Изрази, конверзија на изрази

Моќни изрази (изрази со моќи) и нивна трансформација

Во оваа статија ќе зборуваме за конвертирање на изрази со моќи. Прво, ќе се фокусираме на трансформациите што се изведуваат со изрази од секаков вид, вклучувајќи изрази на моќ, како што се отворање загради и внесување слични термини. И тогаш ќе ги анализираме трансформациите својствени конкретно во изразите со степени: работа со основата и експонентот, користејќи ги својствата на степени итн.

Навигација на страницата.

Што се изрази на моќ?

Терминот " изрази на моќ„практично не се среќава во училишните учебници по математика, но доста често се појавува во збирките задачи, особено оние наменети за подготовка за Единствен државен испит и Единствен државен испит, на пример. По анализата на задачите во кои е неопходно да се извршат какви било дејства со изрази на моќ, станува јасно дека изразите на моќ се сфаќаат како изрази што содржат моќи во нивните записи. Затоа, можете сами да ја прифатите следната дефиниција:

Дефиниција.

Моќни изразисе изрази кои содржат моќи.

Ајде да дадеме примери на изрази на моќ. Исто така, ќе ги претставиме според тоа како се случува развојот на ставовите за од степен до степен. природен индикатордо степен со реален експонент.

Како што е познато, прво се запознава со моќта на број со природен експонент; во оваа фаза, првите наједноставни изрази на моќност од типот 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 се појавува −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 итн.

Малку подоцна се проучува моќта на број со цел број експонент, што доведува до појава на изрази на моќ со цели броеви негативни моќи, како следново: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Во средно училиште се враќаат на дипломите. Таму се воведува степен со рационален експонент, што подразбира појава на соодветните изрази на моќ: , , и така натаму. Конечно, се разгледуваат степени со ирационални експоненти и изрази што ги содржат: , .

Материјата не е ограничена на наведените изрази за моќност: понатаму променливата продира во експонентот и, на пример, се појавуваат следните изрази: 2 x 2 +1 или . И по запознавањето со , почнуваат да се појавуваат изрази со моќи и логаритми, на пример, x 2·lgx −5·x lgx.

Значи, се занимававме со прашањето што претставуваат изразите на моќ. Следно ќе научиме да ги конвертираме.

Главни видови трансформации на изрази на моќ

Со изразите на моќ, можете да извршите која било од основните идентитетски трансформации на изразите. На пример, можете да отворите загради, да ги замените нумеричките изрази со нивните вредности, да додавате слични термини итн. Природно, во овој случај, неопходно е да се следи прифатената процедура за извршување на дејствија. Да дадеме примери.

Пример.

Пресметај ја вредноста на изразот за моќност 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според редоследот на извршување на дејствијата, прво извршете ги дејствата во загради. Таму, прво, ја заменуваме моќноста 4 2 со нејзината вредност 16 (ако е потребно, видете), и второ, ја пресметуваме разликата 16−12=4. Ние имаме 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Во добиениот израз ја заменуваме моќноста 2 3 со неговата вредност 8, по што го пресметуваме производот 8·4=32. Ова е саканата вредност.

Значи, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Одговор:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Пример.

Поедноставете ги изразите со моќи 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очигледно овој израз содржи слични поими 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 , а можеме да ги претставиме: .

Одговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз со моќи како производ.

Решение.

Можете да се справите со задачата така што ќе го претставите бројот 9 како моќност од 3 2, а потоа користејќи ја формулата за скратено множење - разлика на квадрати:

Одговор:

Има и голем број идентитетски трансформации, својствени конкретно во изразите на моќ. Ќе ги анализираме понатаму.

Работа со база и експонент

Постојат степени чија основа и/или експонент не се само броеви или променливи, туку некои изрази. Како пример, ги даваме записите (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Кога работите со такви изрази, можете да ги замените и изразот во основата на степенот и изразот во експонентот со идентично еднаков израз во ODZ на неговите променливи. Со други зборови, според нам познатите правила, можеме одделно да ја трансформираме основата на степенот и одделно експонентот. Јасно е дека како резултат на оваа трансформација ќе се добие израз кој е идентично еднаков на оригиналниот.

Ваквите трансформации ни овозможуваат да ги поедноставиме изразите со моќ или да постигнеме други цели што ни се потребни. На пример, во изразот за моќност споменат погоре (2+0.3 7) 5−3.7, можете да извршите операции со броевите во основата и експонентот, што ќе ви овозможи да преминете на моќноста 4.1 1.3. И откако ќе ги отвориме заградите и ќе донесеме слични членови на основата на степенот (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) добиваме израз на моќност повеќе едноставен тип a 2·(x+1) .

Користење на својствата на степенот

Една од главните алатки за трансформација на изразите со моќи се еднаквостите кои се одразуваат. Да се ​​потсетиме на главните. За сите позитивни броеви a и b и произволните реални броеви r и s, вистинити се следните својства на моќите:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Забележете дека за природни, целобројни и позитивни експоненти, ограничувањата на броевите a и b можеби не се толку строги. На пример, за природните броеви m и n еднаквоста a m ·a n =a m+n е точно не само за позитивните a, туку и за негативните a и за a=0.

