Primijenjena Gaussova metoda. Gaussova metoda

Gaussova metoda odličan za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE). Ima nekoliko prednosti u odnosu na druge metode:

prvo, nema potrebe da se prethodno istražuje sistem jednačina radi kompatibilnosti;
drugo, Gaussova metoda se može koristiti za rješavanje ne samo SLAE u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznatih varijabli i glavna matrica sistema nije degenerirana, već i za sisteme jednačina u kojima se broj jednačina ne poklapa. sa brojem nepoznatih varijabli ili determinantom glavne matrice jednaka je nuli;
treće, Gaussova metoda dovodi do rezultata sa relativnom mala količina računarske operacije.

Kratak osvrt na članak.

Prvo dajemo potrebne definicije i uvodimo neke oznake.

Zatim opisujemo algoritam Gaussove metode za najjednostavniji slučaj, odnosno za sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, broj jednačina u kojima se poklapa sa brojem nepoznatih varijabli i determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli. Prilikom rješavanja ovakvih sistema jednačina najjasnije je vidljiva suština Gaussove metode koja se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih varijabli. Stoga se Gausova metoda naziva i metodom sukcesivnog eliminisanja nepoznatih. Hajde da pokažemo detaljna rješenja nekoliko primjera.

U zaključku, razmatramo Gausovo rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi čija je glavna matrica pravokutna ili degenerirana. Rješenje ovakvih sistema ima neke karakteristike, koje ćemo detaljno analizirati na primjerima.

Navigacija po stranici.

Osnovne definicije i notacije.

Razmotrimo sistem p linearnih jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n):

Gdje su nepoznate varijable, su brojevi (realni ili kompleksni), slobodni su članovi.

Ako a , tada se sistem linearnih algebarskih jednadžbi zove homogena, inače - heterogena.

Skup vrijednosti nepoznatih varijabli, u kojem se sve jednadžbe sistema pretvaraju u identitete, naziva se SLAU odluka.

Ako postoji barem jedno rješenje za sistem linearnih algebarskih jednadžbi, onda se ono zove joint, inače - nekompatibilno.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran. Ako postoji više od jednog rješenja, onda se sistem poziva neizvjesno.

Kaže se da je sistem upisan koordinatni oblik ako ima formu
.

Ovaj sistem u matrični oblik evidencija ima oblik , gdje - glavna matrica SLAE, - matrica kolone nepoznatih varijabli, - matrica slobodnih članova.

Ako matrici A kao (n + 1)-ti stupac dodamo matricu-kolona slobodnih termina, onda dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je okomitom linijom od ostalih kolona, tj.

Kvadratna matrica A se zove degenerisati ako je njegova determinanta nula. Ako je , tada se poziva matrica A nedegenerisan.

Treba napomenuti sljedeću tačku.

Ako sa sistemom linearnih algebarskih jednadžbi proizvesti sledeće radnje

zamijenite dvije jednadžbe,
pomnožite obje strane bilo koje jednadžbe proizvoljnim realnim (ili kompleksnim) brojem k, različitom od nule,
na oba dijela bilo koje jednačine dodajte odgovarajuće dijelove druge jednačine, pomnožene proizvoljnim brojem k,

tada dobijamo ekvivalentni sistem koji ima ista rješenja (ili, kao i originalni, nema rješenja).

Za proširenu matricu sistema linearnih algebarskih jednadžbi, ove akcije će značiti elementarne transformacije sa redovima:

zamena dve žice
množenje svih elemenata bilo kojeg reda matrice T brojem k koji nije nula,
dodajući elementima bilo kojeg reda matrice odgovarajuće elemente drugog reda, pomnožene proizvoljnim brojem k .

Sada možemo preći na opis Gaussove metode.

Rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina, u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih, a glavna matrica sistema je nedegenerisana, Gaussovom metodom.

Šta bismo radili u školi kada bismo dobili zadatak da pronađemo rješenje sistema jednačina .

Neki bi to uradili.

Imajte na umu da dodavanjem na lijevu stranu druge jednačine lijeva strana prva, a na desnoj strani - desna, možete se riješiti nepoznatih varijabli x 2 i x 3 i odmah pronaći x 1:

Pronađenu vrijednost x 1 \u003d 1 zamjenjujemo u prvu i treću jednadžbu sistema:

Ako oba dijela treće jednadžbe sistema pomnožimo sa -1 i dodamo ih odgovarajućim dijelovima prve jednačine, tada se riješimo nepoznate varijable x 3 i možemo pronaći x 2:

Dobivenu vrijednost x 2 \u003d 2 zamjenjujemo u treću jednadžbu i nalazimo preostalu nepoznatu varijablu x 3:

Drugi bi drugačije uradili.

Rešimo prvu jednačinu sistema u odnosu na nepoznatu promenljivu x 1 i zamenimo rezultujući izraz u drugu i treću jednačinu sistema kako bismo ovu varijablu isključili iz njih:

Sada riješimo drugu jednačinu sistema u odnosu na x 2 i zamijenimo rezultat u treću jednačinu da iz nje isključimo nepoznatu varijablu x 2:

Iz treće jednačine sistema se vidi da je x 3 =3. Iz druge jednačine nalazimo , a iz prve jednadžbe dobijamo .

Poznata rješenja, zar ne?

Ovdje je najzanimljivije da je druga metoda rješenja u suštini metoda sekvencijalne eliminacije nepoznanica, odnosno Gaussova metoda. Kada smo izrazili nepoznate varijable (prvi x 1, sljedeći x 2) i zamijenili ih u ostale jednačine sistema, time smo ih isključili. Izuzetak smo radili do trenutka kada je posljednja jednačina ostavila samo jednu nepoznatu varijablu. Proces sekvencijalne eliminacije nepoznatih naziva se direktna Gaussova metoda. Nakon što je pomak naprijed završen, imamo priliku izračunati nepoznatu varijablu u posljednjoj jednačini. Uz njegovu pomoć, iz pretposljednje jednadžbe, nalazimo sljedeću nepoznatu varijablu i tako dalje. Proces uzastopnog pronalaženja nepoznatih varijabli pri kretanju od posljednje jednadžbe do prve se naziva reverzna Gaussova metoda.

Treba napomenuti da kada izrazimo x 1 u terminima x 2 i x 3 u prvoj jednačini, a zatim zamenimo rezultirajući izraz u drugu i treću jednačinu, sljedeće akcije dovode do istog rezultata:

Zaista, takav postupak nam takođe omogućava da isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema:

Nijanse sa eliminacijom nepoznatih varijabli Gaussovom metodom nastaju kada jednačine sistema ne sadrže neke varijable.

Na primjer, u SLAU u prvoj jednačini ne postoji nepoznata varijabla x 1 (drugim riječima, koeficijent ispred nje je nula). Stoga ne možemo riješiti prvu jednačinu sistema u odnosu na x 1 da bismo ovu nepoznatu varijablu isključili iz ostalih jednačina. Izlaz iz ove situacije je zamjena jednačina sistema. Budući da razmatramo sisteme linearnih jednačina čije su determinante glavnih matrica različite od nule, uvijek postoji jednačina u kojoj je prisutna varijabla koja nam je potrebna, a ovu jednačinu možemo preurediti na poziciju koja nam je potrebna. Za naš primjer, dovoljno je zamijeniti prvu i drugu jednačinu sistema , tada možete riješiti prvu jednačinu za x 1 i isključiti je iz ostalih jednačina sistema (iako je x 1 već odsutan u drugoj jednačini).

