რიცხვების მაგალითების ლოგარითმი. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა

საბოლოო ვიდეოები გაკვეთილების გრძელი სერიის შესახებ ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის შესახებ. ამჯერად ჩვენ ვიმუშავებთ უპირველეს ყოვლისა ლოგარითმის ODZ-თან - სწორედ განმარტების დომენის არასწორი განხილვის (ან თუნდაც უგულებელყოფის) გამო წარმოიქმნება შეცდომების უმეტესობა ასეთი პრობლემების გადაჭრისას.

ამ მოკლე ვიდეო გაკვეთილზე განვიხილავთ ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების ფორმულების გამოყენებას და ასევე განვიხილავთ წილადის რაციონალურ განტოლებებს, რომლებზეც ბევრ მოსწავლეს ასევე აქვს პრობლემები.

რაზე ვისაუბროთ? მთავარი ფორმულა, რომლის გაგებაც მსურს, ასე გამოიყურება:

log a (f g ) = log a f + log a g

ეს არის სტანდარტული გადასვლა პროდუქტიდან ლოგარითმების ჯამზე და უკან. თქვენ ალბათ იცით ეს ფორმულა ლოგარითმების შესწავლის თავიდანვე. თუმცა, არის ერთი შეფერხება.

სანამ ცვლადები a, f და g ჩვეულებრივი რიცხვებია, პრობლემები არ წარმოიქმნება. ეს ფორმულა მშვენივრად მუშაობს.

თუმცა, როგორც კი ფუნქციები გამოჩნდება f და g-ის ნაცვლად, ჩნდება განმარტების დომენის გაფართოების ან შევიწროების პრობლემა იმისდა მიხედვით, თუ რომელი მიმართულება უნდა გარდაიქმნას. თავად განსაჯეთ: მარცხნივ დაწერილ ლოგარითმში განმარტების დომენი ასეთია:

fg > 0

მაგრამ მარჯვნივ დაწერილი რაოდენობით, განმარტების დომენი უკვე გარკვეულწილად განსხვავებულია:

f > 0

გ > 0

მოთხოვნების ეს ნაკრები უფრო მკაცრია, ვიდრე ორიგინალი. პირველ შემთხვევაში ჩვენ დავკმაყოფილდებით ვ ვარიანტით< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 შესრულებულია).

ამრიგად, მარცხენა კონსტრუქციიდან მარჯვნივ გადასვლისას ხდება განმარტების დომენის შევიწროება. თუ თავიდან გვქონდა ჯამი და გადავწერთ პროდუქტის სახით, მაშინ განმარტების დომენი ფართოვდება.

ანუ პირველ შემთხვევაში შეიძლება დაგვეკარგა ფესვები, მეორეში კი ზედმეტი. ეს უნდა იქნას გათვალისწინებული რეალური ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას.

ასე რომ, პირველი ამოცანა:

[წარწერა სურათზე]

მარცხნივ ჩვენ ვხედავთ ლოგარითმების ჯამს იმავე ფუძის გამოყენებით. ამრიგად, ეს ლოგარითმები შეიძლება დაემატოს:

[წარწერა სურათზე]

როგორც ხედავთ, მარჯვნივ ჩვენ შევცვალეთ ნული ფორმულის გამოყენებით:

a = ჟურნალი b b a

მოდით გადავაწყოთ ჩვენი განტოლება ცოტა მეტი:

ჟურნალი 4 (x − 5) 2 = ჟურნალი 4 1

ჩვენს წინაშეა ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა; ჩვენ შეგვიძლია გადავკვეთოთ ჟურნალის ნიშანი და გავაიგივოთ არგუმენტები:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: საიდან გაჩნდა მოდული? შეგახსენებთ, რომ ზუსტი კვადრატის ფესვი უდრის მოდულს:

[წარწერა სურათზე]

შემდეგ ჩვენ ვხსნით კლასიკურ განტოლებას მოდულით:

|ვ | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

აქ არის ორი კანდიდატის პასუხი. არის ისინი ამონახსნი ორიგინალური ლოგარითმული განტოლებისთვის? Არ არსებობს გზა!

ჩვენ არ გვაქვს უფლება ყველაფერი ასე დავტოვოთ და პასუხი დავწეროთ. შეხედეთ საფეხურს, სადაც ლოგარითმების ჯამს ვცვლით არგუმენტების ნამრავლის ერთი ლოგარითმით. პრობლემა ის არის, რომ ორიგინალურ გამონათქვამებში გვაქვს ფუნქციები. ამიტომ, თქვენ უნდა მოითხოვოთ:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

როდესაც ჩვენ გადავცვალეთ პროდუქტი, მივიღეთ ზუსტი კვადრატი, მოთხოვნები შეიცვალა:

(x − 5) 2 > 0

როდის სრულდება ეს მოთხოვნა? დიახ, თითქმის ყოველთვის! გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც x − 5 = 0. ანუ უტოლობა შემცირდება ერთ პუნქციურ წერტილამდე:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

როგორც ხედავთ, გაფართოვდა განმარტების ფარგლები, რაზეც ვისაუბრეთ გაკვეთილის დასაწყისში. შესაბამისად, შეიძლება გამოჩნდეს დამატებითი ფესვები.

როგორ შეგიძლიათ თავიდან აიცილოთ ეს ზედმეტი ფესვები? ეს ძალიან მარტივია: ჩვენ ვუყურებთ ჩვენს მიღებულ ფესვებს და ვადარებთ მათ თავდაპირველი განტოლების განსაზღვრის სფეროს. დავთვალოთ:

x (x − 5) > 0

ჩვენ მოვაგვარებთ ინტერვალის მეთოდით:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

ჩვენ აღვნიშნავთ მიღებულ რიცხვებს ხაზზე. ყველა წერტილი აკლია, რადგან უთანასწორობა მკაცრია. აიღეთ 5-ზე მეტი ნებისმიერი რიცხვი და ჩაანაცვლეთ:

[წარწერა სურათზე]

ჩვენ გვაინტერესებს ინტერვალები (−∞; 0) ∪ (5; ∞). თუ ჩვენს ფესვებს ავნიშნავთ სეგმენტზე, დავინახავთ, რომ x = 4 არ გვერგება, რადგან ეს ფესვი დევს თავდაპირველი ლოგარითმული განტოლების განსაზღვრის დომენის მიღმა.

ჩვენ ვუბრუნდებით მთლიანობას, გადავხაზავთ ფესვს x = 4 და ვწერთ პასუხს: x = 6. ეს არის თავდაპირველი ლოგარითმული განტოლების საბოლოო პასუხი. ესე იგი, პრობლემა მოგვარებულია.