На училиште, главниот фокус кога се трансформираат изразите на моќта е на способноста да се избере соодветното својство и правилно да се примени. Во овој случај, основите на степени обично се позитивни, што овозможува да се користат својствата на степените без ограничувања. Истото важи и за трансформацијата на изразите што содржат променливи во основите на моќта - опсегот на дозволените вредности на променливите обично е таков што основите земаат само позитивни вредности на него, што ви овозможува слободно да ги користите својствата на моќите . Општо земено, треба постојано да се прашувате дали е можно да се користи некое својство на степени во овој случај, бидејќи неточната употреба на својствата може да доведе до стеснување на образовната вредност и други неволји. Овие точки се детално дискутирани и со примери во статијата трансформација на изрази со помош на својства на степени. Овде ќе се ограничиме на разгледување на неколку едноставни примери.

Пример.

Изразете го изразот a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 како моќност со основа a.

Решение.

Прво, го трансформираме вториот фактор (a 2) −3 користејќи го својството за подигање на моќност до моќност: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Оригиналниот израз на моќност ќе има форма a 2,5 ·a −6:a −5,5. Очигледно, останува да ги користиме својствата на множење и делење на силите со иста основа, имаме
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Одговор:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Својствата на моќите при трансформација на изрази на моќ се користат и од лево кон десно и од десно кон лево.

Пример.

Најдете ја вредноста на изразот за моќност.

Решение.

Еднаквоста (a·b) r =a r ·b r, применета од десно кон лево, ни овозможува да преминеме од оригиналниот израз до производ на формата и понатаму. И кога се множат силите со по истите основииндикаторите се собираат: .

Беше можно да се трансформира оригиналниот израз на друг начин:

Одговор:

.

Пример.

Со оглед на изразот на моќност a 1,5 −a 0,5 −6, воведете нова променлива t=a 0,5.

Решение.

Степенот a 1,5 може да се претстави како 0,5 3, а потоа, врз основа на својството на степенот до степен (a r) s =a r s, применет од десно кон лево, трансформирајте го во форма (a 0,5) 3. Така, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Сега е лесно да се воведе нова променлива t=a 0,5, добиваме t 3 −t−6.

Одговор:

t 3 −t−6 .

Конвертирање на дропки кои содржат моќи

Моќните изрази може да содржат или да претставуваат дропки со моќи. Секоја од основните трансформации на дропки кои се својствени за дропките од кој било вид се целосно применливи за таквите дропки. Односно, дропките што содржат овластувања можат да се редуцираат, да се сведат на нов именител, да се работи одделно со нивниот броител и одделно со именителот итн. За да ги илустрирате овие зборови, разгледајте решенија за неколку примери.

Пример.

Поедноставете го изразувањето на моќта .

Решение.

Овој израз на моќ е дропка. Ајде да работиме со неговиот броител и именител. Во броителот ги отвораме заградите и го поедноставуваме добиениот израз користејќи ги својствата на моќите, а во именителот прикажуваме слични термини:

И, исто така, да го промениме знакот на именителот со ставање минус пред дропката: .

Одговор:

.

Намалувањето на дропките што содржат моќи на нов именител се врши слично како и намалувањето на рационалните дропки на нов именител. Во овој случај се наоѓа и дополнителен фактор и со него се множат броителот и именителот на дропката. При извршување на оваа акција, вреди да се запамети дека намалувањето на нов именител може да доведе до стеснување на VA. За да се спречи тоа да се случи, неопходно е дополнителниот фактор да не оди на нула за која било вредност на променливите од променливите ODZ за оригиналниот израз.

Пример.

Намали ги дропките на нов именител: а) на именителот a, b) до именителот.

Решение.

а) Во овој случај, сосема е лесно да се открие каков дополнителен мултипликатор помага да се постигне посакуваниот резултат. Ова е множител на 0,3, бидејќи 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Забележете дека во опсегот на дозволените вредности на променливата a (ова е множество од сите позитивни реални броеви), моќта на 0,3 не исчезнува, затоа, имаме право да ги помножиме броителот и именителот на дадена дел од овој дополнителен фактор:

б) Ако погледнете повнимателно на именителот, ќе го откриете тоа

и множејќи го овој израз со ќе се добие збир на коцки и , односно . И ова е новиот именител на кој треба да ја намалиме првобитната дропка.

Вака најдовме дополнителен фактор. Во опсегот на дозволените вредности на променливите x и y, изразот не исчезнува, затоа, можеме да ги помножиме броителот и именителот на дропката со него:

Одговор:

А) , б) .

Исто така, нема ништо ново во намалувањето на дропките што содржат моќи: броителот и именителот се претставени како голем број фактори, а истите фактори на броителот и именителот се намалуваат.

Пример.

Намали ја дропката: а) , б) .

Решение.

а) Прво, броителот и именителот може да се намалат за броевите 30 и 45, што е еднакво на 15. Исто така, очигледно е можно да се изврши намалување за x 0,5 +1 и за . Еве што имаме:

б) Во овој случај, идентични фактори во броителот и именителот не се веднаш видливи. За да ги добиете, ќе мора да извршите прелиминарни трансформации. Во овој случај, тие се состојат во факторингирање на именителот користејќи ја формулата за разлика од квадрати:

Одговор:

А)

б) .

Претворањето на дропките во нов именител и намалувањето на дропките главно се користат за вршење работи со дропки. Дејствијата се вршат според познати правила. При собирање (одземање) дропки тие се сведуваат на заеднички именител, по што броителите се собираат (одземаат), но именителот останува ист. Резултатот е дропка чиј броител е производ на броителите, а именителот е производ на именителот. Поделбата со дропка е множење со нејзината инверзна.

