LCM-ის უმცირესი საერთო ჯერადი. საერთო გამყოფი და მრავლობითი

ონლაინ კალკულატორისაშუალებას გაძლევთ სწრაფად იპოვოთ როგორც ორი, ასევე ნებისმიერი სხვა რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი და უმცირესი საერთო ჯერადი.

კალკულატორი GCD და LCM-ის საპოვნელად

იპოვეთ GCD და LOC

ნაპოვნია GCD და LOC: 5806

როგორ გამოვიყენოთ კალკულატორი

• შეიყვანეთ ნომრები შეყვანის ველში
• თუ არასწორ სიმბოლოებს შეიყვანთ, შეყვანის ველი მონიშნული იქნება წითლად
• დააჭირეთ ღილაკს "ძებნა GCD და LOC".

როგორ შეიყვანოთ ნომრები

• რიცხვები შეიყვანება გამოყოფილი ინტერვალით, წერტილით ან მძიმით
• შეყვანილი ნომრების სიგრძე შეზღუდული არ არის, ასე რომ იპოვეთ gcd და lcd გრძელი ნომრებიარ იქნება რთული

რა არის GCD და NOC?

უდიდესი საერთო გამყოფირამდენიმე რიცხვი არის უდიდესი ბუნებრივი მთელი რიცხვი, რომლითაც ყველა საწყისი რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე. ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შემოკლებულია როგორც GCD.
უმცირესი საერთო ჯერადირამდენიმე რიცხვი არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ თავდაპირველ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. უმცირესი საერთო ჯერადი შემოკლებულია როგორც NOC.

როგორ შევამოწმოთ, რომ რიცხვი იყოფა სხვა რიცხვზე ნაშთის გარეშე?

იმის გასარკვევად, იყო თუ არა ერთი რიცხვი მეორეზე ნაშთის გარეშე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ რიცხვების გაყოფის ზოგიერთი თვისება. შემდეგ მათი გაერთიანებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ ზოგიერთი მათგანის გაყოფა და მათი კომბინაციები.

რიცხვების გაყოფის ზოგიერთი ნიშანი

1. რიცხვის გაყოფის ტესტი 2-ზე
იმის დასადგენად, იყოფა თუ არა რიცხვი ორზე (ლუწია თუ არა), საკმარისია გადავხედოთ ამ რიცხვის ბოლო ციფრს: თუ ის უდრის 0-ს, 2-ს, 4-ს, 6-ს თუ 8-ს, მაშინ რიცხვი ლუწია. რაც ნიშნავს, რომ ის იყოფა 2-ზე.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 2-ზე.
გამოსავალი:ჩვენ ვუყურებთ ბოლო ციფრს: 8 - ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა ორზე.

2. რიცხვის გაყოფის ტესტი 3-ზე
რიცხვი იყოფა 3-ზე, როცა მისი ციფრების ჯამი იყოფა სამზე. ამრიგად, იმის დასადგენად, იყოფა თუ არა რიცხვი 3-ზე, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ციფრების ჯამი და შეამოწმოთ იყო თუ არა ის 3-ზე. მაშინაც კი, თუ ციფრების ჯამი ძალიან დიდია, შეგიძლიათ იგივე პროცესი გაიმეოროთ.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 3-ზე.
გამოსავალი:ჩვენ ვითვლით რიცხვების ჯამს: 3+4+9+3+8 = 27. 27 იყოფა 3-ზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა სამზე.

3. რიცხვის გაყოფის ტესტი 5-ზე
რიცხვი იყოფა 5-ზე, როცა მისი ბოლო ციფრი არის ნული ან ხუთი.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 5-ზე.
გამოსავალი:შეხედეთ ბოლო ციფრს: 8 ნიშნავს, რომ რიცხვი არ იყოფა ხუთზე.

4. რიცხვის გაყოფის ტესტი 9-ზე
ეს ნიშანი ძალიან ჰგავს სამზე გაყოფის ნიშანს: რიცხვი იყოფა 9-ზე, როცა მისი ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 9-ზე.
გამოსავალი:ჩვენ ვითვლით რიცხვების ჯამს: 3+4+9+3+8 = 27. 27 იყოფა 9-ზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა ცხრაზე.

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის GCD და LCM

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის gcd

ყველაზე მარტივი გზითორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის გამოთვლა არის ამ რიცხვების ყველა შესაძლო გამყოფის პოვნა და მათგან ყველაზე დიდის არჩევა.

