Maraming tao ang nag-iisip na ang mga exponential inequalities ay isang bagay na kumplikado at hindi maintindihan. At ang pag-aaral na lutasin ang mga ito ay halos isang mahusay na sining, na tanging ang Pinili lamang ang nakakaunawa...

Kumpletong kalokohan! Ang mga exponential inequalities ay madali. At palagi silang nareresolba nang simple. Well, halos palaging.

Ngayon ay titingnan natin ang paksang ito sa loob at labas. Ang araling ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang para sa mga nagsisimula pa lamang na maunawaan ang seksyong ito ng matematika ng paaralan. Magsimula tayo sa mga simpleng problema at magpatuloy sa mas kumplikadong mga isyu. Walang anumang mahirap na trabaho ngayon, ngunit kung ano ang iyong nabasa ngayon ay magiging sapat upang malutas ang karamihan sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa lahat ng uri ng mga pagsubok at independiyenteng trabaho. At sa pagsusulit mo rin na ito.

Gaya ng dati, magsimula tayo sa kahulugan. Ang exponential inequality ay anumang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng exponential function. Sa madaling salita, maaari itong palaging bawasan sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo

\[((a)^(x)) \gt b\]

Kung saan ang papel ng $b$ ay maaaring isang ordinaryong numero, o maaaring mas mahirap. Mga halimbawa? Oo pakiusap:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\end(align)\]

Sa tingin ko ay malinaw ang kahulugan: mayroong exponential function na $((a)^(x))$, ito ay inihahambing sa isang bagay, at pagkatapos ay hiniling na hanapin ang $x$. Sa partikular na mga klinikal na kaso, sa halip na ang variable na $x$, maaari silang maglagay ng ilang function na $f\left(x \right)$ at sa gayon ay medyo kumplikado ang hindi pagkakapantay-pantay :)

Siyempre, sa ilang mga kaso ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mukhang mas malala. Halimbawa:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

O kahit na ito:

Sa pangkalahatan, ang pagiging kumplikado ng gayong mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ibang-iba, ngunit sa huli ay bumababa pa rin sila sa simpleng konstruksyon na $((a)^(x)) \gt b$. At kahit papaano ay malalaman natin ang gayong konstruksiyon (lalo na sa mga klinikal na kaso, kapag walang naiisip, ang logarithms ay makakatulong sa atin). Samakatuwid, ngayon ay ituturo namin sa iyo kung paano lutasin ang gayong mga simpleng konstruksyon.

Paglutas ng mga simpleng exponential inequalities

Tingnan natin ang isang bagay na napakasimple. Halimbawa, ito:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Malinaw, ang numero sa kanan ay maaaring muling isulat bilang kapangyarihan ng dalawa: $4=((2)^(2))$. Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat sa isang napaka-maginhawang anyo:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

At ngayon nangangati ang aking mga kamay na "i-cross out" ang dalawa sa mga base ng kapangyarihan upang makuha ang sagot $x \gt 2$. Ngunit bago i-cross out ang anumang bagay, tandaan natin ang kapangyarihan ng dalawa:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Tulad ng nakikita mo, mas malaki ang numero sa exponent, mas malaki ang output number. "Salamat, Cap!" - bulalas ng isa sa mga estudyante. May kakaiba ba? Sa kasamaang palad, nangyayari ito. Halimbawa:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Dito, din, ang lahat ay lohikal: mas malaki ang antas, mas maraming beses na ang bilang na 0.5 ay pinarami ng sarili nito (i.e., nahahati sa kalahati). Kaya, ang resultang pagkakasunod-sunod ng mga numero ay bumababa, at ang pagkakaiba sa pagitan ng una at pangalawang pagkakasunud-sunod ay nasa base lamang:

• Kung ang base ng degree na $a \gt 1$, kung gayon habang tumataas ang exponent na $n$, tataas din ang bilang na $((a)^(n))$;
• At kabaliktaran, kung $0 \lt a \lt 1$, pagkatapos ay habang tumataas ang exponent na $n$, bababa ang bilang na $((a)^(n))$.

Sa pagbubuod ng mga katotohanang ito, nakuha namin ang pinakamahalagang pahayag kung saan nakabatay ang buong solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng exponential:

Kung $a \gt 1$, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $x \gt n$. Kung $0 \lt a \lt 1$, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $x \lt n$.

Sa madaling salita, kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa, maaari mo lamang itong alisin - hindi magbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. At kung ang base ay mas mababa sa isa, maaari rin itong alisin, ngunit sa parehong oras ay kailangan mong baguhin ang hindi pagkakapantay-pantay na pag-sign.

Pakitandaan na hindi namin isinasaalang-alang ang mga opsyon na $a=1$ at $a\le 0$. Dahil sa mga kasong ito ay lumitaw ang kawalan ng katiyakan. Sabihin natin kung paano lutasin ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $((1)^(x)) \gt 3$? Ang isa sa anumang kapangyarihan ay muling magbibigay ng isa - hinding hindi tayo makakakuha ng tatlo o higit pa. Yung. walang solusyon.

Sa mga negatibong kadahilanan ang lahat ay mas kawili-wili. Halimbawa, isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay na ito:

\[((\kaliwa(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]

Sa unang sulyap, ang lahat ay simple:

tama? Pero hindi! Ito ay sapat na upang palitan ang isang pares ng kahit at isang pares ng mga kakaibang numero sa halip na $x$ upang matiyak na ang solusyon ay hindi tama. Tingnan mo:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang mga palatandaan ay kahalili. Ngunit mayroon ding mga fractional powers at iba pang kalokohan. Paano, halimbawa, mag-uutos na kalkulahin ang $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus two to the power of seven)? Hindi pwede!

Samakatuwid, para sa katiyakan, ipinapalagay namin na sa lahat ng exponential inequalities (at mga equation din pala) $1\ne a \gt 0$. At pagkatapos ang lahat ay malulutas nang napakasimple:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Sa pangkalahatan, tandaan muli ang pangunahing panuntunan: kung ang base sa isang exponential equation ay mas malaki kaysa sa isa, maaari mo lamang itong alisin; at kung ang base ay mas mababa sa isa, maaari rin itong alisin, ngunit ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago.

Mga halimbawa ng solusyon

Kaya, tingnan natin ang ilang simpleng exponential inequalities:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Ang pangunahing gawain sa lahat ng kaso ay pareho: upang bawasan ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa pinakasimpleng anyo na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Ito ay eksakto kung ano ang gagawin natin ngayon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay, at sa parehong oras ay uulitin natin ang mga katangian ng mga degree at exponential function. Kaya, tayo na!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Ano ang maaari mong gawin dito? Well, sa kaliwa mayroon na tayong indicative expression - walang kailangang baguhin. Ngunit sa kanan ay may ilang uri ng kalokohan: isang fraction, at kahit isang ugat sa denominator!

Gayunpaman, tandaan natin ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga fraction at kapangyarihan:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Ano ang ibig sabihin nito? Una, madali nating maaalis ang fraction sa pamamagitan ng paggawa nito sa isang kapangyarihan na may negatibong exponent. At pangalawa, dahil ang denominator ay may ugat, ito ay magiging maganda upang gawing isang kapangyarihan - sa oras na ito na may isang fractional exponent.

