ლოგარითმების გამრავლება იგივე საფუძვლების ფორმულით. ლოგარითმის წესები ლოგარითმებთან მუშაობისთვის

ე ნომრის საფუძველზე: ln x = log e x.

ბუნებრივი ლოგარითმი ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში, რადგან მის წარმოებულს აქვს უმარტივესი ფორმა: (ln x)′ = 1/ x.

დაფუძნებული განმარტებები, ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველია რიცხვი ე:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

y = ფუნქციის გრაფიკი n x.

ბუნებრივი ლოგარითმის გრაფიკი (ფუნქციები y = n x) მიიღება ექსპონენციალური გრაფიკიდან სარკისებური ასახვით y = x სწორი ხაზის მიმართ.

ბუნებრივი ლოგარითმი განისაზღვრება x ცვლადის დადებითი მნიშვნელობებისთვის. იგი მონოტონურად იზრდება მისი განმარტების დომენში.

x-ზე → 0 ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის მინუს უსასრულობა (-∞).

როგორც x → + ∞, ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის პლუს უსასრულობა (+ ∞). დიდი x-ისთვის ლოგარითმი საკმაოდ ნელა იზრდება. ნებისმიერი დენის ფუნქცია x a დადებითი მაჩვენებლით a იზრდება უფრო სწრაფად ვიდრე ლოგარითმი.

ბუნებრივი ლოგარითმის თვისებები

განსაზღვრების დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება

ბუნებრივი ლოგარითმი არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.

ln x მნიშვნელობები

ln 1 = 0

ძირითადი ფორმულები ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის

შებრუნებული ფუნქციის განმარტებიდან გამომდინარე ფორმულები:

ლოგარითმების ძირითადი თვისება და მისი შედეგები

ბაზის შეცვლის ფორმულა

ნებისმიერი ლოგარითმი შეიძლება გამოიხატოს ბუნებრივი ლოგარითმებით ბაზის ჩანაცვლების ფორმულის გამოყენებით:

ამ ფორმულების მტკიცებულებები წარმოდგენილია განყოფილებაში "ლოგარითმი".

ინვერსიული ფუნქცია

ბუნებრივი ლოგარითმის ინვერსია არის მაჩვენებელი.

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ.

წარმოებული ln x

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
x მოდულის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა > > >

ინტეგრალური

ინტეგრალი გამოითვლება ნაწილების ინტეგრირებით:
.
Ისე,

გამოთქმები რთული რიცხვების გამოყენებით

განვიხილოთ z რთული ცვლადის ფუნქცია:
.
გამოვხატოთ რთული ცვლადი ზმოდულის საშუალებით რდა არგუმენტი φ :
.
ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს:
.
ან
.
არგუმენტი φ არ არის ცალსახად განსაზღვრული. თუ დააყენებთ
, სადაც n არის მთელი რიცხვი,
ეს იქნება იგივე რიცხვი სხვადასხვა n-სთვის.

Ამიტომაც ბუნებრივი ლოგარითმი, როგორც რთული ცვლადის ფუნქცია, არ არის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.

დენის სერიის გაფართოება

როდესაც გაფართოება ხდება:

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.

1. შეამოწმეთ არის თუ არა უარყოფითი რიცხვები თუ ერთი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ.ეს მეთოდი გამოიყენება ფორმის გამონათქვამებისთვის ჟურნალი b⁡ (x) ჟურნალი b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). თუმცა, ეს არ არის შესაფერისი ზოგიერთი განსაკუთრებული შემთხვევებისთვის:

   • უარყოფითი რიცხვის ლოგარითმი არ არის განსაზღვრული ნებისმიერ ბაზაში (მაგალითად, ჟურნალი ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3))ან ჟურნალი 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). ამ შემთხვევაში დაწერეთ "არ არის გამოსავალი".
   • ნებისმიერი ფუძის ნულის ლოგარითმი ასევე განუსაზღვრელია. თუ დაგიჭერენ ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), ჩაწერეთ "არ არის გამოსავალი".
   • ლოგარითმი ერთიდან ნებისმიერ ბაზაზე ( ჟურნალი ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) ყოველთვის ნულია, რადგან x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1)ყველა ღირებულებისთვის x. დაწერეთ 1 ამ ლოგარითმის ნაცვლად და არ გამოიყენოთ ქვემოთ მოცემული მეთოდი.
   • თუ ლოგარითმებს აქვთ სხვადასხვა ფუძე, მაგალითად l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), და არ არის შემცირებული მთელ რიცხვებად, გამოხატვის მნიშვნელობა ვერ მოიძებნება ხელით.

