Homogeni sistem diferencialnih enačb. Reševanje sistemov diferencialnih enačb z matrično metodo

Pri številnih problemih v matematiki, fiziki in tehniki je treba določiti več funkcij hkrati, ki so med seboj povezane z več diferencialnimi enačbami. Množico takih enačb imenujemo sistem diferencialnih enačb. Predvsem takšni sistemi vodijo do problemov, v katerih se proučuje gibanje teles v prostoru pod delovanjem danih sil.

Naj se na primer snovna točka mase giblje po določeni krivulji (L) v prostoru pod vplivom sile F. Potrebno je določiti zakon gibanja točke, to je odvisnost koordinat točke od časa.

Predpostavimo, da

radij vektorja gibljive točke. Če so spremenljive koordinate točke označene z , potem

Hitrost in pospešek premikajoče se točke izračunamo po formulah:

(glej poglavje VI, § 5, št. 4).

Sila F, pod vplivom katere se točka premika, je v splošnem funkcija časa, koordinat točke in projekcije hitrosti na koordinatne osi:

Na podlagi drugega Newtonovega zakona je enačba gibanja točke zapisana takole:

S projekcijo vektorjev na levi in desni strani te enakosti na koordinatno os dobimo tri diferencialne enačbe gibanja:

Te diferencialne enačbe predstavljajo sistem treh diferencialnih enačb drugega reda za tri iskane funkcije:

V prihodnje se bomo omejili le na preučevanje sistema enačb prvega reda posebne oblike glede na zahtevane funkcije. Ta sistem ima obliko

Sistem enačb (95) imenujemo sistem v normalni obliki ali normalni sistem.

V normalnem sistemu desne strani enačb ne vsebujejo odvodov iskanih funkcij.

Rešitev sistema (95) je niz funkcij, ki zadovoljujejo vsako od enačb tega sistema.

Sisteme enačb drugega, tretjega in višjega reda je mogoče reducirati na normalen sistem, če vnesemo nove zahtevane funkcije. Na primer, sistem (94) je mogoče spremeniti v normalna oblika na naslednji način. Predstavimo nove funkcije tako, da postavimo . Nato bo okostje enačbe (94) zapisano takole:

Sistem (96) je normalen.

Razmislite na primer o običajnem sistemu treh enačb s tremi neznanimi funkcijami:

Za normalen sistem diferencialnih enačb je Cauchyjev izrek o obstoju in edinstvenosti rešitve formuliran takole.

Izrek. Naj bodo desne strani enačb sistema (97), to je funkcije zvezne v vseh spremenljivkah v neki domeni G in imajo v njej zvezne parcialne odvode. Potem ne glede na vrednosti, ki pripadajo domeni G, obstaja edinstvena rešitev sistema, ki izpolnjuje začetne pogoje:

Za integracijo sistema (97) lahko uporabite metodo, s katero se ta sistem, ki vsebuje tri enačbe za tri neznane funkcije, zmanjša na eno enačbo tretjega reda za eno neznano funkcijo. Pokažimo primer uporabe te metode.

Zaradi enostavnosti se bomo omejili na sistem dveh enačb. Naj bo podan sistem enačb

Za iskanje rešitve za sistem postopamo na naslednji način. Z diferenciranjem prve enačbe sistema glede na najdemo

Če v to enačbo nadomestimo izraz iz druge enačbe sistema, dobimo

Nazadnje, zamenjava funkcije y z njenim izrazom iz prve enačbe sistema

dobimo linearno homogeno enačbo drugega reda za eno neznano funkcijo:

Z integracijo te enačbe najdemo njeno splošno rešitev

Razlikovanje enakosti, ki jo najdemo

Če nadomestimo izraze za x in v enakost in dodamo podobne člene, dobimo

so rešitev tega sistema.

Z integracijo normalnega sistema dveh diferencialnih enačb smo torej dobili njegovo rešitev, ki je odvisna od dveh poljubnih konstant. Lahko se pokaže, da bo v splošnem primeru normalnega sistema, sestavljenega iz enačb, njegova splošna rešitev odvisna od poljubnih konstant .

