Znajdź największą wspólną wielokrotność 27 36. Najmniejsza wspólna wielokrotność

Największy wspólny dzielnik

Definicja 2

Jeśli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną $b$, to $b$ nazywamy dzielnikiem $a$, a liczbę $a$ wielokrotnością $b$.

Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Liczba $c$ nazywana jest wspólnym dzielnikiem zarówno $a$, jak i $b$.

Zbiór wspólnych dzielników liczb $a$ i $b$ jest skończony, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być większy niż $a$. Oznacza to, że wśród tych dzielników jest największy, który nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$, a do jego oznaczenia używa się notacji:

$gcd \ (a;b) \ lub \ D \ (a;b)$

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb:

Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

Przykład 1

Znajdź gcd liczb 121$ i 132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Wybierz liczby, które są zawarte w rozszerzeniu tych liczb

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

$gcd=2\cdot 11=22$

Przykład 2

Znajdź GCD jednomianów 63$ i 81$.

Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego:

Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze

63 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 7 $

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Wybieramy liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb

63 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 7 $

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Znajdźmy iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

$gcd=3\cdot 3=9$

Możesz znaleźć NWD dwóch liczb w inny sposób, używając zestawu dzielników liczb.

Przykład 3

Znajdź gcd liczb 48$ i 60$.

Rozwiązanie:

Znajdź zbiór dzielników $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Teraz znajdźmy zbiór dzielników $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$$

Znajdźmy przecięcie tych zbiorów: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - ten zbiór określi zbiór wspólnych dzielników liczb $48$ i $60 $. Największym elementem w tym zestawie będzie liczba $12$. Zatem największym wspólnym dzielnikiem 48$ i 60$ jest 12$.

Definicja NOC

Definicja 3

wspólna wielokrotność liczby naturalne $a$ i $b$ to liczba naturalna, która jest wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.

Wspólne wielokrotności liczb to liczby, które są podzielne przez oryginał bez reszty, np. dla liczb 25$ i 50$ wspólnymi wielokrotnościami będą liczby 50,100,150,200$ itd.

Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością i oznaczana przez LCM$(a;b)$ lub K$(a;b).$

Aby znaleźć LCM dwóch liczb, potrzebujesz:

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
Wypisz czynniki, które są częścią pierwszej liczby i dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiej i nie przechodź do pierwszej

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 99 $ i 77 $.

Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze

99 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 11 $

Zapisz czynniki zawarte w pierwszym

dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiego i nie przechodź do pierwszego

Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Tworzenie list dzielników liczb jest często bardzo czasochłonne. Istnieje sposób na znalezienie GCD zwany algorytmem Euklidesa.

Stwierdzenia, na których oparty jest algorytm Euclida:

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, a $a\vkropki b$, to $D(a;b)=b$

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi takimi, że $b

Używając $D(a;b)= D(a-b;b)$, możemy sukcesywnie zmniejszać rozważane liczby, aż osiągniemy taką parę liczb, że jedna z nich jest podzielna przez drugą. Wtedy mniejsza z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem dla liczb $a$ i $b$.

Właściwości GCD i LCM

Dowolna wspólna wielokrotność $a$ i $b$ jest podzielna przez K$(a;b)$
Jeśli $a\vdots b$ , to K$(a;b)=a$

Jeśli K$(a;b)=k$ i $m$-liczba naturalna, to K$(am;bm)=km$

Jeśli $d$ jest wspólnym dzielnikiem dla $a$ i $b$, to K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Jeśli $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , to $\frac(ab)(c)$ jest wspólną wielokrotnością $a$ i $b$

Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ równość

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Każdy wspólny dzielnik $a$ i $b$ jest dzielnikiem $D(a;b)$

Ale wiele liczb naturalnych jest równo podzielnych przez inne liczby naturalne.

Na przykład:

Liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;

Liczba 36 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, według których liczba jest podzielna (dla 12 jest to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) są nazywane dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej a jest liczbą naturalną, która dzieli podany numer a bez śladu. Liczba naturalna, która ma więcej niż dwa czynniki, nazywa się złożony .