მოდით განვიხილოთ ეს მეთოდი GCD(28, 36) პოვნის მაგალითის გამოყენებით:

1. ვახარისხებთ ორივე რიცხვს: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. ჩვენ ვპოულობთ საერთო ფაქტორებს, ანუ მათ, რაც ორივე რიცხვს აქვს: 1, 2 და 2.
3. ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ ფაქტორების ნამრავლს: 1 2 2 = 4 - ეს არის 28 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის LCM

არსებობს ორი ყველაზე გავრცელებული გზა ორი რიცხვის უმცირესი ჯერადის მოსაძებნად. პირველი მეთოდი არის ის, რომ თქვენ შეგიძლიათ ჩაწეროთ ორი რიცხვის პირველი ჯერადები და შემდეგ აირჩიოთ რიცხვი, რომელიც იქნება ორივე რიცხვისთვის საერთო და ამავე დროს ყველაზე პატარა. და მეორე არის ამ რიცხვების gcd-ის პოვნა. განვიხილოთ მხოლოდ ის.

LCM-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ორიგინალური რიცხვების ნამრავლი და შემდეგ გაყოთ იგი ადრე ნაპოვნი GCD-ზე. ვიპოვოთ LCM იგივე 28 და 36 რიცხვებისთვის:

1. იპოვეთ 28 და 36 რიცხვების ნამრავლი: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), როგორც უკვე ცნობილია, უდრის 4-ს
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

რამდენიმე რიცხვისთვის GCD და LCM-ის პოვნა

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შეიძლება მოიძებნოს რამდენიმე რიცხვისთვის და არა მხოლოდ ორისთვის. ამისათვის, ყველაზე დიდი საერთო გამყოფისთვის მოსაძებნი რიცხვები იშლება მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ იპოვება ამ რიცხვების საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი კავშირი რამდენიმე რიცხვის gcd-ის საპოვნელად: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

მსგავსი ურთიერთობა ვრცელდება უმცირეს საერთო ჯერადზე: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

მაგალითი:იპოვეთ GCD და LCM 12, 32 და 36 ნომრებისთვის.

1. ჯერ გავამრავლოთ რიცხვები: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. ვიპოვოთ საერთო ფაქტორები: 1, 2 და 2.
3. მათი პროდუქტი მისცემს GCD-ს: 1·2·2 = 4
4. ახლა ვიპოვოთ LCM: ამისათვის ჯერ ვიპოვოთ LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. სამივე რიცხვის LCM-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ LCM, ჯერ უნდა დაადგინოთ ტერმინი "მრავალჯერადი".

A-ის ჯერადი არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა A-ზე ნაშთების გარეშე.ამგვარად, რიცხვები, რომლებიც 5-ის ჯერადები არიან, შეიძლება ჩაითვალოს 15, 20, 25 და ა.შ.

შეიძლება იყოს გარკვეული რაოდენობის გამყოფების შეზღუდული რაოდენობა, მაგრამ არის უსასრულო რაოდენობის ჯერადი.

ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა მათზე ნაშთის დატოვების გარეშე.

როგორ მოვძებნოთ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი

რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) (ორი, სამი ან მეტი) არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა ყველა ამ რიცხვზე.

LOC-ის მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ რამდენიმე მეთოდი.

მცირე რიცხვებისთვის მოსახერხებელია ამ რიცხვების ყველა ჯერადი ჩაწერა სტრიქონზე, სანამ მათ შორის რაიმე საერთოს არ იპოვით. მრავლობითები აღინიშნება დიდი ასო K-ით.

მაგალითად, 4-ის ჯერადი შეიძლება ჩაიწეროს ასე:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

ამრიგად, ხედავთ, რომ 4 და 6 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის რიცხვი 24. ეს აღნიშვნა კეთდება შემდეგნაირად:

LCM(4, 6) = 24

თუ რიცხვები დიდია, იპოვეთ სამი ან მეტი რიცხვის საერთო ჯერადი, მაშინ უმჯობესია გამოიყენოთ LCM-ის გამოთვლის სხვა მეთოდი.

დავალების შესასრულებლად, მოცემული რიცხვები უნდა გადაანაწილოთ მარტივ ფაქტორებად.