Praktično vrednost diferencialnih enačb določa dejstvo, da je z njihovo pomočjo mogoče vzpostaviti povezavo z osnovnimi fizikalnimi oz. kemijski zakon in pogosto cela skupina spremenljivk, ki so zelo pomembne pri preučevanju tehničnih vprašanj.

Uporaba celo najpreprostejšega fizikalnega zakona za proces, ki poteka pod spremenljivimi pogoji, lahko privede do zelo zapletenega odnosa med spremenljivimi količinami.

Pri reševanju fizikalnih in kemijskih problemov, ki vodijo do diferencialnih enačb, je pomembno najti splošni integral enačbe in določiti vrednosti konstant, vključenih v ta integral, tako da rešitev ustreza danemu problemu.

Preučevanje procesov, v katerih so vse želene količine funkcije samo ene neodvisne spremenljivke, vodi do navadnih diferencialnih enačb.

Procesi v ustaljenem stanju lahko vodijo do parcialnih diferencialnih enačb.

V večini primerov reševanje diferencialnih enačb ne vodi do iskanja integralov; za reševanje takih enačb je treba uporabiti približne metode.

Sistemi diferencialnih enačb se uporabljajo za reševanje problemov kinetike.

Najpogostejša in univerzalna numerična metoda za reševanje navadnih diferencialnih enačb je metoda končnih razlik.

Navadne diferencialne enačbe se uporabljajo za reševanje problemov, pri katerih je treba najti razmerje med odvisnimi in neodvisnimi spremenljivkami v pogojih, ko se slednje zvezno spreminjajo. Reševanje problema vodi do tako imenovanih končnih diferenčnih enačb.

Območje neprekinjenega spreminjanja argumenta x se nadomesti z nizom točk, imenovanih vozlišča. Ta vozlišča sestavljajo različno mrežo. Zahtevana funkcija zveznega argumenta se približno nadomesti s funkcijo argumenta na dani mreži. Ta funkcija se imenuje funkcija mreže. Zamenjava diferencialne enačbe z diferenčno enačbo se imenuje njena aproksimacija na mreži. Niz diferencialnih enačb, ki približajo prvotno diferencialno enačbo in dodatne začetne pogoje, se imenuje diferenčna shema. Diferenčna shema se imenuje stabilna, če majhna sprememba vhodnih podatkov ustreza majhni spremembi rešitve. Diferencna shema se imenuje pravilna, če njena rešitev obstaja in je edinstvena za kateri koli vhodni podatek ter tudi, če je ta shema stabilna.

Ko rešujete Cauchyjev problem, morate najti funkcijo y=y(x), ki ustreza enačbi:

in začetni pogoj: y = y 0 pri x = x 0.

Predstavimo zaporedje točk x 0, x 1, ... x n in korake h i = x i +1 – x i (i = 0, 1, ...). V vsaki točki x i so uvedena števila y i, ki približujejo natančno rešitev y. Po zamenjavi odvoda v izvirni enačbi s končno diferenčno relacijo se izvede prehod iz diferencialnega problema v diferenčni problem:

y i+1 = F(x i, h i, y i+1, y i, … y i-k+1),

kjer je i = 0, 1, 2 …

Posledica tega je k-stopenjska metoda končne razlike. Pri enostopenjskih metodah se za izračun y i +1 v prejšnjem koraku uporabi samo ena predhodno najdena vrednost y i; pri večstopenjskih metodah se jih uporabi več.

Najenostavnejša enostopenjska numerična metoda za reševanje Cauchyjevega problema je Eulerjeva metoda.

y i+1 = y i + h f(x i, y i).

Ta shema je diferenčna shema prvega reda natančnosti.