გადავიდეთ მეორე ლოგარითმული განტოლებაზე:

[წარწერა სურათზე]

მოდი მოვაგვაროთ. გაითვალისწინეთ, რომ პირველი წევრი არის წილადი, ხოლო მეორე არის იგივე წილადი, მაგრამ შებრუნებული. არ შეგაშინოთ გამოთქმა lgx - ეს მარტივია ათობითი ლოგარითმი, შეგვიძლია დავწეროთ:

lgx = log 10 x

ვინაიდან ჩვენ გვაქვს ორი ინვერსიული წილადი, მე გთავაზობთ ახალი ცვლადის შემოღებას:

[წარწერა სურათზე]

ამრიგად, ჩვენი განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

როგორც ხედავთ, წილადის მრიცხველი ზუსტი კვადრატია. წილადი ნულის ტოლია, როცა მისი მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

მოდით ამოხსნათ პირველი განტოლება:

t − 1 = 0;

t = 1.

ეს მნიშვნელობა აკმაყოფილებს მეორე მოთხოვნას. მაშასადამე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ჩვენი განტოლება მთლიანად მოვაგვარეთ, მაგრამ მხოლოდ t ცვლადის მიმართ. ახლა გავიხსენოთ რა არის t:

[წარწერა სურათზე]

ჩვენ მივიღეთ პროპორცია:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

ჩვენ მივყავართ ეს განტოლება მის კანონიკურ ფორმამდე:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

შედეგად, ჩვენ მივიღეთ ერთი ფესვი, რომელიც, თეორიულად, არის საწყისი განტოლების ამოხსნა. თუმცა, მოდით მაინც ვითამაშოთ უსაფრთხოდ და დავწეროთ ორიგინალური განტოლების განსაზღვრის დომენი:

[წარწერა სურათზე]

ამიტომ, ჩვენი ფესვი აკმაყოფილებს ყველა მოთხოვნას. ჩვენ ვიპოვნეთ გამოსავალი ორიგინალური ლოგარითმული განტოლებისთვის. პასუხი: x = 0.1. პრობლემა მოგვარებულია.

დღევანდელ გაკვეთილზე მხოლოდ ერთი საკვანძო მომენტია: პროდუქტიდან ჯამზე და უკან გადასვლის ფორმულის გამოყენებისას აუცილებლად გაითვალისწინეთ, რომ განსაზღვრების ფარგლები შეიძლება შევიწროვდეს ან გაფართოვდეს იმისდა მიხედვით, თუ რომელი მიმართულებით ხდება გადასვლა.

როგორ გავიგოთ რა ხდება: შეკუმშვა თუ გაფართოება? Ძალიან მარტივი. თუ ადრე ფუნქციები ერთად იყო, მაგრამ ახლა ისინი ცალკეა, მაშინ განმარტების ფარგლები შევიწროებულია (რადგან მეტი მოთხოვნებია). თუ თავიდან ფუნქციები ცალ-ცალკე იდგნენ და ახლა ერთად არიან, მაშინ განმარტების დომენი გაფართოვდა (ნაკლები მოთხოვნები დაწესებულია პროდუქტზე, ვიდრე ცალკეულ ფაქტორებზე).

ამ შენიშვნის გათვალისწინებით, მინდა აღვნიშნო, რომ მეორე ლოგარითმული განტოლება საერთოდ არ მოითხოვს ამ გარდაქმნებს, ანუ არგუმენტებს არსად არ ვამატებთ და არ ვამრავლებთ. თუმცა, აქ მსურს თქვენი ყურადღება გავამახვილო კიდევ ერთ შესანიშნავ ტექნიკაზე, რომელსაც შეუძლია მნიშვნელოვნად გაამარტივოს გამოსავალი. საუბარია ცვლადის შეცვლაზე.

თუმცა, გახსოვდეთ, რომ არცერთი ჩანაცვლება არ გვათავისუფლებს განმარტების სფეროსგან. სწორედ ამიტომ, მას შემდეგ რაც ყველა ფესვი იპოვეს, ჩვენ არ დავიზარალეთ და დავუბრუნდით საწყის განტოლებას, რომ ვიპოვოთ მისი ODZ.

ხშირად, ცვლადის შეცვლისას, შემაშფოთებელი შეცდომა ჩნდება, როდესაც სტუდენტები პოულობენ t-ის მნიშვნელობას და ფიქრობენ, რომ ამოხსნა დასრულებულია. Არ არსებობს გზა!

მას შემდეგ რაც იპოვით t-ის მნიშვნელობას, თქვენ უნდა დაუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას და ნახოთ რას ვგულისხმობდით ამ ასოში. შედეგად, კიდევ ერთი განტოლება უნდა ამოხსნათ, რომელიც, თუმცა, გაცილებით მარტივი იქნება, ვიდრე ორიგინალი.

ეს არის ზუსტად ახალი ცვლადის შემოღება. ჩვენ დავყავით თავდაპირველი განტოლება ორ შუალედად, რომელთაგან თითოეულს აქვს ბევრად უფრო მარტივი გამოსავალი.

როგორ ამოხსნათ "ბუდებული" ლოგარითმული განტოლებები

დღეს ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმული განტოლებების შესწავლას და გავაანალიზებთ კონსტრუქციებს, როდესაც ერთი ლოგარითმი მეორე ლოგარითმის ნიშნის ქვეშაა. ორივე განტოლებას ვხსნით კანონიკური ფორმის გამოყენებით.

დღეს ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმული განტოლებების შესწავლას და გავაანალიზებთ კონსტრუქციებს, როდესაც ერთი ლოგარითმი მეორის ნიშნის ქვეშაა. ორივე განტოლებას ვხსნით კანონიკური ფორმის გამოყენებით. შეგახსენებთ, რომ თუ გვაქვს log a f (x) = b ფორმის უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება, მაშინ ასეთი განტოლების ამოსახსნელად ვასრულებთ შემდეგ ნაბიჯებს. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ უნდა შევცვალოთ რიცხვი b:

b = log a a b

შენიშვნა: a b არის არგუმენტი. ანალოგიურად, თავდაპირველ განტოლებაში არგუმენტი არის ფუნქცია f(x). შემდეგ ჩვენ ხელახლა ვწერთ განტოლებას და ვიღებთ ამ კონსტრუქციას:

log a f (x) = log a a b

შემდეგ შეგვიძლია შევასრულოთ მესამე ნაბიჯი - მოვიშოროთ ლოგარითმის ნიშანი და უბრალოდ დავწეროთ:

f (x) = a b

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ახალ განტოლებას. ამ შემთხვევაში შეზღუდვები არ არის დაწესებული f (x) ფუნქციაზე. მაგალითად, ლოგარითმული ფუნქციაც შეიძლება დაიკავოს მისი ადგილი. შემდეგ ჩვენ კვლავ მივიღებთ ლოგარითმულ განტოლებას, რომელსაც კვლავ დავამცირებთ მის უმარტივეს ფორმამდე და გადავწყვეტთ კანონიკური ფორმის მეშვეობით.

