Pagdaragdag ng ilang fraction. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator (mga pangunahing panuntunan, pinakasimpleng kaso)

Sa araling ito, isasaalang-alang natin ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominador. Alam na natin kung paano magdagdag at magbawas ng mga karaniwang fraction na may iba't ibang denominator. Upang gawin ito, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa isang karaniwang denominator. Lumalabas na ang mga algebraic fraction ay sumusunod sa parehong mga patakaran. Kasabay nito, alam na natin kung paano bawasan ang mga algebraic fraction sa isang common denominator. Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador ay isa sa pinakamahalaga at mahirap na paksa sa kursong ika-8 baitang. Bukod dito, ang paksang ito ay makikita sa maraming paksa ng kursong algebra, na pag-aaralan mo sa hinaharap. Bilang bahagi ng aralin, pag-aaralan natin ang mga tuntunin para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator, gayundin ang pag-aaral ng ilang karaniwang mga halimbawa.

Isaalang-alang ang pinakasimpleng halimbawa para sa mga ordinaryong fraction.

Halimbawa 1 Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Tandaan ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction. Upang magsimula sa, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa isang karaniwang denominator. Ang karaniwang denominator para sa mga ordinaryong fraction ay hindi bababa sa karaniwang maramihang(LCM) ng mga orihinal na denominador.

Kahulugan

Hindi bababa sa natural na numero, na nahahati nang sabay-sabay sa mga numero at .

Upang mahanap ang LCM, kinakailangang i-decompose ang mga denominator sa prime factor, at pagkatapos ay piliin ang lahat ng prime factor na kasama sa pagpapalawak ng parehong denominator.

; . Kung gayon ang LCM ng mga numero ay dapat magsama ng dalawang 2 at dalawang 3: .

Matapos mahanap ang common denominator, kinakailangan para sa bawat isa sa mga fraction na makahanap ng karagdagang factor (sa katunayan, hatiin ang common denominator sa denominator ng kaukulang fraction).

Pagkatapos ang bawat fraction ay pinarami ng nagresultang karagdagang kadahilanan. Ang mga fraction ay nakuha mula sa parehong denominador, idagdag at ibawas ang natutunan natin sa mga nakaraang aralin.

Nakukuha namin: .

Sagot:.

Isaalang-alang ngayon ang pagdaragdag ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator. Isaalang-alang muna ang mga fraction na ang mga denominador ay mga numero.

Halimbawa 2 Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Ang algorithm ng solusyon ay ganap na katulad sa nakaraang halimbawa. Madaling makahanap ng common denominator para sa mga fraction na ito: at karagdagang mga salik para sa bawat isa sa kanila.

.

Sagot:.

Kaya't magbalangkas tayo algorithm para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator:

1. Hanapin ang pinakamaliit na common denominator ng mga fraction.

2. Maghanap ng mga karagdagang salik para sa bawat isa sa mga fraction (sa pamamagitan ng paghahati ng karaniwang denominator sa denominator ng fraction na ito).

3. I-multiply ang mga numerator sa naaangkop na karagdagang mga salik.

4. Magdagdag o magbawas ng mga fraction gamit ang mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Isaalang-alang ngayon ang isang halimbawa na may mga fraction sa denominator kung saan mayroong mga literal na expression.

Halimbawa 3 Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Dahil ang literal na mga expression sa parehong denominator ay pareho, dapat kang makahanap ng isang karaniwang denominator para sa mga numero. Ang panghuling common denominator ay magiging ganito: . Kaya ang solusyon sa halimbawang ito ay:

Sagot:.

Halimbawa 4 Magbawas ng mga fraction: .

Solusyon:

Kung hindi ka maaaring "mandaya" kapag pumipili ng isang karaniwang denominator (hindi mo ito maaaring i-factor o gamitin ang mga pinaikling formula ng pagpaparami), pagkatapos ay kailangan mong kunin ang produkto ng mga denominator ng parehong mga fraction bilang isang karaniwang denominator.

Sagot:.

Sa pangkalahatan, kapag nilulutas ang mga naturang halimbawa, ang pinakamahirap na gawain ay ang paghahanap ng isang karaniwang denominator.

Tingnan natin ang isang mas kumplikadong halimbawa.

Halimbawa 5 Pasimplehin: .

Solusyon:

Kapag naghahanap ng common denominator, kailangan mo munang subukang i-factorize ang mga denominator ng orihinal na mga fraction (upang gawing simple ang common denominator).