Če je v enačbi y " =f(x,y) desna stran nadomestite z aritmetično srednjo vrednostjo med f(x i,y i) in f(x i+1,y i+1), tj. , potem dobimo implicitno diferenčno shemo Eulerjeve metode:

z natančnostjo drugega reda.

Z zamenjavo y i+1 v tej enačbi z y i +h f(x i, y i) preide shema v Eulerjevo metodo s ponovnim izračunom, ki ima tudi drugi red:

Med diferenčnimi shemami višjega reda natančnosti je pogosta shema metode Runge-Kutta četrtega reda:

y i +1 = yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4), i = 0, 1, ...

na 1 = f(x i, y i)

do 2 = f(x i + , y i + )

do 3 = f(x i + , y i + )

k 4 = f(x i +h, y i +k 3).

Za povečanje natančnosti numerične rešitve brez bistvenega povečanja računalniškega časa se uporablja metoda Runge. Njegovo bistvo je izvajati ponavljajoče se izračune z uporabo iste diferenčne sheme z različnimi koraki.

Izpopolnjena rešitev je izdelana z vrsto izračunov. Če se izvedeta dve seriji izračunov po shemi naročila Za s korakoma h in h/2 in dobimo vrednosti mrežne funkcije y h in y h /2, nato pa se natančnejša vrednost mrežne funkcije na vozliščih omrežja s korakom h izračuna po formuli:

Približni izračuni

Pri fizikalnih in kemijskih izračunih je redko potrebna uporaba tehnik in formul, ki dajejo natančne rešitve. V večini primerov so metode za reševanje enačb, ki vodijo do natančnih rezultatov, zelo zapletene ali pa sploh ne obstajajo. Običajno se uporabljajo metode približnega reševanja problemov.

Pri reševanju fizikalno-kemijskih problemov, povezanih s kemijsko kinetiko in obdelavo eksperimentalnih podatkov, se pogosto pojavi potreba po reševanju različnih enačb. Natančna rešitev nekaterih enačb v nekaterih primerih predstavlja velike težave. V teh primerih lahko uporabite metode približnih rešitev in dobite rezultate z natančnostjo, ki ustreza nalogi. Poznamo več metod: tangentna metoda (Newtonova metoda), metoda linearne interpolacije, metoda ponavljanja (iteracija) itd.

Naj obstaja enačba f(x)=0 in f(x) je zvezna funkcija. Predpostavimo, da je možno izbrati vrednosti a in b tako, da imata f(a) in f(b). različna znamenja, na primer f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

Grafično iskanje korenin enačbe. Za reševanje enačb višjih stopenj je priročno uporabiti grafično metodo. Naj bo dana enačba:

x n +ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

kjer so a, b, …, p, q podana števila.

Z geometrijskega vidika je enačba

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

predstavlja nekakšno krivuljo. Poljubno število njegovih točk lahko najdete tako, da izračunate vrednosti y, ki ustrezajo poljubnim vrednostim x. Vsaka točka presečišča krivulje z osjo OX daje vrednost enega od korenov te enačbe. Zato se iskanje korenin enačbe zmanjša na določitev presečišč ustrezne krivulje z osjo OX.

Metoda ponavljanja. Ta metoda je sestavljena iz preoblikovanja enačbe f(x)=0, ki jo je treba rešiti, v novo enačbo x=j(x) in glede na prvi približek x 1, zaporedno iskanje natančnejših približkov x 2 =j(x 1), x 3 =j(x 2) itd. Rešitev je mogoče dobiti s poljubno natančnostjo, pod pogojem, da je v intervalu med prvim približkom in korenom enačbe |j"(x)|<1.

Za reševanje ene nelinearne enačbe se uporabljajo naslednje metode:

a) metoda polovične delitve:

Izolacijski interval realnega korena lahko vedno zmanjšamo tako, da ga na primer razdelimo na polovico, pri čemer določimo, na mejah katerega dela prvotnega intervala funkcija f(x) spremeni predznak. Nato se nastali interval ponovno razdeli na dva dela itd. Ta postopek se nadaljuje, dokler se decimalna mesta, shranjena v odgovoru, ne spremenijo več.