თუმცა, საკმარისია ლექსები. მოვაგვაროთ რეალური პრობლემა. ასე რომ, დავალება ნომერი 1:

ჟურნალი 2 (1 + 3 ჟურნალი 2 x ) = 2

როგორც ხედავთ, ჩვენ გვაქვს მარტივი ლოგარითმული განტოლება. f (x)-ის როლი არის კონსტრუქცია 1 + 3 log 2 x, ხოლო b რიცხვის როლი არის რიცხვი 2 (a-ს როლსაც ასრულებს ორი). მოდით გადავიწეროთ ეს ორი შემდეგნაირად:

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ პირველი ორი ორი მოვიდა ჩვენთან ლოგარითმის საფუძვლიდან, ანუ თავდაპირველ განტოლებაში რომ იყოს 5, მაშინ მივიღებთ, რომ 2 = log 5 5 2. ზოგადად, ბაზა დამოკიდებულია მხოლოდ იმ ლოგარითმზე, რომელიც თავდაპირველად იყო მოცემულ პრობლემაში. და ჩვენს შემთხვევაში ეს არის ნომერი 2.

ასე რომ, ჩვენ გადავწერთ ჩვენს ლოგარითმულ განტოლებას იმის გათვალისწინებით, რომ ორი მარჯვნივ არის ასევე ლოგარითმი. ჩვენ ვიღებთ:

ჟურნალი 2 (1 + 3 ჟურნალი 2 x ) = ჟურნალი 2 4

გადავიდეთ ჩვენი სქემის ბოლო საფეხურზე - კანონიკური ფორმისგან თავის დაღწევა. შეიძლება ითქვას, ჩვენ უბრალოდ ვკვეთთ ლოგინის ნიშნებს. თუმცა, მათემატიკური თვალსაზრისით, შეუძლებელია "გადაკვეთა" - უფრო სწორი იქნება იმის თქმა, რომ ჩვენ უბრალოდ გავაიგივებთ არგუმენტებს:

1 + 3 ჟურნალი 2 x = 4

აქედან ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ 3 ჟურნალი 2 x:

3 ჟურნალი 2 x = 3

ჟურნალი 2 x = 1

ჩვენ კვლავ მივიღეთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება, დავუბრუნდეთ მას კანონიკურ ფორმას. ამისათვის ჩვენ უნდა შევიტანოთ შემდეგი ცვლილებები:

1 = ჟურნალი 2 2 1 = ჟურნალი 2 2

რატომ არის ორი ბაზაზე? იმის გამო, რომ ჩვენს კანონიკურ განტოლებაში მარცხნივ არის ლოგარითმი ზუსტად 2-ის საფუძვლამდე. ჩვენ გადავწერთ პრობლემას ამ ფაქტის გათვალისწინებით:

ჟურნალი 2 x = ჟურნალი 2 2

ისევ ვაშორებთ ლოგარითმის ნიშანს, ანუ უბრალოდ ვაიგივებთ არგუმენტებს. ჩვენ გვაქვს ამის გაკეთების უფლება, რადგან ბაზები იგივეა და დამატებითი მოქმედებები არ განხორციელებულა არც მარჯვნივ და არც მარცხნივ:

Სულ ეს არის! პრობლემა მოგვარებულია. ჩვენ ვიპოვეთ გამოსავალი ლოგარითმული განტოლებისთვის.

Შენიშვნა! მიუხედავად იმისა, რომ ცვლადი x ჩნდება არგუმენტში (ანუ, არსებობს მოთხოვნები განმარტების დომენისთვის), ჩვენ არ დავაყენებთ დამატებით მოთხოვნებს.

როგორც ზემოთ ვთქვი, ეს შემოწმება ზედმეტია, თუ ცვლადი გამოჩნდება მხოლოდ ერთი ლოგარითმის მხოლოდ ერთ არგუმენტში. ჩვენს შემთხვევაში, x ნამდვილად ჩნდება მხოლოდ არგუმენტში და მხოლოდ ერთი ჟურნალის ნიშნის ქვეშ. ამიტომ, დამატებითი შემოწმება არ არის საჭირო.

თუმცა, თუ ამ მეთოდს არ ენდობით, შეგიძლიათ მარტივად დაადასტუროთ, რომ x = 2 მართლაც ფესვია. საკმარისია ამ რიცხვის ჩანაცვლება თავდაპირველ განტოლებაში.

გადავიდეთ მეორე განტოლებაზე, ცოტა უფრო საინტერესოა:

ჟურნალი 2 (ლოგი 1/2 (2x − 1) + ჟურნალი 2 4) = 1

თუ დიდი ლოგარითმის შიგნით გამოსახულებას f (x) ფუნქციით აღვნიშნავთ, მივიღებთ უმარტივეს ლოგარითმულ განტოლებას, რომლითაც დავიწყეთ დღევანდელი ვიდეო გაკვეთილი. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია გამოვიყენოთ კანონიკური ფორმა, რისთვისაც მოგვიწევს ერთეულის წარმოდგენა ფორმაში log 2 2 1 = log 2 2.

მოდით გადავწეროთ ჩვენი დიდი განტოლება:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

მოდი, თავი დავანებოთ ლოგარითმის ნიშანს, არგუმენტების გათანაბრება. ჩვენ გვაქვს ამის უფლება, რადგან მარცხნივ და მარჯვნივ ბაზები ერთნაირია. გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ ჟურნალი 2 4 = 2:

ჟურნალი 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

ჟურნალი 1/2 (2x − 1) = 0

ჩვენს წინაშე კვლავ არის უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება ფორმის log a f (x) = b. გადავიდეთ კანონიკურ ფორმაზე, ანუ ჩვენ წარმოვადგენთ ნულს ფორმაში log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

ჩვენ ხელახლა ვწერთ ჩვენს განტოლებას და ვაშორებთ ჟურნალის ნიშანს, ვაიგივებთ არგუმენტებს:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

ისევ მაშინვე მივიღეთ პასუხი. დამატებითი შემოწმება არ არის საჭირო, რადგან თავდაპირველ განტოლებაში მხოლოდ ერთი ლოგარითმი შეიცავს ფუნქციას, როგორც არგუმენტი.

ამიტომ, დამატებითი შემოწმება არ არის საჭირო. თამამად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ x = 1 არის ამ განტოლების ერთადერთი ფესვი.

მაგრამ თუ მეორე ლოგარითმში არსებობდა x-ის რაღაც ფუნქცია ოთხის ნაცვლად (ან 2x იყო არა არგუმენტში, არამედ ბაზაში) - მაშინ საჭირო იქნებოდა განსაზღვრების დომენის შემოწმება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ზედმეტი ფესვების გაშვების დიდი შანსია.