ჯერ უნდა ჩაწეროთ ყველაზე დიდი რიცხვის დაშლა ხაზზე, მის ქვემოთ კი - დანარჩენი.

თითოეული რიცხვის გაფართოებაში შეიძლება იყოს სხვადასხვა რაოდენობითმულტიპლიკატორები.

მაგალითად, 50 და 20 რიცხვები გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად.

უფრო მცირე რიცხვის გაფართოებისას უნდა მონიშნოთ ის ფაქტორები, რომლებიც აკლია პირველი უდიდესი რიცხვის გაფართოებას და შემდეგ დაამატეთ ისინი. წარმოდგენილ მაგალითში ორი აკლია.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ 20-ისა და 50-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

ასე რომ, პირველადი ფაქტორების პროდუქტი მეტიხოლო მეორე რიცხვის ფაქტორები, რომლებიც არ შედიოდნენ უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებაში, იქნება უმცირესი საერთო ჯერადი.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა დაასახელოთ ისინი ყველა მარტივ ფაქტორებად, როგორც წინა შემთხვევაში.

მაგალითად, შეგიძლიათ იპოვოთ 16, 24, 36 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

ამრიგად, თექვსმეტის გაფართოებიდან მხოლოდ ორი ორი არ იყო ჩართული უფრო დიდი რიცხვის ფაქტორიზაციაში (ერთი არის ოცდაოთხი-ის გაფართოებაში).

ამრიგად, ისინი უნდა დაემატოს უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებას.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

არის უმცირესი საერთო ჯერადის განსაზღვრის განსაკუთრებული შემთხვევები. ასე რომ, თუ რომელიმე რიცხვი ნაშთის გარეშე შეიძლება გაიყოს მეორეზე, მაშინ ამ რიცხვებიდან უფრო დიდი იქნება უმცირესი საერთო ჯერადი.

მაგალითად, თორმეტისა და ოცდაოთხის LCM არის ოცდაოთხი.

თუ თქვენ უნდა იპოვოთ ერთმანეთის უმცირესი საერთო ჯერადი მარტივი რიცხვები, რომლებსაც არ აქვთ იდენტური გამყოფები, მაშინ მათი LCM ტოლი იქნება მათი ნამრავლის.

მაგალითად, LCM (10, 11) = 110.

მაგრამ ბევრი მთელი რიცხვებიასევე იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვებზე.

Მაგალითად:

რიცხვი 12 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე;

რიცხვი 36 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე, 18-ზე, 36-ზე.

რიცხვები, რომლებითაც რიცხვი იყოფა მთელზე (12-ისთვის ეს არის 1, 2, 3, 4, 6 და 12) ეწოდება რიცხვების გამყოფები. ნატურალური რიცხვის გამყოფი ა- არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც ყოფს მოცემულ რიცხვს აუკვალოდ. ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აქვს ორზე მეტი გამყოფი, ეწოდება კომპოზიტური .

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ 12 და 36 რიცხვებს აქვთ საერთო ფაქტორები. ეს რიცხვებია: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ამ რიცხვების უდიდესი გამყოფი არის 12. საერთო გამყოფიორი მოცემული რიცხვი ადა ბ- ეს ის რიცხვია, რომლითაც ორივე მოცემული რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე ადა ბ.

საერთო ჯერადებირამდენიმე რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე. Მაგალითად 9, 18 და 45 რიცხვებს აქვთ 180-ის საერთო ჯერადი. მაგრამ 90 და 360 ასევე მათი საერთო ჯერადებია. ყველა საერთო ჯერადს შორის ყოველთვის არის უმცირესი, ამ შემთხვევაში ის არის 90. ამ რიცხვს უწოდებენ ყველაზე პატარასაერთო მრავალჯერადი (CMM).

LCM ყოველთვის არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც უფრო დიდი უნდა იყოს იმ რიცხვებზე, რომლებისთვისაც ის არის განსაზღვრული.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). Თვისებები.

კომუტატიულობა:

ასოციაციურობა:

კერძოდ, თუ და არის ერთობლივი რიცხვები, მაშინ:

ორი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი მდა ნარის ყველა სხვა საერთო ჯერადის გამყოფი მდა ნ. უფრო მეტიც, საერთო ჯერადების ნაკრები მ, ნემთხვევა LCM-ის ჯერადების სიმრავლეს( მ, ნ).

ასიმპტოტიკა შეიძლება გამოიხატოს ზოგიერთი რიცხვის თეორიული ფუნქციით.