Ilapat ang mga pagkilos na ito nang sunud-sunod sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at tingnan kung ano ang mangyayari:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \kanan))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \kaliwa(-1 \kanan)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Huwag kalimutan na kapag nagtataas ng isang degree sa isang kapangyarihan, ang mga exponents ng mga degree na ito ay nagdaragdag. At sa pangkalahatan, kapag nagtatrabaho sa mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay, talagang kinakailangang malaman ang hindi bababa sa pinakasimpleng mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga kapangyarihan:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Sa totoo lang, inilapat lang namin ang huling panuntunan. Samakatuwid, ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat gaya ng sumusunod:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Ngayon ay inaalis namin ang dalawa sa base. Dahil 2 > 1, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mananatiling pareho:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Yan ang solusyon! Ang pangunahing kahirapan ay wala sa exponential function, ngunit sa karampatang pagbabago ng orihinal na expression: kailangan mong maingat at mabilis na dalhin ito sa pinakasimpleng anyo nito.

Isaalang-alang ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

Kaya-kaya. Naghihintay sa atin ang mga desimal na fraction dito. Tulad ng sinabi ko ng maraming beses, sa anumang mga expression na may kapangyarihan dapat mong alisin ang mga decimal - ito ay madalas na ang tanging paraan upang makita ang isang mabilis at simpleng solusyon. Dito ay aalisin natin:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\kaliwa(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\end(align)\]

Narito muli mayroon kaming pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay, at kahit na may base na 1/10, i.e. mas mababa sa isa. Buweno, inaalis namin ang mga base, sabay-sabay na binabago ang tanda mula sa "mas kaunti" hanggang sa "higit pa", at nakukuha namin:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Natanggap namin ang huling sagot: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Pakitandaan: ang sagot ay tiyak na isang set, at sa anumang kaso ay isang pagbuo ng form na $x \lt -1$. Sapagkat pormal, ang naturang konstruksiyon ay hindi isang set sa lahat, ngunit isang hindi pagkakapantay-pantay na may paggalang sa variable na $x$. Oo, ito ay napaka-simple, ngunit hindi ito ang sagot!

Mahalagang paalaala. Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring malutas sa ibang paraan - sa pamamagitan ng pagbabawas ng magkabilang panig sa isang kapangyarihan na may baseng mas malaki kaysa sa isa. Tingnan mo:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Pagkatapos ng gayong pagbabago, muli tayong makakakuha ng exponential inequality, ngunit may base na 10 > 1. Nangangahulugan ito na maaari nating i-cross out ang sampu - ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi magbabago. Nakukuha namin:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay eksaktong pareho. Kasabay nito, iniligtas namin ang aming sarili mula sa pangangailangan na baguhin ang tanda at sa pangkalahatan ay naaalala ang anumang mga patakaran :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Gayunpaman, huwag hayaan itong matakot sa iyo. Anuman ang nasa mga tagapagpahiwatig, ang teknolohiya para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay mismo ay nananatiling pareho. Samakatuwid, tandaan muna natin na 16 = 2 4. Isulat muli natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang katotohanang ito:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hooray! Nakuha namin ang karaniwang quadratic inequality! Ang tanda ay hindi nagbago kahit saan, dahil ang base ay dalawa - isang numero na mas malaki kaysa sa isa.

Mga zero ng isang function sa number line

Inayos namin ang mga palatandaan ng function na $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - malinaw naman, ang graph nito ay magiging parabola na may mga sanga sa itaas, kaya magkakaroon ng "pluses ” sa mga gilid. Interesado kami sa rehiyon kung saan ang function ay mas mababa sa zero, i.e. $x\in \left(2;5 \right)$ ang sagot sa orihinal na problema.

Panghuli, isaalang-alang ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Muli tayong nakakita ng exponential function na may decimal na fraction sa base. I-convert natin ang fraction na ito sa common fraction:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\kaliwa(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

Sa kasong ito, ginamit namin ang pangungusap na ibinigay kanina - binawasan namin ang base sa numerong 5 > 1 upang gawing simple ang aming karagdagang solusyon. Gawin natin ang parehong sa kanang bahagi:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Isulat muli natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang parehong mga pagbabago:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]

Ang mga base sa magkabilang panig ay pareho at lumampas sa isa. Walang ibang mga termino sa kanan at kaliwa, kaya "i-cross out" lang namin ang lima at makakuha ng napakasimpleng expression:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Dito kailangan mong maging mas maingat. Maraming mga estudyante ang gustong kunin ang square root ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay at magsulat ng isang bagay tulad ng $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Sa anumang pagkakataon ay hindi ito dapat gawin , dahil ang ugat ng eksaktong parisukat ay isang modulus, at sa anumang kaso ay isang orihinal na variable:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\kaliwa| x\right|\]

Gayunpaman, ang pagtatrabaho sa mga module ay hindi ang pinaka-kaaya-ayang karanasan, hindi ba? Kaya hindi tayo magtatrabaho. Sa halip, ililipat lang namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa at lutasin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Muli naming markahan ang mga nakuha na puntos sa linya ng numero at tingnan ang mga palatandaan:

Pakitandaan: ang mga tuldok ay may kulay

Dahil nilulutas namin ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang lahat ng mga punto sa graph ay may kulay. Samakatuwid, ang magiging sagot ay: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ay hindi isang interval, ngunit isang segment.

Sa pangkalahatan, nais kong tandaan na walang kumplikado tungkol sa exponential inequalities. Ang kahulugan ng lahat ng mga pagbabagong ginawa namin ngayon ay bumaba sa isang simpleng algorithm:

• Hanapin ang batayan kung saan babawasan natin ang lahat ng antas;
• Maingat na isagawa ang mga pagbabagong-anyo upang makakuha ng hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Siyempre, sa halip na ang mga variable na $x$ at $n$ ay maaaring magkaroon ng mas kumplikadong mga function, ngunit ang kahulugan ay hindi magbabago;
• I-cross out ang mga base ng degree. Sa kasong ito, maaaring magbago ang inequality sign kung ang base $a \lt 1$.

Sa katunayan, ito ay isang unibersal na algorithm para sa paglutas ng lahat ng gayong hindi pagkakapantay-pantay. At lahat ng iba pang sasabihin nila sa iyo sa paksang ito ay tiyak na mga diskarte at trick na magpapasimple at magpapabilis sa pagbabago. Pag-uusapan natin ang tungkol sa isa sa mga diskarteng ito. :)

Paraan ng rasyonalisasyon

Isaalang-alang natin ang isa pang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Kaya ano ang espesyal sa kanila? Ang gaan nila. Bagaman, huminto! Ang bilang na π ba ay nakataas sa ilang kapangyarihan? Anong kalokohan?

Paano itaas ang numerong $2\sqrt(3)-3$ sa isang kapangyarihan? O $3-2\sqrt(2)$? Ang mga manunulat ng problema ay malinaw na uminom ng masyadong maraming Hawthorn bago umupo sa trabaho :)

Sa katunayan, walang nakakatakot sa mga gawaing ito. Paalalahanan kita: ang exponential function ay isang expression ng form na $((a)^(x))$, kung saan ang base na $a$ ay anumang positibong numero maliban sa isa. Ang bilang na π ay positibo - alam na natin iyon. Ang mga numerong $2\sqrt(3)-3$ at $3-2\sqrt(2)$ ay positibo rin - madali itong makita kung ihahambing mo ang mga ito sa zero.

Ito ay lumiliko na ang lahat ng mga "nakakatakot" na hindi pagkakapantay-pantay ay nalutas nang hindi naiiba sa mga simpleng tinalakay sa itaas? At nalutas ba sila sa parehong paraan? Oo, iyan ay ganap na tama. Gayunpaman, gamit ang kanilang halimbawa, nais kong isaalang-alang ang isang pamamaraan na lubos na nakakatipid ng oras sa independiyenteng trabaho at pagsusulit. Pag-uusapan natin ang paraan ng rasyonalisasyon. Kaya, pansin:

Anumang exponential inequality ng form na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng inequality $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.