საიდან მოდის ეს ზედმეტი ფესვები? ეს წერტილი ძალიან ნათლად უნდა იყოს გაგებული. შეხედეთ თავდაპირველ განტოლებებს: ყველგან ფუნქცია x არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. შესაბამისად, რადგან ჩავწერეთ log 2 x, ავტომატურად ვაყენებთ მოთხოვნას x > 0. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ამ ჩანაწერს უბრალოდ აზრი არ აქვს.

თუმცა, ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას ჩვენ ვაშორებთ ყველა ლოგის ნიშანს და ვიღებთ მარტივ კონსტრუქციებს. აქ არ არის დადგენილი შეზღუდვები, რადგან წრფივი ფუნქცია განისაზღვრება x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

სწორედ ეს პრობლემაა, როცა საბოლოო ფუნქცია ყველგან და ყოველთვის არის განსაზღვრული, ორიგინალი კი ყველგან და არა ყოველთვის არის განსაზღვრული, ამიტომ ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას ძალიან ხშირად ჩნდება ზედმეტი ფესვები.

მაგრამ კიდევ ერთხელ ვიმეორებ: ეს ხდება მხოლოდ იმ სიტუაციაში, როდესაც ფუნქცია არის ან რამდენიმე ლოგარითმში ან ერთ-ერთი მათგანის ბაზაზე. იმ პრობლემებში, რომლებსაც დღეს განვიხილავთ, პრინციპში, არანაირი პრობლემა არ არის განმარტების სფეროს გაფართოებასთან დაკავშირებით.

სხვადასხვა საფუძვლის შემთხვევები

ეს გაკვეთილი ეძღვნება უფრო მეტს რთული სტრუქტურები. დღევანდელ განტოლებებში ლოგარითმები მყისიერად აღარ გადაიჭრება; ჯერ გარკვეული ტრანსფორმაციები უნდა გაკეთდეს.

ჩვენ ვიწყებთ ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნას სრულიად განსხვავებული საფუძვლებით, რომლებიც არ არის ერთმანეთის ზუსტი ძალა. ნუ მისცემთ უფლებას ასეთ პრობლემებს შეგაშინოთ - მათი გადაჭრა არ არის უფრო რთული, ვიდრე უმარტივესი დიზაინები, რომლებიც ზემოთ განვიხილეთ.

მაგრამ სანამ უშუალოდ პრობლემებზე გადავიდოდეთ, შეგახსენებთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის ფორმულას კანონიკური ფორმის გამოყენებით. განვიხილოთ ასეთი პრობლემა:

log a f (x) = b

მნიშვნელოვანია, რომ ფუნქცია f (x) არის მხოლოდ ფუნქცია, ხოლო a და b რიცხვების როლი უნდა იყოს რიცხვები (ცვლადის გარეშე x). რა თქმა უნდა, სიტყვასიტყვით ერთ წუთში ჩვენ გადავხედავთ ისეთ შემთხვევებს, როდესაც a და b ცვლადების ნაცვლად არის ფუნქციები, მაგრამ ახლა ეს არ არის ამის შესახებ.

როგორც გვახსოვს, რიცხვი b უნდა შეიცვალოს ლოგარითმით იმავე a ფუძისკენ, რომელიც მარცხნივ არის. ეს კეთდება ძალიან მარტივად:

b = log a a b

რა თქმა უნდა, სიტყვები "ნებისმიერი რიცხვი b" და "ნებისმიერი რიცხვი a" ნიშნავს მნიშვნელობებს, რომლებიც აკმაყოფილებენ განმარტების ფარგლებს. კერძოდ, ამ განტოლებაში საუბარია მხოლოდ a > 0 და a ≠ 1 ფუძეზე.

თუმცა, ეს მოთხოვნა დაკმაყოფილებულია ავტომატურად, რადგან თავდაპირველი ამოცანა უკვე შეიცავს ლოგარითმს a-ს საფუძვლად - ის აუცილებლად იქნება 0-ზე მეტი და არა 1-ის ტოლი. ამიტომ ვაგრძელებთ ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას:

log a f (x) = log a a b

ასეთ აღნიშვნას კანონიკური ფორმა ეწოდება. მისი მოხერხებულობა მდგომარეობს იმაში, რომ ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ მოვიშოროთ ჟურნალის ნიშანი არგუმენტების გათანაბრების გზით:

f (x) = a b

სწორედ ამ ტექნიკას გამოვიყენებთ ცვლადი ფუძით ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად. მაშ, წავიდეთ!

ჟურნალი 2 (x 2 + 4x + 11) = ჟურნალი 0.5 0.125

Რა არის შემდეგი? ვიღაც ახლა იტყვის, რომ თქვენ უნდა გამოთვალოთ სწორი ლოგარითმი, ან შეამციროთ ისინი იმავე ბაზაზე, ან სხვა რამ. და მართლაც, ახლა ჩვენ უნდა მივიყვანოთ ორივე ბაზა ერთსა და იმავე ფორმაში - ან 2 ან 0.5. მაგრამ ერთხელ და სამუდამოდ ვისწავლოთ შემდეგი წესი:

თუ ლოგარითმული განტოლება შეიცავს ათწილადები, დარწმუნდით, რომ გადააკეთეთ ეს წილადები ათობითი აღნიშვნებიდან ჩვეულებრივზე. ამ ტრანსფორმაციამ შეიძლება მნიშვნელოვნად გაამარტივოს გამოსავალი.

ასეთი გადასვლა უნდა განხორციელდეს დაუყოვნებლივ, თუნდაც რაიმე მოქმედების ან ტრანსფორმაციის შესრულებამდე. მოდით შევხედოთ:

ჟურნალი 2 (x 2 + 4x + 11) = ჟურნალი 1 /2 1/8

რას გვაძლევს ასეთი ჩანაწერი? ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ 1/2 და 1/8, როგორც ხარისხები უარყოფითი მაჩვენებლით:

[წარწერა სურათზე]

ჩვენს წინაშე არის კანონიკური ფორმა. ჩვენ ვაიგივებთ არგუმენტებს და ვიღებთ კლასიკას კვადრატული განტოლება:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

ჩვენ წინაშე გვაქვს შემდეგი კვადრატული განტოლება, რომლის ამოხსნაც მარტივად შეიძლება ვიეტას ფორმულების გამოყენებით. საშუალო სკოლაში, თქვენ უნდა ნახოთ მსგავსი დისპლეები სიტყვასიტყვით ზეპირად:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Სულ ეს არის! თავდაპირველი ლოგარითმული განტოლება ამოხსნილია. ჩვენ მივიღეთ ორი ფესვი.

შეგახსენებთ, რომ ამ შემთხვევაში არ არის აუცილებელი განსაზღვრების დომენის დადგენა, რადგან ფუნქცია x ცვლადით არის მხოლოდ ერთ არგუმენტში. აქედან გამომდინარე, განმარტების ფარგლები შესრულებულია ავტომატურად.

