Gaussovo rješenje. Gaussova metoda online
Još od početka 16.-18. stoljeća matematičari su počeli intenzivno proučavati funkcije, zahvaljujući kojima se toliko toga promijenilo u našim životima. Kompjuterska tehnologija bez ovog znanja jednostavno ne bi postojala. Za rješenja izazovni zadaci, linearne jednadžbe i funkcije kreirani su različiti koncepti, teoreme i metode rješenja. Jedna od takvih univerzalnih i racionalnih metoda i tehnika za rješavanje linearnih jednačina i njihovih sistema bila je Gaussova metoda. Matrice, njihov rang, determinante - sve se može izračunati bez upotrebe složenih operacija.
Šta je SLAU
U matematici postoji koncept SLAE - sistema linearnih algebarskih jednačina. Šta ona predstavlja? Ovo je skup m jednačina sa potrebnim n nepoznatih, obično označenih kao x, y, z, ili x 1 , x 2 ... x n, ili drugim simbolima. Rešiti ovaj sistem Gaussovom metodom znači pronaći sve nepoznate nepoznate. Ako sistem ima isti broj nepoznanica i jednačina, onda se zove sistem n-tog reda.
Najpopularnije metode za rješavanje SLAE
AT obrazovne institucije srednje škole izučavaju različite tehnike za rješavanje ovakvih sistema. Najčešće su to jednostavne jednadžbe koje se sastoje od dvije nepoznanice, dakle bilo koje postojeća metoda neće trebati dugo da se pronađu odgovori na njih. To može biti kao metoda zamjene, kada se iz jedne jednačine izvede druga jednačina i zamjenjuje u originalnu. Ili pojam po član oduzimanje i sabiranje. Ali Gaussova metoda se smatra najlakšom i najuniverzalnijom. Omogućava rješavanje jednačina sa bilo kojim brojem nepoznanica. Zašto se ova tehnika smatra racionalnom? Sve je jednostavno. Matrična metoda dobra stvar je što ovdje nije potrebno više puta prepisivati nepotrebne znakove u obliku nepoznatih, dovoljno je izvršiti aritmetičke operacije nad koeficijentima - i dobićete pouzdan rezultat.
Gdje se SLAE koriste u praksi?
Rješenje SLAE su tačke presjeka linija na grafovima funkcija. U našem kompjuterskom dobu visoke tehnologije, ljudi koji su blisko uključeni u razvoj igara i drugih programa moraju znati kako riješiti takve sisteme, šta oni predstavljaju i kako provjeriti ispravnost rezultirajućeg rezultata. Programeri najčešće razvijaju posebne kalkulatore linearne algebre, što uključuje sistem linearnih jednačina. Gaussova metoda vam omogućava da izračunate sva postojeća rješenja. Koriste se i druge pojednostavljene formule i tehnike.
SLAE kriterij kompatibilnosti
Takav sistem se može riješiti samo ako je kompatibilan. Radi jasnoće, predstavljamo SLAE u obliku Ax=b. Ima rješenje ako je rang(A) jednak rang(A,b). U ovom slučaju, (A,b) je matrica proširenog oblika koja se može dobiti iz matrice A prepisivanjem sa slobodnim terminima. Ispostavilo se da je rješavanje linearnih jednadžbi Gaussovom metodom prilično jednostavno.
Možda neka notacija nije sasvim jasna, pa je potrebno sve razmotriti na primjeru. Recimo da postoji sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Sastoji se od samo dvije jednadžbe u kojima postoje 2 nepoznate. Sistem će imati rješenje samo ako je rang njegove matrice jednak rangu proširene matrice. Šta je čin? Ovo je broj nezavisnih linija sistema. U našem slučaju, rang matrice je 2. Matrica A će se sastojati od koeficijenata koji se nalaze u blizini nepoznatih, a koeficijenti iza znaka “=” će se takođe uklopiti u proširenu matricu.
Zašto se SLAE može predstaviti u matričnom obliku
Na osnovu kriterijuma kompatibilnosti prema dokazanoj Kronecker-Capelli teoremi, sistem linearnih algebarskih jednačina može se predstaviti u matričnom obliku. Koristeći Gaussovu kaskadnu metodu, možete riješiti matricu i dobiti jedini pouzdan odgovor za cijeli sistem. Ako je rang obične matrice jednak rangu njene proširene matrice, ali manji od broja nepoznatih, tada sistem ima beskonačan broj odgovora.
Matrične transformacije
Prije nego što pređemo na rješavanje matrica, potrebno je znati koje se radnje mogu izvršiti na njihovim elementima. Postoji nekoliko osnovnih transformacija:
- Prepisivanjem sistema u matrični oblik i njegovim rješavanjem moguće je sve elemente niza pomnožiti istim koeficijentom.
- Da bi se matrica pretvorila u kanonski oblik, dva paralelna reda se mogu zamijeniti. Kanonski oblik podrazumijeva da svi elementi matrice koji se nalaze duž glavne dijagonale postaju jedinice, a preostali postaju nule.