Izberemo interval, v katerem je rešitev. Izračunamo f(a) in f(b), če je f(a) > 0 in f(b)< 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) >0 in f(c) > 0, potem je a = c in b = b. V nasprotnem primeru, če f(a)< 0 и f(c) >0 ali f(a) > 0 in f(c)< 0, то a = a и b = c.

B) tangentna metoda (Newtonova metoda):

Naj bo realni koren enačbe f(x) = 0 izoliran na segmentu . Vzemimo število x 0 na segmentu, za katerega ima f (x 0) enak predznak kot f ’ (x 0). Narišimo tangento na krivuljo y = f(x) v točki M 0. Kot približno vrednost korena vzamemo absciso presečišča te tangente z osjo Ox. To približno vrednost korena je mogoče najti s formulo

Če to tehniko uporabimo drugič na točki M 1, dobimo

itd. Tako dobljeno zaporedje x0, x1, x2,... ima za mejo želeni koren. Na splošno se lahko zapiše takole:

Za reševanje linearnih sistemov algebrskih enačb se uporablja iterativna Gauss-Seidelova metoda. Takšni problemi kemijske tehnologije, kot je izračun materialne in toplotne bilance, so zmanjšani na reševanje sistemov linearnih enačb.

Bistvo metode je, da s preprostimi transformacijami izrazimo neznanke x 1, x 2, ..., x n iz enačb 1.2, ..., n. Nastavite začetne približke neznank x 1 = x 1 (0), x 2 = x 2 (0), ..., x n = x n (0), nadomestite te vrednosti v desno stran izraza x 1 in izračunajte x 1 (1). Nato nadomestite x 1 (1), x 3 (0), ..., x n (0) na desno stran izraza x 2 in poiščite x 2 (1) itd. Po izračunu x 1 (1), x 2 (1), ..., x n (1) se izvede druga ponovitev. Iterativni proces se nadaljuje, dokler se vrednosti x 1 (k), x 2 (k), ... ne približajo, z dano napako, vrednostim x 1 (k-1), x 2 (k -2), ....

Takšni problemi kemijske tehnologije, kot je izračun kemijskega ravnovesja itd., Se zmanjšajo na reševanje sistemov nelinearnih enačb. Iterativne metode se uporabljajo tudi za reševanje sistemov nelinearnih enačb. Izračun kompleksnega ravnotežja se zmanjša na reševanje sistemov nelinearnih algebrskih enačb.

Algoritem za reševanje sistema z metodo enostavne iteracije spominja na Gauss–Seidelovo metodo, ki se uporablja za reševanje linearnih sistemov.

Newtonova metoda ima hitrejšo konvergenco kot metoda preproste iteracije. Temelji na uporabi razširitve funkcij F 1 (x 1 , x 2 , ... x n) v Taylorjevo vrsto. V tem primeru so izrazi, ki vsebujejo druge izpeljanke, zavrženi.

Naj bodo približne vrednosti sistemskih neznank, dobljene v prejšnji iteraciji, enake a 1, a 2, ...a n. Naloga je najti prirastke teh vrednosti Δx 1, Δx 2, ... Δx n, zahvaljujoč katerim bodo pridobljene nove vrednosti neznank:

x 1 = a 1 + Δx 1

x 2 = a 2 + Δx 2

x n = a n + Δx n.

Razširimo leve strani enačb v Taylorjevo vrsto in se omejimo na linearne člene:

Ker morajo biti leve strani enačb enake nič, izenačimo desne strani z nič. Dobimo sistem linearnih algebrskih enačb za prirastke Δx.

Vrednosti F 1, F 2, … F n in njihovih delnih derivatov se izračunajo pri x 1 = a 1, x 2 = a 2, … x n = a n.

Zapišimo ta sistem v obliki matrike:

Determinanto matrike G te oblike imenujemo jakobian. Determinanta takšne matrike se imenuje Jacobian. Da obstaja edinstvena rešitev sistema, mora biti pri vsaki ponovitvi različna od nič.

