Rozwiąż wzór na równanie kwadratowe. Tradycyjny sposób rozwiązywania i niepełne równania kwadratowe. Przykłady równań kwadratowych

Równania kwadratowe są badane w klasie 8, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Niezbędna jest umiejętność ich rozwiązania.

Równanie kwadratowe to równanie postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a , b i c są liczbami arbitralnymi, a a ≠ 0.

Przed przestudiowaniem konkretnych metod rozwiązywania zauważamy, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:

Nie mają korzeni;
Mają dokładnie jeden korzeń;
Mają dwa różne korzenie.

Jest to ważna różnica między równaniami kwadratowymi i liniowymi, w których pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak określić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym cudowna rzecz - dyskryminujący.

Dyskryminujący

Niech dane będzie równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem jest po prostu liczba D = b 2 − 4ac .

Ta formuła musi być znana na pamięć. Skąd pochodzi, nie jest teraz ważne. Kolejna rzecz jest ważna: za pomocą znaku wyróżnika możesz określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:

Jeśli D< 0, корней нет;
Jeśli D = 0, jest dokładnie jeden pierwiastek;
Jeśli D > 0, będą dwa pierwiastki.

Uwaga: wyróżnik wskazuje liczbę korzeni, a nie ich znaki, jak z jakiegoś powodu myśli wiele osób. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:

Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Piszemy współczynniki dla pierwszego równania i znajdujemy wyróżnik:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Czyli dyskryminator jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. W ten sam sposób analizujemy drugie równanie:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Wyróżnik jest negatywny, nie ma korzeni. Pozostaje ostatnie równanie:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Dyskryminator jest równy zero - pierwiastek będzie jeden.

Zauważ, że współczynniki zostały wypisane dla każdego równania. Tak, to jest długie, tak, to nudne - ale nie pomylisz szans i nie popełnisz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.

Nawiasem mówiąc, jeśli „wypełnisz rękę”, po pewnym czasie nie będziesz już musiał wypisywać wszystkich współczynników. Takie operacje wykonasz w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po 50-70 rozwiązanych równaniach - generalnie nie tak bardzo.

Pierwiastki równania kwadratowego

Przejdźmy teraz do rozwiązania. Jeżeli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć za pomocą wzorów:

Podstawowa formuła korzeni równanie kwadratowe

Gdy D = 0, możesz użyć dowolnej z tych formuł - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Pierwsze równanie:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:

Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ równanie znów ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można użyć dowolnej formuły. Na przykład pierwszy:

Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz formuły i umiesz liczyć, nie będzie problemów. Najczęściej błędy pojawiają się, gdy do wzoru wstawia się ujemne współczynniki. Tutaj ponownie pomoże opisana powyżej technika: spójrz na formułę dosłownie, pomaluj każdy krok - i szybko pozbądź się błędów.

Niepełne równania kwadratowe

Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Łatwo zauważyć, że w tych równaniach brakuje jednego z terminów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie trzeba nawet obliczać dyskryminatora. Przedstawmy więc nową koncepcję:

Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywa się niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub wolnego elementu jest równy zero.

Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zeru: b \u003d c \u003d 0. W tym przypadku równanie ma postać ax 2 \u003d 0. Oczywiście takie równanie ma jedno korzeń: x \u003d 0.

Rozważmy inne przypadki. Niech b \u003d 0, a następnie otrzymamy niekompletne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c \u003d 0. Przekształćmy to nieco:

Ponieważ pierwiastek arytmetyczny istnieje tylko z nie Liczba ujemna, ostatnia równość ma sens tylko dla (−c /a ) ≥ 0. Wniosek:

Jeżeli niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c = 0 spełnia nierówność (−c / a ) ≥ 0, to będą dwa pierwiastki. Wzór podano powyżej;
Jeśli (−c / a )< 0, корней нет.

Jak widać dyskryminator nie był wymagany - w niepełnych równaniach kwadratowych nie ma w ogóle skomplikowanych obliczeń. W rzeczywistości nie trzeba nawet pamiętać o nierówności (−c / a ) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli jest ujemny, w ogóle nie będzie korzeni.

Zajmijmy się teraz równaniami postaci ax 2 + bx = 0, w których wolny element jest równy zero. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:

Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, przeanalizujemy kilka z tych równań:

Zadanie. Rozwiąż równania kwadratowe:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 – 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nie ma korzeni, ponieważ kwadrat nie może być równy liczbie ujemnej.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Zadania na równanie kwadratowe są badane zarówno w szkolnym programie nauczania, jak i na uniwersytetach. Są rozumiane jako równania postaci a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, gdzie x- zmienna, a,b,c – stałe; a<>0 . Problem polega na znalezieniu pierwiastków równania.

Geometryczne znaczenie równania kwadratowego

Wykres funkcji reprezentowanej przez równanie kwadratowe to parabola. Rozwiązania (pierwiastki) równania kwadratowego to punkty przecięcia paraboli z osią x. Wynika z tego, że możliwe są trzy przypadki:
1) parabola nie ma punktów przecięcia z osią x. Oznacza to, że znajduje się w górnej płaszczyźnie z rozgałęzieniami do góry lub dolnej z rozgałęzieniami w dół. W takich przypadkach równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma dwa pierwiastki złożone).

2) parabola ma jeden punkt przecięcia z osią Wół. Taki punkt nazywa się wierzchołkiem paraboli, a równanie kwadratowe w nim osiąga minimum lub maksymalna wartość. W tym przypadku równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek rzeczywisty (lub dwa identyczne pierwiastki).

3) Ostatni przypadek jest ciekawszy w praktyce - istnieją dwa punkty przecięcia paraboli z osią odciętych. Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Na podstawie analizy współczynników przy potęgach zmiennych można wyciągnąć ciekawe wnioski dotyczące rozmieszczenia paraboli.

1) Jeśli współczynnik a jest większy od zera, to parabola jest skierowana w górę, jeśli jest ujemna, gałęzie paraboli skierowane są w dół.