ასე რომ, პირველი განტოლება ამოხსნილია. გადავიდეთ მეორეზე:

ჟურნალი 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = ჟურნალი 3 1/9

ჟურნალი 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = ჟურნალი 3 9 −1

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ პირველი ლოგარითმის არგუმენტი ასევე შეიძლება დაიწეროს ხარისხად უარყოფითი მაჩვენებლით: 1/2 = 2 −1. შემდეგ შეგიძლიათ აიღოთ განტოლების ორივე მხარეს არსებული სიმძლავრეები და გაყოთ ყველაფერი −1-ზე:

[წარწერა სურათზე]

ახლა ჩვენ დავასრულეთ ძალიან მნიშვნელოვანი ნაბიჯი ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას. იქნებ ვინმემ ვერ შეამჩნია რამე, ნება მომეცით აგიხსნათ.

შეხედეთ ჩვენს განტოლებას: მარცხნივ და მარჯვნივ არის ჟურნალის ნიშანი, მაგრამ მარცხნივ არის ლოგარითმი 2-ის ბაზაზე, ხოლო მარჯვნივ არის ლოგარითმი 3-ის მიმართ. სამი არ არის მთელი რიცხვი ორი და, პირიქით, ვერ დაწერთ, რომ 2 არის 3 მთელი გრადუსით.

შესაბამისად, ეს არის სხვადასხვა ფუძის მქონე ლოგარითმები, რომლებიც არ შეიძლება ერთმანეთთან შემცირდეს მხოლოდ ძალების მიმატებით. ასეთი პრობლემების გადაჭრის ერთადერთი გზა არის ერთ-ერთი ამ ლოგარითმის მოშორება. ამ შემთხვევაში, ვინაიდან ჩვენ ჯერ კიდევ განვიხილავთ საკმაოდ მარტივ ამოცანებს, მარჯვნიდან ლოგარითმი უბრალოდ გამოითვალა და მივიღეთ უმარტივესი განტოლება - ზუსტად ის, რაზეც ვისაუბრეთ დღევანდელი გაკვეთილის დასაწყისში.

მოდით წარმოვადგინოთ რიცხვი 2, რომელიც არის მარჯვნივ, როგორც log 2 2 2 = log 2 4. და შემდეგ მოვიშორებთ ლოგარითმის ნიშანს, რის შემდეგაც უბრალოდ ვტოვებთ კვადრატულ განტოლებას:

ჟურნალი 2 (5x 2 + 9x + 2) = ჟურნალი 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

ჩვენ გვაქვს ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება, მაგრამ ის არ არის შემცირებული, რადგან x 2 კოეფიციენტი განსხვავდება ერთიანისგან. ამიტომ, ჩვენ მოვაგვარებთ მას დისკრიმინანტის გამოყენებით:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

Სულ ეს არის! ჩვენ ვიპოვეთ ორივე ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ მივიღეთ ამონახსნი საწყისი ლოგარითმული განტოლებისთვის. მართლაც, თავდაპირველ პრობლემაში ფუნქცია x ცვლადით წარმოდგენილია მხოლოდ ერთ არგუმენტში. შესაბამისად, არ არის საჭირო დამატებითი შემოწმება განმარტების დომენზე - ორივე ფესვი, რომელიც აღმოვაჩინეთ, რა თქმა უნდა აკმაყოფილებს ყველა შესაძლო შეზღუდვას.

ეს შეიძლება იყოს დღევანდელი ვიდეო გაკვეთილის დასასრული, მაგრამ დასასრულს კიდევ ერთხელ მინდა ვთქვა: აუცილებლად გადააქციეთ ყველა ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადებად ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას. უმეტეს შემთხვევაში, ეს მნიშვნელოვნად ამარტივებს მათ გადაწყვეტას.

იშვიათად, ძალიან იშვიათად შეგხვდებათ პრობლემები, რომლებშიც ათობითი წილადების მოშორება მხოლოდ ართულებს გამოთვლებს. თუმცა, ასეთ განტოლებებში, როგორც წესი, თავიდანვე ნათელია, რომ არ არის საჭირო ათობითი წილადების მოშორება.

უმეტეს შემთხვევაში (განსაკუთრებით, თუ ახლახან იწყებთ ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის პრაქტიკას), თავისუფლად მოიშორეთ ათწილადები და გადააკეთეთ ისინი ჩვეულებრივზე. რადგან პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ ამ გზით თქვენ მნიშვნელოვნად გაამარტივებთ შემდგომ გადაწყვეტას და გამოთვლებს.

ხსნარის დახვეწილობა და ხრიკები

დღეს ჩვენ უფრო მეტზე გადავდივართ რთული ამოცანებიდა ჩვენ ამოვხსნით ლოგარითმულ განტოლებას, რომლის საფუძველია არა რიცხვი, არამედ ფუნქცია.

და მაშინაც კი, თუ ეს ფუნქცია წრფივია, მცირე ცვლილებები უნდა განხორციელდეს ამოხსნის სქემაში, რომლის მნიშვნელობა ემყარება დამატებით მოთხოვნებს, რომლებიც დაწესებულია ლოგარითმის განსაზღვრის დომენზე.

რთული ამოცანები

ეს გაკვეთილი საკმაოდ გრძელი იქნება. მასში გავაანალიზებთ ორ საკმაოდ სერიოზულ ლოგარითმულ განტოლებას, რომელთა ამოხსნისას ბევრი მოსწავლე უშვებს შეცდომებს. მათემატიკის დამრიგებლის პრაქტიკის დროს გამუდმებით ვაწყდებოდი ორი ტიპის შეცდომებს:

1. დამატებითი ფესვების გამოჩენა ლოგარითმების განსაზღვრის დომენის გაფართოების გამო. ასეთი შეურაცხმყოფელი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, უბრალოდ ყურადღებით დააკვირდით თითოეულ ტრანსფორმაციას;
2. ფესვების დაკარგვა იმის გამო, რომ სტუდენტს დაავიწყდა ზოგიერთი „დახვეწილი“ შემთხვევის განხილვა - ეს ის სიტუაციებია, რაზეც დღეს გავამახვილებთ ყურადღებას.

ეს არის ბოლო გაკვეთილი ლოგარითმული განტოლებების შესახებ. ეს გრძელი იქნება, ჩვენ გავაანალიზებთ რთულ ლოგარითმულ განტოლებებს. მოეწყვეთ კომფორტულად, მოამზადეთ ჩაი და დავიწყოთ.