Iyon ang buong pamamaraan :) Naisip mo ba na magkakaroon ng ibang uri ng laro? Walang ganito! Ngunit ang simpleng katotohanang ito, na literal na nakasulat sa isang linya, ay lubos na magpapasimple sa ating gawain. Tingnan mo:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Kaya wala nang mga exponential function! At hindi mo kailangang tandaan kung nagbabago ang tanda o hindi. Ngunit lumitaw ang isang bagong problema: ano ang gagawin sa mapahamak na multiplier \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Hindi namin alam kung ano ang eksaktong halaga ng numerong π. Gayunpaman, ang kapitan ay tila nagpapahiwatig ng halata:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Sa pangkalahatan, ang eksaktong halaga ng π ay hindi talaga nababahala sa amin - mahalaga lamang para sa amin na maunawaan na sa anumang kaso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ito ay isang positibong pare-pareho, at maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan nito:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, sa isang tiyak na sandali kailangan nating hatiin sa minus one - at ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbago. Sa dulo, pinalawak ko ang quadratic trinomial gamit ang Vieta's theorem - malinaw na ang mga ugat ay katumbas ng $((x)_(1))=5$ at $((x)_(2))=-1$ . Pagkatapos ang lahat ay malulutas gamit ang klasikal na paraan ng agwat:

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng pagitan

Ang lahat ng mga puntos ay tinanggal dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Interesado kami sa rehiyon na may mga negatibong halaga, kaya ang sagot ay $x\in \left(-1;5 \right)$. Yan ang solusyon. :)

Lumipat tayo sa susunod na gawain:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Ang lahat dito ay karaniwang simple, dahil may unit sa kanan. At naaalala namin na ang isa ay anumang numero na itinaas sa zero na kapangyarihan. Kahit na ang numerong ito ay isang hindi makatwirang expression sa base sa kaliwa:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\end(align)\]

Well, bigyang-katwiran natin:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ang natitira na lang ay alamin ang mga palatandaan. Ang salik na $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ay hindi naglalaman ng variable na $x$ - ito ay pare-pareho lamang, at kailangan nating alamin ang sign nito. Upang gawin ito, tandaan ang sumusunod:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]

Ito ay lumiliko na ang pangalawang kadahilanan ay hindi lamang isang pare-pareho, ngunit isang negatibong pare-pareho! At kapag hinahati nito, ang tanda ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Ngayon ang lahat ay nagiging ganap na halata. Ang mga ugat ng square trinomial sa kanan ay: $((x)_(1))=0$ at $((x)_(2))=2$. Markahan namin ang mga ito sa linya ng numero at tingnan ang mga palatandaan ng function $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Ang kaso kapag kami ay interesado sa mga side interval

Interesado kami sa mga agwat na minarkahan ng plus sign. Ang natitira na lang ay isulat ang sagot:

Lumipat tayo sa susunod na halimbawa:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]

Buweno, ang lahat ay ganap na halata dito: ang mga base ay naglalaman ng mga kapangyarihan ng parehong numero. Samakatuwid, isusulat ko ang lahat nang maikli:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Pababa \\ ((\kaliwa(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\kaliwa(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kaliwa(16-x \kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, sa panahon ng proseso ng pagbabago, kailangan naming i-multiply sa isang negatibong numero, kaya nagbago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pinakadulo, muli kong inilapat ang teorama ni Vieta upang i-factor ang quadratic trinomial. Bilang resulta, ang magiging sagot ay ang mga sumusunod: $x\in \left(-8;4 \right)$ - mapapatunayan ito ng sinuman sa pamamagitan ng pagguhit ng linya ng numero, pagmamarka ng mga puntos at pagbibilang ng mga palatandaan. Samantala, magpapatuloy tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay mula sa ating "set":

\[((\kaliwa(3-2\sqrt(2) \kanan)))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Tulad ng nakikita mo, sa base ay may isang hindi makatwiran na numero, at sa kanan ay may isang yunit muli. Samakatuwid, muling isinulat namin ang aming exponential inequality gaya ng sumusunod:

\[((\left(3-2\sqrt(2)) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]

Inilapat namin ang rasyonalisasyon:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Gayunpaman, medyo halata na ang $1-\sqrt(2) \lt 0$, dahil $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Samakatuwid, ang pangalawang kadahilanan ay muli ng isang negatibong pare-pareho, kung saan ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring hatiin:

\[\begin(matrix) \left(3x-(x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrix)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Lumipat sa ibang base

Ang isang hiwalay na problema kapag nilulutas ang mga exponential inequalities ay ang paghahanap para sa "tama" na batayan. Sa kasamaang palad, hindi palaging halata sa unang sulyap sa isang gawain kung ano ang dapat gawin bilang batayan, at kung ano ang gagawin ayon sa antas ng batayan na ito.

Ngunit huwag mag-alala: walang magic o "lihim" na teknolohiya dito. Sa matematika, anumang kasanayang hindi ma-algoritmo ay madaling mabuo sa pamamagitan ng pagsasanay. Ngunit para dito kailangan mong lutasin ang mga problema ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, tulad nito:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]

Mahirap? Nakakatakot? Ito ay mas madali kaysa sa paghampas ng manok sa aspalto! Subukan Natin. Unang hindi pagkakapantay-pantay:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Well, sa tingin ko ang lahat ay malinaw dito:

Isinulat namin muli ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, binabawasan ang lahat sa base ng dalawa:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Oo, oo, narinig mo ito nang tama: Inilapat ko lang ang paraan ng rasyonalisasyon na inilarawan sa itaas. Ngayon kailangan nating magtrabaho nang mabuti: mayroon tayong fractional-rational inequality (ito ang may variable sa denominator), kaya bago i-equate ang anuman sa zero, kailangan nating dalhin ang lahat sa isang common denominator at alisin ang pare-parehong salik. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Ngayon ginagamit namin ang karaniwang paraan ng pagitan. Mga numerator zero: $x=\pm 4$. Ang denominator ay napupunta sa zero lamang kapag $x=0$. Mayroong tatlong puntos sa kabuuan na kailangang markahan sa linya ng numero (lahat ng mga puntos ay naka-pin dahil mahigpit ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay). Nakukuha namin ang:

Mas kumplikadong kaso: tatlong ugat

Tulad ng maaari mong hulaan, ang pagtatabing ay nagmamarka sa mga pagitan kung saan ang expression sa kaliwa ay kumukuha ng mga negatibong halaga. Samakatuwid, ang huling sagot ay magsasama ng dalawang pagitan nang sabay-sabay:

Ang mga dulo ng mga pagitan ay hindi kasama sa sagot dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Walang karagdagang pag-verify ng sagot na ito ay kinakailangan. Kaugnay nito, ang mga exponential inequalities ay mas simple kaysa sa logarithmic: walang ODZ, walang mga paghihigpit, atbp.