2) Jeśli współczynnik b jest większy od zera, to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie, jeśli przyjmuje negatywne znaczenie- potem w prawo.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego

Przenieśmy stałą z równania kwadratowego

dla znaku równości otrzymujemy wyrażenie

Pomnóż obie strony przez 4a

Aby uzyskać pełny kwadrat po lewej stronie, dodaj b ^ 2 w obu częściach i wykonaj transformację

Stąd znajdujemy

Wzór na wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego

Dyskryminator jest wartością wyrażenia pierwiastkowego. Jeśli jest dodatni, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, obliczone za pomocą wzoru Gdy dyskryminator wynosi zero, równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie (dwa pokrywające się pierwiastki), które łatwo wyprowadzić z powyższego wzoru dla D = 0. Gdy dyskryminator jest ujemny, nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jednak, aby zbadać rozwiązania równania kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej, a ich wartość oblicza się według wzoru

Twierdzenie Viety

Rozważ dwa pierwiastki równania kwadratowego i skonstruuj na ich podstawie równanie kwadratowe.Samo twierdzenie Vieta łatwo wynika z notacji: jeśli mamy równanie kwadratowe o postaci wtedy suma jego pierwiastków jest równa współczynnikowi p, wziętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków równania jest równy członowi wolnemu q. Wzór na powyższe będzie wyglądał tak: Jeśli stała a w równaniu klasycznym jest niezerowa, to musisz przez nią podzielić całe równanie, a następnie zastosować twierdzenie Vieta.

Harmonogram równania kwadratowego na czynniki

Niech postawimy sobie zadanie: rozłożyć równanie kwadratowe na czynniki. Aby to wykonać, najpierw rozwiązujemy równanie (znajdujemy pierwiastki). Następnie podstawiamy znalezione pierwiastki do wzoru na rozwinięcie równania kwadratowego.Ten problem zostanie rozwiązany.

Zadania dla równania kwadratowego

Zadanie 1. Znajdź pierwiastki równania kwadratowego

x^2-26x+120=0 .

Rozwiązanie: Zapisz współczynniki i zastąp je we wzorze na dyskryminację

korzeń podana wartość równy 14, łatwo go znaleźć za pomocą kalkulatora, lub zapamiętać przy częstym używaniu, jednak dla wygody na końcu artykułu podam listę kwadratów liczb, które często można znaleźć w takich zadaniach .
Znaleziona wartość jest podstawiona do wzoru na pierwiastek

i dostajemy

Zadanie 2. Rozwiązać równanie

2x2+x-3=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe, wypisz współczynniki i znajdź wyróżnik

Korzystając ze znanych wzorów, znajdujemy pierwiastki równania kwadratowego

Zadanie 3. Rozwiązać równanie

9x2 -12x+4=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe. Określ dyskryminator

Mamy przypadek, gdy korzenie się pokrywają. Obliczamy wartości pierwiastków według wzoru

Zadanie 4. Rozwiązać równanie

x^2+x-6=0 .

Rozwiązanie: W przypadkach, w których występują małe współczynniki dla x, wskazane jest zastosowanie twierdzenia Vieta. Z jego warunku otrzymujemy dwa równania

Z drugiego warunku otrzymujemy, że iloczyn musi być równy -6. Oznacza to, że jeden z korzeni jest ujemny. Mamy następującą możliwą parę rozwiązań(-3;2), (3;-2) . Biorąc pod uwagę pierwszy warunek, odrzucamy drugą parę rozwiązań.
Pierwiastki równania to

Zadanie 5. Znajdź długości boków prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 18 cm, a powierzchnia 77 cm2.

Rozwiązanie: połowa obwodu prostokąta jest równa sumie sąsiednich boków. Oznaczmy x - duża strona, wtedy 18-x jest jego mniejszą stroną. Powierzchnia prostokąta jest równa iloczynowi tych długości:
x(18x)=77;
lub
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Znajdźmy wyróżnik równania

Obliczamy pierwiastki równania

Jeśli x=11, następnie 18x=7 , odwrotnie jest również prawdziwe (jeśli x=7, to 21-x=9).

Zadanie 6. Faktoryzuj równanie kwadratowe 10x 2 -11x+3=0.

Rozwiązanie: Oblicz pierwiastki równania, w tym celu znajdujemy wyróżnik

Podstawiamy znalezioną wartość do wzoru pierwiastków i obliczamy

Stosujemy wzór na rozwinięcie równania kwadratowego o pierwiastki

Rozwijając nawiasy otrzymujemy tożsamość.

Równanie kwadratowe z parametrem

Przykład 1. Dla jakich wartości parametru a , czy równanie (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 ma jeden pierwiastek?

Rozwiązanie: Poprzez bezpośrednie podstawienie wartości a=3 widzimy, że nie ma rozwiązania. Następnie wykorzystujemy fakt, że przy zerowym dyskryminatorze równanie ma jeden pierwiastek z krotności 2. Wypisujemy wyróżnik

uprościć i przyrównać do zera

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe ze względu na parametr a, którego rozwiązanie jest łatwe do uzyskania przy pomocy twierdzenia Vieta. Suma pierwiastków to 7, a ich iloczyn to 12. Poprzez proste wyliczenie ustalamy, że liczby 3.4 będą pierwiastkami równania. Ponieważ już na początku obliczeń odrzuciliśmy rozwiązanie a = 3, jedynym poprawnym będzie - a=4. Zatem dla a = 4 równanie ma jeden pierwiastek.

Przykład 2. Dla jakich wartości parametru a , równanie a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ma więcej niż jeden korzeń?