Zauważ, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Są to liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12. wspólny dzielnik dwie podane liczby a oraz b to liczba, przez którą obie podane liczby są podzielne bez reszty a oraz b.

wspólna wielokrotność kilka liczb nazywamy liczbą podzielną przez każdą z tych liczb. Na przykład, liczby 9, 18 i 45 mają wspólną wielokrotność 180. Ale 90 i 360 są również ich wspólnymi wielokrotnościami. Wśród wszystkich jwspólnych wielokrotności zawsze jest najmniejsza, w tym przypadku jest to 90. Liczba ta nazywa się najmniejwspólna wielokrotność (LCM).

LCM jest zawsze liczbą naturalną, która musi być większa niż największa z liczb, dla których jest zdefiniowana.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Nieruchomości.

Przemienność:

Łączność:

W szczególności, jeśli i są liczbami względnie pierwszymi , to:

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych m oraz n jest dzielnikiem wszystkich innych wspólnych wielokrotności m oraz n. Ponadto zbiór wspólnych wielokrotności m, n pokrywa się ze zbiorem wielokrotności dla LCM( m, n).

Asymptotyka dla może być wyrażona w postaci pewnych funkcji teorii liczb.

Więc, Funkcja Czebyszewa. Jak również:

Wynika to z definicji i własności funkcji Landaua g(n).

Co wynika z prawa dystrybucji liczby pierwsze.

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

NOC( a, b) można obliczyć na kilka sposobów:

1. Jeśli znany jest największy wspólny dzielnik, możesz wykorzystać jego relację z LCM:

2. Niech będzie znany rozkład kanoniczny obu liczb na czynniki pierwsze:

gdzie p 1 ,...,p k są różnymi liczbami pierwszymi i d 1 ,...,dk oraz e 1 ,...,ek są nieujemnymi liczbami całkowitymi (mogą wynosić zero, jeśli odpowiadająca im liczba pierwsza nie znajduje się w rozkładzie).

Następnie LCM ( a,b) oblicza się według wzoru:

Innymi słowy, rozwinięcie LCM zawiera wszystkie czynniki pierwsze, które są zawarte w co najmniej jednym z rozwinięć liczb a, b i brany jest pod uwagę największy z dwóch wykładników tego czynnika.

Przykład:

Obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności kilku liczb można sprowadzić do kilku kolejnych obliczeń LCM dwóch liczb:

Reguła. Aby znaleźć LCM serii liczb, potrzebujesz:

- rozłożyć liczby na czynniki pierwsze;

- przenieść największą ekspansję na czynniki pożądanego produktu (iloczyn czynników duża liczba z podanych), a następnie dodaj czynniki z rozkładu innych liczb, które nie występują w pierwszej liczbie lub są w niej mniejszą liczbę razy;

- otrzymany iloczyn czynników pierwszych będzie LCM podanych liczb.

Co najmniej dwie liczby naturalne mają swój własny LCM. Jeśli liczby nie są wielokrotnościami siebie lub nie mają tych samych współczynników w rozwinięciu, to ich LCM jest równy iloczynowi tych liczb.

Czynniki pierwsze liczby 28 (2, 2, 7) zostały uzupełnione o czynnik 3 (liczba 21), otrzymany iloczyn (84) będzie najmniejsza liczba, która jest podzielna przez 21 i 28 .

Czynniki pierwsze nai jeszcze 30 został uzupełniony o czynnik 5 liczby 25, wynikowy iloczyn 150 jest większy niż największa liczba 30 i jest podzielny przez wszystkie podane liczby bez reszty. Jest to najmniejszy możliwy iloczyn (150, 250, 300...), którego wszystkie podane liczby są wielokrotnościami.

Liczby 2,3,11,37 są pierwsze, więc ich LCM jest równy iloczynowi danych liczb.

reguła. Aby obliczyć LCM liczb pierwszych, musisz pomnożyć wszystkie te liczby.

Inna opcja:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) kilku liczb, potrzebujesz:

1) reprezentują każdą liczbę jako iloczyn jej czynników pierwszych, na przykład:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapisz potęgi wszystkich czynników pierwszych:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) wypisz wszystkie dzielniki pierwsze (mnożniki) każdej z tych liczb;

4) wybrać największy stopień każdego z nich, znaleziony we wszystkich rozwinięciach tych liczb;

5) pomnóż te uprawnienia.

Przykład. Znajdź LCM liczb: 168, 180 i 3024.

