I. V. Yakovlev | მათემატიკის მასალები | MathUs.ru

არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკული პროგრესია არის სპეციალური ტიპის მიმდევრობა. ამიტომ, სანამ არითმეტიკული (და შემდეგ გეომეტრიული) პროგრესია განვსაზღვროთ, მოკლედ უნდა განვიხილოთ რიცხვების მიმდევრობის მნიშვნელოვანი კონცეფცია.

ქვემიმდევრობა

წარმოიდგინეთ მოწყობილობა, რომლის ეკრანზეც გამოსახულია გარკვეული ნომრები ერთმანეთის მიყოლებით. ვთქვათ 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : რიცხვების ეს ნაკრები არის ზუსტად მიმდევრობის მაგალითი.

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობა არის რიცხვების ერთობლიობა, რომელშიც თითოეულ რიცხვს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური რიცხვი (ანუ ასოცირებული ერთ ნატურალურ რიცხვთან)1. რიცხვი n ნომრით იწოდება მე-1 ტერმინითანმიმდევრობები.

ასე რომ, ზემოთ მოცემულ მაგალითში პირველი რიცხვია 2, ეს არის მიმდევრობის პირველი წევრი, რომელიც შეიძლება აღინიშნოს a1-ით; ნომერი ხუთი აქვს რიცხვი 6 არის რიგითობის მეხუთე წევრი, რომელიც შეიძლება აღინიშნოს a5-ით. Საერთოდ, მე-1 ტერმინითანმიმდევრობები აღინიშნება ან (ან bn, cn და ა.შ.).

ძალიან მოსახერხებელი სიტუაციაა, როდესაც მიმდევრობის n-ე წევრი შეიძლება განისაზღვროს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა an = 2n 3 განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; 1; 3; 5; 7; : : : ფორმულა an = (1)n განსაზღვრავს თანმიმდევრობას: 1; 1; 1; 1; : ::

რიცხვების ყველა ნაკრები არ არის თანმიმდევრობა. ამრიგად, სეგმენტი არ არის თანმიმდევრობა; ის შეიცავს "ძალიან ბევრ" რიცხვს, რომ გადაინომროს. ყველა რეალური რიცხვის R სიმრავლე ასევე არ არის მიმდევრობა. ეს ფაქტები დადასტურებულია მათემატიკური ანალიზის დროს.

არითმეტიკული პროგრესია: ძირითადი განმარტებები

ახლა ჩვენ მზად ვართ განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია.

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი (მეორედან დაწყებული) უდრის წინა წევრისა და გარკვეული ფიქსირებული რიცხვის ჯამს (ე.წ. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობას).

მაგალითად, თანმიმდევრობა 2; 5; 8; თერთმეტი; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 2 და სხვაობით 3. თანმიმდევრობა 7; 2; 3; 8; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით 7 და სხვაობით 5. თანმიმდევრობა 3; 3; 3; : : : არის არითმეტიკული პროგრესია ნულის ტოლი სხვაობით.

ეკვივალენტური განმარტება: an მიმდევრობას ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, თუ განსხვავება an+1 an არის მუდმივი მნიშვნელობა (n-ისგან დამოუკიდებელი).

არითმეტიკული პროგრესიას ეწოდება მზარდი, თუ მისი სხვაობა დადებითია და კლება, თუ განსხვავება უარყოფითია.

1 აქ არის უფრო ლაკონური განმარტება: თანმიმდევრობა არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია კომპლექტზე ნატურალური რიცხვები. მაგალითად, რეალური რიცხვების მიმდევრობა არის f ფუნქცია: N ! რ.

ნაგულისხმევად, მიმდევრობები განიხილება უსასრულოდ, ანუ შეიცავს რიცხვების უსასრულო რაოდენობას. მაგრამ არავინ გვაწუხებს სასრული მიმდევრობების გათვალისწინებით; სინამდვილეში, რიცხვების ნებისმიერ სასრულ სიმრავლეს შეიძლება ეწოდოს სასრული მიმდევრობა. მაგალითად, დასასრული თანმიმდევრობა არის 1; 2; 3; 4; 5 შედგება ხუთი რიცხვისგან.

არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა

ადვილი გასაგებია, რომ არითმეტიკული პროგრესია მთლიანად განისაზღვრება ორი რიცხვით: პირველი წევრი და სხვაობა. მაშასადამე, ჩნდება კითხვა: როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის თვითნებური ვადა, პირველი წევრისა და სხვაობის ცოდნით?

არ არის რთული არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის საჭირო ფორმულის მიღება. დაე ა

არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით დ. Ჩვენ გვაქვს:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
კერძოდ, ჩვენ ვწერთ:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
და ახლა ცხადი ხდება, რომ ფორმულა არის:
an = a1 + (n 1)d:

ამოცანა 1. არითმეტიკული პროგრესია 2; 5; 8; თერთმეტი; : : : იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და გამოთვალეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი. ფორმულის მიხედვით (1) გვაქვს:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება. არითმეტიკული პროგრესიით ან ნებისმიერისთვის

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი (დაწყებული მეორედან) არის მისი მეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკული.

	მტკიცებულება. Ჩვენ გვაქვს:
	a n 1+ a n+1		(ან დ) + (ან + დ)

რაც საჭირო იყო.

მეტი ზოგადად, არითმეტიკული პროგრესია a აკმაყოფილებს თანასწორობას

a n = a n k+ a n+k

ნებისმიერი n > 2-ისთვის და ნებისმიერი ბუნებრივი k-სთვის< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

გამოდის, რომ ფორმულა (2) ემსახურება არა მხოლოდ როგორც აუცილებელ, არამედ საკმარის პირობას იმისთვის, რომ მიმდევრობა იყოს არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესირების ნიშანი. თუ ტოლობა (2) მოქმედებს ყველა n > 2-ისთვის, მაშინ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

მტკიცებულება. მოდით გადავიწეროთ ფორმულა (2) შემდეგნაირად:

a na n 1= a n+1a n:

აქედან ვხედავთ, რომ განსხვავება an+1 an არ არის დამოკიდებული n-ზე და ეს ზუსტად ნიშნავს, რომ an მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება და ნიშანი შეიძლება ჩამოყალიბდეს ერთი დებულების სახით; მოხერხებულობისთვის ჩვენ ამას გავაკეთებთ სამი ნომრისთვის (ეს არის სიტუაცია, რომელიც ხშირად გვხვდება პრობლემებში).