Ისე, ჩებიშევის ფუნქცია. და:

ეს გამომდინარეობს ლანდაუს ფუნქციის განსაზღვრებიდან და თვისებებიდან g(n).

რაც გამომდინარეობს მარტივი რიცხვების განაწილების კანონიდან.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) პოვნა.

NOC( ა, ბ) შეიძლება გამოითვალოს რამდენიმე გზით:

1. თუ ცნობილია უდიდესი საერთო გამყოფი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მისი კავშირი LCM-თან:

2. ცნობილი იყოს ორივე რიცხვის კანონიკური დაშლა მარტივ ფაქტორებად:

სად p 1,...,p k- სხვადასხვა მარტივი რიცხვები და d 1,...,d kდა e 1,...,e k- არაუარყოფითი მთელი რიცხვები (ისინი შეიძლება იყოს ნულები, თუ შესაბამისი მარტივი არ არის გაფართოებაში).

შემდეგ NOC ( ა,ბ) გამოითვლება ფორმულით:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, LCM დაშლა შეიცავს ყველა მარტივ ფაქტორს, რომელიც შედის რიცხვების მინიმუმ ერთ დაშლაში. ა, ბ, და აღებულია ამ მულტიპლიკატორის ორი მაჩვენებლიდან ყველაზე დიდი.

მაგალითი:

რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის გამოთვლა შეიძლება შემცირდეს ორი რიცხვის LCM-ის რამდენიმე თანმიმდევრულ გამოთვლებამდე:

წესი.რიცხვების სერიის LCM-ის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

- რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად;

- გადაიტანეთ უდიდესი დაშლა (მოცემული ყველაზე დიდი რაოდენობის ფაქტორების ნამრავლი) სასურველი პროდუქტის ფაქტორებზე და შემდეგ დაამატეთ ფაქტორები სხვა რიცხვების დაშლისგან, რომლებიც არ ჩანს პირველ რიცხვში ან არ ჩანს მასში. ნაკლებჯერ;

— მარტივი ფაქტორების შედეგად მიღებული ნამრავლი იქნება მოცემული რიცხვების LCM.

ნებისმიერ ორ ან მეტ ნატურალურ რიცხვს აქვს საკუთარი LCM. თუ რიცხვები არ არის ერთმანეთის ჯერადი ან არ აქვთ ერთი და იგივე ფაქტორები გაფართოებაში, მაშინ მათი LCM ტოლია ამ რიცხვების ნამრავლის.

28 რიცხვის პირველ ფაქტორებს (2, 2, 7) ემატება კოეფიციენტი 3 (რიცხვი 21), შედეგად მიღებული ნამრავლი (84) იქნება ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც იყოფა 21-ზე და 28-ზე.

უდიდესი რიცხვის 30-ის პირველ ფაქტორებს ავსებს 25 რიცხვის მე-5 კოეფიციენტი, შედეგად მიღებული ნამრავლი 150 მეტია უდიდეს რიცხვზე 30 და იყოფა ყველა მოცემულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. ეს არის უმცირესი შესაძლო ნამრავლი (150, 250, 300...), რომელიც არის ყველა მოცემული რიცხვის ჯერადი.

რიცხვები 2,3,11,37 არის მარტივი რიცხვები, ამიტომ მათი LCM უდრის მოცემული რიცხვების ნამრავლს.

წესი. მარტივი რიცხვების LCM-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ყველა ეს რიცხვი ერთად.

კიდევ ერთი ვარიანტი:

რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) მოსაძებნად გჭირდებათ:

1) წარმოადგინეთ თითოეული რიცხვი, როგორც მისი მარტივი ფაქტორების ნამრავლი, მაგალითად:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) ჩამოწერეთ ყველა ძირითადი ფაქტორის ძალა:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) ჩამოწერეთ თითოეული ამ რიცხვის ყველა მარტივი გამყოფი (გამრავლება);

4) აირჩიეთ თითოეული მათგანის უდიდესი ხარისხი, რომელიც გვხვდება ამ რიცხვების ყველა გაფართოებაში;

5) გაამრავლეთ ეს ძალა.

მაგალითი. იპოვეთ რიცხვების LCM: 168, 180 და 3024.

