W równaniu kwadratowym nie ma litery s. Równania kwadratowe. Kompleksowy przewodnik (2019)

W nowoczesne społeczeństwo umiejętność operowania równaniami zawierającymi zmienną kwadratową może być przydatna w wielu obszarach działalności i jest szeroko stosowana w praktyce w rozwoju naukowym i technicznym. Świadczyć o tym może konstrukcja statków morskich i rzecznych, samolotów i pocisków. Za pomocą takich obliczeń trajektorie ruchu najbardziej różne ciała, w tym obiektów kosmicznych. Przykłady rozwiązań równania kwadratowe znajdują zastosowanie nie tylko w prognozowaniu gospodarczym, projektowaniu i budowie budynków, ale także w najzwyklejszych, codziennych okolicznościach. Mogą być potrzebne na kempingach, na imprezach sportowych, w sklepach podczas zakupów oraz w innych bardzo powszechnych sytuacjach.

Podzielmy wyrażenie na czynniki składowe

Stopień równania jest określony przez maksymalną wartość stopnia zmiennej, którą zawiera dane wyrażenie. Jeśli jest równy 2, to takie równanie nazywa się równaniem kwadratowym.

Jeśli mówimy językiem formuł, to wyrażenia te, bez względu na to, jak wyglądają, zawsze można sprowadzić do formy, gdy lewa strona wyrażenia składa się z trzech wyrazów. Wśród nich: ax 2 (czyli zmienna do kwadratu ze swoim współczynnikiem), bx (niewiadoma bez kwadratu ze swoim współczynnikiem) i c (składowa dowolna, czyli liczba zwykła). Wszystko to po prawej stronie jest równe 0. W przypadku, gdy taki wielomian nie ma jednego ze swoich członów składowych, z wyjątkiem osi 2, nazywa się to niepełnym równaniem kwadratowym. W pierwszej kolejności należy rozważyć przykłady z rozwiązaniem takich problemów, w których wartości zmiennych nie są trudne do znalezienia.

Jeśli wyrażenie wygląda tak, że po prawej stronie znajdują się dwa wyrazy, a dokładniej ax 2 i bx, najłatwiej jest znaleźć x, umieszczając zmienną w nawias. Teraz nasze równanie będzie wyglądać tak: x(ax+b). Dalej staje się oczywiste, że albo x=0, albo problem sprowadza się do znalezienia zmiennej z wyrażenia: ax+b=0. Jest to podyktowane jedną z właściwości mnożenia. Zasada mówi, że iloczyn dwóch czynników daje 0 tylko wtedy, gdy jeden z nich wynosi zero.

Przykład

x=0 lub 8x - 3 = 0

W rezultacie otrzymujemy dwa pierwiastki równania: 0 i 0,375.

Tego rodzaju równania mogą opisywać ruch ciał pod wpływem grawitacji, które zaczęły się poruszać od pewnego punktu, przyjętego jako początek. Tutaj notacja matematyczna przyjmuje postać: y = v 0 t + gt 2 /2. Zastępowanie wymagane wartości, przyrównując prawą stronę do 0 i znajdując możliwe niewiadome, możesz poznać czas, jaki upłynął od momentu wzniesienia się ciała do momentu upadku, a także wiele innych wielkości. Ale o tym porozmawiamy później.

Faktoring wyrażenia

Opisana powyżej reguła umożliwia rozwiązanie tych problemów w bardziej skomplikowanych przypadkach. Rozważ przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych tego typu.

X2 - 33x + 200 = 0

Ten trójmian kwadratowy jest kompletny. Najpierw przekształcamy wyrażenie i rozkładamy je na czynniki. Są dwa z nich: (x-8) i (x-25) = 0. W rezultacie mamy dwa pierwiastki 8 i 25.

Przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych w klasie 9 pozwalają tej metodzie znaleźć zmienną w wyrażeniach nie tylko drugiego, ale nawet trzeciego i czwartego rzędu.

Na przykład: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Rozkładając prawą stronę na czynniki ze zmienną, są trzy z nich, czyli (x + 1), (x-3) i (x + 3).

W rezultacie staje się oczywiste, że równanie to ma trzy pierwiastki: -3; -jeden; 3.

Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego

Inna sprawa niekompletne równanie drugi rząd to wyrażenie wyrażone w języku liter w taki sposób, że prawa część zbudowany jest z elementów ax 2 i c. Tutaj, aby uzyskać wartość zmiennej, wolny termin jest przenoszony do prawa strona, a następnie z obu części równości, Pierwiastek kwadratowy. Należy zauważyć, że w tym przypadku zwykle występują dwa pierwiastki równania. Jedynymi wyjątkami są równości, które w ogóle nie zawierają wyrazu c, gdzie zmienna jest równa zero, oraz warianty wyrażeń, gdy prawa strona okazuje się ujemna. W tym drugim przypadku nie ma w ogóle rozwiązań, ponieważ powyższych czynności nie można wykonać z korzeniami. Należy rozważyć przykłady rozwiązań równań kwadratowych tego typu.

