Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Co się stało równanie wykładnicze? Jest to równanie, w którym występują niewiadome (x) i wyrażenia z nimi związane wskaźniki kilka stopni. I tylko tam! To jest ważne.

Tutaj jesteś przykłady równań wykładniczych:

3 x 2 x = 8 x + 3

Notatka! W podstawach stopni (poniżej) - tylko numery. W wskaźniki stopnie (powyżej) - szeroka gama wyrażeń z x. Jeśli nagle w równaniu pojawi się x w innym miejscu niż wskaźnik, na przykład:

to będzie równanie typ mieszany. Takie równania nie mają jasnych reguł rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Tutaj zajmiemy się rozwiązanie równań wykładniczych w najczystszej postaci.

Właściwie nawet czysty równania wykładnicze nie zawsze są jasno określone. Istnieją jednak pewne typy równań wykładniczych, które można i należy rozwiązać. Oto typy, którym się przyjrzymy.

Rozwiązywanie najprostszych równań wykładniczych.

Zacznijmy od czegoś bardzo podstawowego. Na przykład:

Nawet bez żadnej teorii, przez prosty wybór jasne jest, że x = 2. Nic więcej, prawda!? Żadnych innych rzutów o wartości x. A teraz spójrzmy na rozwiązanie tego trudnego równania wykładniczego:

Co my zrobiliśmy? Właściwie po prostu wyrzuciliśmy te same podstawy(potrójne). Całkowicie wyrzucony. I, co się podoba, uderz w sedno!

Rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym po lewej i po prawej stronie są ten sam liczby w dowolnym stopniu, liczby te można usunąć i wyrównać wykładniki. Matematyka pozwala. Pozostaje rozwiązać znacznie prostsze równanie. To dobrze, prawda?)

Pamiętajmy jednak ironicznie: możesz usunąć podstawy tylko wtedy, gdy numery podstaw po lewej i prawej stronie są w doskonałej izolacji! Bez żadnych sąsiadów i współczynników. Powiedzmy w równaniach:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , lub

Nie możesz usunąć podwójnych!

Cóż, najważniejsze opanowaliśmy. Jak przejść od złych wyrażeń wykładniczych do prostszych równań.

„Oto te czasy!” - mówisz. „Kto da takie prymitywy na kontrolę i egzaminy!?”

Zmuszony do zgody. Nikt nie będzie. Ale teraz wiesz, gdzie się udać, rozwiązując mylące przykłady. Należy o tym pamiętać, gdy ten sam numer bazowy znajduje się po lewej stronie - po prawej stronie. Wtedy wszystko będzie łatwiejsze. Właściwie jest to klasyka matematyki. Bierzemy oryginalny przykład i przekształcamy go w pożądany nas umysł. Oczywiście zgodnie z zasadami matematyki.

Rozważ przykłady, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby je uprościć. Nazwijmy ich proste równania wykładnicze.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych. Przykłady.

Podczas rozwiązywania równań wykładniczych obowiązują główne zasady działania z uprawnieniami. Bez wiedzy o tych działaniach nic nie zadziała.

Do działań ze stopniami należy dodać osobistą obserwację i pomysłowość. Czy potrzebujemy tych samych liczb bazowych? Szukamy ich więc w przykładzie w postaci jawnej lub zaszyfrowanej.

Zobaczmy, jak to się robi w praktyce?

Podajmy przykład:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pierwszy rzut oka na fusy. Oni... Oni są inni! Dwa i osiem. Ale jest za wcześnie, by się zniechęcać. Pora o tym pamiętać

Dwa i osiem są pokrewnymi stopniami.) Całkiem możliwe jest zapisanie:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jeśli przypomnimy sobie formułę z działań z mocami:

(za n) m = za nm ,

generalnie działa świetnie:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Oryginalny przykład wygląda tak:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Przenosimy 2 3 (x+1) po prawej stronie (nikt nie anulował elementarnych działań matematyki!), otrzymujemy:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To praktycznie wszystko. Usuwanie baz:

Rozwiązujemy tego potwora i otrzymujemy

To jest poprawna odpowiedź.

W tym przykładzie znajomość potęg dwójki pomogła nam. My zidentyfikowane w ósemce zaszyfrowana dwójka. Ta technika (szyfrowanie wspólnych podstaw pod różne liczby) jest bardzo popularną techniką w równaniach wykładniczych! Tak, nawet w logarytmach. Trzeba umieć rozpoznać potęgi innych liczb w liczbach. Jest to niezwykle ważne przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Faktem jest, że podniesienie dowolnej liczby do dowolnej potęgi nie stanowi problemu. Pomnóż, nawet na kartce papieru, i to wszystko. Na przykład każdy może podnieść 3 do potęgi piątej. 243 okaże się, jeśli znasz tabliczkę mnożenia.) Ale w równaniach wykładniczych znacznie częściej konieczne jest nie podnoszenie do potęgi, ale odwrotnie ... jaka liczba w jakim zakresie ukrywa się za liczbą 243 lub powiedzmy 343... Żaden kalkulator Ci tu nie pomoże.

Musisz znać potęgi niektórych liczb z widzenia, tak... Poćwiczymy?

Określ, jakie potęgi i jakie liczby są liczbami:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpowiedzi (oczywiście w bałaganie!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz dziwny fakt. Odpowiedzi jest więcej niż pytań! Cóż, zdarza się... Na przykład 2 6 , 4 3 , 8 2 to wszystko 64.