Nadamo se da ste shvatili suštinu.

Hajde da opišemo Algoritam Gaussove metode.

Trebamo riješiti sistem od n linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli oblika , i neka je determinanta njene glavne matrice različita od nule.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Nepoznatu varijablu x 1 izuzimamo iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da biste to uradili, dodajte prvu jednačinu pomnoženu sa drugoj jednačini sistema, dodajte prvu pomnoženu sa trećoj jednačini, i tako dalje, dodajte prvu pomnoženu sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , a .

Do istog rezultata bismo došli ako bismo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da biste to uradili, dodajte drugu jednačinu pomnoženu sa trećoj jednačini sistema, dodajte drugu pomnoženu sa četvrtoj jednačini, i tako dalje, dodajte drugu pomnoženu sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , a . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, postupajući na sličan način sa dijelom sistema označenim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnutim tokom Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prva jednačina.

Analizirajmo algoritam na primjeru.

Primjer.

Gaussova metoda.

Rješenje.

Koeficijent a 11 je različit od nule, pa pređimo na direktan tok Gaussove metode, odnosno na eliminaciju nepoznate varijable x 1 iz svih jednačina sistema, osim iz prve. Da biste to učinili, lijevom i desnom dijelu druge, treće i četvrte jednadžbe dodajte lijevi i desni dio prve jednačine, pomnožene sa , respektivno, i :

Nepoznata varijabla x 1 je eliminirana, idemo na isključenje x 2 . Lijevi i desni dio treće i četvrte jednačine sistema dodajemo lijevi i desni dio druge jednačine, pomnožene sa i :

Da bismo završili napredni kurs Gaussove metode, moramo isključiti nepoznatu varijablu x 3 iz posljednje jednačine sistema. Dodajmo lijevom i desnom dijelu četvrte jednačine, redom, lijevi i desna strana treća jednačina pomnožena sa :

Možete započeti obrnuti kurs Gaussove metode.

Iz posljednje jednačine imamo ,
iz treće jednačine dobijamo ,
od drugog
od prve.

Da biste provjerili, možete zamijeniti dobivene vrijednosti nepoznatih varijabli u originalni sistem jednadžbi. Sve jednadžbe se pretvaraju u identitete, što znači da je rješenje Gaussovom metodom pronađeno ispravno.

odgovor:

A sada ćemo dati rješenje istog primjera Gaussovom metodom u matričnom obliku.

Primjer.

Pronađite rješenje za sistem jednačina Gaussova metoda.

Rješenje.

Proširena matrica sistema ima oblik . Iznad svake kolone su upisane nepoznate varijable koje odgovaraju elementima matrice.

Direktan tok Gaussove metode ovdje uključuje dovođenje proširene matrice sistema u trapezni oblik pomoću elementarnih transformacija. Ovaj proces je sličan isključivanju nepoznatih varijabli koje smo radili sa sistemom u koordinatnom obliku. Sada ćete se uvjeriti u to.

Transformirajmo matricu tako da svi elementi u prvom stupcu, počevši od drugog, postanu nula. Da biste to učinili, elementima drugog, trećeg i četvrtog reda dodajte odgovarajuće elemente prvog reda pomnožene sa , i na:

Zatim transformiramo rezultirajuću matricu tako da u drugom stupcu svi elementi, počevši od treće, postanu nula. Ovo bi odgovaralo isključivanju nepoznate varijable x 2 . Da biste to učinili, dodajte elementima trećeg i četvrtog reda odgovarajuće elemente prvog reda matrice, pomnožene sa i :

Ostaje da se isključi nepoznata varijabla x 3 iz posljednje jednačine sistema. Da bismo to učinili, elementima posljednjeg reda rezultirajuće matrice dodajemo odgovarajuće elemente pretposljednjeg reda, pomnožene sa :

Treba napomenuti da ova matrica odgovara sistemu linearnih jednačina

koji je dobijen ranije nakon direktnog poteza.

Vrijeme je da se vratimo. U matričnom obliku notacije, obrnuti tok Gaussove metode uključuje takvu transformaciju rezultirajuće matrice tako da matrica označena na slici

postala dijagonalna, odnosno poprimila oblik

gdje su neki brojevi.

Ove transformacije su slične onima kod Gaussove metode, ali se ne izvode od prvog reda do posljednjeg, već od posljednjeg do prvog.

Dodajte elementima trećeg, drugog i prvog reda odgovarajuće elemente posljednjeg reda, pomnožene sa , bez prestanka odnosno:

Sada dodajmo elementima drugog i prvog reda odgovarajuće elemente trećeg reda, pomnožene sa i po:

U zadnjem koraku obrnutog kretanja Gaussove metode dodajemo odgovarajuće elemente drugog reda, pomnožene sa , elementima prvog reda:

Rezultirajuća matrica odgovara sistemu jednačina , iz koje nalazimo nepoznate varijable.

odgovor:

BILJEŠKA.

Kada koristite Gaussov metod za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi, treba izbjegavati približne proračune, jer to može dovesti do apsolutno netačnih rezultata. Preporučujemo da ne zaokružujete decimale. Bolje je decimalni razlomci idi obične frakcije.

Primjer.

Riješi sistem od tri jednačine Gausovom metodom .

Rješenje.

Imajte na umu da u ovom primjeru nepoznate varijable imaju drugačiju oznaku (ne x 1, x 2, x 3, već x, y, z). Pređimo na obične razlomke:

Eliminišite nepoznato x iz druge i treće jednačine sistema:

U rezultirajućem sistemu ne postoji nepoznata varijabla y u drugoj jednačini, a y je prisutno u trećoj jednačini, stoga mijenjamo drugu i treću jednačinu:

U ovom trenutku, direktni tok Gaussove metode je završen (ne morate isključiti y iz treće jednačine, pošto ova nepoznata varijabla više ne postoji).

Hajdemo nazad.

Iz posljednje jednačine nalazimo ,
od pretposljednjeg

iz prve jednačine koju imamo

odgovor:

X=10, y=5, z=-20.

Rešenje sistema linearnih algebarskih jednačina, kod kojih se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih ili glavnom matricom sistema je degenerisano, Gaussovom metodom.

Sistemi jednadžbi čija je glavna matrica pravokutna ili kvadratna degenerirana mogu imati bez rješenja, mogu imati jedno rješenje ili mogu imati beskonačan broj rješenja.

Sada ćemo shvatiti kako nam Gaussova metoda omogućava da utvrdimo kompatibilnost ili nekonzistentnost sistema linearnih jednačina, iu slučaju njegove kompatibilnosti, odredimo sva rješenja (ili jedno jedino rješenje).

U principu, proces eliminacije nepoznatih varijabli u slučaju takvih SLAE ostaje isti. Međutim, vrijedi se detaljno osvrnuti na neke situacije koje se mogu pojaviti.