Rozwiązanie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wypisujemy największe potęgi wszystkich dzielników pierwszych i mnożymy je:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb jest bezpośrednio związana z największym wspólnym dzielnikiem tych liczb. Ten połączenie między GCD a NOC jest zdefiniowany przez następujące twierdzenie.

Twierdzenie.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych a i b jest równa iloczynowi a i b podzielonemu przez największy wspólny dzielnik a i b, czyli LKM(a, b)=a b: LKM(a, b).

Dowód.

Wynajmować M jest pewną wielokrotnością liczb a i b. Oznacza to, że M jest podzielne przez a, az definicji podzielności istnieje pewna liczba całkowita k taka, że równość M=a·k jest prawdziwa. Ale M jest również podzielne przez b, wtedy a k jest podzielne przez b.

Oznacz gcd(a, b) jako d . Następnie możemy zapisać równości a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d będą liczbami względnie pierwszymi. Zatem warunek uzyskany w poprzednim akapicie, że a k jest podzielna przez b, można przeformułować w następujący sposób: a 1 d k jest podzielne przez b 1 d , a to ze względu na własności podzielności jest równoważne z warunkiem, że a 1 k jest podzielna przez b jeden .

Musimy również wypisać dwa ważne wnioski z rozważanego twierdzenia.

Wspólne wielokrotności dwóch liczb są takie same jak wielokrotności ich najmniejszej wspólnej wielokrotności.

To prawda, ponieważ każda wspólna wielokrotność M liczb a i b jest określona przez równość M=LCM(a, b) t dla pewnej liczby całkowitej t .

Najmniejsza wspólna wielokrotność względnie pierwszych liczb dodatnich a i b jest równa ich iloczynowi.

Uzasadnienie tego faktu jest dość oczywiste. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to gcd(a, b)=1 , zatem LCM(a, b)=a b: NWD(a, b)=a b:1=a b.

Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności trzech lub więcej liczb można sprowadzić do kolejnego znalezienia LCM dwóch liczb. Jak to się robi, wskazuje następujące twierdzenie: a 1 , a 2 , …, a k pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczb m k-1 i a k , zatem pokrywają się z wielokrotnościami m k . A ponieważ najmniejszą dodatnią wielokrotnością liczby m k jest sama liczba m k, to najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a 1 , a 2 , …, a k jest m k .

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya. itd. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
Michelowicz Sz.Kh. Teoria liczb.
Kulikow L.Ya. i inne Zbiór zadań z algebry i teorii liczb: Instruktaż dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych.

Ale wiele liczb naturalnych jest równo podzielnych przez inne liczby naturalne.

Na przykład:

Liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;

Liczba 36 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, według których liczba jest podzielna (dla 12 jest to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) są nazywane dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej a jest liczbą naturalną dzielącą podaną liczbę a bez śladu. Liczba naturalna, która ma więcej niż dwa czynniki, nazywa się złożony .

Zauważ, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Są to liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12. Wspólny dzielnik tych dwóch liczb a oraz b to liczba, przez którą obie podane liczby są podzielne bez reszty a oraz b.

LCM jest zawsze liczbą naturalną, która musi być większa niż największa z liczb, dla których jest zdefiniowana.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Nieruchomości.

Przemienność:

Łączność:

W szczególności, jeśli i są liczbami względnie pierwszymi , to:

Asymptotyka dla może być wyrażona w postaci pewnych funkcji teorii liczb.

Więc, Funkcja Czebyszewa. Jak również:

Wynika to z definicji i własności funkcji Landaua g(n).

Co wynika z prawa rozkładu liczb pierwszych.

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

NOC( a, b) można obliczyć na kilka sposobów:

1. Jeśli znany jest największy wspólny dzielnik, możesz wykorzystać jego relację z LCM:

2. Niech będzie znany rozkład kanoniczny obu liczb na czynniki pierwsze:

Następnie LCM ( a,b) oblicza się według wzoru:

Przykład:

Obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności kilku liczb można sprowadzić do kilku kolejnych obliczeń LCM dwóch liczb:

Reguła. Aby znaleźć LCM serii liczb, potrzebujesz:

- rozłożyć liczby na czynniki pierwsze;

- przenieść największą ekspansję na czynniki pożądanego iloczynu (iloczyn czynników największej liczby danych), a następnie dodać czynniki z rozwinięcia innych liczb, które nie występują w pierwszej liczbie lub są w niej mniejsza liczba razy;

- otrzymany iloczyn czynników pierwszych będzie LCM podanych liczb.

Czynniki pierwsze liczby 28 (2, 2, 7) zostały uzupełnione o czynnik 3 (liczba 21), wynikowy iloczyn (84) będzie najmniejszą liczbą podzielną przez 21 i 28.

Czynniki pierwsze największej liczby 30 zostały uzupełnione o czynnik 5 liczby 25, wynikowy iloczyn 150 jest większy od największej liczby 30 i jest podzielny przez wszystkie podane liczby bez reszty. Jest to najmniejszy możliwy iloczyn (150, 250, 300...), którego wszystkie podane liczby są wielokrotnościami.

Liczby 2,3,11,37 są pierwsze, więc ich LCM jest równy iloczynowi danych liczb.

reguła. Aby obliczyć LCM liczb pierwszych, musisz pomnożyć wszystkie te liczby.

Inna opcja:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) kilku liczb, potrzebujesz:

1) reprezentują każdą liczbę jako iloczyn jej czynników pierwszych, na przykład:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapisz potęgi wszystkich czynników pierwszych:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) wypisz wszystkie dzielniki pierwsze (mnożniki) każdej z tych liczb;

4) wybrać największy stopień każdego z nich, znaleziony we wszystkich rozwinięciach tych liczb;

5) pomnóż te uprawnienia.

Przykład. Znajdź LCM liczb: 168, 180 i 3024.

Rozwiązanie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wypisujemy największe potęgi wszystkich dzielników pierwszych i mnożymy je:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Aby zrozumieć, jak obliczyć LCM, należy najpierw określić znaczenie terminu „wielokrotność”.

Wielokrotność A jest liczbą naturalną podzielną przez A bez reszty, więc 15, 20, 25 itd. można uznać za wielokrotności 5.

Może istnieć ograniczona liczba dzielników określonej liczby, ale istnieje nieskończona liczba wielokrotności.

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych to liczba podzielna przez nie bez reszty.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb (dwa, trzy lub więcej) to najmniejsza liczba naturalna podzielna przez wszystkie te liczby.

Aby znaleźć NOC, możesz użyć kilku metod.

W przypadku małych liczb wygodnie jest wypisać wszystkie wielokrotności tych liczb w jednym wierszu, dopóki nie znajdzie się między nimi jedna wspólna. Wielokrotności są oznaczone w rekordzie wielką literą K.

Na przykład wielokrotności 4 można zapisać w następujący sposób:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Widać więc, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest liczba 24. Ten wpis jest wykonywany w następujący sposób:

LCM(4, 6) = 24

Jeśli liczby są duże, znajdź wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, lepiej użyć innego sposobu obliczenia LCM.

Aby wykonać zadanie, konieczne jest rozłożenie proponowanych liczb na czynniki pierwsze.

Najpierw musisz wypisać rozwinięcie największej z liczb w linii, a pod nią - resztę.

W rozszerzeniu każdej liczby może być inna ilość mnożniki.

Na przykład podzielmy liczby 50 i 20 na czynniki pierwsze.

Przy rozwinięciu mniejszej liczby należy podkreślić czynniki, których brakuje w rozwinięciu pierwszej największej liczby, a następnie dodać je do niej. W prezentowanym przykładzie brakuje dwójki.

Teraz możemy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność 20 i 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Zatem iloczyn czynników pierwszych większej liczby i czynników drugiej liczby, które nie są uwzględnione w dekompozycji większej liczby, będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, wszystkie z nich należy rozłożyć na czynniki pierwsze, tak jak w poprzednim przypadku.

Jako przykład możesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Tak więc tylko dwie dwójki z rozkładu szesnastu nie zostały uwzględnione w faktoryzacji większej liczby (jedna jest w dekompozycji dwudziestu czterech).

Dlatego należy je dodać do rozkładu większej liczby.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Istnieją szczególne przypadki wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Jeśli więc jedną z liczb można podzielić bez reszty przez drugą, to większa z tych liczb będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Na przykład, dwanaście i dwadzieścia cztery NOCs będą miały dwadzieścia cztery.

Jeśli konieczne jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb względnie pierwszych, które nie mają takich samych dzielników, to ich LCM będzie równy ich iloczynowi.

Na przykład LCM(10, 11) = 110.