Lumipat tayo sa susunod na gawain:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Wala ring mga problema dito, dahil alam na natin na $\frac(1)(3)=(3)^(-1))$, kaya ang buong hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\kaliwa(-2 \kanan) \kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Pakitandaan: sa ikatlong linya nagpasya akong huwag mag-aksaya ng oras sa mga bagay na walang kabuluhan at agad na hatiin ang lahat sa pamamagitan ng (−2). Pumasok si Minul sa unang bracket (ngayon ay may mga plus sa lahat ng dako), at dalawa ang nabawasan na may pare-parehong kadahilanan. Ito mismo ang dapat mong gawin kapag naghahanda ng mga tunay na kalkulasyon para sa independyente at pagsubok na trabaho - hindi mo kailangang direktang ilarawan ang bawat aksyon at pagbabago.

Susunod, ang pamilyar na paraan ng mga pagitan ay papasok. Mga numerator zero: ngunit wala. Dahil magiging negatibo ang discriminant. Sa turn, ang denominator ay na-reset lamang kapag $x=0$ - tulad ng huling pagkakataon. Well, malinaw na sa kanan ng $x=0$ ang fraction ay kukuha ng mga positibong halaga, at sa kaliwa - negatibo. Dahil interesado kami sa mga negatibong halaga, ang huling sagot ay: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Ano ang dapat mong gawin sa mga decimal fraction sa exponential inequalities? Iyan ay tama: alisin ang mga ito, i-convert ang mga ito sa mga ordinaryong. Dito natin isasalin:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ kaliwa(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\kanan))^(x)). \\\end(align)\]

Kaya ano ang nakuha natin sa mga pundasyon ng exponential function? At nakakuha kami ng dalawang magkabaligtaran na numero:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kaliwa(((\kaliwa(\frac(4)(25) \kanan)))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kaliwa(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]

Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Siyempre, kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponents ay nagdaragdag, na kung ano ang nangyari sa pangalawang linya. Bilang karagdagan, kinakatawan namin ang yunit sa kanan, bilang isang kapangyarihan din sa base 4/25. Ang natitira na lang ay ang pangangatwiran:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Tandaan na $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, i.e. ang pangalawang kadahilanan ay isang negatibong pare-pareho, at kapag hinahati nito, nagbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Sa wakas, ang huling hindi pagkakapantay-pantay mula sa kasalukuyang "set":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Sa prinsipyo, ang ideya ng solusyon dito ay malinaw din: lahat ng exponential function na kasama sa hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na bawasan sa base na "3". Ngunit para dito kakailanganin mong mag-isip nang kaunti sa mga ugat at kapangyarihan:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Isinasaalang-alang ang mga katotohanang ito, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ at ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Bigyang-pansin ang ika-2 at ika-3 linya ng mga kalkulasyon: bago gumawa ng anumang bagay na may hindi pagkakapantay-pantay, siguraduhing dalhin ito sa form na napag-usapan natin mula sa simula ng aralin: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Hangga't mayroon kang ilang left-handed factor, karagdagang constants, atbp. sa kaliwa o kanan, walang rasyonalisasyon o "pagtawid" sa mga batayan ang maaaring isagawa! Hindi mabilang na mga gawain ang nakumpleto nang hindi tama dahil sa pagkabigo na maunawaan ang simpleng katotohanang ito. Ako mismo ay patuloy na nagmamasid sa problemang ito sa aking mga mag-aaral noong nagsisimula pa lamang kaming mag-analisa ng exponential at logarithmic inequalities.

Ngunit bumalik tayo sa ating gawain. Subukan nating gawin nang walang rasyonalisasyon sa pagkakataong ito. Tandaan natin: ang base ng degree ay mas malaki kaysa sa isa, kaya ang mga triple ay maaaring i-cross out - hindi magbabago ang inequality sign. Nakukuha namin ang:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Iyon lang. Panghuling sagot: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Pagbubukod ng isang matatag na expression at pagpapalit ng isang variable

Bilang konklusyon, iminumungkahi kong lutasin ang apat pang exponential inequalities, na medyo mahirap para sa mga hindi handa na mga mag-aaral. Upang makayanan ang mga ito, kailangan mong tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree. Sa partikular, ang paglalagay ng mga karaniwang salik sa labas ng mga bracket.

Ngunit ang pinakamahalagang bagay ay ang matutong maunawaan kung ano ang eksaktong maaaring alisin sa mga bracket. Ang ganitong expression ay tinatawag na stable - maaari itong ipahiwatig ng isang bagong variable at sa gayon ay mapupuksa ang exponential function. Kaya, tingnan natin ang mga gawain:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Magsimula tayo sa pinakaunang linya. Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito nang hiwalay:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Tandaan na $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, kaya ang kanang kamay side ay maaaring muling isulat:

Tandaan na walang ibang exponential function maliban sa $((5)^(x+1))$ sa hindi pagkakapantay-pantay. At sa pangkalahatan, ang variable na $x$ ay hindi lumalabas kahit saan pa, kaya magpakilala tayo ng bagong variable: $((5)^(x+1))=t$. Nakukuha namin ang sumusunod na konstruksyon:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Bumalik tayo sa orihinal na variable ($t=((5)^(x+1))$), at sa parehong oras tandaan na 1=5 0 . Meron kami:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Yan ang solusyon! Sagot: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Lumipat tayo sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Lahat ay pareho dito. Tandaan na $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Pagkatapos ang kaliwang bahagi ay maaaring muling isulat:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\kanan. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Ito ay humigit-kumulang kung paano mo kailangan na gumuhit ng isang solusyon para sa mga tunay na pagsubok at independiyenteng trabaho.

Well, subukan natin ang isang bagay na mas kumplikado. Halimbawa, narito ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Anong problema dito? Una sa lahat, ang mga base ng exponential function sa kaliwa ay magkakaiba: 5 at 25. Gayunpaman, 25 = 5 2, kaya ang unang termino ay maaaring mabago:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Tulad ng nakikita mo, sa una dinala namin ang lahat sa parehong base, at pagkatapos ay napansin namin na ang unang termino ay madaling mabawasan sa pangalawa - kailangan mo lamang palawakin ang exponent. Ngayon ay maaari mong ligtas na ipakilala ang isang bagong variable: $((5)^(2x+2))=t$, at ang buong hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

At muli, walang kahirapan! Panghuling sagot: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Lumipat tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay sa aralin ngayon:

\[((\kaliwa(0.5 \kanan)))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

Ang unang bagay na dapat mong bigyang pansin ay, siyempre, ang decimal fraction sa base ng unang kapangyarihan. Ito ay kinakailangan upang mapupuksa ito, at sa parehong oras dalhin ang lahat ng exponential function sa parehong base - ang bilang na "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=(2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1.5))=((\kaliwa(((2)^(4)) \kanan))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Mahusay, ginawa namin ang unang hakbang-lahat ay humantong sa parehong pundasyon. Ngayon ay kailangan mong pumili ng isang matatag na expression. Tandaan na $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Kung magpapakilala kami ng bagong variable na $((2)^(4x+6))=t$, kung gayon ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(align)\]

Natural, ang tanong ay maaaring lumitaw: paano natin natuklasan na 256 = 2 8? Sa kasamaang palad, dito kailangan mo lamang malaman ang mga kapangyarihan ng dalawa (at sa parehong oras ang mga kapangyarihan ng tatlo at lima). Well, o hatiin ang 256 sa 2 (maaari mong hatiin, dahil ang 256 ay isang even na numero) hanggang makuha natin ang resulta. Magiging ganito ang hitsura nito:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Ang parehong ay totoo sa tatlo (ang mga numero 9, 27, 81 at 243 ay ang mga degree nito), at may pito (ang mga numero 49 at 343 ay maganda ring tandaan). Well, ang lima ay mayroon ding "magandang" degree na kailangan mong malaman:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ at ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Siyempre, kung nais mo, ang lahat ng mga numerong ito ay maaaring maibalik sa iyong isipan sa pamamagitan lamang ng pagpaparami ng mga ito nang sunud-sunod sa bawat isa. Gayunpaman, kapag kailangan mong lutasin ang ilang exponential inequalities, at ang bawat susunod ay mas mahirap kaysa sa nauna, ang huling bagay na gusto mong isipin ay ang kapangyarihan ng ilang numero. At sa ganitong kahulugan, ang mga problemang ito ay mas kumplikado kaysa sa "klasikal" na hindi pagkakapantay-pantay na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.

