+2|=4, sonra 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

CAVAB: -2;2/3.

MODULUN HƏNDƏSİ XÜSUSİYYƏTLƏRİNDƏN İSTİFADƏ EDİLƏN TƏNLƏRLƏRİN HƏLL EDİLMƏSİ.

Misal 1. /x-1/+/x-3/=6 tənliyini həll edin.

Həll.

Bu tənliyin həlli Ox ədədi oxunda bütün belə nöqtələrin tapılması deməkdir, hər biri üçün ondan koordinatları 1 və 3 olan nöqtələrə qədər olan məsafələrin cəmi 6-ya bərabərdir.

Seqmentdən bir nöqtə də yoxdurbu şərti qane etmir, çünki göstərilən məsafələrin cəmi 2-dir. Bu seqmentdən kənarda iki nöqtə var: 5 və -1.

1 1 3 5

Cavab: -1;5

Misal 2. |x tənliyini həll edin 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

Həll.

x 2 +x-5= a, onda / a /+/ a-4 işarə edək /=10. Ox oxunda elə nöqtələr tapaq ki, onların hər biri üçün koordinatları 0 və 4 olan nöqtələrə olan məsafələrin cəmi 10-a bərabər olsun.Bu şərt -4 və 7-yə uyğundur.

3 0 4 7

Beləliklə, x 2 +x-5= 4 x 2 +x-5=7

X 2 +x-2=0 x 2 +x-12=0

X 1= 1, x 2= -2 x 1= -4, x 2= 3 Cavab: -4;-2; 1; 3.

tənliklərin həlli | f(x)| = | g(x)|.

ildən | a |=|in |, əgər a= in, sonra | formasının tənliyi f(x)| = | g(x )| cəminə bərabərdir

Misal 1.

| tənliyini həll edin x –2| = |3 – x |.

Həll.

Bu tənlik iki tənliyə bərabərdir:

x – 2 = 3 – x (1) və x – 2 = –3 + x (2)

2 x = 5 –2 = –3 – səhvdir

X = 2.5 tənliyin həlli yoxdur.

CAVAB: 2.5.

Misal 2.

|x tənliyini həll edin 2 +3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Həll.

Tənliyin hər iki tərəfi mənfi olmadığı üçünkvadratlaşdırma ekvivalent çevrilmədir:

(x 2 +3x-20) 2 = (x 2 -3x+2) 2

(x 2 +3x-20) 2 - (x 2 -3x+2) 2 =0,

(x 2 +3x-20-x 2 +3x-2) (x 2 +3x-20+x 2 -3x+2)=0,

(6x-22)(2x 2 -18)=0,

6x-22=0 və ya 2x 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

Cavab: -3; 3; 11/3.

GÖRÜNÜŞ TƏNLƏRİNİN HƏLLİ | f(x)| = g(x).

Bu tənliklər arasındakı fərq və| f(x)| = a sağ tərəfin də dəyişən olması faktı. Və həm müsbət, həm də mənfi ola bilər. Buna görə də, onun qeyri-mənfi olduğundan əmin olmalısınız, çünki modul mənfi ədədə bərabər ola bilməz (xüsusiyyət№1 )

1 yol

| tənliyinin həlli f(x)| = g(x ) tənliklərin həlli toplusuna qədər azaldırvə bərabərsizliyin ədalətliliyinin yoxlanılması g(x )>0 naməlumun tapılmış qiymətləri üçün.

Metod 2 (modul tərifinə görə)

ildən | f(x)| = g(x) əgər f(x) = 0; | f(x)| = - f(x) əgər f(x)

Misal.

|3 tənliyini həll edin x –10| = x – 2.

Həll.

Bu tənlik iki sistemin birləşməsinə bərabərdir:

CAVAB: 3; 4.

FORMA TƏNLİKLƏRİNİN HƏLLİ |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

Bu tip tənliklərin həlli modulun təyininə əsaslanır. Hər bir funksiya üçün f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) tərif sahəsini, onun sıfırlarını və kəsilmə nöqtələrini tapmaq lazımdır, ümumi tərif sahəsini intervallara bölməklə, hər birində f funksiyaları yerinə yetirilir. 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) işarələrini saxlayırlar. Sonra, modulun tərifindən istifadə edərək, tapılan sahələrin hər biri üçün bu intervalda həll edilməli olan bir tənlik alırıq. Bu üsul "adlanır.interval üsulu»

Misal.

|x-2|-3|x+4|=1 tənliyini həll edin.