Пример.

Следете ги чекорите .

Решение.

Прво, ги одземаме дропките во загради. За да го направите ова, ги доведуваме до заеднички именител, што е , по што ги одземаме броителите:

Сега ги множиме дропките:

Очигледно, можно е да се намали за моќ од x 1/2, по што имаме .

Можете исто така да го поедноставите изразот на моќност во именителот со користење на формулата за разлика од квадрати: .

Одговор:

Пример.

Поедноставете го изразот на моќност .

Решение.

Очигледно, оваа дропка може да се намали за (x 2,7 +1) 2, ова ја дава дропот . Јасно е дека нешто друго треба да се направи со овластувањата на Х. За да го направите ова, ние ја трансформираме добиената фракција во производ. Ова ни дава можност да ги искористиме својствата на поделба на моќта со исти основи: . И на крајот од процесот се движиме од последниот производ до фракцијата.

Одговор:

.

А да додадеме и дека е можно, а во многу случаи и пожелно, факторите со негативни показатели да се пренесат од броител на именителот или од именителот на броител, менувајќи го знакот на експонентот. Ваквите трансформации често се поедноставуваат понатамошни активности. На пример, изразот за моќ може да се замени со .

Конвертирање на изрази со корени и моќи

Често, во изразите во кои се потребни некои трансформации, заедно со моќи се присутни и корени со фракциони експоненти. Да се ​​претвори таков израз во вистинскиот тип, во повеќето случаи доволно е да се оди само на корени или само на моќи. Но, бидејќи е попогодно да се работи со моќи, тие обично се движат од корени до моќи. Сепак, препорачливо е да се изврши таква транзиција кога ODZ на променливите за оригиналниот израз ви дозволува да ги замените корените со моќи без потреба да се повикувате на модулот или да го поделите ODZ на неколку интервали (детално го дискутиравме ова во написот премин од корени во моќи и назад По запознавањето со степенот со рационален експонент се воведува степен со ирационален експонент кој ни овозможува да зборуваме за степен со произволен реален експонент.Во оваа фаза училиштето започнува да проучување експоненцијална функција, кој аналитички се дава со моќност, чија основа е број, а експонентот е променлива. Значи, се соочуваме со изрази на моќност кои содржат броеви во основата на моќноста, а во експонентот - изрази со променливи, и природно се наметнува потребата да се извршат трансформации на таквите изрази.

Треба да се каже дека трансформацијата на изразите од посочениот тип обично треба да се изврши при решавање експоненцијални равенкиИ експоненцијални неравенки, и овие конверзии се прилично едноставни. Во огромно мнозинство случаи, тие се засноваат на својствата на степенот и имаат за цел, во најголем дел, да воведат нова променлива во иднина. Равенката ќе ни овозможи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Прво, моќите, во чии експоненти е збир на одредена променлива (или израз со променливи) и број, се заменуваат со производи. Ова се однесува на првиот и последниот термин на изразот од левата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Следно, двете страни на еднаквоста се поделени со изразот 7 2 x, кој на ODZ на променливата x за првобитната равенка зема само позитивни вредности (ова е стандардна техника за решавање равенки од овој тип, ние не сме зборувајќи за тоа сега, затоа фокусирајте се на последователните трансформации на изразите со моќи):

Сега можеме да поништиме дропки со моќи, што дава .

Конечно, односот на моќи со исти експоненти се заменува со моќи на односи, што резултира со равенката , што е еквивалентно . Направените трансформации ни овозможуваат да воведеме нова променлива, која го сведува решението на оригиналот експоненцијална равенказа решавање на квадратна равенка

И. В. Бојков, Л. Д. РомановаЗбирка задачи за подготовка за Единствен државен испит. Дел 1. Пенза 2003 година.

Ајде да ја разгледаме темата за трансформирање на изразите со моќи, но прво да се задржиме на голем број трансформации што можат да се извршат со какви било изрази, вклучително и со моќни. Ќе научиме како да отвораме загради, да додаваме слични поими, да работиме со бази и експоненти и да ги користиме својствата на моќите.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Што се изрази на моќ?

ВО училишен курсМалкумина ја користат фразата „изрази на моќ“, но овој термин постојано се наоѓа во збирките за подготовка за обединет државен испит. Во повеќето случаи, фразата означува изрази кои содржат степени во нивните записи. Ова е она што ќе го одразиме во нашата дефиниција.

Дефиниција 1

Израз на моќе израз кој содржи моќи.

Да дадеме неколку примери на изрази на моќ, почнувајќи со моќност со природен експонент и завршувајќи со моќност со реален експонент.

Наједноставните изрази на моќ може да се сметаат за моќи на број со природен експонент: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . И, исто така, моќи со нула експонент: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. И моќи со негативни цели броеви: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Малку е потешко да се работи со диплома што има рационални и ирационални експоненти: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Индикаторот може да биде променливата 3 x - 54 - 7 3 x - 58 или логаритам x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Се занимававме со прашањето што се изразите на моќ. Сега да почнеме да ги конвертираме.

Главни видови трансформации на изрази на моќ

Најпрво ќе ги разгледаме основните идентитетски трансформации на изразите што можат да се изведат со изрази на моќ.

Пример 1

Пресметајте ја вредноста на изразот на моќност 2 3 (4 2 − 12).