Sa partikular na kaso na ito:

Pagkatapos ay madaling matukoy ang karaniwang denominator: .

Tinutukoy namin ang mga karagdagang salik at lutasin ang halimbawang ito:

Sagot:.

Ngayon ay aayusin natin ang mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator.

Halimbawa 6 Pasimplehin: .

Solusyon:

Sagot:.

Halimbawa 7 Pasimplehin: .

Solusyon:

.

Sagot:.

Isaalang-alang ngayon ang isang halimbawa kung saan hindi dalawa, ngunit tatlong fraction ang idinaragdag (pagkatapos ng lahat, ang mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas para sa higit pang mga fraction ay nananatiling pareho).

Halimbawa 8 Pasimplehin: .

Hanapin ang numerator at denominator. Ang isang fraction ay binubuo ng dalawang numero: ang numero sa itaas ng linya ay tinatawag na numerator, at ang numero sa ibaba ng linya ay tinatawag na denominator. Ang denominator ay nagpapahiwatig ng kabuuang bilang ng mga bahagi kung saan ang isang kabuuan ay nasira, at ang numerator ay ang itinuturing na bilang ng mga naturang bahagi.

• Halimbawa, sa fraction ½, ang numerator ay 1 at ang denominator ay 2.

Tukuyin ang denominator. Kung ang dalawa o higit pang mga fraction ay may isang karaniwang denominator, ang mga naturang fraction ay may parehong bilang sa ilalim ng linya, iyon ay, sa kasong ito, ang ilang kabuuan ay nahahati sa parehong bilang ng mga bahagi. Ang pagdaragdag ng mga fraction na may karaniwang denominator ay napakadali, dahil ang denominator ng kabuuang fraction ay magiging pareho sa mga fraction na idinaragdag. Halimbawa:

• Ang mga fraction na 3/5 at 2/5 ay may karaniwang denominator 5.
• Ang mga fraction 3/8, 5/8, 17/8 ay may isang karaniwang denominator 8.

Ilan sa pinakamahirap na intindihin ng isang mag-aaral ay iba't ibang aksyon na may mga simpleng fraction. Ito ay dahil sa ang katunayan na mahirap pa rin para sa mga bata na mag-isip nang abstract, at ang mga fraction, sa katunayan, ay mukhang ganoon din para sa kanila. Samakatuwid, kapag ipinakita ang materyal, ang mga guro ay madalas na gumagamit ng mga pagkakatulad at ipinaliwanag ang pagbabawas at pagdaragdag ng mga praksiyon nang literal sa mga daliri. Bagama't walang isang aralin ng matematika sa paaralan ang magagawa nang walang mga tuntunin at kahulugan.

Pangunahing konsepto

Bago simulan ang anuman, ipinapayong matuto ng ilang pangunahing mga kahulugan at panuntunan. Sa una, mahalagang maunawaan kung ano ang isang fraction. Ang ibig sabihin nito ay isang numero na kumakatawan sa isa o higit pang mga praksyon ng isang yunit. Halimbawa, kung pinutol mo ang isang tinapay sa 8 bahagi at ilagay ang 3 hiwa ng mga ito sa isang plato, kung gayon ang 3/8 ay magiging isang fraction. Bukod dito, sa pagsulat na ito ito ay magiging isang simpleng fraction, kung saan ang numero sa itaas ng linya ay ang numerator, at sa ibaba nito ay ang denominator. Ngunit kung ito ay nakasulat bilang 0.375, ito ay magiging decimal.

Bilang karagdagan, ang mga simpleng praksiyon ay nahahati sa wasto, hindi wasto at halo-halong. Ang una ay kinabibilangan ng lahat na ang numerator ay mas mababa sa denominator. Kung, sa kabaligtaran, ang denominator ay mas mababa kaysa sa numerator, ito ay magiging isang hindi wastong bahagi. Kung mayroong isang integer sa harap ng tama, nagsasalita sila ng mga magkahalong numero. Kaya, ang fraction na 1/2 ay tama, ngunit ang 7/2 ay hindi. At kung isusulat mo ito sa form na ito: 3 1/2, pagkatapos ito ay magiging halo-halong.

