Isa sa mga pangunahing katangian sa algebra, at sa katunayan sa lahat ng matematika, ay isang degree. Siyempre, sa ika-21 siglo, ang lahat ng mga kalkulasyon ay maaaring isagawa sa isang online na calculator, ngunit mas mahusay na matutunan kung paano gawin ito sa iyong sarili para sa pagbuo ng mga talino.

Sa artikulong ito, titingnan natin ang pinaka mahahalagang tanong hinggil sa kahulugang ito. Lalo na, mauunawaan natin kung ano ito sa pangkalahatan at kung ano ang mga pangunahing pag-andar nito, kung anong mga katangian ang umiiral sa matematika.

Tingnan natin ang mga halimbawa kung ano ang hitsura ng pagkalkula, ano ang mga pangunahing formula. Susuriin namin ang mga pangunahing uri ng mga dami at kung paano sila naiiba sa iba pang mga pag-andar.

Unawain natin kung paano lutasin gamit ang dami na ito iba't ibang gawain. Ipapakita namin kasama ng mga halimbawa kung paano itaas sa zero degree, hindi makatwiran, negatibo, atbp.

Online na calculator ng exponentiation

Ano ang antas ng isang numero

Ano ang ibig sabihin ng expression na "itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan"?

Ang antas n ng isang numero a ay ang produkto ng mga kadahilanan ng magnitude isang n beses sa isang hilera.

Sa matematika, ganito ang hitsura:

a n = a * a * a * …a n .

Halimbawa:

• 2 3 = 2 sa ikatlong hakbang. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 sa hakbang. dalawa = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 sa hakbang. apat = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 sa 5 hakbang. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 sa 4 na hakbang. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Nasa ibaba ang isang talahanayan ng mga parisukat at cube mula 1 hanggang 10.

Talaan ng mga digri mula 1 hanggang 10

Nasa ibaba ang mga resulta ng konstruksyon natural na mga numero sa positibong kapangyarihan - "mula 1 hanggang 100".

Ch-lo	ika-2 baitang	ika-3 baitang
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Mga katangian ng degree

Ano ang katangian ng gayong mathematical function? Tingnan natin ang mga pangunahing katangian.

Itinatag ng mga siyentipiko ang mga sumusunod mga palatandaan na katangian ng lahat ng antas:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m =(a) (b*m) .

Suriin natin gamit ang mga halimbawa:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Sa kabilang banda 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Katulad nito: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Kung hindi 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Paano kung iba? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Tulad ng nakikita mo, gumagana ang mga patakaran.

Ngunit kung paano maging na may karagdagan at pagbabawas? Ang lahat ay simple. Isinasagawa ang unang exponentiation, at pagkatapos lamang ang pagdaragdag at pagbabawas.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ngunit sa kasong ito, kailangan mo munang kalkulahin ang karagdagan, dahil may mga aksyon sa mga bracket: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Paano gumawa mga kalkulasyon sa mas kumplikadong mga kaso? Ang pagkakasunud-sunod ay pareho:

• kung may mga bracket, kailangan mong magsimula sa kanila;
• pagkatapos exponentiation;
• pagkatapos ay magsagawa ng mga operasyon ng pagpaparami, paghahati;
• pagkatapos ng karagdagan, pagbabawas.

May mga partikular na katangian na hindi katangian ng lahat ng antas:

1. Ang ugat ng nth degree mula sa numero a hanggang sa degree m ay isusulat bilang: a m / n .
2. Kapag tinataas ang isang fraction sa isang kapangyarihan: ang numerator at ang denominator nito ay napapailalim sa pamamaraang ito.
3. Kapag nagtatayo ng trabaho magkaibang numero sa isang kapangyarihan, ang expression ay tumutugma sa produkto ng mga numerong ito sa isang ibinigay na kapangyarihan. Iyon ay: (a * b) n = a n * b n .
4. Kapag itinaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang 1 sa isang numero sa parehong hakbang, ngunit may sign na "+".
5. Kung ang denominator ng isang fraction ay nasa negatibong kapangyarihan, ang expression na ito ay magiging katumbas ng produkto ng numerator at denominator sa isang positibong kapangyarihan.
6. Anumang numero sa kapangyarihan ng 0 = 1, at sa hakbang. 1 = sa kanyang sarili.

Ang mga patakarang ito ay mahalaga sa mga indibidwal na kaso, isasaalang-alang namin ang mga ito nang mas detalyado sa ibaba.

Degree na may negatibong exponent

Ano ang gagawin sa isang negatibong antas, iyon ay, kapag ang tagapagpahiwatig ay negatibo?