Sana ay nakatulong sa iyo ang araling ito sa pag-master ng paksang ito. Kung may hindi malinaw, magtanong sa mga komento. At magkita-kita tayo sa susunod na mga aralin. :)

Algebra at simula ng mathematical analysis. Baitang 10. Teksbuk. Nikolsky S.M. at iba pa.

Basic at mga antas ng profile

ika-8 ed. - M.: Edukasyon, 2009. - 430 p.

Ang aklat-aralin ay tumutugma sa mga pederal na bahagi ng pamantayan ng estado ng pangkalahatang edukasyon sa matematika at naglalaman ng materyal para sa parehong mga pangunahing at espesyal na antas. Maaari kang magtrabaho kasama nito anuman ang mga aklat-aralin na pinag-aralan ng mga mag-aaral sa mga nakaraang taon.

Ang textbook ay naglalayong ihanda ang mga mag-aaral sa pagpasok sa mga unibersidad.

Format: djvu

Sukat: 15.2 MB

Panoorin, i-download:drive.google ; Rghost

Format: pdf

Sukat: 42.3 MB

Panoorin, i-download:drive.google ; Rghost

Tandaan: Ang kalidad ng PDF ay mas mahusay, halos mahusay. Ginawa mula sa parehong pag-scan, 150 dpi, kulay. Ngunit sa DJVU ito ay lumalabas nang kaunti. Ito ay isang kaso kung saan ang laki ay mahalaga.

TALAAN NG MGA NILALAMAN
CHAPTER I. ROOTS, POWERS, LOGARITHMES
§ 1. Mga totoong numero 3
1.1. Konsepto ng totoong numero 3
1.2. Maraming numero. Mga katangian ng mga tunay na numero. ... 10
1.3*. Paraan ng mathematical induction 16
1.4. Mga Permutasyon 22
1.5. Mga pagkakalagay 25
1.6. Mga kumbinasyon 27
1.7*. Katibayan ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero 30
1.8*. Divisibility ng integers 35
1.9*. Paghahambing ng modulo t 38
1.10*. Mga problema sa integer na hindi alam 40
§ 2. Rational equation at hindi pagkakapantay-pantay 44
2.1. Mga makatwirang ekspresyon 44
2.2. Ang mga binomial na formula ni Newton, mga kabuuan at pagkakaiba ng mga kapangyarihan. . 48
2.3*. Paghahati ng mga polynomial na may natitira. Euclidean algorithm... 53
2.4*. Teorem ni Bezout 57
2.5*. Root ng polynomial 60
2.6. Rational Equation 65
2.7. Mga sistema ng rational equation 70
2.8. Paraan ng pagitan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay 75
2.9. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay 79
2.10. Hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay 84
2.11. Mga sistema ng makatwirang hindi pagkakapantay-pantay 88
§ 3. Root ng degree n 93
3.1. Ang konsepto ng isang function at ang graph nito 93
3.2. Function y = x" 96
3.3. Ang konsepto ng isang ugat ng degree n 100
3.4. Mga ugat ng pantay at kakaibang digri 102
3.5. Arithmetic root 106
3.6. Mga katangian ng mga ugat ng degree l 111
3.7*. Function y = nx (x > 0) 114
3.8*. Function y = nVx 117
3.9*. Root n ng natural na numero 119
§ 4. Kapangyarihan ng positibong numero 122
4.1. Power na may rational exponent 122
4.2. Mga katangian ng mga degree na may rational exponent 125
4.3. Ang konsepto ng sequence limit 131
4.4*. Mga katangian ng mga limitasyon 134
4.5. Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. . . 137
4.6. Numero e 140
4.7. Ang konsepto ng isang degree na may hindi makatwirang exponent.... 142
4.8. Exponential function 144
§ 5. Logarithms 148
5.1. Konsepto ng logarithm 148
5.2. Mga katangian ng logarithms 151
5.3. Logarithmic function 155
5.4*. Decimal logarithms 157
5.5*. Mga power function 159
§ 6. Exponential at logarithmic equation at inequalities. . 164
6.1. Ang pinakasimpleng exponential equation 164
6.2. Mga simpleng logarithmic equation 166
6.3. Ang mga equation ay binawasan hanggang sa pinakasimple sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi kilalang 169
6.4. Ang pinakasimpleng exponential inequalities 173
6.5. Ang pinakasimpleng logarithmic inequalities 178
6.6. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nabawasan hanggang sa pinakasimple sa pamamagitan ng pagpapalit sa hindi kilalang 182
Makasaysayang impormasyon 187
KABANATA II. TRIGONOMETRIC FORMULAS. TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
§ 7. Sine at cosine ng isang anggulo 193
7.1. Konsepto ng anggulo 193
7.2. Radian na sukat ng anggulo 200
7.3. Pagpapasiya ng sine at cosine ng isang anggulo 203
7.4. Mga pangunahing formula para sa sin a at cos a 211
7.5. Arcsine 216
7.6. Arc cosine 221
7.7*. Mga halimbawa ng paggamit ng arcsine at arccosine.... 225
7.8*. Mga formula para sa arcsine at arccosine 231
§ 8. Tangent at cotangent ng anggulo 233
8.1. Pagpapasiya ng tangent at cotangent ng isang anggulo 233
8.2. Mga pangunahing formula para sa tg a at ctg a 239
8.3. Arctangent 243
8.4*. Arc padaplis 246
8.5*. Mga halimbawa ng paggamit ng arctangent at arccotangent. . 249
8.6*. Mga formula para sa arctangent at arccotangent 255
§ 9. Mga pormula ng karagdagan 258
9.1. Cosine ng pagkakaiba at cosine ng kabuuan ng dalawang anggulo 258
9.2. Mga formula para sa mga karagdagang anggulo 262
9.3. Sine ng kabuuan at sine ng pagkakaiba ng dalawang anggulo 264
9.4. Kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine 266
9.5. Mga formula para sa dalawahan at kalahating anggulo 268
9.6*. Produkto ng mga sine at cosine 273
9.7*. Mga pormula para sa mga tangent 275
§ 10. Trigonometric function ng isang numerical argument 280
10.1. Function y = sin x 281
10.2. Function y = cos x 285
10.3. Function y = tg * 288
10.4. Function y = ctg x 292
§ 11. Trigonometric equation at hindi pagkakapantay-pantay 295
11.1. Mga simpleng trigonometric equation 295
11.2. Ang mga equation ay nabawasan sa pinakasimple sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi kilalang 299
11.3. Paglalapat ng Mga Pangunahing Trigonometric Formula sa Paglutas ng mga Equation 303
11.4. Mga homogenous na equation 307
11.5*. Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay para sa sine at cosine.... 310
11.6*. Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay para sa tangent at cotangent. . . 315
11.7*. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nabawasan hanggang sa pinakasimple sa pamamagitan ng pagpapalit sa hindi kilalang 319
11.8*. Panimula ng auxiliary angle 322
11.9*. Pinapalitan ang hindi kilalang t = sin x + cos x 327
Makasaysayang impormasyon 330
KABANATA III. ELEMENTO NG PROBABILITY THEORY
§ 12. Probability ng pangyayari 333
12.1. Ang konsepto ng posibilidad ng kaganapan 333
12.2. Mga katangian ng mga probabilidad ng kaganapan 338
§ 13*. Dalas. May kondisyong posibilidad 342
13.1*. Relatibong dalas ng kaganapan 342
13.2*. Kondisyon na maaaring mangyari. Mga Malayang kaganapan 344
§ 14*. Inaasahang halaga. Batas ng Malaking Bilang 348
14.1*. Pag-asa sa matematika 348
14.2*. Mahirap na karanasan 353
14.3*. Formula ni Bernoulli. Batas ng Malaking Bilang 355
Makasaysayang impormasyon 359
REVIEW MGA GAWAIN 362
Index ng paksa 407
Sagot 410