Tako je reševanje sistema enačb z uporabo Newtonove metode sestavljeno iz določanja Jacobijeve matrike (delnih odvodov) pri vsaki iteraciji in določanja prirastkov Δх 1, Δх 2, ... Δх n vrednosti neznank pri vsaki iteraciji z reševanje sistema linearnih algebrskih enačb.

Da bi odpravili potrebo po iskanju Jacobijeve matrike pri vsaki iteraciji, je predlagana izboljšana Newtonova metoda. Ta metoda vam omogoča, da popravite Jacobijevo matriko z uporabo vrednosti F 1 , F 2 , ... , F n , pridobljenih v prejšnjih iteracijah.

Matrična predstavitev sistema navadnih diferencialnih enačb (SODE) s konstantnimi koeficienti

Linearni homogeni SODE s konstantnimi koeficienti $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(matrika)\desno. $,

kjer je $y_(1)\levo(x\desno),\; y_(2)\levo(x\desno),\; \lpike ,\; y_(n) \left(x\desno)$ -- zahtevane funkcije neodvisne spremenljivke $x$, koeficienti $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- dana realna števila predstavimo v matričnem zapisu:

matrika zahtevanih funkcij $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ lpike ) \\ (y_(n) \levo(x\desno)) \end(matrika)\desno)$;
matrika izpeljanih rešitev $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(matrika)\right)$;
Matrika koeficienta SODE $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Na podlagi pravila množenja matrik lahko ta SODE zapišemo v obliki matrične enačbe $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Splošna metoda za reševanje SODE s konstantnimi koeficienti

Naj obstaja matrika nekaterih števil $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(matrika)\desno)$.

Rešitev za SODE je v naslednji obliki: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. V matrični obliki: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(matrika)\desno)$.

Od tu dobimo:

Zdaj lahko matrično enačbo tega SODE podamo v obliki:

Nastala enačba se lahko predstavi na naslednji način:

Zadnja enakost kaže, da se vektor $\alpha $ transformira z uporabo matrike $A$ v vzporedni vektor $k\cdot \alpha $. To pomeni, da je vektor $\alpha $ lastni vektor matrike $A$, ki ustreza lastni vrednosti $k$.

Število $k$ je mogoče določiti iz enačbe $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(matrika)\desno|=0$.

Ta enačba se imenuje značilna.

Naj bodo vsi koreni $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ karakteristične enačbe različni. Za vsako vrednost $k_(i) $ iz sistema $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ matrika vrednosti se lahko definira $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i \desno)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\desno)) ) \end(matrika)\desno)$.

Ena od vrednosti v tej matriki je izbrana naključno.

Končno je rešitev tega sistema v matrični obliki zapisana takole:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ levo(\začetek(matrika)(cccc) (\alfa _(1)^(\levo(1\desno)) ) & (\alfa _(1)^(\levo(2\desno))) & (\ lpike ) & (\alpha _(2)^(\levo(n\desno)) \\ (\alpha _(2)^(\levo(1\desno)) ) & (\alpha _(2)^ (\levo(2\desno)) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\desno)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\desno)) & (\alpha _(2)^(\left(2\desno)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\levo(n\desno)) ) \end(matrika)\desno)\cdot \levo(\begin(matrika)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(matrika)\desno)$,

kjer so $C_(i) $ poljubne konstante.

Naloga

Rešite sistem DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(matrika)\desno. $.

Zapišemo sistemsko matriko: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

V matrični obliki je ta SODE zapisan na naslednji način: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (matrika)\desno)=\levo(\begin(matrika)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(matrika)\desno)\cdot \levo( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.

Dobimo značilno enačbo:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, to je $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

Koreni karakteristične enačbe so: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Ustvarimo sistem za izračun $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ desno)) ) \end(matrika)\desno)$ za $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ levo(\begin(matrika)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\desno)) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\desno)) ) \end (niz)\desno)=0,\]

to je $\left(5-1\desno)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\desno)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\desno) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\desno)) +\left(5-1\desno)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\desno) ) ) =0$.

