Online kalkulator Redukcioni razlomci (nepravilni, mješoviti). Kako smanjiti algebarske razlomke

Online kalkulator radi redukcija algebarskih razlomaka u skladu sa pravilom redukcije razlomaka: zamjena prvobitnog razlomka jednakim razlomkom, ali manjim brojnikom i nazivnikom, tj. istovremeno dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka njihovim zajedničkim najvećim zajednički djelitelj(NOD). Prikazuje se i kalkulator detaljno rješenje, što će vam pomoći da shvatite redoslijed smanjenja.

Dato:

Rješenje:

Izvođenje redukcije frakcija

provjera mogućnosti izvođenja algebarske redukcije razlomaka

1) Određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka

određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

2) Smanjenje brojnika i nazivnika razlomka

smanjenje brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

3) Odabir cijelog dijela razlomka

razdvajanje cijelog dijela algebarskog razlomka

4) Pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni razlomak

pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni

Pomoć za izradu web stranice projekta

Dragi posjetitelju stranice.
Ako niste uspjeli pronaći ono što ste tražili, svakako napišite u komentarima šta trenutno nedostaje na stranici. To će nam pomoći da shvatimo u kom pravcu se trebamo dalje kretati, a drugi posjetioci će uskoro moći dobiti potreban materijal.
Ako vam se stranica pokaže korisnom, donirajte je projektu samo 2 ₽ i znaćemo da se krećemo u pravom smeru.

Hvala što ste svratili!

I. Procedura za smanjenje algebarskog razlomka pomoću online kalkulatora:

1. Da biste smanjili algebarski razlomak, unesite vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka u odgovarajuća polja. Ako je razlomak pomiješan, popunite i polje koje odgovara cijelom dijelu razlomka. Ako je razlomak jednostavan, ostavite cijelo polje za dio praznim.
2. Da biste odredili negativan razlomak, stavite znak minus na cijeli dio razlomka.
3. Ovisno o navedenom algebarskom razlomku, automatski se izvodi sljedeći niz radnji:

• određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka;
• smanjenje brojioca i nazivnika razlomka za gcd;
• isticanje cijelog dijela razlomka, ako je brojnik konačnog razlomka veći od nazivnika.
• pretvarajući konačni algebarski razlomak u decimalni razlomak zaokruženo na najbližu stotu.

Smanjenje može rezultirati nepravilnim razlomkom. U ovom slučaju, cijeli dio konačnog nepravilnog razlomka će biti istaknut i konačni razlomak će biti pretvoren u pravi razlomak.

II. Za referenciju:

Razlomak je broj koji se sastoji od jednog ili više dijelova (razlomaka) jedinice. Uobičajeni razlomak (prosti razlomak) se piše kao dva broja (brojnik razlomka i imenilac razlomka) odvojena horizontalnom crtom (razlomak) koja označava znak podjele. Brojač razlomka je broj iznad linije razlomka. Brojač pokazuje koliko je dionica uzeto iz cjeline. Imenilac razlomka je broj ispod linije razlomka. Imenilac pokazuje na koliko jednakih delova je podeljena celina. Prost razlomak je razlomak koji nema cijeli dio. Jednostavan razlomak može biti pravilan ili nepravilan. Pravi razlomak je razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika, pa je pravi razlomak uvijek manji od jedan. Primjer pravih razlomaka: 8/7, 11/19, 16/17. Nepravilan razlomak je razlomak u kojem je brojilac veći ili jednak nazivniku, tako da je nepravilan razlomak uvijek veći ili jednak jedan. Primjer nepravilnih razlomaka: 7/6, 8/7, 13/13. mješoviti razlomak je broj koji sadrži cijeli broj i pravi razlomak, a označava zbir tog cijelog broja i pravilnog razlomka. Svaki mješoviti razlomak se može pretvoriti u nepravilan razlomak prosti razlomak. Primjer miješane frakcije: 1¼, 2½, 4¾.