Lugar ng trabaho, posisyon: - MOU-SOSH r.p. Pushkino, guro

Rehiyon: — Rehiyon ng Saratov

Mga katangian ng aralin (session) Antas ng edukasyon: - pangalawang (kumpleto) pangkalahatang edukasyon

Target na madla: — Mag-aaral (mag-aaral)
Target na madla: — Guro (guro)

(Mga) Baitang: – ika-10 baitang

(Mga) Paksa: – Algebra

Ang layunin ng aralin: - didaktiko: upang mapabuti ang mga pangunahing pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic at exponential at upang matiyak na ang lahat ng mga mag-aaral ay makabisado ang mga pangunahing pamamaraan ng algorithm para sa paglutas ng mga exponential at logarithmic na hindi pagkakapantay-pantay; pag-unlad: bumuo ng lohikal na pag-iisip, memorya, nagbibigay-malay na interes, ipagpatuloy ang pagbuo ng pagsasalita sa matematika, bumuo ng kakayahang pag-aralan at ihambing; pang-edukasyon: upang ituro ang aesthetic na disenyo ng mga tala sa isang kuwaderno, ang kakayahang makinig sa iba at ang kakayahang makipag-usap, magtanim ng katumpakan at pagsusumikap.

Uri ng aralin: — Aralin sa paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman

Mga mag-aaral sa klase (audience): - 25

Maikling paglalarawan: - Ang paglutas ng mga exponential at logarithmic na hindi pagkakapantay-pantay ay itinuturing na isa sa mga kumplikadong paksa sa matematika at nangangailangan ng mga mag-aaral na magkaroon ng mahusay na teoretikal na kaalaman, ang kakayahang ilapat ang mga ito sa pagsasanay, nangangailangan ng pansin, pagsusumikap at katalinuhan. Ang paksang tinalakay sa aralin ay kinuha din para sa mga pagsusulit sa pasukan sa mga unibersidad at panghuling pagsusulit. Ang ganitong uri ng aralin ay nagpapaunlad ng lohikal na pag-iisip, memorya, nagbibigay-malay na interes, at nag-aambag sa pag-unlad ng kakayahang magsuri, maghambing at makinig sa iba.

Mga yugto ng aralin at ang mga nilalaman nito

Oras

(min)

aktibidad

mga guro

mag-aaral

1.Yugto ng organisasyon

pang-organisasyon

Iniuulat ang mga absent.

2. Pagtatakda ng layunin

Ngayon sa aralin ay patuloy nating isabuhay ang mga natutunang pangunahing pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng exponential at logarithmic inequalities, at isaalang-alang din ang iba pang mga paraan upang malutas ang logarithmic at exponential inequalities: ito ang paglipat sa rational inequalities sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi alam, pati na rin ang isang paraan ng paghahati sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibong numero.

Ipinapaalam ang paksa ng aralin, ang petsa ng aralin, ang layunin ng aralin

Isulat sa mga notebook

3. Pagsusuri ng takdang-aralin

Tumatawag ng 3 tao sa board sa kahilingan ng mga mag-aaral, at sa parehong oras ay nagsasagawa ng isang harapang pag-uusap sa mga teoretikal na isyu

Apat na tao ang nagtatrabaho sa board, ang iba ay nakikibahagi sa isang teoretikal na survey

Para sa takdang-aralin, hiniling sa iyo na lutasin ang mga logarithmic at exponential inequalities sa dalawang antas ng pagiging kumplikado. Tingnan natin ang solusyon sa ilan sa mga ito sa pisara

6.49(a); 6.52(d) 6.56(b),6.54(b).

4.Pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral

Tandaan natin kung anong mga pamamaraan ang tinalakay natin sa nakaraang aralin.

Ngayon ay titingnan natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na, pagkatapos ng pagpapakilala ng isang bagong hindi alam, ay nagiging mga makatuwirang hindi pagkakapantay-pantay.

Upang gawin ito, tandaan natin kung ano ang solusyon sa isang rational inequality ng form A(x) / B(x)>0? Anong paraan ang ginagamit upang malutas ang mga rational inequalities?

5. Pagpapabuti ng kaalaman at kakayahan ng mga mag-aaral

xx

Halimbawa1)2 - 9 / (2 -1)0

3 min

x +0.5xx +0.5

3). 25- 710+4>0

3 min

5) Pagsasama-sama ng mga bagong bagay.

Paggawa ng mga pagsasanay sa pisara

6.48(.g);6.58(b);6.59(b) -sa board 6.62(c)

Gabay sa iyo na pumili ng isang makatwirang paraan ng solusyon. sinusubaybayan ang kawastuhan ng pangangatwiran at ang tamang pagtatala ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Nagbibigay ng grado para sa trabaho

Isang estudyante ang nagpasya sa board. Ang iba ay isulat ang solusyon sa isang kuwaderno.

6) Iba't ibang independiyenteng gawain (Gawain sa screen)

Antas 1:

Opsyon 12 opsyon

No.6.48(b);No.6.48(e);

No. 6.58(a) ;No. 6.58(c)

Level 2:

Opsyon 12 opsyon

No.6.61(b);No.6.61(d);

6.62(c);No.6.62(d).

5 minuto

2 tao ang nagtatrabaho nang paisa-isa sa isang side board. Ang natitira ay nagsasagawa ng multi-level na independiyenteng gawain sa larangan

7) Sinusuri ang malayang gawain

3 min

8) Takdang-Aralin (sa screen)

1st level clause 6.6; No. 6.48 (a.);

Antas 2: sugnay 6.6 Blg. 6.59(c); Blg. 6.62 (a); Blg. 158 (p. 382);

2 minuto

Nagpapaliwanag ng takdang-aralin, na iginuhit ang atensyon ng mga mag-aaral sa katotohanan na ang mga katulad na gawain ay nasasakupan sa klase.

Ang huling dalawang gawain ay inaalok sa pagpasok sa Moscow State University at MTITF.

Pagkatapos makinig ng mabuti sa guro, isulat ang iyong takdang-aralin. Ikaw mismo ang pumili ng antas ng kahirapan.

8) Pagbubuod ng aralin: Ang paglutas ng mga exponential at logarithmic inequalities ay itinuturing na isa sa mga kumplikadong paksa ng kurso sa matematika ng paaralan at nangangailangan ng mga mag-aaral na magkaroon ng mahusay na kaalaman sa teoretikal, ang kakayahang magamit ang mga ito sa pagsasanay, nangangailangan ng pansin, pagsusumikap, at katalinuhan; ito ang dahilan kung bakit ang mga hindi pagkakapantay-pantay na tinalakay sa aralin ay kasama sa mga panimulang pagsusulit para sa mga unibersidad at pangwakas na pagsusulit Ngayon sa klase lahat ay nagtrabaho nang napakahusay at nakatanggap ng mga sumusunod na marka

Salamat sa lahat.