Rozwiązanie: Najpierw rozważ punkty osobliwe, będą to wartości a=0 i a=-3. Gdy a=0, równanie zostanie uproszczone do postaci 6x-9=0; x=3/2 i będzie jeden pierwiastek. Dla a= -3 otrzymujemy tożsamość 0=0 .
Oblicz dyskryminator

i znajdź wartości, dla których jest to pozytywne

Z pierwszego warunku otrzymujemy a>3. Po drugie, znajdujemy wyróżnik i pierwiastki równania

Zdefiniujmy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Podstawiając punkt a=0 otrzymujemy 3>0 . Tak więc poza przedziałem (-3; 1/3) funkcja jest ujemna. Nie zapomnij o kropce a=0 co należy wykluczyć, ponieważ pierwotne równanie ma w sobie jeden pierwiastek.
W rezultacie otrzymujemy dwa przedziały spełniające warunek problemu

W praktyce będzie wiele podobnych zadań, postaraj się samemu poradzić sobie z zadaniami i nie zapomnij wziąć pod uwagę warunków, które wzajemnie się wykluczają. Przestudiuj dobrze wzory do rozwiązywania równań kwadratowych, są one dość często potrzebne w obliczeniach w różnych problemach i naukach.

Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0.
Do kwadratu trójmianowego ax 2 + bx + c stosujemy te same przekształcenia, które wykonaliśmy w § 13, kiedy udowodniliśmy twierdzenie, że wykres funkcji y \u003d ax 2 + bx + c jest parabolą.
Mamy

Zwykle wyrażenie b 2 - 4ac jest oznaczone literą D i nazywane jest wyróżnikiem równania kwadratowego ax 2 + bx + c \u003d 0 (lub wyróżnikiem kwadratu trójmianu ax + bx + c).

W ten sposób

Stąd równanie kwadratowe ax 2 + ich + c \u003d O można przepisać jako

Każde równanie kwadratowe można przekształcić do postaci (1), co jest wygodne, jak teraz zobaczymy, w celu określenia liczby pierwiastków równania kwadratowego i znalezienia tych pierwiastków.

Dowód. Jeśli D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Przykład 1 Rozwiąż równanie 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Rozwiązanie. Tutaj a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Od D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dowód. Jeśli D = 0, to równanie (1) przyjmuje postać

jest jedynym pierwiastkiem równania.

Uwaga 1. Czy pamiętasz, że x \u003d - jest odciętą wierzchołka paraboli, która służy jako wykres funkcji y \u003d ax 2 + ux + c? Dlaczego to
wartość okazała się jedynym pierwiastkiem równania kwadratowego ax 2 + x + c - 0? „Szkatułka” otwiera się po prostu: jeśli D wynosi 0, to, jak ustaliliśmy wcześniej,

Wykres tej samej funkcji jest parabolą z wierzchołkiem w punkcie (patrz na przykład ryc. 98). Stąd odcięta wierzchołka paraboli i jedyny pierwiastek równania kwadratowego dla D = 0 są tą samą liczbą.

Przykład 2 Rozwiąż równanie 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Rozwiązanie. Tutaj a \u003d 4, b \u003d -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. cztery . 25 = 400 - 400 = 0.

Ponieważ D = 0, to według Twierdzenia 2 to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek. Ten korzeń można znaleźć według wzoru

Odpowiedź: 2.5.

Uwaga 2. Zauważ, że 4x2 - 20x +25 to idealny kwadrat: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2.
Gdybyśmy zauważyli to od razu, rozwiązalibyśmy równanie w ten sposób: (2x - 5) 2 \u003d 0, co oznacza 2x - 5 \u003d 0, z czego otrzymujemy x \u003d 2,5. Ogólnie, jeśli D = 0, to

ax 2 + bx + c = - zauważyliśmy to wcześniej w Uwaga 1.
Jeśli D > 0, to równanie kwadratowe ax 2 + bx + c \u003d 0 ma dwa pierwiastki, które znajdują się we wzorach

Dowód. Przepisujemy równanie kwadratowe ax 2 + b x + c = 0 w postaci (1)

Włóżmy
Z założenia D > 0, co oznacza, że prawa strona równania jest liczbą dodatnią. Następnie z równania (2) otrzymujemy, że

Tak więc dane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki:

Uwaga 3. W matematyce rzadko się zdarza, aby wprowadzony termin nie miał, mówiąc w przenośni, tła codziennego. Weźmy nowy
koncepcja jest dyskryminująca. Zapamiętaj słowo „dyskryminacja”. Co to znaczy? Oznacza upokorzenie jednych i wywyższenie innych, czyli różne postawy
nie do różnych pudya. Oba słowa (zarówno dyskryminujący, jak i dyskryminujący) pochodzą od łacińskich dyskryminatorów – „wyróżniający”. Dyskryminator rozróżnia równania kwadratowe według liczby pierwiastków.

Przykład 3 Rozwiąż równanie 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Rozwiązanie. Tutaj a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Ponieważ D > 0, to według Twierdzenia 3 to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Te korzenie można znaleźć za pomocą wzorów (3)

W rzeczywistości opracowaliśmy następującą zasadę:

Reguła rozwiązywania równań
topór 2 + bx + c = 0

Ta zasada jest uniwersalna, dotyczy zarówno kompletnych, jak i niepełnych równań kwadratowych. Jednak niepełne równania kwadratowe zwykle nie są rozwiązywane zgodnie z tą zasadą; wygodniej jest je rozwiązać, tak jak to zrobiliśmy w poprzednim akapicie.