არითმეტიკული პროგრესიის დახასიათება. სამი რიცხვი a, b, c ქმნის არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ 2b = a + c.

ამოცანა 2. (მსუ, ეკონომიკის ფაკულტეტი, 2007 წ.) სამი რიცხვი 8x, 3 x2 და 4 მითითებული თანმიმდევრობით ქმნის კლებად არითმეტიკულ პროგრესიას. იპოვეთ x და მიუთითეთ ამ პროგრესიის სხვაობა.

გამოსავალი. არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით გვაქვს:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

თუ x = 1, მაშინ მივიღებთ კლებად პროგრესირებას 8, 2, 4 6-ის სხვაობით. თუ x = 5, მაშინ მივიღებთ მზარდ პროგრესიას 40, 22, 4; ეს შემთხვევა არ არის შესაფერისი.

პასუხი: x = 1, სხვაობა არის 6.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი

ლეგენდა ამბობს, რომ ერთ დღეს მასწავლებელმა ბავშვებს უთხრა, რომ იპოვონ რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე და ჩუმად დაჯდა გაზეთის წასაკითხად. თუმცა, რამდენიმე წუთში ერთმა ბიჭმა თქვა, რომ პრობლემა მოაგვარა. ეს იყო 9 წლის კარლ ფრიდრიხ გაუსი, მოგვიანებით ისტორიაში ერთ-ერთი უდიდესი მათემატიკოსი.

პატარა გაუსის იდეა ასეთი იყო. დაე

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

ჩავწეროთ ეს თანხა საპირისპირო თანმიმდევრობით:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

და დაამატეთ ეს ორი ფორმულა:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ფრჩხილებში თითოეული წევრი უდრის 101-ს და სულ არის 100 ასეთი წევრი.მაშასადამე

2S = 101 100 = 10100;

ამ იდეას ვიყენებთ ჯამის ფორმულის გამოსატანად

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

(3) ფორმულის სასარგებლო მოდიფიკაცია მიიღება, თუ მასში ჩავანაცვლებთ n-ე ტერმინის ფორმულას an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

ამოცანა 3. იპოვეთ ყველა დადებითი სამნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც იყოფა 13-ზე.

გამოსავალი. სამნიშნა რიცხვები, რომლებიც 13-ის ჯერადი არიან, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას, პირველი წევრი არის 104 და სხვაობა 13; ამ პროგრესირების n-ე ტერმინს აქვს ფორმა:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

მოდით გავარკვიოთ რამდენ ტერმინს შეიცავს ჩვენი პროგრესი. ამისათვის ჩვენ ვხსნით უტოლობას:

ან 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

ასე რომ, ჩვენს პროგრესში 69 წევრია. ფორმულის გამოყენებით (4) ვიპოვით საჭირო რაოდენობას:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი მარტივი რამ არის. მნიშვნელობითაც და ფორმულითაც. მაგრამ ამ თემაზე ყველანაირი დავალებაა. ძირითადიდან საკმაოდ მყარი.

ჯერ გავიგოთ თანხის მნიშვნელობა და ფორმულა. და მერე გადავწყვეტთ. თქვენივე სიამოვნებისთვის.) თანხის მნიშვნელობა ისეთივე მარტივია, როგორც მოო. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ყურადღებით დაამატოთ მისი ყველა პირობა. თუ ეს ტერმინები ცოტაა, შეგიძლიათ დაამატოთ ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. მაგრამ თუ ბევრია, ან ბევრი... დამატება შემაწუხებელია.) ამ შემთხვევაში ფორმულა შველის.

თანხის ფორმულა მარტივია:

მოდით გავარკვიოთ, რა სახის ასოები შედის ფორმულაში. ეს ბევრ რამეს გაარკვევს.

S n - არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. დამატების შედეგი ყველასწევრებთან ერთად პირველიმიერ ბოლო.Ეს არის მნიშვნელოვანი. ისინი ზუსტად აგროვებენ ყველაწევრები ზედიზედ, გამოტოვების ან გამოტოვების გარეშე. და, ზუსტად, დაწყებული პირველი.ისეთ პრობლემებში, როგორიცაა მესამე და მერვე წევრთა ჯამის პოვნა, ან მეხუთედან მეოცე პუნქტების ჯამი, ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იმედგაცრუებას გამოიწვევს.)

a 1 - პირველიპროგრესის წევრი. აქ ყველაფერი გასაგებია, მარტივია პირველირიგის ნომერი.

a n- ბოლოპროგრესის წევრი. სერიის ბოლო ნომერი. არც თუ ისე ნაცნობი სახელია, მაგრამ თანხაზე გამოყენებისას ძალიან შესაფერისია. მერე თავად ნახავ.

ნ - ბოლო წევრის ნომერი. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ფორმულაში ეს რიცხვი ემთხვევა დამატებული ტერმინების რაოდენობას.

მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ბოლოწევრი a n. რთული კითხვა: რომელი წევრი იქნება ბოლოთუ მოცემულია გაუთავებელიარითმეტიკული პროგრესია?)

თავდაჯერებულად რომ უპასუხოთ, უნდა გესმოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და... ყურადღებით წაიკითხეთ დავალება!)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის პოვნის ამოცანაში ყოველთვის ჩნდება ბოლო წევრი (პირდაპირ ან ირიბად), რომელიც შეზღუდული უნდა იყოს.წინააღმდეგ შემთხვევაში, საბოლოო, კონკრეტული თანხა უბრალოდ არ არსებობს.ამოხსნისთვის არ აქვს მნიშვნელობა პროგრესია მოცემულია: სასრული თუ უსასრულო. არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის მოცემული: რიცხვების სერია, თუ ფორმულა n-ე წევრისთვის.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გვესმოდეს, რომ ფორმულა მუშაობს პროგრესირების პირველი ტერმინიდან რიცხვით ტერმინამდე ნ.სინამდვილეში, ფორმულის სრული სახელი ასე გამოიყურება: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი.ამ პირველივე წევრების რაოდენობა, ე.ი. ნ, განისაზღვრება მხოლოდ ამოცანის მიხედვით. ამოცანაში, მთელი ეს ღირებული ინფორმაცია ხშირად დაშიფრულია, დიახ... მაგრამ არ მადარდებს, ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ ამ საიდუმლოებებს ვამხელთ.)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების მაგალითები.