Załóżmy, że zanotowałeś informacje o znajomości liczb.) Przypomnę, że do rozwiązywania równań wykładniczych stosujemy całość zasób wiedzy matematycznej. W tym z niższej klasy średniej. Nie poszedłeś od razu do liceum, prawda?

Na przykład przy rozwiązywaniu równań wykładniczych bardzo często pomaga wyciągnięcie wspólnego czynnika z nawiasów (witaj w klasie 7!). Zobaczmy przykład:

3 2x+4 -11 9x = 210

I znowu pierwsze spojrzenie - na terenie! Podstawy stopni są różne... Trzy i dziewięć. I chcemy, żeby były takie same. Cóż, w tym przypadku pragnienie jest całkiem możliwe!) Ponieważ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Zgodnie z tymi samymi zasadami dla działań ze stopniami:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

To świetnie, możesz napisać:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Więc co dalej!? Trójek nie da się wyrzucić... Ślepy zaułek?

Zupełnie nie. Pamiętając o najbardziej uniwersalnej i potężnej regule decyzyjnej Wszystko zadania matematyczne:

Jeśli nie wiesz, co robić, rób, co możesz!

Patrzysz, wszystko jest uformowane).

Co jest w tym równaniu wykładniczym Móc Do? Tak, lewa strona bezpośrednio prosi o nawiasy! Wspólny czynnik 3 2x wyraźnie na to wskazuje. Spróbujmy, a potem zobaczymy:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Przykład jest coraz lepszy!

Przypominamy, że aby wyeliminować podstawy, potrzebujemy czystego stopnia, bez żadnych współczynników. Niepokoi nas liczba 70. Więc dzielimy obie strony równania przez 70, otrzymujemy:

op-pa! Wszystko było dobrze!

To jest ostateczna odpowiedź.

Zdarza się jednak, że kołowanie z tych samych powodów uzyskuje się, ale ich likwidację nie. Dzieje się tak w równaniach wykładniczych innego typu. Weźmy ten typ.

Zmiana zmiennej w rozwiązywaniu równań wykładniczych. Przykłady.

Rozwiążmy równanie:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Po pierwsze - jak zwykle. Przejdźmy do bazy. Do dwójki.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otrzymujemy równanie:

2 2x - 3 2x +2 = 0

I tutaj będziemy wisieć. Poprzednie sztuczki nie zadziałają, bez względu na to, jak je obrócisz. Będziemy musieli zdobyć kolejną potężną i uniwersalny sposób. To jest nazwane podstawienie zmiennej.

Istota metody jest zaskakująco prosta. Zamiast jednej złożonej ikony (w naszym przypadku 2 x) piszemy inną, prostszą (na przykład t). Taka pozornie bezsensowna zamiana prowadzi do niesamowitych rezultatów!) Wszystko staje się jasne i zrozumiałe!

Więc pozwól

Następnie 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Zamieniamy w naszym równaniu wszystkie potęgi na x przez t:

Cóż, świta?) Nie zapomniałeś jeszcze równań kwadratowych? Rozwiązujemy przez dyskryminację, otrzymujemy:

Tutaj najważniejsze jest, aby się nie zatrzymywać, jak to się dzieje… To jeszcze nie jest odpowiedź, potrzebujemy x, a nie t. Wracamy do Xs, tj. zrobienie zamiennika. Najpierw dla t 1:

To jest,

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego, od t 2:

Um... Lewo 2 x, Prawo 1... Autostop? Tak, wcale! Wystarczy przypomnieć (z działań ze stopniami, tak...), że jedność jest każdy liczba do zera. Każdy. Cokolwiek potrzebujesz, umieścimy to. Potrzebujemy dwójki. Oznacza:

Teraz to wszystko. Mam 2 korzenie:

Oto odpowiedź.

Na rozwiązywanie równań wykładniczych na końcu czasami uzyskuje się jakiś niezręczny wyraz. Typ:

Od siódemki dwójka do prostego stopnia nie działa. To nie są krewni... Jak mogę tu być? Ktoś może być zdezorientowany ... Ale osoba, która przeczytała na tej stronie temat „Co to jest logarytm?” , uśmiechaj się tylko oszczędnie i zapisz twardą ręką absolutnie poprawną odpowiedź:

W zadaniu „B” na egzaminie nie może być takiej odpowiedzi. Wymagany jest konkretny numer. Ale w zadaniach „C” - łatwo.

Ta lekcja zawiera przykłady rozwiązywania najczęściej spotykanych równań wykładniczych. Podkreślmy główny.

Praktyczne wskazówki:

1. Przede wszystkim patrzymy fusy stopni. Zobaczmy, czy nie da się ich zrobić ten sam. Spróbujmy to zrobić aktywnie używając działania z uprawnieniami. Nie zapominaj, że liczby bez x można również zamienić na stopnie!

2. Staramy się doprowadzić równanie wykładnicze do postaci, w której lewa i prawa są ten sam liczby w dowolnym stopniu. Używamy działania z uprawnieniami I faktoryzacja. Co można policzyć w liczbach - liczymy.

3. Jeśli druga rada nie zadziałała, próbujemy zastosować podstawienie zmiennej. Wynikiem może być równanie, które można łatwo rozwiązać. Najczęściej - kwadratowy. Lub ułamek, który również redukuje się do kwadratu.

4. Za pomyślne rozwiązanie równania wykładnicze, musisz znać stopnie niektórych liczb „z widzenia”.

Jak zwykle na koniec lekcji zapraszamy do rozwiązania.) Na własną rękę. Od prostych do złożonych.

Rozwiąż równania wykładnicze:

Trudniejsze:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Znajdź iloczyn korzeni:

2 3-x + 2 x = 9

Stało się?

No więc najtrudniejszy przykład(postanowił jednak w myślach...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Co jest ciekawsze? Oto zły przykład dla ciebie. Dość wciągająca na zwiększonym poziomie trudności. Podpowiem, że w tym przykładzie pomysłowość i najbardziej uniwersalna zasada rozwiązywania wszystkich zadań matematycznych oszczędzają.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Przykład jest prostszy, dla relaksu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na deser. Znajdź sumę pierwiastków równania:

x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0

Tak tak! To jest równanie typu mieszanego! Którego nie rozważyliśmy w tej lekcji. A co należy wziąć pod uwagę, należy je rozwiązać!) Ta lekcja wystarczy, aby rozwiązać równanie. Cóż, pomysłowość jest potrzebna… I tak, siódma klasa ci pomoże (to jest podpowiedź!).

Odpowiedzi (w nieładzie, oddzielone średnikami):

1; 2; 3; 4; nie ma rozwiązań; 2; -2; -5; 4; 0.

Czy wszystko się udaje? Świetnie.

Tam jest problem? Bez problemu! W sekcji specjalnej 555 wszystkie te równania wykładnicze są rozwiązywane za pomocą szczegółowe wyjaśnienia. Co, dlaczego i dlaczego. I oczywiście są dodatkowe cenne informacje na temat pracy z wszelkiego rodzaju równaniami wykładniczymi. Nie tylko z tymi).

Ostatnie zabawne pytanie do rozważenia. Na tej lekcji pracowaliśmy z równaniami wykładniczymi. Dlaczego nie wspomniałem tutaj ani słowem o ODZ? Nawiasem mówiąc, w równaniach jest to bardzo ważna rzecz ...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Do kanału youtube naszej witryny, aby być świadomym wszystkich nowych lekcji wideo.

Najpierw przypomnijmy sobie podstawowe wzory stopni i ich właściwości.

Produkt liczby A dzieje się na sobie n razy, możemy zapisać to wyrażenie jako a… a=a n

1. za 0 = 1 (za ≠ 0)

3. za n za m = za n + m

4. (a n) m = a nm

5. za n b n = (ab) n

7. za n / za m \u003d za n - m

Równania potęgowe lub wykładnicze- są to równania, w których zmienne są potęgami (lub wykładnikami), a podstawą jest liczba.

Przykłady równań wykładniczych:

W tym przykładzie liczba 6 jest podstawą, jest zawsze na dole i zmienną X stopień lub miarę.

Podajmy więcej przykładów równań wykładniczych.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się równania wykładnicze?

Weźmy proste równanie:

2 x = 2 3

Taki przykład można rozwiązać nawet w umyśle. Widać, że x=3. W końcu tak, że lewy i prawa część były równe, należy wstawić liczbę 3 zamiast x.
Zobaczmy teraz, jak należy podjąć tę decyzję:

2 x = 2 3
x = 3

Aby rozwiązać to równanie, usunęliśmy te same podstawy(czyli dwójki) i zapisał to, co zostało, są to stopnie. Otrzymaliśmy odpowiedź, której szukaliśmy.

Podsumujmy teraz nasze rozwiązanie.

Algorytm rozwiązywania równania wykładniczego:
1. Trzeba sprawdzić ten sam czy podstawy równania po prawej i po lewej stronie. Jeśli podstawy nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.
2. Gdy podstawy są takie same, zrównać stopnia i rozwiązać wynikowe nowe równanie.

Teraz rozwiążmy kilka przykładów:

Zacznijmy prosto.

Podstawy po lewej i prawej stronie są równe liczbie 2, co oznacza, że ​​możemy odrzucić podstawę i zrównać ich stopnie.

x+2=4 Wyszło najprostsze równanie.
x=4 - 2
x=2
Odpowiedź: x=2

W poniższym przykładzie widać, że podstawy są różne, są to 3 i 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Na początek przenosimy dziewięć na prawą stronę, otrzymujemy:

Teraz musisz zrobić te same podstawy. Wiemy, że 9=3 2 . Użyjmy wzoru na potęgę (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Otrzymujemy 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 teraz możesz to zobaczyć po lewej i prawa strona podstawy są takie same i równe trzem, co oznacza, że ​​możemy je odrzucić i zrównać stopnie.

3x=2x+16 ma najprostsze równanie
3x-2x=16
x=16
Odpowiedź: x=16.

Spójrzmy na następujący przykład:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Przede wszystkim patrzymy na podstawy, podstawy są różne dwa i cztery. I musimy być tacy sami. Przekształcamy poczwórne zgodnie ze wzorem (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Używamy również jednego wzoru a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj do równania:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Ale przeszkadzają nam inne liczby 10 i 24. Co z nimi zrobić? Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że po lewej stronie powtarzamy 2 2x, oto odpowiedź - możemy wyciąć 2 2x z nawiasów:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Obliczmy wyrażenie w nawiasach:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Całe równanie dzielimy przez 6:

Wyobraź sobie 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 podstawy są takie same, odrzuć je i zrównaj stopnie.
2x \u003d 2 okazało się najprostszym równaniem. Dzielimy to przez 2, otrzymujemy
x = 1
Odpowiedź: x = 1.

Rozwiążmy równanie:

9 x - 12*3 x +27= 0

przekształćmy:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otrzymujemy równanie:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nasze podstawy są takie same, równe 3. W tym przykładzie widać wyraźnie, że pierwsza trójka ma stopień dwukrotnie (2x) niż druga (tylko x). W takim przypadku możesz zdecydować metoda zastępcza. Liczbę o najmniejszym stopniu zastępuje się przez:

Następnie 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Zamieniamy wszystkie stopnie na x w równaniu z t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
dostajemy równanie kwadratowe. Rozwiązujemy przez dyskryminację, otrzymujemy:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

z powrotem do zmiennej X.

Przyjmujemy t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

To jest,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego, od t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpowiedź: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stronie możesz w dziale POMOC ZDECYDOWAĆ zadać interesujące pytania, na pewno Ci odpowiemy.

Dołącz do grupy

Rodzaj lekcji: lekcja uogólnienia i systematyzacji wiedzy

Cele:

• edukacyjny- powtórzyć definicję stopnia, zasady mnożenia i dzielenia stopni, podnieść stopień do stopnia, utrwalić umiejętność rozwiązywania przykładów zawierających stopnie,
• rozwijający się- rozwój logicznego myślenia uczniów, zainteresowanie studiowanym materiałem,
• kształcenie- kształtowanie odpowiedzialnego podejścia do nauki, kultury komunikacji, poczucia kolektywizmu.

Sprzęt: komputer, projektor multimedialny, tablica interaktywna, prezentacja „Stopnie” do liczenia ustnego, karty zadań, materiały informacyjne.

Plan lekcji:

1. Organizowanie czasu.
2. Powtórzenie zasad
3. Liczenie werbalne.
4. Odniesienie historyczne.
5. Praca na tablicy.
6. Fizkultminutka.
7. Pracuj na tablicy interaktywnej.
8. Niezależna praca.
9. Praca domowa.
10. Podsumowanie lekcji.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny

Przedstawienie tematu i celów lekcji.

Na poprzednich lekcjach odkryłeś cudowny świat stopni, nauczyli się mnożyć i dzielić stopnie, podnosić je do potęgi. Dziś musimy utrwalić zdobytą wiedzę rozwiązując przykłady.

II. Powtórzenie zasad(doustnie)

1. Zdefiniuj stopień wskaźnik naturalny? (z potęgi liczby A z naturalnym wykładnikiem większym niż 1 nazywa się iloczynem N mnożniki, z których każdy jest równy A.)
2. Jak pomnożyć dwie potęgi? (Aby pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, musisz pozostawić podstawę bez zmian i dodać wykładniki.)
3. Jak podzielić stopień po stopniu? (Aby podzielić potęgi o tej samej podstawie, musisz pozostawić podstawę bez zmian i odjąć wykładniki.)
4. Jak podnieść produkt do potęgi? (Aby podnieść iloczyn do potęgi, musisz podnieść każdy czynnik do tej potęgi)
5. Jak podnieść stopień do stopnia? (Aby podnieść potęgę do potęgi, musisz pozostawić podstawę bez zmian i pomnożyć wykładniki)

III. Liczenie werbalne(przez multimedia)

IV. Odniesienie historyczne

Wszystkie problemy pochodzą z papirusu Ahmesa, który został napisany około 1650 roku pne. mi. związane z praktyką budowlaną, wytyczaniem granic działek itp. Zadania pogrupowane są tematycznie. W większości są to zadania polegające na znajdowaniu obszarów trójkąta, czworokątów i koła, różne działania na liczbach całkowitych i ułamkach zwykłych, dzielenie proporcjonalne, znajdowanie stosunków, jest też wzniesienie do różne stopnie, rozwiązanie równań pierwszego i drugiego stopnia z jedną niewiadomą.

Nie ma absolutnie żadnego wyjaśnienia ani dowodu. Pożądany wynik jest podawany bezpośrednio lub podany jest krótki algorytm jego obliczania. Ten sposób prezentacji, typowy dla nauki krajów starożytnego Wschodu, sugeruje, że matematyka rozwinęła się tam za pomocą uogólnień i domysłów, które nie tworzyły żadnej ogólnej teorii. Jednak w papirusie znajduje się wiele dowodów na to, że egipscy matematycy potrafili wyciągać pierwiastki i podnosić do potęg, rozwiązywać równania, a nawet posiadali podstawy algebry.

V. Praca tablicowa

Znajdź wartość wyrażenia w racjonalny sposób:

Oblicz wartość wyrażenia:

VI. minuta wychowania fizycznego

1. dla oczu
2. na szyję
3. dla rąk
4. dla tułowia
5. dla nóg

VII. Rozwiązywanie problemów(z tablicą interaktywną)

Czy pierwiastek równania jest liczbą dodatnią?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Niezależna praca

IX. Praca domowa

X. Podsumowanie lekcji

Analiza wyników, ogłoszenie ocen.

Zdobytą wiedzę o stopniach zastosujemy w rozwiązywaniu równań, problemów w szkole średniej, a także często pojawiają się one na egzaminie.

Oczywiście liczby z potęgami można dodawać jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.

Więc suma a 3 i b 2 to a 3 + b 2 .
Suma a 3-bn i h 5-d 4 to a 3-bn + h 5-d 4 .

Szanse te same potęgi tych samych zmiennych można dodawać lub odejmować.