Upang mas madaling maunawaan kung ano ang pagdaragdag ng mga fraction, at para madaling maisagawa ito, mahalagang tandaan din ang Esensya nito sa mga sumusunod. Kung ang numerator at denominator ay pinarami ng parehong numero, kung gayon ang fraction ay hindi magbabago. Ang pag-aari na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang maisagawa ang pinakasimpleng mga aksyon sa ordinaryong at iba pang mga praksyon. Sa katunayan, nangangahulugan ito na ang 1/15 at 3/45 ay, sa katunayan, ang parehong numero.

Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator

Ang pagsasagawa ng pagkilos na ito ay karaniwang hindi nagdudulot ng labis na kahirapan. Ang pagdaragdag ng mga fraction sa kasong ito ay halos katulad ng isang katulad na aksyon na may mga integer. Ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga numerator ay idinaragdag lamang. Halimbawa, kung kailangan mong magdagdag ng mga praksyon 2/7 at 3/7, ang solusyon sa problema sa paaralan sa isang kuwaderno ay magiging ganito:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

Bilang karagdagan, ang pagdaragdag na ito ng mga fraction ay maaaring ipaliwanag sa mga tuntunin ng simpleng halimbawa. Kumuha ng ordinaryong mansanas at gupitin, halimbawa, sa 8 bahagi. Mag-layout nang hiwalay sa unang 3 bahagi, at pagkatapos ay magdagdag ng 2 pa sa kanila. At bilang isang resulta, 5/8 ng isang buong mansanas ay namamalagi sa tasa. Ang problema sa aritmetika mismo ay nakasulat tulad ng ipinapakita sa ibaba:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Ngunit kadalasan mayroong mas mahirap na mga gawain kung saan kailangan mong magdagdag ng sama-sama, halimbawa, 5/9 at 3/5. Ito ay kung saan ang mga unang paghihirap ay lumitaw sa mga aksyon na may mga fraction. Pagkatapos ng lahat, ang pagdaragdag ng mga naturang numero ay mangangailangan ng karagdagang kaalaman. Ngayon ay kakailanganin mong ganap na maalala ang kanilang pangunahing ari-arian. Upang idagdag ang mga fraction mula sa halimbawa, kailangan muna nilang bawasan sa isang karaniwang denominator. Upang gawin ito, kailangan mo lamang na i-multiply ang 9 at 5 sa kanilang sarili, i-multiply ang numerator na "5" sa pamamagitan ng 5, at "3", ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng 9. Kaya, ang mga naturang fraction ay naidagdag na: 25/45 at 27/45. Ngayon ay nananatili na lamang na magdagdag ng mga numerator at makuha ang sagot na 52/45. Sa isang piraso ng papel, ang isang halimbawa ay magiging ganito:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 17/45.

Ngunit ang pagdaragdag ng mga praksiyon na may ganitong mga denominador ay hindi palaging nangangailangan ng simpleng pagpaparami ng mga numero sa ilalim ng linya. Unang hanapin ang pinakamababang common denominator. Halimbawa, para sa mga praksyon 2/3 at 5/6. Para sa kanila, ito ang magiging numero 6. Ngunit ang sagot ay hindi palaging halata. Sa kasong ito, sulit na alalahanin ang panuntunan para sa paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang (dinaglat na LCM) ng dalawang numero.

Ito ay nauunawaan bilang ang hindi bababa sa karaniwang kadahilanan ng dalawang integer. Upang mahanap ito, i-decompose ang bawat isa sa mga pangunahing kadahilanan. Ngayon isulat ang mga ito na lumilitaw kahit isang beses sa bawat numero. I-multiply ang mga ito nang sama-sama at makuha ang parehong denominator. Sa katunayan, ang lahat ay mukhang mas simple.

Halimbawa, kailangan mong idagdag ang mga fraction na 4/15 at 1/6. Kaya, ang 15 ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga simpleng numero 3 at 5, at anim - dalawa at tatlo. Nangangahulugan ito na ang LCM para sa kanila ay magiging 5 x 3 x 2 = 30. Ngayon, hahatiin ang 30 sa denominator ng unang fraction, makakakuha tayo ng factor para sa numerator nito - 2. At para sa pangalawang fraction ito ang magiging numero 5 Kaya, nananatili itong magdagdag ng mga ordinaryong fraction 8/30 at 5/30 at makakuha ng tugon sa 13/30. Lahat ay sobrang simple. Sa iyong kuwaderno, dapat mong isulat ang gawaing ito tulad nito:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM (15, 6) = 30.

