Müxtəlif məxrəcli sadə kəsrlərin vurulması qaydası. Kəsrlərin vurulması, kəsrlərin bölünməsi
Orta və ali məktəb kursunda şagirdlər “Kəsrlər” mövzusunu öyrəndilər. Lakin bu anlayış təlim prosesində veriləndən daha genişdir. Bu gün kəsr anlayışına kifayət qədər tez-tez rast gəlinir və hər kəs hər hansı bir ifadəni hesablaya bilmir, məsələn, kəsrləri vurmaq.
Kəsr nədir?
Tarixən elə oldu ki, kəsr ədədləri ölçmək zərurətindən yaranıb. Təcrübə göstərir ki, bir seqmentin uzunluğunu, düzbucaqlı düzbucağın həcmini təyin etmək üçün tez-tez nümunələr var.
Əvvəlcə tələbələrə pay kimi bir anlayış təqdim olunur. Məsələn, bir qarpızı 8 hissəyə bölsəniz, hər biri qarpızın səkkizdə birini alacaq. Bu səkkizin bir hissəsi pay adlanır.
İstənilən dəyərin ½ hissəsinə bərabər pay yarım adlanır; ⅓ - üçüncü; ¼ - dörddə bir. 5/8, 4/5, 2/4 kimi qeydlərə ümumi fraksiyalar deyilir. Adi kəsr paya və məxrəcə bölünür. Onların arasında kəsr xətti və ya kəsr xətti var. Kəsr çubuq üfüqi və ya maili xətt kimi çəkilə bilər. Bu vəziyyətdə, bölmə işarəsini ifadə edir.
Məxrəc dəyərin, obyektin neçə bərabər paya bölündüyünü ifadə edir; sayı isə neçə bərabər pay alındığıdır. Paylayıcı kəsr zolağının üstündə, məxrəc isə onun altında yazılır.
Adi fraksiyaları göstərmək ən əlverişlidir koordinat şüası. Bir seqment 4 bərabər hissəyə bölünürsə, hər bir hissə Latın hərfi ilə işarələnir, nəticədə əla nəticə əldə edə bilərsiniz. vizual material. Beləliklə, A nöqtəsi bütün vahid seqmentin 1/4 hissəsinə bərabər payı göstərir və B nöqtəsi bu seqmentin 2/8 hissəsini göstərir.
Fraksiyaların növləri
Kəsrlər ümumi, onluq və qarışıq ədədlərdir. Bundan əlavə, fraksiyaları düzgün və düzgün olmayana bölmək olar. Bu təsnifat adi fraksiyalar üçün daha uyğundur.
Düzgün kəsr, payı məxrəcdən kiçik olan ədəddir. Müvafiq olaraq, düzgün olmayan kəsr, payı məxrəcdən böyük olan ədəddir. İkinci növ adətən qarışıq ədəd kimi yazılır. Belə bir ifadə tam hissədən və kəsr hissədən ibarətdir. Məsələn, 1½. 1 - tam hissə, ½ - kəsr. Bununla belə, ifadə ilə bəzi manipulyasiyalar etmək lazımdırsa (kəsrləri bölmək və ya çoxaltmaq, onları azaltmaq və ya çevirmək), qarışıq nömrə tərcümə olunur. düzgün olmayan fraksiya.
düzgün kəsr ifadəsi həmişə birdən kiçikdir və səhv həmişə 1-dən böyük və ya bərabərdir.
Bu ifadəyə gəlincə, onlar hər hansı bir ədədin təmsil olunduğu, kəsr ifadəsinin məxrəcini bir neçə sıfırla bir vasitəsilə ifadə edilə bilən qeydi başa düşürlər. Kəsr düzgündürsə, ondalıq qeyddəki tam hissə sıfır olacaqdır.
Onluğu yazmaq üçün əvvəlcə tam hissəni yazmalı, onu kəsrdən vergüllə ayırmalı və sonra kəsr ifadəsini yazmalısınız. Yadda saxlamaq lazımdır ki, vergüldən sonra paylayıcıda məxrəcdə sıfırların sayı qədər ədədi simvol olmalıdır.
Misal. 7 21 / 1000 kəsrini onluq qeyddə təmsil edin.
Düzgün olmayan kəsri qarışıq ədədə və əksinə çevirmə alqoritmi
Məsələnin cavabında düzgün olmayan kəsri yazmaq düzgün deyil, ona görə də onu qarışıq ədədə çevirmək lazımdır:
- payı mövcud məxrəcə bölmək;
- konkret misalda natamam əmsal tam ədəddir;
- qalıq isə kəsr hissəsinin payıdır, məxrəc dəyişməz qalır.
Misal. Yanlış kəsri qarışıq ədədə çevirin: 47/5 .
Həll. 47: 5. Natamam hissə 9, qalıq = 2. Deməli, 47/5 = 9 2/5.
Bəzən qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsr kimi göstərmək lazımdır. Sonra aşağıdakı alqoritmdən istifadə etməlisiniz:
- tam hissə kəsr ifadəsinin məxrəci ilə vurulur;
- nəticədə alınan məhsul paylayıcıya əlavə olunur;
- nəticə payda yazılır, məxrəc dəyişməz qalır.
Misal. Ədədi qarışıq formada yanlış kəsr kimi ifadə edin: 9 8 / 10 .
Həll. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ədəddir.
Cavab verin: 98 / 10.
Adi kəsrlərin vurulması
Adi kəsrlər üzərində müxtəlif cəbri əməliyyatlar yerinə yetirə bilərsiniz. İki ədədi çoxaltmaq üçün payı payla, məxrəci isə məxrəcə vurmaq lazımdır. Üstəlik, fraksiyaların vurulması ilə müxtəlif məxrəclər məxrəcləri eyni olan kəsr ədədlərinin hasilindən fərqlənmir.
Belə olur ki, nəticəni tapdıqdan sonra fraksiyanı azaltmaq lazımdır. AT uğursuz olmadan ortaya çıxan ifadə mümkün qədər sadələşdirilməlidir. Əlbəttə ki, cavabda düzgün olmayan kəsrin səhv olduğunu söyləmək olmaz, lakin onu düzgün cavab adlandırmaq da çətindir.
Misal. İki adi kəsrin hasilini tapın: ½ və 20/18.
