Mürəkkəb kvadrat tənliyi necə həll etmək olar. Natamam kvadrat tənliklərin tərifi və nümunələri

Biblioqrafik təsvir: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kvadrat tənliklərin həlli üsulları // Gənc alim. 2016. № 6.1. S. 17-20..02.2019).

Layihəmiz kvadrat tənliklərin həlli yollarından bəhs edir. Layihənin məqsədi: məktəb kurrikuluma daxil olmayan üsullarla kvadrat tənlikləri həll etməyi öyrənmək. Tapşırıq: kvadrat tənlikləri həll etməyin bütün mümkün yollarını tapın və onlardan necə istifadə edəcəyinizi özünüz öyrənin və bu üsulları sinif yoldaşlarınıza təqdim edin.

“Kvadrat tənliklər” nədir?

Kvadrat tənlik- formanın tənliyi balta2 + bx + c = 0, Harada a, b, c- bəzi rəqəmlər ( a ≠ 0), x- naməlum.

a, b, c ədədlərinə kvadrat tənliyin əmsalları deyilir.

a birinci əmsal adlanır;
b ikinci əmsal adlanır;
c - pulsuz üzv.

Kvadrat tənlikləri ilk “icad edən” kimdir?

Xətti və kvadrat tənliklərin həlli üçün bəzi cəbri üsullar 4000 il əvvəl Qədim Babildə məlum idi. Eramızdan əvvəl 1800-1600-cü illərə aid olan qədim Babil gil lövhələrinin tapılması kvadrat tənliklərin öyrənilməsinin ən erkən sübutunu verir. Eyni tabletlərdə kvadrat tənliklərin müəyyən növlərinin həlli üsulları var.

Təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti hətta qədim dövrlərdə torpaq sahələrinin tapılması və hərbi xarakterli qazıntı işləri ilə bağlı məsələlərin həlli zərurəti ilə əlaqədar idi. astronomiya və riyaziyyatın özünün inkişafı kimi.

Babil mətnlərində təsbit edilən bu tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə müasir olanla üst-üstə düşür, lakin babillilərin bu qaydaya necə gəldiyi məlum deyil. İndiyə qədər tapılmış demək olar ki, bütün mixi yazılar, necə tapıldığına dair heç bir işarə olmadan, yalnız reseptlər şəklində qoyulmuş həll yolları ilə bağlı problemləri təmin edir. Babildə cəbrin yüksək inkişaf səviyyəsinə baxmayaraq mixi yazılarda mənfi ədəd anlayışı və kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi üsullar yoxdur.

Təxminən eramızdan əvvəl IV əsrdən Babil riyaziyyatçıları. müsbət kökləri olan tənlikləri həll etmək üçün kvadratın tamamlama üsulundan istifadə etmişdir. Təxminən eramızdan əvvəl 300-cü il Evklid daha ümumi həndəsi həll üsulu ilə çıxış etdi. Mənfi köklü tənliklərin cəbri düstur şəklində həllini tapan ilk riyaziyyatçı hind alimi olmuşdur. Brahmagupta(Hindistan, eramızın 7-ci əsri).

Brahmagupta vahid kanonik formaya endirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi bir qayda qoydu:

ax2 + bx = c, a>0

Bu tənlikdəki əmsallar da mənfi ola bilər. Brahmaquptanın qaydası mahiyyətcə bizimki ilə eynidir.

Hindistanda çətin problemlərin həlli üçün ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları üstələdiyi kimi, alim də cəbri məsələlər təklif edərək və həll etməklə ictimai məclislərdə öz şöhrətini üstələyər”. Problemlər çox vaxt poetik formada təqdim olunurdu.

Cəbri bir traktatda Əl-Xarəzmi xətti və kvadrat tənliklərin təsnifatı verilmişdir. Müəllif 6 növ tənliyi sayaraq onları aşağıdakı kimi ifadə edir:

1) “Kvadratlar köklərə bərabərdir”, yəni ax2 = bx.

2) “Kvadratlar ədədlərə bərabərdir”, yəni ax2 = c.

3) “Köklər ədədə bərabərdir”, yəni ax2 = c.

4) “Kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir”, yəni ax2 + c = bx.

5) “Kvadratlar və köklər ədədə bərabərdir”, yəni ax2 + bx = c.

6) “Köklər və ədədlər kvadratlara bərabərdir”, yəni bx + c == ax2.