Batay sa mga katangian 4 at 5(tingnan ang punto sa itaas) iyon pala:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

At kabaliktaran:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Paano kung ito ay isang fraction?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25/9.

Degree na may natural na tagapagpahiwatig

Ito ay nauunawaan bilang isang degree na may mga exponent na katumbas ng mga integer.

Bagay na dapat alalahanin:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…atbp.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…atbp.

Gayundin, kung (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…kung gayon ang resulta ay magkakaroon ng tandang “+”. Kung isang negatibong numero itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, vice versa.

Mga pangkalahatang katangian at lahat tiyak na mga tampok na inilarawan sa itaas ay katangian din ng mga ito.

Fractional degree

Ang view na ito ay maaaring isulat bilang isang scheme: A m / n. Ito ay binabasa bilang: ang ugat ng ika-n degree ng bilang A sa kapangyarihan ng m.

Sa isang fractional indicator, magagawa mo ang anumang bagay: bawasan, mabulok sa mga bahagi, itaas sa ibang antas, atbp.

Degree na may hindi makatwirang exponent

Hayaan ang α ay isang hindi makatwirang numero at А ˃ 0.

Upang maunawaan ang kakanyahan ng antas na may tulad na tagapagpahiwatig, Tingnan natin ang iba't ibang posibleng kaso:

• A \u003d 1. Ang resulta ay magiging katumbas ng 1. Dahil mayroong isang axiom - 1 ay katumbas ng isa sa lahat ng kapangyarihan;

Ang А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 ay mga rational na numero;

• 0˂А˂1.

Sa kasong ito, vice versa: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 sa ilalim ng parehong mga kondisyon tulad ng sa ikalawang talata.

Halimbawa, ang exponent ay ang numerong π. Ito ay makatuwiran.

r 1 - sa kasong ito ito ay katumbas ng 3;

r 2 - ay magiging katumbas ng 4.

Pagkatapos, para sa A = 1, 1 π = 1.

A = 2, pagkatapos ay 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, pagkatapos ay (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Ang ganitong mga degree ay nailalarawan sa pamamagitan ng lahat ng mga pagpapatakbo ng matematika at mga partikular na katangian na inilarawan sa itaas.

Konklusyon

Ibuod natin - para saan ang mga halagang ito, ano ang mga pakinabang ng naturang mga pag-andar? Siyempre, una sa lahat, pinapasimple nila ang buhay ng mga mathematician at programmer kapag nilulutas ang mga halimbawa, dahil pinapayagan nila ang pagliit ng mga kalkulasyon, pagbabawas ng mga algorithm, pag-systematize ng data, at marami pa.

Saan pa maaaring maging kapaki-pakinabang ang kaalamang ito? Sa anumang specialty sa pagtatrabaho: gamot, pharmacology, dentistry, construction, teknolohiya, engineering, disenyo, atbp.

Mga expression, conversion ng expression

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan (mga ekspresyong may kapangyarihan) at ang kanilang pagbabago

Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan. Una, tututuon natin ang mga pagbabagong ginagawa sa anumang uri ng mga ekspresyon, kabilang ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan, tulad ng pagbubukas ng mga bracket, pagbabawas ng mga katulad na termino. At pagkatapos ay susuriin natin ang mga pagbabagong likas na partikular sa mga expression na may mga degree: nagtatrabaho sa base at exponent, gamit ang mga katangian ng mga degree, atbp.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang Power Expressions?

Ang terminong "mga expression ng kapangyarihan" ay halos hindi matatagpuan sa mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan, ngunit madalas itong lumilitaw sa mga koleksyon ng mga problema, lalo na idinisenyo upang maghanda para sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri at ang OGE, halimbawa,. Pagkatapos suriin ang mga gawain kung saan kinakailangan na magsagawa ng anumang mga aksyon na may mga power expression, nagiging malinaw na ang mga power expression ay nauunawaan bilang mga expression na naglalaman ng mga degree sa kanilang mga entry. Samakatuwid, para sa iyong sarili, maaari mong kunin ang sumusunod na kahulugan:

Kahulugan.

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay mga ekspresyong naglalaman ng mga kapangyarihan.

Dalhin natin mga halimbawa ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Bukod dito, ipapakita namin ang mga ito ayon sa kung paano ang pagbuo ng mga pananaw sa antas ng natural na tagapagpahiwatig hanggang sa totoong exponent.

Tulad ng alam mo, una mong makikilala ang antas ng isang numero na may natural na exponent, sa yugtong ito ang unang pinakasimpleng mga expression ng kapangyarihan ng uri 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atbp.