- Odgovarajući elementi paralelnih redova matrice mogu se dodati jedan drugom.
Jordan-Gaussova metoda
Suština rješavanja sistema linearnih homogenih i nehomogenih jednačina Gaussovom metodom je da se postupno eliminišu nepoznanice. Recimo da imamo sistem od dvije jednačine u kojima postoje dvije nepoznanice. Da biste ih pronašli, morate provjeriti kompatibilnost sistema. Gausova jednačina se rješava vrlo jednostavno. Potrebno je u matričnom obliku ispisati koeficijente koji se nalaze u blizini svake nepoznate. Da biste riješili sistem, morate napisati proširenu matricu. Ako jedna od jednadžbi sadrži manji broj nepoznanica, onda se "0" mora staviti na mjesto elementa koji nedostaje. Na matricu se primjenjuju sve poznate metode transformacije: množenje, dijeljenje brojem, dodavanje odgovarajućih elemenata redova jedni drugima i drugo. Ispada da je u svakom redu potrebno ostaviti jednu varijablu sa vrijednošću "1", ostatak treba smanjiti na nulu. Za preciznije razumijevanje potrebno je razmotriti Gaussovu metodu s primjerima.
Jednostavan primjer rješavanja 2x2 sistema
Za početak, uzmimo jednostavan sistem algebarskih jednadžbi, u kojem će biti 2 nepoznate.
Prepišimo to u proširenu matricu.
Za rješavanje ovog sistema linearnih jednačina potrebne su samo dvije operacije. Moramo dovesti matricu u kanonski oblik tako da postoje jedinice duž glavne dijagonale. Dakle, prevođenjem iz matričnog oblika nazad u sistem, dobijamo jednačine: 1x+0y=b1 i 0x+1y=b2, gde su b1 i b2 odgovori dobijeni u procesu rešavanja.
- Prvi korak u rješavanju proširene matrice bit će sljedeći: prvi red se mora pomnožiti sa -7 i odgovarajući elementi dodati u drugi red, respektivno, kako bi se riješila jedna nepoznata u drugoj jednačini.
- Kako rješenje jednadžbi Gaussovom metodom podrazumijeva dovođenje matrice u kanonski oblik, onda je potrebno uraditi iste operacije sa prvom jednačinom i ukloniti drugu varijablu. Da bismo to učinili, oduzimamo drugi red od prvog i dobivamo potreban odgovor - rješenje SLAE. Ili, kao što je prikazano na slici, drugi red pomnožimo sa faktorom -1 i dodamo elemente drugog reda u prvi red. Ovo je isto.
Kao što vidite, naš sistem je riješen Jordan-Gaussovom metodom. Prepisujemo ga u traženom obliku: x=-5, y=7.
Primjer rješavanja SLAE 3x3
Pretpostavimo da imamo složeniji sistem linearnih jednačina. Gaussova metoda omogućava izračunavanje odgovora čak i za naizgled najzbunjujući sistem. Stoga, da bismo dublje ušli u metodologiju izračunavanja, možemo prijeći na složeniji primjer sa tri nepoznate.
Kao iu prethodnom primjeru, prepisujemo sistem u obliku proširene matrice i počinjemo da ga dovodimo u kanonski oblik.
Da biste riješili ovaj sistem, morat ćete izvršiti mnogo više radnji nego u prethodnom primjeru.
- Prvo morate napraviti u prvoj koloni jedan jedini element, a ostatak nule. Da biste to učinili, pomnožite prvu jednačinu sa -1 i dodajte joj drugu jednačinu. Važno je zapamtiti da prvi red prepisujemo u izvornom obliku, a drugi - već u izmijenjenom obliku.
- Zatim uklanjamo istu prvu nepoznatu iz treće jednačine. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente prvog reda sa -2 i dodamo ih trećem redu. Sada su prvi i drugi red prepisani u izvornom obliku, a treći - već s promjenama. Kao što vidite iz rezultata, prvu smo dobili na početku glavne dijagonale matrice, a ostale su nule. Još nekoliko radnji, i sistem jednačina Gaussovom metodom će biti pouzdano riješen.
- Sada morate izvršiti operacije na drugim elementima redova. Treći i četvrti korak se mogu kombinovati u jedan. Moramo podijeliti drugu i treću liniju sa -1 da bismo se riješili negativnih na dijagonali. Treću liniju smo već doveli u traženu formu.
- Zatim, kanonikaliziramo drugi red. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente trećeg reda sa -3 i dodamo ih drugom redu matrice. Iz rezultata se vidi da je i druga linija svedena na formu koja nam je potrebna. Ostaje napraviti još nekoliko operacija i ukloniti koeficijente nepoznanica iz prvog reda.
- Da biste napravili 0 od drugog elementa reda, trebate treći red pomnožiti sa -3 i dodati ga prvom redu.
- Sljedeći odlučujući korak je dodavanje potrebnih elemenata drugog reda u prvi red. Tako dobijamo kanonski oblik matrice i, shodno tome, odgovor.
Kao što vidite, rješenje jednadžbi Gaussovom metodom je prilično jednostavno.