Həll.

Submodul ifadələrin sıfıra bərabər olduğu nöqtələri tapaq

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

Say xəttini x intervallarına bölək

Tənliyin həlli üç sistemin həllinə gəlir:

CAVAB: -15, -1,8.

TƏRKİBİ OLAN TƏNLƏKLƏRİN HƏLLİ ÜÇÜN QRAFİK ÜSUL MODUL İŞARƏSİ.

Tənliklərin həllinin qrafik üsulu təxminidir, çünki dəqiqlik seçilmiş bölmə seqmentindən, qələmin qalınlığından, xətlərin kəsişdiyi bucaqlardan və s. Lakin bu üsul verilmiş tənliyin neçə həlli olduğunu təxmin etməyə imkan verir.

Misal. |x - 2| tənliyini qrafik həll edin + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Həll. Bir koordinat sistemində funksiyaların qrafiklərini quraq

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| və y=9.

Qrafik qurmaq üçün nəzərə almaq lazımdır bu funksiya hər interval üzrə (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞ )

Cavab: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

| tənliklərini həll edərkən ekvivalent çevrilmələr metodundan da istifadə etdik f(x)| = | g(x)|.

KOMPLEKS MODULLU TƏNLƏR

Başqa bir tənlik növü “mürəkkəb” modullu tənliklərdir. Belə tənliklərə “modul daxilində modulları” olan tənliklər daxildir. Bu tip tənliklər müxtəlif üsullarla həll edilə bilər.

Misal 1.

||||x| tənliyini həll edin – |–2| –1| –2| = 2.

Həll.

Modulun tərifinə görə bizdə:

Birinci tənliyi həll edək.

||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

İkinci tənliyi həll edək.

||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | –2 = 1,

| x | = 3 və | x | = 1,

x = 3; x = 1.

Cavab: 1; 3; 7.

Misal 2.

|2 – |x + 1|| tənliyini həll edin = 3.

Həll.

Yeni dəyişən təqdim edərək tənliyi həll edək.

Qoy | x + 1| = y, sonra |2 – y | = 3, buradan

Əks əvəzi edək:

(1) | x + 1| = –1 – həllər yoxdur.

(2) | x + 1| = 5

CAVAB: –6; 4.

Misal 3.

| tənliyinin neçə kökü var 2 | x | -6 | = 5 - x?

Həll. Ekvivalent sxemlərdən istifadə edərək tənliyi həll edək.

Tənlik | 2 | x | -6 | = 5 sistemə bərabərdir:

Bu yazıda biz ətraflı təhlil edəcəyik ədədin mütləq qiyməti. Biz ədədin modulunun müxtəlif təriflərini verəcəyik, qeydləri təqdim edəcəyik və qrafik təsvirlər təqdim edəcəyik. Eyni zamanda, düşünək müxtəlif nümunələr təriflə ədədin modulunun tapılması. Bundan sonra modulun əsas xüsusiyyətlərini sadalayacağıq və əsaslandıracağıq. Məqalənin sonunda kompleks ədədin modulunun necə təyin edildiyi və tapıldığı haqqında danışacağıq.

Səhifə naviqasiyası.

Nömrə modulu - tərif, qeyd və nümunələr

Əvvəlcə təqdim edirik ədəd modul təyini. a ədədinin modulunu kimi yazacağıq, yəni ədədin soluna və sağına modul işarəsini yaratmaq üçün şaquli tirelər qoyacağıq. Bir-iki misal verək. Məsələn, −7 modulu belə yazıla bilər; modul 4.125 kimi yazılır və modulda forma qeydi var.

Modulun aşağıdakı tərifi həqiqi ədədlər çoxluğunun tərkib hissələri kimi , buna görə də , və tam ədədlərə, rasional və irrasional ədədlərə aiddir. Kompleks ədədin modulu haqqında danışacağıq.

Tərif.

a sayı modulu– bu ya a ədədinin özüdür, əgər a müsbət ədəddirsə, ya da −a ədədidir, əks nömrə a, əgər a - mənfi rəqəm, və ya 0 əgər a=0 .