Maya-maya, pinag-aralan ang kapangyarihan ng isang numero na may integer exponent, na humahantong sa paglitaw ng mga power expression na may negatibong integer na kapangyarihan, tulad ng sumusunod: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Sa mga senior class, babalik sila sa degree muli. Doon, ipinakilala ang isang degree na may rational exponent, na humahantong sa paglitaw ng kaukulang mga expression ng kapangyarihan: , , at iba pa. Panghuli, ang mga degree na may mga hindi makatwirang exponent at mga expression na naglalaman ng mga ito ay isinasaalang-alang: , .

Ang usapin ay hindi limitado sa nakalistang mga expression ng kapangyarihan: lalo pang tumagos ang variable sa exponent, at mayroong, halimbawa, mga expression na 2 x 2 +1 o . At pagkatapos na makilala, ang mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms ay nagsisimulang lumitaw, halimbawa, x 2 lgx −5 x lgx.

Kaya, nalaman namin ang tanong kung ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susunod, matututunan natin kung paano baguhin ang mga ito.

Ang mga pangunahing uri ng mga pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan

Gamit ang mga power expression, maaari mong gawin ang alinman sa mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression. Halimbawa, maaari mong buksan ang mga bracket, palitan mga numeric na expression kanilang mga halaga, nagdadala ng mga katulad na termino, atbp. Naturally, sa kasong ito kinakailangan na sundin ang tinatanggap na pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga aksyon. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng power expression 2 3 ·(4 2 −12) .

Solusyon.

Ayon sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, ginagawa muna namin ang mga aksyon sa mga bracket. Doon, una, pinapalitan namin ang kapangyarihan ng 4 2 sa halaga nito na 16 (tingnan kung kinakailangan), at pangalawa, kinakalkula namin ang pagkakaiba 16−12=4 . Meron kami 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Sa resultang expression, pinapalitan namin ang kapangyarihan ng 2 3 sa halaga nito 8 , pagkatapos ay kalkulahin namin ang produkto 8·4=32 . Ito ang nais na halaga.

Kaya, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Sagot:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expressions 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solusyon.

Malinaw, ang expression na ito ay naglalaman ng mga katulad na termino 3 · a 4 · b − 7 at 2 · a 4 · b − 7 , at maaari nating bawasan ang mga ito: .

Sagot:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Halimbawa.

Ipahayag ang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan bilang isang produkto.

Solusyon.

Upang makayanan ang gawain ay nagbibigay-daan sa representasyon ng numero 9 bilang isang kapangyarihan ng 3 2 at ang kasunod na paggamit ng pinaikling formula ng pagpaparami, ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

Mayroon ding ilang magkakaparehong pagbabagong likas sa mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susunod, susuriin natin ang mga ito.

Paggawa gamit ang base at exponent

Mayroong mga degree, sa batayan at / o tagapagpahiwatig na hindi lamang mga numero o variable, ngunit ilang mga expression. Bilang halimbawa, isulat natin ang (2+0.3 7) 5−3.7 at (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Kapag nagtatrabaho sa gayong mga expression, posibleng palitan ang parehong expression sa base ng degree at ang expression sa indicator na may magkaparehong pantay na expression sa DPV ng mga variable nito. Sa madaling salita, ayon sa mga patakaran na kilala sa amin, maaari naming hiwalay na i-convert ang base ng degree, at hiwalay - ang tagapagpahiwatig. Ito ay malinaw na bilang isang resulta ng pagbabagong ito, ang isang expression ay nakuha na kaparehong katumbas ng orihinal.

Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapahintulot sa amin na pasimplehin ang mga expression na may mga kapangyarihan o makamit ang iba pang mga layunin na kailangan namin. Halimbawa, sa power expression (2+0.3 7) 5−3.7 na binanggit sa itaas, maaari kang magsagawa ng mga operasyon na may mga numero sa base at exponent, na magbibigay-daan sa iyong pumunta sa kapangyarihan ng 4.1 1.3. At pagkatapos buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino sa base ng degree (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) mas nakakakuha tayo ng power expression simpleng anyo isang 2 (x+1) .

Paggamit ng Power Properties

Ang isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may kapangyarihan ay ang mga pagkakapantay-pantay na sumasalamin sa . Alalahanin natin ang mga pangunahing. Para sa anumang positibong numero a at b at arbitrary na tunay na mga numero r at s, ang mga sumusunod na katangian ng kapangyarihan ay nagtataglay:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Tandaan na para sa natural, integer, at positibong exponent, maaaring hindi masyadong mahigpit ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b. Halimbawa, para sa mga natural na bilang na m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo hindi lamang para sa positibong a , kundi pati na rin sa mga negatibo, at para sa a=0 .