III. Bilješka:

1. Blok izvornih podataka je označen žuta , dodijeljen je srednji proračunski blok plava , blok rješenja je označen zelenom bojom.
2. Za sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje običnih ili mješovitih razlomaka koristite online kalkulator razlomaka s detaljnim rješenjima.

Zasnovan je na njihovom osnovnom svojstvu: ako se brojnik i nazivnik razlomka podijele istim polinomom koji nije nula, onda će se dobiti jednak razlomak.

Možete samo smanjiti množitelje!

Članovi polinoma se ne mogu skraćivati!

Da bi se smanjio algebarski razlomak, polinomi u brojniku i nazivniku prvo moraju biti faktorisani.

Pogledajmo primjere smanjenja razlomaka.

Brojilac i nazivnik razlomka sadrže monome. Oni predstavljaju rad(brojevi, varijable i njihove moći), množitelji možemo smanjiti.

Brojeve smanjujemo za njihov najveći zajednički djelitelj, odnosno za njihov najveći veći broj, kojim je svaki od ovih brojeva podijeljen. Za 24 i 36 ovo je 12. Nakon smanjenja ostaje 2 od 24, a 3 od 36.

Smanjujemo stepene za stepen sa najnižim indeksom. Smanjiti razlomak znači podijeliti brojilac i nazivnik istim djeliteljem i oduzeti eksponente.

a² i a⁷ se svode na a². U ovom slučaju u brojiocu a² ostaje jedan (1 upisujemo samo u slučaju kada nakon redukcije ne preostaje nijedan drugi faktor. Od 24 ostaje 2, tako da od a² ne pišemo 1). Od a⁷, nakon redukcije, ostaje a⁵.

b i b se smanjuju za b; rezultirajuće jedinice se ne pišu.

c³º i c⁵ su skraćeni na c⁵. Ono što ostaje od c³º je c²⁵, od c⁵ je jedan (mi ga ne pišemo). dakle,

Brojilac i nazivnik ovog algebarskog razlomka su polinomi. Ne možete poništiti termine polinoma! (ne možete smanjiti, na primjer, 8x² i 2x!). Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate . Brojilac ima zajednički faktor 4x. Izvadimo to iz zagrada:

I brojnik i imenilac imaju isti faktor (2x-3). Smanjujemo razlomak ovim faktorom. U brojiocu smo dobili 4x, u nazivniku - 1. Prema 1 svojstvu algebarskih razlomaka, razlomak je jednak 4x.

Možete samo smanjiti faktore (ne možete smanjiti ovaj razlomak za 25x²!). Stoga se polinomi u brojniku i nazivniku razlomka moraju faktorizirati.

Brojnik je potpuni kvadrat zbira, nazivnik je razlika kvadrata. Nakon dekompozicije korištenjem skraćenih formula za množenje, dobijamo:

Smanjujemo razlomak za (5x+1) (da biste to učinili, precrtajte dva u brojiocu kao eksponent, ostavljajući (5x+1)² (5x+1)):

Brojač ima zajednički faktor 2, izvadimo ga iz zagrada. Imenilac je formula za razliku kocki:

Kao rezultat proširenja, brojilac i imenilac su dobili isti faktor (9+3a+a²). Time smanjujemo razlomak:

Polinom u brojniku se sastoji od 4 člana. prvi član sa drugim, treći sa četvrtim i uklonite zajednički faktor x² iz prvih zagrada. Dekomponujemo imenilac koristeći formulu sume kocke:

U brojiocu, uzmimo zajednički faktor (x+2) iz zagrada:

Smanjite razlomak za (x+2):

U ovom članku ćemo detaljno pogledati kako redukcijske frakcije. Prvo, razgovarajmo o tome što se zove smanjenje razlomka. Nakon ovoga, razgovarajmo o reduciranju razlomka koji se može reducirati na nesvodljivi oblik. Zatim ćemo dobiti pravilo za smanjenje razlomaka i, na kraju, razmotriti primjere primjene ovog pravila.