Pređimo na najvažniji korak.

Dakle, pretpostavimo da sistem linearnih algebarskih jednadžbi nakon završetka napredovanja Gaussove metode ima oblik i nijedna od jednačina nije svedena na (u ovom slučaju, zaključili bismo da je sistem nekonzistentan). Postavlja se logično pitanje: "Šta dalje"?

Ispisujemo nepoznate varijable koje se nalaze na prvom mjestu svih jednačina rezultujućeg sistema:

U našem primjeru, to su x 1 , x 4 i x 5 . U levim delovima jednadžbi sistema ostavljamo samo one članove koji sadrže ispisane nepoznate varijable x 1, x 4 i x 5, a preostale članove prenosimo na desnu stranu jednačine sa suprotnim predznakom:

Dodijelimo proizvoljne vrijednosti nepoznatim varijablama koje se nalaze na desnoj strani jednadžbe, gdje je - proizvoljni brojevi:

Nakon toga, brojevi se nalaze u pravim dijelovima svih jednadžbi naše SLAE i možemo preći na obrnuti tok Gaussove metode.

Iz zadnje jednačine sistema imamo , iz pretposljednje jednačine nalazimo , iz prve jednačine dobijamo

Rješenje sistema jednačina je skup vrijednosti nepoznatih varijabli

Davanje brojeva razna značenja, primićemo razna rješenja sistemi jednačina. To jest, naš sistem jednačina ima beskonačno mnogo rješenja.

odgovor:

gdje - proizvoljni brojevi.

Da bismo konsolidirali materijal, detaljno ćemo analizirati rješenja još nekoliko primjera.

Primjer.

Odluči se homogeni sistem linearne algebarske jednadžbe Gaussova metoda.

Rješenje.

Isključimo nepoznatu varijablu x iz druge i treće jednačine sistema. Da biste to učinili, dodajte lijevi i desni dio prve jednadžbe, redom, lijevom i desnom dijelu druge jednačine, pomnoženoj sa , i lijevom i desnom dijelu treće jednačine, lijevi i desni dio prva jednačina, pomnožena sa:

Sada isključujemo y iz treće jednačine rezultirajućeg sistema jednačina:

Rezultirajući SLAE je ekvivalentan sistemu .

Ostavljamo samo članove koji sadrže nepoznate varijable x i y na lijevoj strani jednadžbi sistema, a članove sa nepoznatom varijablom z prenosimo na desnu stranu:

Neka je dat sistem linearnih algebarskih jednadžbi, koji se moraju riješiti (naći takve vrijednosti nepoznanica hi da svaku jednačinu sistema pretvaraju u jednakost).

Znamo da sistem linearnih algebarskih jednadžbi može:

1) Nemati rješenja (biti nekompatibilno).
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Imati jedinstveno rješenje.

Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja za bilo koji sistem linearnih jednačina, što je u svakom slučaju dovedi nas do odgovora! Algoritam metode u sva tri slučaja radi na isti način. Ako Cramer i matrične metode zahtijevaju poznavanje determinanti, onda primjena Gaussove metode zahtijeva poznavanje samo aritmetičkih operacija, što je čini dostupnom čak i učenicima osnovnih škola.

Proširene matrične transformacije ( ovo je matrica sistema - matrica sastavljena samo od koeficijenata nepoznatih, plus kolona slobodnih termina) sistemi linearnih algebarskih jednadžbi u Gaussovom metodu:

1) With troky matrice mogu preurediti mjesta.

2) ako matrica ima (ili ima) proporcionalnu (kao poseban slučaj su isti) nizovi, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog.

3) ako se nulti red pojavio u matrici tokom transformacija, onda i on slijedi izbrisati.

4) red matrice može pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) do reda matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule.

U Gauss metodi, elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina.

Gaussova metoda se sastoji od dvije faze:

"Direktan potez" - koristeći elementarne transformacije, dovedite proširenu matricu sistema linearnih algebarskih jednadžbi u "trokutasti" stepenasti oblik: elementi proširene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje ). Na primjer, na ovu vrstu:

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

1) Razmotrimo prvu jednačinu sistema linearnih algebarskih jednačina i koeficijent na x 1 je jednak K. Druga, treća itd. transformiramo jednadžbe na sljedeći način: svaku jednačinu (koeficijente za nepoznate, uključujući slobodne članove) podijelimo sa koeficijentom za nepoznato x 1, koji se nalazi u svakoj jednadžbi, i pomnožimo sa K. Nakon toga, oduzmimo prvu od druge jednačine ( koeficijenti za nepoznate i slobodne termine). Kod x 1 u drugoj jednačini dobijamo koeficijent 0. Od treće transformisane jednačine oduzimamo prvu, tako da sve jednačine, osim prve, sa nepoznatim x 1 neće imati koeficijent 0.

2) Prijeđite na sljedeću jednačinu. Neka je ovo druga jednadžba i koeficijent na x 2 je jednak M. Sa svim "podređenim" jednadžbama nastavljamo kako je gore opisano. Dakle, "ispod" nepoznatog x 2 u svim jednačinama će biti nule.

3) Prelazimo na sljedeću jednačinu i tako sve dok ne ostane posljednji nepoznati i transformirani slobodni član.

« Obrnuto» Gaussova metoda - dobijanje rješenja sistema linearnih algebarskih jednačina (odozdo prema gore). Iz posljednje "niže" jednačine dobijamo jedno prvo rješenje - nepoznato x n. Da bismo to učinili, rješavamo elementarnu jednadžbu A * x n = B. U gornjem primjeru, x 3 = 4. Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u „gornju“ sljedeću jednačinu i rješavamo je u odnosu na sljedeću nepoznatu. Na primjer, x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tako dalje dok ne pronađemo sve nepoznanice.

Primjer.

Sistem linearnih jednadžbi rješavamo Gaussovom metodom, kako savjetuju neki autori:

Pišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:

Gledamo gornji levi "stupak". Tamo bi trebali imati jedinicu. Problem je što ih u prvoj koloni uopšte nema, pa se preuređivanjem redova ništa ne može riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Uradimo to ovako:
1 korak . Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa -1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa -1 i izvršili sabiranje prvog i drugog reda, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", što nam savršeno odgovara. Ko želi dobiti +1 može izvršiti dodatnu radnju: pomnožiti prvi red sa -1 (promijeniti njegov predznak).

2 korak . Prvi red pomnožen sa 5 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 3 dodan je trećem redu.

3 korak . Prvi red je pomnožen sa -1, u principu, ovo je za lepotu. Predznak trećeg reda je također promijenjen i pomjeren na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” dobili željenu jedinicu.

4 korak . Trećem redu dodajte drugi red, pomnožen sa 2.

5 koraka . Treći red je podeljen sa 3.

Znak koji ukazuje na grešku u proračunima (rjeđe grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. To jest, ako imamo nešto poput (0 0 11 |23) ispod, i, shodno tome, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, onda sa veliki udio vjerovatnoće, može se tvrditi da je napravljena greška u toku elementarnih transformacija.