Przykład 4 Rozwiąż równania:

a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Rozwiązanie a) Tutaj a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d Z 2 - 4. jeden . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Ponieważ D > 0, to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Te korzenie można znaleźć za pomocą wzorów (3)

B) Jak pokazuje doświadczenie, wygodniej jest zajmować się równaniami kwadratowymi, w których wiodący współczynnik jest dodatni. Dlatego najpierw mnożymy obie strony równania przez -1, otrzymujemy

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Tutaj a \u003d 9, b \u003d -6, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 36 - 36 \u003d 0.
Ponieważ D = 0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek. Ten korzeń znajduje się według wzoru x \u003d -. Oznacza,

Równanie to można rozwiązać w inny sposób: ponieważ
9x 2 - 6x + 1 \u003d (Zx - IJ, następnie otrzymujemy równanie (3x - I) 2 \u003d 0, z którego znajdujemy Zx - 1 \u003d 0, tj. x \u003d.

c) Tutaj a \u003d 2, b \u003d - 1, c \u003d 3,5, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Ponieważ D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematycy to ludzie praktyczni, oszczędni. Dlaczego, jak mówią, używa się tak długiej reguły do rozwiązywania równania kwadratowego, lepiej od razu napisać ogólną formułę:

Jeśli okaże się, że dyskryminator D \u003d b 2 - 4ac jest liczbą ujemną, to napisana formuła nie ma sensu (pod znakiem pierwiastek kwadratowy jest liczbą ujemną), więc nie ma pierwiastków. Jeśli okaże się, że dyskryminator jest równy zero, to otrzymujemy

To znaczy jeden pierwiastek (mówią również, że równanie kwadratowe w tym przypadku ma dwa identyczne pierwiastki:

Wreszcie, jeśli okaże się, że b 2 - 4ac > 0, to otrzymuje się dwa pierwiastki x 1 i x 2, które oblicza się przy użyciu tych samych wzorów (3), jak wskazano powyżej.

Sama liczba w tym przypadku jest dodatnia (jak każdy pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej), a podwójny znak przed nią oznacza, że w jednym przypadku (przy znajdowaniu x 1) ta liczba dodatnia jest dodawana do liczby - b, a w drugim przypadku (gdy znajdowanie x 2) jest liczbą dodatnią
odczytaj od numeru - b.

Masz wolność wyboru. Jeśli chcesz, rozwiąż szczegółowo równanie kwadratowe, korzystając z reguły sformułowanej powyżej; jeśli chcesz, od razu zapisz wzór (4) i użyj go do wyciągnięcia niezbędnych wniosków.

Przykład 5. Rozwiąż równania:

Rozwiązanie a) Oczywiście można zastosować wzory (4) lub (3), biorąc pod uwagę, że w tym przypadku Ale po co wykonywać akcje na ułamkach, kiedy łatwiej i, co najważniejsze, przyjemniej jest radzić sobie z liczbami całkowitymi? Pozbądźmy się mianowników. Aby to zrobić, musisz pomnożyć obie części równania przez 12, czyli przez najmniejszy wspólny mianownik ułamków, które służą jako współczynniki równania. Dostać

skąd 8x 2 + 10x - 7 = 0.

A teraz używamy formuły (4)

B) Ponownie mamy równanie ze współczynnikami ułamkowymi: a \u003d 3, b \u003d - 0,2, c \u003d 2,77. Pomnóż obie strony równania przez 100, to otrzymujemy równanie o współczynnikach całkowitych:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Następnie korzystamy ze wzoru (4):

Proste przypuszczenie pokazuje, że wyróżnik (wyrażenie radykalne) jest liczbą ujemną. Więc równanie nie ma pierwiastków.

Przykład 6 Rozwiązać równanie
Rozwiązanie. Tutaj, w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, lepiej działać zgodnie z regułą, a nie według zredukowanego wzoru (4).

Mamy a \u003d 5, b \u003d -, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Ponieważ D > 0, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki, których będziemy szukać za pomocą wzorów (3)

Przykład 7 Rozwiązać równanie
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 + p-2) = 0

Rozwiązanie. To równanie kwadratowe różni się od wszystkich rozważanych do tej pory równań kwadratowych tym, że współczynniki nie są konkretnymi liczbami, ale dosłownymi wyrażeniami. Takie równania nazywane są równaniami ze współczynnikami literowymi lub równaniami z parametrami. W tym przypadku parametr (litera) p jest zawarty w drugim współczynniku i członie swobodnym równania.
Znajdźmy wyróżnik:

Przykład 8. Rozwiąż równanie px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Rozwiązanie. Jest to również równanie z parametrem p, ale w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu nie można go rozwiązać od razu za pomocą wzorów (4) lub (3). Faktem jest, że te wzory mają zastosowanie do równań kwadratowych, ale nie możemy jeszcze powiedzieć tego o danym równaniu. Rzeczywiście, co jeśli p = 0? Następnie
równanie przyjmie postać 0 . x 2 + (1-0)x- 1 \u003d 0, tj. x - 1 \u003d 0, z czego otrzymujemy x \u003d 1. Teraz, jeśli wiesz na pewno, możesz zastosować formuły pierwiastków równania kwadratowego:

Niepełne równanie kwadratowe różni się od klasycznych (pełnych) równań tym, że jego współczynniki lub wyraz wolny są równe zeru. Wykresem takich funkcji są parabole. W zależności od ogólnego wyglądu dzielą się na 3 grupy. Zasady rozwiązywania wszystkich typów równań są takie same.

Nie ma nic trudnego w określeniu typu wielomianu niepełnego. Najlepiej rozważyć główne różnice w przykładowych przykładach:

Jeśli b = 0, to równanie to ax 2 + c = 0.
Jeśli c = 0, to wyrażenie ax 2 + bx = 0 powinno zostać rozwiązane.
Jeśli b = 0 i c = 0, to wielomian staje się równością typu ax 2 = 0.

Ten ostatni przypadek jest bardziej teoretyczną możliwością i nigdy nie występuje w testach wiedzy, ponieważ jedyny prawidłowa wartość zmienna x w wyrażeniu wynosi zero. W przyszłości zostaną rozważone metody i przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych 1) i 2) typów.

Ogólny algorytm znajdowania zmiennych i przykładów z rozwiązaniem

Niezależnie od rodzaju równania, algorytm rozwiązania sprowadza się do następujących kroków:

Sprowadź wyrażenie do formy dogodnej do wyszukiwania korzeni.
Dokonuj obliczeń.
Zapisz odpowiedź.