Primjer rješavanja 4x4 sistema jednadžbi
Neki složeniji sistemi jednačina mogu se riješiti Gausovom metodom korištenjem kompjuterski programi. Potrebno je ubaciti koeficijente za nepoznate u postojeće prazne ćelije, a program će korak po korak izračunati traženi rezultat, detaljno opisujući svaku radnju.
Opisano u nastavku instrukcija korak po korak rješenja za ovaj primjer.
U prvom koraku se slobodni koeficijenti i brojevi za nepoznate unose u prazne ćelije. Tako dobijamo istu proširenu matricu koju pišemo rukom.
I izvode se sve potrebne aritmetičke operacije kako bi se proširena matrica dovela u kanonski oblik. Mora se shvatiti da odgovor na sistem jednačina nije uvijek cijeli brojevi. Ponekad rješenje može biti iz razlomaka.
Provjera ispravnosti rješenja
Jordan-Gaussova metoda omogućava provjeru ispravnosti rezultata. Da biste saznali da li su koeficijenti ispravno izračunati, potrebno je samo zamijeniti rezultat u originalni sistem jednačina. Lijeva strana jednačine se moraju poklapati desna strana, koji se nalazi iza znaka "jednako". Ako se odgovori ne poklapaju, onda morate ponovo izračunati sistem ili pokušati primijeniti neku drugu metodu rješavanja SLAE koja vam je poznata, kao što je zamjena ili oduzimanje po član i sabiranje. Uostalom, matematika je nauka koja ima ogroman broj razne tehnike rješenja. Ali zapamtite: rezultat bi uvijek trebao biti isti, bez obzira na metodu rješenja koju ste koristili.
Gaussova metoda: najčešće greške u rješavanju SLAE
Prilikom rješavanja linearnih sistema jednačina najčešće dolazi do grešaka, kao što je netačan prenos koeficijenata u matrični oblik. Postoje sistemi u kojima neke nepoznanice nedostaju u jednoj od jednadžbi, pa se, prenošenjem podataka u proširenu matricu, mogu izgubiti. Kao rezultat toga, prilikom rješavanja ovog sistema rezultat možda neće odgovarati stvarnom.
Još jedna od glavnih grešaka može biti netačno ispisivanje konačnog rezultata. Mora se jasno shvatiti da će prvi koeficijent odgovarati prvoj nepoznatoj iz sistema, drugi - drugoj, itd.
Gaussova metoda detaljno opisuje rješenje linearnih jednačina. Olakšava izradu neophodne operacije i pronađite tačan rezultat. Osim toga, ovo univerzalni lijek za traženje pouzdanog odgovora na jednačine bilo koje složenosti. Možda se zato toliko često koristi u rješavanju SLAE.
Neka je sistem zadan, ∆≠0. (jedan)Gaussova metoda je metoda sukcesivnog uklanjanja nepoznatih.
Suština Gaussove metode je transformacija (1) u sistem sa trouglastom matricom, iz koje se zatim sekvencijalno (obrnuto) dobijaju vrijednosti svih nepoznatih. Razmotrimo jednu od računskih shema. Ovo kolo se naziva jednodijelno kolo. Pa pogledajmo ovaj dijagram. Neka 11 ≠0 (vodeći element) podijeli sa 11 prvu jednačinu. Get
(2)
Koristeći jednačinu (2), lako je isključiti nepoznanice x 1 iz preostalih jednačina sistema (za to je dovoljno oduzeti jednačinu (2) od svake jednačine preliminarno pomnožene odgovarajućim koeficijentom na x 1), da je, u prvom koraku koji dobijemo
.
Drugim riječima, u koraku 1, svaki element sljedećih redova, počevši od drugog, jednak je razlici između originalnog elementa i proizvoda njegove “projekcije” na prvi stupac i prvi (transformirani) red.
Nakon toga, ostavljajući prvu jednačinu na miru, preko ostalih jednačina sistema dobijenih u prvom koraku, izvršićemo sličnu transformaciju: između njih biramo jednačinu sa vodećim elementom i koristimo je da isključimo x 2 iz preostale jednačine (korak 2).
Nakon n koraka, umjesto (1) dobijamo ekvivalentni sistem 
(3)
Tako ćemo u prvoj fazi dobiti trouglasti sistem (3). Ovaj korak se zove naprijed.
U drugoj fazi ( obrnuti hod) nalazimo sekvencijalno iz (3) vrijednosti x n , x n -1 , …, x 1 .
Označimo dobijeno rješenje sa x 0 . Tada je razlika ε=b-A x 0 se naziva rezidualnim.
Ako je ε=0, tada je pronađeno rješenje x 0 tačno.
Proračuni Gaussovom metodom se izvode u dvije faze:
- Prva faza se zove direktni tok metode. U prvoj fazi, originalni sistem se pretvara u trouglasti oblik.
- Druga faza se zove reverzna. U drugoj fazi rješava se trouglasti sistem koji je ekvivalentan originalnom.