Mənfi ədədlərin istifadəsindən qaçan Əl-Xarəzmi üçün bu tənliklərin hər birinin şərtləri çıxılan deyil, toplanır. Bu zaman müsbət həlli olmayan tənliklər açıq şəkildə nəzərə alınmır. Müəllif bu tənliklərin həlli üsullarını “əl-cəbr” və “əl-mükəbəl” üsullarından istifadə edərək müəyyən edir. Onun qərarı, təbii ki, bizimki ilə tam üst-üstə düşmür. Bunun sırf ritorik olduğunu demirik, məsələn, qeyd etmək lazımdır ki, birinci növ natamam kvadrat tənliyi həll edərkən XVII əsrə qədər bütün riyaziyyatçılar kimi Əl-Xorəzmi də sıfır həllini nəzərə almır. çox güman ki, konkret praktikada tapşırıqlarda əhəmiyyət kəsb etmir. Tam kvadratik tənliklərin həlli zamanı Əl-Xarəzmi onların həlli qaydalarını xüsusi ədədi nümunələrdən, sonra isə həndəsi sübutlarından istifadə edərək müəyyən edir.

Avropada Əl-Xarəzmi modeli əsasında kvadrat tənliklərin həlli formaları ilk dəfə 1202-ci ildə yazılmış “Abakus kitabı”nda verilmişdir. italyan riyaziyyatçısı Leonard Fibonaççi. Müəllif müstəqil olaraq problemlərin həlli üçün bəzi yeni cəbr nümunələri işləyib hazırladı və Avropada ilk dəfə mənfi ədədlərin tətbiqinə yaxınlaşdı.

Bu kitab cəbri biliklərin təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində yayılmasına töhfə verdi. Bu kitabdakı bir çox məsələlər 14-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərində istifadə edilmişdir. B, c işarələrinin və əmsallarının bütün mümkün birləşmələri üçün x2 + bх = с vahid kanonik formaya endirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda 1544-cü ildə Avropada tərtib edilmişdir. M. Ştifel.

Kvadrat tənliyi ümumi formada həll etmək üçün düsturun əldə edilməsi Viète-də mövcuddur, lakin Viète yalnız müsbət kökləri tanıdı. italyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilər arasında. Müsbət olanlarla yanaşı, mənfi köklər də nəzərə alınır. Yalnız 17-ci əsrdə. səylər sayəsində Girard, Dekart, Nyuton və başqa elm adamları tərəfindən kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir forma alır.

Kvadrat tənliklərin həllinin bir neçə yoluna baxaq.

Məktəb kurikulumundan kvadrat tənliklərin həlli üçün standart üsullar:

Tənliyin sol tərəfinin faktorinqi.
Tam kvadrat seçmək üsulu.
Düsturdan istifadə edərək kvadrat tənliklərin həlli.
Kvadrat tənliyin qrafik həlli.
Vyeta teoremindən istifadə edərək tənliklərin həlli.

Vyeta teoremindən istifadə edərək azaldılmış və azaldılmamış kvadrat tənliklərin həlli üzərində daha ətraflı dayanaq.

Yada salaq ki, yuxarıdakı kvadrat tənlikləri həll etmək üçün hasili sərbəst həddə bərabər olan, cəmi isə əks işarəli ikinci əmsala bərabər olan iki ədədi tapmaq kifayətdir.

Misal.x 2 -5x+6=0

Məhsulu 6, cəmi 5 olan ədədləri tapmaq lazımdır. Bu ədədlər 3 və 2 olacaq.

Cavab: x 1 =2, x 2 =3.

Ancaq bu üsuldan birinci əmsalı birə bərabər olmayan tənliklər üçün də istifadə edə bilərsiniz.

Misal.3x 2 +2x-5=0

Birinci əmsalı götürün və onu sərbəst terminə vurun: x 2 +2x-15=0

Bu tənliyin kökləri hasili - 15-ə, cəmi isə - 2-yə bərabər olan ədədlər olacaq. Bu ədədlər 5 və 3-dür. İlkin tənliyin köklərini tapmaq üçün yaranan kökləri birinci əmsala bölün.

Cavab: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. “Atmaq” üsulu ilə tənliklərin həlli.

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyini nəzərdən keçirək, burada a≠0.

Hər iki tərəfi a ilə vuraraq a 2 x 2 + abx + ac = 0 tənliyini alırıq.

ax = y olsun, buradan x = y/a; onda verilənə ekvivalent olan y 2 + by + ac = 0 tənliyinə çatırıq. Vyeta teoremindən istifadə edərək 1 və 2-nin köklərini tapırıq.

Nəhayət, x 1 = y 1 /a və x 2 = y 2 /a alırıq.

Bu üsulla a əmsalı sərbəst terminə vurulur, sanki ona “atılır” və buna görə də “atma” üsulu adlanır. Bu üsul tənliyin köklərini Vyeta teoremindən istifadə etməklə asanlıqla tapmaq mümkün olduqda və ən əsası diskriminant dəqiq kvadrat olduqda istifadə olunur.

