კვადრატული განტოლების შემცირება. კვადრატული განტოლებები ძველ ბაბილონში. კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

სრული კვადრატული განტოლების არასრულად გარდაქმნა ასე გამოიყურება (შემთხვევისთვის \(b=0\)):

იმ შემთხვევებში, როდესაც \(c=0\) ან როდესაც ორივე კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ყველაფერი მსგავსია.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ არ არსებობს საკითხი, რომ \(a\) იყოს ნულის ტოლი; ის არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, რადგან ამ შემთხვევაში ის გადაიქცევა:

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ არასრული კვადრატული განტოლება კვლავ არის , და, შესაბამისად, მისი ამოხსნა შეიძლება ისე, როგორც ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება (via). ამისათვის ჩვენ უბრალოდ ვამატებთ განტოლების გამოტოვებულ კომპონენტს ნულოვანი კოეფიციენტით.

მაგალითი : იპოვეთ განტოლების ფესვები \(3x^2-27=0\)
გამოსავალი :

		გვაქვს არასრული კვადრატული განტოლება კოეფიციენტით \(b=0\). ანუ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება შემდეგნაირად:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		სინამდვილეში, ეს იგივე განტოლებაა, როგორც თავიდან, მაგრამ ახლა მისი ამოხსნა შესაძლებელია როგორც ჩვეულებრივი კვადრატული. ჯერ ვწერთ კოეფიციენტებს.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		მოდით გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი ფორმულის გამოყენებით \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		ვიპოვოთ განტოლების ფესვები ფორმულების გამოყენებით \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) და \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		დაწერე პასუხი

უპასუხე : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

მაგალითი : იპოვეთ განტოლების ფესვები \(-x^2+x=0\)
გამოსავალი :

		ისევ არასრული კვადრატული განტოლება, მაგრამ ახლა კოეფიციენტი \(c\) ნულის ტოლია. განტოლებას ვწერთ დასრულებულად.

ამ სტატიაში განვიხილავთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნას.

მაგრამ ჯერ გავიმეოროთ რა განტოლებებს უწოდებენ კვადრატულს. ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლება, სადაც x არის ცვლადი, ხოლო კოეფიციენტები a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და a ≠ 0, ე.წ. კვადრატი. როგორც ვხედავთ, x 2-ის კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი და ამიტომ x-ის ან თავისუფალი წევრის კოეფიციენტები შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ამ შემთხვევაში მივიღებთ არასრულ კვადრატულ განტოლებას.

არსებობს სამი სახის არასრული კვადრატული განტოლებები:

1) თუ b = 0, c ≠ 0, მაშინ ax 2 + c = 0;

2) თუ b ≠ 0, c = 0, მაშინ ax 2 + bx = 0;

3) თუ b = 0, c = 0, მაშინ ax 2 = 0.

• მოდით გავარკვიოთ, როგორ მოვაგვაროთ ax 2 + c = 0 ფორმის განტოლებები.

განტოლების ამოსახსნელად გადავიტანთ c თავისუფალ წევრს განტოლების მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ

ცული 2 = ‒წმ. ვინაიდან a ≠ 0, განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ a-ზე, შემდეგ x 2 = ‒c/a.

თუ ‒с/а > 0, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს

x = ±√(–c/a) .

თუ ‒გ/ა< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

შევეცადოთ გავიგოთ მაგალითებით, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ასეთი განტოლებები.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება 2x 2 ‒ 32 = 0.

პასუხი: x 1 = - 4, x 2 = 4.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება 2x 2 + 8 = 0.

პასუხი: განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

• მოდით გავარკვიოთ, როგორ მოვაგვაროთ იგი ax 2 + bx = 0 ფორმის განტოლებები.

ax 2 + bx = 0 განტოლების ამოსახსნელად, გავზომოთ ის, ანუ აიღოთ x ფრჩხილებიდან, მივიღებთ x(ax + b) = 0. ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთ-ერთი მაინც ტოლია. ნულამდე. მაშინ ან x = 0, ან ax + b = 0. განტოლების ax + b = 0 ამოხსნით, მივიღებთ ax = - b, საიდანაც x = - b/a. ax 2 + bx = 0 ფორმის განტოლებას ყოველთვის აქვს ორი ფესვი x 1 = 0 და x 2 = ‒ b/a. იხილეთ, როგორ გამოიყურება ამ ტიპის განტოლებების ამონახსნი დიაგრამაზე.

მოდით გავაერთიანოთ ჩვენი ცოდნა კონკრეტული მაგალითით.

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ან 3x – 12 = 0

პასუხი: x 1 = 0, x 2 = 4.

• მესამე ტიპის ცულის განტოლებები 2 = 0მოგვარებულია ძალიან მარტივად.

თუ ax 2 = 0, მაშინ x 2 = 0. განტოლებას აქვს ორი ტოლი ფესვი x 1 = 0, x 2 = 0.