W tym przypadku pierwiastkami równania będą liczby -4 i 4.

Obliczanie powierzchni ziemi

Potrzeba tego rodzaju obliczeń pojawiła się już w starożytności, ponieważ rozwój matematyki pod wieloma względami w tych odległych czasach wynikał z potrzeby wyznaczania obszarów i obwodów z największą dokładnością. działki.

Powinniśmy również rozważyć przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych opracowanych na podstawie tego rodzaju problemów.

Załóżmy więc, że istnieje prostokątny kawałek ziemi, którego długość jest o 16 metrów większa niż szerokość. Powinieneś znaleźć długość, szerokość i obwód terenu, jeśli wiadomo, że jego powierzchnia wynosi 612 m2.

Przechodząc do biznesu, najpierw zrobimy niezbędne równanie. Oznaczmy szerokość przekroju jako x, wtedy jego długość będzie wynosić (x + 16). Z tego, co napisano, wynika, że ​​obszar jest określony przez wyrażenie x (x + 16), które zgodnie ze stanem naszego problemu wynosi 612. Oznacza to, że x (x + 16) \u003d 612.

Rozwiązanie kompletnych równań kwadratowych, a to wyrażenie jest właśnie takie, nie może być wykonane w ten sam sposób. Czemu? Chociaż lewa strona nadal zawiera dwa czynniki, ich iloczyn wcale nie jest równy 0, więc stosuje się tutaj inne metody.

Dyskryminujący

Przede wszystkim dokonujemy niezbędnych przekształceń, potem wygląd zewnętrzny wyrażenie to będzie wyglądało tak: x 2 + 16x - 612 = 0. Oznacza to, że otrzymaliśmy wyrażenie w postaci odpowiadającej wcześniej określonemu standardowi, gdzie a=1, b=16, c=-612.

Może to być przykład rozwiązywania równań kwadratowych przez dyskryminator. Tutaj wykonuje się niezbędne obliczenia zgodnie ze schematem: D = b 2 - 4ac. Ta wartość pomocnicza nie tylko umożliwia znalezienie pożądanych wartości w równaniu drugiego rzędu, ale określa liczbę opcje. W przypadku D>0, są dwa z nich; dla D=0 jest jeden pierwiastek. W przypadku D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korzeniach i ich formule

W naszym przypadku wyróżnikiem jest: 256 - 4(-612) = 2704. Oznacza to, że nasz problem ma odpowiedź. Jeśli wiesz, to, rozwiązywanie równań kwadratowych musi być kontynuowane przy użyciu poniższego wzoru. Pozwala obliczyć korzenie.

Oznacza to, że w prezentowanym przypadku: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcja w tym dylemacie nie może być rozwiązaniem, ponieważ wielkości działki nie można mierzyć w wartościach ujemnych, co oznacza, że ​​x (czyli szerokość działki) wynosi 18 m. Stąd obliczamy długość: 18+16=34, a obwód 2(34+18) = 104 (m2).

Przykłady i zadania

Kontynuujemy badanie równań kwadratowych. Przykłady i szczegółowe rozwiązanie kilku z nich zostaną podane poniżej.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Przenieśmy wszystko do lewa strona równości, dokonamy transformacji, czyli otrzymamy postać równania, które zwykle nazywa się standardowym i przyrównamy do zera.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Po dodaniu podobnych określamy dyskryminator: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Więc nasze równanie będzie miało dwa pierwiastki. Obliczamy je według powyższego wzoru, co oznacza, że ​​pierwszy z nich będzie równy 4/3, a drugi 1.

2) Teraz ujawnimy zagadki innego rodzaju.

Dowiedzmy się, czy w ogóle są tu pierwiastki x 2 - 4x + 5 = 1? Aby uzyskać wyczerpującą odpowiedź, doprowadzamy wielomian do odpowiedniej znanej postaci i obliczamy wyróżnik. W tym przykładzie nie jest konieczne rozwiązywanie równania kwadratowego, ponieważ istota problemu wcale nie jest w tym. W tym przypadku D \u003d 16-20 \u003d -4, co oznacza, że ​​tak naprawdę nie ma korzeni.

Twierdzenie Viety

Wygodnie jest rozwiązywać równania kwadratowe za pomocą powyższych wzorów i dyskryminatora, gdy pierwiastek kwadratowy jest wyodrębniany z wartości tego ostatniego. Ale nie zawsze tak się dzieje. Istnieje jednak wiele sposobów na uzyskanie wartości zmiennych w tym przypadku. Przykład: rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą twierdzenia Viety. Jego nazwa pochodzi od człowieka, który mieszkał w XVI-wiecznej Francji i dzięki swemu matematycznemu talentowi i znajomościom na dworze miał błyskotliwą karierę. Jego portret można zobaczyć w artykule.