Ədədin modulunun səsli tərifi çox vaxt aşağıdakı formada yazılır , bu giriş o deməkdir ki, əgər a>0 , əgər a=0 və əgər a<0 .

Rekord daha yığcam formada təqdim edilə bilər . Bu qeyd o deməkdir ki, əgər (a 0-dan böyük və ya bərabərdir) və əgər a<0 .

Girişi də var . Burada a=0 olduqda vəziyyəti ayrıca izah etməliyik. Bu halda bizdə var, lakin −0=0, çünki sıfır özünə əks olan ədəd hesab olunur.

verək ədədin modulunun tapılması nümunələri müəyyən edilmiş tərifdən istifadə etməklə. Məsələn, 15 və rəqəmlərinin modullarını tapaq. tapmaqla başlayaq. 15 rəqəmi müsbət olduğundan onun modulu tərifinə görə bu ədədin özünə bərabərdir, yəni . Ədədin modulu nədir? Mənfi ədəd olduğundan onun modulu ədədin əksinə olan ədədə, yəni ədədə bərabərdir . Beləliklə, .

Bu fikri yekunlaşdırmaq üçün biz ədədin modulunu taparkən praktikada istifadə etmək çox rahat olan bir nəticəni təqdim edirik. Ədədin modulunun tərifindən belə çıxır ki ədədin modulu işarəsini nəzərə almadan modul işarəsinin altındakı ədədə bərabərdir, və yuxarıda müzakirə edilən nümunələrdən bu çox aydın görünür. Göstərilən bəyanatda nömrənin modulunun niyə çağırıldığı izah edilir ədədin mütləq dəyəri. Beləliklə, ədədin modulu və ədədin mütləq qiyməti bir və eynidir.

Məsafə kimi ədədin modulu

Həndəsi olaraq ədədin modulu kimi şərh edilə bilər məsafə. verək məsafə vasitəsilə ədədin modulunun müəyyən edilməsi.

Tərif.

a sayı modulu– bu, koordinat xəttindəki başlanğıcdan a rəqəminə uyğun gələn nöqtəyə qədər olan məsafədir.

Bu tərif birinci paraqrafda verilmiş ədədin modulunun tərifinə uyğundur. Bu məqama aydınlıq gətirək. Başlanğıcdan müsbət ədədə uyğun gələn nöqtəyə qədər olan məsafə bu ədədə bərabərdir. Sıfır mənşəyə uyğundur, buna görə də başlanğıcdan koordinatı 0 olan nöqtəyə qədər olan məsafə sıfıra bərabərdir (bir vahid seqmentin hər hansı bir hissəsini təşkil edən bir seqmenti deyil, vahid seqmenti kənara qoymağa ehtiyac yoxdur. O nöqtəsindən koordinatı 0 olan nöqtəyə çatmaq üçün). Mənbədən koordinatı mənfi olan bir nöqtəyə qədər olan məsafə bu nöqtənin koordinatına əks olan ədədə bərabərdir, çünki o, başlanğıcdan koordinatı əks ədəd olan nöqtəyə qədər olan məsafəyə bərabərdir.

Məsələn, 9 rəqəminin modulu 9-a bərabərdir, çünki başlanğıcdan koordinatı 9 olan nöqtəyə qədər olan məsafə doqquza bərabərdir. Başqa bir misal verək. −3,25 koordinatlı nöqtə O nöqtəsindən 3,25 məsafədə yerləşir, ona görə də .

Ədədin modulunun qeyd olunan tərifi iki ədədin fərqinin modulunun müəyyənləşdirilməsinin xüsusi halıdır.

Tərif.

İki ədədin fərqinin modulu a və b koordinatları a və b olan koordinat xəttinin nöqtələri arasındakı məsafəyə bərabərdir.

Yəni A(a) və B(b) koordinat xəttində nöqtələr verilirsə, onda A nöqtəsindən B nöqtəsinə qədər olan məsafə a və b ədədləri arasındakı fərqin moduluna bərabərdir. O nöqtəsini (mənşəyi) B nöqtəsi kimi götürsək, onda bu paraqrafın əvvəlində verilmiş ədədin modulunun tərifini alarıq.

Arifmetik kvadrat kökdən istifadə edərək ədədin modulunun müəyyən edilməsi

Bəzən olur arifmetik kvadrat kök vasitəsilə modulun təyini.