Niekompletne równania najłatwiej rozwiązać przez faktoring lewa strona i pozostawiając zero po prawej stronie. Zatem wzór na niepełne równanie kwadratowe do znajdowania pierwiastków sprowadza się do obliczenia wartości x dla każdego z czynników.

Możesz nauczyć się rozwiązywać tylko w praktyce, więc rozważmy konkretny przykład znajdowania pierwiastków niepełnego równania:

Jak widać, w tym przypadku b = 0. Rozkładamy lewą stronę na czynniki i otrzymujemy wyrażenie:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Oczywiście iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Podobne wymagania spełniają wartości zmiennej x1 = 0,5 i (lub) x2 = -0,5.

Aby łatwo i szybko poradzić sobie z zadaniem rozłożenia trójmianu kwadratowego na czynniki, należy pamiętać o następującym wzorze:

Jeśli w wyrażeniu nie ma wolnego terminu, zadanie jest znacznie uproszczone. Wystarczy tylko znaleźć i usunąć wspólny mianownik. Dla jasności rozważmy przykład rozwiązywania niekompletnych równań kwadratowych postaci ax2 + bx = 0.

Wyjmijmy zmienną x z nawiasów i uzyskajmy następujące wyrażenie:

x (x + 3) = 0.

Na podstawie logiki wnioskujemy, że x1 = 0 i x2 = -3.

Tradycyjny sposób rozwiązywania i niekompletne równania kwadratowe

Co się stanie, jeśli zastosujemy wzór na dyskryminację i spróbujemy znaleźć pierwiastki wielomianu o współczynnikach równych zero? Weźmy przykład ze zbioru typowych zadań do ujednoliconego egzaminu państwowego z matematyki w 2017 roku, rozwiążemy go za pomocą standardowych formuł i metody faktoryzacji.

7x 2 - 3x = 0.

Oblicz wartość wyróżnika: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Okazuje się, że wielomian ma dwa pierwiastki:

Teraz rozwiąż równanie, rozkładając na czynniki i porównaj wyniki.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Jak widać, obie metody dają ten sam wynik, ale drugi sposób rozwiązania równania okazał się znacznie łatwiejszy i szybszy.

Twierdzenie Viety

Ale co zrobić z ukochanym twierdzeniem Vieta? Czy tę metodę można zastosować z niepełnym trójmianem? Spróbujmy zrozumieć aspekty castingu niekompletne równania do postaci klasycznej ax2 + bx + c = 0.

W rzeczywistości możliwe jest zastosowanie w tym przypadku twierdzenia Viety. Konieczne jest jedynie sprowadzenie wyrażenia do ogólnej postaci, zastępując brakujące terminy zerem.

Na przykład przy b = 0 i a = 1, aby wyeliminować możliwość pomyłki, zadanie należy zapisać w postaci: ax2 + 0 + c = 0. Następnie stosunek sumy i iloczynu pierwiastków i czynniki wielomianu można wyrazić w następujący sposób:

Obliczenia teoretyczne pomagają zapoznać się z istotą zagadnienia i zawsze wymagają rozwoju umiejętności rozwiązywania konkretnych problemów. Wróćmy ponownie do podręcznika typowych zadań do egzaminu i znajdź odpowiedni przykład:

Wyrażenie zapisujemy w formie dogodnej do zastosowania twierdzenia Vieta:

x2 + 0 - 16 = 0.

Następnym krokiem jest stworzenie systemu warunków:

Oczywiście pierwiastki wielomianu kwadratowego będą wynosić x 1 \u003d 4 i x 2 \u003d -4.

Teraz przećwiczmy sprowadzanie równania do ogólnej postaci. Weźmy następujący przykład: 1/4× x 2 – 1 = 0

Aby zastosować twierdzenie Vieta do wyrażenia, musisz pozbyć się ułamka. Pomnóż lewą i prawą część przez 4 i spójrz na wynik: x2– 4 = 0. Otrzymana równość jest gotowa do rozwiązania przez twierdzenie Vieta, ale o wiele łatwiej i szybciej jest uzyskać odpowiedź po prostu przenosząc c = 4 do prawa strona równania: x2 = 4.

Podsumowując, należy powiedzieć, że Najlepszym sposobem rozwiązaniem niekompletnych równań jest faktoryzacja, jest najprostsze i szybka metoda. Jeśli napotkasz trudności w procesie wyszukiwania korzeni, możesz się skontaktować metoda tradycyjna znajdowanie korzeni poprzez dyskryminację.

Kontynuujemy badanie tematu rozwiązywanie równań”. Zapoznaliśmy się już z równaniami liniowymi, a teraz zapoznamy się z równania kwadratowe.

Najpierw przeanalizujemy, czym jest równanie kwadratowe, jak jest napisane ogólna perspektywa i podać powiązane definicje. Następnie, korzystając z przykładów, szczegółowo przeanalizujemy, jak rozwiązywane są niekompletne równania kwadratowe. Następnie przechodzimy do rozwiązywania kompletnych równań, otrzymujemy wzór na pierwiastki, zapoznajemy się z wyróżnikiem równania kwadratowego i rozważamy rozwiązania typowych przykładów. Na koniec śledzimy powiązania między pierwiastkami a współczynnikami.

Nawigacja po stronach.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest rozpoczęcie mówienia o równaniach kwadratowych od definicji równania kwadratowego, a także definicji z nim związanych. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: zredukowane i niezredukowane, a także kompletne i niepełne równania.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci a x 2 +b x+c=0, gdzie x jest zmienną, a , b i c to pewne liczby, a a jest różne od zera.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. Dzieje się tak, ponieważ równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugi stopień.

Zabrzmiała definicja pozwala nam podać przykłady równań kwadratowych. Czyli 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. są równaniami kwadratowymi.

Definicja.

Liczby a , b i c są nazywane współczynniki równania kwadratowego a x 2 + b x + c=0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b jest drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy x, a c jest swobodnym elementem.