U svakom koraku se pretpostavljalo da je vodeći element različit od nule. Ako to nije slučaj, onda se bilo koji drugi element može koristiti kao vodeći, kao da preuređuje jednačine sistema.
Svrha Gaussove metode
Gaussova metoda je namijenjena za rješavanje sistema linearnih jednačina. Odnosi se na direktne metode rješenja.Vrste Gaussove metode
- Klasična Gaussova metoda;
- Modifikacije Gaussove metode. Jedna od modifikacija Gausove metode je kolo sa izborom glavnog elementa. Karakteristika Gaussove metode sa izborom glavnog elementa je takva permutacija jednadžbi tako da je u k-tom koraku vodeći element najveći element u k-tom stupcu.
- Jordan-Gaussova metoda;
Ilustrujte razliku Jordan-Gaussova metoda iz Gaussove metode na primjerima.
Primjer Gaussovog rješenja
Rešimo sistem: 
Radi lakšeg izračunavanja, mijenjamo redove: 
Pomnožite 2. red sa (2). Dodajte 3. red u 2. 
Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajte 2. red u prvi 
Iz 1. reda izražavamo x 3:
Iz 2. reda izražavamo x 2:
Iz trećeg reda izražavamo x 1:
Primjer rješenja po Jordan-Gauss metodi
Isti SLAE ćemo riješiti korištenjem Jordano-Gaussove metode. 
Mi ćemo sekvencijalno birati razlučujući element RE, koji leži na glavnoj dijagonali matrice.
Element omogućavanja je jednak (1).
NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - omogućavajući element (1), A i B - matrični elementi koji formiraju pravougaonik sa elementima STE i RE.
Predstavimo proračun svakog elementa u obliku tabele:
| x 1 | x2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
Element omogućavanja je jednak (3).
Umjesto elementa za rješavanje, dobijamo 1, au samom stupcu upisujemo nule.
Svi ostali elementi matrice, uključujući elemente kolone B, određeni su pravilom pravokutnika.
Da biste to učinili, odaberite četiri broja koji se nalaze na vrhovima pravokutnika i uvijek uključuju element koji omogućava RE.
| x 1 | x2 | x 3 | B |
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
Element omogućavanja je (-4).
Umjesto elementa za rješavanje, dobijamo 1, au samom stupcu upisujemo nule.
Svi ostali elementi matrice, uključujući elemente kolone B, određeni su pravilom pravokutnika.
Da biste to učinili, odaberite četiri broja koji se nalaze na vrhovima pravokutnika i uvijek uključuju element koji omogućava RE.
Predstavimo proračun svakog elementa u obliku tabele:
| x 1 | x2 | x 3 | B |
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Odgovori: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Implementacija Gaussove metode
Gaussova metoda je implementirana u mnogim programskim jezicima, posebno: Pascal, C++, php, Delphi, a postoji i online implementacija Gaussove metode.Korištenje Gaussove metode
Primjena Gaussove metode u teoriji igara
U teoriji igara, prilikom pronalaženja maksimalne optimalne strategije igrača, sastavlja se sistem jednačina koji se rješava Gaussovom metodom.Primjena Gaussove metode u rješavanju diferencijalnih jednadžbi
Za traženje određenog rješenja diferencijalne jednačine, prvo pronađite izvode odgovarajućeg stepena za napisano određeno rješenje (y=f(A,B,C,D)), koji se zamjenjuju u originalnu jednačinu. Sljedeći pronaći varijable A,B,C,D sastavlja se sistem jednačina koji se rješava Gaussovom metodom.Primjena Jordano-Gaussove metode u linearnom programiranju
U linearnom programiranju, posebno u simpleks metodi, za transformaciju simpleks tabele na svakoj iteraciji, koristi se pravilo pravokutnika koje koristi Jordan-Gaussovu metodu.Jedan od najjednostavnijih načina za rješavanje sistema linearnih jednačina je trik zasnovan na izračunavanju determinanti ( Cramerovo pravilo). Njegova prednost je u tome što vam omogućava da odmah zabilježite rješenje, posebno je zgodno u slučajevima kada sistemski koeficijenti nisu brojevi, već neki parametri. Njegov nedostatak je glomaznost proračuna u slučaju veliki broj jednačine, štaviše, Cramerovo pravilo nije direktno primenljivo na sisteme u kojima se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih. U takvim slučajevima se obično koristi Gaussova metoda.
Zovu se sistemi linearnih jednačina koji imaju isti skup rješenja ekvivalentno. Očigledno je da je skup rješenja linearni sistem se ne mijenja ako se bilo koja jednačina zamijeni, ili se jedna od jednačina pomnoži nekim brojem koji nije nula, ili ako se jedna jednačina doda drugoj.
