Множење на логаритми со исти бази формула. Логаритмски правила за работа со логаритми

Врз основа на бројот e: ln x = log e x.

Природниот логаритам е широко користен во математиката бидејќи неговиот дериват ја има наједноставната форма: (ln x)′ = 1/ x.

Врз основа дефиниции, основата на природниот логаритам е бројот д:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

График на функцијата y = во x.

График на природен логаритам (функции y = во x) се добива од експоненцијалниот график со огледало одраз во однос на правата y = x.

Природниот логаритам е дефиниран за позитивните вредности на променливата x. Монотоно се зголемува во својот домен на дефиниција.

На x → 0 границата на природниот логаритам е минус бесконечност (-∞).

Како x → + ∞, границата на природниот логаритам е плус бесконечност (+ ∞). За голем x, логаритмот се зголемува прилично бавно. Било кој функција за напојување x a со позитивен експонент a расте побрзо од логаритамот.

Својства на природниот логаритам

Домен на дефиниција, збир на вредности, екстреми, зголемување, намалување

Природниот логаритам е монотоно растечка функција, па затоа нема екстреми. Главните својства на природниот логаритам се претставени во табелата.

ln x вредности

ln 1 = 0

Основни формули за природни логаритми

Формули кои произлегуваат од дефиницијата на инверзната функција:

Главното својство на логаритмите и неговите последици

Формула за замена на основата

Секој логаритам може да се изрази во однос на природни логаритми користејќи ја формулата за замена на основата:

Доказите за овие формули се претставени во делот „Логаритам“.

Инверзна функција

Инверзната на природниот логаритам е експонентот.

Ако тогаш

Ако тогаш.

Извод ln x

Извод на природниот логаритам:
.
Извод на природниот логаритам на модул x:
.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >

Интегрален

Интегралот се пресметува со интеграција по делови:
.
Значи,

Изрази кои користат сложени броеви

Размислете за функцијата на сложената променлива z:
.
Да ја изразиме сложената променлива zпреку модул ри аргумент φ :
.
Користејќи ги својствата на логаритмот, имаме:
.
Или
.
Аргументот φ не е единствено дефиниран. Ако ставите
, каде што n е цел број,
ќе биде ист број за различни n.

Затоа природен логаритам, како функција на сложена променлива, не е функција со една вредност.

Проширување на серијата на моќност

Кога ќе се изврши проширување:

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.

1. Проверете дали има негативни броеви или еден под знакот логаритам.Овој метод е применлив за изрази на формата log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Сепак, не е погоден за некои посебни случаи:

   • Логаритмот на негативен број е недефиниран во која било основа (на пример, дневник ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3))или дневник 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Во овој случај напишете „нема решение“.
   • Логаритмот од нула до која било основа е исто така недефиниран. Ако ве фатат ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), запишете „нема решение“.
   • Логаритам од една до која било основа ( дневник ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) е секогаш нула, бидејќи x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1)за сите вредности x. Напишете 1 наместо овој логаритам и не користете го методот подолу.
   • Ако логаритмите имаат различни основи, на пример l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), и не се сведуваат на цели броеви, вредноста на изразот не може да се најде рачно.

2. Претворете го изразот во еден логаритам.Ако изразот не е еден од горенаведените посебни прилики, може да се претстави како еден логаритам. Користете ја следната формула за ова: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Пример 1: Размислете за изразот log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Прво, да го претставиме изразот како единствен логаритам користејќи ја горната формула: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Оваа формула за „замена на основата“ на логаритам е изведена од основните својства на логаритмите.

3. Ако е можно, рачно проценете ја вредноста на изразот.Да најде log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), замислете го изразот " а? = x (\displaystyle a^(?)=x)“, односно запрашајте се следно прашање: „До која сила да подигнеме а, За да се добие x?. За да одговорите на ова прашање можеби е потребен калкулатор, но ако имате среќа, можеби ќе можете да го најдете рачно.

   • Пример 1 (продолжение): Препишете како 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Треба да пронајдете кој број треба да стои на местото на знакот „?“. Ова може да се направи со обиди и грешки:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Значи, бројот што го бараме е 4: дневник 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Оставете го вашиот одговор во логаритамска форма ако не можете да го поедноставите.Многу логаритми е многу тешко да се пресметаат рачно. Во овој случај, за да добиете точен одговор, ќе ви треба калкулатор. Меѓутоа, ако решавате проблем на час, наставникот најверојатно ќе биде задоволен со одговорот во логаритамска форма. Методот дискутиран подолу се користи за решавање на покомплексен пример:

   • пример 2: што е еднакво дневник 3 ⁡ (58) дневник 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Ајде да го претвориме овој израз во еден логаритам: дневник 3 ⁡ (58) дневник 3 ⁡ (7) = дневник 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Забележете дека основата 3 заедничка за двата логаритами исчезнува; ова е точно од која било причина.
   • Ајде да го преработиме изразот во форма 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)и да се обидеме да ја најдеме вредноста?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     Бидејќи 58 е помеѓу овие два броја, тој не се изразува како цел број.
   • Одговорот го оставаме во логаритамска форма: дневник 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).