Navigacija po stranici.

Šta znači smanjiti razlomak?

Znamo da se obični razlomci dijele na svodljive i nesvodljive razlomke. Iz imena možete pretpostaviti da se svodivi razlomci mogu smanjiti, ali nesvodljivi razlomci ne mogu.

Šta znači smanjiti razlomak? Smanjite frakciju- to znači podijeliti njegov brojnik i imenilac sa pozitivnim i različitim od jedinice. Jasno je da se smanjenjem razlomka dobija novi razlomak sa manjim brojinikom i nazivnikom, a zbog osnovne osobine razlomka, rezultujući razlomak je jednak originalnom.

Na primjer, smanjimo običan razlomak 8/24 dijeljenjem brojača i nazivnika sa 2. Drugim riječima, smanjimo razlomak 8/24 za 2. Pošto je 8:2=4 i 24:2=12, ovo smanjenje rezultira u razlomku 4/12, koji je jednak originalnom razlomku 8/24 (vidi jednake i nejednake razlomke). Kao rezultat, imamo .

Redukcija običnih razlomaka u nesvodljivi oblik

Tipično, krajnji cilj redukcije razlomka je da se dobije nesvodljivi razlomak koji je jednak originalnom reducibilnom razlomku. Ovaj cilj se može postići svođenjem originalnog svodivog razlomka u brojnik i nazivnik. Kao rezultat takve redukcije uvijek se dobije nesvodljivi razlomak. Zaista, djelić je nesvodiva, pošto je poznato da I - . Ovdje ćemo reći da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka najveći broj, kojim se ovaj razlomak može smanjiti.

dakle, svođenje običnog razlomka u nesvodljivi oblik sastoji se od dijeljenja brojnika i nazivnika originalnog svodivog razlomka njihovim gcd.

Pogledajmo primjer za koji se vraćamo na razlomak 8/24 i smanjujemo ga za najveći zajednički djelitelj brojeva 8 i 24, koji je jednak 8. Pošto je 8:8=1 i 24:8=3, dolazimo do nesvodljivog razlomka 1/3. Dakle, .

Imajte na umu da izraz "smanjiti razlomak" često znači svođenje originalnog razlomka na njegov nesvodljivi oblik. Drugim riječima, smanjenje razlomka se vrlo često odnosi na dijeljenje brojnika i nazivnika njihovim najvećim zajedničkim faktorom (a ne bilo kojim zajedničkim faktorom).

Kako smanjiti razlomak? Pravila i primjeri smanjenja razlomaka

Ostaje samo pogledati pravilo za smanjenje razlomaka, koje objašnjava kako smanjiti dati razlomak.

Pravilo za smanjenje razlomaka sastoji se od dva koraka:

• prvo se pronalazi gcd brojnika i nazivnika razlomka;
• drugo, brojilac i nazivnik razlomka se dijele sa svojim gcd, što daje nesvodljivi razlomak jednak originalnom.

Hajde da to sredimo primjer smanjenja razlomka prema navedenom pravilu.

Primjer.

Smanjite razlomak 182/195.

Rješenje.

Izvršimo oba koraka propisana pravilom za smanjenje razlomka.

Prvo nalazimo GCD(182, 195) . Najpogodnije je koristiti Euklid algoritam (vidi): 195=182·1+13, 182=13·14, odnosno GCD(182, 195)=13.

Sada podijelimo brojilac i imenilac razlomka 182/195 sa 13 i dobijemo nesvodljivi razlomak 14/15, koji je jednak originalnom razlomku. Time se završava redukcija razlomka.

Ukratko, rješenje se može napisati na sljedeći način: .

odgovor:

Ovdje možemo završiti sa smanjenjem razlomaka. Ali da bismo upotpunili sliku, pogledajmo još dva načina za smanjenje razlomaka, koji se obično koriste u lakim slučajevima.

Ponekad brojnik i nazivnik razlomka koji se smanjuje nije teško. Smanjenje razlomka u ovom slučaju je vrlo jednostavno: samo trebate ukloniti sve uobičajene faktore iz brojnika i nazivnika.