Če postavimo $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, dobimo $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Ustvarimo sistem za izračun $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ desno)) ) \end(matrika)\desno)$ za $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ levo(\begin(matrika)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\desno)) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\desno)) ) \end (matrika)\desno)=0, \]

to je $\levo(5-9\desno)\cdot \alpha _(1)^(\levo(2\desno)) +4\cdot \alpha _(2)^(\levo(2\desno) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\levo(2\desno)) +\levo(5-9\desno)\cdot \alpha _(2)^(\levo(2\desno) ) ) =0$.

Če postavimo $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, dobimo $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Rešitev SODE dobimo v matrični obliki:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(matrika)\desno)\cdot \left(\begin(matrika)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(matrika)\desno).\]

V običajni obliki ima rešitev SODE obliko: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(matrika)\desno.$.

Odločili smo se, da bomo ta razdelek posvetili reševanju sistemov diferencialnih enačb najpreprostejše oblike d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2, v katerih a 1, b 1, c 1, a 2, b 2 , c 2 - nekaj realnih števil. Najučinkovitejša metoda za reševanje takih sistemov enačb je integracijska metoda. Upoštevali bomo tudi rešitev primera na temo.

Rešitev sistema diferencialnih enačb bo par funkcij x (t) in y (t), ki lahko obe enačbi sistema spremenita v identiteti.

Razmislimo o metodi integracije sistema DE d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2. Izrazimo x iz 2. enačbe sistema, da izločimo neznano funkcijo x (t) iz 1. enačbe:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Razlikujmo 2. enačbo glede na t in reši njegovo enačbo za d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Sedaj pa nadomestimo rezultat prejšnjih izračunov v 1. enačbo sistema:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Tako smo izločili neznano funkcijo x (t) in dobili linearno nehomogeno diferencialno enačbo 2. reda s konstantnimi koeficienti. Poiščimo rešitev te enačbe y (t) in jo nadomestimo v 2. enačbo sistema. Bomo našli x(t). Predpostavili bomo, da je s tem končana rešitev sistema enačb.

Primer 1

Poiščite rešitev sistema diferencialnih enačb d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

rešitev

Začnimo s prvo enačbo sistema. Razrešimo to glede na x:

x = d y d t - 2 y + 3

Zdaj diferencirajmo 2. enačbo sistema, nato pa jo rešimo glede na d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Rezultat, dobljen med izračuni, lahko nadomestimo v 1. enačbo sistema daljinskega vodenja:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Kot rezultat transformacij smo dobili linearno nehomogeno diferencialno enačbo 2. reda s konstantnimi koeficienti d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2. Če najdemo njegovo splošno rešitev, dobimo funkcijo y(t).

Splošno rešitev ustreznega LOD y 0 lahko najdemo z izračunom korenov karakteristične enačbe k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Korenine, ki smo jih pridobili, so resnične in različne. V zvezi s tem bo imela splošna rešitev LODE obliko y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Zdaj pa poiščimo posebno rešitev linearne nehomogene diferencialne enačbe y ~:

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Desna stran enačbe je polinom stopnje nič. To pomeni, da bomo določeno rešitev iskali v obliki y ~ = A, kjer je A nedoločen koeficient.

Nedoločen koeficient lahko določimo iz enakosti d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Tako je y ~ = 1 in y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Našli smo eno neznano funkcijo.

Zdaj nadomestimo najdeno funkcijo v 2. enačbo sistema DE in rešimo novo enačbo za x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Tako smo izračunali drugo neznano funkcijo x (t) = - C 1 · e t + 1.

Odgovor: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Veliko sistemov diferencialnih enačb, tako homogenih kot nehomogenih, je mogoče reducirati na eno enačbo za eno neznano funkcijo. Pokažimo metodo s primeri.