Фокусот на оваа статија е логаритам. Овде ќе дадеме дефиниција за логаритам, ќе ја прикажеме прифатената нотација, ќе дадеме примери на логаритми и ќе зборуваме за природни и децимални логаритми. После тоа, да го погледнеме главното логаритамски идентитет.

Навигација на страница.

Дефиниција на логаритам

Концептот на логаритам се јавува кога се решава проблем во во одредена смислаинверзно, кога треба да го пронајдете експонентот користејќи позната вредност на експонентот и позната основа.

Но, доволно предговори, време е да се одговори на прашањето „што е логаритам“? Да ја дадеме соодветната дефиниција.

Дефиниција.

Логаритам од b до основата a, каде што a>0, a≠1 и b>0 е експонентот на кој треба да го подигнете бројот a за да го добиете b како резултат.

Во оваа фаза, забележуваме дека изговорениот збор „логаритам“ треба веднаш да покрене две последователни прашања: „кој број“ и „на која основа“. Со други зборови, едноставно нема логаритам, туку само логаритам на број до некоја основа.

Ајде да влеземе веднаш логаритамска нотација: логаритамот на бројот b до основата a обично се означува како log a b. Логаритмот од број b до основата e и логаритамот до основата 10 имаат свои посебни ознаки lnb и logb, соодветно, односно пишуваат не log e b, туку lnb, а не log 10 b, туку lgb.

Сега можеме да дадеме: .
И рекордите немаат смисла, бидејќи во првиот од нив под знакот на логаритам има негативен број, во вториот има негативен број во основата, а во третиот има негативен број под знакот логаритам и единица во основата.

Сега да разговараме за правила за читање логаритми. Лог a b се чита како „логаритам од b до основата a“. На пример, лог 2 3 е логаритам од три до основата 2 и е логаритам од две точки две третини до основата 2 Квадратен коренод пет. Се вика логаритамот на основата e природен логаритам, а ознаката lnb гласи „природен логаритам на b“. На пример, ln7 е природниот логаритам на седум, а ние ќе го читаме како природен логаритам на пи. Основниот 10 логаритам има и посебно име - децимален логаритам, а lgb се чита како „децимален логаритам на b“. На пример, lg1 е децимален логаритам на една, а lg2.75 е децимален логаритам од две точки седум петстотинки.

Вреди да се задржиме посебно на условите a>0, a≠1 и b>0, под кои е дадена дефиницијата на логаритамот. Дозволете ни да објасниме од каде доаѓаат овие ограничувања. Еднаквоста на формата наречена , која директно произлегува од дефиницијата за логаритам дадена погоре, ќе ни помогне да го направиме ова.

Да почнеме со a≠1. Бидејќи еден кон која било моќност е еднаков на еден, еднаквоста може да биде точно само кога b=1, но log 1 1 може да биде кој било реален број. За да се избегне оваа нејасност, се претпоставува a≠1.

Да ја оправдаме целесообразноста на условот a>0. Со a=0, по дефиниција за логаритам, би имале еднаквост, што е можно само со b=0. Но, тогаш log 0 0 може да биде кој било реален број што не е нула, бидејќи нула до која било ненулта моќност е нула. Условот a≠0 ни овозможува да ја избегнеме оваа нејаснотија. И кога А<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Конечно, условот b>0 следи од неравенката a>0, бидејќи , и вредноста на моќта со позитивна основа a е секогаш позитивна.

За да ја заклучиме оваа точка, да речеме дека наведената дефиниција за логаритам ви овозможува веднаш да ја означите вредноста на логаритамот кога бројот под знакот логаритам е одредена моќност на основата. Навистина, дефиницијата за логаритам ни овозможува да кажеме дека ако b=a p, тогаш логаритмот на бројот b до основата a е еднаков на p. Односно, дневникот за еднаквост a a p =p е точно. На пример, знаеме дека 2 3 =8, а потоа лог 2 8=3. Ќе зборуваме повеќе за ова во статијата.