სიცხადისთვის, მოდით შევხედოთ დიაგრამას.

მოდით დავრწმუნდეთ მე-4 მაგალითის ამოხსნისას, რომ ამ ტიპის განტოლებები შეიძლება ამოხსნას ძალიან მარტივად.

მაგალითი 4.ამოხსენით განტოლება 7x 2 = 0.

პასუხი: x 1, 2 = 0.

ყოველთვის დაუყოვნებლივ არ არის ნათელი, თუ რა ტიპის არასრული კვადრატული განტოლება უნდა გადავწყვიტოთ. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 5.ამოხსენით განტოლება

გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე საერთო მნიშვნელზე, ანუ 30-ზე

მოდი დავჭრათ

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

გავხსნათ ფრჩხილები

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

მივცეთ მსგავსი

გადავიტანოთ 99 განტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ, შევცვალოთ ნიშანი საპირისპიროდ

პასუხი: არ არის ფესვები.

ჩვენ შევხედეთ, თუ როგორ ამოხსნილია არასრული კვადრატული განტოლებები. იმედი მაქვს, რომ ახლა თქვენ არ გაგიჭირდებათ მსგავსი ამოცანები. ფრთხილად იყავით არასრული კვადრატული განტოლების ტიპის განსაზღვრისას, მაშინ წარმატებას მიაღწევთ.

თუ თქვენ გაქვთ შეკითხვები ამ თემაზე, ჩვენ ერთად მოვაგვარებთ პრობლემებს.

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.

განტოლება ხდება:

მოდი მოვაგვაროთ ზოგადი ხედი:

კომენტარი: განტოლებას ფესვები ექნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ , წინააღმდეგ შემთხვევაშიგამოდის, რომ მოედანი

უდრის უარყოფითი რიცხვი, მაგრამ ეს შეუძლებელია.

პასუხი:

მაგალითი:

პასუხი:

ბოლო გადასვლა იმიტომ მოხდა, რომ მნიშვნელში ირაციონალურობა უკიდურესადააიშვიათად.

2. თავისუფალი ვადა არის ნული(c=0).

განტოლება ხდება:

მოდით გადავწყვიტოთ ზოგადი ფორმით:

გადაწყვეტილებისთვის მოცემული კვადრატული განტოლებები, ე.ი. თუ კოეფიციენტი

ა= 1:

x 2 +bx+c=0,

შემდეგ x 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

სრული კვადრატული განტოლებისთვის, რომელშიც a≠1:

x 2 +bx+გ=0,

გავყოთ მთელი განტოლება A:

→ →

სად x 1 და x 2 - განტოლების ფესვები.

მიღება მესამე. თუ თქვენს განტოლებას აქვს წილადი კოეფიციენტები, მოიშორეთწილადები! გაამრავლე

განტოლება საერთო მნიშვნელისკენ.

დასკვნა. პრაქტიკული რჩევა:

1. ამოხსნის წინ კვადრატულ განტოლებას სტანდარტულ ფორმამდე მივყავართ და ვაშენებთ უფლება.

2. თუ X კვადრატის წინ არის უარყოფითი კოეფიციენტი, ამოიღეთ იგიგამრავლება

მთელი განტოლება -1-ით.

3. თუ კოეფიციენტები წილადია, წილადებს ვხსნით მთელი განტოლების გამრავლებით.შესაბამისი

ფაქტორი.

4. თუ x კვადრატი სუფთაა, მისი კოეფიციენტი უდრის ერთს, ამონახსნი შეიძლება იყოს მარტივადშეამოწმეთ

კვადრატული განტოლებებიმე-8 კლასში სწავლობენ, ამიტომ აქ არაფერია რთული. მათი გადაჭრის უნარი აბსოლუტურად აუცილებელია.

არის ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლება, სადაც a, b და c კოეფიციენტები არის თვითნებური რიცხვები და a ≠ 0.

კონკრეტული ამოხსნის მეთოდების შესწავლამდე, გაითვალისწინეთ, რომ ყველა კვადრატული განტოლება შეიძლება დაიყოს სამ კლასად:

1. არ აქვს ფესვები;
2. აქვს ზუსტად ერთი ფესვი;
3. მათ ორი განსხვავებული ფესვი აქვთ.

ეს არის მნიშვნელოვანი განსხვავება კვადრატულ განტოლებებსა და წრფივ განტოლებებს შორის, სადაც ფესვი ყოველთვის არსებობს და უნიკალურია. როგორ განვსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას? ამისთვის არის მშვენიერი რამ - დისკრიმინანტი.

დისკრიმინანტი

მოცემული იყოს კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0. მაშინ ეს არის უბრალოდ რიცხვი D = b 2 − 4ac.