Nümunədən göründüyü kimi, hasil tapıldıqdan sonra azaldıla bilən kəsr yazısı alınır. Bu vəziyyətdə həm say, həm də məxrəc 4-ə bölünür və nəticə 5/9 cavabıdır.
Onluq kəsrlərin vurulması
Onluq kəsrlərin hasili öz prinsipinə görə adi kəsrlərin hasilindən xeyli fərqlənir. Beləliklə, kəsrlərin çarpılması aşağıdakı kimidir:
- iki onluq kəsr bir-birinin altına yazılmalıdır ki, ən sağdakı rəqəmlər biri digərinin altında olsun;
- vergüllərə baxmayaraq, yazılı rəqəmləri, yəni natural ədədlər kimi vurmaq lazımdır;
- rəqəmlərin hər birində vergüldən sonrakı rəqəmlərin sayını hesablayın;
- vurmadan sonra əldə edilən nəticədə, ondalık nöqtədən sonra hər iki amildə cəmdə olduğu qədər sağdakı rəqəmsal simvolları saymalı və ayırıcı işarə qoymalısınız;
- məhsulda daha az rəqəm varsa, bu rəqəmi əhatə etmək üçün onların qarşısına o qədər sıfır yazılmalı, vergül qoyulmalı və sıfıra bərabər tam hissə təyin edilməlidir.
Misal. İki onluqların hasilini hesablayın: 2.25 və 3.6.
Həll.
Qarışıq fraksiyaların vurulması
İki qarışıq fraksiyanın məhsulunu hesablamaq üçün fraksiyaları vurma qaydasından istifadə etməlisiniz:
- qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək;
- ədədlərin hasilini tapın;
- məxrəclərin hasilini tapın;
- nəticəni yazın;
- ifadəni mümkün qədər sadələşdirin.
Misal. 4½ və 6 2/5-in hasilini tapın.
Ədədin kəsrə vurulması (kəsirin ədədə)
İki fraksiya, qarışıq ədədlərin məhsulunu tapmaqdan əlavə, bir kəsrlə çoxaltmaq lazım olan tapşırıqlar var.
Beləliklə, iş tapmaq üçün onluq kəsr və natural ədəd üçün sizə lazımdır:
- rəqəmi kəsrin altına yazın ki, ən sağdakı rəqəmlər bir-birinin üstündə olsun;
- vergül olmasına baxmayaraq işi tapın;
- əldə edilən nəticədə kəsrdəki onluq nöqtədən sonra olan simvolların sayını sağa doğru sayaraq vergüldən istifadə edərək tam hissəni kəsr hissədən ayırın.
Adi bir kəsri ədədə vurmaq üçün say və natural amilin məhsulunu tapmaq lazımdır. Cavab azalan kəsrdirsə, çevrilməlidir.
Misal. 5/8 və 12-nin məhsulunu hesablayın.
Həll. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Cavab verin: 7 1 / 2.
Əvvəlki misaldan da göründüyü kimi, yaranan nəticəni azaltmaq və səhv kəsr ifadəsini qarışıq ədədə çevirmək lazım idi.
Həmçinin kəsrlərin vurulması ədədin qarışıq formada hasilini və natural amil tapmağa da aiddir. Bu iki ədədi çoxaltmaq üçün qarışıq amilin tam hissəsini ədədə vurmalı, payı eyni qiymətə vurmalı və məxrəci dəyişməz qoymalısınız. Lazım gələrsə, nəticəni mümkün qədər sadələşdirməlisiniz.
Misal. 9 5/6 və 9-un hasilini tapın.
Həll. 9 5/6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2.
Cavab verin: 88 1 / 2.
10, 100, 1000 və ya 0,1 faktorları ilə vurma; 0,01; 0.001
Aşağıdakı qayda əvvəlki bənddən irəli gəlir. Onluq kəsri 10, 100, 1000, 10000 və s.-ə vurmaq üçün vergülü sağa, çarpanda birdən sonra nə qədər sıfır varsa, o qədər rəqəm simvoluna köçürmək lazımdır.
Misal 1. 0,065 və 1000-in hasilini tapın.
Həll. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Cavab verin: 65.
Misal 2. 3.9 və 1000-in hasilini tapın.
Həll. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Cavab verin: 3900.
Çoxaltmaq lazımdırsa natural ədəd və 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001 və s., birdən əvvəl sıfırlar varsa, nəticədə alınan məhsulda vergülü sola köçürməlisiniz. Lazım gələrsə, natural ədədin qarşısına kifayət qədər sayda sıfır yazılır.
Misal 1. 56 və 0,01-in hasilini tapın.
Həll. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Cavab verin: 0,56.
Misal 2. 4 və 0,001-in hasilini tapın.
Həll. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Cavab verin: 0,004.
Beləliklə, müxtəlif fraksiyaların məhsulunu tapmaq, bəlkə də nəticənin hesablanması istisna olmaqla, çətinlik yaratmamalıdır; Bu vəziyyətdə, kalkulyator olmadan sadəcə edə bilməzsiniz.
Dərsin məzmunuMəxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi
Kəsrlərin əlavə edilməsi iki növdür:
- Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi
- Fərqli məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi
Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etməklə başlayaq. Burada hər şey sadədir. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli və məxrəci dəyişməz qoymalısınız. Məsələn, kəsrləri əlavə edək və. Sayları əlavə edirik və məxrəci dəyişmədən qoyuruq:
Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:
Misal 2 Kəsrləri əlavə edin və .
Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Tapşırığın sonu gəlirsə, o zaman düzgün olmayan fraksiyalardan qurtulmaq adətdir. Düzgün olmayan bir fraksiyadan qurtulmaq üçün içindəki bütün hissəni seçməlisiniz. Bizim vəziyyətimizdə tam hissə asanlıqla ayrılır - iki ikiyə bölünən birə bərabərdir:
İki hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, bir tam pizza alırsınız:
Misal 3. Kəsrləri əlavə edin və .
Yenə sayları əlavə edin və məxrəci dəyişmədən qoyun:
Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:
Misal 4İfadənin qiymətini tapın 
Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Saylar əlavə edilməli və məxrəc dəyişmədən qalmalıdır:
Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz və daha çox pizza əlavə etsəniz, 1 tam pizza və daha çox pizza alacaqsınız.
Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi çətin deyil. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:
- Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli, məxrəci isə dəyişməz qoymalısınız;
Fərqli məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi
İndi biz müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri necə əlavə etməyi öyrənəcəyik. Kəsrləri toplayanda həmin kəsrlərin məxrəcləri eyni olmalıdır. Ancaq onlar həmişə eyni deyil.
Məsələn, kəsrlər də olduğu üçün əlavə edilə bilər eyni məxrəclər.
Amma kəsrləri birdən toplamaq olmaz, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.
Kəsrləri eyni məxrəcə endirməyin bir neçə yolu var. Bu gün onlardan yalnız birini nəzərdən keçirəcəyik, çünki qalan üsullar bir başlanğıc üçün mürəkkəb görünə bilər.
Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, hər iki fraksiyanın məxrəclərinin birincisi (LCM) axtarılır. Sonra LCM birinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və birinci əlavə amil alınır. Onlar ikinci fraksiya ilə də eyni şeyi edirlər - LCM ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci əlavə amil alınır.
Sonra kəsrlərin say və məxrəcləri onların əlavə əmsallarına vurulur. Bu hərəkətlər nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi bilirik.
Misal 1. Kəsrləri əlavə edin və
Hər şeydən əvvəl hər iki fraksiyanın məxrəclərinin ən kiçik ortaq qatını tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 6-dır.
LCM (2 və 3) = 6
İndi kəsrlərə və . Əvvəlcə LCM-ni birinci fraksiyanın məxrəcinə bölürük və birinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, birinci fraksiyanın məxrəci isə 3 rəqəmidir. 6-nı 3-ə bölün, 2-ni alırıq.
Nəticədə çıxan 2 rəqəmi ilk əlavə amildir. Onu birinci kəsrə yazırıq. Bunu etmək üçün fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və onun üstündə tapılan əlavə faktoru yazırıq:
İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük və ikinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, ikinci fraksiyanın məxrəci isə 2 rəqəmidir. 6-nı 2-yə bölün, 3-ü alırıq.
Nəticədə çıxan 3 rəqəmi ikinci əlavə amildir. İkinci kəsrə yazırıq. Yenə ikinci fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və tapılan əlavə faktoru onun üstünə yazırıq:
İndi hamımız əlavə etməyə hazırıq. Fraksiyaların say və məxrəclərini əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:
Nəyə gəldiyimizə diqqətlə baxın. Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:
Beləliklə, nümunə bitir. Əlavə etmək üçün belə çıxır.
Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz, bir bütöv pizza və altıda bir pizza alırsınız:
Kəsrin eyni (ümumi) məxrəcə endirilməsi də şəkil vasitəsilə təsvir edilə bilər. Kəsrləri və ortaq məxrəcə gətirərək, kəsrləri və . Bu iki fraksiya eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq. Yeganə fərq onda olacaq ki, bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır).
Birinci rəsmdə bir kəsr (altıdan dörd ədəd), ikinci şəkildə isə bir kəsr (altıdan üç ədəd) göstərilir. Bu parçaları bir araya gətirərək alırıq (altıdan yeddi ədəd). Bu kəsr səhvdir, ona görə də biz onda tam hissəni vurğuladıq. Nəticə (bir bütöv pizza və digər altıncı pizza) oldu.
Qeyd edək ki, biz bu nümunəni çox təfərrüatlı şəkildə çəkmişik. AT təhsil müəssisələri belə təfərrüatlı şəkildə yazmaq adət deyil. Həm məxrəclərin, həm də onlara əlavə amillərin LCM-ni tez tapmağı bacarmalı, həmçinin say və məxrəcləriniz tərəfindən tapılan əlavə amilləri tez çoxaltmalısınız. Məktəbdə olarkən bu nümunəni aşağıdakı kimi yazmalı olardıq:
Amma bir də var arxa tərəf medallar. Riyaziyyatın öyrənilməsinin ilk mərhələlərində ətraflı qeydlər aparılmırsa, bu cür suallar “Bu rəqəm haradan gəlir?”, “Niyə kəsrlər birdən-birə tamamilə fərqli kəsrlərə çevrilir? «.
Fərqli məxrəcləri olan fraksiyaları əlavə etməyi asanlaşdırmaq üçün aşağıdakı addım-addım təlimatlardan istifadə edə bilərsiniz:
- Kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın;
- LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın;
- Kəsrlərin say və məxrəclərini əlavə əmsallarına vurmaq;
- Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin;
- Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini seçin;
Misal 2İfadənin qiymətini tapın 
.
Yuxarıdakı təlimatlardan istifadə edək.
Addım 1. Kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın
Hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Kəsrin məxrəcləri 2, 3 və 4 rəqəmləridir
Addım 2. LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın
LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmidir, birinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. 12-ni 2-yə bölün, 6-nı alırıq. İlk əlavə amil 6-nı aldıq. Birinci kəsrin üzərinə yazırıq:
İndi LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmidir, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölsək, 4-ü alırıq. İkinci əlavə amil 4-ü aldıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:
İndi LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. Üçüncü əlavə amil 3-ü aldıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:
Addım 3. Kəsrlərin say və məxrəclərini əlavə amillərinizə vurun
Sayları və məxrəcləri əlavə amillərlə çarpırıq:
Addım 4. Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin
Bu qənaətə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Bu fraksiyaları əlavə etmək qalır. Əlavə edin:
Əlavə bir sətirə sığmadı, ona görə də qalan ifadəni növbəti sətirə keçirdik. Riyaziyyatda buna icazə verilir. İfadə bir sətirə sığmayanda növbəti sətirə keçirilir və birinci sətrin sonunda və yeni sətrin əvvəlində bərabərlik işarəsi (=) qoymaq lazımdır. İkinci sətirdəki bərabər işarəsi bunun birinci sətirdəki ifadənin davamı olduğunu göstərir.
Addım 5. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçin
Cavabımız düzgün olmayan kəsrdir. Biz onun bütün hissəsini ayırmalıyıq. Biz vurğulayırıq:
Cavab aldım
Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması
Kəsirin çıxmasının iki növü var:
- Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması
- Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması
Əvvəlcə eyni məxrəcli kəsrləri necə çıxarmağı öyrənək. Burada hər şey sadədir. Bir kəsrdən digərini çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymaq lazımdır.