Პირველ რიგში, სასარგებლო ინფორმაცია:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების ძირითადი სირთულე მდგომარეობს ფორმულის ელემენტების სწორად განსაზღვრაში.

ამოცანების დამწერები სწორედ ამ ელემენტებს შიფრავენ უსაზღვრო ფანტაზიით.) აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ. ელემენტების არსის გაგება, საკმარისია მათი უბრალოდ გაშიფვრა. მოდით განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი დეტალურად. დავიწყოთ დავალებით, რომელიც დაფუძნებულია რეალურ GIA-ზე.

1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a n = 2n-3.5. იპოვეთ მისი პირველი 10 წევრის ჯამი.

Ყოჩაღ. მარტივია.) რა უნდა ვიცოდეთ ფორმულით თანხის დასადგენად? პირველი წევრი a 1, ბოლო სემესტრი a nდიახ, ბოლო წევრის ნომერი ნ.

სად შემიძლია მივიღო ბოლო წევრის ნომერი? ნ? დიახ, იქ, იმ პირობით! ნათქვამია: იპოვე თანხა პირველი 10 წევრი.აბა, რა ნომრით იქნება? ბოლო,მეათე წევრი?) არ დაიჯერებთ, მისი ნომერი მეათეა!) ამიტომ, ნაცვლად a nჩვენ ჩავანაცვლებთ ფორმულაში ა 10და სამაგიეროდ ნ-ათი. ვიმეორებ, ბოლო წევრის რაოდენობა ემთხვევა წევრების რაოდენობას.

რჩება განსაზღვრა a 1და ა 10. ეს ადვილად გამოითვლება n-ე ტერმინის ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მოცემულია პრობლემის განცხადებაში. არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს? დაესწარით წინა გაკვეთილს, ამის გარეშე გზა არ არის.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

ა 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

ჩვენ გავარკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის ყველა ელემენტის მნიშვნელობა. რჩება მხოლოდ მათი ჩანაცვლება და დათვლა:

Ის არის. პასუხი: 75.

კიდევ ერთი დავალება, რომელიც ეფუძნება GIA-ს. ცოტა უფრო რთული:

2. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n), რომლის სხვაობა არის 3,7; a 1 = 2.3. იპოვეთ მისი პირველი 15 წევრის ჯამი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჯამის ფორმულას:

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი ტერმინის მნიშვნელობა მისი რიცხვით. ჩვენ ვეძებთ მარტივ ჩანაცვლებას:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

რჩება ყველა ელემენტის ჩანაცვლება არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულაში და პასუხის გამოთვლა:

პასუხი: 423.

სხვათა შორის, თუ ჯამის ფორმულაში ნაცვლად a nჩვენ უბრალოდ ვცვლით ფორმულას n-ე წევრისთვის და ვიღებთ:

მოდით წარმოვიდგინოთ მსგავსი და მივიღოთ ახალი ფორმულა არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამისთვის:

როგორც ხედავთ, n-ე ტერმინი აქ არ არის საჭირო a n. ზოგიერთ პრობლემაში ეს ფორმულა ძალიან ეხმარება, დიახ... შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს ფორმულა. ან შეგიძლიათ უბრალოდ აჩვენოთ ის საჭირო დროს, როგორც აქ. ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ ყოველთვის უნდა გახსოვდეთ ჯამის ფორმულა და n-ე ტერმინის ფორმულა.)

ახლა დავალება მოკლე დაშიფვრის სახით):

3. იპოვეთ ყველა დადებითის ჯამი ორნიშნა რიცხვები, მრავლობითი სამი.

Ვაუ! არც პირველი წევრი, არც უკანასკნელი, არც პროგრესი... როგორ იცხოვრო!?

მოგიწევთ თავით იფიქროთ და მდგომარეობიდან ამოიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ყველა ელემენტი. ჩვენ ვიცით რა არის ორნიშნა რიცხვები. ისინი შედგება ორი რიცხვისაგან.) რა ორნიშნა რიცხვი იქნება პირველი? 10, სავარაუდოდ.) ა ბოლო რამორნიშნა რიცხვი? 99, რა თქმა უნდა! სამნიშნაები მოჰყვებიან მას...

სამის ნამრავლები... ჰმ... ეს ის რიცხვებია, რომლებიც იყოფა სამზე, აი! ათი არ იყოფა სამზე, 11 არ იყოფა... 12... იყოფა! ასე რომ, რაღაც ჩნდება. თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაწეროთ სერიები პრობლემის პირობების მიხედვით:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

იქნება ეს სერია არითმეტიკული პროგრესია? Რა თქმა უნდა! თითოეული ტერმინი წინადან განსხვავდება მკაცრად სამით. თუ ტერმინს დაუმატებთ 2 ან 4-ს, ვთქვათ, შედეგი, ე.ი. ახალი რიცხვი აღარ იყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა: d = 3.ეს გამოდგება!)

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავწეროთ პროგრესირების რამდენიმე პარამეტრი:

რა რიცხვი იქნება? ნბოლო წევრი? ვინც ფიქრობს, რომ 99 სასიკვდილოდ ცდება... რიცხვები ყოველთვის ზედიზედ მიდიან, მაგრამ ჩვენი წევრები სამზე ახტებიან. ისინი არ ემთხვევა.

აქ ორი გამოსავალია. ერთი გზა არის სუპერ შრომისმოყვარეებისთვის. შეგიძლიათ ჩაწეროთ პროგრესია, რიცხვების მთელი სერია და თითით დათვალოთ წევრების რაოდენობა.) მეორე გზა არის მოაზროვნეებისთვის. თქვენ უნდა გახსოვდეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის. თუ ჩვენს პრობლემას გამოვიყენებთ ფორმულას, აღმოვაჩენთ, რომ 99 არის პროგრესიის ოცდამეათე წევრი. იმათ. n = 30.