2 minuto

Mga file:
Laki ng file: 6789120 byte.

Mathematics teacher MOU - Secondary School No. 2, Stepnoe Trufyakova Galina Ivanovna website

Slide 2

Buod ng aralin

Ang paksang Exponential Inequalities ay isang mahalagang paksa sa Mathematics. Ayon sa aklat-aralin ni S. M. Nikolsky, ito ay pinag-aralan sa ika-10 baitang at 2 oras ang inilalaan para sa pag-aaral nito sa pagpaplano: 1 oras - Ang pinakasimpleng exponential inequalities; 1 oras – Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nabawasan hanggang sa pinakasimple sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi alam. Sa panahong ito, kinakailangan na ipakilala ang mga mag-aaral sa bago at napakalaking materyal, turuan silang lutasin ang lahat ng mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay ng exponential at maisasanay nang mabuti ang mga kasanayan at kakayahan na ito Samakatuwid, ang mga aralin sa pagbuo ng bagong kaalaman sa anyo ng mga lektura gamit ang impormasyon at teknolohiya ng komunikasyon ay nagbibigay-daan sa paglutas ng mga problemang ito nang mabilis at may higit na kahusayan.

Slide 3

Slide 4

Albert Einstein

"Kailangan kong hatiin ang aking oras sa pagitan ng pulitika at paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, ang paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, sa aking opinyon, ay mas mahalaga, dahil ang pulitika ay umiiral lamang sa sandaling ito, ngunit ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay mananatili magpakailanman.

Slide 5

Istraktura ng aralin

Sandali ng organisasyon Pagtatakda ng mga layunin at layunin Plano ng lektura Pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral sa anyo ng pag-uulit ng dati nang pinag-aralan na materyal Pagpapakilala ng bagong kaalaman Pagsasama-sama ng kaalaman sa anyo ng isang pakikipanayam Pagbubuod ng aralin Takdang-Aralin

Slide 6

Oras ng pag-aayos

Batiin ang mga mag-aaral Markahan ang mga pangalan ng mga mag-aaral na lumiban sa klase sa rehistro ng klase

Slide 7

Pagtatakda ng mga layunin at layunin

Ipahayag sa mga mag-aaral sa simula ng aralin ang mga layunin at layunin nito.

Slide 8

Mga Layunin ng Aralin

Pang-edukasyon na Pagbuo ng konsepto ng exponential inequalities Familiarization ng mga mag-aaral sa mga uri ng exponential inequalities Pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan para sa paglutas ng exponential inequalities

Slide 9

Pang-edukasyon Paglinang ng pagsusumikap Paglinang ng kalayaan sa pagkamit ng mga layunin Pagbuo ng mga kasanayan sa computational Pagbuo ng mga aesthetic na kasanayan kapag gumagawa ng mga tala

Slide 10

Pag-unlad ng Pag-unlad ng aktibidad ng kaisipan Pag-unlad ng malikhaing inisyatiba Pag-unlad ng aktibidad na nagbibigay-malay Pag-unlad ng pagsasalita at memorya

Slide 11

Mga Layunin ng Aralin

Suriin ang mga katangian ng exponential function Suriin ang mga panuntunan para sa paglutas ng mga quadratic at fractional rational inequalities Isagawa ang algorithm para sa paglutas ng pinakasimpleng exponential inequalities Turuan ang mga mag-aaral na makilala ang mga uri ng exponential inequalities Turuan ang mga mag-aaral na lutasin ang exponential inequalities

Slide 12

Uri ng aralin

Aral sa pagbuo ng bagong kaalaman

Slide 13

Uri ng aralin

Aralin - panayam

Slide 14

Mga pamamaraan ng pagtuturo

Explanatory and illustrative Heuristic Search Problematic

Slide 15

Teknolohiya ng edukasyon

Ang teknolohiya ng impormasyon at komunikasyon batay sa pag-aaral na nakabatay sa problema

Slide 16

Balangkas ng lecture

Pag-uulit ng mga katangian ng exponential function Ang pinakasimpleng exponential inequalities Exponential inequalities na bumababa hanggang sa pinakasimpleng Exponential inequalities na bumababa sa quadratic inequalities Homogeneous exponential inequalities ng unang degree Homogeneous exponential inequalities ng second degree Exponential inequalities na nagiging rational na hindi pagkakapantay-pantay. karaniwang hindi pagkakapantay-pantay

Slide 17

Pag-uulit ng naunang pinag-aralan na materyal

Lutasin sa pisara at sa mga notebook: a) quadratic inequality: x² – 2x – 1≥0 x² – 2x - 3 ≤0 b) fractional rational inequality: (x – 5) \ (x - 2) ≤ 0

Slide 18

Pag-uulit ng mga katangian ng exponential function

Slide 19

monotonically bumababa sa R ​​Ang Ox axis ay isang pahalang na asymptote monotonically tumataas sa R ​​8. Para sa anumang tunay na mga halaga ng x at y; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asymptote 6. Extrema 5. Monotonicity 4. Even, odd 3. Intervals para sa paghahambing ng mga value ng isang function na may unity 2. Range ng mga value ng isang function 1 Range ng definition ng isang function Properties ng exponential function Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at paraan ng solusyon Ang exponential function ay walang extrema Ang function ay hindi kahit na o kakaiba (isang function ng pangkalahatang anyo).

Slide 20

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas ng Gawain Blg. 1 Hanapin ang domain ng kahulugan ng function

Slide 21

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas ng Gawain Blg. 2 Tukuyin ang mga halaga

Slide 22

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas ng Gawain Blg.

Slide 23

Pagpapakilala ng bagong kaalaman

Slide 24

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at paraan ng solusyon KAHULUGAN ng pinakasimpleng exponential inequalities: Hayaan ang a ay isang binigay na positibong numero na hindi katumbas ng isa at ang b ay isang ibinigay na tunay na numero. Pagkatapos ay ang mga hindi pagkakapantay-pantay ax>b (ax≥b) at ax

Slide 25

Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng paglutas ANO ANG tawag sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay? Ang solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay na may hindi kilalang x ay ang bilang na x0, na, kapag napalitan sa hindi pagkakapantay-pantay, ay nagbubunga ng isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Slide 26

Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon ANO ANG IBIG SABIHIN ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay? Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng solusyon nito o pagpapakita na wala.