Sa paaralan, ang pangunahing pansin sa pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay tiyak na nakatuon sa kakayahang pumili ng naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama. Sa kasong ito, ang mga base ng mga degree ay karaniwang positibo, na nagpapahintulot sa iyo na gamitin ang mga katangian ng mga degree nang walang mga paghihigpit. Ang parehong naaangkop sa pagbabagong-anyo ng mga expression na naglalaman ng mga variable sa mga base ng degree - ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable ay kadalasang tulad na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga dito, na nagpapahintulot sa iyo na malayang gamitin ang mga katangian ng mga degree. Sa pangkalahatan, kailangan mong patuloy na tanungin ang iyong sarili kung posible bang mag-aplay ng anumang ari-arian ng mga degree sa kasong ito, dahil ang hindi tumpak na paggamit ng mga ari-arian ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng ODZ at iba pang mga problema. Ang mga puntong ito ay tinalakay nang detalyado at may mga halimbawa sa artikulong pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng mga degree. Dito ikukulong natin ang ating sarili sa ilang simpleng halimbawa.

Halimbawa.

Ipahayag ang expression na a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 bilang isang kapangyarihan na may base a .

Solusyon.

Una, binabago natin ang pangalawang kadahilanan (a 2) -3 sa pamamagitan ng pag-aari ng pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Sa kasong ito, ang paunang pagpapahayag ng kapangyarihan ay kukuha ng anyong 2.5 ·a −6:a −5.5 . Malinaw, ito ay nananatiling gamitin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, mayroon tayo
isang 2.5 a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Sagot:

isang 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Ginagamit ang mga power properties kapag binabago ang mga power expression mula kaliwa pakanan at mula kanan papuntang kaliwa.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng pagpapahayag ng kapangyarihan.

Solusyon.

Ang pagkakapantay-pantay (a·b) r =a r ·b r , na inilapat mula kanan pakaliwa, ay nagbibigay-daan sa iyong pumunta mula sa orihinal na expression patungo sa produkto ng form at higit pa. At kapag nagpaparami ng kapangyarihan sa ang parehong mga batayan idinagdag ang mga tagapagpahiwatig: .

Posibleng isagawa ang pagbabago ng orihinal na expression sa ibang paraan:

Sagot:

.

Halimbawa.

Dahil sa power expression a 1.5 −a 0.5 −6 , magpasok ng bagong variable t=a 0.5 .

Solusyon.

Ang degree na a 1.5 ay maaaring katawanin bilang isang 0.5 3 at higit pa sa batayan ng pag-aari ng degree sa degree (a r) s =a r s na inilapat mula kanan pakaliwa, i-convert ito sa form (a 0.5) 3 . kaya, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. Ngayon ay madaling magpakilala ng bagong variable t=a 0.5 , nakukuha natin ang t 3 −t−6 .

Sagot:

t 3 −t−6 .

Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan

Ang mga power expression ay maaaring maglaman ng mga fraction na may kapangyarihan o kumakatawan sa mga naturang fraction. Ang alinman sa mga pangunahing pagbabago ng fraction na likas sa mga fraction ng anumang uri ay ganap na naaangkop sa mga naturang fraction. Iyon ay, ang mga fraction na naglalaman ng mga degree ay maaaring bawasan, bawasan sa isang bagong denominator, gumana nang hiwalay sa kanilang numerator at hiwalay sa denominator, atbp. Upang ilarawan ang mga salita sa itaas, isaalang-alang ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa.

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Ang power expression na ito ay isang fraction. Gawin natin ang numerator at denominator nito. Sa numerator, binubuksan namin ang mga bracket at pinasimple ang expression na nakuha pagkatapos nito gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, at sa denominator ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino:

At binabago din namin ang tanda ng denominator sa pamamagitan ng paglalagay ng minus sa harap ng fraction: .

Sagot:

.

Ang pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan sa isang bagong denominator ay isinasagawa katulad ng pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator. Kasabay nito, ang isang karagdagang kadahilanan ay matatagpuan din at ang numerator at denominator ng fraction ay pinarami nito. Kapag ginagawa ang pagkilos na ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang pagbawas sa isang bagong denominator ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng DPV. Upang maiwasang mangyari ito, kinakailangan na ang karagdagang kadahilanan ay hindi maglaho para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.

Halimbawa.