Məsələn, −30 ədədlərinin modullarını hesablayaq və bu tərifə əsaslanaq. bizdə var. Eynilə, üçdə iki modulu hesablayırıq: .

Arifmetik kvadrat kök vasitəsilə ədədin modulunun tərifi də bu maddənin birinci bəndində verilmiş tərifə uyğundur. Gəlin onu göstərək. Qoy a müsbət ədəd, −a isə mənfi ədəd olsun. Sonra Və , əgər a=0 olarsa, onda .

Modul xüsusiyyətləri

Modul bir sıra xarakterik nəticələrə malikdir - modul xüsusiyyətləri. İndi onlardan əsas və ən çox istifadə olunanları təqdim edəcəyik. Bu xassələri əsaslandırarkən, məsafə baxımından ədədin modulunun tərifinə əsaslanacağıq.

Modulun ən bariz xüsusiyyətindən başlayaq - Ədədin modulu mənfi ədəd ola bilməz. Hərfi formada bu xassə istənilən a rəqəminin formasına malikdir. Bu xassəni əsaslandırmaq çox asandır: ədədin modulu məsafədir və məsafəni mənfi ədəd kimi ifadə etmək olmaz.

Növbəti modul xassəsinə keçək. Ədədin modulu yalnız və yalnız bu ədəd sıfır olduqda sıfırdır. Sıfır modulu tərifinə görə sıfırdır. Sıfır mənşəyə uyğundur; koordinat xəttindəki başqa heç bir nöqtə sıfıra uyğun gəlmir, çünki hər bir real ədəd koordinat xəttində bir nöqtə ilə əlaqələndirilir. Eyni səbəbdən sıfırdan başqa hər hansı bir rəqəm mənşədən fərqli bir nöqtəyə uyğun gəlir. Və başlanğıcdan O nöqtəsindən başqa hər hansı bir nöqtəyə qədər olan məsafə sıfır deyil, çünki iki nöqtə arasındakı məsafə yalnız və yalnız bu nöqtələr üst-üstə düşərsə sıfırdır. Yuxarıdakı mülahizə sübut edir ki, yalnız sıfırın modulu sıfıra bərabərdir.

Davam et. Qarşılıqlı ədədlərin modulları bərabərdir, yəni istənilən a ədədi üçün. Həqiqətən də koordinat xəttində koordinatları əks ədədlər olan iki nöqtə mənbədən eyni məsafədə yerləşir, yəni əks ədədlərin modulları bərabərdir.

Modulun aşağıdakı xüsusiyyəti: İki ədədin hasilinin modulu bu ədədlərin modullarının hasilinə bərabərdir, yəni, . Tərifinə görə, a və b ədədlərinin hasilinin modulu ya a·b olduqda, ya da −(a·b) olduqda bərabərdir. Həqiqi ədədlərin vurulması qaydalarından belə çıxır ki, a və b ədədlərinin modullarının hasili ya a·b, , ya da −(a·b) if -ə bərabərdir ki, bu da sözügedən xassəni sübut edir.

a bölməsinin b-yə bölünməsi modulu, ədədin modulunun b moduluna bölünməsinə bərabərdir., yəni, . Modulun bu xassəsini əsaslandıraq. Kəmiyyət məhsula bərabər olduğundan, deməli. Əvvəlki mülkiyyətimizə görə . Yalnız ədədin modulunun tərifinə görə etibarlı olan bərabərlikdən istifadə etmək qalır.

Modulun aşağıdakı xassəsi bərabərsizlik kimi yazılır: , a , b və c ixtiyari həqiqi ədədlərdir. Yazılı bərabərsizlik başqa bir şey deyil üçbucaq bərabərsizliyi. Bunu aydınlaşdırmaq üçün koordinat xəttinin A(a), B(b), C(c) nöqtələrini götürək və təpələri eyni xətt üzərində yerləşən degenerativ ABC üçbucağını nəzərdən keçirək. Tərifə görə, fərqin modulu AB seqmentinin uzunluğuna, - AC seqmentinin uzunluğuna və - CB seqmentinin uzunluğuna bərabərdir. Üçbucağın hər hansı bir tərəfinin uzunluğu digər iki tərəfin uzunluqlarının cəmindən çox olmadığı üçün bərabərsizlik doğrudur. , buna görə də bərabərsizlik də doğrudur.