Slide 27

Isaalang-alang natin ang relatibong posisyon ng graph ng function na y=ax, a>0, a≠1at ang tuwid na linya y=b, ang kanilang mga uri at pamamaraan ng solusyon y x y x y=b, b 0 y=b, b>. 0 0 1 0 1 x0 x0

Slide 28

Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon KONKLUSYON Blg. 1: Kapag b≤0, ang tuwid na linya na y=b ay hindi nagsalubong sa graph ng function na y=ax, dahil ay matatagpuan sa ibaba ng curve y=ax, samakatuwid ang hindi pagkakapantay-pantay ax>b(ax≥b) ay nasiyahan para sa xR, at ang hindi pagkakapantay-pantay ax

Slide 29

KONKLUSYON Blg. 2: y x ​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon Kung a>1 at b > 0, pagkatapos ay para sa bawat x1 x0- sa ibaba ng tuwid na linya y=b . 1 Para sa b> 0, ang tuwid na linya na y = b ay nag-intersect sa graph ng function na y = ax sa isang punto, ang abscissa kung saan ay x0 = logab

Slide 30

KONKLUSYON Blg. 2: y x ​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon Kung a>1 at b > 0, pagkatapos ay para sa bawat x1 >x0 ang kaukulang punto ng graph ng ang function na y=ax ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya y=b, at para sa bawat x2 0 ang tuwid na linya na y = b ay nag-intersect sa graph ng function na y = ax sa isang punto, ang abscissa kung saan ay x0 = logab x2

Slide 31

Ang pinakasimpleng exponential inequalities Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at paraan ng solusyon

Slide 32

Exponential inequalities, kanilang mga uri at pamamaraan ng solusyon Halimbawa Blg. 1.1 Sagot: tumataas sa buong domain ng kahulugan, Solusyon:

Slide 33

Exponential inequalities, kanilang mga uri at pamamaraan ng solusyon Halimbawa Blg. 1.2 Solusyon: Sagot: bumababa sa buong domain ng kahulugan,

Slide 34

Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon Halimbawa Blg. 1.3 Solusyon: Sagot: tumataas sa buong domain ng kahulugan,

Slide 35

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito 1) Exponential inequalities, na binabawasan hanggang sa pinakasimpleng mga, pagtaas sa buong domain ng definition Halimbawa No. 1 Sagot: Solusyon:

Slide 36

Exponential inequalities, kanilang mga uri at paraan ng solusyon Halimbawa Blg. 1.4 Solusyon: tumataas sa buong domain ng kahulugan, Sagot:

Slide 37

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito Exponential inequalities, na binawasan sa pinakasimpleng Halimbawa No. 2 na pagtaas sa buong domain ng kahulugan Sagot: Solusyon:

Slide 38

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito 2) Exponential inequalities, pagbabawas sa quadratic inequalities Halimbawa Bumalik tayo sa variable na x tumataas para sa lahat ng x mula sa domain ng kahulugan Sagot: Solusyon:

Slide 39

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito 3) Homogeneous exponential inequalities ng una at pangalawang degree. Ang mga homogenous exponential inequalities ng unang degree Halimbawa No. 1 ay tumataas sa buong domain ng kahulugan Sagot: Solusyon:

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito 4) Exponential inequalities, pagbabawas sa rational inequalities Halimbawa Bumalik tayo sa variable na x increases sa buong domain ng definition Sagot: Solusyon:

Slide 43

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito 5) Exponential non-standard inequalities Halimbawa Solusyon: Ating lutasin ang bawat pahayag ng set nang hiwalay. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng pinagsama-samang

Slide 44

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at pamamaraan para sa paglutas Mga uri ng exponential inequalities at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito 5) Exponential non-standard inequalities Halimbawa Sagot: Solusyon: Suriin Ang tseke ay nagpakita na ang x=1, x=3, x=1.5 ay mga solusyon sa equation, at ang x=2 ay hindi solusyon sa equation. Kaya,

Slide 45

Pagsasama-sama ng kaalaman

Anong mga hindi pagkakapantay-pantay ang tinatawag na exponential? Kailan may solusyon ang exponential inequality para sa anumang halaga ng x? Kailan walang solusyon ang exponential inequality? Anong mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay ang natutunan mo sa araling ito? Paano nalulutas ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay? Paano nalulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay na bumababa sa mga quadratic na hindi pagkakapantay-pantay? Paano nalulutas ang homogenous inequalities? Paano malulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay na maaaring gawing makatwiran?

Slide 46

Buod ng aralin

Alamin kung ano ang natutunan ng mga bagong mag-aaral sa araling ito Bigyan ng mga marka ang mga mag-aaral para sa kanilang gawain sa aralin na may mga detalyadong komento

Slide 47

Takdang aralin

Textbook para sa grade 10 "Algebra at simula ng pagsusuri" may-akda S.M. Nikolsky Pag-aaral ng mga talata 6.4 at 6.6, No. 6.31-6.35 at No. 6.45-6.50 solve

Slide 48

Exponential inequalities, ang kanilang mga uri at paraan ng solusyon

Paksa 6. Exponential at logarithmic equation at inequalities (11 oras)
Paksa ng aralin. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nabawasan hanggang sa pinakasimple sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi alam.
Layunin ng aralin: Upang bumuo ng mga kasanayan sa paglutas ng exponential at logarithmic inequalities, sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga ito sa pinakasimpleng, sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi alam.
Mga gawain:
Pang-edukasyon: ulitin at pagsamahin ang kaalaman sa paksang "paglutas ng pinakasimpleng exponential at logarithmic inequalities", matutong lutasin ang logarithmic at exponential inequalities gamit ang substitution method.
Pag-unlad: upang mabuo ang kakayahan ng mag-aaral na makilala ang dalawang uri ng hindi pagkakapantay-pantay at matukoy ang mga paraan upang malutas ang mga ito (lohikal at intuitive na pag-iisip, pagbibigay-katwiran ng mga paghatol, pag-uuri, paghahambing), upang bumuo ng mga kasanayan sa pagpipigil sa sarili at pagsubok sa sarili, ang kakayahang lumipat ayon sa isang ibinigay na algorithm, suriin at itama ang resulta na nakuha.
Pang-edukasyon: patuloy na bumuo ng mga katangian ng mga mag-aaral bilang: ang kakayahang makinig sa bawat isa; ang kakayahang magsagawa ng mutual control at pagpapahalaga sa sarili.
Uri ng aralin: pinagsama-sama.
Textbook Algebra grade 10 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin
Sa panahon ng mga klase
Oras ng pag-aayos.
Sinusuri ang takdang-aralin.
Pag-update ng mga pangunahing kaalaman.
Pangharap:
1. Anong mga hindi pagkakapantay-pantay ang tinatawag na pinakasimpleng exponential inequalities?
2. Ipaliwanag ang kahulugan ng paglutas ng mga simpleng exponential inequalities.
3. Anong mga hindi pagkakapantay-pantay ang tinatawag na pinakasimpleng logarithmic inequalities?
4. Ipaliwanag ang kahulugan ng paglutas ng mga simpleng logarithmic inequalities.
May nakasulat sa pisara (1 estudyante bawat isa):
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Paliwanag ng bagong materyal at ang sunud-sunod na pagpapatibay nito.
1.1. Paliwanag ng bagong materyal.
1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, pagkatapos
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Interesado kami sa sign na "−−".
Sagot:x∈(1;2)
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

1.2. Hakbang-hakbang na pagsasama-sama.
No. 6.49(a, c).
No. 6.52(d).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Sagot: -∞;1∪54;+∞в) (13)5х2-4х-3>95х2-4х-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Sagot: -15;1d) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Sagot: -2;-1∪3;42.1. Paliwanag ng bagong materyal.
3. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

Pagkatapos 1 hindi pagkakapantay-pantay ay may katuturan para sa lahat ng x, at ang pangalawa

2.2. Hakbang-hakbang na pagsasama-sama.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay Blg. 6.56(c)
3.1. Paliwanag ng bagong materyal.
4. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

3.2. Hakbang-hakbang na pagsasama-sama.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay Blg. 6.60(a)
Pagbubuod ng aralin.
Pagninilay.
Takdang aralin.
P. 6.6
No. 6.49 (b, d)
No. 6.52 (a, b)
No. 6.56 (d)
No. 6.60 (b)

Naka-attach na mga file