Məsələn, ifadənin qiymətini tapaq. Bu misalı həll etmək üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxmaq, məxrəci isə dəyişməz qoymaq lazımdır. Gəlin, bunu edək:
Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:
Misal 2İfadənin qiymətini tapın.
Yenə birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarın və məxrəci dəyişməz qoyun:
Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:
Misal 3İfadənin qiymətini tapın 
Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Birinci kəsrin sayından, qalan fraksiyaların saylarını çıxarmaq lazımdır:
Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrləri çıxarmaqda mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:
- Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır;
- Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.
Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması
Məsələn, bir kəsr kəsrdən çıxıla bilər, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri eynidir. Lakin kəsrdən kəsri çıxmaq olmaz, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.
Ümumi məxrəc fərqli məxrəcli kəsrləri toplayanda istifadə etdiyimiz eyni prinsipə əsasən tapılır. Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci kəsrin üzərinə yazılan birinci əlavə amil alınır. Eynilə, LCM ikinci kəsrin məxrəcinə bölünür və ikinci kəsrin üzərinə yazılan ikinci əlavə amil alınır.
Sonra kəsrlər əlavə amillərlə vurulur. Bu əməliyyatlar nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik.
Misal 1İfadənin qiymətini tapın:
Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.
Əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin LCM-ni tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 12-dir.
LCM (3 və 4) = 12
İndi fraksiyalara və
Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. Bunun üçün LCM-ni birinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölün, 4-ü alırıq. Dördü birinci kəsrin üzərinə yazırıq:
İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. İkinci kəsrin üzərinə üçqat yazın:
İndi hamımız çıxmaq üçün hazırıq. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:
Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:
Cavab aldım
Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız.
Bu, həllin ətraflı versiyasıdır. Məktəbdə olduğumuz üçün bu nümunəni daha qısa şəkildə həll etməli olardıq. Belə bir həll belə görünür:
Kəsrin və ortaq məxrəcə endirilməsi də bir şəkildə təsvir edilə bilər. Bu kəsrləri ortaq məxrəcə gətirərək və kəsrləri alırıq. Bu fraksiyalar eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq, lakin bu dəfə onlar eyni fraksiyalara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır):
Birinci rəsmdə bir kəsr (on ikidən səkkiz ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (on ikidən üç ədəd) göstərilir. Səkkiz parçadan üç parça kəsərək, on iki parçadan beş parça alırıq. Fraksiya bu beş parçanı təsvir edir.
Misal 2İfadənin qiymətini tapın 
Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də əvvəlcə onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.
Bu kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın.
Kəsrin məxrəcləri 10, 3 və 5 ədədləridir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 30-dur.
LCM(10, 3, 5) = 30
İndi hər kəsr üçün əlavə amillər tapırıq. Bunun üçün LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölürük.
Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. LCM 30 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 10 rəqəmidir. 30-u 10-a bölün, ilk əlavə 3 əmsalı alırıq. Birinci kəsrin üzərinə yazırıq:
İndi ikinci kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 30-u 3-ə bölün, ikinci əlavə əmsalı 10-u alırıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:
İndi üçüncü kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 5 rəqəmidir. 30-u 5-ə bölün, üçüncü əlavə əmsalı 6 alırıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:
İndi hər şey çıxma üçün hazırdır. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:
Belə nəticəyə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu misalı bitirək.
Nümunənin davamı bir sətirə sığmayacaq, ona görə də davamını növbəti sətirə keçirik. Yeni sətirdə bərabərlik işarəsini (=) unutma:
Cavab düzgün kəsr oldu və hər şey bizə uyğun görünür, amma çox çətin və çirkindir. Biz bunu asanlaşdırmalıyıq. Nə etmək olar? Bu fraksiyanı azalda bilərsiniz.
Kəsri azaltmaq üçün onun payını və məxrəcini (gcd) 20 və 30 rəqəmlərinə bölmək lazımdır.
Beləliklə, 20 və 30 rəqəmlərinin GCD-ni tapırıq:
İndi nümunəmizə qayıdırıq və kəsrin payını və məxrəcini tapılan GCD-yə, yəni 10-a bölürük.
Cavab aldım
Kəsirin ədədə vurulması
Kəsri ədədə vurmaq üçün verilmiş kəsrin payını bu ədədə vurmalı və məxrəci eyni olaraq qoymalısınız.
Misal 1. Kəsiri 1 rəqəminə vurun.
Kəsrin payını 1 rəqəminə vurun
Giriş 1 dəfənin yarısını almaq kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 dəfə pizza götürsəniz, pizza alırsınız
Vurma qanunlarından bilirik ki, çarpan və çarpan bir-birini əvəz edərsə, hasil dəyişməyəcək. İfadə kimi yazılırsa, hasil yenə də bərabər olacaqdır. Yenə tam və kəsri vurma qaydası işləyir:
Bu giriş vahidin yarısını götürmək kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 bütöv pizza varsa və biz onun yarısını alırıqsa, o zaman pizzamız olacaq:
Misal 2. İfadənin qiymətini tapın
Kəsrin payını 4-ə vurun
Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Onun tam bir hissəsini götürək:
İfadə dörddə ikinin 4 dəfə alınması kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 4 dəfə pizza götürsəniz, iki tam pizza alırsınız.
Əgər çarpanı və çarpanı yerlərdə dəyişdirsək, ifadəni alırıq. Bu da 2-yə bərabər olacaq. Bu ifadə dörd bütöv pizzadan iki pizza götürmək kimi başa düşülə bilər:
Kəsrlərin vurulması
Kəsrləri çoxaltmaq üçün onların ədədlərini və məxrəclərini çoxaltmaq lazımdır. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.
Misal 1İfadənin qiymətini tapın.
Cavab aldım. Bu fraksiyanın azaldılması arzu edilir. Fraksiya 2 azaldıla bilər. Sonra son həll aşağıdakı formanı alacaq:
İfadə yarım pizzadan pizza götürmək kimi başa düşülə bilər. Deyək ki, yarım pizzamız var:
Bu yarıdan üçdə ikisini necə götürmək olar? Əvvəlcə bu yarını üç bərabər hissəyə bölmək lazımdır:
Və bu üç hissədən ikisini götürün:
Pizza alacağıq. Üç hissəyə bölünən bir pizzanın necə göründüyünü xatırlayın:
Bu pizzadan bir dilim və götürdüyümüz iki dilim eyni ölçülərə sahib olacaq:
Başqa sözlə, söhbət eyni pizza ölçüsündən gedir. Buna görə də ifadənin dəyəri
Misal 2. İfadənin qiymətini tapın
Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:
Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Onun tam bir hissəsini götürək:
Misal 3İfadənin qiymətini tapın
Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:
Cavab düzgün kəsr oldu, amma azaldılsa yaxşı olar. Bu kəsri azaltmaq üçün bu kəsrin payını və məxrəcini ən böyüyə bölmək lazımdır ortaq bölən(gcd) 105 və 450 nömrələri.
Beləliklə, 105 və 450 rəqəmlərinin GCD-ni tapaq:
İndi tapdığımız GCD-yə cavabımızın payını və məxrəcini, yəni 15-ə bölürük.
Tam ədədi kəsr kimi təqdim etmək
İstənilən tam ədəd kəsr kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, 5 rəqəmi ilə təmsil oluna bilər. Bundan, beş mənasını dəyişməyəcək, çünki ifadə "birə bölünən beş" deməkdir və bu, bildiyiniz kimi, beşə bərabərdir:
Əks nömrələr
İndi tanış olacağıq maraqlı mövzu riyaziyyatda. Buna "əks rəqəmlər" deyilir.
Tərif. Nömrəyə tərsinəa ilə vurulduqda olan ədəddira vahid verir.
Gəlin bu tərifdə dəyişən əvəzinə əvəz edək a 5 nömrəli və tərifi oxumağa çalışın:
Nömrəyə tərsinə 5 ilə vurulduqda olan ədəddir 5 vahid verir.
5-ə vurulduqda bir verən ədəd tapmaq olarmı? Belə çıxır ki, edə bilərsiniz. Beşi kəsr kimi təqdim edək:
Sonra bu fraksiyanın özünə çoxaldın, sadəcə pay və məxrəci dəyişdirin. Başqa sözlə, kəsri özünə vuraq, yalnız tərsinə:
Bunun nəticəsi nə olacaq? Bu nümunəni həll etməyə davam etsək, birini alırıq:
Bu o deməkdir ki, 5 rəqəminin tərsi ədəddir, çünki 5-i birə vuranda bir alınır.
Qarşılıq hər hansı digər tam ədəd üçün də tapıla bilər.
Siz həmçinin hər hansı digər fraksiya üçün qarşılıq tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün onu çevirmək kifayətdir.
Kəsirin ədədə bölünməsi
Deyək ki, yarım pizzamız var:
Gəlin onu ikiyə bərabər bölək. Hər biri neçə pizza alacaq?
Görünür ki, pizzanın yarısını böldükdən sonra hər biri bir pizza təşkil edən iki bərabər hissə əldə edilib. Beləliklə, hamı pizza alır.
Kəsrlərin bölünməsi qarşılıqlardan istifadə etməklə həyata keçirilir. Qarşılıqlar bölməni vurma ilə əvəz etməyə imkan verir.
Kəsri ədədə bölmək üçün bu kəsri bölənin əks hissəsinə vurmaq lazımdır.
Bu qaydadan istifadə edərək, pizzamızın yarısının iki yerə bölünməsini yazacağıq.
Beləliklə, kəsri 2 rəqəminə bölmək lazımdır. Burada dividend kəsr, bölən isə 2-dir.
Kəsri 2 rəqəminə bölmək üçün bu kəsri 2-ci bölənin əksinə vurmaq lazımdır. Bölən 2-nin əksi kəsirdir. Beləliklə, çoxalmaq lazımdır
Kəsri bir kəsrə və ya kəsri ədədə düzgün vurmaq üçün bilmək lazımdır sadə qaydalar. İndi bu qaydaları ətraflı təhlil edəcəyik.
Kəsri kəsrə vurmaq.
Kəsiri kəsrə vurmaq üçün bu kəsrlərin paylarının hasilini və məxrəclərinin məhsulunu hesablamaq lazımdır.
\(\bf \frac(a)(b) \dəfə \frac(c)(d) = \frac(a \dəfə c)(b \dəfə d)\\\)
Məsələni nəzərdən keçirək:
Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına vururuq, birinci kəsrin məxrəcini də ikinci kəsrin məxrəci ilə vururuq.
\(\frac(6)(7) \dəfə \frac(2)(3) = \frac(6 \dəfə 2)(7 \dəfə 3) = \frac(12)(21) = \frac(4\ dəfə 3)(7 \dəfə 3) = \frac(4)(7)\\\)
\(\frac(12)(21) = \frac(4 \dəfə 3)(7 \dəfə 3) = \frac(4)(7)\\\) kəsir 3 azaldılıb.
Kəsirin ədədə vurulması.
Qaydadan başlayaq istənilən ədəd kəsr kimi göstərilə bilər \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Gəlin vurma üçün bu qaydadan istifadə edək.
\(5 \dəfə \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \dəfə \frac(4)(7) = \frac(5 \dəfə 4)(1 \dəfə 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Yanlış kəsr \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\)-a çevrildi qarışıq fraksiya.
Başqa sözlə, Ədədi kəsrə vurarkən, ədədi paya vurmaq və məxrəci dəyişmədən saxlamaq lazımdır. Misal:
\(\frac(2)(5) \dəfə 3 = \frac(2 \dəfə 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \dəfə c = \frac(a \dəfə c)(b)\\\)
Qarışıq fraksiyaların vurulması.
Qarışıq kəsrləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə hər bir qarışıq fraksiyanı düzgün olmayan kəsr kimi təqdim etməli, sonra isə vurma qaydasından istifadə etməlisiniz. Saxlama payla vurulur, məxrəc məxrəcə vurulur.
Misal:
\(2\frac(1)(4) \dəfə 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \dəfə \frac(23)(6) = \frac(9 \dəfə 23) (4 \dəfə 6) = \frac(3 \dəfə \rəng(qırmızı) (3) \dəfə 23)(4 \dəfə 2 \dəfə \rəng(qırmızı) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Qarşılıqlı kəsrlərin və ədədlərin vurulması.
\(\bf \frac(a)(b)\) kəsr a≠0,b≠0 şərti ilə \(\bf \frac(b)(a)\) kəsirinin tərsidir.
\(\bf \frac(a)(b)\) və \(\bf \frac(b)(a)\) fraksiyaları qarşılıqlı adlanır. Qarşılıqlı kəsrlərin hasili 1-dir.
\(\bf \frac(a)(b) \dəfə \frac(b)(a) = 1 \\\)
Misal:
\(\frac(5)(9) \dəfə \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Əlaqədar suallar:
Kəsiri kəsrə necə vurmaq olar?
Cavab: adi kəsrlərin hasili payın payla, məxrəcin məxrəcə vurulmasıdır. Qarışıq fraksiyaların məhsulunu almaq üçün onları düzgün olmayan kəsrə çevirmək və qaydalara uyğun olaraq çoxaltmaq lazımdır.
Fərqli məxrəcləri olan kəsrləri necə çoxaltmaq olar?
Cavab: kəsrlərin məxrəclərinin eyni və ya fərqli olmasının fərqi yoxdur, vurma payın hasilini payla, məxrəci isə məxrəclə tapmaq qaydasına uyğun olaraq baş verir.
Qarışıq fraksiyaları necə çoxaltmaq olar?
Cavab: ilk növbədə qarışıq kəsri düzgün olmayan kəsrə çevirməli və sonra vurma qaydalarına uyğun hasil tapmalısınız.
Bir ədədi kəsrə necə vurmaq olar?
Cavab: Ədədi payla vururuq, məxrəci isə eyni qoyuruq.
Nümunə №1:
Məhsulu hesablayın: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Həll:
a) \(\frac(8)(9) \dəfə \frac(7)(11) = \frac(8 \dəfə 7)(9 \dəfə 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \dəfə \frac(10)(13) = \frac(2 \dəfə 10)(15 \dəfə 13) = \frac(2 \dəfə 2 \dəfə \rəng( qırmızı) (5))(3 \dəfə \rəng(qırmızı) (5) \dəfə 13) = \frac(4)(39)\)
Nümunə №2:
Ədədin və kəsrin hasilini hesablayın: a) \(3 \dərə \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \x11\)
Həll:
a) \(3 \dəfə \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \dəfə \frac(17)(23) = \frac(3 \dəfə 17)(1 \dəfə 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \dəfə 11 = \frac(2)(3) \dəfə \frac(11)(1) = \frac(2 \dəfə 11)(3 \dəfə 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Nümunə №3:
\(\frac(1)(3)\) ifadəsinin əksini yazın?
Cavab: \(\frac(3)(1) = 3\)
Nümunə №4:
İki qarşılıqlı kəsrin hasilini hesablayın: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Həll:
a) \(\frac(104)(215) \dəfə \frac(215)(104) = 1\)
Nümunə №5:
Qarşılıqlı tərs kəsrlər ola bilər:
a) hər iki uyğun kəsr;
b) eyni zamanda düzgün olmayan fraksiyalar;
c) natural ədədlər eyni zamanda?
Həll:
a) Birinci suala cavab vermək üçün bir nümunədən istifadə edək. \(\frac(2)(3)\) kəsr düzgündür, onun əksi \(\frac(3)(2)\) - düzgün olmayan kəsrə bərabər olacaq. Cavab: yox.
b) kəsrlərin demək olar ki, bütün sadalamalarında bu şərt yerinə yetirilmir, lakin bəzi ədədlər var ki, eyni zamanda natamam kəsr olmaq şərtini yerinə yetirir. Məsələn, düzgün olmayan kəsr \(\frac(3)(3)\) , onun əksi \(\frac(3)(3)\). İki düzgün olmayan fraksiya alırıq. Cavab: həmişə müəyyən şərtlərdə, say və məxrəc bərabər olduqda deyil.
c) natural ədədlər sayarkən istifadə etdiyimiz ədədlərdir, məsələn, 1, 2, 3, .... \(3 = \frac(3)(1)\ ədədini götürsək, onun əksi \(\frac(1)(3)\) olacaqdır. \(\frac(1)(3)\) kəsr natural ədəd deyil. Bütün ədədləri keçsək, 1 istisna olmaqla, əks həmişə kəsrdir. 1 rəqəmini götürsək, onun əksi \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) olacaq. = 1\). 1 rəqəmi natural ədəddir. Cavab: onlar yalnız bir halda eyni zamanda natural ədədlər ola bilər, əgər bu ədəd 1 olarsa.
Nümunə #6:
Qarışıq fraksiyaların hasilini yerinə yetirin: a) \(4 \dəfə 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Həll:
a) \(4 \dəfə 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \dəfə \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\\)
b) \(1\frac(1)(4) \dəfə 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \dəfə \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Nümunə №7:
İki qarşılıqlı ədəd eyni vaxtda qarışıq ədəd ola bilərmi?
Bir nümunəyə baxaq. Qarışıq kəsri götürək \(1\frac(1)(2)\), onun əksini tapın, bunun üçün onu düzgün olmayan kəsrə çevirək \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Onun qarşılığı \(\frac(2)(3)\) -ə bərabər olacaq. \(\frac(2)(3)\) kəsr uyğun kəsrdir. Cavab: Qarşılıqlı tərs iki kəsr eyni zamanda qarışıq ədəd ola bilməz.
Adi kəsrlərlə yerinə yetirilə bilən başqa bir əməliyyat vurmadır. Məsələləri həll edərkən onun əsas qaydalarını izah etməyə çalışacağıq, adi kəsrin natural ədədə necə vurulduğunu və üç və ya daha çox adi kəsri düzgün vurmağın yollarını göstərəcəyik.
Əvvəlcə əsas qaydanı yazaq:
Tərif 1
Bir ümumi kəsi çoxalsaq, onda yaranan kəsrin payı olacaqdır məhsula bərabərdir ilkin kəsrlərin sayları, məxrəc isə onların məxrəclərinin hasilidir. Hərfi formada, a / b və c / d iki fraksiya üçün bu, b · c d = a · c b · d kimi ifadə edilə bilər.
Bu qaydanı düzgün tətbiq etmək üçün bir nümunəyə baxaq. Tutaq ki, tərəfi bir ədədi vahidə bərabər olan kvadratımız var. Sonra rəqəmin sahəsi 1 kvadrat olacaq. vahid. Kvadratı tərəfləri ədədi vahidin 1 4 və 1 8-ə bərabər olan bərabər düzbucaqlılara bölsək, onun indi 32 düzbucaqlıdan ibarət olduğunu alırıq (çünki 8 4 = 32). Müvafiq olaraq, onların hər birinin sahəsi bütün rəqəmin sahəsinin 1 32-ə bərabər olacaqdır, yəni. 1 32 kv. vahidlər.
Yanları 5 8 ədədi vahidə və 3 4 ədədi vahidə bərabər olan kölgəli bir fraqmentimiz var. Müvafiq olaraq, onun sahəsini hesablamaq üçün birinci hissəni ikinciyə vurmaq lazımdır. 5 8 3 4 kvadratmetrə bərabər olacaq. vahidlər. Ancaq fraqmentə neçə düzbucaqlının daxil olduğunu sadəcə hesablaya bilərik: onlardan 15-i var, yəni ümumi sahəsi 1532 kvadrat vahiddir.
5 3 = 15 və 8 4 = 32 olduğundan aşağıdakı tənliyi yaza bilərik:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
A b · c d = a · c b · d kimi ifadə olunan adi kəsrləri vurmaq üçün tərtib etdiyimiz qaydanın təsdiqidir. Həm düzgün, həm də düzgün olmayan fraksiyalar üçün eyni işləyir; Fərqli və eyni məxrəcləri olan kəsrləri çoxaltmaq üçün istifadə edilə bilər.
Adi kəsrlərin vurulması üçün bir neçə məsələnin həllini təhlil edək.
Misal 1
7 11-i 9 8-ə vurun.
Həll
Başlamaq üçün, 7-ni 9-a vurmaqla göstərilən fraksiyaların saylarının məhsulunu hesablayırıq. 63 aldıq. Sonra məxrəclərin hasilini hesablayırıq və alırıq: 11 8 = 88 . Cavabı iki rəqəmdən tərtib edək: 63 88.
Bütün həlli belə yazmaq olar:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Cavab: 7 11 9 8 = 63 88 .
Cavabda azaldıla bilən kəsr əldə etdiksə, hesablamağı tamamlamalı və onun azaldılmasını yerinə yetirməliyik. Əgər düzgün olmayan kəsr alırıqsa, ondan bütün hissəni seçməliyik.
Misal 2
Fraksiyaların məhsulunu hesablayın 4 15 və 55 6 .
Həll
Yuxarıda tədqiq olunan qaydaya əsasən, biz payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurmalıyıq. Həll girişi belə görünəcək:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Biz azaldılmış bir fraksiya əldə etdik, yəni. 10-a bölünmə əlaməti olan biri.
Fraksiyanı azaldaq: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. Nəticədə, bütün hissəni seçdiyimiz və qarışıq bir nömrə aldığımız düzgün olmayan bir kəsr aldıq: 22 9 \u003d 2 4 9.
Cavab: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Hesablamanın rahatlığı üçün vurma əməliyyatını yerinə yetirməzdən əvvəl ilkin kəsrləri də azalda bilərik, bunun üçün kəsri a · c b · d formasına endirməliyik. Dəyişənlərin dəyərlərini sadə amillərə ayırırıq və eyni olanları ləğv edirik.
Bunun konkret problemin məlumatlarından istifadənin necə göründüyünü izah edək.
Misal 3
4 15 55 6 məhsulunu hesablayın.
Həll
Hesablamaları vurma qaydasına əsasən yazaq. Biz bacaracağıq:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 və 6 = 2 3 olduğu üçün 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 olar.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Cavab verin: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Rəqəm ifadəsi, adi fraksiyaların vurulmasının baş verdiyi kommutativ xüsusiyyətə malikdir, yəni zəruri hallarda amillərin sırasını dəyişə bilərik:
a b c d = c d a b = a c b d
Kəsiri natural ədədlə necə vurmaq olar
Dərhal əsas qaydanı yazaq, sonra praktikada izah etməyə çalışaq.
Tərif 2
Adi kəsri natural ədədə vurmaq üçün bu kəsrin payını bu ədədə vurmaq lazımdır. Bu halda son kəsrin məxrəci ilkin adi kəsrin məxrəcinə bərabər olacaqdır. Bəzi a b kəsrinin n natural ədədinə vurulması a b · n = a · n b düsturu kimi yazıla bilər.
İstənilən natural ədədin məxrəci birə bərabər olan adi kəsr kimi təqdim oluna biləcəyini xatırlasanız, bu düsturu başa düşmək asandır, yəni:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Fikrimizi konkret misallarla izah edək.
Misal 4
2 27-nin 5-ə hasilini hesablayın.
Həll
İlkin kəsrin payını ikinci amillə vurmaq nəticəsində 10-u alırıq. Yuxarıdakı qaydaya əsasən, nəticədə 10 27 alacağıq. Bütün həll bu yazıda verilmişdir:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Cavab: 2 27 5 = 10 27
Təbii ədədi ortaq kəsrə vuranda çox vaxt nəticəni azaltmalı və ya qarışıq ədəd kimi təqdim etməli oluruq.
Misal 5
Şərt: 8 dəfə 5 12 hasilini hesablayın.
Həll
Yuxarıdakı qaydaya əsasən, natural ədədi paya vururuq. Nəticədə 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 alırıq. Son fraksiyanın 2-yə bölünmə əlamətləri var, ona görə də onu azaltmalıyıq:
LCM (40, 12) \u003d 4, buna görə də 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
İndi biz yalnız tam hissəni seçməliyik və hazır cavabı yazmalıyıq: 10 3 = 3 1 3.
Bu girişdə siz bütün həlli görə bilərsiniz: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .
Biz həmçinin payı və məxrəci sadə amillərə ayırmaqla kəsri azalda bilərik və nəticə tam olaraq eyni olacaqdır.
Cavab: 5 12 8 = 3 1 3 .
Natural ədədin kəsrlə vurulduğu ədədi ifadə də yerdəyişmə xüsusiyyətinə malikdir, yəni amillərin sırası nəticəyə təsir etmir:
a b n = n a b = a n b
Üç və ya daha çox ümumi fraksiyaları necə çoxaltmaq olar
Təbii ədədlərin vurulması üçün xarakterik olan eyni xassələri adi fraksiyaların vurulmasına da şamil edə bilərik. Bu, bu anlayışların tərifindən irəli gəlir.
Assosiativ və kommutativ xassələri bilmək sayəsində üç və ya daha çox adi fraksiyaları çoxaltmaq mümkündür. Daha çox rahatlıq üçün yerlərdə amilləri yenidən təşkil etmək və ya mötərizələri saymağı asanlaşdıracaq şəkildə yerləşdirmək icazəlidir.
Bunun necə edildiyini bir nümunə göstərək.
Misal 6
Dörd ümumi kəsri 1 20 , 12 5 , 3 7 və 5 8-i çarpın.
Həll yolu: Əvvəlcə işi qeyd edək. 1 20 12 5 3 7 5 8 alırıq. Biz bütün sayları və bütün məxrəcləri birlikdə vurmalıyıq: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
Vurmaya başlamazdan əvvəl biz bunu özümüz üçün bir az asanlaşdıra bilərik və daha da azaltmaq üçün bəzi ədədləri əsas amillərə parçalaya bilərik. Bu, ondan yaranan bitmiş fraksiyanı azaltmaqdan daha asan olacaq.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Cavab: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.
Misal 7
5 ədədi 7 8 12 8 5 36 10 çarpın.
Həll
Rahatlıq üçün biz 78-i 8 rəqəmi ilə, 12-ni isə 536 kəsri ilə qruplaşdıra bilərik, çünki bu, gələcək abbreviaturaları bizə aydınlaşdıracaq. Nəticədə əldə edəcəyik:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 = 3 116 2 3
Cavab: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Adi kəsrlərin vurulması
Məsələni nəzərdən keçirək.
Boşqabda almanın $\frac(1)(3)$ hissəsi olsun. Bunun $\frac(1)(2)$ hissəsini tapmalıyıq. Tələb olunan hissə $\frac(1)(3)$ və $\frac(1)(2)$ kəsrlərinin vurulmasının nəticəsidir. İki ümumi kəsrin çarpılmasının nəticəsi ümumi kəsrdir.
İki ümumi fraksiyanın vurulması
Adi kəsrlərin vurulması qaydası:
Kəsri kəsrə vurmağın nəticəsi, payı vurulan kəsrlərin saylarının hasilinə, məxrəci isə məxrəclərin hasilinə bərabər olan kəsirdir:
Misal 1
$\frac(3)(7)$ və $\frac(5)(11)$ adi kəsrləri çoxaldın.
Həll.
Adi kəsrlərin vurulması qaydasından istifadə edək:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Cavab:$\frac(15)(77)$
Əgər kəsrlərin vurulması nəticəsində ləğv edilə bilən və ya düzgün olmayan kəsr alınırsa, onu sadələşdirmək lazımdır.
Misal 2
$\frac(3)(8)$ və $\frac(1)(9)$ kəsrlərini çoxaldın.
Həll.
Adi kəsrləri çoxaltmaq üçün qaydadan istifadə edirik:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Nəticədə, azalan kəsr əldə etdik ($3$-a bölmə əsasında. Kesrin payını və məxrəcini $3$-a bölsək, əldə edirik:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Qısa həll:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Cavab:$\frac(1)(24).$
Kəsrləri vurarkən onların hasilini tapmaq üçün sayları və məxrəcləri azalda bilərsiniz. Bu zaman kəsrin payı və məxrəci sadə amillərə parçalanır, bundan sonra təkrarlanan amillər azaldılır və nəticə tapılır.
Misal 3
$\frac(6)(75)$ və $\frac(15)(24)$ kəsrlərinin hasilini hesablayın.
Həll.
Adi fraksiyaları vurmaq üçün düsturdan istifadə edək:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Aydındır ki, pay və məxrəcdə $2$, $3$ və $5$ rəqəmləri ilə cüt-cüt azaldıla bilən ədədlər var. Biz payı və məxrəci sadə amillərə parçalayırıq və azalmanı edirik:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Cavab:$\frac(1)(20).$
Kəsrləri vurarkən kommutativ qanun tətbiq oluna bilər:
Kəsirin natural ədədə vurulması
Adi kəsri natural ədədə vurma qaydası:
Kəsirin natural ədədə vurulmasının nəticəsi, kəsrin çarpılan kəsrin payının natural ədədlə hasilinə, məxrəc isə vurulan kəsrin məxrəcinə bərabər olduğu kəsrdir:
burada $\frac(a)(b)$ adi kəsr, $n$ natural ədəddir.
Misal 4
$\frac(3)(17)$ kəsrini $4$-a vurun.
Həll.
Adi kəsri natural ədədə vurma qaydasından istifadə edək:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Cavab:$\frac(12)(17).$
Çoxalmanın nəticəsini bir kəsrin daralma qabiliyyətinə və ya düzgün olmayan bir fraksiyaya görə yoxlamağı unutmayın.
Misal 5
$\frac(7)(15)$ kəsrini $3$-a vurun.
Həll.
Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün düsturdan istifadə edək:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
$3$ rəqəminə bölmə meyarına əsasən, nəticədə kəsrin azaldıla biləcəyini müəyyən etmək olar:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Nəticə düzgün olmayan fraksiyadır. Bütün hissəni götürək:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Qısa həll:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Hissədə və məxrəcdə olan ədədləri onların genişlənmələri ilə əsas amillərə çevirməklə kəsrləri azaltmaq da mümkün idi. Bu vəziyyətdə həll yolu aşağıdakı kimi yazıla bilər:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Cavab:$1\frac(2)(5).$
Kəsiri natural ədədə vurarkən kommutativ qanundan istifadə edə bilərsiniz:
Adi kəsrlərin bölünməsi
Bölmə əməliyyatı vurmanın tərsidir və onun nəticəsi kəsrdir, onun köməyi ilə əldə etmək üçün məlum kəsri çoxaltmalısınız. məşhur əsər iki fraksiya.
İki ümumi kəsrin bölünməsi
Adi fraksiyaların bölünməsi qaydası: Aydındır ki, yaranan kəsrin payı və məxrəci sadə amillərə parçalana və azalda bilər:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Nəticədə, tam hissəni seçdiyimiz düzgün olmayan bir kəsr aldıq:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Cavab:$1\frac(5)(9).$