Izvodimo obrnuti potez, u dizajnu primjera sam sistem se često ne prepisuje, a jednačine se „preuzimaju direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi "odozdo prema gore". U ovom primjeru poklon se pokazao:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1, dakle x 1 + 3 - 1 = 1, x 1 \u003d -1

Odgovori:x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Rešimo isti sistem koristeći predloženi algoritam. Dobijamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Podijelite drugu jednačinu sa 5, a treću sa 3. Dobijamo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnožimo drugu i treću jednačinu sa 4, dobićemo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmimo prvu jednačinu od druge i treće jednačine, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite treću jednačinu sa 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnožite treću jednačinu sa 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzmite drugu jednačinu od treće jednačine, dobićemo „stepenastu“ proširenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, budući da se greška nakupila u procesu izračunavanja, dobijamo x 3 = 0,96, ili približno 1.

x 2 = 3 i x 1 = -1.

Rješavajući na ovaj način, nikada se nećete zbuniti u proračunima i, uprkos greškama u proračunu, dobit ćete rezultat.

Ova metoda rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi je laka za programiranje i ne uzima u obzir specifične karakteristike koeficijenti za nepoznate, jer se u praksi (u ekonomskim i tehničkim proračunima) mora nositi sa necjelobrojnim koeficijentima.

Želim vam uspjeh! Vidimo se na času! Učitelj.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

1. Sistem linearnih algebarskih jednadžbi

1.1 Koncept sistema linearnih algebarskih jednačina

Sistem jednačina je uslov koji se sastoji u istovremenom izvršavanju više jednačina u više varijabli. Sistem linearnih algebarskih jednadžbi (u daljem tekstu SLAE) koji sadrži m jednačina i n nepoznatih je sistem oblika:

gdje se brojevi a ij nazivaju koeficijenti sistema, brojevi b i su slobodni članovi, aij i b i(i=1,…, m; b=1,…, n) su neki poznati brojevi i x 1 ,…, x n- nepoznato. U zapisu koeficijenata aij prvi indeks i označava broj jednačine, a drugi indeks j je broj nepoznate na kojoj se nalazi ovaj koeficijent. Podložno pronalaženju broja x n . Zgodno je napisati takav sistem u obliku kompaktne matrice: AX=B. Ovdje je A matrica koeficijenata sistema, koja se naziva glavna matrica;

je vektor kolone nepoznatog xj.
je vektor stupaca slobodnih članova bi.

Proizvod matrica A * X je definiran, jer u matrici A ima onoliko stupaca koliko ima redova u matrici X (n komada).

Proširena matrica sistema je matrica A sistema, dopunjena kolonom slobodnih pojmova

1.2 Rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina

Rješenje sistema jednadžbi je uređeni skup brojeva (vrijednosti varijabli), kada ih zamijenite umjesto varijabli, svaka od jednadžbi sistema se pretvara u pravu jednakost.

Rješenje sistema je n vrijednosti nepoznatih x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, zamjenom kojih se sve jednačine sistema pretvaraju u prave jednakosti. Bilo koje rješenje sistema može se zapisati kao matrična kolona

Sistem jednačina naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentan ako nema rješenja.

Zajednički sistem naziva se definitivnim ako ima jedinstveno rješenje, a neodređenim ako ima više od jednog rješenja. U potonjem slučaju, svako njegovo rješenje naziva se posebno rješenje sistema. Skup svih posebnih rješenja naziva se općim rješenjem.

Rešiti sistem znači otkriti da li je konzistentan ili nedosledan. Ako je sistem kompatibilan, pronađite njegovo opće rješenje.

Dva sistema se nazivaju ekvivalentna (ekvivalentna) ako imaju isto opšte rešenje. Drugim riječima, sistemi su ekvivalentni ako je svako rješenje jednog od njih rješenje drugog, i obrnuto.

Transformacija, čija primjena pretvara sistem u novi sistem, ekvivalentna originalnoj, naziva se ekvivalentna ili ekvivalentna transformacija. Sljedeće transformacije mogu poslužiti kao primjeri ekvivalentnih transformacija: zamjena dvije jednačine sistema, zamjena dvije nepoznanice zajedno sa koeficijentima svih jednačina, množenje oba dijela bilo koje jednačine sistema brojem koji nije nula.

Sistem linearnih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi slobodni članovi jednaki nuli:

Homogeni sistem je uvijek konzistentan, jer je x1=x2=x3=…=xn=0 rješenje za sistem. Ovo rješenje se zove nulto ili trivijalno.

2. Gausova metoda eliminacije

2.1 Suština Gausove metode eliminacije

Klasična metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi je metoda sukcesivnog eliminacije nepoznanica - Gaussova metoda(Zove se i Gausova metoda eliminacije). Ovo je metoda uzastopnog eliminisanja varijabli, kada se uz pomoć elementarnih transformacija sistem jednačina svodi na ekvivalentni sistem stepenastog (ili trouglastog) oblika, iz kojeg se sve ostale varijable pronalaze sekvencijalno, počevši od zadnje (po broju) varijable.

Proces Gausovog rješenja sastoji se od dvije faze: kretanja naprijed i nazad.

1. Direktan potez.

U prvoj fazi se izvodi takozvano direktno kretanje, kada se elementarnim transformacijama po redovima sistem dovodi do postupnog ili trokutastog oblika, ili utvrditi da je sistem nekonzistentan. Naime, među elementima prvog stupca matrice bira se nenula jedinica, pomiče se na najgornju poziciju permutacijom redova, a prvi red dobijen nakon permutacije oduzima se od preostalih redova množeći ga. vrijednošću koja je jednaka omjeru prvog elementa svakog od ovih redova prema prvom elementu prvog reda, čime se nula stupac ispod njega.

Nakon što su navedene transformacije napravljene, prvi red i prvi stupac se mentalno precrtavaju i nastavljaju sve dok ne ostane matrica nulte veličine. Ako u nekoj od iteracija među elementima prve kolone nije pronađena jedinica različita od nule, onda idite na sljedeći stupac i izvršite sličnu operaciju.

U prvoj fazi (naprijed) sistem se svodi na stepenasti (posebno trokutasti) oblik.

Sistem ispod je postupno:

Koeficijenti aii nazivaju se glavnim (vodećim) elementima sistema.

(ako je a11=0, preurediti redove matrice tako da a 11 nije bilo jednako 0. Ovo je uvijek moguće, jer inače matrica sadrži nultu kolonu, njena determinanta je jednaka nuli i sistem je nekonzistentan).

Transformišemo sistem eliminacijom nepoznatog x1 u svim jednačinama osim u prvoj (koristeći elementarne transformacije sistema). Da biste to učinili, pomnožite obje strane prve jednadžbe sa

i saberite član po član sa drugom jednačinom sistema (ili od druge jednačine oduzimamo član po član prvi pomnožen sa ). Zatim pomnožimo oba dijela prve jednačine sa i dodamo je trećoj jednačini sistema (ili oduzmemo prvi pomnožen trećim članom po članu). Dakle, prvi red sukcesivno množimo brojem i dodajemo i-ti red, za i= 2, 3, …,n.