2. გამოთქმის გადაქცევა ერთ ლოგარითმად.თუ გამოთქმა ზემოთ ჩამოთვლილთაგან არ არის განსაკუთრებული შემთხვევები, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთი ლოგარითმი. ამისათვის გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა: ჟურნალი b ⁡ (x) ჟურნალი b ⁡ (ა) = ჟურნალი a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • მაგალითი 1: განვიხილოთ გამონათქვამი ჟურნალი ⁡ 16 ჟურნალი ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     პირველი, მოდით წარმოვადგინოთ გამოხატულება, როგორც ერთი ლოგარითმი ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით: ჟურნალი ⁡ 16 ჟურნალი ⁡ 2 = ჟურნალი 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • ლოგარითმის „ფუძის შეცვლის“ ეს ფორმულა მომდინარეობს ლოგარითმის ძირითადი თვისებებიდან.

3. თუ შესაძლებელია, შეაფასეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ხელით.Პოვნა შესვლა a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x))წარმოიდგინეთ გამოთქმა " ა? = x (\displaystyle a^(?)=x)“, ანუ ჰკითხეთ საკუთარ თავს შემდეგი შეკითხვა: „რა ძალამდე უნდა ავწიოთ ა, მისაღებად x?. ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად შეიძლება დაგჭირდეთ კალკულატორი, მაგრამ თუ გაგიმართლათ, შეგიძლიათ ხელით იპოვოთ იგი.

   • მაგალითი 1 (გაგრძელება): გადაწერე როგორც 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). თქვენ უნდა იპოვოთ რა რიცხვი უნდა დადგეს "?" ნიშნის ნაცვლად. ეს შეიძლება გაკეთდეს საცდელი და შეცდომით:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     ასე რომ, რიცხვი, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ არის 4: ჟურნალი 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. დატოვეთ თქვენი პასუხი ლოგარითმული ფორმით, თუ არ შეგიძლიათ მისი გამარტივება.ბევრი ლოგარითმის ხელით გამოთვლა ძალიან რთულია. ამ შემთხვევაში ზუსტი პასუხის მისაღებად დაგჭირდებათ კალკულატორი. თუმცა, თუ პრობლემას აგვარებთ კლასში, მასწავლებელი დიდი ალბათობით დაკმაყოფილდება პასუხით ლოგარითმული ფორმით. ქვემოთ განხილული მეთოდი გამოიყენება უფრო რთული მაგალითის გადასაჭრელად:

   • მაგალითი 2: რისი ტოლია ჟურნალი 3 ⁡ (58) ჟურნალი 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • გადავიყვანოთ ეს გამონათქვამი ერთ ლოგარითმად: ჟურნალი 3 ⁡ (58) ჟურნალი 3 ⁡ (7) = ჟურნალი 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმისთვის საერთო 3 ფუძე ქრება; ეს მართალია ნებისმიერი მიზეზით.
   • გადმოვწეროთ გამოთქმა ფორმაში 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)და ვცადოთ ვიპოვოთ მნიშვნელობა?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     იმის გამო, რომ 58 არის ამ ორ რიცხვს შორის, ის არ არის გამოხატული როგორც მთელი რიცხვი.
   • პასუხს ვტოვებთ ლოგარითმული ფორმით: ჟურნალი 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).

ამ სტატიის ყურადღება გამახვილებულია ლოგარითმი. აქ მივცემთ ლოგარითმის განმარტებას, ვაჩვენებთ მიღებულ აღნიშვნას, მოვიყვანთ ლოგარითმების მაგალითებს და ვისაუბრებთ ბუნებრივ და ათობითი ლოგარითმებზე. ამის შემდეგ გადავხედოთ მთავარს ლოგარითმული იდენტურობა.

გვერდის ნავიგაცია.

ლოგარითმის განმარტება

ლოგარითმის კონცეფცია წარმოიქმნება პრობლემის გადაჭრისას გარკვეული გაგებითინვერსიული, როდესაც თქვენ გჭირდებათ მაჩვენებლის პოვნა ცნობილი მაჩვენებლის მნიშვნელობისა და ცნობილი ბაზის გამოყენებით.

მაგრამ საკმარისი წინასიტყვაობა, დროა ვუპასუხოთ კითხვას "რა არის ლოგარითმი"? მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე, სადაც a>0, a≠1 და b>0 არის მაჩვენებელი, რომელზეც თქვენ უნდა აწიოთ რიცხვი a, რომ შედეგად მიიღოთ b.

ამ ეტაპზე ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ გამოთქმულმა სიტყვამ „ლოგარითმი“ დაუყოვნებლივ უნდა წამოჭრას ორი შემდგომი კითხვა: „რა რიცხვი“ და „რის საფუძველზე“. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უბრალოდ არ არსებობს ლოგარითმი, არამედ მხოლოდ რიცხვის ლოგარითმი რაღაც ფუძემდე.