Решение

Сите трансформации ќе ги извршиме во согласност со редоследот на дејствијата. Во овој случај, ќе започнеме со извршување на дејствата во загради: ќе го замениме степенот со дигитална вредност и ќе ја пресметаме разликата од два броја. Ние имаме 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Сè што треба да направиме е да го замениме степенот 2 3 неговото значење 8 и пресметајте го производот 8 4 = 32. Еве го нашиот одговор.

Одговор: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Пример 2

Поедноставете го изразот со моќи 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Решение

Изразот што ни е даден во изјавата за проблемот содржи слични термини што можеме да ги дадеме: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Одговор: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Пример 3

Изрази го изразот со моќи 9 - b 3 · π - 1 2 како производ.

Решение

Да го замислиме бројот 9 како моќ 3 2 и примени ја скратената формула за множење:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Одговор: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1.

Сега да преминеме на анализата на идентитетските трансформации кои можат да се применат конкретно на изразите на моќ.

Работа со база и експонент

Степенот во основата или експонентот може да има броеви, променливи и некои изрази. На пример, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7И . Работењето со такви записи е тешко. Многу е полесно да се замени изразот во основата на степенот или изразот во експонентот со идентично еднаков израз.

Трансформациите на степенот и експонентот се вршат според правилата што ни се познати одделно едни од други. Најважно е дека трансформацијата резултира со израз идентичен на оригиналниот.

Целта на трансформациите е да се поедностави оригиналниот израз или да се добие решение за проблемот. На пример, во примерот што го дадовме погоре, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 можете да ги следите чекорите за да отидете до степенот 4 , 1 1 , 3 . Со отворање на заградите, можеме да претставиме слични термини на основата на моќта (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)и да се добие израз на моќ од поедноставен облик a 2 (x + 1).

Користење на својствата на степенот

Својствата на моќите, напишани во форма на еднаквости, се една од главните алатки за трансформирање на изразите со моќи. Овде ги презентираме главните, земајќи го предвид тоа аИ бсе некои позитивни бројки, и рИ с- произволни реални броеви:

Дефиниција 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Во случаи кога имаме работа со природни, цели, позитивни експоненти, ограничувањата на броевите a и b можат да бидат многу помалку строги. Така, на пример, ако ја земеме предвид еднаквоста a m · a n = a m + n, Каде мИ nсе природни броеви, тогаш тоа ќе биде точно за сите вредности на a, и позитивни и негативни, како и за a = 0.

Својствата на моќите може да се користат без ограничувања во случаи кога основите на моќите се позитивни или содржат променливи чиј опсег на дозволени вредности е таков што основите земаат само позитивни вредности на него. Всушност, во училишната програма по математика, задачата на ученикот е да избере соодветно својство и правилно да го примени.

Кога се подготвувате за влез на универзитети, може да наидете на проблеми во кои неточната примена на својствата ќе доведе до стеснување на DL и други тешкотии во решавањето. Во овој дел ќе испитаме само два такви случаи. Повеќе информации за оваа тема може да се најдат во темата „Конвертирање на изрази користејќи својства на моќи“.

Пример 4

Замислете го изразот a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5, 5во форма на моќност со основа а.

Решение

Прво, го користиме својството на степенување и го трансформираме вториот фактор користејќи го (а 2) - 3. Потоа ги користиме својствата на множење и делење на силите со иста основа:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Одговор: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Трансформацијата на изразите на моќта според својството на моќите може да се изврши и од лево кон десно и во спротивна насока.

Пример 5

Најдете ја вредноста на изразот за моќност 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Решение

Ако примениме еднаквост (а · б) r = a r · b r, од десно кон лево, добиваме производ од формата 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и потоа 21 1 3 · 21 2 3 . Да ги собереме експонентите при множење на моќи со исти основи: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Постои уште еден начин да се изврши трансформацијата:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Одговор: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Пример 6

Даден израз на моќ a 1, 5 − a 0, 5 − 6, внесете нова променлива t = a 0,5.

Решение

Да го замислиме степенот а 1, 5Како а 0,5 3. Користење на својството на степени до степени (a r) s = a r · sод десно кон лево и добиваме (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Можете лесно да воведете нова променлива во добиениот израз t = a 0,5: добиваме t 3 − t − 6.

Одговор: t 3 − t − 6 .

Конвертирање на дропки кои содржат моќи

Обично се занимаваме со две верзии на изрази на моќ со дропки: изразот претставува дропка со моќност или содржи таква дропка. Сите основни трансформации на дропки се применливи за такви изрази без ограничувања. Тие можат да се намалат, да се доведат до нов именител или да се работат одделно со броителот и именителот. Ајде да го илустрираме ова со примери.

Пример 7

Поедноставете го изразот за моќност 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Решение

Имаме работа со дропка, па ќе извршиме трансформации и во броителот и во именителот:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Поставете знак минус пред дропката за да го промените знакот на именителот: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Одговор: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Дропките што содржат сили се сведуваат на нов именител на ист начин како рационалните дропки. За да го направите ова, треба да пронајдете дополнителен фактор и да ги помножите броителот и именителот на дропката со него. Неопходно е да се избере дополнителен фактор на таков начин што тој не оди на нула за која било вредност на променливите од променливите ODZ за оригиналниот израз.