Nastavljajući ovaj proces, dobijamo ekvivalentni sistem:

– nove vrijednosti koeficijenata za nepoznate i slobodne članove u posljednjim m-1 jednačinama sistema, koje su određene formulama:

Tako se u prvom koraku uništavaju svi koeficijenti pod prvim vodećim elementom a 11

0, drugi korak uništava elemente ispod drugog vodećeg elementa a 22 (1) (ako je 22 (1) 0), i tako dalje. Nastavljajući ovaj proces dalje, konačno ćemo svesti originalni sistem na trouglasti sistem na (m-1) koraku.

Ako se u procesu svođenja sistema na stepenasti oblik pojave nulte jednačine, tj. jednakosti oblika 0=0, one se odbacuju. Ako postoji jednačina oblika

Ovo ukazuje na nekompatibilnost sistema.

Ovim je završen direktni kurs Gaussove metode.

2. Pokret unazad.

U drugoj fazi se izvodi takozvani obrnuti potez, čija je suština da se sve rezultirajuće osnovne varijable izraze u terminima nebaznih i konstruiše se fundamentalni sistem rješenja, ili, ako su sve varijable osnovne, zatim numerički izraziti jedino rješenje sistema linearnih jednačina.

Ovaj postupak počinje posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (u njoj je samo jedna) i zamjenjuje se u prethodne jednačine, i tako dalje, idući uz "stepenice".

Svaki red odgovara tačno jednoj osnovnoj varijabli, tako da se na svakom koraku, osim zadnjeg (najgornjeg), situacija tačno ponavlja slučaj zadnje linije.

Napomena: u praksi je prikladnije raditi ne sa sistemom, već sa njegovom proširenom matricom, izvodeći sve elementarne transformacije na njegovim redovima. Pogodno je da koeficijent a11 bude jednak 1 (preuredite jednačine, ili podijelite obje strane jednačine sa a11).

2.2 Primjeri rješavanja SLAE Gaussovom metodom

U ovom dijelu, koristeći tri različita primjera, pokazat ćemo kako se Gaussova metoda može koristiti za rješavanje SLAE.

Primjer 1. Riješite SLAE 3. reda.

Postavite koeficijente na nulu na

u drugom i trećem redu. Da biste to učinili, pomnožite ih sa 2/3 i 1, respektivno, i dodajte ih u prvi red:

Još od početka 16.-18. stoljeća matematičari su počeli intenzivno proučavati funkcije, zahvaljujući kojima se toliko toga promijenilo u našim životima. Kompjuterska tehnologija bez ovog znanja jednostavno ne bi postojala. Za rješenja izazovni zadaci, linearne jednadžbe i funkcije kreirani su različiti koncepti, teoreme i metode rješenja. Jedna od takvih univerzalnih i racionalnih metoda i tehnika za rješavanje linearnih jednačina i njihovih sistema bila je Gaussova metoda. Matrice, njihov rang, determinante - sve se može izračunati bez upotrebe složenih operacija.

Šta je SLAU

U matematici postoji koncept SLAE - sistema linearnih algebarskih jednačina. Šta ona predstavlja? Ovo je skup m jednačina sa potrebnim n nepoznatih, obično označenih kao x, y, z, ili x 1 , x 2 ... x n, ili drugim simbolima. Rešiti ovaj sistem Gaussovom metodom znači pronaći sve nepoznate nepoznate. Ako sistem ima isti broj nepoznanica i jednačina, onda se zove sistem n-tog reda.

Najpopularnije metode za rješavanje SLAE

AT obrazovne institucije srednje škole izučavaju različite tehnike za rješavanje ovakvih sistema. Najčešće su to jednostavne jednadžbe koje se sastoje od dvije nepoznanice, dakle bilo koje postojeća metoda neće trebati dugo da se pronađu odgovori na njih. To može biti kao metoda zamjene, kada se iz jedne jednačine izvede druga jednačina i zamjenjuje u originalnu. Ili pojam po član oduzimanje i sabiranje. Ali Gaussova metoda se smatra najlakšom i najuniverzalnijom. Omogućava rješavanje jednačina sa bilo kojim brojem nepoznanica. Zašto se ova tehnika smatra racionalnom? Sve je jednostavno. Matrična metoda je dobra jer ne zahtijeva nekoliko puta prepisivanje nepotrebnih znakova u obliku nepoznatih, dovoljno je izvršiti aritmetičke operacije nad koeficijentima - i dobit ćete pouzdan rezultat.

Gdje se SLAE koriste u praksi?

Rješenje SLAE su tačke presjeka linija na grafovima funkcija. U našem kompjuterskom dobu visoke tehnologije, ljudi koji su blisko uključeni u razvoj igara i drugih programa moraju znati kako riješiti takve sisteme, šta oni predstavljaju i kako provjeriti ispravnost rezultirajućeg rezultata. Programeri najčešće razvijaju posebne kalkulatore linearne algebre, što uključuje sistem linearnih jednačina. Gaussova metoda vam omogućava da izračunate sva postojeća rješenja. Koriste se i druge pojednostavljene formule i tehnike.

SLAE kriterij kompatibilnosti

Takav sistem se može riješiti samo ako je kompatibilan. Radi jasnoće, predstavljamo SLAE u obliku Ax=b. Ima rješenje ako je rang(A) jednak rang(A,b). U ovom slučaju, (A,b) je matrica proširenog oblika koja se može dobiti iz matrice A prepisivanjem sa slobodnim terminima. Ispostavilo se da je rješavanje linearnih jednadžbi Gaussovom metodom prilično jednostavno.

Možda neka notacija nije sasvim jasna, pa je potrebno sve razmotriti na primjeru. Recimo da postoji sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Sastoji se od samo dvije jednadžbe u kojima postoje 2 nepoznate. Sistem će imati rješenje samo ako je rang njegove matrice jednak rangu proširene matrice. Šta je čin? Ovo je broj nezavisnih linija sistema. U našem slučaju, rang matrice je 2. Matrica A će se sastojati od koeficijenata koji se nalaze u blizini nepoznatih, a koeficijenti iza znaka “=” će se takođe uklopiti u proširenu matricu.

Zašto se SLAE može predstaviti u matričnom obliku

Na osnovu kriterijuma kompatibilnosti prema dokazanoj Kronecker-Capelli teoremi, sistem linearnih algebarskih jednačina može se predstaviti u matričnom obliku. Koristeći Gaussovu kaskadnu metodu, možete riješiti matricu i dobiti jedini pouzdan odgovor za cijeli sistem. Ako je rang obične matrice jednak rangu njene proširene matrice, ali manji od broja nepoznatih, tada sistem ima beskonačan broj odgovora.

Matrične transformacije

Prije nego što pređemo na rješavanje matrica, potrebno je znati koje se radnje mogu izvršiti na njihovim elementima. Postoji nekoliko osnovnih transformacija:

Prepisivanjem sistema u matrični oblik i provođenjem njegovog rješenja moguće je pomnožiti sve elemente niza istim koeficijentom.
Da bi se matrica pretvorila u kanonski oblik, dva paralelna reda se mogu zamijeniti. Kanonski oblik podrazumijeva da svi elementi matrice koji se nalaze duž glavne dijagonale postaju jedinice, a preostali postaju nule.
Odgovarajući elementi paralelnih redova matrice mogu se dodati jedan drugom.