Misal.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Sərbəst həddə 2 əmsalını “ataq” və əvəzlik edək və y 2 - 11y + 30 = 0 tənliyini alaq.

Vietanın tərs teoreminə görə

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Cavab: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadrat tənliyin əmsallarının xassələri.

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyi a ≠ 0 verilsin.

1. Əgər a+ b + c = 0 (yəni tənliyin əmsallarının cəmi sıfırdır), onda x 1 = 1.

2. Əgər a - b + c = 0 və ya b = a + c olarsa, x 1 = - 1 olar.

Misal.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) olduğundan x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Cavab: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Misal.132x 2 + 247x + 115 = 0

Çünki a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), onda x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Cavab: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Kvadrat tənliyin əmsallarının başqa xassələri də var. lakin onların istifadəsi daha mürəkkəbdir.

8. Nomoqramdan istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli.

Şəkil 1. Nomoqram

Bu, köhnə və hazırda unudulmuş kvadrat tənliklərin həlli üsuludur, kolleksiyanın 83-cü səhifəsində yerləşdirilmişdir: Bradis V.M. Dörd rəqəmli riyaziyyat cədvəlləri. - M., Təhsil, 1990.

Cədvəl XXII. Tənliyin həlli üçün nomoqramma z 2 + pz + q = 0. Bu nomoqram kvadrat tənliyi həll etmədən tənliyin köklərini onun əmsallarından təyin etməyə imkan verir.

Nomoqramın əyri xətti miqyası düsturlara uyğun olaraq qurulur (şəkil 1):

İnanmaq OS = p, ED = q, OE = a(hamısı sm ilə), Şəkil 1-dən üçbucaqların oxşarlıqları SAN Və CDF nisbətini alırıq

bu, əvəzetmələrdən və sadələşdirmələrdən sonra tənliyi verir z 2 + pz + q = 0, və məktub zəyri miqyasda istənilən nöqtənin işarəsi deməkdir.

düyü. 2 Nomoqramdan istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli

Nümunələr.

1) Tənlik üçün z 2 - 9z + 8 = 0 nomoqram kökləri z 1 = 8,0 və z 2 = 1,0 verir

Cavab: 8.0; 1.0.

2) Nomoqramdan istifadə edərək tənliyi həll edirik

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bu tənliyin əmsallarını 2-yə bölün, z 2 - 4.5z + 1 = 0 tənliyini alırıq.

Nomoqram z 1 = 4 və z 2 = 0,5 kökləri verir.

Cavab: 4; 0.5.

9. Kvadrat tənliklərin həllinin həndəsi üsulu.

Misal.X 2 + 10x = 39.

Orijinalda bu məsələ aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: "Kvadrat və on kök 39-a bərabərdir."

X tərəfi olan bir kvadrat düşünün, hər birinin digər tərəfi 2,5 olması üçün tərəflərində düzbucaqlılar qurulur, buna görə də hər birinin sahəsi 2,5x-dir. Sonra ortaya çıxan rəqəm yeni ABCD kvadratına əlavə edilir, künclərdə dörd bərabər kvadrat qurulur, hər birinin tərəfi 2,5, sahəsi isə 6,25-dir.

düyü. 3 x 2 + 10x = 39 tənliyinin həlli üçün qrafik üsul

ABCD kvadratının S sahəsi aşağıdakıların sahələrinin cəmi kimi göstərilə bilər: orijinal kvadrat x 2, dörd düzbucaqlı (4∙2,5x = 10x) və dörd əlavə kvadrat (6,25∙4 = 25), yəni. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x-i 39 rəqəmi ilə əvəz edərək, S = 39 + 25 = 64 alırıq, yəni kvadratın tərəfi ABCD-dir, yəni. seqment AB = 8. İlkin kvadratın tələb olunan x tərəfi üçün alırıq

10. Bezout teoremindən istifadə edərək tənliklərin həlli.

Bezout teoremi. P(x) polinomunun x - α binomuna bölünməsindən qalan hissə P(α)-a bərabərdir (yəni P(x)-in x = α-dakı qiyməti).

Əgər α ədədi P(x) polinomunun köküdürsə, onda bu çoxhədli x -α-ya qalıqsız bölünür.

Misal.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x)-i (x-1)-ə bölün: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, və ya x-3=0, x=3; Cavab: x1 =2, x2 =3.