მოდით შევხედოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას:

ჩვენ ვუყურებთ და ვხარობთ.) პრობლემის განცხადებიდან ამოვიღეთ ყველაფერი, რაც საჭიროა თანხის გამოსათვლელად:

a 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

რჩება მხოლოდ ელემენტარული არითმეტიკა. ჩვენ ვცვლით რიცხვებს ფორმულაში და ვიანგარიშებთ:

პასუხი: 1665 წ

სხვა ტიპის პოპულარული თავსატეხი:

4. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

იპოვეთ ტერმინების ჯამი მეოცედან ოცდათოთხმეტამდე.

თანხის ფორმულას ვუყურებთ და... ვწუწუნებთ.) ფორმულა, შეგახსენებთ, ითვლის თანხას. პირველიდანწევრი. და პრობლემაში თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი მეოცე წლიდან...ფორმულა არ იმუშავებს.

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დაწეროთ მთელი პროგრესი სერიებში და დაამატოთ ტერმინები 20-დან 34-მდე. მაგრამ... ეს რაღაცნაირად სულელურია და დიდ დროს მოითხოვს, არა?)

არსებობს უფრო ელეგანტური გადაწყვეტა. მოდით გავყოთ ჩვენი სერია ორ ნაწილად. პირველი ნაწილი იქნება პირველი ტერმინიდან მეცხრამეტემდე.Მეორე ნაწილი - ოციდან ოცდათოთხმეტი.გასაგებია, რომ თუ გამოვთვლით პირველი ნაწილის წევრთა ჯამს S 1-19, დავუმატოთ მეორე ნაწილის პირობების ჯამს S 20-34, ვიღებთ პროგრესირების ჯამს პირველი წევრიდან ოცდამეოთხემდე S 1-34. Ამგვარად:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

აქედან ჩვენ ვხედავთ, რომ იპოვნეთ თანხა S 20-34შეიძლება გაკეთდეს მარტივი გამოკლებით

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

განიხილება ორივე თანხა მარჯვენა მხარეს პირველიდანწევრი, ე.ი. სტანდარტული ჯამის ფორმულა საკმაოდ გამოიყენება მათთვის. Დავიწყოთ?

ჩვენ გამოვყოფთ პროგრესირების პარამეტრებს პრობლემის განცხადებიდან:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

პირველი 19 და პირველი 34 წევრის ჯამების გამოსათვლელად დაგვჭირდება მე-19 და 34-ე წევრი. ჩვენ ვიანგარიშებთ მათ n-ე წევრის ფორმულის გამოყენებით, როგორც ამოცანა 2-ში:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

აღარაფერი დარჩა. 34 წევრის ჯამს გამოაკელი 19 წევრის ჯამი:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

პასუხი: 262.5

ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა! ამ პრობლემის გადასაჭრელად ძალიან სასარგებლო ხრიკი არსებობს. პირდაპირი გაანგარიშების ნაცვლად რაც გჭირდებათ (S 20-34),ჩვენ დავთვალეთ ის, რაც, როგორც ჩანს, არ არის საჭირო - S 1-19.და მერე გადაწყვიტეს S 20-34სრული შედეგიდან არასაჭიროს უგულებელყოფა. ასეთი სახის „ყურებით გამოცხადება“ ხშირად გიხსნის ბოროტ პრობლემებს.)

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედეთ ამოცანებს, რომლებისთვისაც საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის მნიშვნელობა. კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა.)

პრაქტიკული რჩევა:

ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრისას, რომელიც მოიცავს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამს, გირჩევთ დაუყოვნებლივ ჩამოწეროთ ორი ძირითადი ფორმულა ამ თემიდან.

ფორმულა n-ე ტერმინისთვის:

ეს ფორმულები დაუყოვნებლივ გეტყვით, რა უნდა მოძებნოთ და რა მიმართულებით იფიქროთ პრობლემის გადასაჭრელად. ეხმარება.

ახლა კი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

5. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც არ იყოფა სამზე.

მაგარია?) მინიშნება იმალება მე-4 პრობლემის შენიშვნაში. კარგი, პრობლემა 3 დაგეხმარებათ.

6. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ მისი პირველი 24 წევრის ჯამი.

არაჩვეულებრივი?) ეს განმეორებადი ფორმულაა. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა გაკვეთილზე. ნუ უგულებელყოფთ ბმულს, ასეთი პრობლემები ხშირად გვხვდება მეცნიერებათა სახელმწიფო აკადემიაში.

7. ვასიამ დაზოგა ფული დღესასწაულისთვის. 4550 რუბლს შეადგენს! და გადავწყვიტე ჩემს საყვარელ ადამიანს (საკუთარ თავს) ბედნიერების რამდენიმე დღე მიმეცა). იცხოვრე ლამაზად, საკუთარი თავის არაფრის უარყოფის გარეშე. დახარჯეთ 500 მანეთი პირველ დღეს, ხოლო ყოველი მომდევნო დღეს დახარჯეთ 50 მანეთი მეტი, ვიდრე წინა! სანამ ფული არ ამოიწურება. ბედნიერების რამდენი დღე ჰქონდა ვასიას?

რთულია?) დავალება 2-ის დამატებითი ფორმულა დაგეხმარებათ.

პასუხები (არეულად): 7, 3240, 6.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

არითმეტიკული პროგრესიადაასახელეთ რიცხვების თანმიმდევრობა (პროგრესიის პირობები)

რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინასგან განსხვავდება ახალი ტერმინით, რომელსაც ასევე ე.წ ნაბიჯის ან პროგრესის განსხვავება.

ამრიგად, პროგრესირების საფეხურის და მისი პირველი ტერმინის მითითებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ნებისმიერი ელემენტი ფორმულის გამოყენებით

არითმეტიკული პროგრესიის თვისებები

1) არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორე რიცხვიდან დაწყებული, არის პროგრესიის წინა და შემდეგი წევრების საშუალო არითმეტიკული

პირიქითაც მართალია. თუ პროგრესიის მიმდებარე კენტი (ლუწი) წევრთა საშუალო არითმეტიკული ტოლია იმ ტერმინისა, რომელიც დგას მათ შორის, მაშინ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია. ამ განცხადების გამოყენებით, ძალიან ადვილია ნებისმიერი თანმიმდევრობის შემოწმება.

ასევე, არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით, ზემოაღნიშნული ფორმულა შეიძლება განზოგადდეს შემდეგზე

ამის გადამოწმება ადვილია, თუ დაწერთ პირობებს ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ

ის ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში პრობლემების გამოთვლების გასამარტივებლად.

2) არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება ფორმულით

კარგად დაიმახსოვრეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, ის შეუცვლელია გამოთვლებში და საკმაოდ ხშირად გვხვდება ცხოვრების მარტივ სიტუაციებში.

3) თუ თქვენ გჭირდებათ არა მთლიანი ჯამის, არამედ მიმდევრობის ნაწილის პოვნა, რომელიც იწყება მისი kth წევრიდან, მაშინ გამოგადგებათ შემდეგი ჯამის ფორმულა.

4) პრაქტიკული ინტერესია kth რიცხვიდან დაწყებული არითმეტიკული პროგრესიის n წევრთა ჯამის პოვნა. ამისათვის გამოიყენეთ ფორმულა

ამით სრულდება თეორიული მასალა და გადადის საერთო პრობლემების პრაქტიკაში გადაჭრაზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მეორმოცე წევრი 4;7;...

გამოსავალი:

იმ პირობის მიხედვით, რაც გვაქვს

მოდით განვსაზღვროთ პროგრესის ნაბიჯი

ცნობილი ფორმულის გამოყენებით ვპოულობთ პროგრესიის ორმოცდამეათე ტერმინს

მაგალითი 2. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მისი მესამე და მეშვიდე წევრებით. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და ათეულის ჯამი.

გამოსავალი:

ფორმულების გამოყენებით ჩამოვწეროთ პროგრესიის მოცემული ელემენტები

პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას, შედეგად ვპოულობთ პროგრესირების საფეხურს

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას რომელიმე განტოლებაში, რათა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი

ჩვენ ვიანგარიშებთ პროგრესიის პირველი ათი წევრის ჯამს

რთული გამოთვლების გამოყენების გარეშე, ჩვენ ვიპოვეთ ყველა საჭირო რაოდენობა.

მაგალითი 3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მნიშვნელით და მისი ერთ-ერთი წევრით. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი, მისი 50 წევრის ჯამი 50-დან და პირველი 100-ის ჯამი.

გამოსავალი:

მოდით ჩამოვწეროთ პროგრესიის მეასე ელემენტის ფორმულა

და იპოვნეთ პირველი

პირველზე დაყრდნობით ვხვდებით პროგრესიის 50-ე ტერმინს

პროგრესიის ნაწილის ჯამის პოვნა

და პირველი 100-ის ჯამი

პროგრესის ოდენობაა 250.

მაგალითი 4.

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა, თუ:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

გამოსავალი:

დავწეროთ განტოლებები პირველი წევრისა და პროგრესიის საფეხურის მიხედვით და განვსაზღვროთ

მიღებულ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ ჯამის ფორმულას, რათა განვსაზღვროთ ჯამში ტერმინების რაოდენობა

ვახორციელებთ გამარტივებებს

და ამოხსენით კვადრატული განტოლება

ნაპოვნი ორი მნიშვნელობიდან მხოლოდ ნომერი 8 შეესაბამება პრობლემის პირობებს. ამრიგად, პროგრესიის პირველი რვა წევრის ჯამი არის 111.

მაგალითი 5.

ამოხსენით განტოლება

1+3+5+...+x=307.

ამოხსნა: ეს განტოლება არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. მოდით დავწეროთ მისი პირველი ტერმინი და ვიპოვოთ განსხვავება პროგრესირებაში

პირველი დონე

არითმეტიკული პროგრესია. დეტალური თეორიამაგალითებით (2019)

რიცხვების თანმიმდევრობა

მაშ, დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, არის ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვების თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია თანმიმდევრობით მხოლოდ ერთი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (ისევე როგორც მეთე რიცხვი) ყოველთვის იგივეა.
რიცხვთან ერთად რიცხვს მიმდევრობის მე-თე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ჩვენს შემთხვევაში:

ვთქვათ გვაქვს რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც მიმდებარე რიცხვებს შორის სხვაობა ერთნაირი და ტოლია.
Მაგალითად:

და ა.შ.
ამ რიცხვთა თანმიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება.
ტერმინი „პროგრესია“ შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეთიუსმა ჯერ კიდევ მე-6 საუკუნეში და ფართო გაგებით გაიგო, როგორც უსასრულო რიცხვითი თანმიმდევრობა. სახელწოდება „არითმეტიკა“ გადავიდა უწყვეტი პროპორციების თეორიიდან, რომელსაც სწავლობდნენ ძველი ბერძნები.

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინას. ამ რიცხვს ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მითითებულია.

შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელი რიცხვის მიმდევრობაა არითმეტიკული პროგრესია და რომელი არა:

ა)
ბ)
გ)
დ)

Გავიგე? მოდით შევადაროთ ჩვენი პასუხები:
არისარითმეტიკული პროგრესია - b, c.
Არ არისარითმეტიკული პროგრესია - ა, დ.

დავუბრუნდეთ მოცემულ პროგრესიას () და ვეცადოთ ვიპოვოთ მისი მე-ე წევრის მნიშვნელობა. არსებობს ორიმისი პოვნის გზა.

1. მეთოდი

ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ პროგრესიის ნომერი წინა მნიშვნელობას მანამ, სანამ არ მივაღწევთ პროგრესიის მე-6 ტერმინს. კარგია, რომ ბევრი რამ არ გვაქვს შესაჯამებელი - მხოლოდ სამი მნიშვნელობა:

ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი უდრის.

2. მეთოდი

რა მოხდება, თუ გვჭირდებოდა პროგრესიის მე-ე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა? შეჯამება ერთ საათზე მეტს დაგვჭირდება და ფაქტი არ არის, რომ რიცხვების შეკრებისას შეცდომას არ დავუშვებთ.
რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა მოიგონეს გზა, რომლითაც არ არის აუცილებელი არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დამატება წინა მნიშვნელობაზე. დააკვირდით დახატულ სურათს... რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შენიშნეთ გარკვეული ნიმუში, კერძოდ:

მაგალითად, ვნახოთ, რას მოიცავს ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-ე წევრის მნიშვნელობა:


Სხვა სიტყვებით:

ეცადეთ, ამ გზით თავად იპოვოთ მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

გამოთვალეთ? შეადარეთ თქვენი შენიშვნები პასუხთან:

გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ მიიღეთ ზუსტად იგივე რიცხვი, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად დავამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირობები წინა მნიშვნელობას.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაცია“ - მოდი შემოვიტანოთ იგი ზოგადი ფორმადა მივიღებთ:

არითმეტიკული პროგრესიის განტოლება.

არითმეტიკული პროგრესიები შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი.

მზარდი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია.
Მაგალითად:

Დაღმავალი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია.
Მაგალითად:

მიღებული ფორმულა გამოიყენება არითმეტიკული პროგრესიის როგორც მზარდი, ისე კლებადი ტერმინების გამოთვლაში.
მოდით შევამოწმოთ ეს პრაქტიკაში.
ჩვენ გვეძლევა არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება შემდეგი რიცხვებისგან: მოდით შევამოწმოთ რა იქნება ამ არითმეტიკული პროგრესიის მეათე რიცხვი, თუ გამოვიყენებთ ჩვენს ფორმულას მის გამოსათვლელად:

Მას შემდეგ:

ამრიგად, ჩვენ დარწმუნებულები ვართ, რომ ფორმულა მოქმედებს როგორც შემცირების, ისე გაზრდის არითმეტიკული პროგრესიის დროს.
შეეცადეთ თავად იპოვოთ ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-4 პუნქტები.

შევადაროთ შედეგები:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება

გავართულოთ პრობლემა - გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებას.
ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი პირობა:
- არითმეტიკული პროგრესია, იპოვნეთ მნიშვნელობა.
მარტივია, ამბობ და იწყებ დათვლას უკვე ნაცნობი ფორმულის მიხედვით:

მოდით, აჰ, მაშინ:

Აბსოლუტურად სწორი. გამოდის, რომ ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამატებთ პირველ რიცხვს და ვიღებთ იმას, რასაც ვეძებთ. თუ პროგრესია წარმოდგენილია მცირე მნიშვნელობებით, მაშინ ამაში არაფერია რთული, მაგრამ რა მოხდება, თუ პირობით რიცხვებს მივიღებთ? გეთანხმებით, არის გამოთვლებში შეცდომის დაშვების შესაძლებლობა.
ახლა დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა ამ პრობლემის გადაჭრა რომელიმე ფორმულით ერთი ნაბიჯით? რა თქმა უნდა, დიახ, და ეს არის ის, რისი გარკვევასაც ახლა შევეცდებით.

მოდი აღვნიშნოთ არითმეტიკული პროგრესიის საჭირო ტერმინი, როგორც ჩვენთვის ცნობილია მისი პოვნის ფორმულა - ეს არის იგივე ფორმულა, რაც თავიდან გამოვიყვანეთ:
, შემდეგ:

• პროგრესის წინა ვადა არის:
• პროგრესის შემდეგი ტერმინი არის:

მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდგომი პირობები:

გამოდის, რომ პროგრესიის წინა და შემდგომი პუნქტების ჯამი არის მათ შორის მდებარე პროგრესიის ტერმინის ორმაგი მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესული ტერმინის მნიშვნელობის საპოვნელად ცნობილი წინა და თანმიმდევრული მნიშვნელობებით, თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი და გაყოთ.

მართალია, იგივე ნომერი მივიღეთ. დავიცავთ მასალას. თავად გამოთვალეთ პროგრესის ღირებულება, ეს სულაც არ არის რთული.

კარგად გააკეთე! თქვენ თითქმის ყველაფერი იცით პროგრესის შესახებ! რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულის გარკვევა, რომელიც, ლეგენდის თანახმად, ადვილად გამოიტანა ყველა დროის ერთ-ერთმა უდიდესმა მათემატიკოსმა, „მათემატიკოსთა მეფემ“ - კარლ გაუსმა...

როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასების მოსწავლეების მუშაობის შემოწმებით, კლასში დაავალა შემდეგი დავალება: „დაითვალეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი (სხვა წყაროების მიხედვით) ინკლუზიამდე“. წარმოიდგინეთ მასწავლებლის გაოცება, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ სწორი პასუხი გასცა დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ, ხანგრძლივი გათვლების შემდეგ, არასწორი შედეგი მიიღო...

ახალგაზრდა კარლ გაუსმა შენიშნა გარკვეული ნიმუში, რომელსაც თქვენც ადვილად შეამჩნევთ.
ვთქვათ, გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება -ე ტერმინებისგან: ჩვენ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ამ წევრთა ჯამი. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია ხელით შევაჯამოთ ყველა მნიშვნელობა, მაგრამ რა მოხდება, თუ დავალება მოითხოვს მისი ტერმინების ჯამის პოვნას, როგორც ამას გაუსი ეძებდა?

მოდით გამოვსახოთ ჩვენთვის მოცემული პროგრესი. დააკვირდით მონიშნულ რიცხვებს და შეეცადეთ მათთან ერთად შეასრულოთ სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებები.


სცადე? რა შეამჩნიე? უფლება! მათი ჯამები ტოლია

ახლა მითხარი, სულ რამდენი ასეთი წყვილია ჩვენთვის მოცემულ პროგრესში? რა თქმა უნდა, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ.
იქიდან გამომდინარე, რომ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი ტოლია და მსგავსი წყვილები ტოლია, მივიღებთ, რომ ჯამი უდრის:
.
ამრიგად, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა იქნება:

ზოგიერთ პრობლემაში ჩვენ არ ვიცით ტერმინი, მაგრამ ვიცით პროგრესირების განსხვავება. შეეცადეთ ჩაანაცვლოთ მეათე წევრის ფორმულა ჯამის ფორმულით.
Რა მიიღე?

კარგად გააკეთე! ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც დაუსვეს კარლ გაუსს: თავად გამოთვალეთ, თუ რის ტოლია th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი და th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი.

რამდენი მიიღეთ?
გაუსმა აღმოაჩინა, რომ ტერმინების ჯამი ტოლია და წევრთა ჯამი. ასე გადაწყვიტე?

სინამდვილეში, არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულა დაამტკიცა ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში და მთელი ამ ხნის განმავლობაში მახვილგონივრული ადამიანები სრულად იყენებდნენ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებებს.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ Უძველესი ეგვიპტეხოლო იმ დროის ყველაზე დიდი სამშენებლო პროექტი - პირამიდის მშენებლობა... სურათზე ჩანს მისი ერთი მხარე.

სად არის აქ პროგრესი, თქვენ ამბობთ? დააკვირდით და იპოვეთ ნიმუში პირამიდის კედლის თითოეულ რიგში ქვიშის ბლოკების რაოდენობაში.


რატომ არა არითმეტიკული პროგრესია? გამოთვალეთ რამდენი ბლოკია საჭირო ერთი კედლის ასაშენებლად, თუ ბლოკის აგური მოთავსებულია ბაზაზე. იმედი მაქვს, მონიტორზე თითის გადაადგილებისას არ ითვლით, გახსოვთ ბოლო ფორმულა და ყველაფერი, რაც ვთქვით არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?

ამ შემთხვევაში პროგრესი ასე გამოიყურება: .
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა.
მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ბოლო ფორმულებში (გამოვთვალოთ ბლოკების რაოდენობა 2 გზით).

მეთოდი 1.

მეთოდი 2.

ახლა კი შეგიძლიათ მონიტორზე გამოთვალოთ: შეადარეთ მიღებული მნიშვნელობები ჩვენს პირამიდაში არსებული ბლოკების რაოდენობასთან. Გავიგე? კარგია, თქვენ აითვისეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრთა ჯამი.
რა თქმა უნდა, თქვენ არ შეგიძლიათ პირამიდის აშენება ბაზაზე არსებული ბლოკებისგან, მაგრამ? შეეცადეთ გამოთვალოთ რამდენი ქვიშის აგურია საჭირო ამ პირობით კედლის ასაშენებლად.
მოახერხე?
სწორი პასუხი არის ბლოკები:

ტრენინგი

Დავალებები:

1. მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ გააკეთებს მაშა ჩაჯდომას კვირაში, თუ პირველ ვარჯიშზე ჯდება?
2. რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
3. მორების შენახვისას ლოგერები აწყობენ მათ ისე, რომ თითოეული ზედა ფენაშეიცავს წინაზე ერთით ნაკლებ ჟურნალს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა საფუძველი არის მორები?

პასუხები:

1. მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. Ამ შემთხვევაში
   (კვირები = დღეები).

   პასუხი:ორ კვირაში, მაშამ უნდა გააკეთოს squats დღეში ერთხელ.

2. პირველი კენტი რიცხვი, ბოლო რიცხვი.
   არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
   კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარშია, თუმცა, მოდით შევამოწმოთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მეათე წევრის ფორმულის გამოყენებით:

   რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
   მოდით ჩავანაცვლოთ არსებული მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი ტოლია.

3. გავიხსენოთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, მაშინ მთლიანობაში არის ფენების თაიგული, ანუ.
   მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ქვისა მორებია.

მოდით შევაჯამოთ

1. - რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის შეიძლება გაიზარდოს ან შემცირდეს.
2. ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
3. არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სად არის პროგრესირებადი რიცხვების რაოდენობა.
4. არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:
   
   , სადაც არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული პროგრესია. საშუალო დონე

რიცხვების თანმიმდევრობა

დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ. მაგრამ ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი.

რიცხვების თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი შეიძლება დაკავშირებული იყოს გარკვეულ ბუნებრივ რიცხვთან და უნიკალურთან. და ჩვენ არ მივანიჭებთ ამ ნომერს ამ ნაკრებიდან არცერთ სხვა ნომერს.

რიცხვით რიცხვს უწოდებენ მიმდევრობის მე-ა წევრს.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ძალიან მოსახერხებელია, თუ მიმდევრობის მეათე ტერმინი შეიძლება განისაზღვროს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა

ადგენს თანმიმდევრობას:

და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (პირველი წევრი აქ ტოლია და განსხვავება არის). ან (, განსხვავება).

n-ე ტერმინის ფორმულა

ჩვენ ვუწოდებთ ფორმულას მორეციდივე, რომელშიც, იმისათვის, რომ გაიგოთ ტერმინი, თქვენ უნდა იცოდეთ წინა ან რამდენიმე წინა:

ამ ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად, პროგრესიის მეათე წევრის საპოვნელად, უნდა გამოვთვალოთ წინა ცხრა. მაგალითად, ნება მიეცით. შემდეგ:

აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?

თითოეულ სტრიქონში ჩვენ ვამატებთ, გამრავლებული რაღაც რიცხვზე. Რომელი? ძალიან მარტივია: ეს არის ამჟამინდელი წევრის რიცხვი მინუს:

ახლა ბევრად უფრო მოსახერხებელია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:

თავად გადაწყვიტე:

არითმეტიკული პროგრესიით იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი:

პირველი ვადა თანაბარია. Რა არის განსხვავება? აი რა:

(ამიტომ უწოდებენ მას განსხვავებას, რადგან უდრის პროგრესიის თანმიმდევრული ტერმინების სხვაობას).

ასე რომ, ფორმულა:

მაშინ მეასე წევრი უდრის:

რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?

ლეგენდის თანახმად, დიდმა მათემატიკოსმა კარლ გაუსმა, როგორც 9 წლის ბიჭმა, რამდენიმე წუთში გამოთვალა ეს თანხა. მან შეამჩნია, რომ პირველი და ბოლო რიცხვების ჯამი ტოლია, მეორეს და წინაბოლოების ჯამი იგივეა, ბოლოდან მესამე და მე-3-ის ჯამი იგივეა და ა.შ. სულ რამდენი ასეთი წყვილია? მართალია, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ. Ისე,

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ზოგადი ფორმულა იქნება:

მაგალითი:
იპოვეთ ყველა ორნიშნა ჯერადი ჯამი.

გამოსავალი:

პირველი ასეთი რიცხვია. ყოველი მომდევნო რიცხვი მიიღება წინა რიცხვის დამატებით. ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც ჩვენ გვაინტერესებს, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით და სხვაობით.

ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა:

რამდენი ტერმინია პროგრესიაში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?

ძალიან ადვილია:.

პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:

პასუხი:.

ახლა თავად გადაწყვიტე:

1. ყოველდღე სპორტსმენი გარბის უფრო მეტ მეტრს, ვიდრე წინა დღეს. სულ რამდენ კილომეტრს გაივლის კვირაში, თუ პირველ დღეს კმ მ გაირბინა?
2. ველოსიპედისტი ყოველდღე უფრო მეტ კილომეტრს გადის, ვიდრე წინა დღეს. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე სჭირდება მას კილომეტრის გასავლელად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
3. მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გაყიდვაში რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.

პასუხები:

1. აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი ტერმინების ჯამი:
   .
   პასუხი:
2. აქ მოცემულია: , უნდა მოიძებნოს.
   ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
   .
   შეცვალეთ მნიშვნელობები:

   ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი არის.
   გამოვთვალოთ ბოლო დღის განმავლობაში გავლილი გზა მე-ე წევრის ფორმულით:
   (კმ).
   პასუხი:

3. მოცემული: . იპოვეთ:.
   ეს არ შეიძლება იყოს უფრო მარტივი:
   (რუბში).
   პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი.

არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება იყოს მზარდი () და კლებადი ().

Მაგალითად:

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა

იწერება ფორმულით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესირებაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება

ის საშუალებას გაძლევთ მარტივად იპოვოთ პროგრესიის ტერმინი, თუ ცნობილია მისი მეზობელი ტერმინები - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

თანხის პოვნის ორი გზა არსებობს:

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები

თეორიული ინფორმაცია

თეორიული ინფორმაცია

	არითმეტიკული პროგრესია	გეომეტრიული პროგრესია
განმარტება	არითმეტიკული პროგრესია a nარის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინა წევრს დ (დ- პროგრესის განსხვავება)	გეომეტრიული პროგრესია b nარის არანულოვანი რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელთა ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრს გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ქ (ქ- პროგრესირების მნიშვნელი)
განმეორების ფორმულა	ნებისმიერი ბუნებრივი ნ a n + 1 = a n + d	ნებისმიერი ბუნებრივი ნ b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
ფორმულა n-ე ტერმინი	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
დამახასიათებელი თვისება
პირველი n პუნქტების ჯამი

დავალებების მაგალითები კომენტარებით

სავარჯიშო 1

არითმეტიკული პროგრესიით ( a n) a 1 = -6, a 2

n-ე ტერმინის ფორმულის მიხედვით:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 დ

პირობით:

a 1= -6, მაშინ a 22= -6 + 21 დ .

აუცილებელია პროგრესის განსხვავების პოვნა:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

პასუხი: a 22 = -48.

დავალება 2

იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეხუთე წევრი: -3; 6;....

1 მეთოდი (n-ტერმინის ფორმულის გამოყენებით)

გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულის მიხედვით:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

იმიტომ რომ ბ 1 = -3,

მე-2 მეთოდი (განმეორებადი ფორმულის გამოყენებით)

ვინაიდან პროგრესიის მნიშვნელი არის -2 (q = -2), მაშინ:

ბ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ბ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ბ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

პასუხი: ბ 5 = -48.

დავალება 3

არითმეტიკული პროგრესიით ( ა ნ) a 74 = 34; 76= 156. იპოვეთ ამ პროგრესიის სამოცდამეხუთე წევრი.

არითმეტიკული პროგრესიისთვის დამახასიათებელ თვისებას აქვს ფორმა .

ამიტომ:

.

მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:

პასუხი: 95.

დავალება 4

არითმეტიკული პროგრესიით ( ა ნ ) ა ნ= 3n - 4. იპოვეთ პირველი ჩვიდმეტი წევრის ჯამი.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის საპოვნელად გამოიყენება ორი ფორმულა:

.

რომელი მათგანი უფრო მოსახერხებელია გამოსაყენებლად ამ შემთხვევაში?

პირობით, ცნობილია საწყისი პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა ( a n) a n= 3n - 4. შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ იპოვოთ და a 1, და a 16აღმოჩენის გარეშე დ. ამიტომ, ჩვენ გამოვიყენებთ პირველ ფორმულას.

პასუხი: 368.

დავალება 5

არითმეტიკული პროგრესიით ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. იპოვეთ პროგრესიის ოცდამეორე წევრი.

n-ე ტერმინის ფორმულის მიხედვით:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 დღე.

პირობით, თუ a 1= -6, მაშინ a 22= -6 + 21d. აუცილებელია პროგრესების განსხვავების პოვნა:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

პასუხი: a 22 = -48.

დავალება 6

გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი იწერება:

იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელსაც აქვს x.

ამოხსნისას გამოვიყენებთ n-ე ტერმინის ფორმულას b n = b 1 ∙ q n - 1ამისთვის გეომეტრიული პროგრესიები. პროგრესის პირველი ვადა. q პროგრესიის მნიშვნელის საპოვნელად, თქვენ უნდა აიღოთ პროგრესიის მოცემული რომელიმე წევრი და გავყოთ წინაზე. ჩვენს მაგალითში შეგვიძლია ავიღოთ და გავყოთ. ვიღებთ, რომ q = 3. n-ის ნაცვლად, ფორმულაში ვცვლით 3-ს, რადგან აუცილებელია მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის მესამე წევრის პოვნა.

ნაპოვნი მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

.

პასუხი:.

დავალება 7

n-ე წევრის ფორმულით მოცემული არითმეტიკული პროგრესიებიდან აირჩიეთ ის, რისთვისაც პირობა დაკმაყოფილებულია a 27 > 9:

ვინაიდან მოცემული პირობა დაკმაყოფილებული უნდა იყოს პროგრესიის 27-ე წევრისთვის, ჩვენ ვანაცვლებთ 27-ს n-ის ნაცვლად ოთხივე პროგრესიაში. მე-4 პროგრესში ვიღებთ:

.

პასუხი: 4.

დავალება 8

არითმეტიკული პროგრესიით a 1= 3, d = -1.5. მიუთითეთ n-ის უდიდესი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მოქმედებს უტოლობა a n > -6.