მაშინვე შევიდეთ ლოგარითმის აღნიშვნა: b რიცხვის ლოგარითმი a საფუძვლამდე ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც log a b. b რიცხვის ლოგარითმს e ფუძემდე და ლოგარითმს 10 ფუძესთან აქვს თავისი სპეციალური აღნიშვნები lnb და logb, შესაბამისად, ანუ წერენ არა log e b, არამედ lnb და არა log 10 b, არამედ lgb.

ახლა შეგვიძლია მივცეთ: .
და ჩანაწერები აზრი არ აქვს, რადგან პირველ მათგანში არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უარყოფითი რიცხვი, მეორეში არის უარყოფითი რიცხვი ფუძეში, ხოლო მესამეში არის უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ერთეული ფუძეში.

ახლა მოდით ვისაუბროთ ლოგარითმების წაკითხვის წესები. Log a b იკითხება როგორც "b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე". მაგალითად, log 2 3 არის ლოგარითმი სამიდან 2 ფუძემდე, და არის ლოგარითმი ორი წერტილის ორი მესამედი 2-ის ბაზაზე. Კვადრატული ფესვიხუთიდან. ლოგარითმი e-ს ბაზაზე ეწოდება ბუნებრივი ლოგარითმი, ხოლო აღნიშვნა lnb იკითხება "ბ-ის ბუნებრივი ლოგარითმი". მაგალითად, ln7 არის შვიდის ბუნებრივი ლოგარითმი და ჩვენ მას წავიკითხავთ, როგორც pi-ს ბუნებრივ ლოგარითმს. 10 ბაზის ლოგარითმს ასევე აქვს სპეციალური სახელი - ათობითი ლოგარითმი, და lgb იკითხება, როგორც "ბ-ის ათწილადი ლოგარითმი". მაგალითად, lg1 არის ერთის ათობითი ლოგარითმი, ხოლო lg2.75 არის ორი წერტილის შვიდი ხუთასი მეასედის ათობითი ლოგარითმი.

ცალკე ღირს შეჩერება a>0, a≠1 და b>0 პირობებზე, რომლებშიც მოცემულია ლოგარითმის განმარტება. მოდით განვმარტოთ, საიდან მოდის ეს შეზღუდვები. ამაში დაგვეხმარება ფორმის ტოლობა სახელწოდებით, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული ლოგარითმის განმარტებიდან.

დავიწყოთ a≠1-ით. ვინაიდან ერთი ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ უდრის ერთს, ტოლობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი მხოლოდ მაშინ, როდესაც b=1, მაგრამ log 1 1 შეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამ გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, ვარაუდობენ a≠1.

დავამტკიცოთ a>0 პირობის მიზანშეწონილობა. a=0-ით, ლოგარითმის განმარტებით, გვექნებოდა ტოლობა, რაც შესაძლებელია მხოლოდ b=0-ით. მაგრამ მაშინ log 0 0 შეიძლება იყოს ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვი, ვინაიდან ნული ნებისმიერ არანულოვან სიმძლავრემდე არის ნული. პირობა a≠0 საშუალებას გვაძლევს თავიდან ავიცილოთ ეს გაურკვევლობა. და როცა ა<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

და ბოლოს, პირობა b>0 გამომდინარეობს a>0 უტოლობიდან, რადგან , და დადებითი ფუძის მქონე სიმძლავრის მნიშვნელობა a ყოველთვის დადებითია.

ამ პუნქტის დასასრულებლად, ვთქვათ, რომ ლოგარითმის მითითებული განმარტება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის ფუძის გარკვეული სიმძლავრე. მართლაც, ლოგარითმის განმარტება საშუალებას გვაძლევს განვაცხადოთ, რომ თუ b=a p, მაშინ b რიცხვის ლოგარითმი a საფუძვლამდე უდრის p. ანუ, ტოლობის ჟურნალი a a p =p არის ჭეშმარიტი. მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ 2 3 =8, შემდეგ log 2 8=3. ამაზე დაწვრილებით სტატიაში ვისაუბრებთ.

ლოგარითმული გამონათქვამები, მაგალითების ამოხსნა. ამ სტატიაში განვიხილავთ პრობლემებს, რომლებიც დაკავშირებულია ლოგარითმების ამოხსნასთან. ამოცანები სვამს კითხვას გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნის შესახებ. უნდა აღინიშნოს, რომ ლოგარითმის ცნება გამოიყენება ბევრ ამოცანაში და მისი მნიშვნელობის გაგება ძალზე მნიშვნელოვანია. რაც შეეხება ერთიან სახელმწიფო გამოცდას, ლოგარითმი გამოიყენება განტოლებების ამოხსნისას, გამოყენებითი ამოცანებისას და ასევე ფუნქციების შესწავლასთან დაკავშირებულ ამოცანებში.