Pagdaragdag ng mga halo-halong numero

Ngayon, alam mo na ang lahat ng mga pangunahing trick sa pagdaragdag ng mga simpleng fraction, maaari mong subukan ang iyong kamay sa mas kumplikadong mga halimbawa. At ang mga ito ay magkakahalo na mga numero, kung saan ang ibig sabihin ng mga ito ay isang fraction ng ganitong uri: 2 2 / 3. Dito, ang buong bahagi ay isinusulat bago ang wastong fraction. At marami ang nalilito kapag nagsasagawa ng mga aksyon na may ganitong mga numero. Sa katunayan, ang parehong mga patakaran ay nalalapat dito.

Upang pagsamahin ang mga magkakahalong numero, idagdag ang buong bahagi nang hiwalay at wastong fractions. At pagkatapos ang 2 resultang ito ay na-summed up na. Sa pagsasagawa, ang lahat ay mas simple, kailangan mo lamang magsanay ng kaunti. Halimbawa, sa isang problema kailangan mong idagdag ang mga sumusunod na magkakahalo na numero: 1 1 / 3 at 4 2 / 5 . Upang gawin ito, idagdag muna ang 1 at 4 upang makakuha ng 5. Pagkatapos ay idagdag ang 1/3 at 2/5 gamit ang hindi bababa sa karaniwang pamamaraan ng denominator. Ang desisyon ay magiging 11/15. At ang huling sagot ay 5 11/15. Sa isang kuwaderno ng paaralan, ito ay magmumukhang mas maikli:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Pagdaragdag ng mga decimal

Bilang karagdagan sa mga ordinaryong fraction, mayroon ding mga decimal. Sa pamamagitan ng paraan, sila ay mas karaniwan sa buhay. Halimbawa, ang presyo sa isang tindahan ay madalas na ganito: 20.3 rubles. Ito ay ang parehong fraction. Siyempre, ang mga ito ay mas madaling tiklop kaysa sa mga ordinaryong. Sa prinsipyo, kailangan mo lamang magdagdag ng 2 ordinaryong numero, ang pinakamahalaga, sa tamang lugar maglagay ng kuwit. Dito lumalabas ang mga paghihirap.

Halimbawa, kailangan mong magdagdag ng naturang 2.5 at 0.56. Upang gawin ito nang tama, kailangan mong magdagdag ng zero sa una sa dulo, at ang lahat ay magiging maayos.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Mahalagang malaman na ang anumang decimal fraction ay maaaring i-convert sa isang simpleng fraction, ngunit hindi lahat ng simpleng fraction ay maaaring isulat bilang decimal. Kaya, mula sa aming halimbawa, 2.5 = 2 1/2 at 0.56 = 14/25. Ngunit ang isang fraction tulad ng 1/6 ay magiging halos katumbas ng 0.16667. Ang parehong sitwasyon ay magiging sa iba pang katulad na mga numero - 2/7, 1/9 at iba pa.

Konklusyon

Maraming mga mag-aaral, hindi nauunawaan ang praktikal na bahagi ng mga aksyon na may mga fraction, tinatrato ang paksang ito nang walang ingat. Gayunpaman, sa higit sa pangunahing kaalaman na ito ay magbibigay-daan sa iyo na mag-click tulad ng mga mani kumplikadong mga halimbawa na may logarithms at paghahanap ng mga derivatives. At samakatuwid, ito ay nagkakahalaga ng isang beses upang maunawaan nang mabuti ang mga aksyon na may mga praksyon, upang sa ibang pagkakataon ay hindi mo kagatin ang iyong mga siko dahil sa inis. Kung tutuusin, malabong babalik ang isang guro sa high school sa paksang ito na napag-usapan na. Ang sinumang mag-aaral sa mataas na paaralan ay dapat na magawa ang mga naturang pagsasanay.

Ang mga fractional expression ay mahirap para sa isang bata na maunawaan. Karamihan sa mga tao ay nahihirapan sa . Kapag pinag-aaralan ang paksang "pagdaragdag ng mga praksyon na may mga integer", ang bata ay nahuhulog sa pagkahilo, nahihirapang lutasin ang gawain. Sa maraming halimbawa, isang serye ng mga kalkulasyon ang dapat gawin bago maisagawa ang isang aksyon. Halimbawa, i-convert ang mga fraction o i-convert ang isang improper fraction sa tamang fraction.