Nəticə: Kvadrat tənlikləri tez və rasional həll etmək bacarığı kəsr rasional tənliklər, yüksək güc tənlikləri, bikvadrat tənliklər və orta məktəbdə triqonometrik, eksponensial və loqarifmik tənliklər kimi daha mürəkkəb tənliklərin həlli üçün vacibdir. Kvadrat tənliklərin həlli üçün tapılan bütün üsulları öyrəndikdən sonra sinif yoldaşlarımıza standart üsullara əlavə olaraq köçürmə üsulu (6) ilə həll etməyi və əmsalların (7) xassəsindən istifadə edərək tənlikləri həll etməyi tövsiyə edə bilərik, çünki onlar daha əlçatandır. anlamaq üçün.

Ədəbiyyat:

Bradis V.M. Dörd rəqəmli riyaziyyat cədvəlləri. - M., Təhsil, 1990.
Cəbr 8-ci sinif: 8-ci sinif üçün dərslik. ümumi təhsil qurumlar Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovski 15-ci nəşr, yenidən işlənmiş. - M.: Təhsil, 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Məktəbdə riyaziyyatın tarixi. Müəllimlər üçün dərslik. / Ed. V.N. Gənc. - M.: Təhsil, 1964.

Tənliklərdən istifadə həyatımızda geniş yayılmışdır. Onlar bir çox hesablamalarda, strukturların tikintisində və hətta idmanda istifadə olunur. İnsan qədim zamanlarda tənliklərdən istifadə edirdi və o vaxtdan bəri onların istifadəsi yalnız artmışdır. Diskriminant, aşağıdakı formaya malik olan ümumi düsturdan istifadə edərək istənilən kvadrat tənliyi həll etməyə imkan verir:

Diskriminant düsturu çoxhədlinin dərəcəsindən asılıdır. Yuxarıdakı düstur aşağıdakı formalı kvadrat tənliklərin həlli üçün uyğundur:

Diskriminant bilməli olduğunuz aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

* Çoxhədlinin çoxsaylı kökləri (bərabər köklər) olduqda "D" 0-dır;

* "D" çoxhədlinin köklərinə münasibətdə simmetrik çoxhədlidir və buna görə də əmsallarında çoxhədlidir; üstəlik, bu çoxhədlinin əmsalları köklərin hansı uzadılmasından asılı olmayaraq tam ədədlərdir.

Tutaq ki, bizə aşağıdakı formada kvadrat tənlik verilmişdir:

1 tənlik

Formula görə bizdə:

\ olduğundan tənliyin 2 kökü var. Onları müəyyən edək:

Diskriminant onlayn həlledicidən istifadə edərək tənliyi harada həll edə bilərəm?

Tənliyi https://site saytımızda həll edə bilərsiniz. Pulsuz onlayn həlledici hər hansı bir mürəkkəbliyin onlayn tənliklərini bir neçə saniyə ərzində həll etməyə imkan verəcəkdir. Etməli olduğunuz şey sadəcə məlumatlarınızı həllediciyə daxil etməkdir. Siz həmçinin veb saytımızda video təlimatlarına baxa və tənliyi necə həll edəcəyinizi öyrənə bilərsiniz.Və hər hansı bir sualınız varsa, onları VKontakte qrupumuzda http://vk.com/pocketteacher verə bilərsiniz. Qrupumuza qoşulun, sizə kömək etməkdən hər zaman şad olarıq.

Kvadrat tənlik məsələləri həm məktəb proqramında, həm də universitetlərdə öyrənilir. Onlar a*x^2 + b*x + c = 0 formalı tənlikləri nəzərdə tuturlar, burada x- dəyişən, a, b, c – sabitlər; a<>0 . Tapşırıq tənliyin köklərini tapmaqdır.

Kvadrat tənliyin həndəsi mənası

Kvadrat tənliklə ifadə olunan funksiyanın qrafiki paraboladır. Kvadrat tənliyin həlləri (kökləri) parabolanın absis (x) oxu ilə kəsişmə nöqtələridir. Beləliklə, üç mümkün hal var:
1) parabolanın absis oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur. Bu o deməkdir ki, budaqları yuxarı olan yuxarı müstəvidə və ya budaqları aşağı olan aşağıdır. Belə hallarda kvadrat tənliyin həqiqi kökləri yoxdur (onun iki mürəkkəb kökü var).

2) parabolanın Ox oxu ilə bir kəsişmə nöqtəsi var. Belə nöqtəyə parabolanın təpəsi deyilir və oradakı kvadrat tənlik onun minimum və ya maksimum qiymətini alır. Bu halda kvadrat tənliyin bir həqiqi kökü (və ya iki eyni kök) olur.

3) Sonuncu hal praktikada daha maraqlıdır - parabolanın absis oxu ilə kəsişməsinin iki nöqtəsi var. Bu o deməkdir ki, tənliyin iki həqiqi kökü var.

Dəyişənlərin səlahiyyətlərinin əmsallarının təhlili əsasında parabolanın yerləşdirilməsi ilə bağlı maraqlı nəticələr çıxarmaq olar.