Jordan-Gaussova metoda

Suština rješavanja sistema linearnih homogenih i nehomogenih jednačina Gaussovom metodom je da se postupno eliminišu nepoznanice. Recimo da imamo sistem od dvije jednačine u kojima postoje dvije nepoznanice. Da biste ih pronašli, morate provjeriti kompatibilnost sistema. Gausova jednačina se rješava vrlo jednostavno. Potrebno je u matričnom obliku ispisati koeficijente koji se nalaze u blizini svake nepoznate. Da biste riješili sistem, morate napisati proširenu matricu. Ako jedna od jednadžbi sadrži manji broj nepoznanica, onda se "0" mora staviti na mjesto elementa koji nedostaje. Na matricu se primjenjuju sve poznate metode transformacije: množenje, dijeljenje brojem, dodavanje odgovarajućih elemenata redova jedni drugima i drugo. Ispada da je u svakom redu potrebno ostaviti jednu varijablu sa vrijednošću "1", ostatak treba smanjiti na nulu. Za preciznije razumijevanje potrebno je razmotriti Gaussovu metodu s primjerima.

Jednostavan primjer rješavanja 2x2 sistema

Za početak, uzmimo jednostavan sistem algebarskih jednadžbi, u kojem će biti 2 nepoznate.

Prepišimo to u proširenu matricu.

Za rješavanje ovog sistema linearnih jednačina potrebne su samo dvije operacije. Moramo dovesti matricu u kanonski oblik tako da postoje jedinice duž glavne dijagonale. Dakle, prevođenjem iz matričnog oblika nazad u sistem, dobijamo jednačine: 1x+0y=b1 i 0x+1y=b2, gde su b1 i b2 odgovori dobijeni u procesu rešavanja.

Prvi korak u rješavanju proširene matrice bit će sljedeći: prvi red se mora pomnožiti sa -7 i odgovarajući elementi dodati u drugi red, respektivno, kako bi se riješila jedna nepoznata u drugoj jednačini.
Kako rješenje jednadžbi Gaussovom metodom podrazumijeva dovođenje matrice u kanonski oblik, onda je potrebno uraditi iste operacije sa prvom jednačinom i ukloniti drugu varijablu. Da bismo to učinili, oduzimamo drugi red od prvog i dobivamo potreban odgovor - rješenje SLAE. Ili, kao što je prikazano na slici, drugi red pomnožimo sa faktorom -1 i dodamo elemente drugog reda u prvi red. Ovo je isto.

Kao što vidite, naš sistem je riješen Jordan-Gaussovom metodom. Prepisujemo ga u traženom obliku: x=-5, y=7.

Primjer rješavanja SLAE 3x3

Pretpostavimo da imamo složeniji sistem linearnih jednačina. Gaussova metoda omogućava izračunavanje odgovora čak i za naizgled najzbunjujući sistem. Stoga, da bismo dublje ušli u metodologiju izračunavanja, možemo prijeći na složeniji primjer sa tri nepoznate.

Kao iu prethodnom primjeru, prepisujemo sistem u obliku proširene matrice i počinjemo da ga dovodimo u kanonski oblik.

Da biste riješili ovaj sistem, morat ćete izvršiti mnogo više radnji nego u prethodnom primjeru.

Prvo morate napraviti u prvoj koloni jedan jedini element, a ostatak nule. Da biste to učinili, pomnožite prvu jednačinu sa -1 i dodajte joj drugu jednačinu. Važno je zapamtiti da prvi red prepisujemo u izvornom obliku, a drugi - već u izmijenjenom obliku.
Zatim uklanjamo istu prvu nepoznatu iz treće jednačine. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente prvog reda sa -2 i dodamo ih trećem redu. Sada su prvi i drugi red prepisani u izvornom obliku, a treći - već s promjenama. Kao što vidite iz rezultata, prvu smo dobili na početku glavne dijagonale matrice, a ostale su nule. Još nekoliko radnji, i sistem jednačina Gaussovom metodom će biti pouzdano riješen.
Sada morate izvršiti operacije na drugim elementima redova. Treći i četvrti korak se mogu kombinovati u jedan. Moramo podijeliti drugu i treću liniju sa -1 da bismo se riješili negativnih na dijagonali. Treću liniju smo već doveli u traženu formu.
Zatim, kanonikaliziramo drugi red. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente trećeg reda sa -3 i dodamo ih drugom redu matrice. Iz rezultata se vidi da je i druga linija svedena na formu koja nam je potrebna. Ostaje napraviti još nekoliko operacija i ukloniti koeficijente nepoznanica iz prvog reda.
Da biste napravili 0 od drugog elementa reda, trebate treći red pomnožiti sa -3 i dodati ga prvom redu.
Sljedeći odlučujući korak je dodavanje potrebnih elemenata drugog reda u prvi red. Tako dobijamo kanonski oblik matrice i, shodno tome, odgovor.

Kao što vidite, rješenje jednadžbi Gaussovom metodom je prilično jednostavno.

Primjer rješavanja 4x4 sistema jednadžbi

Neki složeniji sistemi jednačina mogu se riješiti Gausovom metodom korištenjem kompjuterski programi. Potrebno je ubaciti koeficijente za nepoznate u postojeće prazne ćelije, a program će korak po korak izračunati traženi rezultat, detaljno opisujući svaku radnju.

Opisano u nastavku instrukcija korak po korak rješenja za ovaj primjer.

U prvom koraku se slobodni koeficijenti i brojevi za nepoznate unose u prazne ćelije. Tako dobijamo istu proširenu matricu koju pišemo rukom.

I izvode se sve potrebne aritmetičke operacije kako bi se proširena matrica dovela u kanonski oblik. Mora se shvatiti da odgovor na sistem jednačina nije uvijek cijeli brojevi. Ponekad rješenje može biti iz razlomaka.

Provjera ispravnosti rješenja

Jordan-Gaussova metoda omogućava provjeru ispravnosti rezultata. Da biste saznali da li su koeficijenti ispravno izračunati, potrebno je samo da zamenite rezultat u originalni sistem jednačina. Lijeva strana jednačine se moraju poklapati desna strana, koji se nalazi iza znaka "jednako". Ako se odgovori ne poklapaju, onda morate ponovo izračunati sistem ili pokušati primijeniti neku drugu metodu rješavanja SLAE koja vam je poznata, kao što je zamjena ili oduzimanje po član i sabiranje. Uostalom, matematika je nauka koja ima ogroman broj razne tehnike rješenja. Ali zapamtite: rezultat bi uvijek trebao biti isti, bez obzira na metodu rješenja koju ste koristili.

Gaussova metoda: najčešće greške u rješavanju SLAE

Tokom donošenja odluke linearni sistemi jednadžbi, najčešće se javljaju greške kao što je netačan prenos koeficijenata u matrični oblik. Postoje sistemi u kojima neke nepoznanice nedostaju u jednoj od jednadžbi, pa se, prenošenjem podataka u proširenu matricu, mogu izgubiti. Kao rezultat toga, prilikom rješavanja ovog sistema rezultat možda neće odgovarati stvarnom.