Ipaliwanag ng malinaw sa bata. Kumuha ng tatlong mansanas, dalawa sa mga ito ay magiging buo, at ang pangatlo ay gupitin sa 4 na bahagi. Paghiwalayin ang isang hiwa mula sa hiniwang mansanas, at ilagay ang natitirang tatlo sa tabi ng dalawang buong prutas. Kumuha kami ng ¼ mansanas sa isang gilid at 2 ¾ sa kabilang panig. Kung pagsasamahin natin ang mga ito, makakakuha tayo ng tatlong buong mansanas. Subukan nating bawasan ang 2 ¾ mansanas ng ¼, iyon ay, alisin ang isa pang hiwa, makakakuha tayo ng 2 2/4 na mansanas.

Tingnan natin ang mga aksyon na may mga fraction, na kinabibilangan ng mga integer:

Una, alalahanin natin ang panuntunan sa pagkalkula para sa mga fractional na expression na may karaniwang denominator:

Sa unang tingin, ang lahat ay madali at simple. Ngunit nalalapat lamang ito sa mga expression na hindi nangangailangan ng conversion.

Paano mahahanap ang halaga ng isang expression kung saan naiiba ang mga denominator

Sa ilang mga gawain, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng isang expression kung saan ang mga denominator ay naiiba. Isaalang-alang ang isang partikular na kaso:
3 2/7+6 1/3

Hanapin ang halaga ng expression na ito, para dito makikita natin ang isang karaniwang denominator para sa dalawang fraction.

Para sa mga numero 7 at 3, ito ay 21. Iniiwan namin ang mga bahagi ng integer na pareho, at binabawasan ang mga bahagi ng fractional sa 21, para dito pinarami namin ang unang bahagi ng 3, ang pangalawa sa pamamagitan ng 7, nakukuha namin:
6/21+7/21, huwag kalimutan na ang buong bahagi ay hindi napapailalim sa conversion. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dalawang fraction na may isang denominator at kalkulahin ang kanilang kabuuan:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Paano kung ang resulta ng karagdagan ay isang hindi wastong bahagi na mayroon nang integer na bahagi:
2 1/3+3 2/3
Sa kasong ito, idinagdag namin ang mga bahagi ng integer at mga bahagi ng fractional, nakukuha namin ang:
5 3/3, tulad ng alam mo, 3/3 ay isa, kaya 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Sa paghahanap ng kabuuan, malinaw ang lahat, pag-aralan natin ang pagbabawas:

Mula sa kung ano ang sinabi ay sumusunod sa tuntunin ng pagkilos sa magkahalong numero na parang ganito:

• Kung kinakailangan upang ibawas ang isang integer mula sa isang fractional expression, hindi kinakailangan na kumatawan sa pangalawang numero bilang isang fraction, ito ay sapat na upang gumana lamang sa mga bahagi ng integer.

Subukan nating kalkulahin ang halaga ng mga expression sa ating sarili:

Tingnan natin ang halimbawa sa ilalim ng titik na "m":

4 5/11-2 8/11, ang numerator ng unang fraction ay mas mababa sa pangalawa. Upang gawin ito, kukuha kami ng isang integer mula sa unang bahagi, nakukuha namin,
3 5/11+11/11=3 buong 16/11, ibawas ang pangalawa sa unang bahagi:
3 16/11-2 8/11=1 buong 8/11

• Mag-ingat sa pagkumpleto ng gawain, huwag kalimutang i-convert ang mga hindi wastong fraction sa mga halo-halong, na i-highlight ang buong bahagi. Upang gawin ito, kinakailangang hatiin ang halaga ng numerator sa halaga ng denominator, kung gayon ang nangyari ay pumapalit sa bahagi ng integer, ang natitira ay ang numerator, halimbawa:

19/4=4 ¾, tsek: 4*4+3=19, sa denominator 4 ay nananatiling hindi nagbabago.

Ibuod:

Bago magpatuloy sa gawaing may kaugnayan sa mga praksiyon, kinakailangang suriin kung anong uri ng pagpapahayag ito, kung anong mga pagbabago ang kailangang gawin sa fraction upang maging tama ang solusyon. Maghanap ng higit pang mga makatwirang solusyon. Huwag pumunta sa mahirap na paraan. Planuhin ang lahat ng mga aksyon, magpasya muna sa isang draft na bersyon, pagkatapos ay ilipat sa isang notebook ng paaralan.

Upang maiwasan ang pagkalito sa paglutas ng mga fractional expression, kinakailangang sundin ang panuntunan ng pagkakasunud-sunod. Maingat na magpasya ang lahat, nang hindi nagmamadali.