Dalhin ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) sa denominator a, b) sa denominator.

Solusyon.

a) Sa kasong ito, medyo madaling malaman kung anong karagdagang kadahilanan ang makakatulong upang makamit ninanais na resulta. Ito ay isang salik a 0.3 dahil ang isang 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a . Tandaan na sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable a (ito ang hanay ng lahat ng positibong tunay na numero), ang degree na 0.3 ay hindi naglalaho, samakatuwid, may karapatan tayong i-multiply ang numerator at denominator ng ibinigay na fraction sa pamamagitan ng karagdagang salik na ito:

b) Sa mas malapit na pagtingin sa denominator, makikita natin iyon

at ang pagpaparami ng expression na ito sa ay magbibigay ng kabuuan ng mga cube at , iyon ay, . At ito ang bagong denominator kung saan kailangan nating dalhin ang orihinal na fraction.

Kaya nakakita kami ng karagdagang kadahilanan. Ang expression ay hindi nawawala sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable na x at y, samakatuwid, maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan nito:

Sagot:

A) , b) .

Wala ring bago sa pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga degree: ang numerator at denominator ay kinakatawan bilang isang tiyak na bilang ng mga kadahilanan, at ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator ay nababawasan.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction: a) , b).

Solusyon.

a) Una, ang numerator at denominator ay maaaring bawasan ng mga numerong 30 at 45, na katumbas ng 15. Gayundin, malinaw naman, maaari mong bawasan ng x 0.5 +1 at ng . Narito ang mayroon tayo:

b) Sa kasong ito, ang parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator ay hindi agad makikita. Upang makuha ang mga ito, kailangan mong magsagawa ng mga paunang pagbabago. Sa kasong ito, binubuo sila sa pag-decomposing ng denominator sa mga kadahilanan ayon sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat:

Sagot:

A)

b) .

Ang pagbabawas ng mga fraction sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction ay pangunahing ginagamit upang magsagawa ng mga operasyon sa mga fraction. Ang mga aksyon ay isinasagawa ayon sa mga kilalang panuntunan. Kapag nagdadagdag (nagbabawas) ng mga fraction, ang mga ito ay binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos ay ang mga numerator ay idinagdag (binawas), at ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ay isang fraction na ang numerator ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominador. Ang paghahati sa isang fraction ay multiplikasyon sa pamamagitan ng katumbas nito.

Halimbawa.

Sundin ang mga hakbang .

Solusyon.

Una, ibawas natin ang mga fraction sa mga bracket. Upang gawin ito, dinadala namin ang mga ito sa isang karaniwang denominator, na , pagkatapos ay ibawas ang mga numerator:

Ngayon kami ay nagpaparami ng mga fraction:

Malinaw, ang pagbawas ng kapangyarihan x 1/2 ay posible, pagkatapos nito ay mayroon na tayo .

Maaari mo ring gawing simple ang power expression sa denominator sa pamamagitan ng paggamit ng difference ng squares formula: .

Sagot:

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Malinaw, ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng (x 2.7 +1) 2, ito ay nagbibigay ng fraction . Malinaw na may ibang kailangang gawin sa mga kapangyarihan ng x. Upang gawin ito, kino-convert namin ang resultang fraction sa isang produkto. Nagbibigay ito sa amin ng pagkakataong gamitin ang pag-aari ng paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan: . At sa dulo ng proseso, pumasa kami mula sa huling produkto hanggang sa fraction.

Sagot:

.

At idinagdag namin na posible at sa maraming mga kaso ay kanais-nais na ilipat ang mga kadahilanan na may mga negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator o mula sa denominator patungo sa numerator sa pamamagitan ng pagbabago ng sign ng exponent. Ang ganitong mga pagbabago ay kadalasang nagpapasimple karagdagang aksyon. Halimbawa, ang isang power expression ay maaaring palitan ng .

Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan

Kadalasan sa mga expression kung saan kinakailangan ang ilang pagbabago, kasama ang mga degree na may mga fractional exponents, mayroon ding mga ugat. Upang i-convert ang gayong ekspresyon sa ang tamang uri, sa karamihan ng mga kaso ito ay sapat na upang pumunta lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Ngunit dahil ito ay mas maginhawa upang gumana sa mga degree, sila ay karaniwang lumipat mula sa mga ugat hanggang sa mga degree. Gayunpaman, ipinapayong magsagawa ng gayong paglipat kapag ang ODZ ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagbibigay-daan sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga degree nang hindi kinakailangang i-access ang module o hatiin ang ODZ sa ilang mga agwat (tinalakay namin ito nang detalyado sa artikulo, ang paglipat mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan at kabaligtaran Pagkatapos makilala ang antas na may makatwirang exponent isang degree na may hindi makatwiran na tagapagpahiwatig ay ipinakilala, na ginagawang posible na magsalita ng isang degree na may arbitrary na tunay na tagapagpahiwatig. Sa yugtong ito, ang nagsisimulang mag-aral ang paaralan exponential function, na kung saan ay analytically ibinigay sa pamamagitan ng antas, sa batayan ng kung saan mayroong isang numero, at sa indicator - isang variable. Kaya tayo ay nahaharap sa mga expression ng kapangyarihan na naglalaman ng mga numero sa base ng antas, at sa exponent - mga expression na may mga variable, at natural na ang pangangailangan ay lumitaw upang maisagawa ang mga pagbabagong-anyo ng naturang mga expression.

Dapat sabihin na ang pagbabagong-anyo ng mga expression ng ipinahiwatig na uri ay karaniwang kailangang isagawa kapag nagresolba mga exponential equation At exponential inequalities , at ang mga pagbabagong ito ay medyo simple. Sa karamihan ng mga kaso, ang mga ito ay nakabatay sa mga katangian ng antas at higit na naglalayong magpakilala ng bagong variable sa hinaharap. Ang equation ay magpapahintulot sa amin na ipakita ang mga ito 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Una, ang mga exponents, kung saan ang mga exponents ay natagpuan ang kabuuan ng ilang variable (o expression na may mga variable) at isang numero, ay pinapalitan ng mga produkto. Nalalapat ito sa una at huling termino ng expression sa kaliwang bahagi:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Susunod, ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ay hinati ng expression 7 2 x , na kumukuha lamang ng mga positibong halaga sa ODZ variable x para sa orihinal na equation (ito ay isang karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri, hindi natin pinag-uusapan ito ngayon, kaya tumuon sa mga kasunod na pagbabago ng mga expression na may kapangyarihan ):

Ngayon ang mga fraction na may kapangyarihan ay kinansela, na nagbibigay .

Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponents ay pinalitan ng mga kapangyarihan ng mga ratio, na humahantong sa equation , na katumbas ng . Ang mga pagbabagong ginawa ay nagpapahintulot sa amin na magpakilala ng isang bagong variable, na binabawasan ang solusyon ng orihinal na exponential equation sa solusyon ng quadratic equation

I. V. Boikov, L. D. Romanova Koleksyon ng mga gawain para sa paghahanda para sa pagsusulit. Bahagi 1. Penza 2003.

Uri ng aralin: aral ng paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman

Mga layunin:

• pang-edukasyon- ulitin ang kahulugan ng degree, ang mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga degree, pagtaas ng isang degree sa isang degree, pagsamahin ang kakayahang malutas ang mga halimbawa na naglalaman ng mga degree,
• umuunlad- pagbuo ng lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral, interes sa materyal na pinag-aaralan,
• nagtuturo- pagpapaunlad ng isang responsableng saloobin sa pag-aaral, isang kultura ng komunikasyon, isang pakiramdam ng kolektibismo.

Kagamitan: kompyuter, multimedia projector, interactive na whiteboard, pagtatanghal ng "Mga Degree" para sa pagbibilang ng bibig, mga task card, mga handout.

Plano ng aralin:

1. Oras ng pag-aayos.
2. Pag-uulit ng mga patakaran
3. Berbal na pagbibilang.
4. Makasaysayang sanggunian.
5. Trabaho sa pisara.
6. Fizkultminutka.
7. Magtrabaho sa interactive na whiteboard.
8. Pansariling gawain.
9. Takdang aralin.
10. Pagbubuod ng aralin.

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali

Paglalahad ng paksa at layunin ng aralin.

Sa mga nakaraang aralin, natuklasan mo kahanga-hangang mundo degree, natutong dumami at hatiin ang mga degree, itaas ang mga ito sa isang kapangyarihan. Ngayon kailangan nating pagsamahin ang nakuhang kaalaman sa pamamagitan ng paglutas ng mga halimbawa.