მოდით მოვიყვანოთ მაგალითები ლოგარითმის მნიშვნელობის გასაგებად:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა:

ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ყოველთვის უნდა გვახსოვდეს:

*პროდუქტის ლოგარითმი ჯამის ტოლიფაქტორების ლოგარითმები.

* * *

*რაოდენობის (წილადის) ლოგარითმი ტოლია სხვაობის ფაქტორების ლოგარითმებს შორის.

* * *

*ხარისხის ლოგარითმი პროდუქტის ტოლიმაჩვენებელი მისი ფუძის ლოგარითმით.

* * *

* ახალ საძირკველზე გადასვლა

* * *

მეტი თვისებები:

* * *

ლოგარითმების გამოთვლა მჭიდროდ არის დაკავშირებული ექსპონენტების თვისებების გამოყენებასთან.

ჩამოვთვალოთ რამდენიმე მათგანი:

ამ თვისების არსი იმაში მდგომარეობს, რომ როდესაც მრიცხველი გადადის მნიშვნელზე და პირიქით, მაჩვენებლის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ. Მაგალითად:

დასკვნა ამ ქონებისგან:

* * *

სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, ბაზა იგივე რჩება, მაგრამ მაჩვენებლები მრავლდება.

* * *

როგორც ხედავთ, თავად ლოგარითმის კონცეფცია მარტივია. მთავარია რა არის საჭირო კარგი პრაქტიკა, რაც გარკვეულ უნარს იძლევა. რა თქმა უნდა, საჭიროა ფორმულების ცოდნა. თუ ელემენტარული ლოგარითმების კონვერტაციის უნარი არ არის განვითარებული, მაშინ მარტივი ამოცანების გადაჭრისას შეგიძლიათ მარტივად დაუშვათ შეცდომა.

ივარჯიშეთ, ჯერ მათემატიკის კურსიდან ამოხსენით უმარტივესი მაგალითები, შემდეგ გადადით უფრო რთულებზე. სამომავლოდ აუცილებლად გაჩვენებთ, თუ როგორ იხსნება "საშინელი" ლოგარითმები, ისინი არ გამოჩნდებიან ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე, მაგრამ საინტერესოა, არ გამოტოვოთ!

Სულ ეს არის! Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის ზუსტად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებსაც უწოდებენ ძირითადი თვისებები.

თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. ასე რომ, დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთნაირი ფუძეებით: log ა xდა შესვლა ა წ. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

1. ჟურნალი ა x+ ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x · წ);
2. ჟურნალი ა x- ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x : წ).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. Შენიშვნა: საკვანძო მომენტიᲐქ - იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხ. გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.

ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ ისინი საკმაოდ გამოდიან ნორმალური ნომრები. ბევრი აგებულია ამ ფაქტზე ტესტის ფურცლები. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ამის შემჩნევა ადვილია ბოლო წესიმიჰყვება პირველ ორს. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ შეინიშნება ლოგარითმის ODZ: ა > 0, ა ≠ 1, x> 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .

მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

[წარწერა სურათზე]

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Ჩვენ გვაქვს:

[წარწერა სურათზე]

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:

მიეცეს ლოგარითმის ჟურნალი ა x. შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის გისეთივე როგორც გ> 0 და გ≠ 1, ტოლობა მართალია:

[წარწერა სურათზე]

კერძოდ, თუ დავაყენებთ გ = x, ვიღებთ:

[წარწერა სურათზე]

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივში რიცხვითი გამონათქვამები. შესაძლებელია შეაფასოთ რამდენად მოსახერხებელია ისინი მხოლოდ გადაწყვეტილებით ლოგარითმული განტოლებებიდა უთანასწორობები.

თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

[წარწერა სურათზე]

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

[წარწერა სურათზე]

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

[წარწერა სურათზე]

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, ნომერი ნხდება არგუმენტში მდგომი ხარისხის მაჩვენებელი. ნომერი ნშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. სწორედ ამას ჰქვია: ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ ნომერი ბაიყვანეთ ისეთ ძალამდე, რომ რიცხვი ბამ ძალას აძლევს რიცხვს ა? ეს მართალია: თქვენ მიიღებთ იმავე რიცხვს ა. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

[წარწერა სურათზე]

გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

[წარწერა სურათზე]

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

1. ჟურნალი ა ა= 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ გახსოვდეთ: ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე ასწორედ ამ ფუძიდან უდრის ერთს.
2. ჟურნალი ა 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ბაზა აშეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! იმიტომ რომ ა 0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.