Zatem suma 2a 2 i 3a 2 wynosi 5a 2 .

Jest również oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, trzy kwadraty a lub pięć kwadratów a.

Ale stopnie różne zmienne I różne stopnie identyczne zmienne, należy dodać, dodając je do ich znaków.

Więc suma a 2 i a 3 jest sumą a 2 + a 3 .

Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie są ani dwukrotnością kwadratu a, ale dwukrotnością sześcianu a.

Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 to a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odejmowanie potęgi wykonuje się w taki sam sposób jak dodawanie, z tym wyjątkiem, że znaki odejmowania muszą być odpowiednio zmienione.

Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Mnożenie mocy

Liczby z potęgami można mnożyć jak inne wielkości, zapisując je jedna po drugiej, z lub bez znaku mnożenia między nimi.

Tak więc wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.

Lub:
x -3 ⋅ za m = za m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
za 2 b 3 y 2 ⋅ za 3 b 2 y = za 2 b 3 y 2 za 3 b 2 y

Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając te same zmienne.
Wyrażenie przyjmie postać: a 5 b 5 y 3 .

Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, możemy zobaczyć, że jeśli pomnożymy dowolne dwie z nich, to wynikiem będzie liczba (zmienna) o potędze równej suma stopnie terminów.

Zatem a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.

Zatem a n .a m = a m+n .

Dla n , a jest brane jako czynnik tyle razy, ile wynosi potęga n;

A m jest brane jako czynnik tyle razy, ile stopień m jest równy;

Dlatego, potęgi o tych samych podstawach można pomnożyć przez dodanie wykładników.

Więc a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - y 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ta reguła jest również prawdziwa dla liczb, których wykładniki są - negatywny.

1. Więc a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. za -n .a m = za m-n .

Jeśli a + b pomnożymy przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: to znaczy

Wynik mnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równa sumie lub różnica ich kwadratów.

Jeżeli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopień.

Więc (a - y).(a + y) = za 2 - y 2 .
(za 2 - y 2)⋅ (za 2 + y 2) = za 4 - y 4 .
(za 4 - y 4)⋅ (za 4 + y 4) = za 8 - y 8 .

Podział stopni

Liczby z potęgami można dzielić jak inne liczby, odejmując od dzielnika lub umieszczając je w postaci ułamka.

Więc a 3 b 2 podzielone przez b 2 daje 3 .

Lub:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zapisanie 5 podzielonego przez 3 wygląda jak $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to jest równe a 2 . W serii liczb
za +4 , za +3 ​​, za +2 , za +1 , za 0 , za -1 , za -2 , za -3 , za -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez inną, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.

Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są odejmowane..

Więc y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Oznacza to, że $\frac(yyy)(yy) = y$.

A n+1:a = an+1-1 = an . Oznacza to, że $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Lub:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Reguła obowiązuje również dla liczb z negatywny wartości stopni.
Wynikiem dzielenia -5 przez -3 jest -2 .
Również $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Konieczne jest bardzo dobre opanowanie mnożenia i dzielenia potęg, ponieważ takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.

Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami

1. Zmniejsz wykładniki w $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpowiedź: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Zmniejsz wykładniki w $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpowiedź: $\frac(2x)(1)$ lub 2x.

3. Zmniejsz wykładniki a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 to pierwszy licznik -2.
a 3 .a -3 to a 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to a -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Skróć wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 lub 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.

6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: a/y.

9. Podziel (h 3 - 1)/d 4 przez (d n + 1)/h.

Pierwszy poziom

Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

Dlaczego potrzebne są stopnie naukowe? Gdzie ich potrzebujesz? Dlaczego warto poświęcić czas na ich studiowanie?

Aby dowiedzieć się wszystkiego o stopniach, do czego służą, jak wykorzystać swoją wiedzę Życie codzienne przeczytaj ten artykuł.

I oczywiście znajomość stopni przybliży cię do udana dostawa OGE lub USE i dostać się na wymarzoną uczelnię.

Chodźmy, chodźmy!)

Ważna uwaga! Jeśli zamiast formuł widzisz bełkot, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij klawisze CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (w systemie Mac).

PIERWSZY POZIOM

Potęgowanie jest tą samą operacją matematyczną, co dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

Teraz wyjaśnię wszystko ludzkim językiem w bardzo przystępny sposób proste przykłady. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodawania.

Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile coli? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Ten sam przykład z colą można zapisać w inny sposób: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a następnie wymyślają sposób na ich szybsze „liczenie”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyślili technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, uważa się to za łatwiejsze i szybsze niż.

Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można robić wolniej, mocniej i z błędami! Ale…

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.

I jeszcze jeden, ładniejszy:

A jakie inne podstępne sztuczki z liczeniem wymyślili leniwi matematycy? Prawidłowy - podniesienie liczby do potęgi.

Podnoszenie liczby do potęgi

Jeśli musisz pomnożyć liczbę przez siebie pięć razy, matematycy twierdzą, że musisz podnieść tę liczbę do piątej potęgi. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do piątej potęgi to jest. I takie problemy rozwiązują w myślach - szybciej, łatwiej i bezbłędnie.

Aby to zrobić, potrzebujesz tylko pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.

Nawiasem mówiąc, dlaczego nazywa się drugi stopień kwadrat liczby i trzeci sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.

Przykład z życia wzięty nr 1

Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.