İndicə sübut olunmuş bərabərsizlik formada daha çox yayılmışdır . Yazılı bərabərsizlik adətən aşağıdakı formula ilə modulun ayrıca xassəsi kimi qəbul edilir: “ İki ədədin cəminin modulu bu ədədlərin modullarının cəmindən çox deyil" Lakin b əvəzinə −b qoyub c=0 alsaq, bərabərsizlik birbaşa bərabərsizlikdən irəli gəlir.

Kompleks ədədin modulu

verək kompleks ədədin modulunun tərifi. Bizə nəsib olsun kompleks ədəd, cəbri formada yazılmışdır, burada x və y bəzi real ədədlərdir, müvafiq olaraq verilmiş kompleks ədəd z-nin həqiqi və xəyali hissələrini təmsil edir və xəyali vahiddir.

Termin (modul) latın dilindən hərfi tərcümədə “ölçü” deməkdir. Bu anlayışı riyaziyyata ingilis alimi R. Kotes daxil etmişdir. Alman riyaziyyatçısı K. Weierstrass isə modul işarəsini - yazarkən bu anlayışı ifadə edən simvolu təqdim etdi.

Bu anlayış ilk dəfə orta məktəbin 6-cı sinif kurikulumunda riyaziyyatda öyrənilir. Bir tərifə görə, modul həqiqi ədədin mütləq qiymətidir. Başqa sözlə, həqiqi ədədin modulunu tapmaq üçün onun işarəsini atmaq lazımdır.

Qrafik olaraq mütləq dəyər A kimi qeyd olunur |a|.

Bu anlayışın əsas fərqləndirici xüsusiyyəti onun həmişə qeyri-mənfi kəmiyyət olmasıdır.

Bir-birindən ancaq işarəsi ilə fərqlənən ədədlərə əks ədədlər deyilir. Əgər dəyər müsbətdirsə, onun əksi mənfi, sıfır isə onun əksidir.

Həndəsi məna

Əgər modul anlayışını həndəsə nöqteyi-nəzərindən nəzərdən keçirsək, o zaman koordinatların başlanğıcından verilmiş nöqtəyə qədər vahid seqmentlərdə ölçülən məsafəni ifadə edəcəkdir. Bu tərif öyrənilən terminin həndəsi mənasını tam açır.

Qrafik olaraq bunu aşağıdakı kimi ifadə etmək olar: |a| = OA.

Mütləq dəyər xassələri

Aşağıda bu anlayışın bütün riyazi xüsusiyyətlərini və onu hərfi ifadələr şəklində yazmaq yollarını nəzərdən keçirəcəyik:

Modullu tənliklərin həllinin xüsusiyyətləri

Əgər modulu ehtiva edən riyazi tənliklərin və bərabərsizliklərin həllindən danışırıqsa, onda yadda saxlamalıyıq ki, onları həll etmək üçün bu işarəni açmaq lazımdır.

Məsələn, əgər mütləq qiymətin işarəsi hansısa riyazi ifadəni ehtiva edirsə, onda modulu açmazdan əvvəl mövcud riyazi tərifləri nəzərə almaq lazımdır.

|A + 5| = A + 5, əgər, A sıfırdan böyük və ya bərabərdir.

5-A, əgər, A dəyər sıfırdan kiçikdir.

Bəzi hallarda işarə dəyişənin istənilən qiyməti üçün birmənalı şəkildə aşkar edilə bilər.

Başqa bir misala baxaq. Mütləq dəyəri 5 olacaq bütün ədədi dəyərləri qeyd etdiyimiz bir koordinat xətti quraq.

Əvvəlcə bir koordinat xətti çəkməli, üzərində koordinatların mənşəyini qeyd etməli və vahid seqmentin ölçüsünü təyin etməlisiniz. Bundan əlavə, düz xəttin bir istiqaməti olmalıdır. İndi bu sətirdə vahid seqmentin ölçüsünə bərabər olacaq işarələr tətbiq etmək lazımdır.

Beləliklə, bu koordinat xəttində 5 və -5 dəyərləri ilə bizi maraqlandıran iki nöqtənin olacağını görə bilərik.