Primer 3.1. Reši sistem

rešitev. 1) Razlikovanje po t prva enačba in uporaba druge in tretje enačbe za zamenjavo in , najdemo

Nastalo enačbo diferenciramo glede na ponovno

1) Ustvarimo sistem

Iz prvih dveh enačb sistema izrazimo spremenljivke in skozi
:

Najdene izraze nadomestimo z in v tretjo enačbo sistema

Torej, da bi našli funkcijo
dobil diferencialno enačbo tretjega reda s konstantnimi koeficienti

2) Zadnjo enačbo integriramo po standardni metodi: sestavimo značilno enačbo
, najti svoje korenine
in zgraditi splošno rešitev v obliki linearne kombinacije eksponentov ob upoštevanju množice ene od korenin:.

3) Nato poiščite dve preostali funkciji
in
, dobljeno funkcijo dvakrat diferenciramo

S povezavami (3.1) med funkcijami sistema obnovimo preostale neznanke

Odgovori. ,
,.

Lahko se izkaže, da so vse znane funkcije razen ene izključene iz sistema tretjega reda že z eno samo diferenciacijo. V tem primeru bo vrstni red diferencialne enačbe za iskanje manjši od števila neznanih funkcij v izvirnem sistemu.

Primer 3.2. Integrirajte sistem

(3.2)

rešitev. 1) Razlikovanje po prvo enačbo, najdemo

Izključitev spremenljivk in iz enačb

imeli bomo enačbo drugega reda glede na

(3.3)

2) Iz prve enačbe sistema (3.2) imamo

(3.4)

Če v tretjo enačbo sistema (3.2) nadomestimo najdene izraze (3.3) in (3.4) za in , dobimo diferencialno enačbo prvega reda za določitev funkcije

Z integracijo te nehomogene enačbe s konstantnimi koeficienti prvega reda ugotovimo
S pomočjo (3.4) poiščemo funkcijo

Odgovori.
,,
.

Naloga 3.1. Rešite homogene sisteme tako, da jih reducirate na eno diferencialno enačbo.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Reševanje sistemov linearnih homogenih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti z iskanjem temeljnega sistema rešitev

Splošno rešitev sistema linearnih homogenih diferencialnih enačb je mogoče najti kot linearno kombinacijo temeljnih rešitev sistema. V primeru sistemov s konstantnimi koeficienti lahko za iskanje temeljnih rešitev uporabimo metode linearne algebre.

Primer 3.3. Reši sistem

(3.5)

rešitev. 1) Ponovno napišimo sistem v matrični obliki

. (3.6)

2) Iskali bomo temeljno rešitev sistema v obliki vektorja
. Nadomestne funkcije
v (3.6) in zmanjšanje za , dobimo

, (3.7)

to je številka mora biti lastna vrednost matrike
, in vektor ustrezen lastni vektor.

3) Iz predmeta linearne algebre je znano, da ima sistem (3.7) netrivialno rešitev, če je njegova determinanta enaka nič

to je . Od tu najdemo lastne vrednosti
.

4) Poiščite ustrezne lastne vektorje. Zamenjava prve vrednosti v (3.7)
, dobimo sistem za iskanje prvega lastnega vektorja

Od tu dobimo povezavo med neznanimi
. Dovolj je, da izberemo eno netrivialno rešitev. Verjeti
, Potem
, torej vektor je lastna lastna vrednost
, in funkcijski vektor
temeljna rešitev danega sistema diferencialnih enačb (3.5). Podobno pri zamenjavi drugega korena
v (3.7) imamo matrično enačbo za drugi lastni vektor
. Kje najdemo povezavo med njegovimi komponentami?
. Tako imamo drugo temeljno rešitev

5) Splošna rešitev sistema (3.5) je zgrajena kot linearna kombinacija obeh dobljenih temeljnih rešitev

ali v koordinatni obliki

Odgovori.

.

Naloga 3.2. Rešite sisteme z iskanjem temeljnega sistema rešitev.