Wzór, który zauważył słynny Francuz, wyglądał następująco. Udowodnił, że suma pierwiastków równania jest równa -p=b/a, a ich iloczyn odpowiada q=c/a.

Przyjrzyjmy się teraz konkretnym zadaniom.

3x2 + 21x - 54 = 0

Dla uproszczenia przekształćmy wyrażenie:

x 2 + 7x - 18 = 0

Korzystając z twierdzenia Vieta, otrzymamy to, co następuje: suma pierwiastków to -7, a ich iloczyn to -18. Stąd wynika, że ​​pierwiastkami równania są liczby -9 i 2. Po sprawdzeniu upewnimy się, że te wartości zmiennych rzeczywiście pasują do wyrażenia.

Wykres i równanie paraboli

Pojęcia funkcji kwadratowej i równania kwadratowe są ze sobą ściśle powiązane. Przykłady tego zostały już podane wcześniej. Przyjrzyjmy się teraz nieco bardziej szczegółowo niektórym zagadkom matematycznym. Każde równanie opisanego typu można przedstawić wizualnie. Taka zależność, narysowana w formie wykresu, nazywana jest parabolą. Poszczególne jego rodzaje pokazano na poniższym rysunku.

Każda parabola ma wierzchołek, czyli punkt, z którego wychodzą jej gałęzie. Jeśli a>0, idą w górę do nieskończoności, a kiedy a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Wizualne reprezentacje funkcji pomagają rozwiązywać dowolne równania, w tym równania kwadratowe. Ta metoda nazywa się grafiką. A wartością zmiennej x jest współrzędna odciętej w punktach, w których linia wykresu przecina 0x. Współrzędne wierzchołka można znaleźć za pomocą właśnie podanego wzoru x 0 = -b / 2a. I podstawiając wynikową wartość do pierwotnego równania funkcji, możesz znaleźć y 0, czyli drugą współrzędną wierzchołka paraboli należącego do osi y.

Przecięcie gałęzi paraboli z osią odciętych

Istnieje wiele przykładów rozwiązywania równań kwadratowych, ale są też ogólne wzorce. Rozważmy je. Oczywiste jest, że przecięcie wykresu z osią 0x dla a>0 jest możliwe tylko wtedy, gdy y 0 przyjmuje wartości ujemne. I dla<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. W przeciwnym razie D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z wykresu paraboli możesz również określić pierwiastki. Odwrotna sytuacja również jest prawdziwa. Oznacza to, że jeśli nie jest łatwo uzyskać wizualną reprezentację funkcji kwadratowej, możesz zrównać prawą stronę wyrażenia z 0 i rozwiązać otrzymane równanie. A znając punkty przecięcia z osią 0x, łatwiej wykreślić.

Z historii

Za pomocą równań zawierających zmienną kwadratową w dawnych czasach nie tylko wykonywano obliczenia matematyczne i określano obszar kształtów geometrycznych. Starożytni potrzebowali takich obliczeń do wielkich odkryć w dziedzinie fizyki i astronomii, a także do sporządzania prognoz astrologicznych.

Jak sugerują współcześni naukowcy, mieszkańcy Babilonu byli jednymi z pierwszych, którzy rozwiązali równania kwadratowe. Stało się to cztery wieki przed nadejściem naszej ery. Oczywiście ich obliczenia zasadniczo różniły się od obecnie akceptowanych i okazały się znacznie bardziej prymitywne. Na przykład matematycy mezopotamscy nie mieli pojęcia o istnieniu liczby ujemne. Nie znali również innych subtelności znanych każdemu uczniowi naszych czasów.

Być może nawet wcześniej niż naukowcy z Babilonu, indyjski mędrzec Baudhayama zajął się rozwiązywaniem równań kwadratowych. Stało się to około ośmiu wieków przed nadejściem ery Chrystusa. To prawda, równania drugiego rzędu, metody rozwiązywania, które podał, były najprostsze. Oprócz niego w dawnych czasach podobnymi zagadnieniami interesowali się również chińscy matematycy. W Europie równania kwadratowe zaczęto rozwiązywać dopiero na początku XIII wieku, ale później wykorzystali je w swojej pracy tak wielcy naukowcy jak Newton, Kartezjusz i wielu innych.

W tym artykule rozważymy rozwiązanie niekompletnych równań kwadratowych.