II. Pag-uulit ng mga patakaran(pasalita)

1. Ibigay ang kahulugan ng degree na may natural na indicator? (sa pamamagitan ng kapangyarihan ng numero A na may natural na exponent na higit sa 1 ay tinatawag na produkto n multiplier, ang bawat isa ay katumbas ng A.)
2. Paano paramihin ang dalawang kapangyarihan? (Upang i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong base, dapat mong iwanan ang base nang pareho at idagdag ang mga exponent.)
3. Paano hatiin ang degree sa degree? (Upang hatiin ang mga kapangyarihan na may parehong base, dapat mong iwanan ang base nang pareho at ibawas ang mga exponent.)
4. Paano itaas ang isang produkto sa isang kapangyarihan? (Upang itaas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, kailangan mong itaas ang bawat kadahilanan sa kapangyarihang iyon)
5. Paano itaas ang isang degree sa isang degree? (Upang itaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, kailangan mong iwanan ang base nang pareho, at i-multiply ang mga exponent)

III. Berbal na pagbibilang(sa pamamagitan ng multimedia)

IV. Makasaysayang sanggunian

Ang lahat ng mga problema ay mula sa papyrus ng Ahmes, na isinulat noong mga 1650 BC. e. na may kaugnayan sa pagsasagawa ng konstruksiyon, delimitasyon ng mga plot ng lupa, atbp. Ang mga gawain ay pinagsama-sama ayon sa paksa. Para sa karamihan, ito ay mga gawain para sa paghahanap ng mga lugar ng isang tatsulok, quadrangles at isang bilog, iba't ibang mga aksyon na may mga integer at fraction, proporsyonal na dibisyon, paghahanap ng mga ratio, mayroon ding isang elevation sa iba't ibang grado, solusyon ng una at pangalawang degree na mga equation na may isang hindi alam.

Walang anumang paliwanag o ebidensya. Ang nais na resulta ay direktang ibinibigay, o isang maikling algorithm para sa pagkalkula nito ay ibinigay. Ang pamamaraang ito ng pagtatanghal, tipikal ng agham ng mga bansa sa sinaunang Silangan, ay nagmumungkahi na ang matematika doon ay nabuo sa pamamagitan ng mga paglalahat at haka-haka na hindi bumubuo ng anumang pangkalahatang teorya. Gayunpaman, mayroong isang bilang ng mga katibayan sa papyrus na ang mga Egyptian mathematician ay nakakuha ng mga ugat at itaas sa isang kapangyarihan, lutasin ang mga equation, at kahit na nagtataglay ng mga simulain ng algebra.

V. Gawain sa pisara

Hanapin ang halaga ng expression sa isang makatwirang paraan:

Kalkulahin ang halaga ng expression:

VI. Minuto ng pisikal na edukasyon

1. para sa mga mata
2. para sa leeg
3. para sa mga kamay
4. para sa torso
5. para sa mga binti

VII. Pagtugon sa suliranin(na may interactive na whiteboard display)

Positibong numero ba ang ugat ng equation?

a) 3x + (-0.1) 7 = (-0.496) 4 (x > 0)

b) (10.381) 5 = (-0.012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Pansariling gawain

IX. Takdang aralin

X. Pagbubuod ng aralin

Pagsusuri ng mga resulta, anunsyo ng mga marka.

Ilalapat natin ang kaalamang natamo tungkol sa mga degree sa paglutas ng mga equation, mga problema sa high school, at madalas din itong matatagpuan sa pagsusulit.

ako. Trabaho n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng A tinawag n-ika-kapangyarihan ng isang numero A at ipinapahiwatig An.

Mga halimbawa. Isulat ang produkto bilang isang degree.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Solusyon.

1) mmmm=m 4, dahil, sa pamamagitan ng kahulugan ng antas, ang produkto ng apat na mga kadahilanan, ang bawat isa ay katumbas ng m, kalooban ang ikaapat na kapangyarihan ng m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .

II. Ang operasyon kung saan natagpuan ang produkto ng ilang pantay na salik ay tinatawag na exponentation. Ang bilang na itinaas sa isang kapangyarihan ay tinatawag na base ng kapangyarihan. Ang bilang na nagpapahiwatig kung anong kapangyarihan ang itinaas ng base ay tinatawag na exponent. Kaya, An- degree, A- base ng degree n- exponent. Halimbawa:

2 3 — ito ay isang degree. Numero 2 - ang base ng degree, ang exponent ay katumbas ng 3 . Halaga ng degree 2 3 katumbas 8, kasi 2 3 =2 2 2=8.

Mga halimbawa. Isulat ang mga sumusunod na expression nang walang exponent.

5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Solusyon.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. at 0 =1 Anumang numero (maliban sa zero) hanggang sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. Halimbawa, 25 0 =1.
IV. a 1 = aAnumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito.

v. isang m∙ isang n= isang m + n Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent magdagdag ng up.

Mga halimbawa. Pasimplehin:

9) a a 3 a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .

Solusyon.

9) a 3 a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .

VI. isang m: isang n= isang m - nKapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay naiwang pareho, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.

Mga halimbawa. Pasimplehin:

12) a 8: a 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12) a 8: a 3=a 8-3 =a 5 ; 13) m11:m4=m 11-4 =m 7 ; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.

VII. (isang m) n= amn Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent ay pinarami.

Mga halimbawa. Pasimplehin:

15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .

tala, na, dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa isang permutasyon ng mga salik, yun:

15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 =(c 2) 5 .

Vako II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n Kapag tinataas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, ang bawat isa sa mga kadahilanan ay itinaas sa kapangyarihan na iyon.

Mga halimbawa. Pasimplehin:

17) (2a 2) 5 ; 18) 0.26 56; 19) 0.25 2 40 2 .

Solusyon.

17) (2a 2) 5\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; 18) 0.2 6 5 6=(0.2 5) 6 =1 6 =1;

19) 0.25 2 40 2\u003d (0.25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.

IX. Kapag tinataas ang isang fraction sa isang kapangyarihan, ang numerator at denominator ng fraction ay itinataas sa kapangyarihan na iyon.

Mga halimbawa. Pasimplehin:

Solusyon.

Pahina 1 ng 1 1

Aralin sa paksa: "Mga panuntunan para sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may pareho at magkakaibang exponents. Mga halimbawa"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 7
Manwal para sa aklat-aralin Yu.N. Makarycheva Manual para sa aklat-aralin A.G. Mordkovich

Ang layunin ng aralin: matutunan kung paano magsagawa ng mga operasyon na may mga kapangyarihan ng isang numero.

Upang magsimula, alalahanin natin ang konsepto ng "kapangyarihan ng isang numero". Ang isang expression tulad ng $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ ay maaaring katawanin bilang $a^n$.

Totoo rin ang kabaligtaran: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na "pagtatala ng antas bilang isang produkto". Makakatulong ito sa atin na matukoy kung paano paramihin at hatiin ang mga kapangyarihan.
Tandaan:
a- ang batayan ng antas.
n- exponent.
Kung n=1, na nangangahulugang ang numero A kinuha nang isang beses at ayon sa pagkakabanggit: $a^n= 1$.
Kung n=0, pagkatapos ay $a^0= 1$.

Kung bakit ito nangyayari, maaari nating malaman kapag nakilala natin ang mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan.

mga tuntunin sa pagpaparami

a) Kung ang mga kapangyarihan na may parehong base ay pinarami.
Sa $a^n * a^m$, isinusulat namin ang mga kapangyarihan bilang isang produkto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Ipinapakita ng figure na ang numero A kinuha n+m beses, pagkatapos ay $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Halimbawa.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ang ari-arian na ito ay maginhawang gamitin upang pasimplehin ang trabaho kapag nagtataas ng isang numero sa isang malaking kapangyarihan.
Halimbawa.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Kung ang mga kapangyarihan ay pinarami sa ibang base, ngunit sa parehong exponent.
Sa $a^n * b^n$, isinusulat namin ang mga kapangyarihan bilang isang produkto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Kung papalitan natin ang mga salik at bibilangin ang mga resultang pares, makakakuha tayo ng: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Kaya $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Halimbawa.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

mga panuntunan sa paghahati

a) Ang base ng degree ay pareho, ang mga exponent ay iba.
Pag-isipang hatiin ang isang degree na may mas malaking exponent sa pamamagitan ng paghahati ng degree na may mas maliit na exponent.

Kaya, ito ay kinakailangan $\frac(a^n)(a^m)$, Saan n>m.

Isinulat namin ang mga degree bilang isang fraction:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Para sa kaginhawahan, isinusulat namin ang dibisyon bilang isang simpleng fraction.

Ngayon bawasan natin ang fraction.

Ito ay lumabas: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Ibig sabihin, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Makakatulong ang property na ito na ipaliwanag ang sitwasyon sa pagpapataas ng numero sa kapangyarihan ng zero. Ipagpalagay natin na n=m, pagkatapos ay $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Mga halimbawa.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Ang mga batayan ng antas ay magkakaiba, ang mga tagapagpahiwatig ay pareho.
Sabihin nating kailangan mo ng $\frac(a^n)( b^n)$. Isinulat namin ang mga kapangyarihan ng mga numero bilang isang fraction:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Isipin natin para sa kaginhawahan.

Gamit ang pag-aari ng mga fraction, hinahati namin ang isang malaking fraction sa isang produkto ng mga maliliit, nakukuha namin.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Alinsunod dito: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Halimbawa.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.