პირველი განტოლება საკმაოდ სტანდარტულად გამოიყურება:

log x + 1 (x − 0.5) = log x − 0.5 (x + 1)

დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ ორივე ლოგარითმი ერთმანეთის შებრუნებული ასლია. გავიხსენოთ შესანიშნავი ფორმულა:

log a b = 1/log b a

თუმცა, ამ ფორმულას აქვს მთელი რიგი შეზღუდვები, რომლებიც წარმოიქმნება, თუ a და b რიცხვების ნაცვლად არის x ცვლადის ფუნქციები:

ბ > 0

1 ≠ a > 0

ეს მოთხოვნები ვრცელდება ლოგარითმის საფუძველზე. მეორე მხრივ, წილადში უნდა გვქონდეს 1 ≠ a > 0, რადგან არა მხოლოდ ცვლადი a არის ლოგარითმის არგუმენტში (აქედან a > 0), არამედ თავად ლოგარითმიც არის წილადის მნიშვნელში. . მაგრამ log b 1 = 0, და მნიშვნელი არ უნდა იყოს ნულოვანი, ამიტომ a ≠ 1.

ასე რომ, შეზღუდვები ცვლადზე რჩება. მაგრამ რა ემართება b ცვლადს? ერთის მხრივ, ფუძე გულისხმობს b > 0, მეორე მხრივ, ცვლადს b ≠ 1, რადგან ლოგარითმის საფუძველი უნდა განსხვავდებოდეს 1-ისგან. მთლიანობაში, ფორმულის მარჯვენა მხრიდან გამოდის, რომ 1 ≠ ბ > 0.

მაგრამ აქ არის პრობლემა: მეორე მოთხოვნა (b ≠ 1) აკლია პირველ უტოლობას, რომელიც ეხება მარცხენა ლოგარითმს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ ტრანსფორმაციის შესრულებისას ჩვენ უნდა შეამოწმეთ ცალკე, რომ არგუმენტი b განსხვავდება ერთისგან!

მოდით შევამოწმოთ. მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი ფორმულა:

[წარწერა სურათზე]

1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ, რომ უკვე თავდაპირველი ლოგარითმული განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ ორივე a და b უნდა იყოს 0-ზე მეტი და არა 1-ის ტოლი.

მე გთავაზობთ ახალი ცვლადის შემოღებას:

log x + 1 (x − 0.5) = t

ამ შემთხვევაში, ჩვენი კონსტრუქცია გადაიწერება შემდეგნაირად:

(t 2 − 1)/t = 0

გაითვალისწინეთ, რომ მრიცხველში გვაქვს კვადრატების განსხვავება. ჩვენ გამოვავლენთ კვადრატების განსხვავებას შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენებით:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

წილადი ნულის ტოლია, როცა მისი მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის. მაგრამ მრიცხველი შეიცავს პროდუქტს, ამიტომ თითოეულ ფაქტორს ვატოლებთ ნულს:

t 1 = 1;

t 2 = −1;

t ≠ 0.

როგორც ვხედავთ, ცვლადის ორივე მნიშვნელობა არ გვერგება. თუმცა, გამოსავალი ამით არ მთავრდება, რადგან ჩვენ უნდა ვიპოვოთ არა t, არამედ x-ის მნიშვნელობა. ჩვენ ვუბრუნდებით ლოგარითმს და ვიღებთ:

ჟურნალი x + 1 (x − 0.5) = 1;

ჟურნალი x + 1 (x − 0.5) = −1.

მოდით დავაყენოთ თითოეული ეს განტოლება კანონიკური ფორმით:

ჟურნალი x + 1 (x − 0.5) = ჟურნალი x + 1 (x + 1) 1

ჟურნალი x + 1 (x − 0.5) = ჟურნალი x + 1 (x + 1) −1

პირველ შემთხვევაში ვაშორებთ ლოგარითმის ნიშანს და ვაიგივებთ არგუმენტებს:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

ასეთ განტოლებას არ აქვს ფესვები, ამიტომ პირველ ლოგარითმულ განტოლებას ასევე არ აქვს ფესვები. მაგრამ მეორე განტოლებით ყველაფერი ბევრად უფრო საინტერესოა:

(x − 0.5)/1 = 1/(x + 1)

პროპორციის ამოხსნით მივიღებთ:

(x − 0.5) (x + 1) = 1

შეგახსენებთ, რომ ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას ბევრად უფრო მოსახერხებელია ყველა ათობითი წილადის გამოყენება, როგორც ჩვეულებრივი, ასე რომ, მოდით გადავიწეროთ ჩვენი განტოლება შემდეგნაირად:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

ჩვენ გვაქვს ქვემოთ მოცემული კვადრატული განტოლება, რომლის ამოხსნაც მარტივად შეიძლება ვიეტას ფორმულების გამოყენებით:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x 2 = 1.

ჩვენ მივიღეთ ორი ფესვი - ისინი კანდიდატები არიან ორიგინალური ლოგარითმული განტოლების ამოსახსნელად. იმისათვის, რომ გავიგოთ, რა ფესვები იქნება რეალურად პასუხში, დავუბრუნდეთ საწყის პრობლემას. ახლა ჩვენ შევამოწმებთ თითოეულ ჩვენს ფესვს, რათა დავინახოთ, შეესაბამება თუ არა ისინი განმარტების დომენს:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

ეს მოთხოვნები ორმაგი უთანასწორობის ტოლფასია:

1 ≠ x > 0.5

აქედან მაშინვე ვხედავთ, რომ ფესვი x = −1,5 არ გვერგება, მაგრამ x = 1 საკმაოდ კარგად გვერგება. ამიტომ x = 1 არის ლოგარითმული განტოლების საბოლოო ამოხსნა.

გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ყველა ლოგარითმს განსხვავებული საფუძველი და განსხვავებული არგუმენტები აქვს. რა უნდა გააკეთოს ასეთ სტრუქტურებთან? უპირველეს ყოვლისა, გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები 25, 5 და 625 არის 5-ის ხარისხები:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

ახლა მოდით ვისარგებლოთ ლოგარითმის შესანიშნავი თვისებით. საქმე იმაშია, რომ თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ ძალაუფლება არგუმენტიდან ფაქტორების სახით:

log a b n = n ∙ log a b

ეს ტრანსფორმაცია ასევე ექვემდებარება შეზღუდვებს იმ შემთხვევაში, როდესაც b ჩანაცვლებულია ფუნქციით. მაგრამ ჩვენთვის b არის მხოლოდ რიცხვი და არანაირი დამატებითი შეზღუდვა არ არსებობს. მოდით გადავწეროთ ჩვენი განტოლება:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

ჩვენ მივიღეთ განტოლება სამი წევრით, რომელიც შეიცავს ჟურნალის ნიშანს. უფრო მეტიც, სამივე ლოგარითმის არგუმენტები ტოლია.