Još jedna od glavnih grešaka može biti netačno ispisivanje konačnog rezultata. Mora se jasno shvatiti da će prvi koeficijent odgovarati prvoj nepoznatoj iz sistema, drugi - drugoj, itd.

Gaussova metoda detaljno opisuje rješenje linearnih jednačina. Olakšava izradu neophodne operacije i pronađite tačan rezultat. Osim toga, ovo univerzalni lijek za traženje pouzdanog odgovora na jednačine bilo koje složenosti. Možda se zato toliko često koristi u rješavanju SLAE.

Gaussova metoda je laka! Zašto? Čuveni njemački matematičar Johann Carl Friedrich Gauss za života je dobio priznanje kao najveći matematičar svih vremena, genije, pa čak i nadimak "Kralj matematike". A sve je genijalno, kao što znate, jednostavno! Inače, u novac ne ulaze samo naivčine, već i genijalci - Gausov portret se vijorio na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se i dalje misteriozno smiješi Nijemcima s običnih poštanskih maraka.

Gaussova metoda je jednostavna po tome što je DOVOLJNO ZNANJE UČENIKA PETOG RAZREDA da njome savlada. Mora biti u stanju sabirati i množiti! Nije slučajno da se metodom sukcesivnog otklanjanja nepoznatih često razmatraju nastavnici na školskim izbornim predmetima matematike. Paradoks je, ali Gaussova metoda stvara najveće poteškoće studentima. Ništa iznenađujuće - sve se radi o metodologiji, a ja ću pokušati u pristupačnom obliku ispričati o algoritmu metode.

Prvo ćemo malo sistematizirati znanje o sistemima linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina može:

1) Imati jedinstveno rješenje.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti nekompatibilno).

Gaussova metoda je najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo koji sistemi linearnih jednačina. Kao što se sećamo Cramerovo pravilo i matrična metoda neprikladni su u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Metoda sukcesivnog uklanjanja nepoznatih u svakom slučaju dovedi nas do odgovora! U ovoj lekciji ćemo ponovo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rešenje sistema), članak je rezervisan za situacije tačaka br. 2-3. Napominjem da sam algoritam metode radi na isti način u sva tri slučaja.

Vratimo se na najjednostavniji sistem iz lekcije Kako riješiti sistem linearnih jednačina?
i riješiti ga Gaussovom metodom.

Prvi korak je pisanje prošireni matrični sistem:
. Po kom principu se bilježe koeficijenti, mislim da svi mogu vidjeti. Vertikalna linija unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je samo precrtano radi lakšeg dizajna.

Referenca :Preporučujem da zapamtite uslovi linearna algebra. System Matrix je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznate, u ovom primjeru, matrica sistema: . Proširena sistemska matrica je ista matrica sistema plus kolona slobodnih pojmova, u ovom slučaju: . Bilo koja od matrica se može nazvati jednostavno matricom radi kratkoće.

Nakon što je proširena matrica sistema napisana, potrebno je izvršiti neke radnje sa njom, koje se još nazivaju elementarne transformacije.

Postoje sljedeće elementarne transformacije:

1) Strings matrice mogu preurediti mjesta. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete sigurno preurediti prvi i drugi red:

2) Ako postoje (ili se pojavljuju) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi u matrici, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu . U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: .

3) Ako se nulti red pojavio u matrici tokom transformacije, onda i on slijedi izbrisati. Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj samo nule.

4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) za bilo koji broj ne-nula. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti sa -3, a drugi red pomnožiti sa 2: . Ova akcija je vrlo korisna, jer pojednostavljuje dalje transformacije matrice.

5) Ova transformacija izaziva najviše poteškoća, ali u stvari ni nema ništa komplikovano. Do reda matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule. Razmotrimo našu matricu iz praktičnog primjera: . Prvo ću detaljno opisati transformaciju. Pomnožite prvi red sa -2: , i drugom redu dodajemo prvi red pomnožen sa -2: . Sada se prvi red može podijeliti "nazad" sa -2: . Kao što vidite, linija koja je DODANA LI – nije se promijenilo. Uvijek je promijenjena je linija KOJOJ JE DODAT UT.

U praksi, naravno, ne slikaju tako detaljno, već pišu kraće:

Još jednom: u drugi red dodao prvi red pomnožen sa -2. Red se obično množi usmeno ili na nacrtu, dok je mentalni tok proračuna otprilike ovako:

“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: »

Prva kolona. Ispod treba da dobijem nulu. Stoga pomnožim gornju jedinicu sa -2:, a prvu dodam u drugi red: 2 + (-2) = 0. Rezultat upišem u drugi red: »

“Sada druga kolona. Iznad -1 puta -2: . Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

“I treća kolona. Iznad -5 puta -2: . Prvi red dodajem u drugi red: -7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

Pažljivo razmislite o ovom primjeru i razumite algoritam sekvencijalnog izračuna, ako ovo razumijete, onda vam je Gaussova metoda praktično "u džepu". Ali, naravno, još uvijek radimo na ovoj transformaciji.

Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina

! PAŽNJA: razmatrane manipulacije ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadane "sama po sebi". Na primjer, sa "klasičnim" matrice ni u kom slučaju ne treba preuređivati nešto unutar matrica!

Vratimo se našem sistemu. Praktično je razbijena na komade.

Napišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, svedemo je na stepenasti pogled:

(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa -2. I opet: zašto prvi red množimo sa -2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom redu.

(2) Drugi red podijelite sa 3.

Svrha elementarnih transformacija – pretvoriti matricu u oblik koraka: . U dizajnu zadatka direktno ističu jednostavnom olovkom"merdevine", a zaokružite i brojeve koji se nalaze na "stepenicama". Sam izraz "stepeni pogled" nije sasvim teorijski, u naučnom i edukativna literaturačesto se zove trapezoidni pogled ili trouglasti pogled.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalentno originalni sistem jednadžbi:

Sada sistem treba "odvrnuti" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove reverzna Gaussova metoda.

U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: .

Razmotrimo prvu jednačinu sistema i u nju ubacimo već poznatu vrijednost "y":

Razmotrimo najčešću situaciju kada je Gaussova metoda potrebna za rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate.

Primjer 1

Rešite sistem jednačina Gaussovom metodom:

Napišimo proširenu matricu sistema:

Sada ću odmah izvući rezultat do kojeg ćemo doći u toku rješenja:

I ponavljam, naš cilj je da matricu dovedemo u stepenasti oblik koristeći elementarne transformacije. Odakle započeti akciju?

Prvo pogledajte gornji lijevi broj:

Trebao bi skoro uvijek biti ovdje jedinica. Uopšteno govoreći, -1 (a ponekad i drugi brojevi) će takođe odgovarati, ali nekako se tradicionalno dešavalo da se tu obično postavlja jedinica. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Transformacija prva: zamijenite prvi i treći red:

Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja. Sada dobro.