1) a əmsalı sıfırdan böyükdürsə, parabolanın budaqları yuxarıya, mənfi olarsa, parabolanın budaqları aşağıya doğru yönəldilir.

2) Əgər b əmsalı sıfırdan böyükdürsə, onda parabolanın təpəsi sol yarımmüstəvidə, mənfi qiymət alırsa, sağda yerləşir.

Kvadrat tənliyin həlli üçün düsturun çıxarılması

Kvadrat tənlikdən sabiti köçürək

bərabər işarəsi üçün ifadəni alırıq

Hər iki tərəfi 4a ilə vurun

Solda tam kvadrat əldə etmək üçün hər iki tərəfə b^2 əlavə edin və çevrilməni həyata keçirin

Buradan tapırıq

Kvadrat tənliyin diskriminantı və kökləri üçün düstur

Diskriminant radikal ifadənin qiymətidir, əgər müsbətdirsə, onda tənliyin düsturla hesablanmış iki həqiqi kökü olur. Diskriminant sıfır olduqda, kvadrat tənliyin bir həlli (iki üst-üstə düşən kök) olur ki, onu yuxarıdakı D=0 düsturundan asanlıqla əldə etmək olar.Diskriminant mənfi olduqda, tənliyin həqiqi kökləri yoxdur. Bununla belə, kvadrat tənliyin həlli kompleks müstəvidə tapılır və onların dəyəri düsturdan istifadə etməklə hesablanır.

Vyeta teoremi

Kvadrat tənliyin iki kökünü nəzərdən keçirək və onların əsasında kvadrat tənlik quraq.Vyeta teoreminin özü qeyddən asanlıqla belə çıxır: əgər formanın kvadrat tənliyi olarsa onda onun köklərinin cəmi əks işarə ilə alınan p əmsalına, tənliyin köklərinin hasili isə sərbəst q müddətinə bərabərdir. Yuxarıdakıların düstur şəklində təqdimatı belə görünəcək: Əgər klassik tənlikdə a sabiti sıfırdan fərqlidirsə, onda bütün tənliyi ona bölmək və sonra Vyeta teoremini tətbiq etmək lazımdır.

Faktorinq kvadrat tənlik cədvəli

Tapşırıq qoyulsun: kvadrat tənliyi əmsallayın. Bunun üçün əvvəlcə tənliyi həll edirik (kökləri tapırıq). Sonra tapılmış kökləri kvadrat tənliyin genişləndirmə düsturunda əvəz edirik.Bu, problemi həll edəcək.

Kvadrat tənlik məsələləri

Tapşırıq 1. Kvadrat tənliyin köklərini tapın

x^2-26x+120=0 .

Həlli: Əmsalları yazın və onları diskriminant düsturunda əvəz edin

Bu dəyərin kökü 14-dür, onu bir kalkulyatorla tapmaq asandır və ya tez-tez istifadə edərək xatırlamaq olar, lakin rahatlıq üçün məqalənin sonunda sizə tez-tez rast gəlinə bilən nömrələrin kvadratlarının siyahısını verəcəyəm. kimi problemlər.
Tapılan dəyəri kök düsturuna əvəz edirik

və alırıq

Tapşırıq 2. Tənliyi həll edin

2x 2 +x-3=0.

Həlli: Tam kvadrat tənliyimiz var, əmsalları yazın və diskriminantı tapın

Məlum düsturlardan istifadə edərək kvadrat tənliyin köklərini tapırıq

Tapşırıq 3. Tənliyi həll edin

9x 2 -12x+4=0.

Həlli: Tam kvadrat tənliyimiz var. Diskriminantın müəyyən edilməsi

Köklərin üst-üstə düşdüyü bir vəziyyətimiz var. Düsturdan istifadə edərək köklərin dəyərlərini tapın

Tapşırıq 4. Tənliyi həll edin

x^2+x-6=0 .

Həlli: x üçün kiçik əmsalların olduğu hallarda Vyeta teoremini tətbiq etmək məsləhətdir. Şərtinə görə iki tənlik əldə edirik

İkinci şərtdən hasilin -6-ya bərabər olması lazım olduğunu görürük. Bu o deməkdir ki, köklərdən biri mənfidir. Aşağıdakı mümkün həll yollarımız var (-3;2), (3;-2) . Birinci şərti nəzərə alaraq, ikinci həll cütünü rədd edirik.
Tənliyin kökləri bərabərdir

Məsələ 5. Perimetri 18 sm, sahəsi 77 sm 2 olan düzbucaqlının tərəflərinin uzunluqlarını tapın.