დროა შევაბრუნოთ ლოგარითმები და მივიყვანოთ ისინი ერთსა და იმავე ფუძემდე - 5. ვინაიდან ცვლადი b არის მუდმივი, არ ხდება ცვლილებები განმარტების დომენში. ჩვენ უბრალოდ ვწერთ:

[წარწერა სურათზე]

როგორც მოსალოდნელი იყო, იგივე ლოგარითმები გამოჩნდა მნიშვნელში. მე გთავაზობთ ცვლადის შეცვლას:

ჟურნალი 5 x = t

ამ შემთხვევაში, ჩვენი განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

ამოვიწეროთ მრიცხველი და გავხსნათ ფრჩხილები:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

დავუბრუნდეთ ჩვენს წილადს. მრიცხველი უნდა იყოს ნული:

[წარწერა სურათზე]

და მნიშვნელი განსხვავდება ნულისაგან:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

ბოლო მოთხოვნები სრულდება ავტომატურად, რადგან ისინი ყველა "მიბმულია" მთელ რიცხვებთან და ყველა პასუხი ირაციონალურია.

Ისე, წილადი რაციონალური განტოლებაამოხსნილი, ნაპოვნია t ცვლადის მნიშვნელობები. დავუბრუნდეთ ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას და გავიხსენოთ რა არის t:

[წარწერა სურათზე]

ჩვენ ვამცირებთ ამ განტოლებას კანონიკურ ფორმამდე და ვიღებთ რიცხვს ირაციონალური ხარისხით. ამან არ დაგაბნიოთ - ასეთი არგუმენტებიც კი შეიძლება გაიგივდეს:

[წარწერა სურათზე]

ჩვენ მივიღეთ ორი ფესვი. უფრო ზუსტად, ორი კანდიდატის პასუხი - მოდით შევამოწმოთ ისინი განმარტების დომენთან შესაბამისობაში. ვინაიდან ლოგარითმის საფუძველი არის x ცვლადი, ჩვენ გვჭირდება შემდეგი:

1 ≠ x > 0;

იგივე წარმატებით ვამტკიცებთ, რომ x ≠ 1/125, წინააღმდეგ შემთხვევაში მეორე ლოგარითმის ფუძე გადაიქცევა ერთიანობაში. ბოლოს, x ≠ 1/25 მესამე ლოგარითმისთვის.

ჯამში მივიღეთ ოთხი შეზღუდვა:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

ახლა ისმის კითხვა: აკმაყოფილებს თუ არა ჩვენი ფესვები ამ მოთხოვნებს? რა თქმა უნდა, ისინი აკმაყოფილებენ! რადგან 5 ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ იქნება ნულზე მეტი და მოთხოვნა x > 0 დაკმაყოფილებულია ავტომატურად.

მეორეს მხრივ, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, რაც ნიშნავს, რომ ეს შეზღუდვები ჩვენი ფესვებისთვის (რომელსაც, შეგახსენებთ, აქვს ირაციონალური რიცხვი მაჩვენებელში) ასევე კმაყოფილი არიან და ორივე პასუხი პრობლემის გადაწყვეტაა.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს საბოლოო პასუხი. ძირითადი პუნქტებიამ პრობლემაში ორია:

1. ფრთხილად იყავით ლოგარითმის გადაბრუნებისას, როდესაც არგუმენტი და ბაზა იცვლება. ასეთი ტრანსფორმაციები აწესებს არასაჭირო შეზღუდვებს განმარტების ფარგლებს.
2. ნუ შეგეშინდებათ ლოგარითმების გარდაქმნის: მათი არამარტო შებრუნება, არამედ გაფართოება შესაძლებელია ჯამის ფორმულის გამოყენებით და ზოგადად შეცვლა ნებისმიერი ფორმულის გამოყენებით, რომელიც თქვენ შეისწავლეთ ლოგარითმული გამონათქვამების ამოხსნისას. თუმცა, ყოველთვის გახსოვდეთ: ზოგიერთი ტრანსფორმაცია აფართოებს განმარტების ფარგლებს, ზოგი კი ავიწროებს მათ.

პრიმიტიული დონის ალგებრის ერთ-ერთი ელემენტია ლოგარითმი. სახელი მომდინარეობს ბერძნული ენიდან სიტყვიდან "რიცხვი" ან "ძალა" და ნიშნავს ძალას, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძის რიცხვი საბოლოო რიცხვის მოსაძებნად.

ლოგარითმების სახეები

• log a b – b რიცხვის ლოგარითმი a საფუძვლამდე (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – ათობითი ლოგარითმი (ლოგარითმი 10 ფუძემდე, a = 10);
• ln b – ბუნებრივი ლოგარითმი (ლოგარითმი e ფუძემდე, a = e).

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე არის მაჩვენებელი, რომელიც მოითხოვს b-ის ამაღლებას a ფუძემდე. მიღებული შედეგი გამოითქმის ასე: „b-ის ლოგარითმი a-მდე“. ლოგარითმული ამოცანების გამოსავალი არის ის, რომ თქვენ უნდა განსაზღვროთ მოცემული სიმძლავრე რიცხვებში მითითებული ნომრები. არსებობს რამდენიმე ძირითადი წესი ლოგარითმის დასადგენად ან ამოსახსნელად, ასევე თავად აღნიშვნის გარდაქმნისთვის. მათი გამოყენებით ხდება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა, წარმოებულების პოვნა, ინტეგრალების ამოხსნა და მრავალი სხვა ოპერაცია. ძირითადად, თავად ლოგარითმის გამოსავალი არის მისი გამარტივებული აღნიშვნა. ქვემოთ მოცემულია ძირითადი ფორმულები და თვისებები:

ნებისმიერი ა; a > 0; a ≠ 1 და ნებისმიერი x-ისთვის; y > 0.

• a log a b = b – ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა
• შესვლა a 1 = 0
• ლოგა a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, k ≠ 0-ისთვის
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა
• log a x = 1/log x a

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები - გადაჭრის ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები

• პირველ რიგში, ჩაწერეთ საჭირო განტოლება.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ საბაზისო ლოგარითმი არის 10, მაშინ ჩანაწერი მცირდება, რის შედეგადაც ხდება ათობითი ლოგარითმი. თუ ღირს ბუნებრივი რიცხვი e, შემდეგ ჩავწერთ მას, შემოკლებით ბუნებრივი ლოგარითმი. ეს ნიშნავს, რომ ყველა ლოგარითმის შედეგი არის სიმძლავრე, რომელზედაც ამაღლებულია საბაზისო რიცხვი b რიცხვის მისაღებად.