გამოსავალი. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

ჩვენ ვწერთ ყველა პირველ გამყოფთა უდიდეს ძალებს და ვამრავლებთ მათ:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

გავაგრძელოთ საუბარი უმცირეს საერთო ჯერადზე, რომელიც დავიწყეთ განყოფილებაში „LCM - ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი, განმარტება, მაგალითები“. ამ თემაში განვიხილავთ გზებს სამი ან მეტი რიცხვისთვის LCM-ის პოვნისთვის და განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ ვიპოვოთ უარყოფითი რიცხვის LCM.

Yandex.RTB R-A-339285-1

უმცირესი საერთო მრავალჯერადი (LCM) გამოთვლა GCD-ის საშუალებით

ჩვენ უკვე დავადგინეთ კავშირი უმცირეს საერთო ჯერადსა და უდიდეს საერთო გამყოფს შორის. ახლა მოდით ვისწავლოთ როგორ განვსაზღვროთ LCM GCD-ის მეშვეობით. პირველი, მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს დადებითი რიცხვებისთვის.

განმარტება 1

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ უმცირესი საერთო ჯერადი უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით ფორმულის გამოყენებით LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

მაგალითი 1

თქვენ უნდა იპოვოთ 126 და 70 ნომრების LCM.

გამოსავალი

ავიღოთ a = 126, b = 70. მოდით ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობები უმცირესი საერთო ჯერადი გამოთვლის ფორმულაში უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

პოულობს 70 და 126 რიცხვების gcd-ს. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ევკლიდეს ალგორითმი: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, შესაბამისად GCD (126 , 70) = 14 .

მოდით გამოვთვალოთ LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

პასუხი: LCM(126, 70) = 630.

მაგალითი 2

იპოვეთ რიცხვები 68 და 34.

გამოსავალი

GCD ამ შემთხვევაში ძნელი არ არის, რადგან 68 იყოფა 34-ზე. მოდით გამოვთვალოთ უმცირესი საერთო ჯერადი ფორმულის გამოყენებით: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

პასუხი: LCM(68, 34) = 68.

ამ მაგალითში გამოვიყენეთ a და b დადებითი მთელი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის წესი: თუ პირველი რიცხვი იყოფა მეორეზე, ამ რიცხვების LCM პირველი რიცხვის ტოლი იქნება.

LCM-ის პოვნა რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით

ახლა მოდით შევხედოთ LCM-ის პოვნის მეთოდს, რომელიც დაფუძნებულია რიცხვების ფაქტორებად მარტივ ფაქტორებად.

განმარტება 2

უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, ჩვენ გვჭირდება რამდენიმე მარტივი ნაბიჯის შესრულება:

• ჩვენ ვადგენთ ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს იმ რიცხვებისა, რომლებისთვისაც უნდა ვიპოვოთ LCM;
• ჩვენ გამოვრიცხავთ ყველა ძირითად ფაქტორს მათი შედეგად მიღებული პროდუქტებიდან;
• საერთო მარტივი ფაქტორების აღმოფხვრის შემდეგ მიღებული ნამრავლი იქნება მოცემული რიცხვების LCM-ის ტოლი.

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის ეს მეთოდი ეფუძნება ტოლობას LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). თუ დავაკვირდებით ფორმულას, ცხადი გახდება: a და b რიცხვების ნამრავლი ტოლია ყველა იმ ფაქტორის ნამრავლის, რომლებიც მონაწილეობენ ამ ორი რიცხვის დაშლაში. ამ შემთხვევაში, ორი რიცხვის gcd პროდუქტის ტოლიყველა მარტივი ფაქტორი, რომელიც ერთდროულად არის მოცემული ორი რიცხვის ფაქტორიზაციებში.

მაგალითი 3

გვაქვს ორი რიცხვი 75 და 210. ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ისინი შემდეგნაირად: 75 = 3 5 5და 210 = 2 3 5 7. თუ შეადგენთ ორი ორიგინალური რიცხვის ყველა ფაქტორის ნამრავლს, მიიღებთ: 2 3 3 5 5 5 7.

თუ გამოვრიცხავთ 3 და 5 რიცხვებისთვის საერთო ფაქტორებს, მივიღებთ შემდეგი ფორმის ნამრავლს: 2 3 5 5 7 = 1050. ეს პროდუქტი იქნება ჩვენი LCM 75 და 210 ნომრებისთვის.

მაგალითი 4

იპოვეთ რიცხვების LCM 441 და 700 , ორივე რიცხვის ფაქტორებით მარტივ ფაქტორებად.