Пример 8

Намали ги дропките на нов именител: а) a + 1 a 0, 7 на именителот а, б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 до именителот x + 8 · y 1 2 .

Решение

а) Да избереме фактор што ќе ни овозможи да се намалиме на нов именител. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,затоа како дополнителен фактор ќе земеме а 0, 3. Опсегот на дозволени вредности на променливата a го вклучува множеството на сите позитивни реални броеви. Диплома во оваа област а 0, 3не оди на нула.

Ајде да ги помножиме броителот и именителот на дропка со а 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

б) Да обрнеме внимание на именителот:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Да го помножиме овој израз со x 1 3 + 2 · y 1 6, го добиваме збирот на коцките x 1 3 и 2 · y 1 6, т.е. x + 8 · y 1 2 . Ова е нашиот нов именител на кој треба да ја намалиме првобитната дропка.

Така го најдовме дополнителниот фактор x 1 3 + 2 · y 1 6 . На опсегот на дозволените вредности на променливите xИ yизразот x 1 3 + 2 y 1 6 не исчезнува, затоа, можеме да ги помножиме броителот и именителот на дропката со него:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Одговор:а) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, б) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Пример 9

Намали ја дропот: а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Решение

а) Го користиме најголемиот заеднички именител (GCD), со кој можеме да ги намалиме броителот и именителот. За броевите 30 и 45 е 15. Можеме да направиме и намалување за x0,5+1и на x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Добиваме:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

б) Овде присуството на идентични фактори не е очигледно. Ќе треба да извршите некои трансформации за да ги добиете истите фактори во броителот и именителот. За да го направите ова, го прошируваме именителот користејќи ја формулата за разлика од квадрати:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Одговор:а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Основните операции со дропки вклучуваат претворање на дропки во нов именител и намалување на дропките. Двете дејства се вршат во согласност со голем број правила. При собирање и одземање дропки, прво дропките се сведуваат на заеднички именител, по што се вршат операции (собирање или одземање) со броителите. Именителот останува ист. Резултатот од нашите дејства е нова дропка, чиј броител е производ на броителите, а именителот е производ на именителот.

Пример 10

Направете ги чекорите x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Решение

Да почнеме со одземање на дропките што се во загради. Да ги доведеме до заеднички именител:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Да ги одземеме броителите:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Сега ги множиме дропките:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Ајде да намалиме за една моќ x 1 2, добиваме 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Дополнително, можете да го поедноставите изразот на моќност во именителот користејќи ја формулата за разлика на квадрати: квадрати: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Одговор: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Пример 11

Поедноставете го изразот на законот за моќ x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Решение

Можеме да ја намалиме дропот за (x 2 , 7 + 1) 2. Добиваме дропка x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Ајде да продолжиме со трансформирање на моќите на x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Сега можете да го користите својството на делење моќи со истите основи: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Се движиме од последниот производ до дропот x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Одговор: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Во повеќето случаи, попогодно е да се префрлат факторите со негативни експоненти од броителот до именителот и назад, менувајќи го знакот на експонентот. Оваа акција ви овозможува да ја поедноставите понатамошната одлука. Да дадеме пример: изразот на моќност (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 може да се замени со x 3 · (x + 1) 0, 2.

Конвертирање на изрази со корени и моќи

Во проблемите има изрази на моќ што содржат не само моќи со фракциони експоненти, туку и корени. Препорачливо е таквите изрази да се сведат само на корени или само на моќи. Пожелно е да се оди по дипломи бидејќи е полесна за работа со нив. Оваа транзиција особено се претпочита кога ODZ на променливи за оригиналниот израз ви дозволува да ги замените корените со моќи без потреба да пристапите до модулот или да го поделите ODZ на неколку интервали.

Пример 12

Изрази го изразот x 1 9 · x · x 3 6 како моќност.

Решение

Опсег на дозволени променливи вредности xсе дефинира со две неравенки x ≥ 0и x x 3 ≥ 0, кои го дефинираат множеството [ 0 , + ∞) .

На овој сет имаме право да се движиме од корени кон моќи:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Користејќи ги својствата на моќите, го поедноставуваме добиениот израз на моќност.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Одговор: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Конвертирање моќи со променливи во експонентот

Овие трансформации се прилично лесно да се направат ако правилно ги користите својствата на степенот. На пример, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Можеме да го замениме со производ на моќи, чии експоненти се збир на некоја променлива и број. На левата страна, ова може да се направи со првиот и последниот член од левата страна на изразот:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Сега да ги поделиме двете страни на еднаквоста со 7 2 x. Овој израз за променливата x зема само позитивни вредности:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Да ги намалиме дропките со моќи, добиваме: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Конечно, односот на моќи со исти експоненти се заменува со моќи на соодноси, што резултира со равенката 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, што е еквивалентно на 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Да воведеме нова променлива t = 5 7 x, која го намалува решението на првобитната експоненцијална равенка на решението квадратна равенка 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Конвертирање на изрази со моќи и логаритми

Во проблемите се среќаваат и изрази кои содржат моќи и логаритми. Пример за такви изрази е: 1 4 1 - 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Трансформацијата на таквите изрази се врши со користење на пристапите и својствата на логаритмите дискутирани погоре, за кои детално разговаравме во темата „Трансформација на логаритамски изрази“.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Алгебарскиот израз во кој заедно со операциите собирање, одземање и множење користи и делење на изрази на букви, се нарекува фракционо алгебарски израз. Тоа се, на пример, изразите

Ја нарекуваме алгебарска дропка алгебарски израз, кој има форма на количник на делење на два целобројни алгебарски изрази (на пример, мономи или полиноми). Тоа се, на пример, изразите

Третиот од изразите).