Gaussova metoda (metoda sukcesivnog uklanjanja nepoznatih) leži u činjenici da se uz pomoć elementarnih transformacija sistem svodi na ekvivalentni stepenasti sistem. Prvo, uz pomoć 1. jednačine, x 1 svih narednih jednačina sistema. Zatim, koristeći 2. jednadžbu, eliminiramo x 2 od 3. i sve naredne jednačine. Ovaj proces, tzv direktna Gaussova metoda, nastavlja se sve dok na lijevoj strani posljednje jednačine ne ostane samo jedna nepoznata x n. Nakon toga se pravi Gausov revers– rješavanjem posljednje jednačine, nalazimo x n; nakon toga, koristeći ovu vrijednost, iz pretposljednje jednačine izračunavamo x n-1 itd. Poslednje smo našli x 1 iz prve jednadžbe.
Pogodno je izvršiti Gaussove transformacije izvodeći transformacije ne sa samim jednadžbama, već sa matricama njihovih koeficijenata. Razmotrite matricu:
pozvao prošireni matrični sistem, jer pored glavne matrice sistema uključuje kolonu slobodnih članova. Gaussova metoda se zasniva na dovođenju glavne matrice sistema u trouglasti oblik (ili trapezoidni oblik u slučaju nekvadratnih sistema) koristeći elementarne transformacije reda (!) proširene matrice sistema.
Primjer 5.1. Riješite sistem Gaussovom metodom:
Rješenje. Napišimo proširenu matricu sistema i, koristeći prvi red, nakon toga ćemo ostale elemente postaviti na nulu:
dobijamo nule u 2., 3. i 4. redu prve kolone:
Sada trebamo da svi elementi u drugoj koloni ispod 2. reda budu jednaki nuli. Da biste to učinili, drugi red možete pomnožiti sa -4/7 i dodati trećem redu. Međutim, kako se ne bismo bavili razlomcima, napravit ćemo jedinicu u 2. redu druge kolone i samo
Sada, da biste dobili trokutastu matricu, morate nulirati element četvrtog reda treće kolone, za to možete pomnožiti treći red sa 8/54 i dodati ga četvrtom. Međutim, da se ne bismo bavili razlomcima, zamijenit ćemo 3. i 4. red i 3. i 4. stupac, a tek nakon toga ćemo resetirati navedeni element na nulu. Imajte na umu da kada se kolone preurede, odgovarajuće varijable se zamjenjuju, i to se mora zapamtiti; druge elementarne transformacije sa stupcima (sabiranje i množenje brojem) se ne mogu izvoditi!
Posljednja pojednostavljena matrica odgovara sistemu jednačina koji je ekvivalentan originalnom:
Odavde, koristeći obrnuti tok Gaussove metode, nalazimo iz četvrte jednačine x 3 = -1; od trećeg x 4 = -2, od drugog x 2 = 2 i iz prve jednačine x 1 = 1. U matričnom obliku, odgovor se piše kao
Razmatrali smo slučaj kada je sistem određen, tj. kada postoji samo jedno rešenje. Hajde da vidimo šta se dešava ako je sistem nekonzistentan ili neodređen.
Primjer 5.2. Istražite sistem koristeći Gaussovu metodu:
Rješenje. Zapisujemo i transformišemo proširenu matricu sistema
Pišemo pojednostavljeni sistem jednačina:
Ovdje se u posljednjoj jednačini pokazalo da je 0=4, tj. kontradikcija. Dakle, sistem nema rješenje, tj. ona je nekompatibilno. à
Primjer 5.3. Istražite i riješite sistem koristeći Gaussovu metodu:
Rješenje. Zapisujemo i transformiramo proširenu matricu sistema:
Kao rezultat transformacija, u posljednjem redu su dobivene samo nule. To znači da se broj jednačina smanjio za jedan:
Dakle, nakon pojednostavljenja ostaju dvije jednadžbe, a četiri nepoznanice, tj. dva nepoznata "ekstra". Neka "suvišno", ili, kako kažu, slobodne varijable, će x 3 i xčetiri . Onda
Pretpostavljam x 3 = 2a i x 4 = b, dobijamo x 2 = 1–a i x 1 = 2b–a; ili u matričnom obliku
Ovako napisano rješenje se zove general, budući da, davanjem parametara a i b razna značenja, sve možete opisati moguća rješenja sistemima. a
Gaussova metoda je laka! Zašto? Čuveni njemački matematičar Johann Carl Friedrich Gauss za života je dobio priznanje kao najveći matematičar svih vremena, genije, pa čak i nadimak "Kralj matematike". A sve je genijalno, kao što znate, jednostavno! Inače, u novac ne ulaze samo naivčine, već i genijalci - Gausov portret se vijorio na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se i dalje misteriozno smiješi Nijemcima s običnih poštanskih maraka.
Gaussova metoda je jednostavna po tome što je DOVOLJNO ZNANJE UČENIKA PETOG RAZREDA da njome savlada. Mora biti u stanju sabirati i množiti! Nije slučajno da se metodom sukcesivnog otklanjanja nepoznatih često razmatraju nastavnici na školskim izbornim predmetima matematike. To je paradoks, ali Gaussova metoda stvara najveće poteškoće studentima. Ništa iznenađujuće - sve se radi o metodologiji, a ja ću pokušati u pristupačnom obliku ispričati o algoritmu metode.