Ale najpierw powtórzmy, jakie równania nazywamy kwadratowymi. Równanie postaci ax 2 + bx + c \u003d 0, gdzie x jest zmienną, a współczynniki a, b i c są niektórymi liczbami, a ≠ 0 nazywa się kwadrat. Jak widać, współczynnik przy x 2 nie jest równy zeru, a zatem współczynniki przy x lub członie swobodnym mogą być równe zeru, w tym przypadku otrzymujemy niepełne równanie kwadratowe.

Istnieją trzy rodzaje niekompletnych równań kwadratowych:

1) Jeśli b \u003d 0, c ≠ 0, to topór 2 + c \u003d 0;

2) Jeśli b ≠ 0, c \u003d 0, to topór 2 + bx \u003d 0;

3) Jeśli b \u003d 0, c \u003d 0, to topór 2 \u003d 0.

• Zobaczmy, jak się rozwiążą równania postaci ax 2 + c = 0.

Aby rozwiązać równanie, przenosimy wyraz wolny z prawej strony równania, otrzymujemy

topór 2 = ‒s. Ponieważ a ≠ 0, dzielimy obie części równania przez a, a następnie x 2 \u003d -c / a.

Jeśli ‒с/а > 0, to równanie ma dwa pierwiastki

x = ±√(–c/a) .

Jeśli c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Spróbujmy zrozumieć na przykładach, jak rozwiązać takie równania.

Przykład 1. Rozwiąż równanie 2x 2 - 32 = 0.

Odpowiedź: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Przykład 2. Rozwiąż równanie 2x 2 + 8 = 0.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań.

• Zobaczmy, jak się rozwiążą równania postaci ax 2 + bx = 0.

Aby rozwiązać równanie ax 2 + bx \u003d 0, rozkładamy je na czynniki, to znaczy bierzemy x z nawiasów, otrzymujemy x (ax + b) \u003d 0. Produkt wynosi zero, jeśli co najmniej jeden z współczynniki to zero. Wtedy albo х = 0 albo ах + b = 0. Rozwiązując równanie ах + b = 0, otrzymujemy ах = – b, skąd х = – b/a. Równanie postaci ax 2 + bx \u003d 0 zawsze ma dwa pierwiastki x 1 \u003d 0 i x 2 \u003d - b / a. Zobacz jak wygląda rozwiązanie równań tego typu na diagramie.

Skonsolidujmy naszą wiedzę na konkretnym przykładzie.

Przykład 3. Rozwiąż równanie 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 lub 3x - 12 \u003d 0

Odpowiedź: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Równania trzeciego typu ax 2 = 0 rozwiązany bardzo prosto.

Jeśli topór 2 \u003d 0, to x 2 \u003d 0. Równanie ma dwa równe pierwiastki x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Dla jasności rozważ diagram.

Rozwiązując przykład 4, upewnimy się, że równania tego typu są rozwiązywane bardzo prosto.

Przykład 4 Rozwiąż równanie 7x 2 = 0.

Odpowiedź: x 1, 2 = 0.

Nie zawsze jest od razu jasne, jakie niepełne równanie kwadratowe musimy rozwiązać. Rozważmy następujący przykład.

Przykład 5 Rozwiązać równanie

Pomnóż obie strony równania przez wspólny mianownik, czyli przez 30

Chodźmy ciąć

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Otwórzmy nawiasy

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Oto podobne

Przenieśmy 99 z lewej strony równania w prawo, zmieniając znak na przeciwny

Odpowiedź: bez korzeni.

Przeanalizowaliśmy, jak rozwiązywane są niepełne równania kwadratowe. Mam nadzieję, że teraz nie będziesz miał trudności z takimi zadaniami. Bądź ostrożny przy określaniu typu niepełnego równania kwadratowego, wtedy odniesiesz sukces.

Jeśli masz jakieś pytania na ten temat, zapisz się na moje lekcje, wspólnie rozwiążemy powstałe problemy.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Wiejska szkoła średnia Kopyevskaya

10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych

Kierownik: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nauczyciel matematyki

s. Kopiewo, 2007

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

1.2 Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

1.4 Równania kwadratowe w al-Khwarizmi

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wiek

1.6 O twierdzeniu Viety

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Wniosek

Literatura

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia w czasach starożytnych była spowodowana potrzebą rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem obszarów gruntów i robót ziemnych o charakterze militarnym, a także rozwojem astronomii i sama matematyka. Równania kwadratowe były w stanie rozwiązać około 2000 roku p.n.e. mi. Babilończycy.

Stosując nowoczesne notacja algebraiczna, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych występują, oprócz niepełnych, np. zupełne równania kwadratowe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Reguła rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułą współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Niemal wszystkie dotychczas odnalezione teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami podanymi w formie przepisów, bez wskazania, jak zostały znalezione.

Mimo wysoki poziom rozwój algebry w Babilonie, w tekstach klinowych nie ma pojęcia liczby ujemnej i wspólne metody rozwiązania równań kwadratowych.

1.2 Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe.

Arytmetyka Diofantusa nie zawiera systematycznego wykładu algebry, ale zawiera systematyczny ciąg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i które rozwiązywane są za pomocą równań różnego stopnia.

Podczas kompilacji równań Diophantus umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.

Oto na przykład jedno z jego zadań.

Zadanie 11.„Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn 96”

Diophantus argumentuje w następujący sposób: z warunku problemu wynika, że ​​pożądane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, to ich iloczyn byłby równy nie 96, ale 100. Zatem jedna z nich będzie większa niż połowę ich sumy, czyli . 10+x, drugi jest mniejszy, tj. Dziesiątki. Różnica między nimi 2x .

Stąd równanie:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Stąd x = 2. Jedną z pożądanych liczb jest 12 , inny 8 . Rozwiązanie x = -2 bo Diofant nie istnieje, ponieważ matematyka grecka znała tylko liczby dodatnie.

Jeśli rozwiążemy ten problem, wybierając jedną z pożądanych liczb jako niewiadomą, dojdziemy do rozwiązania równania

r(20 - r) = 96,

r 2 - 20 lat + 96 = 0. (2)

Jasne jest, że Diophantus upraszcza rozwiązanie, wybierając połowę różnicy pożądanych liczb jako niewiadomą; udaje mu się zredukować problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego (1).

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

Problemy z równaniami kwadratowymi zostały już znalezione w traktacie astronomicznym „Aryabhattam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski uczony, Brahmagupta (VII w.), wyjaśnił główna zasada rozwiązania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej:

ach 2+ b x = c, a > 0. (1)

W równaniu (1) współczynniki, z wyjątkiem a, może być również ujemna. Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi.

W starożytne Indie Powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce przyćmiewa gwiazdy swoim blaskiem, tak naukowiec przyćmić chwałę drugiego na publicznych spotkaniach, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne. Zadania często ubierano w poetycką formę.

Oto jeden z problemów słynnego matematyka indyjskiego z XII wieku. Bhaskara.

Zadanie 13.

„Rozbrykane stado małp I dwanaście w winorośli ...

Po zjedzeniu mocy dobrze się bawiłem. Zaczęli skakać, wisząc ...

Część ósma z nich na kwadracie Ile tam było małp,

Zabawa na łące. Mówisz mi, w tym stadzie?

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że wiedział o dwuwartościowości pierwiastków równań kwadratowych (ryc. 3).

Równanie odpowiadające zadaniu 13 to:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara pisze pod przykrywką:

x 2 - 64x = -768

i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje do obu stron 32 2 , otrzymując następnie:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Równania kwadratowe w al-Khorezmi

Traktat algebraiczny Al-Khorezmiego podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = b X.

2) „Kwadraty są równe liczbie”, tj. topór 2 = s.

3) „Korzenie są równe liczbie”, tj. ah = s.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = b X.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ach 2+ bx = s.

6) „Korzenie i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c \u003d topór 2.

Dla al-Khwarizmi, który unikał używania liczb ujemnych, warunki każdego z tych równań są dodatkami, a nie odejmowaniem. W tym przypadku równania, które nie mają pozytywnych rozwiązań, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor nakreśla metody rozwiązywania tych równań, wykorzystując metody al-dżabra i al-muqabala. Jego decyzje oczywiście nie pokrywają się całkowicie z naszymi. Nie mówiąc już o tym, że jest to czysto retoryczne, należy zauważyć na przykład, że przy rozwiązywaniu niepełnego równania kwadratowego pierwszego typu

al-Khorezmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę rozwiązania zerowego, prawdopodobnie dlatego, że nie ma to znaczenia w konkretnych problemach praktycznych. Rozwiązując kompletne równania kwadratowe, al-Khorezmi określa zasady rozwiązywania, a następnie dowodów geometrycznych, używając konkretnych przykładów liczbowych.

Zadanie 14.„Kwadrat i liczba 21 są równe 10 pierwiastkom. Znajdź korzeń" (zakładając pierwiastek z równania x 2 + 21 = 10x).

Autorskie rozwiązanie wygląda mniej więcej tak: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5 przez siebie, odejmij 21 od iloczynu, pozostaje 4. Weź pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5, ty zdobądź 3, to będzie pożądany korzeń. Lub dodaj 2 do 5, co da 7, to też jest korzeń.

Treatise al - Khorezmi to pierwsza książka, która do nas dotarła, w której systematycznie przedstawia się klasyfikację równań kwadratowych i podaje wzory na ich rozwiązanie.

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wieki

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na modelu al-Khorezmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202 r. przez włoskiego matematyka Leonardo Fibonacciego. To obszerne dzieło, które odzwierciedla wpływ matematyki, zarówno krajów islamu, jak i Starożytna Grecja, różni się zarówno kompletnością, jak i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych przykłady algebraiczne rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z „Księgi liczydła” przeszło do prawie wszystkich europejskich podręczników XVI-XVII wieku. i częściowo XVIII.

Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej:

x 2+ bx = z,

dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników b , Z został sformułowany w Europie dopiero w 1544 r. przez M. Stiefela.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w ogólna perspektywa Viet ma, ale Viet rozpoznaje tylko pozytywne korzenie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Weź pod uwagę, oprócz pozytywnych i negatywnych korzeni. Dopiero w XVII wieku. Dzięki pracy Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców sposób rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnego wyglądu.

1.6 O twierdzeniu Viety

Twierdzenie wyrażające zależność między współczynnikami równania kwadratowego a jego pierwiastkami, noszące nazwę Vieta, zostało przez niego sformułowane po raz pierwszy w 1591 r. w następujący sposób: „Jeśli B + D pomnożone przez A - A 2 , równa się BD, następnie A równa się W i równe D ».

Aby zrozumieć Vieta, trzeba o tym pamiętać ALE, jak każda samogłoska, oznaczało dla niego nieznane (nasz X), samogłoski W, D- współczynniki dla nieznanego. W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Viety oznacza: if

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (+ b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Wyrażając związek między pierwiastkami a współczynnikami równań ogólne formuły, pisany za pomocą symboli, Viet ustalił jednolitość w metodach rozwiązywania równań. Jednak symbolika Viety jest wciąż daleka od nowoczesny wygląd. Nie rozpoznawał liczb ujemnych, dlatego przy rozwiązywaniu równań brał pod uwagę tylko przypadki, w których wszystkie pierwiastki są dodatnie.

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Równania kwadratowe są podstawą, na której opiera się majestatyczny gmach algebry. Znajdź równania kwadratowe szerokie zastosowanie przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, irracjonalnych i transcendentalnych. Wszyscy wiemy, jak rozwiązywać równania kwadratowe od szkoły (klasa 8) do matury.

Wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Rozważane są przypadki prawdziwych, wielokrotnych i złożonych korzeni. Faktoryzacja trójmianu kwadratowego. Interpretacja geometryczna. Przykłady wyznaczania pierwiastków i faktoryzacji.

Podstawowe formuły

Rozważ równanie kwadratowe:
(1) .
Pierwiastki równania kwadratowego(1) określają wzory:
; .
Te formuły można łączyć w następujący sposób:
.
Gdy znane są pierwiastki równania kwadratowego, wówczas wielomian drugiego stopnia można przedstawić jako iloczyn czynników (podzielony na czynniki):
.

Ponadto zakładamy, że są to liczby rzeczywiste.
Rozważać dyskryminator równania kwadratowego:
.
Jeżeli wyróżnik jest dodatni, to równanie kwadratowe (1) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
; .
Wtedy faktoryzacja trójmianu kwadratowego ma postać:
.
Jeżeli dyskryminator wynosi zero, to równanie kwadratowe (1) ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki rzeczywiste:
.
Faktoryzacja:
.
Jeżeli wyróżnik jest ujemny, to równanie kwadratowe (1) ma dwa złożone sprzężone pierwiastki:
;
.
Oto jednostka urojona, ;
i są rzeczywistymi i urojonymi częściami korzeni:
; .
Następnie

.

Interpretacja graficzna

Jeśli kompilacja wykres funkcji
,
która jest parabolą, to punkty przecięcia wykresu z osią będą pierwiastkami równania
.
Gdy wykres przecina oś odciętych (oś) w dwóch punktach.
Gdy wykres dotyka osi x w jednym punkcie.
Gdy wykres nie przecina osi x.

Poniżej przykłady takich wykresów.

Przydatne wzory związane z równaniem kwadratowym

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Wykonujemy przekształcenia i stosujemy formuły (f.1) i (f.3):




,
gdzie
; .

Otrzymaliśmy więc wzór na wielomian drugiego stopnia w postaci:
.
Z tego widać, że równanie

wykonywane w
oraz .
To znaczy i są pierwiastkami równania kwadratowego
.

Przykłady wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego

Przykład 1

(1.1) .

Rozwiązanie

.
W porównaniu z naszym równaniem (1.1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie dyskryminatora:
.
Ponieważ wyróżnik jest dodatni, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:
;
;
.

Stąd otrzymujemy rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki:

.

Wykres funkcji y = 2 x 2 + 7 x + 3 przecina oś x w dwóch punktach.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Przecina oś x (oś) w dwóch punktach:
oraz .
Punkty te są pierwiastkami pierwotnego równania (1.1).

Odpowiadać

;
;
.

Przykład 2

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(2.1) .

Rozwiązanie

Piszemy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
.
W porównaniu z pierwotnym równaniem (2.1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie dyskryminatora:
.
Ponieważ dyskryminator wynosi zero, równanie ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki:
;
.

Wtedy faktoryzacja trójmianu ma postać:
.

Wykres funkcji y = x 2 - 4 x + 4 dotyka osi x w jednym punkcie.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Dotyka osi x (osi) w jednym punkcie:
.
Ten punkt jest pierwiastkiem pierwotnego równania (2.1). Ponieważ ten pierwiastek jest rozkładany na czynniki dwukrotnie:
,
wtedy taki korzeń nazywa się wielokrotnością. Oznacza to, że uważają, że istnieją dwa równe pierwiastki:
.

Odpowiadać

;
.

Przykład 3

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(3.1) .

Rozwiązanie

Piszemy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
(1) .
Przepiszmy oryginalne równanie (3.1):
.
W porównaniu z (1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie dyskryminatora:
.
Wyróżnik jest ujemny, . Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Możesz znaleźć złożone korzenie:
;
;
.

Następnie


.

Wykres funkcji nie przecina osi x. Nie ma prawdziwych korzeni.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Nie przecina odciętej (osi). Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Odpowiadać

Nie ma prawdziwych korzeni. Złożone korzenie:
;
;
.

Zadania na równanie kwadratowe są badane zarówno w szkolnym programie nauczania, jak i na uniwersytetach. Są rozumiane jako równania postaci a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, gdzie x- zmienna, a,b,c – stałe; a<>0 . Problem polega na znalezieniu pierwiastków równania.

Geometryczne znaczenie równania kwadratowego

Wykres funkcji reprezentowanej przez równanie kwadratowe to parabola. Rozwiązania (pierwiastki) równania kwadratowego to punkty przecięcia paraboli z osią x. Wynika z tego, że możliwe są trzy przypadki:
1) parabola nie ma punktów przecięcia z osią x. Oznacza to, że znajduje się w górnej płaszczyźnie z rozgałęzieniami do góry lub dolnej z rozgałęzieniami w dół. W takich przypadkach równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma dwa pierwiastki złożone).

2) parabola ma jeden punkt przecięcia z osią Wół. Taki punkt nazywa się wierzchołkiem paraboli, a równanie kwadratowe w nim osiąga minimum lub maksymalna wartość. W tym przypadku równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek rzeczywisty (lub dwa identyczne pierwiastki).

3) Ostatni przypadek jest ciekawszy w praktyce - istnieją dwa punkty przecięcia paraboli z osią odciętych. Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Na podstawie analizy współczynników przy potęgach zmiennych można wyciągnąć ciekawe wnioski dotyczące rozmieszczenia paraboli.

1) Jeśli współczynnik a jest większy od zera, to parabola jest skierowana w górę, jeśli jest ujemna, gałęzie paraboli skierowane są w dół.

2) Jeśli współczynnik b jest większy od zera, to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie, jeśli przyjmuje negatywne znaczenie- potem w prawo.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego

Przenieśmy stałą z równania kwadratowego

dla znaku równości otrzymujemy wyrażenie

Pomnóż obie strony przez 4a

Aby uzyskać pełny kwadrat po lewej, dodaj b ^ 2 w obu częściach i wykonaj transformację

Stąd znajdujemy

Wzór na wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego

Dyskryminator jest wartością wyrażenia pierwiastkowego.Jeśli jest dodatni, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, obliczone za pomocą wzoru Gdy dyskryminator wynosi zero, równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie (dwa pokrywające się pierwiastki), które łatwo wyprowadzić z powyższego wzoru dla D = 0. Gdy dyskryminator jest ujemny, nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jednak, aby zbadać rozwiązania równania kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej, a ich wartość oblicza się według wzoru

Twierdzenie Viety

Rozważ dwa pierwiastki równania kwadratowego i skonstruuj na ich podstawie równanie kwadratowe.Samo twierdzenie Vieta łatwo wynika z notacji: jeśli mamy równanie kwadratowe o postaci wtedy suma jego pierwiastków jest równa współczynnikowi p, wziętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków równania jest równy członowi wolnemu q. Wzór na powyższe będzie wyglądał tak: Jeśli stała a w równaniu klasycznym jest niezerowa, to musisz przez nią podzielić całe równanie, a następnie zastosować twierdzenie Vieta.

Harmonogram równania kwadratowego na czynniki

Niech postawimy sobie zadanie: rozłożyć równanie kwadratowe na czynniki. Aby to wykonać, najpierw rozwiązujemy równanie (znajdujemy pierwiastki). Następnie podstawiamy znalezione pierwiastki do wzoru na rozwinięcie równania kwadratowego.Ten problem zostanie rozwiązany.

Zadania dla równania kwadratowego

Zadanie 1. Znajdź pierwiastki równania kwadratowego

x^2-26x+120=0 .