Həlli: Düzbucaqlının perimetrinin yarısı onun bitişik tərəflərinin cəminə bərabərdir. X-i böyük tərəf kimi qeyd edək, onda 18-x onun kiçik tərəfidir. Düzbucaqlının sahəsi bu uzunluqların məhsuluna bərabərdir:
x(18-x)=77;
və ya
x 2 -18x+77=0.
Tənliyin diskriminantını tapaq

Tənliyin köklərinin hesablanması

Əgər x=11, Bu 18 = 7 , bunun əksi də doğrudur (x=7 olarsa, 21-lər=9).

Məsələ 6. 10x 2 -11x+3=0 kvadrat tənliyini əmsal edin.

Həlli: Gəlin tənliyin köklərini hesablayaq, bunun üçün diskriminant tapırıq

Tapılan dəyəri kök düsturunda əvəz edirik və hesablayırıq

Kvadrat tənliyi köklərə görə parçalamaq üçün düstur tətbiq edirik

Mötərizələri açaraq şəxsiyyət əldə edirik.

Parametrli kvadrat tənlik

Nümunə 1. Hansı parametr qiymətlərində A ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 tənliyinin bir kökü varmı?

Həlli: a=3 qiymətini birbaşa əvəz etməklə onun həlli olmadığını görürük. Sonra, sıfır diskriminantla tənliyin 2 çoxluğun bir kökü olması faktından istifadə edəcəyik. Diskriminantı yazaq

Gəlin onu sadələşdirək və sıfıra bərabərləşdirək

a parametri ilə bağlı kvadratik tənlik əldə etdik ki, onun həlli Vyeta teoremindən istifadə etməklə asanlıqla əldə edilə bilər. Köklərin cəmi 7, hasili isə 12-dir. Sadə axtarışla müəyyən edirik ki, 3,4 rəqəmləri tənliyin kökləri olacaqdır. Hesablamaların əvvəlində a=3 həllini artıq rədd etdiyimiz üçün yeganə düzgün olanı - a=4. Beləliklə, a=4 üçün tənliyin bir kökü var.

Misal 2. Hansı parametr qiymətlərində A , tənlik a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 birdən çox kök var?

Həlli: Əvvəlcə tək nöqtələri nəzərdən keçirək, onlar a=0 və a=-3 qiymətləri olacaq. a=0 olduqda, tənlik 6x-9=0 formasına sadələşdiriləcək; x=3/2 və bir kök olacaq. a= -3 üçün 0=0 eyniliyini alırıq.
Diskriminantı hesablayaq

və müsbət olduğu a-nın qiymətini tapın

Birinci şərtdən a>3 alırıq. İkincisi üçün tənliyin diskriminantını və köklərini tapırıq

Funksiyanın müsbət qiymətlər aldığı intervalları müəyyən edək. a=0 nöqtəsini əvəz etməklə əldə edirik 3>0 . Deməli, (-3;1/3) intervalından kənar funksiya mənfidir. Nöqtəni unutma a=0, orijinal tənliyin bir kökü olduğu üçün bu istisna edilməlidir.
Nəticədə problemin şərtlərini ödəyən iki interval əldə edirik

Praktikada bir çox oxşar tapşırıqlar olacaq, tapşırıqları özünüz anlamağa çalışın və bir-birini istisna edən şərtləri nəzərə almağı unutmayın. Kvadrat tənliklərin həlli üçün düsturları yaxşı öyrənin, onlar tez-tez müxtəlif məsələlərdə və elmlərdə hesablamalarda lazım olur.

Natamam kvadrat tənlik klassik (tam) tənliklərdən onun amillərinin və ya sərbəst müddətinin sıfıra bərabər olması ilə fərqlənir. Belə funksiyaların qrafikləri parabolalardır. Ümumi görünüşünə görə 3 qrupa bölünürlər. Bütün növ tənliklər üçün həll prinsipləri eynidir.

Natamam çoxhədlinin növünü təyin etməkdə mürəkkəb bir şey yoxdur. Vizual nümunələrdən istifadə edərək əsas fərqləri nəzərdən keçirmək daha yaxşıdır:

Əgər b = 0 olarsa, onda tənlik ax 2 + c = 0 olar.
Əgər c = 0 olarsa, onda ax 2 + bx = 0 ifadəsi həll edilməlidir.
Əgər b = 0 və c = 0 olarsa, çoxhədli ax 2 = 0 kimi bərabərliyə çevrilir.

Sonuncu hal daha çox nəzəri imkandır və biliyin yoxlanılması tapşırıqlarında heç vaxt baş vermir, çünki ifadədəki x dəyişəninin yeganə düzgün qiyməti sıfırdır. Gələcəkdə 1) və 2) tipli natamam kvadrat tənliklərin həlli üsulları və nümunələri nəzərdən keçiriləcək.