გამოსავალი

მოდი ვიპოვოთ პირობაში მოცემული რიცხვების ყველა მარტივი ფაქტორი:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

ჩვენ ვიღებთ რიცხვთა ორ ჯაჭვს: 441 = 3 3 7 7 და 700 = 2 2 5 5 7.

ყველა ფაქტორის ნამრავლს, რომელიც მონაწილეობდა ამ რიცხვების დაშლაში, ექნება ფორმა: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. მოდი ვიპოვოთ საერთო ფაქტორები. ეს არის ნომერი 7. გამოვრიცხოთ ის მთლიანი პროდუქტიდან: 2 2 3 3 5 5 7 7. გამოდის, რომ NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

პასუხი: LOC(441, 700) = 44,100.

მოდით მივცეთ LCM-ის პოვნის მეთოდის კიდევ ერთი ფორმულირება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლით.

განმარტება 3

ადრე ჩვენ გამოვრიცხავდით ორივე რიცხვისთვის საერთო ფაქტორების საერთო რაოდენობას. ახლა ჩვენ ამას სხვაგვარად გავაკეთებთ:

• მოდით გავამრავლოთ ორივე რიცხვი მარტივ ფაქტორებად:
• პირველი რიცხვის უბრალო ფაქტორების ნამრავლს დაამატეთ მეორე რიცხვის გამოტოვებული ფაქტორები;
• ვიღებთ პროდუქტს, რომელიც იქნება ორი რიცხვის სასურველი LCM.

მაგალითი 5

დავუბრუნდეთ ციფრებს 75 და 210, რისთვისაც უკვე ვეძებდით LCM-ს ერთ-ერთ წინა მაგალითში. მოდით დავყოთ ისინი მარტივ ფაქტორებად: 75 = 3 5 5და 210 = 2 3 5 7. 3, 5 და ფაქტორების ნამრავლზე 5 რიცხვები 75 დაამატეთ დაკარგული ფაქტორები 2 და 7 ნომრები 210. ჩვენ ვიღებთ: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .ეს არის 75 და 210 ნომრების LCM.

მაგალითი 6

აუცილებელია გამოვთვალოთ 84 და 648 ნომრების LCM.

გამოსავალი

მოდით შევადაროთ რიცხვები მდგომარეობიდან მარტივ ფაქტორებად: 84 = 2 2 3 7და 648 = 2 2 2 3 3 3 3. პროდუქტს დავუმატოთ ფაქტორები 2, 2, 3 და 7 რიცხვები 84 აკლია ფაქტორები 2, 3, 3 და
3 ნომრები 648. ჩვენ ვიღებთ პროდუქტს 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.ეს არის 84-ისა და 648-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

პასუხი: LCM(84, 648) = 4,536.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნა

მიუხედავად იმისა, თუ რამდენ რიცხვთან გვაქვს საქმე, ჩვენი მოქმედებების ალგორითმი ყოველთვის იგივე იქნება: თანმიმდევრულად ვიპოვით ორი რიცხვის LCM-ს. ამ შემთხვევისთვის არსებობს თეორემა.

თეორემა 1

დავუშვათ, რომ გვაქვს მთელი რიცხვები a 1, a 2,…, a k. NOC მ კეს რიცხვები გვხვდება m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) თანმიმდევრული გამოთვლით.

ახლა ვნახოთ, როგორ შეიძლება გამოიყენოს თეორემა კონკრეტული ამოცანების გადასაჭრელად.

მაგალითი 7

თქვენ უნდა გამოთვალოთ ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 140, 9, 54 და 250 .

გამოსავალი

მოდით შემოვიტანოთ აღნიშვნა: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

დავიწყოთ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) გამოთვლით. გამოვიყენოთ ევკლიდეს ალგორითმი 140 და 9 რიცხვების GCD-ის გამოსათვლელად: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. ვიღებთ: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. აქედან გამომდინარე, m 2 = 1,260.

ახლა მოდით გამოვთვალოთ იგივე ალგორითმის გამოყენებით m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). გამოთვლების დროს ვიღებთ m 3 = 3 780.

ჩვენ უბრალოდ უნდა გამოვთვალოთ m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). ჩვენ მივყვებით იმავე ალგორითმს. ვიღებთ m 4 = 94 500.

მაგალითის მდგომარეობიდან ოთხი რიცხვის LCM არის 94500.

პასუხი: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

როგორც ხედავთ, გამოთვლები მარტივია, მაგრამ საკმაოდ შრომატევადი. დროის დაზოგვის მიზნით, შეგიძლიათ სხვა გზით წახვიდეთ.

განმარტება 4

გთავაზობთ მოქმედებების შემდეგ ალგორითმს:

• ჩვენ ვშლით ყველა რიცხვს მარტივ ფაქტორებად;
• პირველი რიცხვის ფაქტორების ნამრავლს ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს მეორე რიცხვის ნამრავლიდან;
• წინა ეტაპზე მიღებულ პროდუქტს ვუმატებთ მესამე რიცხვის გამოტოვებულ ფაქტორებს და ა.შ.
• შედეგად მიღებული ნამრავლი იქნება მდგომარეობიდან ყველა რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი.

მაგალითი 8

თქვენ უნდა იპოვოთ ხუთი რიცხვის LCM 84, 6, 48, 7, 143.

გამოსავალი

მოდით გავამრავლოთ ხუთივე რიცხვი მარტივ ფაქტორებად: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. მარტივი რიცხვები, რომელიც არის რიცხვი 7, არ შეიძლება გაერთიანდეს მარტივ ფაქტორებად. ასეთი რიცხვები ემთხვევა მათ დაშლას მარტივ ფაქტორებად.

ახლა ავიღოთ 84 რიცხვის 2, 2, 3 და 7 მარტივი ფაქტორების ნამრავლი და დავუმატოთ მეორე რიცხვის გამოტოვებული ფაქტორები. ჩვენ დავშალეთ რიცხვი 6 2-ად და 3-ად. ეს ფაქტორები უკვე პირველი რიცხვის ნამრავლშია. ამიტომ, ჩვენ გამოვტოვებთ მათ.

ჩვენ ვაგრძელებთ გამოტოვებული მამრავლების დამატებას. გადავიდეთ რიცხვ 48-ზე, რომლის უბრალო ფაქტორების ნამრავლიდან ვიღებთ 2 და 2-ს. შემდეგ მეოთხე რიცხვიდან ვამატებთ 7-ის მარტივ კოეფიციენტს და მეხუთე რიცხვის 11-ისა და 13-ის კოეფიციენტებს. ვიღებთ: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. ეს არის თავდაპირველი ხუთი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი.

პასუხი: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

უარყოფითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა უარყოფითი რიცხვები, ეს რიცხვები ჯერ უნდა შეიცვალოს საპირისპირო ნიშნის მქონე რიცხვებით, შემდეგ კი გამოთვლები უნდა განხორციელდეს ზემოაღნიშნული ალგორითმების გამოყენებით.

მაგალითი 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) და LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

ასეთი ქმედებები დასაშვებია იმის გამო, რომ თუ მივიღებთ იმას ადა − ა- საპირისპირო რიცხვები,
შემდეგ რიცხვის ჯერადთა სიმრავლე აემთხვევა რიცხვის ჯერადთა სიმრავლეს − ა.

მაგალითი 10

აუცილებელია უარყოფითი რიცხვების LCM-ის გამოთვლა − 145 და − 45 .

გამოსავალი

მოდით შევცვალოთ ნომრები − 145 და − 45 მათ საპირისპირო რიცხვებს 145 და 45 . ახლა, ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, მანამდე რომ დავადგინეთ GCD ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით.

მივიღებთ, რომ რიცხვების LCM არის − 145 და − 45 უდრის 1 305 .

პასუხი: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

განვიხილოთ სამი გზა უმცირესი საერთო ჯერადის მოსაძებნად.

მოძიება ფაქტორიზაციით

პირველი მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა მოცემული რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით.

ვთქვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რიცხვების LCM: 99, 30 და 28. ამისათვის მოდით, თითოეული ეს რიცხვი გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად:

იმისათვის, რომ სასურველი რიცხვი გაიყოს 99-ზე, 30-ზე და 28-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მასში შევიდეს ამ გამყოფების ყველა ძირითადი ფაქტორი. ამისათვის ჩვენ უნდა ავიყვანოთ ამ რიცხვების ყველა ძირითადი ფაქტორი მაქსიმალურ სიმძლავრემდე და გავამრავლოთ ისინი:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

ამრიგად, LCM (99, 30, 28) = 13,860. 13,860-ზე ნაკლები სხვა რიცხვი არ იყოფა 99-ზე, 30-ზე ან 28-ზე.

მოცემული რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, თქვენ შეადარეთ ისინი მათ პირველ ფაქტორებად, შემდეგ აიღეთ თითოეული მარტივი ფაქტორი უდიდესი მაჩვენებლით, რომელშიც ის ჩანს და გაამრავლეთ ეს ფაქტორები ერთად.

ვინაიდან შედარებით მარტივ რიცხვებს არ აქვთ საერთო მარტივი ფაქტორები, მათი უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვების ნამრავლს. მაგალითად, სამი რიცხვი: 20, 49 და 33 შედარებით მარტივია. Ამიტომაც

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

იგივე უნდა გაკეთდეს სხვადასხვა მარტივი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნისას. მაგალითად, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

მოძიება შერჩევით

მეორე მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა შერჩევით.

მაგალითი 1. როდესაც მოცემული რიცხვებიდან უდიდესი იყოფა სხვა მოცემულ რიცხვზე, მაშინ ამ რიცხვების LCM უდრის მათგან უდიდეს. მაგალითად, მოცემულია ოთხი რიცხვი: 60, 30, 10 და 6. თითოეული მათგანი იყოფა 60-ზე, ამიტომ:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

სხვა შემთხვევებში, უმცირესი საერთო ჯერადი მოსაძებნად, გამოიყენება შემდეგი პროცედურა:

1. განსაზღვრეთ ყველაზე დიდი რიცხვი მოცემული რიცხვებიდან.
2. შემდეგ ვპოულობთ რიცხვებს, რომლებიც მრავლობითია ყველაზე დიდი რაოდენობა, გავამრავლოთ იგი ნატურალურ რიცხვებზე გაზრდის თანმიმდევრობით და შევამოწმოთ არის თუ არა მიღებული ნამრავლი დანარჩენ მოცემულ რიცხვებზე.

მაგალითი 2. მოცემულია სამი რიცხვი 24, 3 და 18. ჩვენ განვსაზღვრავთ მათგან ყველაზე დიდს - ეს არის რიცხვი 24. შემდეგ, ვპოულობთ რიცხვებს, რომლებიც 24-ის ჯერადი არიან, ვამოწმებთ, იყო თუ არა თითოეული მათგანი 18-ზე და 3-ზე:

24 · 1 = 24 - იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 18-ზე.

24 · 2 = 48 - იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 18-ზე.

24 · 3 = 72 - იყოფა 3-ზე და 18-ზე.

ამრიგად, LCM (24, 3, 18) = 72.

პოვნა LCM-ის თანმიმდევრული მოძიებით

მესამე მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა LCM-ის თანმიმდევრული პოვნის გზით.

ორი მოცემული რიცხვის LCM ტოლია ამ რიცხვების ნამრავლის გაყოფილი მათ უდიდეს საერთო გამყოფზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ ორი მოცემული რიცხვის LCM: 12 და 8. განსაზღვრეთ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი: GCD (12, 8) = 4. გაამრავლეთ ეს რიცხვები:

ჩვენ ვყოფთ პროდუქტს მათი gcd-ით:

ამრიგად, LCM (12, 8) = 24.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად გამოიყენეთ შემდეგი პროცედურა:

1. პირველ რიგში, იპოვნეთ ამ რიცხვებიდან ნებისმიერი ორის LCM.
2. შემდეგ ნაპოვნი უმცირესი საერთო ჯერადი და მესამეს LCM მოცემული ნომერი.
3. შემდეგ, მიღებული უმცირესი საერთო ჯერადი და მეოთხე რიცხვის LCM და ა.შ.
4. ამრიგად, LCM-ის ძებნა გრძელდება მანამ, სანამ არის ნომრები.

მაგალითი 2. ვიპოვოთ სამი მოცემული რიცხვის LCM: 12, 8 და 9. წინა მაგალითში უკვე ვიპოვეთ 12 და 8 რიცხვების LCM (ეს არის რიცხვი 24). რჩება 24 რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი და მესამე მოცემული რიცხვის - 9-ის პოვნა. დაადგინეთ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი: GCD (24, 9) = 3. გაამრავლეთ LCM რიცხვით 9:

ჩვენ ვყოფთ პროდუქტს მათი gcd-ით:

ამრიგად, LCM (12, 8, 9) = 72.