Wyobraź sobie kwadratowy basen o wymiarach metry na metry. Basen jest na twoim podwórku. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale… basen bez dna! Konieczne jest pokrycie dna basenu płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać obszar dna basenu.

Możesz po prostu policzyć, szturchając palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli twoje płytki są metr po metrze, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Ale gdzie widziałeś taką płytkę? Płytka będzie raczej centymetr po centymetrze, a potem męczy cię „liczenie palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Tak więc po jednej stronie dna basenu zmieścimy kafelki (sztuki), a po drugiej również kafelki. Mnożąc przez, otrzymujesz kafelki ().

Czy zauważyłeś, że pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie, aby określić powierzchnię dna basenu? Co to znaczy? Ponieważ ta sama liczba jest mnożona, możemy zastosować technikę potęgowania. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach Dla egzaminu jest to bardzo ważne).
Tak więc trzydzieści do drugiego stopnia będzie (). Lub możesz powiedzieć, że trzydzieści do kwadratu będzie. Innymi słowy, drugą potęgę liczby można zawsze przedstawić jako kwadrat. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.

Przykład z życia wzięty nr 2

Oto zadanie dla Ciebie, policz ile pól jest na szachownicy za pomocą kwadratu liczby... Po jednej stronie komórek i po drugiej też. Aby policzyć ich liczbę, musisz pomnożyć osiem przez osiem, czyli… jeśli zauważysz, że szachownica to kwadrat z bokiem, możesz podnieść osiem do kwadratu. Zdobądź komórki. () Więc?

Przykład z życia nr 3

Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Objętości i ciecze, nawiasem mówiąc, są mierzone w metry sześcienne. Nieoczekiwanie, prawda?) Narysuj basen: dolny jeden metr i głęboki na metr i spróbuj obliczyć, ile sześcianów łącznie metr po metrze wejdzie do twojego basenu.

Po prostu wskaż palcem i policz! Raz, dwa, trzy, cztery… dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy… Ile wyszło? Nie zgubiłeś się? Czy trudno jest policzyć palcem? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość puli będzie równa kostkom… Łatwiej, prawda?

A teraz wyobraź sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, jeśli to zbyt łatwo upraszczają. Zredukowałem wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są sobie równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie… A co to oznacza? Oznacza to, że możesz użyć stopnia. A więc to, co kiedyś policzyłeś palcem, robią jednym ruchem: trzy w kostce równa się. Jest napisane tak:

Pozostałości tylko zapamiętaj tabelę stopni. Chyba że jesteś tak samo leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz liczyć na palcach.

Cóż, żeby Cię w końcu przekonać, że stopnie zostały wymyślone przez mokasynów i przebiegłych ludzi, aby rozwiązywać ich życiowe problemy, a nie stwarzać Ci problemy, oto jeszcze kilka przykładów z życia.

Przykład z życia #4

Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy twój milion na początku każdego roku podwaja się. Ile będziesz miał pieniędzy za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to jesteś osobą bardzo pracowitą i… głupią. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! A więc w pierwszym roku - dwa razy dwa... w drugim roku - co się stało przez kolejne dwa, w trzecim roku... Stop! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez siebie raz. Więc dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto szybciej policzy, dostanie te miliony… Czy warto pamiętać stopnie liczb, co o tym sądzisz?

Przykład z życia wzięty nr 5

Masz milion. Na początku każdego roku zarabiasz o dwa więcej za każdy milion. To świetnie, prawda? Każdy milion jest potrojony. Ile będziesz miał pieniędzy za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Więc czwarta potęga to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.

Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi, znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się dalej, co możesz zrobić ze stopniami i co musisz o nich wiedzieć.

Terminy i pojęcia… żeby się nie pomylić

A więc najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste - jest to liczba, która jest „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania ...

Cóż, w tym samym czasie, co taka podstawa stopnia? Jeszcze prostsza jest liczba, która znajduje się na dole, u podstawy.

Oto zdjęcie dla pewności.

No i w ogólna perspektywa aby uogólnić i lepiej zapamiętać ... Stopień z podstawą „” i wykładnikiem „” odczytuje się jako „do stopnia” i zapisuje się w następujący sposób:

Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym

Prawdopodobnie już zgadłeś: ponieważ wykładnik jest Liczba naturalna. Tak, ale co to jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to te, które są używane do liczenia przy wymienianiu przedmiotów: jeden, dwa, trzy… Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też „jedna trzecia” ani „zero przecinek pięć dziesiątych”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, co to za liczby?

Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne do liczb naturalnych (czyli wzięte ze znakiem minus) oraz liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia - wtedy nie ma nic. A co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim w celu oznaczenia długów: jeśli masz saldo w telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.

Wszystkie ułamki są liczbami wymiernymi. Jak do nich doszło, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że nie mają wystarczającej liczby liczb naturalnych, aby zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne… Ciekawe, prawda?

Istnieją również liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, bez końca dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.

Streszczenie:

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (czyli całkowita i dodatnia).

1. Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa samej sobie:
2. Podniesienie liczby do kwadratu to pomnożenie jej przez siebie:
3. Sześcian liczby to trzykrotne pomnożenie jej samej przez siebie:

Definicja. Podnieś liczbę do stopień naturalny oznacza pomnożenie liczby przez siebie razy:
.

Właściwości stopnia

Skąd wzięły się te właściwości? Pokażę ci teraz.

Zobaczmy, co jest I ?

A-priorytet:

Ile jest łącznie mnożników?

To bardzo proste: dodaliśmy czynniki do czynników, a wynikiem są czynniki.

Ale z definicji jest to stopień liczby z wykładnikiem, czyli: , który należało udowodnić.

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie:

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie: Warto zauważyć, że w naszej regule Koniecznie musi być ten sam powód!
Dlatego łączymy stopnie z podstawą, ale pozostajemy osobnym czynnikiem:

tylko dla produktów potęg!

W żadnym wypadku nie powinieneś tak pisać.

2. to znaczy -ta potęga liczby

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie raz, czyli zgodnie z definicją jest to th potęga liczby:

W rzeczywistości można to nazwać „ujęciem wskaźnika w nawias”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w sumie:

Przypomnijmy sobie wzory na skrócone mnożenie: ile razy chcieliśmy napisać?

Ale to nieprawda, naprawdę.

Stopień z ujemną podstawą

Do tego momentu omawialiśmy tylko, jaki powinien być wykładnik.

Ale co powinno być podstawą?

W stopniach od wskaźnik naturalny podstawa może być Jakikolwiek numer. Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolną liczbę, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet.

Zastanówmy się, jakie znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba będzie dodatnia czy ujemna? A? ? Z pierwszym wszystko jest jasne: bez względu na to, ile liczb dodatnich pomnożymy ze sobą, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Przecież pamiętamy prostą zasadę z 6 klasy: „minus razy minus daje plus”. To znaczy lub. Ale jeśli pomnożymy przez, okazuje się.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Czy udało Ci się?

Oto odpowiedzi: Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak przerażające, jak się wydaje: nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​\u200b\u200bwynik zawsze będzie dodatni.

No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Baza nie jest taka sama, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już taki prosty!

6 praktycznych przykładów

Analiza rozwiązania 6 przykładów

Jeśli nie zwrócimy uwagi na ósmy stopień, co tu widzimy? Przyjrzyjmy się programowi 7. klasy. Więc pamiętaj? To jest skrócona formuła mnożenia, a mianowicie różnica kwadratów! Otrzymujemy:

Uważnie patrzymy na mianownik. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznika, ale co jest nie tak? Zła kolejność warunków. Gdyby zostały zamienione, reguła mogłaby obowiązywać.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Warunki magicznie zamieniły się miejscami. To „zjawisko” dotyczy każdego wyrażenia w stopniu parzystym: możemy dowolnie zmieniać znaki w nawiasach.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „”) i liczbę.

Dodatnia liczba całkowita, i nie różni się niczym od naturalnego, to wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Teraz spójrzmy na nowe przypadki. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajemy sobie pytanie: dlaczego tak jest?

Rozważmy pewną moc z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było -. Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Właśnie, wł. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, jak bardzo pomnożysz zero przez siebie, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do stopnia zerowego, musi być równa. Więc jaka jest w tym prawda? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz możemy nie tylko dzielić przez zero, ale także podnosić go do potęgi zerowej.

Idźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest potęga ujemna, zróbmy to samo, co poprzednio: pomnóżmy trochę normalny numer do tego samego w stopniu ujemnym:

Stąd już łatwo jest wyrazić pożądane:

Teraz rozszerzymy wynikową regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej. Ale w tym samym czasie podstawa nie może być pusta:(bo nie da się podzielić).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

II. Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Liczba, która nie jest równa zero do potęgi ujemnej, jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Cóż, jak zwykle, przykłady niezależnego rozwiązania:

Analiza zadań do samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na egzaminie trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązanie, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a nauczysz się, jak łatwo sobie z nimi poradzić na egzaminie!

Kontynuujmy rozszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważ liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są zresztą liczbami całkowitymi.

Aby zrozumieć, co jest „stopień ułamkowy” Rozważmy ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Teraz zapamiętaj zasadę „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastek stopnia jest odwrotną operacją potęgowania: .

Okazało się, że. Oczywiście to szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodaj licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania dzięki zasadzie mocy do władzy:

Ale czy podstawą może być dowolna liczba? W końcu nie można wyodrębnić korzenia ze wszystkich liczb.

Nic!

Pamiętaj o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że niemożliwe jest wyodrębnienie pierwiastków parzystego stopnia z liczb ujemnych!

A to oznacza, że ​​\u200b\u200btakich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej z parzystym mianownikiem, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z ekspresją?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić jako inne, zredukowane ułamki, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, a przecież to tylko dwa różne zapiski ten sam numer.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Ale gdy tylko zapiszemy wskaźnik w inny sposób, znowu mamy kłopoty: (to znaczy otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, rozważ tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

• - Liczba naturalna;
• jest liczbą całkowitą;

Przykłady:

Potęgi z wykładnikiem wymiernym są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 praktycznych przykładów

Analiza 5 przykładów do treningu

Cóż, teraz - najtrudniejsze. Teraz będziemy analizować stopień z niewymiernym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni tutaj są dokładnie takie same jak dla stopni z wykładnikiem wymiernym, z wyjątkiem

Rzeczywiście, z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi (to znaczy wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Studiując stopnie ze wskaźnikiem naturalnym, całkowitym i wymiernym, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...zerowa moc- jest to niejako liczba pomnożona przez siebie raz, to znaczy jeszcze się nie zaczęła mnożyć, co oznacza, że ​​\u200b\u200bsama liczba jeszcze się nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „liczba pusta” , a mianowicie liczba;

...ujemny wykładnik całkowity- to tak, jakby miał miejsce pewien „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, w nauce, stopień z złożony wskaźnik, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach, będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY PEWNI, ŻE POJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od już zwykłej zasady podnoszenia stopnia do stopnia:

Teraz spójrz na wynik. Czy on ci coś przypomina? Przypominamy wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Doprowadzamy ułamki w wykładnikach do tej samej postaci: albo dziesiętnej, albo zwykłej. Otrzymujemy np.:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, stosujemy zwykłe właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Definicja stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

• — podstawa stopnia;
• - wykładnik.