Rozwiązanie: Zapisz współczynniki i zastąp je we wzorze na dyskryminację

korzeń podana wartość równy 14, łatwo go znaleźć za pomocą kalkulatora, lub zapamiętać przy częstym używaniu, jednak dla wygody na końcu artykułu podam listę kwadratów liczb, które często można znaleźć w takich zadaniach .
Znaleziona wartość jest podstawiona do wzoru na pierwiastek

i dostajemy

Zadanie 2. Rozwiązać równanie

2x2+x-3=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe, wypisz współczynniki i znajdź wyróżnik


Korzystając ze znanych wzorów, znajdujemy pierwiastki równania kwadratowego

Zadanie 3. Rozwiązać równanie

9x2 -12x+4=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe. Określ dyskryminator

Mamy przypadek, gdy korzenie się pokrywają. Obliczamy wartości pierwiastków według wzoru

Zadanie 4. Rozwiązać równanie

x^2+x-6=0 .

Rozwiązanie: W przypadkach, w których występują małe współczynniki dla x, wskazane jest zastosowanie twierdzenia Vieta. Z jego warunku otrzymujemy dwa równania

Z drugiego warunku otrzymujemy, że iloczyn musi być równy -6. Oznacza to, że jeden z korzeni jest ujemny. Mamy następującą możliwą parę rozwiązań(-3;2), (3;-2) . Biorąc pod uwagę pierwszy warunek, odrzucamy drugą parę rozwiązań.
Pierwiastki równania to

Zadanie 5. Znajdź długości boków prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 18 cm, a powierzchnia 77 cm2.

Rozwiązanie: połowa obwodu prostokąta jest równa sumie sąsiednich boków. Oznaczmy x - duża strona, wtedy 18-x jest jego mniejszą stroną. Powierzchnia prostokąta jest równa iloczynowi tych długości:
x(18x)=77;
lub
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Znajdźmy wyróżnik równania

Obliczamy pierwiastki równania

Jeśli x=11, następnie 18x=7 , odwrotnie jest również prawdziwe (jeśli x=7, to 21-x=9).

Zadanie 6. Faktoryzuj równanie kwadratowe 10x 2 -11x+3=0.

Rozwiązanie: Oblicz pierwiastki równania, w tym celu znajdujemy wyróżnik

Podstawiamy znalezioną wartość do wzoru pierwiastków i obliczamy

Stosujemy wzór na rozwinięcie równania kwadratowego o pierwiastki

Rozwijając nawiasy otrzymujemy tożsamość.

Równanie kwadratowe z parametrem

Przykład 1. Dla jakich wartości parametru a , czy równanie (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 ma jeden pierwiastek?

Rozwiązanie: Poprzez bezpośrednie podstawienie wartości a=3 widzimy, że nie ma rozwiązania. Ponadto wykorzystamy fakt, że przy zerowym dyskryminatorze równanie ma jeden pierwiastek z krotności 2. Wypiszmy wyróżnik

uprościć i przyrównać do zera

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe ze względu na parametr a, którego rozwiązanie jest łatwe do uzyskania przy pomocy twierdzenia Vieta. Suma pierwiastków to 7, a ich iloczyn to 12. Poprzez proste wyliczenie ustalamy, że liczby 3.4 będą pierwiastkami równania. Ponieważ już na początku obliczeń odrzuciliśmy rozwiązanie a=3, jedynym poprawnym będzie - a=4. Zatem dla a = 4 równanie ma jeden pierwiastek.

Przykład 2. Dla jakich wartości parametru a , równanie a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ma więcej niż jeden korzeń?

Rozwiązanie: Rozważmy najpierw punkty osobliwe, będą to wartości a=0 i a=-3. Gdy a=0, równanie zostanie uproszczone do postaci 6x-9=0; x=3/2 i będzie jeden pierwiastek. Dla a= -3 otrzymujemy tożsamość 0=0 .
Oblicz dyskryminator

i znajdź wartości, dla których jest to pozytywne

Z pierwszego warunku otrzymujemy a>3. Po drugie, znajdujemy wyróżnik i pierwiastki równania


Zdefiniujmy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Podstawiając punkt a=0 otrzymujemy 3>0 . Tak więc poza przedziałem (-3; 1/3) funkcja jest ujemna. Nie zapomnij o kropce a=0 co należy wykluczyć, ponieważ pierwotne równanie ma w sobie jeden pierwiastek.
W efekcie otrzymujemy dwa przedziały spełniające warunek problemu

W praktyce będzie wiele podobnych zadań, postaraj się samemu poradzić sobie z zadaniami i nie zapomnij wziąć pod uwagę warunków, które wzajemnie się wykluczają. Przestudiuj dobrze wzory do rozwiązywania równań kwadratowych, są one dość często potrzebne w obliczeniach w różnych problemach i naukach.