Идентичните трансформации на фракционите алгебарски изрази во најголем дел се наменети да ги претстават во форма алгебарска дропка. За да се најде заедничкиот именител, се користи факторизација на именителот на дропките - поими со цел да се најде нивниот најмал заеднички множител. Кога се намалуваат алгебарските фракции, може да се наруши строгиот идентитет на изразите: неопходно е да се исклучат вредностите на количините при кои факторот со кој се врши намалувањето станува нула.

Да дадеме примери на идентични трансформации на дробни алгебарски изрази.

Пример 1: Поедноставете израз

Сите поими може да се сведат на заеднички именител (погодно е да се смени знакот во именителот на последниот член и знакот пред него):

Нашиот израз е еднаков на еден за сите вредности, освен овие вредности; тој е недефиниран и намалувањето на фракцијата е незаконско).

Пример 2. Претстави го изразот како алгебарска дропка

Решение. Изразот може да се земе како заеднички именител. Секвенцијално наоѓаме:

Вежби

1. Најдете ги вредностите на алгебарските изрази за наведените вредности на параметрите:

2. Факторизирај.

Поедноставувањето на алгебарските изрази е едно од клучните точкиучење алгебра и исклучително корисна вештина за сите математичари. Поедноставувањето ви овозможува да намалите сложен или долг израз на едноставен израз со кој е лесен за работа. Основните вештини за поедноставување се добри дури и за оние кои не се ентузијасти за математиката. Следејќи неколку едноставни правила, можете да поедноставите многу од најчестите типови алгебарски изрази без посебно математичко знаење.

Чекори

Важни дефиниции

1. Слични членови.Тоа се членови со променлива од ист ред, членови со исти променливи или слободни членови (членови кои не содржат променлива). Со други зборови, слични термини ја вклучуваат истата променлива до ист степен, вклучуваат неколку исти променливи или воопшто не вклучуваат променлива. Редоследот на термините во изразот не е важен.

   • На пример, 3x 2 и 4x 2 се слични поими бидејќи содржат променлива од втор ред (до втората моќност) „x“. Сепак, x и x2 не се слични поими, бидејќи ја содржат променливата „x“ од различен ред (прв и втор). Исто така, -3yx и 5xz не се слични поими бидејќи содржат различни променливи.

2. Факторизација.Ова е наоѓање броеви чиј производ води до оригиналниот број. Секој оригинален број може да има неколку фактори. На пример, бројот 12 може да се разложи на следниот редмножители: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, така што можеме да кажеме дека броевите 1, 2, 3, 4, 6 и 12 се множители на бројот 12. Факторите се исти како делителите, т.е. броеви со кои се дели оригиналниот број .

   • На пример, ако сакате да го факторизирате бројот 20, напишете го вака: 4×5.
   • Забележете дека при факторингот се зема предвид променливата. На пример, 20x = 4 (5x).
   • Простите броеви не можат да се множат бидејќи тие се деливи само со себе и 1.

3. Запомнете и следете го редоследот на операциите за да избегнете грешки.

   • Загради
   • Степен
   • Множење
   • Поделба
   • Додаток
   • Одземање

   Донесување слични членови

   1. Запишете го изразот.Едноставните алгебарски изрази (оние кои не содржат дропки, корени итн.) може да се решат (поедностават) во само неколку чекори.

      • На пример, поедноставете го изразот 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Дефинирајте слични поими (поими со променлива од ист ред, термини со исти променливи или слободни термини).

      • Најдете слични термини во овој израз. Термините 2x и 4x содржат променлива од ист ред (прва). Исто така, 1 и -3 се слободни термини (не содржат променлива). Така, во овој израз термините 2x и 4xсе слични, а членовите 1 и -3се исто така слични.

   3. Наведете слични термини.Ова значи нивно собирање или одземање и поедноставување на изразот.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Препиши го изразот земајќи ги предвид дадените поими.Ќе добиете едноставен израз со помалку термини. Новиот израз е еднаков на оригиналниот.

      • Во нашиот пример: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, односно оригиналниот израз е поедноставен и полесен за работа.

   5. Следете го редоследот на операциите кога носите слични членови.Во нашиот пример, беше лесно да се обезбедат слични термини. Меѓутоа, во случај на сложени изрази во кои термините се затворени во загради, а се присутни дропки и корени, не е така лесно да се донесат такви термини. Во овие случаи, следете го редоследот на операциите.

      • На пример, земете го изразот 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Овде би било грешка веднаш да се дефинираат 3x и 2x како слични поими и да се прикажат, бидејќи потребно е прво да се отворат заградите. Затоа, извршете ги операциите според нивниот редослед.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Сега, кога изразот содржи само операции за собирање и одземање, можете да донесете слични термини.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Вадење на мултипликаторот од загради

   1. Најдете го најголемиот заеднички делител (GCD) од сите коефициенти на изразот. GCD е најголем број, со кој се делат сите коефициенти на изразот.

      • На пример, земете ја равенката 9x 2 + 27x - 3. Во овој случај, GCD = 3, бидејќи секој коефициент на овој израз е делив со 3.