Jedinica u gornjem lijevom kutu je organizirana. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima:

Nule se dobijaju samo uz pomoć "teške" transformacije. Prvo se bavimo drugom linijom (2, -1, 3, 13). Šta je potrebno učiniti da bi se nula na prvoj poziciji? Need u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa -2. Mentalno ili na nacrtu, prvi red množimo sa -2: (-2, -4, 2, -18). I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) dodavanje, drugom redu dodajemo prvi red, već pomnožen sa -2:

Rezultat je upisan u drugom redu:

Slično se bavimo i trećom linijom (3, 2, -5, -1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u treći red dodajte prvi red pomnožen sa -3. Mentalno ili na nacrtu, prvi red množimo sa -3: (-3, -6, 3, -27). I trećem redu dodajemo prvi red pomnožen sa -3:

Rezultat je napisan u trećem redu:

U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku:

Nema potrebe da brojite sve odjednom i istovremeno. Redoslijed izračunavanja i "ubacivanja" rezultata dosljedan i obično ovako: prvo prepišemo prvi red, i tiho se puhnemo - DOSTOJNO i PAŽLJIVO:

I već sam gore razmotrio mentalni tok samih proračuna.

U ovom primjeru, to je lako učiniti, drugi red podijelimo sa -5 (pošto su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, treći red dijelimo sa -2, jer šta manje od broja, teme lakše rešenje:

U završnoj fazi elementarnih transformacija, ovdje se mora dobiti još jedna nula:

Za ovo trećem redu dodajemo drugi red, pomnožen sa -2:

Pokušajte sami raščlaniti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi red sa -2 i izvršite zbrajanje.

Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, podijelite treću liniju sa 3.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan početni sistem linearnih jednačina:

Cool.

Sada dolazi u obzir obrnuti tok Gausove metode. Jednačine se "odmotaju" odozdo prema gore.

U trećoj jednačini već imamo gotov rezultat:

Pogledajmo drugu jednačinu: . Značenje "z" je već poznato, dakle:

I na kraju, prva jednadžba: . "Y" i "Z" su poznati, stvar je mala:

Odgovori:

Kao što je više puta napomenuto, za bilo koji sistem jednačina moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, na sreću, to nije teško i brzo.

Primjer 2

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, uzorak dorade i odgovor na kraju lekcije.

Treba napomenuti da vaš tok akcije možda se ne poklapa sa mojim pravcem akcije, a ovo je karakteristika Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti!

Primjer 3

Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Pišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:

Gledamo gornji levi "stupak". Tamo bi trebali imati jedinicu. Problem je što ih u prvoj koloni uopšte nema, pa se preuređivanjem redova ništa ne može riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. uradio sam ovo:
(1) Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa -1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa -1 i izvršili sabiranje prvog i drugog reda, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", što nam savršeno odgovara. Ko želi da dobije +1 može da izvede dodatni pokret: pomnoži prvi red sa -1 (promeni njegov predznak).

(2) Prvi red pomnožen sa 5 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 3 dodan je trećem redu.

(3) Prvi red je pomnožen sa -1, u principu, ovo je za ljepotu. Predznak trećeg reda je također promijenjen i pomjeren na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” dobili željenu jedinicu.

(4) Drugi red pomnožen sa 2 dodan je trećem redu.

(5) Treći red je podijeljen sa 3.

Loš znak koji ukazuje na grešku u proračunu (rjeđe grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo nešto kao ispod, i, shodno tome, , onda se sa velikim stepenom verovatnoće može tvrditi da je u toku elementarnih transformacija napravljena greška.

Naplaćujemo obrnuti potez, u dizajnu primjera sam sistem se često ne prepisuje, a jednačine su „preuzete direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona:

Odgovori: .

Primjer 4

Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Ovo je primjer za nezavisno rješenje, nešto je složenije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rješenje i uzorak dizajna na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog.

U posljednjem dijelu razmatramo neke karakteristike Gaussovog algoritma.
Prva karakteristika je da ponekad neke varijable nedostaju u jednadžbama sistema, na primjer:

Kako ispravno napisati proširenu matricu sistema? Već sam govorio o ovom trenutku u lekciji. Cramerovo pravilo. Matrična metoda. U proširenu matricu sistema stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju:

Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, jer već postoji jedna nula u prvom stupcu, a potrebno je izvesti manje elementarnih transformacija.

Druga karakteristika je ovo. U svim razmatranim primjerima na „stepenice“ smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li postojati drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sistem: .

Ovdje na gornjoj lijevoj "stepenici" imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi sa 2 bez ostatka - i još dva i šest. I dvojka u gornjem lijevom kutu će nam odgovarati! U prvom koraku potrebno je izvršiti sljedeće transformacije: drugom redu dodati prvi red pomnožen sa -1; u treći red dodajte prvi red pomnožen sa -3. Tako ćemo u prvom stupcu dobiti željene nule.

Ili ovako uslovni primjer: . Ovdje nam odgovara i trojka na drugoj "prečagi", jer je 12 (mjesto gdje trebamo dobiti nulu) djeljivo sa 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: u treći red dodati drugi red, pomnožen sa -4, kao rezultat će se dobiti nula koja nam je potrebna.

Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Samouvjereno naučite rješavati sisteme drugim metodama (Cramerova metoda, matrična metoda) može biti doslovno prvi put - postoji vrlo strog algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, trebali biste “napuniti ruku” i riješiti barem 5-10 sistema. Stoga u početku može doći do zabune, grešaka u proračunima i u tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.

Kišno jesenje vrijeme ispred prozora.... Stoga za sve više složen primjer za samostalno rješenje:

Primjer 5

Rešiti sistem od četiri linearne jednačine sa četiri nepoznate Gaussovom metodom.

Takav zadatak u praksi nije tako rijedak. Mislim da čak i čajnik koji je detaljno proučio ovu stranicu razumije algoritam za rješavanje takvog sistema intuitivno. U osnovi isto - samo više akcije.

Slučajevi u kojima sistem nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sistemi i sistemi sa općim rješenjem. Tamo možete popraviti razmatrani algoritam Gaussove metode.

Želim vam uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje : Zapišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u stepenasti oblik.

Izvršene elementarne transformacije:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa -2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -1. Pažnja! Ovdje može biti primamljivo oduzeti prvi od trećeg reda, nikako ne preporučujem oduzimanje - rizik od greške se uvelike povećava. Samo odustajemo!
(2) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa -1). Drugi i treći red su zamijenjeni. Bilješka da smo na „stepenicama“ zadovoljni ne samo sa jednim, već i sa -1, što je još zgodnije.
(3) Trećem redu dodajte drugi red, pomnožen sa 5.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa -1). Treći red je podeljen sa 14.

Obrnuti potez:

Odgovori: .

Primjer 4: Rješenje : Pišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:

Izvršene konverzije:
(1) Drugi red je dodan prvom redu. Dakle, željena jedinica je organizirana na gornjem lijevom “stupanju”.
(2) Prvi red pomnožen sa 7 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 6 dodan je trećem redu.

Sa drugim "korakom" sve je gore , "kandidati" za to su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili -1. Transformacije (3) i (4) će imati za cilj dobijanje željene jedinice

(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -1.
(4) Treći red, pomnožen sa -3, dodat je drugom redu.
(3) Drugi red pomnožen sa 4 dodat je trećem redu, a drugi red pomnožen sa -1 dodan je četvrtom redu.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen. Četvrti red je podijeljen sa 3 i postavljen umjesto trećeg reda.
(5) Treći red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa -5.

Obrnuti potez: