რა არის ფუნქციის წარმოებული წერტილი? პოსტები წარწერით "წარმოებული განმარტება"

ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ ძირითად ცნებებს, რომლებზეც დაფუძნებული იქნება მთელი შემდგომი თეორია ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის თემაზე.

ბილიკი x არის f(x) ფუნქციის არგუმენტი და არის ნულისაგან განსხვავებული მცირე რიცხვი.

(წაიკითხეთ „დელტა x“) ე.წ ფუნქციის არგუმენტის გაზრდა. ნახატზე წითელი ხაზი გვიჩვენებს არგუმენტის ცვლილებას x მნიშვნელობიდან მნიშვნელობამდე (აქედან გამომდინარეობს არგუმენტის სახელწოდების „ნამატის“ არსი).

არგუმენტის მნიშვნელობიდან ფუნქციის მნიშვნელობებზე გადასვლისას შესაბამისად იცვლება დან მდე, იმ პირობით, რომ ფუნქცია მონოტონურია ინტერვალზე. განსხვავება ჰქვია f(x) ფუნქციის ზრდა, ამ არგუმენტის ნამატის შესაბამისი. ნახატზე ფუნქციის ზრდა ნაჩვენებია ლურჯი ხაზით.

მოდით შევხედოთ ამ ცნებებს კონკრეტული მაგალითის გამოყენებით.

ავიღოთ, მაგალითად, ფუნქცია . მოდით დავაფიქსიროთ არგუმენტის წერტილი და ზრდა. ამ შემთხვევაში ფუნქციის მატება დან გადასვლისას ტოლი იქნება

უარყოფითი ზრდა მიუთითებს სეგმენტზე ფუნქციის შემცირებაზე.

გრაფიკული ილუსტრაცია

ფუნქციის წარმოებულის განსაზღვრა წერტილში.

დაე, ფუნქცია f(x) განისაზღვროს (a; b) ინტერვალზე და იყოს ამ ინტერვალის წერტილები. f(x) ფუნქციის წარმოებული წერტილშიეწოდება ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან. დანიშნული .

როდესაც ბოლო ზღვარი იღებს კონკრეტულ საბოლოო მნიშვნელობას, ჩვენ ვსაუბრობთ არსებობაზე სასრულ წარმოებული წერტილში. თუ ზღვარი უსასრულოა, მაშინ ისინი ამას ამბობენ წარმოებული უსასრულოა მოცემულ წერტილში. თუ ლიმიტი არ არსებობს, მაშინ ფუნქციის წარმოებული ამ ეტაპზე არ არსებობს.

ფუნქცია f(x) ეწოდება დიფერენცირებადი წერტილში, როცა მასში სასრულ წარმოებული აქვს.

თუ ფუნქცია f(x) დიფერენცირებადია გარკვეული ინტერვალის თითოეულ წერტილში (a; b), მაშინ ფუნქციას ამ ინტერვალზე დიფერენცირებადი ეწოდება. ამრიგად, ნებისმიერი x წერტილი (a; b) ინტერვალიდან შეიძლება ასოცირებული იყოს ამ მომენტში ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობასთან, ანუ გვაქვს შესაძლებლობა განვსაზღვროთ ახალი ფუნქცია, რომელიც ე.წ. f(x) ფუნქციის წარმოებული ინტერვალზე (a; b).

წარმოებულის პოვნის ოპერაცია ეწოდება დიფერენციაცია.

განვასხვავოთ ფუნქციის წარმოებულის ცნებების ბუნება წერტილში და ინტერვალზე: ფუნქციის წარმოებული წერტილი არის რიცხვი, ხოლო ფუნქციის წარმოებული ინტერვალზე არის ფუნქცია.

მოდით შევხედოთ ამას მაგალითებით, რათა სურათი უფრო ნათელი გახდეს. დიფერენცირებისას გამოვიყენებთ წარმოებულის განმარტებას, ანუ ვაგრძელებთ ლიმიტების პოვნას. თუ სირთულეები წარმოიქმნება, გირჩევთ მიმართოთ თეორიის განყოფილებას.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილის განსაზღვრის გამოყენებით.

გამოსავალი.

ვინაიდან ჩვენ ვეძებთ ფუნქციის წარმოებულს წერტილში, პასუხი უნდა შეიცავდეს რიცხვს. მოდით დავწეროთ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან და გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიის ფორმულები:

ამოცანა B9 იძლევა ფუნქციის ან წარმოებულის გრაფიკს, საიდანაც თქვენ უნდა განსაზღვროთ შემდეგი სიდიდეებიდან ერთ-ერთი:

წარმოებულის მნიშვნელობა რაღაც მომენტში x 0,
მაქსიმალური ან მინიმალური ქულები (ექსტრემალური ქულები),
მზარდი და კლებადი ფუნქციების ინტერვალები (ერთფეროვნების ინტერვალები).

ამ პრობლემაში წარმოდგენილი ფუნქციები და წარმოებულები ყოველთვის უწყვეტია, რაც გადაწყვეტას ბევრად აადვილებს. იმისდა მიუხედავად, რომ დავალება მათემატიკური ანალიზის განყოფილებას განეკუთვნება, ყველაზე სუსტ მოსწავლეებსაც კი შეუძლიათ ამის გაკეთება, რადგან აქ ღრმა თეორიული ცოდნა არ არის საჭირო.

წარმოებულის, ექსტრემალური წერტილებისა და ერთფეროვნების ინტერვალების მნიშვნელობის საპოვნელად არსებობს მარტივი და უნივერსალური ალგორითმები - ყველა მათგანი ქვემოთ იქნება განხილული.

ყურადღებით წაიკითხეთ B9 პრობლემის პირობები, რათა თავიდან აიცილოთ სულელური შეცდომები: ხანდახან წააწყდებით საკმაოდ ვრცელ ტექსტებს, მაგრამ მნიშვნელოვანი პირობები, რომლებიც გავლენას ახდენენ გადაწყვეტილების მსვლელობაზე, ცოტაა.

წარმოებული მნიშვნელობის გაანგარიშება. ორი წერტილის მეთოდი

თუ პრობლემას მოცემულია f(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც ტანგენტია ამ გრაფიკზე რაღაც წერტილში x 0, და საჭიროა ამ ეტაპზე წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

იპოვეთ ორი „ადეკვატური“ წერტილი ტანგენტის გრაფიკზე: მათი კოორდინატები უნდა იყოს მთელი რიცხვი. ავღნიშნოთ ეს წერტილები A (x 1 ; y 1) და B (x 2 ; y 2). ჩაწერეთ კოორდინატები სწორად - ეს არის საკვანძო მომენტიგადაწყვეტილებები და ნებისმიერი შეცდომა აქ იწვევს არასწორ პასუხს.
კოორდინატების ცოდნით ადვილია არგუმენტის Δx = x 2 − x 1 და Δy = y 2 − y 1 ფუნქციის ნამატის გამოთვლა.
საბოლოოდ, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას D = Δy/Δx. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გაყოთ ფუნქციის ზრდა არგუმენტის ზრდაზე - და ეს იქნება პასუხი.

კიდევ ერთხელ აღვნიშნოთ: A და B წერტილები ზუსტად უნდა ვეძებოთ ტანგენსზე და არა f(x) ფუნქციის გრაფიკზე, როგორც ეს ხშირად ხდება. ტანგენტის ხაზი აუცილებლად შეიცავს მინიმუმ ორ ასეთ წერტილს - წინააღმდეგ შემთხვევაში პრობლემა არ იქნება სწორად ჩამოყალიბებული.

განვიხილოთ წერტილები A (−3; 2) და B (−1; 6) და იპოვეთ ნამატები:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

ვიპოვოთ წარმოებულის მნიშვნელობა: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x 0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.

განვიხილოთ წერტილები A (0; 3) და B (3; 0), იპოვეთ ნამატები:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

ახლა ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x 0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.

განვიხილოთ წერტილები A (0; 2) და B (5; 2) და იპოვეთ ნამატები:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

რჩება წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

ბოლო მაგალითიდან შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ წესი: თუ ტანგენსი პარალელურია OX ღერძისა, ფუნქციის წარმოებული ტანგენციის წერტილში არის ნული. ამ შემთხვევაში, თქვენ არც კი გჭირდებათ არაფრის დათვლა - უბრალოდ შეხედეთ გრაფიკს.

მაქსიმალური და მინიმალური ქულების გაანგარიშება

ზოგჯერ, ფუნქციის გრაფიკის ნაცვლად, ამოცანა B9 იძლევა წარმოებულის გრაფიკს და მოითხოვს ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილის პოვნას. ამ სიტუაციაში ორპუნქტიანი მეთოდი გამოუსადეგარია, მაგრამ არსებობს სხვა, კიდევ უფრო მარტივი ალგორითმი. პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ტერმინოლოგია:

x 0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≥ f(x).
x 0 წერტილს უწოდებენ f(x) ფუნქციის მინიმალურ წერტილს, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≤ f(x).

იმისათვის, რომ იპოვოთ მაქსიმალური და მინიმალური ქულები წარმოებული გრაფიკიდან, უბრალოდ მიჰყევით ამ ნაბიჯებს:

გადახაზეთ წარმოებული გრაფიკი, წაშალეთ ყველა არასაჭირო ინფორმაცია. როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, არასაჭირო მონაცემები მხოლოდ გადაწყვეტილებას ერევა. აქედან გამომდინარე, ჩვენ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნულებს კოორდინატთა ღერძზე - და ეს არის ის.
გაარკვიეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებზე. თუ x 0 წერტილისთვის ცნობილია, რომ f'(x 0) ≠ 0, მაშინ შესაძლებელია მხოლოდ ორი ვარიანტი: f'(x 0) ≥ 0 ან f'(x 0) ≤ 0. წარმოებულის ნიშანია მარტივია ორიგინალური ნახაზის დადგენა: თუ წარმოებული გრაფიკი დევს OX ღერძის ზემოთ, მაშინ f'(x) ≥ 0. და პირიქით, თუ წარმოებული გრაფიკი მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, მაშინ f'(x) ≤ 0.
ჩვენ კვლავ ვამოწმებთ წარმოებულის ნულებს და ნიშნებს. სადაც ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე არის მინიმალური წერტილი. პირიქით, თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსზე, ეს არის მაქსიმალური წერტილი. დათვლა ყოველთვის კეთდება მარცხნიდან მარჯვნივ.

ეს სქემა მუშაობს მხოლოდ უწყვეტი ფუნქციებისთვის - პრობლემა B9-ში სხვა არ არის.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−5] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 5]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.

მოვიშოროთ არასაჭირო ინფორმაცია და დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−5; 5] და x = −3 და x = 2,5 წარმოებულის ნულები. ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ ნიშნებს:

ცხადია, x = −3 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე. ეს არის მინიმალური წერტილი.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.

მოდით გადავახაზოთ გრაფიკი და დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−3; 7] და წარმოებულის ნულები x = −1,7 და x = 5. აღვნიშნოთ წარმოებულის ნიშნები მიღებულ გრაფიკზე. Ჩვენ გვაქვს:

ცხადია, x = 5 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსამდე - ეს არის მაქსიმალური წერტილი.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია [−6; 4]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა, რომელიც მიეკუთვნება სეგმენტს [−4; 3].

ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ საკმარისია გრაფის მხოლოდ სეგმენტით შეზღუდული ნაწილის გათვალისწინება [−4; 3]. ამიტომ, ვაშენებთ ახალ გრაფიკს, რომელზედაც აღვნიშნავთ მხოლოდ საზღვრებს [−4; 3] და მის შიგნით წარმოებულის ნულები. კერძოდ, წერტილები x = −3.5 და x = 2. მივიღებთ:

ამ გრაფიკზე არის მხოლოდ ერთი მაქსიმალური წერტილი x = 2. სწორედ ამ დროს იცვლება წარმოებულის ნიშანი პლუსიდან მინუსზე.

მცირე შენიშვნა არა მთელი რიცხვის კოორდინატებით წერტილების შესახებ. მაგალითად, ბოლო ამოცანაში განიხილებოდა წერტილი x = −3,5, მაგრამ იგივე წარმატებით შეგვიძლია ავიღოთ x = −3,4. თუ პრობლემა სწორად არის შედგენილი, ასეთი ცვლილებები არ უნდა იმოქმედოს პასუხზე, რადგან პუნქტები „ფიქსირებული საცხოვრებელი ადგილის გარეშე“ უშუალოდ არ მონაწილეობენ პრობლემის გადაჭრაში. რა თქმა უნდა, ეს ხრიკი არ იმუშავებს მთელი რიცხვით.

გაზრდის და კლების ფუნქციების ინტერვალების მოძიება

ასეთ პრობლემაში, როგორც მაქსიმალური და მინიმალური ქულები, შემოთავაზებულია გამოვიყენოთ წარმოებული გრაფიკი იმ უბნების მოსაძებნად, რომლებშიც თავად ფუნქცია იზრდება ან მცირდება. ჯერ განვსაზღვროთ რა არის მატება და კლება:

f(x) ფუნქცია იზრდება სეგმენტზე, თუ რომელიმე ორი წერტილისთვის x 1 და x 2 ამ სეგმენტიდან არის შემდეგი განცხადება: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო დიდია არგუმენტის მნიშვნელობა, მით უფრო დიდია ფუნქციის მნიშვნელობა.
f(x) ფუნქცია მცირდება სეგმენტზე, თუ ამ სეგმენტის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის x 1 და x 2 სწორია შემდეგი განცხადება: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . იმათ. უფრო მაღალი ღირებულებაარგუმენტი შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ საკმარისი პირობები გაზრდისა და შემცირებისთვის:

იმისათვის, რომ f(x) უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე გაიზარდოს, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით იყოს დადებითი, ე.ი. f'(x) ≥ 0.
იმისათვის, რომ f(x) უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე შემცირდეს, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით იყოს უარყოფითი, ე.ი. f'(x) ≤ 0.

მოდით მივიღოთ ეს განცხადებები მტკიცებულების გარეშე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სქემას ზრდისა და კლების ინტერვალების საპოვნელად, რომელიც მრავალი თვალსაზრისით მსგავსია ექსტრემალური წერტილების გამოთვლის ალგორითმს:

წაშალეთ ყველა არასაჭირო ინფორმაცია. წარმოებულის თავდაპირველ გრაფიკში ჩვენ პირველ რიგში გვაინტერესებს ფუნქციის ნულები, ამიტომ მხოლოდ მათ დავტოვებთ.
მონიშნეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებში. სადაც f'(x) ≥ 0, ფუნქცია იზრდება, ხოლო სადაც f'(x) ≤ 0, მცირდება. თუ პრობლემა ადგენს შეზღუდვებს x ცვლადზე, ჩვენ დამატებით აღვნიშნავთ მათ ახალ გრაფიკზე.
ახლა, როდესაც ჩვენ ვიცით ფუნქციის ქცევა და შეზღუდვები, რჩება პრობლემაში საჭირო რაოდენობის გამოთვლა.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7.5]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის შემცირების ინტერვალები. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შემავალი მთელი რიცხვების ჯამი.

ჩვეულებისამებრ, მოდით გადავახაზოთ გრაფიკი და მოვნიშნოთ საზღვრები [−3; 7.5], ასევე x = −1.5 და x = 5.3 წარმოებულის ნულები. შემდეგ ჩვენ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნიშნებს. Ჩვენ გვაქვს:

ვინაიდან წარმოებული უარყოფითია ინტერვალზე (− 1.5), ეს არის კლების ფუნქციის ინტერვალი. რჩება ამ ინტერვალის შიგნით არსებული ყველა რიცხვის შეჯამება:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია [−10; 4]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები. თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

მოვიშოროთ არასაჭირო ინფორმაცია. დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−10; 4] და წარმოებულის ნულები, რომელთაგან ამჯერად ოთხი იყო: x = −8, x = −6, x = −3 და x = 2. ავღნიშნოთ წარმოებულის ნიშნები და მივიღოთ შემდეგი სურათი:

ჩვენ გვაინტერესებს ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები, ე.ი. ისეთი სადაც f’(x) ≥ 0. გრაფიკზე ორი ასეთი ინტერვალია: (−8; −6) და (−3; 2). გამოვთვალოთ მათი სიგრძე:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

ვინაიდან ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველაზე დიდი ინტერვალების სიგრძე, პასუხად ვწერთ მნიშვნელობას l 2 = 5.

როცა გადაწყვეტს სხვადასხვა ამოცანებიგეომეტრია, მექანიკა, ფიზიკა და ცოდნის სხვა დარგები საჭირო გახდა ამ ფუნქციის იგივე ანალიტიკური პროცესის გამოყენებით. y=f(x)მიიღეთ ახალი ფუნქცია ე.წ წარმოებული ფუნქცია(ან უბრალოდ წარმოებული) მოცემული ფუნქციის f(x)და აღინიშნება სიმბოლოთი

პროცესი, რომლითაც მოცემული ფუნქციიდან f(x)მიიღეთ ახალი ფუნქცია f" (x), დაურეკა დიფერენციაციადა შედგება შემდეგი სამი ეტაპისგან: 1) არგუმენტის მიცემა xმატება  xდა განსაზღვრეთ ფუნქციის შესაბამისი ზრდა  y = f(x+ x) -f(x); 2) შეადგინეთ ურთიერთობა

3) დათვლა xმუდმივი და  x0, ვპოულობთ
, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ f" (x), თითქოს ხაზს უსვამს, რომ მიღებული ფუნქცია დამოკიდებულია მხოლოდ მნიშვნელობაზე x, რაზეც მივდივართ ლიმიტამდე. განმარტება: წარმოებული y "=f" (x) მოცემული ფუნქცია y=f(x) მოცემული x-ისთვისეწოდება ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, იმ პირობით, რომ არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის, თუ, რა თქმა უნდა, ეს ზღვარი არსებობს, ე.ი. სასრული. ამრიგად,
, ან

გაითვალისწინეთ, რომ თუ გარკვეული მნიშვნელობისთვის xმაგალითად, როდესაც x=a, დამოკიდებულება
ზე  x0 არ მიდრეკილია სასრულ ზღვრამდე, მაშინ ამ შემთხვევაში ამბობენ, რომ ფუნქცია f(x)ზე x=a(ან წერტილში x=a) არ აქვს წარმოებული ან არ არის დიფერენცირებადი წერტილში x=a.

2. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

განვიხილოთ y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი, დიფერენცირებადი x 0 წერტილის სიახლოვეს.

f(x)

განვიხილოთ თვითნებური სწორი ხაზი, რომელიც გადის ფუნქციის გრაფიკის წერტილში - წერტილი A(x 0, f (x 0)) და კვეთს გრაფიკს რაღაც წერტილში B(x;f(x)). ასეთ ხაზს (AB) სეკანტი ეწოდება. ∆ABC-დან: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

AC || Ox, შემდეგ ALO = BAC = β (როგორც შესაბამისი პარალელისთვის). მაგრამ ALO არის AB სეკანტის დახრის კუთხე Ox ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ. ეს ნიშნავს, რომ tanβ = k არის AB სწორი ხაზის დახრილობა.

ახლა შევამცირებთ ∆х, ე.ი. ∆х→ 0. ამ შემთხვევაში B წერტილი გრაფიკის მიხედვით მიახლოვდება A წერტილს და ბრუნავს სეკანტი AB. AB სეკანტის შემზღუდველი პოზიცია ∆x→ 0-ზე იქნება სწორი ხაზი (a), რომელსაც ეწოდება tangent y = f (x) ფუნქციის გრაფიკზე A წერტილში.

თუ ზღვარზე გადავალთ, როგორც ∆x → 0 ტოლობაში tgβ =∆y/∆x, მივიღებთ
ortg =f "(x 0), ვინაიდან
-ოქსის ღერძის დადებითი მიმართულების ტანგენსის დახრის კუთხე
, წარმოებულის განმარტებით. მაგრამ tg = k არის ტანგენტის კუთხური კოეფიციენტი, რაც ნიშნავს k = tg = f "(x 0).

ასე რომ, წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა შემდეგია:

x წერტილში ფუნქციის წარმოებული 0 x აბსცისით დახატული ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობის ტოლია 0 .

3. წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა.

განვიხილოთ წერტილის მოძრაობა სწორი ხაზის გასწვრივ. მოცემული იყოს წერტილის კოორდინატი ნებისმიერ დროს x(t). ცნობილია (ფიზიკის კურსიდან), რომ საშუალო სიჩქარე დროის მონაკვეთში ტოლია დროის ამ მონაკვეთში გავლილი მანძილის თანაფარდობასთან, ე.ი.

Vav = ∆x/∆t. გადავიდეთ ბოლო ტოლობის ზღვარზე, როგორც ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - მყისიერი სიჩქარე დროს t 0, ∆t → 0.

და lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (წარმოებულის განმარტებით).

ასე რომ, (t) =x"(t).

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა ასეთია: ფუნქციის წარმოებულიწ = ვ(x) წერტილშიx 0 არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარევ(x) წერტილშიx 0

წარმოებული გამოიყენება ფიზიკაში სიჩქარის საპოვნელად კოორდინატების ცნობილი ფუნქციიდან დროის წინააღმდეგ, აჩქარება სიჩქარის ცნობილი ფუნქციიდან დროის წინააღმდეგ.

(t) = x"(t) - სიჩქარე,

a(f) = "(t) - აჩქარება, ან

თუ წრეში მატერიალური წერტილის მოძრაობის კანონი ცნობილია, მაშინ შეიძლება ვიპოვოთ კუთხური სიჩქარე და კუთხური აჩქარება ბრუნვის დროს:

φ = φ(t) - კუთხის ცვლილება დროთა განმავლობაში,

ω = φ"(t) - კუთხური სიჩქარე,

ε = φ"(t) - კუთხოვანი აჩქარება, ან ε = φ"(t).

თუ ცნობილია არაერთგვაროვანი ღეროს მასის განაწილების კანონი, მაშინ შეიძლება მოიძებნოს არაჰომოგენური ღეროს წრფივი სიმკვრივე:

m = m(x) - მასა,

x , l - ღეროს სიგრძე,

p = m"(x) - წრფივი სიმკვრივე.

წარმოებულის გამოყენებით იხსნება ამოცანები ელასტიურობის თეორიიდან და ჰარმონიული ვიბრაციებიდან. ასე რომ, ჰუკის კანონის მიხედვით

F = -kx, x – ცვლადი კოორდინატი, k – ზამბარის ელასტიურობის კოეფიციენტი. თუ დავსვამთ ω 2 =k/m, ვიღებთ ზამბარის ქანქარის დიფერენციალურ განტოლებას x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

სადაც ω = √k/√m რხევის სიხშირე (l/c), k - ზამბარის სიმტკიცე (H/m).

y" + ω 2 y = 0 ფორმის განტოლებას ეწოდება ჰარმონიული რხევების (მექანიკური, ელექტრული, ელექტრომაგნიტური) განტოლება. ასეთი განტოლებების ამოხსნა არის ფუნქცია.

y = Asin(ωt + φ 0) ან y = Acos(ωt + φ 0), სადაც

A - რხევების ამპლიტუდა, ω - ციკლური სიხშირე,

φ 0 - საწყისი ფაზა.

რა არის წარმოებული?
წარმოებული ფუნქციის განმარტება და მნიშვნელობა

ბევრს გააკვირვებს ამ სტატიის მოულოდნელი განთავსება ჩემი ავტორის კურსში ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულზე და მის აპლიკაციებზე. ყოველივე ამის შემდეგ, როგორც ეს იყო სკოლიდან: სტანდარტული სახელმძღვანელო, პირველ რიგში, იძლევა წარმოებულის განმარტებას, მის გეომეტრიულ, მექანიკურ მნიშვნელობას. შემდეგ, სტუდენტები პოულობენ ფუნქციების წარმოებულებს განსაზღვრებით და, ფაქტობრივად, მხოლოდ ამის შემდეგ სრულყოფენ დიფერენცირების ტექნიკას გამოყენებით წარმოებული ცხრილები.

მაგრამ ჩემი აზრით, შემდეგი მიდგომა უფრო პრაგმატულია: პირველ რიგში, მიზანშეწონილია კარგად გაიგოთ ფუნქციის ლიმიტიდა, კერძოდ, უსასრულოდ მცირე რაოდენობით. ფაქტია რომ წარმოებულის განმარტება ეფუძნება ლიმიტის ცნებას, რომელიც ცუდად არის განხილული სკოლის კურსი. სწორედ ამიტომ, ცოდნის გრანიტის ახალგაზრდა მომხმარებელთა მნიშვნელოვან ნაწილს არ ესმის წარმოებულის არსი. ამრიგად, თუ თქვენ არ გესმით დიფერენციალური გამოთვლების შესახებ ან გონიერმა ტვინმა წარმატებით მოიშორა ეს ბარგი მრავალი წლის განმავლობაში, გთხოვთ, დაიწყოთ ფუნქციის ლიმიტები. ამავე დროს დაეუფლეთ/დაიმახსოვრეთ მათი გადაწყვეტა.

იგივე პრაქტიკული აზრი გვკარნახობს, რომ ეს პირველ რიგში ხელსაყრელია ისწავლეთ წარმოებულების პოვნა, მათ შორის რთული ფუნქციების წარმოებულები. თეორია თეორიაა, მაგრამ, როგორც ამბობენ, ყოველთვის გინდა დიფერენცირება. ამ მხრივ ჯობია ჩამოთვლილი საბაზისო გაკვეთილებით ვიმუშაოთ და შესაძლოა დიფერენციაციის ოსტატიმათი ქმედებების არსის გაცნობიერების გარეშეც კი.

გირჩევთ დაიწყოთ ამ გვერდის მასალებით სტატიის წაკითხვის შემდეგ. უმარტივესი პრობლემები წარმოებულებთან, სადაც, კერძოდ, განხილულია ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის პრობლემა. მაგრამ შეგიძლიათ დაელოდოთ. ფაქტია, რომ წარმოებულის მრავალი გამოყენება არ საჭიროებს მის გაგებას და გასაკვირი არ არის, რომ თეორიული გაკვეთილი საკმაოდ გვიან გამოჩნდა - როცა ახსნა მჭირდებოდა. მზარდი/კლებადი ინტერვალებისა და ექსტრემების პოვნაფუნქციები. უფრო მეტიც, ის საკმაოდ დიდხანს იყო ამ თემაზე. ფუნქციები და გრაფიკები”, სანამ საბოლოოდ გადავწყვიტე ადრე დამეწერა.

ამიტომ, ძვირფასო ჩაიდანებო, ნუ იჩქარებთ წარმოებულის არსის შეწოვას, როგორც მშიერი ცხოველები, რადგან გაჯერება იქნება უგემოვნო და არასრული.

ფუნქციის გაზრდის, კლების, მაქსიმუმის, მინიმუმის კონცეფცია

ბევრი სასწავლო საშუალებებიმიგვიყვანს წარმოებულის ცნებამდე რამდენიმე პრაქტიკული ამოცანის გამოყენებით და მეც მივიღე საინტერესო მაგალითი. წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ ვაპირებთ გამგზავრებას ქალაქში, სადაც მისვლა შესაძლებელია სხვადასხვა გზით. მოდით, დაუყოვნებლივ გადავაგდოთ მრუდი დახვეული ბილიკები და განვიხილოთ მხოლოდ სწორი მაგისტრალები. თუმცა, სწორი მიმართულებები ასევე განსხვავებულია: შეგიძლიათ ქალაქში მოხვდეთ ბრტყელი გზატკეცილის გასწვრივ. ან მთიანი გზატკეცილის გასწვრივ - მაღლა და ქვევით, მაღლა და ქვევით. სხვა გზა მხოლოდ აღმართზე მიდის, მეორე კი სულ დაღმართზე მიდის. ექსტრემალური ენთუზიასტები აირჩევენ მარშრუტს ხეობაში ციცაბო კლდეებით და ციცაბო ასვლით.

მაგრამ როგორიც არ უნდა იყოს თქვენი პრეფერენციები, მიზანშეწონილია იცოდეთ ტერიტორია ან მინიმუმ მისი ადგილმდებარეობა ტოპოგრაფიული რუკა. რა მოხდება, თუ ასეთი ინფორმაცია აკლია? ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ, მაგალითად, გლუვი ბილიკი, მაგრამ შედეგად წააწყდეთ სათხილამურო ტრასაზე მხიარულ ფინელებთან ერთად. ფაქტი არ არის, რომ ნავიგატორი ან თუნდაც სატელიტური გამოსახულება უზრუნველყოფს სანდო მონაცემებს. აქედან გამომდინარე, კარგი იქნება გზის რელიეფის ფორმალიზება მათემატიკის გამოყენებით.

მოდით გადავხედოთ რამდენიმე გზას (გვერდითი ხედი):

ყოველი შემთხვევისთვის შეგახსენებთ ელემენტარულ ფაქტს: მოგზაურობა ხდება მარცხნიდან მარჯვნივ. სიმარტივისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ფუნქცია უწყვეტიგანსახილველ ტერიტორიაზე.

რა არის ამ გრაფიკის მახასიათებლები?

ინტერვალებით ფუნქცია იზრდება, ანუ მისი ყოველი შემდეგი მნიშვნელობა მეტიწინა. უხეშად რომ ვთქვათ, გრაფიკი ჩართულია ქვემოთ ზემოთ(მთაზე ავდივართ). ხოლო ინტერვალზე ფუნქცია მცირდება- ყოველი შემდეგი მნიშვნელობა ნაკლებიწინა და ჩვენი განრიგი შესრულებულია ზემოდან ქვემოთ(ჩავდივართ ფერდობზე).

ასევე ყურადღება მივაქციოთ განსაკუთრებულ პუნქტებს. იმ წერტილში, სადაც მივაღწიეთ მაქსიმუმ, ანუ არსებობსბილიკის ისეთი მონაკვეთი, სადაც მნიშვნელობა იქნება ყველაზე დიდი (უმაღლესი). ამავე დროს მიიღწევა მინიმალური, და არსებობსმისი სამეზობლო, რომელშიც მნიშვნელობა არის ყველაზე პატარა (ყველაზე დაბალი).

კლასში უფრო მკაცრ ტერმინოლოგიასა და განმარტებებს განვიხილავთ. ფუნქციის უკიდურესობის შესახებ, მაგრამ ახლა მოდით შევისწავლოთ კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: ინტერვალებით ფუნქცია იზრდება, მაგრამ იზრდება სხვადასხვა სიჩქარით. და პირველი, რაც იპყრობს თქვენს თვალს, არის ის, რომ გრაფიკი იზრდება ინტერვალის დროს ბევრად უფრო მაგარი, ვიდრე ინტერვალზე . შესაძლებელია თუ არა გზის ციცაბოს გაზომვა მათემატიკური ხელსაწყოების გამოყენებით?

ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე

იდეა ასეთია: ავიღოთ გარკვეული მნიშვნელობა (წაიკითხეთ "დელტა x"), რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ არგუმენტის ზრდადა დავიწყოთ „მისი ცდა“ ჩვენი გზის სხვადასხვა წერტილში:

1) გადავხედოთ ყველაზე მარცხენა წერტილს: მანძილის გავლისას, ფერდობზე ავდივართ სიმაღლეზე (მწვანე ხაზი). რაოდენობას ე.წ ფუნქციის გაზრდადა ამ შემთხვევაში ეს ზრდა დადებითია (ღერძის გასწვრივ მნიშვნელობების სხვაობა ნულზე მეტია). მოდით შევქმნათ თანაფარდობა, რომელიც იქნება ჩვენი გზის ციცაბოობის საზომი. ცხადია, ეს არის ძალიან კონკრეტული რიცხვი და რადგან ორივე ნამატი დადებითია, მაშინ .

ყურადღება! აღნიშვნები არის ერთისიმბოლო, ანუ, თქვენ არ შეგიძლიათ "ამოშალოთ" "დელტა" "X"-დან და განიხილოთ ეს ასოები ცალკე. რა თქმა უნდა, კომენტარი ასევე ეხება ფუნქციის გაზრდის სიმბოლოს.

მოდით გამოვიკვლიოთ მიღებული წილადის ბუნება უფრო მნიშვნელოვნად. თავდაპირველად ვიყოთ 20 მეტრის სიმაღლეზე (მარცხნივ შავ წერტილში). მეტრის მანძილის (მარცხენა წითელი ხაზი) დაფარვის შემდეგ აღმოვჩნდებით 60 მეტრის სიმაღლეზე. მაშინ ფუნქციის ზრდა იქნება მეტრი (მწვანე ხაზი) და: . ამრიგად, ყოველ მეტრზეგზის ამ მონაკვეთზე სიმაღლე იზრდება საშუალოდ 4 მეტრით...არ დაგავიწყდეს ასვლა აღჭურვილობა? =) სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აგებული ურთიერთობა ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების საშუალო სიჩქარეს (ამ შემთხვევაში ზრდის).

შენიშვნა : მოცემული მაგალითის რიცხვითი მნიშვნელობები მხოლოდ დაახლოებით შეესაბამება ნახატის პროპორციებს.

2) ახლა მოდით გავიაროთ იგივე მანძილი ყველაზე მარჯვენა შავი წერტილიდან. აქ აწევა უფრო ეტაპობრივია, ამიტომ ნამატი (ჟოლოსფერი ხაზი) შედარებით მცირეა და შეფარდება წინა შემთხვევასთან შედარებით ძალიან მოკრძალებული იქნება. შედარებით რომ ვთქვათ, მეტრი და ფუნქციის ზრდის ტემპიარის . ანუ, აქ არის ბილიკის ყოველ მეტრზე საშუალოდნახევარი მეტრის აწევა.

3) პატარა თავგადასავალი მთის ფერდობზე. მოდით შევხედოთ ზედა შავი წერტილი, მდებარეობს ორდინატთა ღერძზე. დავუშვათ, რომ ეს არის 50 მეტრიანი ნიშანი. დისტანციას ისევ გადავლახავთ, რის შედეგადაც უფრო დაბლა აღმოვჩნდებით - 30 მეტრის დონეზე. ვინაიდან მოძრაობა ხორციელდება ზემოდან ქვემოთ(ღერძის "კონტრ" მიმართულებით), შემდეგ საბოლოო ფუნქციის (სიმაღლის) ზრდა უარყოფითი იქნება: მეტრი (ნახაზზე ყავისფერი სეგმენტი). და ამ შემთხვევაში ჩვენ უკვე ვსაუბრობთ შემცირების მაჩვენებელიᲛახასიათებლები: , ანუ ამ მონაკვეთის ბილიკის ყოველ მეტრზე სიმაღლე მცირდება საშუალოდ 2 მეტრით. იზრუნეთ თქვენს ტანსაცმელზე მეხუთე პუნქტში.

ახლა დავუსვათ საკუთარ თავს კითხვა: „საზომი სტანდარტის“ რომელი მნიშვნელობაა საუკეთესო გამოსაყენებლად? სრულიად გასაგებია, 10 მეტრი ძალიან უხეშია. კარგი ათეული ჰამაკი ადვილად ეტევა მათზე. არ აქვს მნიშვნელობა მუწუკებს, ქვემოთ შეიძლება იყოს ღრმა ხეობა და რამდენიმე მეტრის შემდეგ არის მისი მეორე მხარე შემდგომი ციცაბო აწევით. ამრიგად, ათი მეტრით ჩვენ ვერ მივიღებთ გზის ასეთი მონაკვეთების გასაგებ აღწერას თანაფარდობით.

ზემოთ მოყვანილი განხილვიდან გამომდინარეობს შემდეგი დასკვნა: რაც უფრო დაბალია მნიშვნელობა, მით უფრო ზუსტად აღვწერთ გზის ტოპოგრაფიას. უფრო მეტიც, შემდეგი ფაქტები მართალია:

– Ვინმესთვისამწევი წერტილები თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ მნიშვნელობა (თუნდაც ძალიან მცირე), რომელიც ჯდება კონკრეტული აწევის საზღვრებში. ეს ნიშნავს, რომ შესაბამისი სიმაღლის ზრდა გარანტირებული იქნება დადებითი და უთანასწორობა სწორად მიუთითებს ფუნქციის ზრდაზე ამ ინტერვალების თითოეულ წერტილში.

- ასევე, ნებისმიერისთვისდახრილობის წერტილი არის მნიშვნელობა, რომელიც მთლიანად მოერგება ამ ფერდობზე. შესაბამისად, სიმაღლის შესაბამისი ზრდა აშკარად უარყოფითია და უტოლობა სწორად აჩვენებს მოცემული ინტერვალის თითოეულ წერტილში ფუნქციის შემცირებას.

– განსაკუთრებით საინტერესო შემთხვევაა, როდესაც ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე ნულის ტოლია: . პირველ რიგში, ნულოვანი სიმაღლის ზრდა () არის გლუვი ბილიკის ნიშანი. და მეორეც, არის სხვა საინტერესო სიტუაციები, რომელთა მაგალითებს ხედავთ ფიგურაში. წარმოიდგინეთ, რომ ბედმა მიგვიყვანა გორაკის მწვერვალზე მფრინავი არწივებით ან ხევის ფსკერზე ყიყინიან ბაყაყებით. თუ რაიმე მიმართულებით გადადგამთ მცირე ნაბიჯს, სიმაღლის ცვლილება უმნიშვნელო იქნება და შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე რეალურად ნულის ტოლია. ზუსტად ასეთი სურათია დაფიქსირებული პუნქტებზე.

ასე მივდივართ საოცარი შესაძლებლობაიდეალურად ზუსტად ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს. ყოველივე ამის შემდეგ, მათემატიკური ანალიზი შესაძლებელს ხდის არგუმენტის მატებას ნულამდე მივმართოთ: , ანუ მისი გაკეთება უსასრულოდ მცირე.

შედეგად, ჩნდება კიდევ ერთი ლოგიკური კითხვა: შესაძლებელია თუ არა გზის და მისი განრიგის პოვნა სხვა ფუნქცია, რომელიც შეგვატყობინებდაყველა ბრტყელ მონაკვეთზე, აღმართზე, დაღმართზე, მწვერვალებზე, ხეობებზე, აგრეთვე ზრდის/კლების ტემპზე გზის თითოეულ წერტილში?

რა არის წარმოებული? წარმოებულის განმარტება.
წარმოებულისა და დიფერენციალურის გეომეტრიული მნიშვნელობა

გთხოვთ ყურადღებით წაიკითხოთ და არც ისე სწრაფად - მასალა მარტივი და ყველასთვის ხელმისაწვდომია! კარგია, თუ ზოგან რაღაც არ ჩანს ძალიან ნათელი, ყოველთვის შეგიძლიათ მოგვიანებით დაუბრუნდეთ სტატიას. მეტსაც ვიტყვი, სასარგებლოა თეორიის რამდენჯერმე შესწავლა ყველა პუნქტის საფუძვლიანად გასაგებად (რჩევები განსაკუთრებით აქტუალურია „ტექნიკური“ სტუდენტებისთვის, რომლებისთვისაც უმაღლესი მათემატიკა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სასწავლო პროცესში).

ბუნებრივია, წარმოებულის განმარტებაში ჩვენ ვცვლით მას:

რას მივედით? და მივედით დასკვნამდე, რომ კანონის შესაბამისად ფუნქციისთვის დაყენებულია შესაბამისად სხვა ფუნქცია, რომელსაც ქვია წარმოებული ფუნქცია(ან უბრალოდ წარმოებული).

წარმოებული ახასიათებს ცვლილების ტემპიფუნქციები Როგორ? იდეა წითელ ძაფს ჰგავს სტატიის თავიდანვე. განვიხილოთ რაღაც მომენტი განმარტების სფეროფუნქციები დაე, ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი მოცემულ წერტილში. შემდეგ:

1) თუ , მაშინ ფუნქცია იზრდება წერტილში. და აშკარად არსებობს ინტერვალი(თუნდაც ძალიან პატარა), რომელიც შეიცავს წერტილს, სადაც ფუნქცია იზრდება და მისი გრაფიკი მიდის "ქვემოდან ზევით".

2) თუ , მაშინ ფუნქცია მცირდება წერტილში. და არის ინტერვალი, რომელიც შეიცავს წერტილს, რომლის დროსაც ფუნქცია მცირდება (გრაფიკი მიდის „ზემოდან ქვევით“).

3) თუ, მაშინ უსასრულოდ ახლოსწერტილის მახლობლად ფუნქცია ინარჩუნებს სიჩქარეს მუდმივი. ეს ხდება, როგორც აღინიშნა, მუდმივი ფუნქციით და ფუნქციის კრიტიკულ წერტილებში, კერძოდ მინიმალურ და მაქსიმალურ ქულებზე.

ცოტა სემანტიკა. რას ნიშნავს ზმნა "განსხვავება" ფართო გაგებით? დიფერენცირება ნიშნავს მახასიათებლის ხაზგასმას. ფუნქციის დიფერენცირებით ჩვენ „გამოვყოფთ“ მისი ცვლილების სიჩქარეს ფუნქციის წარმოებულის სახით. სხვათა შორის, რას ნიშნავს სიტყვა „წარმოებული“? ფუნქცია მოხდაფუნქციიდან.

ტერმინები ძალიან წარმატებით არის განმარტებული წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობით :
განვიხილოთ სხეულის კოორდინატების ცვლილების კანონი, რაც დამოკიდებულია დროზე და მოძრაობის სიჩქარის ფუნქციაზე მოცემული სხეული. ფუნქცია ახასიათებს სხეულის კოორდინატების ცვლილების სიჩქარეს, ამიტომ ის არის ფუნქციის პირველი წარმოებული დროის მიმართ: . "სხეულის მოძრაობის" კონცეფცია რომ არ არსებობდეს ბუნებაში, მაშინ არ იქნებოდა წარმოებული"სხეულის სიჩქარის" კონცეფცია.

სხეულის აჩქარება არის სიჩქარის ცვლილების სიჩქარე, შესაბამისად: . თუ "სხეულის მოძრაობის" და "სხეულის სიჩქარის" საწყისი ცნებები არ არსებობდეს ბუნებაში, მაშინ არ იარსებებდა წარმოებული"სხეულის აჩქარების" კონცეფცია.

ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებული.

შესავალი.

რეალური მეთოდოლოგიური განვითარებაგანკუთვნილია სამრეწველო და სამშენებლო ფაკულტეტის სტუდენტებისთვის. ისინი შედგენილია მათემატიკის კურსის პროგრამასთან დაკავშირებით განყოფილებაში „ერთი ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალური გამოთვლა“.

განვითარება წარმოადგენს ერთიან მეთოდოლოგიურ სახელმძღვანელოს, მათ შორის: მოკლე თეორიულ ინფორმაციას; „სტანდარტული“ ამოცანები და სავარჯიშოები ამ ამოხსნის დეტალური გადაწყვეტილებებითა და განმარტებებით; ტესტის პარამეტრები.

ყოველი აბზაცის ბოლოს არის დამატებითი სავარჯიშოები. განვითარების ეს სტრუქტურა მათ შესაფერისს ხდის სექციის დამოუკიდებელი ათვისებისთვის მასწავლებლის მინიმალური დახმარებით.

§1. წარმოებულის განმარტება.

მექანიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა

წარმოებული.

წარმოებულის ცნება მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა, ის წარმოიშვა ჯერ კიდევ მე-17 საუკუნეში. წარმოებულის ცნების ჩამოყალიბება ისტორიულად ორ პრობლემასთან არის დაკავშირებული: ალტერნატიული მოძრაობის სიჩქარის პრობლემა და მრუდის ტანგენსის პრობლემა.

ეს ამოცანები, მიუხედავად მათი განსხვავებული შინაარსისა, იწვევს ერთსა და იმავე მათემატიკურ ოპერაციას, რომელიც უნდა შესრულდეს ფუნქციაზე.ამ ოპერაციამ მიიღო სპეციალური სახელი მათემატიკაში. მას ფუნქციის დიფერენციაციის ოპერაციას უწოდებენ. დიფერენციაციის ოპერაციის შედეგს წარმოებული ეწოდება.

მაშ ასე, y=f(x) ფუნქციის წარმოებული x0 წერტილში არის ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი (თუ ის არსებობს) არგუმენტის ზრდასთან.
ზე
.

წარმოებული ჩვეულებრივ აღინიშნება შემდეგნაირად:
.

ამრიგად, განსაზღვრებით

სიმბოლოები ასევე გამოიყენება წარმოებულების აღსანიშნავად
.

წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა.

თუ s=s(t) არის მატერიალური წერტილის მართკუთხა მოძრაობის კანონი, მაშინ
არის ამ წერტილის სიჩქარე t დროში.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

თუ ფუნქციას y=f(x) აქვს წარმოებული წერტილში , შემდეგ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის კუთხური კოეფიციენტი
უდრის
.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
წერტილში =2:

1) მოდით მივცეთ წერტილი =2 მატება
. გაითვალისწინეთ, რომ.

2) იპოვეთ ფუნქციის ნამატი წერტილში =2:

3) შევქმნათ ფუნქციის ზრდის შეფარდება არგუმენტის ზრდასთან:

მოდით ვიპოვოთ თანაფარდობის ზღვარი ზე
:

ამრიგად,
.

§ 2. ზოგიერთის წარმოებულები

უმარტივესი ფუნქციები.

მოსწავლემ უნდა ისწავლოს კონკრეტული ფუნქციების წარმოებულების გამოთვლა: y=x,y= და საერთოდ= .

ვიპოვოთ y=x ფუნქციის წარმოებული.

იმათ. (x)′=1.

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული

წარმოებული

დაე
მერე

ძალის ფუნქციის წარმოებულების გამონათქვამებში მარტივია ნიმუშის შემჩნევა
n=1,2,3-ით.

აქედან გამომდინარე,

. (1)

ეს ფორმულა მოქმედებს ნებისმიერი რეალური n-ისთვის.

კერძოდ, ფორმულის გამოყენებით (1) გვაქვს:

;

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს ფუნქცია ფორმის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევაა

ზე
.

ფორმულის გამოყენებით (1) გვაქვს

y=sin x და y=cos x ფუნქციების წარმოებულები.

მოდით y=sinx.

გავყოთ ∆x-ზე, მივიღებთ

ლიმიტზე გადასვლისას ∆x→0 გვაქვს

მოდით y=cosx.

ლიმიტზე გადასვლისას ∆x→0 მივიღებთ

;
. (2)

§3. დიფერენცირების ძირითადი წესები.

განვიხილოთ დიფერენცირების წესები.

თეორემა1 . თუ u=u(x) და v=v(x) ფუნქციები დიფერენცირებადია მოცემულ x წერტილში, მაშინ ამ მომენტში მათი ჯამიც დიფერენცირებადია და ჯამის წარმოებული უდრის ტერმინების წარმოებულთა ჯამს. : (u+v)"=u"+v".(3)

დადასტურება: განიხილეთ ფუნქცია y=f(x)=u(x)+v(x).

x არგუმენტის Δx ნამატს შეესაბამება u და v ფუნქციების ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). შემდეგ ფუნქცია y გაიზრდება

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

აქედან გამომდინარე,

ასე რომ, (u+v)"=u"+v".

თეორემა2. თუ ფუნქციები u=u(x) და v=v(x) დიფერენცირებადია მოცემულ წერტილშიx, მაშინ მათი ნამრავლი დიფერენცირებადია იმავე წერტილში.ამ შემთხვევაში ნამრავლის წარმოებული იპოვება შემდეგი ფორმულით: uv)"=u"v+uv". (4)

დადასტურება: მოდით y=uv, სადაც u და v არის x-ის ზოგიერთი დიფერენცირებადი ფუნქცია. მივცეთ x-ის ნამატი ∆x, შემდეგ u მიიღებს ∆u-ის ნამატს, v მიიღებს ∆v-ს და y მიიღებს ∆y-ის ნამატს.

გვაქვს y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ან

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

ამიტომ, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

აქედან

გადავიდეთ ლიმიტზე ∆x→0-ზე და იმის გათვალისწინებით, რომ u და v არ არის დამოკიდებული ∆x-ზე, გვექნება

თეორემა 3. ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მნიშვნელი უდრის გამყოფის კვადრატს, ხოლო მრიცხველი არის სხვაობა დივიდენდის წარმოებულისა და გამყოფისა და ნამრავლის ნამრავლს შორის. დივიდენდი და გამყოფის წარმოებული, ე.ი.

თუ
რომ
(5)