Na przykład weźmy równanie kwadratowe postaci 5 x 2 −2 x−3=0 , tutaj współczynnik wiodący to 5 , drugi współczynnik to −2 , a wyraz wolny −3 . Zauważ, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, jak w podanym właśnie przykładzie, używa się skróconej postaci równania kwadratowego postaci 5 x 2 −2 x−3=0, a nie 5 x 2 +(− 2)x+(-3)=0.

Warto zauważyć, że gdy współczynniki a i / lub b są równe 1 lub -1, to zwykle nie są one wyraźnie obecne w zapisie równania kwadratowego, co wynika ze specyfiki pisania takich . Na przykład, w równaniu kwadratowym y 2 −y+3=0, wiodący współczynnik wynosi jeden, a współczynnik przy y wynosi −1.

Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

W zależności od wartości wiodącego współczynnika rozróżnia się zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Wywoływane jest równanie kwadratowe, w którym wiodący współczynnik wynosi 1 zredukowane równanie kwadratowe. W przeciwnym razie równanie kwadratowe to niezredukowany.

Zgodnie z tą definicją równania kwadratowe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 itd. - zredukowany, w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. Oraz 5 x 2 −x−1=0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich wiodące współczynniki są różne od 1 .

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie jego części przez wiodący współczynnik, można przejść do zredukowanego. To działanie jest przekształceniem równoważnym, tzn. uzyskane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne niezredukowane równanie kwadratowe lub, podobnie jak ono, nie ma pierwiastków.

Weźmy przykład, jak przebiega przejście z równania kwadratowego niezredukowanego do równania zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 +12 x−7=0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Rozwiązanie.

Wystarczy, że dokonamy podziału obu części pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 3, jest on niezerowy, więc możemy wykonać tę czynność. Mamy (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , czyli to samo co (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , i tak dalej (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , skąd . Więc otrzymaliśmy zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiadać:

Pełne i niepełne równania kwadratowe

W definicji równania kwadratowego istnieje warunek a≠0. Warunek ten jest konieczny, aby równanie a x 2 +b x+c=0 było dokładnie kwadratowe, ponieważ przy a=0 w rzeczywistości staje się równaniem liniowym postaci b x+c=0 .

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zeru, zarówno osobno, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja.

Wywołujemy równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0 niekompletny, jeśli co najmniej jeden ze współczynników b , c jest równy zero.

Z kolei

Definicja.

Pełne równanie kwadratowe to równanie, w którym wszystkie współczynniki są różne od zera.

Te imiona nie są nadane przypadkowo. Stanie się to jasne z poniższej dyskusji.

Jeżeli współczynnik b jest równy zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 +0 x+c=0 , i jest równoważne równaniu a x 2 +c=0 . Jeśli c=0 , czyli równanie kwadratowe ma postać a x 2 +b x+0=0 , to można je przepisać jako x 2 +b x=0 . A przy b=0 i c=0 otrzymujemy równanie kwadratowe a·x 2 =0. Otrzymane równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, albo obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Czyli równania x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 są przykładami kompletnych równań kwadratowych, a x 2 =0, −2 x 2 =0,5 x 2 +3 =0 , -x 2 -5 x=0 są niekompletnymi równaniami kwadratowymi.

Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że istnieje: trzy rodzaje niepełnych równań kwadratowych:

ax2=0, odpowiadają mu współczynniki b=0 i c=0;
a x 2 +c=0 gdy b=0 ;
oraz ax2+bx=0, gdy c=0 .

Przeanalizujmy, jak rozwiązywane są niekompletne równania kwadratowe każdego z tych typów.

x 2 \u003d 0

Zacznijmy od rozwiązania niepełnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równań postaci a x 2 =0. Równanie a·x 2 =0 jest równoważne równaniu x 2 =0, które otrzymuje się z oryginału przez podzielenie jego obu części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 \u003d 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 \u003d 0. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co zostało wyjaśnione, rzeczywiście, dla każdej niezerowej liczby p zachodzi nierówność p 2 >0, co implikuje, że dla p≠0 równość p 2 =0 nigdy nie zostaje osiągnięta.

Tak więc niekompletne równanie kwadratowe a x 2 \u003d 0 ma pojedynczy pierwiastek x \u003d 0.

Jako przykład podajemy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego -4·x 2 =0. Jest to równoważne równaniu x 2 \u003d 0, jego jedynym pierwiastkiem jest x \u003d 0, dlatego oryginalne równanie ma pojedynczy pierwiastek zero.

Krótkie rozwiązanie w tym przypadku może być wydane w następujący sposób:
-4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Rozważmy teraz, jak rozwiązywane są niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b jest równy zero, a c≠0, czyli równania postaci a x 2 +c=0. Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą o przeciwnym znaku, a także podział obu stron równania przez liczbę niezerową daje równoważne równanie. W związku z tym można przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0:

przesuń c na prawą stronę, co daje równanie a x 2 =−c,
i dzielimy obie jego części przez a , otrzymujemy .

Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego korzeni. W zależności od wartości a i c, wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a=1 i c=2 , to ) lub dodatnia (na przykład, jeśli a=−2 i c=6 , to ) nie jest równe zero , ponieważ z warunku c≠0 . Osobno przeanalizujemy przypadki i .

Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków. Stwierdzenie to wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że gdy , to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli , to sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli sobie przypomnimy, pierwiastek równania natychmiast staje się oczywisty, jest to liczba, ponieważ. Łatwo się domyślić, że liczba jest również pierwiastkiem równania , rzeczywiście . Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wykazać np. przez sprzeczność. Zróbmy to.

Oznaczmy właśnie dźwięczne pierwiastki równania jako x 1 i −x 1 . Załóżmy, że równanie ma inny pierwiastek x 2 różny od wskazanych pierwiastków x 1 i −x 1 . Wiadomo, że podstawienie do równania zamiast x jego pierwiastków zamienia równanie w prawdziwą równość liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy , a dla x 2 mamy . Własności równości liczbowych pozwalają nam na odejmowanie wyraz po wyrazie prawdziwych równości liczbowych, więc odejmowanie odpowiednich części równości daje x 1 2 − x 2 2 =0. Własności operacji na liczbach pozwalają nam przepisać wynikową równość jako (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zeru. Zatem z otrzymanej równości wynika, że x 1 −x 2 =0 i/lub x 1 +x 2 =0 , czyli to samo, x 2 =x 1 i/lub x 2 = −x 1 . Doszliśmy więc do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1 . To dowodzi, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i .

Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niepełne równanie kwadratowe a x 2 +c=0 jest równoważne równaniu , które

nie ma korzeni, jeśli ,
ma dwa pierwiastki i jeśli .

Rozważ przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a·x 2 +c=0 .

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 +7=0 . Po przeniesieniu wyrazu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9·x 2 =−7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9 , otrzymujemy . Ponieważ po prawej stronie otrzymujemy liczbę ujemną, równanie to nie ma pierwiastków, dlatego oryginalne niepełne równanie kwadratowe 9 x 2 +7=0 nie ma pierwiastków.

Rozwiążmy jeszcze jedno niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0. Przenosimy dziewięć na prawą stronę: -x 2 \u003d -9. Teraz dzielimy obie części przez −1, otrzymujemy x 2 =9. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której wnioskujemy, że lub . Po zapisaniu odpowiedzi końcowej: niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0 ma dwa pierwiastki x=3 lub x=−3.

a x 2 +b x=0

Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niepełnych równań kwadratowych dla c=0 . Niepełne równania kwadratowe postaci a x 2 +b x=0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji. Oczywiście możemy, znajdujący się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wziąć dzielnik wspólny x z nawiasów. To pozwala nam przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania postaci x·(a·x+b)=0 . A to równanie jest równoważne układowi dwóch równań x=0 i a x+b=0 , z których ostatnie jest liniowe i ma pierwiastek x=−b/a .

Zatem niepełne równanie kwadratowe a x 2 +b x=0 ma dwa pierwiastki x=0 i x=−b/a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie konkretnego przykładu.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.

Wyciągamy x z nawiasów, to daje równanie. Jest to równoważne dwóm równaniom x=0 i . Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe: , i dzielenie pomieszane numery na wspólny ułamek, znaleźliśmy . Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x=0 i .

Po zdobyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można krótko pisać:

Odpowiadać:

x=0 , .

Wyróżnik, wzór pierwiastków równania kwadratowego

Aby rozwiązać równania kwadratowe, istnieje wzór na pierwiastek. Zapiszmy wzór pierwiastków równania kwadratowego: , gdzie D=b 2 −4 a c- tak zwana dyskryminator równania kwadratowego. Notacja zasadniczo oznacza, że .

Warto wiedzieć, w jaki sposób uzyskano wzór pierwiastka i jak go stosuje się do znajdowania pierwiastków równań kwadratowych. Zajmijmy się tym.

Wyprowadzenie wzoru pierwiastków równania kwadratowego

Rozwiążmy równanie kwadratowe a·x 2 +b·x+c=0 . Wykonajmy kilka równoważnych przekształceń:

Możemy podzielić obie części tego równania przez niezerową liczbę a, w wyniku czego otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe.
Ale już wybierz pełny kwadrat po lewej stronie: . Następnie równanie przyjmie postać .
Na tym etapie można przeprowadzić przeniesienie dwóch ostatnich terminów na prawą stronę z przeciwnym znakiem mamy .
Przekształćmy też wyrażenie po prawej stronie: .

W rezultacie otrzymujemy równanie , które jest równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a·x 2 +b·x+c=0 .

Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, kiedy analizowaliśmy . Pozwala to na wyciągnięcie następujących wniosków dotyczących pierwiastków równania:

jeśli , to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
jeśli , to równanie ma postać , a zatem , z którego widoczny jest jedyny pierwiastek;
jeśli , to lub , co jest tym samym co lub , czyli równanie ma dwa pierwiastki.

Tak więc obecność lub brak pierwiastków równania, a więc oryginalnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia jest określony przez znak licznika, ponieważ mianownik 4 a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 -4 a c . To wyrażenie b 2 -4 a c nazywa się dyskryminator równania kwadratowego i oznaczone literą D. Stąd istota wyróżnika jest jasna - po jego wartości i znaku stwierdza się, czy równanie kwadratowe ma rzeczywiste pierwiastki, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.

Wracamy do równania , przepisujemy je używając notacji dyskryminatora: . I konkludujemy:

jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
jeśli D=0, to równanie to ma jeden pierwiastek;
w końcu, jeśli D>0, to równanie ma dwa pierwiastki lub , które można przepisać w postaci lub , a po rozwinięciu i skróceniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy .

Wyprowadziliśmy więc wzory na pierwiastki równania kwadratowego, wyglądają one tak , gdzie dyskryminator D jest obliczany ze wzoru D=b 2 -4 a c .

Z ich pomocą, z dodatnim wyróżnikiem, możesz obliczyć oba rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zero, obie formuły dają tę samą wartość pierwiastka odpowiadającą jedynemu rozwiązaniu równania kwadratowego. A z ujemnym wyróżnikiem, próbując użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, mamy do czynienia z wyciągnięciem pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wyprowadza nas poza ramy szkolnego programu nauczania. Z ujemnym wyróżnikiem równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć za pomocą tych samych formuł, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

W praktyce, rozwiązując równanie kwadratowe, można od razu użyć wzoru pierwiastka, za pomocą którego oblicza się ich wartości. Ale chodzi bardziej o znalezienie złożonych korzeni.

Jednak w kurs szkolny w algebrze zwykle nie chodzi o złożoność, ale o rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby najpierw znaleźć dyskryminator przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, upewnić się, że jest nieujemny (w przeciwnym razie możemy wywnioskować, że równanie nie ma prawdziwych pierwiastków), a następnie obliczyć wartości korzeni.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać algorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0, potrzebujesz:

korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego D=b 2 -4 a c oblicz jego wartość;
wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków, jeśli dyskryminacja jest ujemna;
obliczyć jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru, jeśli D=0 ;
znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego, używając wzoru na pierwiastek, jeśli dyskryminator jest dodatni.

Tutaj zauważamy tylko, że jeśli dyskryminator jest równy zero, formuła może być również użyta, da taką samą wartość jak .

Możesz przejść do przykładów zastosowania algorytmu rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważ rozwiązania trzech równań kwadratowych z dyskryminacją dodatnią, ujemną i zerową. Zajmując się ich rozwiązaniem, przez analogię będzie można rozwiązać dowolne inne równanie kwadratowe. Zaczynajmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki z równania x 2 +2 x−6=0 .

Rozwiązanie.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1 , b=2 i c=−6 . Zgodnie z algorytmem najpierw musisz obliczyć dyskryminator, w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru na dyskryminację, mamy D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Ponieważ 28>0, czyli dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je ze wzoru na pierwiastki , otrzymujemy , tutaj możemy uprościć wyrażenia otrzymane przez wykonanie wyodrębnianie znaku korzenia następnie redukcja frakcji:

Odpowiadać:

Przejdźmy do kolejnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe -4 x 2 +28 x−49=0 .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od znalezienia wyróżnika: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako , czyli

Odpowiadać:

x=3,5.

Pozostaje rozważyć rozwiązanie równań kwadratowych z ujemnym dyskryminatorem.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5 y 2 +6 y+2=0 .

Rozwiązanie.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a=5 , b=6 i c=2 . Podstawiając te wartości do formuły dyskryminacyjnej, mamy D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków.

Jeśli chcesz określić złożone pierwiastki, używamy dobrze znanego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego i wykonujemy operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiadać:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie to: .

Po raz kolejny zauważamy, że jeśli wyróżnik równania kwadratowego jest ujemny, to szkoła zwykle od razu zapisuje odpowiedź, w której wskazują, że nie ma prawdziwych pierwiastków i nie znajdują złożonych pierwiastków.

Wzór pierwiastka dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego , gdzie D=b 2 -4 a c pozwala na uzyskanie bardziej zwartego wzoru, który pozwala rozwiązywać równania kwadratowe z parzystym współczynnikiem przy x (lub po prostu ze współczynnikiem wyglądającym jak 2 n na przykład, lub 14 ln5=2 7 ln5). Zabierzmy ją.

Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe postaci a x 2 +2 n x + c=0 . Znajdźmy jego korzenie, korzystając ze znanej nam formuły. Aby to zrobić, obliczamy wyróżnik D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a następnie używamy formuły root:

Oznaczmy wyrażenie n 2 − a c jako D 1 (czasami oznacza się je jako D "). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmuje postać , gdzie D 1 =n 2 −a c .

Łatwo zauważyć, że D=4·D 1 , lub D 1 =D/4 . Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią wyróżnika. Jasne jest, że znak D 1 jest taki sam jak znak D . Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Tak więc, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2 n, potrzebujesz

Oblicz D 1 =n 2 −a·c ;
Jeśli D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Jeśli D 1 = 0, oblicz jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru;
Jeśli D 1 > 0, to za pomocą wzoru znajdź dwa pierwiastki rzeczywiste.

Rozważ rozwiązanie przykładu za pomocą wzoru pierwiastka otrzymanego w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5 x 2 -6 x−32=0 .

Rozwiązanie.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2·(−3) . To znaczy, możesz przepisać oryginalne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , tutaj a=5 , n=−3 i c=−32 , i obliczyć czwartą część wyróżnik: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdujemy je za pomocą odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

Zauważ, że można było użyć zwykłego wzoru dla pierwiastków równania kwadratowego, ale w tym przypadku trzeba by wykonać więcej pracy obliczeniowej.

Odpowiadać:

Uproszczenie postaci równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą formuł nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć formę tego równania”? Zgadzam się, że pod względem obliczeń łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 x 2 −4 x −6=0 niż 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Zwykle uproszczenie postaci równania kwadratowego uzyskuje się przez pomnożenie lub podzielenie obu jego stron przez pewną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie udało nam się uprościć równanie 1100 x 2 -400 x -600=0 dzieląc obie strony przez 100 .

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są . Powszechnie dzieli się obie strony równania przez Wartości bezwzględne jego współczynniki. Na przykład weźmy równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x+48=0. wartości bezwzględne jego współczynników: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dzieląc obie części pierwotnego równania kwadratowego przez 6 , otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 -7 x+8=0 .

A mnożenie obu części równania kwadratowego jest zwykle wykonywane, aby pozbyć się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się na mianownikach jego współczynników. Na przykład, jeśli obie części równania kwadratowego pomnożymy przez LCM(6, 3, 1)=6 , to przyjmie prostszą postać x 2 +4 x−18=0 .

Podsumowując ten akapit, zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy najwyższym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada pomnożeniu (lub podzieleniu) obu części przez -1. Na przykład zwykle z równania kwadratowego −2·x 2 −3·x+7=0 przechodzimy do rozwiązania 2·x 2 +3·x−7=0 .

Związek między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania w postaci jego współczynników. Na podstawie wzoru pierwiastków można uzyskać inne relacje między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie formuły z twierdzenia Vieta o postaci i . W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest wyrazem swobodnym. Na przykład za pomocą postaci równania kwadratowego 3 x 2-7 x+22=0 możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22/3.

Korzystając z już napisanych formuł, możesz uzyskać szereg innych relacji między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład możesz wyrazić sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego w postaci jego współczynników: .

Bibliografia.

Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich AG Algebra. 8 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik ucznia instytucje edukacyjne/ A.G. Mordkovich. - Wydanie 11, wymazane. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ch. ISBN 978-5-346-01155-2.