Vrijedi napomenuti da ova metoda direktno slijedi iz pravila redukcije razlomaka, budući da je proizvod svih zajedničkih prostih faktora brojnika i nazivnika jednak njihovom najvećem zajedničkom djelitelju.

Pogledajmo rješenje primjera.

Primjer.

Smanjite razlomak 360/2 940.

Rješenje.

Razložimo brojilac i imenilac u jednostavne činioce: 360=2·2·2·3·3·5 i 2,940=2·2·3·5·7·7. dakle, .

Sada se rješavamo zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku; radi praktičnosti, jednostavno ih precrtavamo: .

Konačno, množimo preostale faktore: , i smanjenje razlomka je završeno.

Evo kratkog sažetka rješenja: .

odgovor:

Razmotrimo još jedan način smanjenja razlomka, koji se sastoji od sekvencijalne redukcije. Ovdje se na svakom koraku razlomak smanjuje za neki zajednički djelitelj brojnika i nazivnika, koji je ili očigledan ili se lako određuje korištenjem

Prošli put smo napravili plan, prateći ga možete naučiti kako brzo smanjiti razlomke. Pogledajmo sada konkretne primjere reduciranja razlomaka.

Primjeri.

Provjerimo da li je veći broj djeljiv manjim (brojilac imenilac ili imenilac brojilac)? Da, u sva tri ova primjera veći broj se dijeli manjim brojem. Dakle, svaki razlomak smanjujemo za manji od brojeva (za brojnik ili za nazivnik). Imamo:

Provjerimo da li je veći broj djeljiv manjim? Ne, ne dijeli.

Zatim prelazimo na provjeru sljedeće tačke: da li se unos i brojnika i nazivnika završava sa jednom, dvije ili više nula? U prvom primjeru brojilac i nazivnik završavaju na nulu, u drugom na dvije nule, au trećem na tri nule. To znači da prvi razlomak smanjimo za 10, drugi za 100, a treći za 1000:

Dobili smo nesvodljive razlomke.

Veći broj se ne može podijeliti manjim brojem, a brojevi se ne završavaju nulama.

Sada provjerimo da li su brojnik i nazivnik u istoj koloni u tablici množenja? 36 i 81 su djeljivi sa 9, 28 i 63 su djeljivi sa 7, a 32 i 40 su djeljivi sa 8 (oni su također djeljivi sa 4, ali ako postoji izbor, uvijek ćemo smanjiti za veći). Tako dolazimo do odgovora:

Svi dobijeni brojevi su nesvodljivi razlomci.

Veći broj se ne može podijeliti manjim brojem. Ali zapis i brojioca i nazivnika završava na nuli. Dakle, smanjujemo razlomak za 10:

Ovaj dio se još uvijek može smanjiti. Provjeravamo tablicu množenja: i 48 i 72 su djeljivi sa 8. Smanjujemo razlomak za 8:

Dobiveni razlomak također možemo smanjiti za 3:

Ovaj razlomak je nesvodljiv.

Veći broj nije djeljiv manjim brojem. Brojilac i imenilac se završavaju na nulu. To znači da razlomak smanjujemo za 10.

Provjeravamo brojeve dobivene u brojniku i nazivniku za i. Budući da je zbir cifara 27 i 531 djeljiv sa 3 i 9, ovaj razlomak se može smanjiti za 3 ili 9. Biramo veći i smanjujemo za 9. Dobiveni rezultat je nesmanjiv razlomak.

Bez znanja kako smanjiti razlomak i stabilne vještine rješavanja takvih primjera, vrlo je teško učiti algebru u školi. Što dalje idete, to je više osnovnog znanja o skraćenici obične frakcije nove informacije su superponirane. Prvo se pojavljuju stupnjevi, zatim faktori, koji kasnije postaju polinomi.