   2. Поделете го секој член од изразот со gcd.Резултирачките термини ќе содржат помали коефициенти отколку во оригиналниот израз.

      • Во нашиот пример, поделете го секој член во изразот со 3.
        • 9x 2 /3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Резултатот беше израз 3x 2 + 9x - 1. Тоа не е еднакво на оригиналниот израз.

   3. Напиши го оригиналниот израз како еднаков на производот GCD на добиениот израз.Односно, заградете го добиениот израз во загради и извадете го gcd од заградите.

      • Во нашиот пример: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Поедноставување на дропски изрази со ставање на факторот надвор од загради.Зошто едноставно да го ставите мултипликаторот надвор од заградите, како што беше направено порано? Потоа, да научите како да ги поедноставите сложените изрази, како што се фракционите изрази. Во овој случај, ставањето на факторот надвор од заградите може да помогне да се ослободите од дропот (од именителот).

      • На пример, размислете фракционо изразување(9x 2 + 27x - 3)/3. Користете факторинг надвор за да го поедноставите овој израз.
        • Ставете го факторот 3 од заградите (како што направивте претходно): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Забележете дека сега има 3 и во броителот и во именителот. Ова може да се намали за да се добие изразот: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Бидејќи секоја дропка што го има бројот 1 во именителот е едноставно еднаква на броителот, оригиналниот израз на дропка се поедноставува на: 3x 2 + 9x - 1.

   Дополнителни методи за поедноставување

4. Ајде да погледнеме едноставен пример: √(90). Бројот 90 може да се вброи во следните фактори: 9 и 10 и да се извлече од 9 Квадратен корен(3) и извадете 3 од под коренот.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Поедноставување на изразите со моќи.Некои изрази содржат операции на множење или делење на членовите со моќи. Во случај на множење членови со иста основа, се додаваат нивните моќи; во случај на делење членови со иста основа, нивните моќи се одземаат.

   • На пример, земете го изразот 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Во случај на множење, додадете ги моќите, а во случај на делење одземете ги.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Следува објаснување на правилата за множење и делење членови со моќи.
     • Множењето членови со моќи е еквивалентно на множење членови сами по себе. На пример, бидејќи x 3 = x × x × x и x 5 = x × x × x × x × x, тогаш x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), или x 8 .
     • Слично на тоа, делењето на членовите со степени е еквивалентно на делењето на членовите сами по себе. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x x x). Бидејќи слични поими што се наоѓаат и во броителот и во именителот може да се намалат, производот од два „x“ или x 2, останува во броителот.

• Секогаш запомнете за знаците (плус или минус) пред термините на изразот, бидејќи многу луѓе имаат потешкотии да го изберат точниот знак.
• Побарајте помош доколку е потребно!
• Поедноставувањето на алгебарските изрази не е лесно, но штом ќе го сфатите тоа, тоа е вештина што можете да ја користите до крајот на животот.

Дел 5 ИЗРАЗИ И РАВЕНКИ

Во овој дел ќе научите:

ü o изрази и нивни поедноставувања;

ü кои се својствата на еднаквостите;

ü како да се решаваат равенки врз основа на својствата на еднаквостите;

ü какви видови проблеми се решаваат со помош на равенки; што се нормални линии и како да се изградат;

ü кои линии се нарекуваат паралелни и како да се изградат;

ü што е координатна рамнина?

ü како да се одредат координатите на точка на рамнина;

ü што е график на односот помеѓу количините и како да се конструира;

ü како изучениот материјал да се примени во пракса

§ 30. ИЗРАЗИ И НИВНО ПОПОСТАВУВАЊЕ

Веќе знаете што се изразите на буквите и знаете како да ги поедноставите користејќи ги законите за собирање и множење. На пример, 2a ∙ (-4б) = -8 аб . Во добиениот израз, бројот -8 се нарекува коефициент на изразот.

Дали изразотЦД коефициент? Значи. Тоа е еднакво на 1 затоа што cd - 1 ∙ cd .

Потсетиме дека претворањето на израз со загради во израз без загради се нарекува проширување на заградите. На пример: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Обратното дејство во овој пример е да се извади заедничкиот фактор од заградите.

Термините што содржат исти букви фактори се нарекуваат слични поими. Со вадење на заедничкиот фактор од загради, се подигаат слични поими:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7y - 5.

Правила за отворање загради

1. Доколку има знак „+“ пред заградите, тогаш при отворањето на заградите се зачувани знаците на термините во заградите;

2. Ако има знак „-“ пред заградите, тогаш кога ќе се отворат заградите, знаците на поимите во заградите се менуваат на спротивното.

Задача 1. Поедноставете го изразот:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y).

Решенија. 1. Пред заградите има знак „+“, така што при отворање на заградите се зачувани знаците на сите поими:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Пред заградите има знак „-“, така што при отворање на заградите: знаците на сите поими се обратни:

15 - (- 8 + 7г) = 15г + 8 - 7г = 8г +8.

За да ги отворите заградите, користете го дистрибутивното својство на множење: a( b + c ) = ab + ак. Ако a > 0, тогаш знаците на поимитеб и со не се менуваат. Ако< 0, то знаки слагаемых б и промени во спротивното.

Задача 2. Поедноставете го изразот:

1) 2(6 y -8) + 7 y;

2)-5 (2-5x) + 12.