Stopień z naturalnym wykładnikiem (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez samą siebie razy:

Potęga z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

erekcja do zerowej mocy:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w jakimkolwiek stopniu to jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do tego stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest liczba całkowita ujemna numer:

(bo nie da się podzielić).

Jeszcze raz o wartościach zerowych: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Stopień z wykładnikiem wymiernym

• - Liczba naturalna;
• jest liczbą całkowitą;

Przykłady:

Właściwości stopnia

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

A-priorytet:

Tak więc po prawej stronie tego wyrażenia otrzymuje się następujący produkt:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Należy zauważyć, że w naszej regule Koniecznie musi być na tej samej podstawie. Dlatego łączymy stopnie z podstawą, ale pozostajemy osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla iloczynów potęg!

W żadnym wypadku nie powinienem tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Przeorganizujmy to tak:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie raz, czyli zgodnie z definicją jest to -ta potęga liczby:

W rzeczywistości można to nazwać „ujęciem wskaźnika w nawias”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości:!

Przypomnijmy sobie wzory na skrócone mnożenie: ile razy chcieliśmy napisać? Ale to nieprawda, naprawdę.

Potęga o ujemnej podstawie.

Do tego momentu dyskutowaliśmy tylko o tym, co powinno być indeks stopień. Ale co powinno być podstawą? W stopniach od naturalny wskaźnik podstawa może być Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolną liczbę, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, jakie znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba będzie dodatnia czy ujemna? A? ?

Z pierwszym wszystko jest jasne: bez względu na to, ile liczb dodatnich pomnożymy ze sobą, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Przecież pamiętamy prostą zasadę z 6 klasy: „minus razy minus daje plus”. To znaczy lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy -.

I tak w nieskończoność: z każdym kolejnym mnożeniem znak będzie się zmieniał. Takie sformułowanie jest możliwe proste zasady:

1. nawet stopień, - liczba pozytywny.
2. Liczba ujemna, wzniesiony w dziwne stopień, - liczba negatywny.
3. Liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
4. Zero do dowolnej potęgi jest równe zeru.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak przerażające, jak się wydaje: nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​\u200b\u200bwynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Baza nie jest taka sama, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już taki prosty. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: czy? Jeśli to pamiętasz, staje się jasne, że oznacza to, że podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Przed demontażem ostatnia zasada Rzućmy okiem na kilka przykładów.

Oblicz wartości wyrażeń:

Rozwiązania :

Jeśli nie zwrócimy uwagi na ósmy stopień, co tu widzimy? Przyjrzyjmy się programowi 7. klasy. Więc pamiętaj? To jest skrócona formuła mnożenia, a mianowicie różnica kwadratów!

Otrzymujemy:

Uważnie patrzymy na mianownik. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznika, ale co jest nie tak? Zła kolejność warunków. Gdyby zostały odwrócone, można by zastosować regułę 3. Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz wygląda to tak:

Warunki magicznie zamieniły się miejscami. To „zjawisko” dotyczy każdego wyrażenia w stopniu parzystym: możemy dowolnie zmieniać znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie można tego zastąpić, zmieniając tylko jeden budzący zastrzeżenia minus dla nas!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście, jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile będzie liter? razy przez mnożniki - jak to wygląda? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: suma okazała się mnożnikami. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z niewymiernym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla średniego poziomu przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wskaźnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same jak dla stopnia z wykładnikiem wymiernym, z wyjątkiem - w końcu z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Studiując stopnie ze wskaźnikiem naturalnym, całkowitym i wymiernym, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do stopnia zerowego jest niejako liczbą pomnożoną przez samą siebie raz, to znaczy jeszcze się nie zaczęła mnożyć, co oznacza, że ​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła – zatem wynik jest tylko pewne „przygotowanie liczby”, a mianowicie liczby; stopień z całkowitym ujemnym wskaźnikiem - to tak, jakby nastąpił pewien „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z niewymiernym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny stworzony przez matematyków w celu rozszerzenia pojęcia stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, nauka często używa stopnia ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach, będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc robimy, gdy widzimy niewymierny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się go pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

1)

2)

3)

Odpowiedzi:

1. Zapamiętaj wzór na różnicę kwadratów. Odpowiedź: .
2. Doprowadzamy ułamki do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
3. Nic specjalnego, stosujemy zwykłe właściwości stopni:

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWA FORMUŁA

Stopień nazywa się wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. całkowita i dodatnia).

Stopień z wykładnikiem wymiernym

stopień, którego wskaźnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z niewymiernym wykładnikiem

wykładnik, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopnia

Cechy stopni.

• Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
• Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
• Liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
• Zero jest równe dowolnej potędze.
• Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak ci się podoba artykuł? Daj mi znać w komentarzach poniżej, czy ci się podobało, czy nie.

Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z właściwościami mocy.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!