Prvo ćemo malo sistematizirati znanje o sistemima linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina može:
1) Imati jedinstveno rješenje.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti nekompatibilno).
Gaussova metoda je najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo koji sistemi linearnih jednačina. Kao što se sećamo Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Metoda sukcesivnog uklanjanja nepoznatih u svakom slučaju dovedi nas do odgovora! U ovoj lekciji ćemo ponovo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rešenje sistema), članak je rezervisan za situacije tačaka br. 2-3. Napominjem da sam algoritam metode radi na isti način u sva tri slučaja.
Vratimo se na najjednostavniji sistem iz lekcije Kako riješiti sistem linearnih jednačina?
i riješiti ga Gaussovom metodom.
Prvi korak je pisanje prošireni matrični sistem:
. Po kom principu se bilježe koeficijenti, mislim da svi mogu vidjeti. Vertikalna linija unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je samo precrtano radi lakšeg dizajna.
Referenca :Preporučujem da zapamtite uslovi linearna algebra. System Matrix je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznate, u ovom primjeru, matrica sistema: . Proširena sistemska matrica je ista matrica sistema plus kolona slobodnih pojmova, u ovom slučaju: . Bilo koja od matrica se može nazvati jednostavno matricom radi kratkoće.
Nakon što je proširena matrica sistema napisana, potrebno je sa njom izvršiti neke radnje koje se još nazivaju elementarne transformacije.
Postoje sljedeće elementarne transformacije:
1) Strings matrice mogu preurediti mjesta. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete sigurno preurediti prvi i drugi red: 
2) Ako matrica sadrži (ili se pojavila) proporcionalnu (kao poseban slučaj su isti) nizovi, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu 
. U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: 
.
3) Ako se nulti red pojavio u matrici tokom transformacije, onda i on slijedi izbrisati. Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj samo nule.
4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) za bilo koji broj ne-nula. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti sa -3, a drugi red pomnožiti sa 2: 
. Ova akcija je vrlo korisna, jer pojednostavljuje dalje transformacije matrice.
5) Ova transformacija izaziva najviše poteškoća, ali u stvari ni nema ništa komplikovano. Do reda matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule. Razmotrimo našu matricu iz praktičnog primjera: . Prvo ću detaljno opisati transformaciju. Pomnožite prvi red sa -2: 
, i drugom redu dodajemo prvi red pomnožen sa -2: 
. Sada se prvi red može podijeliti "nazad" sa -2: . Kao što vidite, linija koja je DODANA LI – nije se promijenilo. Uvijek je promijenjena je linija KOJOJ JE DODAT UT.
U praksi, naravno, ne slikaju tako detaljno, već pišu kraće: 
Još jednom: u drugi red dodao prvi red pomnožen sa -2. Red se obično množi usmeno ili na nacrtu, dok je mentalni tok proračuna otprilike ovako:
“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: 
»
Prva kolona. Ispod treba da dobijem nulu. Stoga pomnožim gornju jedinicu sa -2:, a prvu dodam u drugi red: 2 + (-2) = 0. Rezultat upišem u drugi red: 
»
“Sada druga kolona. Iznad -1 puta -2: . Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: 
»
“I treća kolona. Iznad -5 puta -2: . Prvi red dodajem u drugi red: -7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: 
»
Pažljivo razmislite o ovom primjeru i razumite algoritam sekvencijalnog proračuna, ako ovo razumijete, onda vam je Gaussova metoda praktično "u džepu". Ali, naravno, još uvijek radimo na ovoj transformaciji.
Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina
! PAŽNJA: razmatrane manipulacije ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadane "sama po sebi". Na primjer, sa "klasičnim" matrice ni u kom slučaju ne treba preuređivati nešto unutar matrica!
Vratimo se našem sistemu. Praktično je razbijena na komade.
Napišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, svedemo je na stepenasti pogled:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa -2. I opet: zašto prvi red množimo sa -2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom redu.
(2) Drugi red podijelite sa 3.
Svrha elementarnih transformacija –
pretvoriti matricu u oblik koraka: 
. U dizajnu zadatka direktno ističu jednostavnom olovkom"merdevine", a zaokružite i brojeve koji se nalaze na "stepenicama". Sam izraz "stepeni pogled" nije sasvim teorijski, u naučnom i edukativna literaturačesto se zove trapezoidni pogled ili trouglasti pogled.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalentno originalni sistem jednadžbi:
Sada sistem treba "odvrnuti" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove reverzna Gaussova metoda.
U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: .
Razmotrimo prvu jednačinu sistema i u nju ubacimo već poznatu vrijednost "y":
Razmotrimo najčešću situaciju kada je Gaussova metoda potrebna za rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate.
Primjer 1
Rešite sistem jednačina Gaussovom metodom: 
Napišimo proširenu matricu sistema: 
Sada ću odmah izvući rezultat do kojeg ćemo doći u toku rješenja: 
I ponavljam, naš cilj je da matricu dovedemo u stepenasti oblik koristeći elementarne transformacije. Odakle započeti akciju?
Prvo pogledajte gornji lijevi broj: 
Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica. Uopšteno govoreći, -1 (a ponekad i drugi brojevi) će takođe odgovarati, ali nekako se tradicionalno dešavalo da se tu obično postavlja jedinica. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Transformacija prva: zamijenite prvi i treći red: 
Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja. Sada dobro.
Jedinica u gornjem lijevom kutu je organizirana. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima: 
Nule se dobijaju samo uz pomoć "teške" transformacije. Prvo se bavimo drugom linijom (2, -1, 3, 13). Šta je potrebno učiniti da bi se nula na prvoj poziciji? Need u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa -2. Mentalno ili na nacrtu, prvi red množimo sa -2: (-2, -4, 2, -18). I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) dodavanje, drugom redu dodajemo prvi red, već pomnožen sa -2:
Rezultat je upisan u drugom redu: 
Slično se bavimo i trećom linijom (3, 2, -5, -1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u treći red dodajte prvi red pomnožen sa -3. Mentalno ili na nacrtu, prvi red množimo sa -3: (-3, -6, 3, -27). I trećem redu dodajemo prvi red pomnožen sa -3:
Rezultat je napisan u trećem redu:
U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku: 
Nema potrebe da brojite sve odjednom i istovremeno. Redoslijed izračunavanja i "ubacivanja" rezultata dosljedan i obično ovako: prvo prepišemo prvi red, i tiho se puhnemo - DOSTOJNO i PAŽLJIVO:
I već sam gore razmotrio mentalni tok samih proračuna.
U ovom primjeru, to je lako učiniti, drugi red podijelimo sa -5 (pošto su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, treći red dijelimo sa -2, jer šta manje od broja, teme lakše rešenje:
U završnoj fazi elementarnih transformacija, ovdje se mora dobiti još jedna nula: 
Za ovo trećem redu dodajemo drugi red, pomnožen sa -2:
Pokušajte sami raščlaniti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi red sa -2 i izvršite zbrajanje.
Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, podijelite treću liniju sa 3.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan početni sistem linearnih jednačina: 
Cool.
Sada dolazi u obzir obrnuti tok Gausove metode. Jednačine se "odmotaju" odozdo prema gore.
U trećoj jednačini već imamo gotov rezultat:
Pogledajmo drugu jednačinu: . Značenje "z" je već poznato, dakle:
I na kraju, prva jednadžba: . "Y" i "Z" su poznati, stvar je mala:
Odgovori: 
Kao što je više puta napomenuto, za bilo koji sistem jednačina moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, na sreću, to nije teško i brzo.
Primjer 2
Ovo je primjer za samostalno rješavanje, uzorak dorade i odgovor na kraju lekcije.
Treba napomenuti da vaš tok akcije možda se ne poklapa sa mojim tokom, a ovo je karakteristika Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti!
Primjer 3
Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom 
Pišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:
Gledamo gornji levi "stupak". Tamo bi trebali imati jedinicu. Problem je što ih u prvoj koloni uopšte nema, pa se preuređivanjem redova ništa ne može riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. uradio sam ovo:
(1) Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa -1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa -1 i izvršili sabiranje prvog i drugog reda, dok se drugi red nije promijenio.
Sada gore lijevo "minus jedan", što nam savršeno odgovara. Ko želi da dobije +1 može da izvede dodatni pokret: pomnoži prvi red sa -1 (promeni njegov predznak).
(2) Prvi red pomnožen sa 5 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 3 dodan je trećem redu.
(3) Prvi red je pomnožen sa -1, u principu, ovo je za ljepotu. Predznak trećeg reda je također promijenjen i pomjeren na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” dobili željenu jedinicu.
(4) Drugi red pomnožen sa 2 dodan je trećem redu.
(5) Treći red je podijeljen sa 3.
Loš znak koji ukazuje na grešku u proračunu (rjeđe grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo nešto kao ispod, i, shodno tome, 
, zatim sa veliki udio vjerovatnoće, može se tvrditi da je napravljena greška u toku elementarnih transformacija.
Naplaćujemo obrnuti potez, u dizajnu primjera sam sistem se često ne prepisuje, a jednačine su „preuzete direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona:
Odgovori: 
.
Primjer 4
Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom 
Ovo je primjer za nezavisno rješenje, nešto je složenije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rješenje i uzorak dizajna na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog.
U posljednjem dijelu razmatramo neke karakteristike Gaussovog algoritma.
Prva karakteristika je da ponekad neke varijable nedostaju u jednadžbama sistema, na primjer: 
Kako ispravno napisati proširenu matricu sistema? Već sam govorio o ovom trenutku u lekciji. Cramerovo pravilo. Matrična metoda. U proširenu matricu sistema stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju: 
Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, jer već postoji jedna nula u prvom stupcu, a potrebno je izvesti manje elementarnih transformacija.
Druga karakteristika je ovo. U svim razmatranim primjerima na „stepenice“ smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li postojati drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sistem: 
.
Ovdje na gornjoj lijevoj "stepenici" imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi sa 2 bez ostatka - i još dva i šest. I dvojka u gornjem lijevom kutu će nam odgovarati! U prvom koraku potrebno je izvršiti sljedeće transformacije: drugom redu dodati prvi red pomnožen sa -1; u treći red dodajte prvi red pomnožen sa -3. Tako ćemo u prvom stupcu dobiti željene nule.
Ili ovako uslovni primjer: 
. Ovdje nam odgovara i trojka na drugoj "prečagi", jer je 12 (mjesto gdje trebamo dobiti nulu) djeljivo sa 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: u treći red dodati drugi red, pomnožen sa -4, kao rezultat će se dobiti nula koja nam je potrebna.
Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Samouvjereno naučite rješavati sisteme drugim metodama (Cramerova metoda, matrična metoda) može biti doslovno prvi put - postoji vrlo strog algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, trebali biste “napuniti ruku” i riješiti barem 5-10 sistema. Stoga u početku može doći do zabune, grešaka u proračunima i u tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.
Kišno jesenje vrijeme ispred prozora.... Stoga za sve više složen primjer za samostalno rješenje:
Primjer 5
Rešiti sistem od četiri linearne jednačine sa četiri nepoznate Gaussovom metodom. 
Takav zadatak u praksi nije tako rijedak. Mislim da čak i čajnik koji je detaljno proučio ovu stranicu razumije algoritam za rješavanje takvog sistema intuitivno. U osnovi isto - samo više akcije.
Slučajevi u kojima sistem nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sistemi i sistemi sa općim rješenjem. Tamo možete popraviti razmatrani algoritam Gaussove metode.
Želim vam uspjeh!
Rješenja i odgovori:
Primjer 2: Rješenje
:
Zapišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u stepenasti oblik.
Izvršene elementarne transformacije:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa -2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -1. Pažnja! Ovdje može biti primamljivo oduzeti prvi od trećeg reda, nikako ne preporučujem oduzimanje - rizik od greške se uvelike povećava. Samo odustajemo!
(2) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa -1). Drugi i treći red su zamijenjeni. Bilješka da smo na „stepenicama“ zadovoljni ne samo sa jednim, već i sa -1, što je još zgodnije.
(3) Trećem redu dodajte drugi red, pomnožen sa 5.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa -1). Treći red je podeljen sa 14.
Obrnuti potez:
Odgovori: 
.
Primjer 4: Rješenje
:
Pišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:
Izvršene konverzije:
(1) Drugi red je dodan prvom redu. Dakle, željena jedinica je organizirana na gornjem lijevom “stupanju”.
(2) Prvi red pomnožen sa 7 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 6 dodan je trećem redu.
Sa drugim "korakom" sve je gore , "kandidati" za to su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili -1. Transformacije (3) i (4) će imati za cilj dobijanje željene jedinice
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -1.
(4) Treći red, pomnožen sa -3, dodat je drugom redu.
(3) Drugi red pomnožen sa 4 dodat je trećem redu, a drugi red pomnožen sa -1 dodan je četvrtom redu.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen. Četvrti red je podijeljen sa 3 i postavljen umjesto trećeg reda.
(5) Treći red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa -5.
Obrnuti potez:
Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Pretpostavimo da moramo pronaći rješenje za sistem iz n linearne jednačine sa n nepoznate varijable
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.
Suština Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom isključivanju nepoznatih varijabli: prvo, the x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim x2 od svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok u posljednjoj jednačini ne ostane samo nepoznata varijabla x n. Takav proces transformacije jednadžbi sistema za uzastopno eliminisanje nepoznatih varijabli naziva se direktna Gaussova metoda. Nakon završetka pomjeranja naprijed Gaussove metode, iz posljednje jednačine nalazimo x n, pomoću ove vrijednosti iz pretposljednje jednadžbe se izračunava xn-1, i tako dalje, iz prve jednačine se nalazi x 1. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.
Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.
Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Uklonite nepoznatu varijablu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da biste to uradili, dodajte prvu jednačinu pomnoženu sa drugoj jednačini sistema, dodajte prvu pomnoženu sa trećoj jednačini, i tako dalje, na n-th dodajte prvu jednačinu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik 
gdje , a 
.
Došli bismo do istog rezultata kada bismo se izrazili x 1 kroz druge nepoznate varijable u prvoj jednačini sistema i rezultirajući izraz je zamijenjen u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 isključeno iz svih jednačina, počevši od druge.
Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici 
Da biste to uradili, dodajte drugo pomnoženo sa trećoj jednačini sistema, dodajte drugo pomnoženo sa četvrtoj jednačini, i tako dalje, na n-th dodajte drugu jednačinu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik 
gdje , a 
. Dakle, varijabla x2 isključeno iz svih jednačina, počevši od treće.
Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici 
Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik 
Od ovog trenutka počinjemo obrnutim tokom Gaussove metode: računamo x n iz posljednje jednadžbe kao , koristeći dobivenu vrijednost x n naći xn-1 iz pretposljednje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine.
Primjer.
Riješiti sistem linearnih jednačina 
Gaussova metoda.