Решенија. 1. Факторот 2 пред заградите е позитивен, затоа при отворањето на заградите ги зачувуваме знаците на сите поими: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Факторот -5 пред заградите е негативен, па при отворањето на заградите ги менуваме знаците на сите поими во спротивното:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Дознај повеќе

1. Зборот „сума“ доаѓа од латинскисума , што значи „вкупен“, „вкупен износ“.

2. Зборот „плус“ доаѓа од латинскиПлус што значи „повеќе“, а зборот „минус“ е од латинскиминус Што значи „помалку“? Знаците „+“ и „-“ се користат за означување на операциите собирање и одземање. Овие знаци беа воведени од чешкиот научник Ј. Видман во 1489 година во книгата „Брза и пријатна сметка за сите трговци“(Сл. 138).

Ориз. 138

ЗАПОМНЕТЕ ГО ВАЖНОТО

1. Кои поими се нарекуваат слични? Како се конструираат слични термини?

2. Како се отвораат заградите на кои им претходи знакот „+“?

3. Како се отвораат заградите на кои им претходи знакот „-“?

4. Како отворате загради на кои претходи позитивен фактор?

5. Како се отвораат загради на кои им претходи негативен фактор?

1374". Именувај го коефициентот на изразот:

1) 12 а; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Наведете ги поимите што се разликуваат само по коефициент:

1) 10а + 76-26 + а; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d; 4) 5x + 4y-x + y.

Како се нарекуваат овие термини?

1376". Дали има слични поими во изразот:

1)11а+10а; 3)6 n + 15 n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14с-12; 4) 12 m + m; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Дали е потребно да се сменат знаците на поимите во загради, отворајќи ги заградите во изразот:

1)4 + (а+ 3 б); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. Поедноставете го изразот и подвлечете го коефициентот:

1379°. Поедноставете го изразот и подвлечете го коефициентот:

1380°. Комбинирајте слични термини:

1) 4а - По + 6а - 2а; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b; 5) 5а - 12 б - 7а + 5 б;

3)-7 ang="MK-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Комбинирајте слични термини:

1) 6а - 5а + 8а -7а; 3) 5с + 4-2с-3с;

2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Извадете го заедничкиот фактор од заградите:

1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5)-5 p + 2,5 k-0,5 t;

2) 0,5 с + 5 г; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Извадете го заедничкиот фактор од заградите:

1) 6а-12 б; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d; А) 3p - 0,9 k + 2,7 t.

1384°. Отворете ги заградите и комбинирајте слични термини;

1) 5 + (4а -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Отворете ги заградите и комбинирајте слични термини:

1) 10а + (4 - 4а); 3) (с - 5г) - (- d + 5c);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Отворете ги заградите и пронајдете го значењето на изразот:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Отворете ги заградите и пронајдете го значењето на изразот:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Отвори заграда:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 г ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2т);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Отвори заграда:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d)∙(-0,5 y);

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Поедностави го изразот:

1391. Поедностави го изразот:

1392. Намали слични поими:

1393. Комбинирајте слични термини:

1394. Поедностави го изразот:

1)2,8 - (0,5 а + 4) - 2,5 ∙ (2а - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, од ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Поедностави го изразот:

1396. Пронајди го значењето на изразот;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), ако a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), ако = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Пронајди го значењето на изразот:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), ако x = -0,25;

1398*. Најдете ја грешката во решението:

1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Отворете ги заградите и поедноставете го изразот:

1) 2ab - 3 (6 (4a - 1) - 6 (6 - 10a)) + 76;

1400*. Подредете ги заградите за да ја добиете точната еднаквост:

1)а-6-а + 6 = 2а; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b.

1401*. Докажете дека за било кој број a и b ако a > b , тогаш важи еднаквоста:

1) (а + б) + (а- б) = 2а; 2) (а + б) - (а - б) = 2 б.

Дали оваа еднаквост ќе биде точна ако: а) а< б ; б) a = 6?

1402*. Докажете го тоа за било кој природен броја аритметичката средина на претходните и следните броеви е еднаква на бројот a.

ПРИМЕНИ ГО ВО ПРАКТИК

1403. За да подготвите овошен десерт за три лица потребни ви се: 2 јаболка, 1 портокал, 2 банани и 1 киви. Како да се создаде израз на буква за да се одреди количината на овошје потребно за подготовка на десерт за гостите? Помогнете му на Марин да пресмета колку овошје треба да купи ако: 1) 5 пријатели дојдат да ја посетат; 2) 8 пријатели.

1404. Направете израз со буква за да го одредите времето потребно за завршување на домашната задача по математика ако:

1) беше потрошен мин за решавање проблеми; 2) поедноставувањето на изразите е 2 пати поголемо отколку за решавање проблеми. Колку време беше потребно да се заврши домашна работаВасилко, ако потрошил 15 минути за решавање проблеми?

1405. Ручекот во училишната кафетерија се состои од салата, борш, кифлички од зелка и компот. Цената на салата е 20%, борш - 30%, ролни од зелка - 45%, компот - 5% вкупните трошоцисамо ручек. Напишете израз за да ги најдете трошоците за ручек во училишната менза. Колку чини ручекот ако цената на салатата е 2 UAH?

ПРЕГЛЕД НА ПРОБЛЕМИ

1406. Реши ја равенката:

1407. Тања потрошила на сладоледсите достапни пари, и за бонбони -остатокот. Колку пари и останаа на Тања?

ако бонбоните чини 12 UAH?