Kako možete izbjeći zabunu ovdje? Temeljito konsolidirajte vještine u prethodnim temama i postupno se pripremite za znanje kako smanjiti razlomak, koji iz godine u godinu postaje sve složeniji.

Osnovno znanje

Bez njih nećete se moći nositi sa zadacima bilo kojeg nivoa. Da biste razumeli, morate razumeti dvoje jednostavnih trenutaka. Prvo: možete samo smanjiti faktore. Ova nijansa se pokazuje vrlo važnom kada se polinomi pojavljuju u brojniku ili nazivniku. Zatim morate jasno razlikovati gdje je množitelj, a gdje sabir.

Druga tačka kaže da bilo koji broj može biti predstavljen u obliku faktora. Štaviše, rezultat smanjenja je razlomak čiji se brojnik i imenilac više ne mogu smanjiti.

Pravila za smanjenje običnih razlomaka

Prvo treba provjeriti da li je brojilac djeljiv sa nazivnikom ili obrnuto. Tada je upravo taj broj ono što treba smanjiti. Ovo je najjednostavnija opcija.

Druga je analiza izgled brojevi. Ako se oba završavaju na jednu ili više nula, onda se mogu skratiti za 10, 100 ili hiljadu. Ovdje možete primijetiti da li su brojevi parni. Ako jeste, onda ga možete bezbedno smanjiti za dva.

Treće pravilo za smanjenje razlomka je da se brojilac i imenilac razdvoje u proste faktore. U ovom trenutku morate aktivno koristiti sve svoje znanje o znakovima djeljivosti brojeva. Nakon ove dekompozicije, ostaje samo pronaći sve one koje se ponavljaju, pomnožiti ih i smanjiti za rezultirajući broj.

Šta ako postoji algebarski izraz u razlomku?

Tu se javljaju prve poteškoće. Jer tu se pojavljuju pojmovi koji mogu biti identični faktorima. Zaista želim da ih smanjim, ali ne mogu. Prije nego što smanjite algebarski razlomak, on se mora pretvoriti tako da ima faktore.

Da biste to učinili, morat ćete izvršiti nekoliko koraka. Možda ćete morati proći kroz sve njih, ili će možda prvi pružiti odgovarajuću opciju.

Provjerite razlikuju li se brojnik i nazivnik ili bilo koji izraz u njima po predznaku. U ovom slučaju, samo trebate staviti minus jedan iz zagrada. Ovo proizvodi jednake faktore koji se mogu smanjiti.

Pogledajte da li je moguće ukloniti zajednički faktor iz polinoma iz zagrada. Možda će to rezultirati zagradom, koja se također može skratiti, ili će to biti uklonjeni monom.

Pokušajte grupirati monome kako biste im zatim dodali zajednički faktor. Nakon toga može se ispostaviti da će postojati faktori koji se mogu smanjiti, ili će se opet ponoviti zagrada zajedničkih elemenata.

Pokušajte uzeti u obzir skraćene formule za množenje u pisanom obliku. Uz njihovu pomoć možete lako pretvoriti polinome u faktore.

Redoslijed operacija s razlomcima sa stepenom

Da biste lako razumjeli pitanje kako smanjiti razlomak s potencijama, morate se čvrsto sjetiti osnovnih operacija s njima. Prvi od njih se odnosi na umnožavanje moći. U ovom slučaju, ako su baze iste, indikatori se moraju dodati.

Druga je podjela. Opet, za one koji imaju iste razloge, indikatore će trebati oduzeti. Štaviše, potrebno je oduzeti od broja koji je u dividendi, a ne obrnuto.

Treći je eksponencijal. U ovoj situaciji indikatori se množe.

Uspješno smanjenje će također zahtijevati sposobnost smanjenja stupnjeva na po istoj osnovi. Odnosno, vidjeti da je četiri dva na kvadrat. Ili 27 - kocka od tri. Zato što je teško smanjiti 9 na kvadrat i 3 na kocku. Ali ako transformišemo prvi izraz kao (3 2) 2, onda će redukcija biti uspješna.