Логаритамски изрази, решавање примери. Во оваа статија ќе ги разгледаме проблемите поврзани со решавање на логаритми. Задачите го поставуваат прашањето за пронаоѓање на значењето на изразот. Треба да се напомене дека концептот на логаритам се користи во многу задачи и разбирањето на неговото значење е исклучително важно. Што се однесува до обединетиот државен испит, логаритамот се користи при решавање на равенки, во применети проблеми, а исто така и во задачи поврзани со проучување на функции.

Да дадеме примери за да го разбереме самото значење на логаритамот:

Основен логаритамски идентитет:

Својства на логаритмите кои секогаш мора да се паметат:

*Логаритам на производот еднаков на збиротлогаритми на фактори.

* * *

*Логаритмот на количник (дропка) е еднаков на разликата меѓу логаритмите на факторите.

* * *

*Логаритам на степен еднаков на производотекспонент според логаритамот на неговата основа.

* * *

*Транзиција кон нова основа

* * *

Повеќе својства:

* * *

Пресметката на логаритмите е тесно поврзана со употребата на својствата на експонентите.

Да наведеме некои од нив:

Суштината на ова својство е дека кога броителот се пренесува на именителот и обратно, знакот на експонентот се менува на спротивното. На пример:

Последица од овој имот:

* * *

При подигање на моќност на јачина, основата останува иста, но експонентите се множат.

* * *

Како што видовте, самиот концепт на логаритам е едноставен. Главната работа е она што е потребно добра практика, што дава одредена вештина. Секако, потребно е познавање на формулите. Ако вештината за конвертирање на елементарни логаритми не е развиена, тогаш кога решавате едноставни задачи можете лесно да направите грешка.

Вежбајте, прво решавајте ги наједноставните примери од курсот по математика, па преминете на посложените. Во иднина, дефинитивно ќе покажам колку се решаваат „грдите“ логаритми; тие нема да се појават на обединетиот државен испит, но тие се од интерес, не ги пропуштајте!

Тоа е се! Со среќа!

Со почит, Александар Крутицких

P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.

Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.

Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: лог а xи дневник а y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

1. дневник а x+ дневник а y= дневник а (x · y);
2. дневник а x− дневник а y= дневник а (x : y).

Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Забелешка: клучен моментЕве - идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!

Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:

Дневник 6 4 + дневник 6 9.

Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
дневник 6 4 + дневник 6 9 = дневник 6 (4 9) = дневник 6 36 = 2.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но, по трансформациите тие излегуваат доста нормални бројки. Многумина се изградени на овој факт тест трудови. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на унифицираниот државен испит.

Извлекување на експонентот од логаритамот

Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:

Тоа е лесно да се забележи последното правилоследи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.

Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритамот: а > 0, а ≠ 1, x> 0. И уште нешто: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно, т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам. Ова е она што најчесто се бара.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:

[Наслов за сликата]

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:

[Наслов за сликата]

Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.

Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log 2 7. Бидејќи log 2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.

Транзиција кон нова основа

Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека се даде логаритам дневник а x. Потоа за кој било број втакви што в> 0 и в≠ 1, еднаквоста е вистина:

[Наслов за сликата]

Конкретно, ако ставиме в = x, добиваме:

[Наслов за сликата]

Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.

Овие формули ретко се наоѓаат во конвенционалните нумерички изрази. Можно е да се оцени колку се погодни само со одлучување логаритамски равенкии нееднаквости.

Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.

Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: лог 5 16 = дневник 5 2 4 = 4лог 5 2; дневник 2 25 = дневник 2 5 2 = 2 дневник 2 5;

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

[Наслов за сликата]

Бидејќи производот не се менува при преуредување фактори, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:

[Наслов за сликата]

Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:

[Наслов за сликата]

Основен логаритамски идентитет

Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа. Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:

Во првиот случај, бројот nстанува показател за степенот што стои во аргументот. Број nможе да биде апсолутно сè, бидејќи тоа е само логаритамска вредност.

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се нарекува: основен логаритамски идентитет.

Всушност, што ќе се случи ако бројот бподигнете до таква моќ што бројот бна оваа моќ го дава бројот а? Така е: го добивате истиот број а. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.

Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.

Задача. Најдете го значењето на изразот:

[Наслов за сликата]

Забележете дека log 25 64 = log 5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:

[Наслов за сликата]

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.

1. дневник а а= 1 е логаритамска единица. Запомнете еднаш засекогаш: логаритам до која било основа аод оваа основа е еднаква на една.
2. дневник а 1 = 0 е логаритамска нула. База аможе да биде било што, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи а 0 = 1 е директна последица на дефиницијата.

Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.