Dəyişənlərin axtarışı üçün ümumi alqoritm və həlləri olan nümunələr

Tənliyin növündən asılı olmayaraq, həll alqoritmi aşağıdakı addımlara endirilir:

İfadəni kökləri tapmaq üçün əlverişli formaya endirin.
Hesablamalar aparın.
Cavabı yazın.

Natamam tənlikləri həll etməyin ən asan yolu sol tərəfi faktorlara ayırmaq və sağda sıfır qoymaqdır. Beləliklə, kökləri tapmaq üçün natamam kvadrat tənliyin düsturu amillərin hər biri üçün x-in qiymətinin hesablanmasına endirilir.

Siz bunu yalnız təcrübə vasitəsilə necə həll edəcəyinizi öyrənə bilərsiniz, ona görə də natamam tənliyin köklərini tapmaq üçün konkret bir nümunə nəzərdən keçirək:

Gördüyünüz kimi, bu halda b = 0. Sol tərəfi faktorlara ayıraq və ifadəni alaq:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Aydındır ki, amillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir. Dəyişən x1 = 0,5 və (və ya) x2 = -0,5 dəyərləri oxşar tələblərə cavab verir.

Kvadrat trinomial faktorinq probleminin öhdəsindən asanlıqla və tez bir zamanda çıxmaq üçün aşağıdakı düsturu yadda saxlamalısınız:

İfadədə sərbəst termin yoxdursa, problem xeyli sadələşir. Sadəcə ortaq məxrəci tapmaq və mötərizə etmək kifayətdir. Aydınlıq üçün ax2 + bx = 0 formasının natamam kvadratik tənliklərinin həlli nümunəsinə nəzər salın.

Gəlin x dəyişənini mötərizədən çıxaraq və aşağıdakı ifadəni alaq:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Məntiqi rəhbər tutaraq belə nəticəyə gəlirik ki, x1 = 0, x2 = -3.

Ənənəvi həll üsulu və natamam kvadrat tənliklər

Diskriminant düsturunu tətbiq etsəniz və əmsalları sıfıra bərabər olan çoxhədlinin köklərini tapmağa çalışsanız nə olar? Riyaziyyatdan 2017-ci ildə Vahid Dövlət İmtahanı üçün standart tapşırıqlar toplusundan bir nümunə götürək, standart düsturlar və faktorizasiya metodundan istifadə edərək həll edək.

7x 2 – 3x = 0.

Diskriminant qiymətini hesablayaq: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Məlum olur ki, çoxhədlinin iki kökü var:

İndi tənliyi faktorinq üsulu ilə həll edək və nəticələri müqayisə edək.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Gördüyünüz kimi, hər iki üsul eyni nəticə verir, lakin ikinci üsuldan istifadə edərək tənliyi həll etmək çox asan və daha sürətli oldu.

Vyeta teoremi

Bəs Vyetanın sevimli teoremi ilə nə etmək lazımdır? Bu üsul trinomial natamam olduqda istifadə edilə bilərmi? Natamam tənliklərin klassik ax2 + bx + c = 0 formasına gətirilməsinin tərəflərini anlamağa çalışaq.

Əslində bu halda Vyeta teoremini tətbiq etmək olar. Yalnız itkin şərtləri sıfırla əvəz edərək ifadəni ümumi formaya gətirmək lazımdır.

Məsələn, b = 0 və a = 1 olduqda, çaşqınlıq ehtimalını aradan qaldırmaq üçün tapşırıq aşağıdakı formada yazılmalıdır: ax2 + 0 + c = 0. Sonra köklərin cəmi və hasilinin nisbəti və polinomun amilləri aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:

Nəzəri hesablamalar məsələnin mahiyyəti ilə tanış olmağa kömək edir, konkret məsələlərin həlli zamanı həmişə bacarıqların inkişaf etdirilməsini tələb edir. Yenidən Vahid Dövlət İmtahanı üçün standart tapşırıqların arayış kitabına müraciət edək və uyğun bir nümunə tapaq:

İfadəni Vyeta teoreminin tətbiqi üçün əlverişli formada yazaq:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Növbəti addım şərait sistemi yaratmaqdır:

Aydındır ki, kvadrat çoxhədlinin kökləri x 1 = 4 və x 2 = -4 olacaqdır.

İndi isə tənliyi ümumi formaya gətirməyə məşq edək. Aşağıdakı misalı götürək: 1/4× x 2 – 1 = 0

Vyeta teoremini ifadəyə tətbiq etmək üçün kəsirdən xilas olmaq lazımdır. Sol və sağ tərəfləri 4-ə vuraq və nəticəyə baxaq: x2– 4 = 0. Nəticə bərabərliyi Vyeta teoremi ilə həll olunmağa hazırdır, lakin c =-ni sadəcə hərəkət etdirməklə cavabı almaq çox asan və tezdir. Tənliyin sağ tərəfinə 4: x2 = 4.