პირდაპირ, გამოსავალი მდგომარეობს ამ ხარისხის გამოთვლაში. გამონათქვამის ლოგარითმით ამოხსნამდე ის უნდა გამარტივდეს წესის მიხედვით, ანუ ფორმულების გამოყენებით. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ძირითადი ვინაობა სტატიაში ცოტა უკან დაბრუნებით.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება ორი განსხვავებული რიცხვით, მაგრამ იმავე საფუძვლებზე, ჩაანაცვლეთ ერთი ლოგარითმით b და c რიცხვების ნამრავლით ან გაყოფით. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა ბაზაზე გადასვლის ფორმულა (იხ. ზემოთ).

თუ იყენებთ გამონათქვამებს ლოგარითმის გასამარტივებლად, გასათვალისწინებელია გარკვეული შეზღუდვები. და ეს არის: a ლოგარითმის საფუძველი მხოლოდ დადებითი რიცხვია, მაგრამ არა ერთის ტოლი. რიცხვი b, ისევე როგორც a, უნდა იყოს ნულზე მეტი.

არის შემთხვევები, როდესაც გამონათქვამის გამარტივებით, თქვენ ვერ შეძლებთ ლოგარითმის რიცხვით გამოთვლას. ეს ხდება, რომ ასეთ გამოთქმას აზრი არ აქვს, რადგან ბევრი ძალა ირაციონალური რიცხვია. ამ პირობით, დატოვეთ რიცხვის სიმძლავრე ლოგარითმად.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ელფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• აუცილებლობის შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

დღეს ჩვენ ვისაუბრებთ ლოგარითმული ფორმულებიდა ჩვენ მივცემთ მითითებებს გადაწყვეტის მაგალითები.

ისინი თავად გულისხმობენ ამოხსნის ნიმუშებს ლოგარითმების ძირითადი თვისებების მიხედვით. ლოგარითმის ფორმულების ამოსახსნელად გამოყენებამდე, შეგახსენებთ ყველა თვისებას:

ახლა, ამ ფორმულების (თვისებების) საფუძველზე ჩვენ ვაჩვენებთ ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები.

ფორმულების საფუძველზე ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები.

ლოგარითმიდადებითი რიცხვი b a-ს საფუძვლად (აღინიშნება log a b-ით) არის მაჩვენებელი, რომელზეც a უნდა გაიზარდოს, რომ მივიღოთ b, b > 0, a > 0 და 1.

განმარტების მიხედვით, log a b = x, რომელიც უდრის x = b-ს, შესაბამისად log a x = x.

ლოგარითმები, მაგალითები:

ჟურნალი 2 8 = 3, რადგან 2 3 = 8

ჟურნალი 7 49 = 2, რადგან 7 2 = 49

ჟურნალი 5 1/5 = -1, რადგან 5 -1 = 1/5

ათწილადი ლოგარითმი- ეს არის ჩვეულებრივი ლოგარითმი, რომლის ფუძეა 10. აღინიშნება როგორც lg.

ჟურნალი 10 100 = 2, რადგან 10 2 = 100

ბუნებრივი ლოგარითმი- ასევე ჩვეულებრივი ლოგარითმი, ლოგარითმი, მაგრამ ე ფუძით (e = 2,71828... - ირაციონალური რიცხვი). აღინიშნება როგორც ln.

მიზანშეწონილია დაიმახსოვროთ ლოგარითმების ფორმულები ან თვისებები, რადგან ისინი მოგვიანებით დაგვჭირდება ლოგარითმების, ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. მოდით ვიმუშაოთ თითოეულ ფორმულაზე ისევ მაგალითებით.

• ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
  ჟურნალი a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• პროდუქტის ლოგარითმი ჯამის ტოლილოგარითმები
  log a (bc) = log a b + log a c

  ჟურნალი 3 8.1 + ჟურნალი 3 10 = ჟურნალი 3 (8.1*10) = ჟურნალი 3 81 = 4

• კოეფიციენტის ლოგარითმი ლოგარითმების სხვაობის ტოლია
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• ლოგარითმული რიცხვისა და ლოგარითმის ფუძის სიძლიერის თვისებები

  ლოგარითმული რიცხვის მაჩვენებლის log a b m = mlog a b

  ლოგარითმის ფუძის მაჩვენებელი log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  თუ m = n, მივიღებთ log a n b n = log a b

  ჟურნალი 4 9 = ჟურნალი 2 2 3 2 = ჟურნალი 2 3

• ახალ საძირკველზე გადასვლა
  log a b = log c b/log c a,

  თუ c = b, მივიღებთ log b b = 1

  შემდეგ log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

როგორც ხედავთ, ლოგარითმების ფორმულები არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. ახლა, ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითებს რომ გადავხედეთ, შეგვიძლია გადავიდეთ ლოგარითმულ განტოლებაზე. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მაგალითებს უფრო დეტალურად განვიხილავთ სტატიაში: "". Არ გამოტოვოთ!

თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები გადაწყვეტის შესახებ, დაწერეთ ისინი სტატიის კომენტარებში.

შენიშვნა: ჩვენ გადავწყვიტეთ მივიღოთ სხვა კლასის განათლება და სწავლა საზღვარგარეთ, როგორც ვარიანტი.

გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან. ასე რომ, რიცხვის ლოგარითმი ბდაფუძნებული აგანისაზღვრება, როგორც მაჩვენებელი, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).

ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x=log a b, უდრის განტოლების ამოხსნას a x =b.Მაგალითად, ჟურნალი 2 8 = 3რადგან 8 = 2 3 . ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბდაფუძნებული აუდრის თან. ასევე ნათელია, რომ ლოგარითმების თემა მჭიდრო კავშირშია რიცხვის ხარისხების თემასთან.

ლოგარითმებით, როგორც ნებისმიერი რიცხვით, შეგიძლიათ ამის გაკეთება შეკრების, გამოკლების ოპერაციებიდა გარდაიქმნება ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ იმის გამო, რომ ლოგარითმები არ არის სრულიად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ მოქმედებს მათი სპეციალური წესები, რომლებიც ე.წ. ძირითადი თვისებები.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება.

ავიღოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძეებით: შესვლა xდა შესვლა y. შემდეგ შესაძლებელია შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციების შესრულება:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ჟურნალი ა(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = შესვლა x 1 + შესვლა x 2 + შესვლა x 3 + ... + log a x k.

დან ლოგარითმის კოეფიციენტის თეორემაშეიძლება მივიღოთ ლოგარითმის კიდევ ერთი თვისება. საყოველთაოდ ცნობილია, რომ ჟურნალი ა 1 = 0, შესაბამისად

ჟურნალი ა 1 /ბ= ჟურნალი ა 1 - ჟურნალი ბ= -ლოგი ბ.

ეს ნიშნავს, რომ არსებობს თანასწორობა:

log a 1 / b = - log a b.

ორი საპასუხო რიცხვის ლოგარითმებიამავე მიზეზით განსხვავდებიან ერთმანეთისაგან მხოლოდ ნიშნით. Ისე:

ჟურნალი 3 9= - ჟურნალი 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.