Ümumiləşdirsək, natamam tənlikləri həll etməyin ən yaxşı yolu faktorizasiyadır ki, bu da ən sadə və sürətli üsuldur. Kökləri axtarmaq prosesində çətinliklər yaranarsa, diskriminant vasitəsilə kök tapmaq üçün ənənəvi üsula müraciət edə bilərsiniz.

Sadəcə. Düsturlara və aydın, sadə qaydalara görə. Birinci mərhələdə

verilmiş tənliyi standart formaya gətirmək lazımdır, yəni. formaya:

Əgər tənlik artıq bu formada sizə verilibsə, birinci mərhələni yerinə yetirmək lazım deyil. Ən əsası bunu düzgün etməkdir

bütün əmsalları təyin etmək, A, b Və c.

Kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün düstur.

Kök işarəsinin altındakı ifadə deyilir diskriminant . Gördüyünüz kimi, X tapmaq üçün biz

istifadə edirik yalnız a, b və c. Bunlar. dan əmsallar kvadrat tənlik. Sadəcə diqqətlə daxil edin

dəyərlər a, b və c Bu düsturla hesablayırıq. ilə əvəz edirik onlarınəlamətlər!

Misal üçün, tənlikdə:

A =1; b = 3; c = -4.

Dəyərləri əvəz edirik və yazırıq:

Məsələn, demək olar ki, həll edildi:

Bu cavabdır.

Ən çox görülən səhvlər işarə dəyərləri ilə qarışıqlıqdır a, b Və ilə. Daha doğrusu, əvəzetmə ilə

mənfi dəyərləri köklərin hesablanması düsturuna daxil edin. Düsturun ətraflı qeydi burada köməyə gəlir

xüsusi nömrələrlə. Hesablamalarda probleminiz varsa, bunu edin!

Tutaq ki, aşağıdakı nümunəni həll etməliyik:

Burada a = -6; b = -5; c = -1

Biz hər şeyi ətraflı, diqqətlə, heç nəyi əskik etmədən bütün işarələr və mötərizələr ilə təsvir edirik:

Kvadrat tənliklər çox vaxt bir az fərqli görünür. Məsələn, bu kimi:

İndi səhvlərin sayını kəskin şəkildə azaldan praktiki üsullara diqqət yetirin.

İlk görüş. Əvvəl tənbəl olmayın kvadrat tənliyin həlli standart formaya gətirin.

Bu nə deməkdir?

Deyək ki, bütün çevrilmələrdən sonra aşağıdakı tənliyi əldə edirsiniz:

Kök düsturunu yazmağa tələsməyin! Siz demək olar ki, ehtimalları qarışdıracaqsınız a, b və c.

Nümunəni düzgün qurun. Əvvəlcə X kvadratı, sonra kvadratsız, sonra sərbəst termin. Bunun kimi:

Minusdan qurtulun. Necə? Bütün tənliyi -1-ə vurmalıyıq. Biz əldə edirik:

Ancaq indi köklər üçün düsturları etibarlı şəkildə yaza, diskriminantı hesablaya və nümunəni həll edə bilərsiniz.

Özünüz qərar verin. İndi 2 və -1 kökləriniz olmalıdır.

İkinci qəbul. Kökləri yoxlayın! By Vyeta teoremi.

Verilmiş kvadrat tənlikləri həll etmək üçün, yəni. əmsalı olarsa

x 2 +bx+c=0,

Sonrax 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Tam kvadrat tənlik üçün a≠1:

x 2 +bx+c=0,

bütün tənliyi bölün A:

→ →

Harada x 1 Və x 2 - tənliyin kökləri.

Üçüncü qəbul. Əgər tənliyinizdə kəsr əmsalları varsa, kəsrlərdən xilas olun! Çoxalmaq

ortaq məxrəcli tənlik.

Nəticə. Praktik məsləhətlər:

1. Həll etməzdən əvvəl kvadrat tənliyi standart formaya gətiririk və qururuq Sağ.

2. X kvadratının qarşısında mənfi əmsal varsa, hər şeyi çarparaq onu aradan qaldırırıq

-1 ilə tənliklər.

3. Əgər əmsallar kəsrlidirsə, bütün tənliyi uyğun olana vuraraq kəsrləri aradan qaldırırıq.

amil.

4. Əgər x kvadratı təmizdirsə, onun əmsalı birə bərabərdirsə, həll asanlıqla yoxlanıla bilər