ეს ფორმულა ზეპირად უნდა იცოდეთ. საიდან მოდის, ახლა არ არის მნიშვნელოვანი. მნიშვნელოვანია კიდევ ერთი: დისკრიმინანტის ნიშნით შეგიძლიათ განსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებას. კერძოდ:

1. თუ დ< 0, корней нет;
2. თუ D = 0, არის ზუსტად ერთი ფესვი;
3. თუ D > 0, იქნება ორი ფესვი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: დისკრიმინანტი მიუთითებს ფესვების რაოდენობას და არა მათ ნიშნებს, როგორც რატომღაც ბევრს სჯერა. გადახედე მაგალითებს და შენ თვითონ მიხვდები ყველაფერს:

დავალება. რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებებს:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

მოდით დავწეროთ პირველი განტოლების კოეფიციენტები და ვიპოვოთ დისკრიმინანტი:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ასე რომ, დისკრიმინანტი დადებითია, ამიტომ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს. ჩვენ ვაანალიზებთ მეორე განტოლებას ანალოგიურად:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

დისკრიმინანტი უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს. დარჩენილი ბოლო განტოლებაა:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

დისკრიმინანტი არის ნული - ფესვი იქნება ერთი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ კოეფიციენტები ჩამოწერილია თითოეული განტოლებისთვის. დიახ, ეს გრძელია, დიახ, დამღლელი, მაგრამ თქვენ არ აირევთ შანსებს და არ დაუშვებთ სულელ შეცდომებს. აირჩიეთ თქვენთვის: სიჩქარე ან ხარისხი.

სხვათა შორის, თუ ამას მოახდენთ, გარკვეული პერიოდის შემდეგ აღარ დაგჭირდებათ ყველა კოეფიციენტის ჩაწერა. ასეთ ოპერაციებს შეასრულებ შენს თავში. ადამიანების უმეტესობა ამის გაკეთებას იწყებს სადღაც 50-70 ამოხსნილი განტოლების შემდეგ - ზოგადად, არც ისე ბევრი.

კვადრატული განტოლების ფესვები

ახლა გადავიდეთ თავად გადაწყვეტაზე. თუ დისკრიმინანტი D > 0, ფესვები შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით:

როდესაც D = 0, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმულა - მიიღებთ იგივე რიცხვს, რომელიც იქნება პასუხი. საბოლოოდ, თუ დ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

ამოხსენით კვადრატული განტოლებები:

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

პირველი განტოლება:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი:

მეორე განტოლება:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ განტოლებას ისევ ორი ​​ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი

\[\begin(გასწორება) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ბოლოს, მესამე განტოლება:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. ნებისმიერი ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია. მაგალითად, პირველი:

როგორც მაგალითებიდან ხედავთ, ყველაფერი ძალიან მარტივია. თუ იცით ფორმულები და შეგიძლიათ დათვლა, პრობლემა არ იქნება. ყველაზე ხშირად, შეცდომები ხდება უარყოფითი კოეფიციენტების ფორმულაში ჩანაცვლებისას. აქ კიდევ, ზემოთ აღწერილი ტექნიკა დაგეხმარებათ: შეხედეთ ფორმულას სიტყვასიტყვით, ჩაწერეთ თითოეული ნაბიჯი - და ძალიან მალე თქვენ თავიდან აიცილებთ შეცდომებს.

არასრული კვადრატული განტოლებები

ეს ხდება, რომ კვადრატული განტოლება ოდნავ განსხვავდება იმისგან, რაც მოცემულია განმარტებაში. Მაგალითად:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

ადვილი შესამჩნევია, რომ ამ განტოლებებს აკლია ერთ-ერთი ტერმინი. ასეთი კვადრატული განტოლებები კიდევ უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე სტანდარტული: ისინი არც კი საჭიროებენ დისკრიმინანტის გამოთვლას. მაშ ასე, შემოგთავაზებთ ახალ კონცეფციას:

განტოლება ax 2 + bx + c = 0 ეწოდება თუ b = 0 ან c = 0, ე.ი. x ცვლადის ან თავისუფალი ელემენტის კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

რა თქმა უნდა, შესაძლებელია ძალიან რთული შემთხვევა, როდესაც ორივე ეს კოეფიციენტი ნულის ტოლია: b = c = 0. ამ შემთხვევაში, განტოლება ღებულობს ფორმას ax 2 = 0. ცხადია, ასეთ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი: x. = 0.

განვიხილოთ დარჩენილი შემთხვევები. დავუშვათ b = 0, შემდეგ მივიღებთ ax 2 + c = 0 ფორმის არასრულ კვადრატულ განტოლებას. მოდით ცოტა გადავაქციოთ:

არითმეტიკიდან გამომდინარე Კვადრატული ფესვიარსებობს მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვიდან, ბოლო ტოლობა აზრი აქვს მხოლოდ (−c/a) ≥ 0-ს. დასკვნა:

1. თუ ax 2 + c = 0 ფორმის არასრულ კვადრატულ განტოლებაში დაკმაყოფილებულია უტოლობა (−c/a) ≥ 0, იქნება ორი ფესვი. ფორმულა მოცემულია ზემოთ;
2. თუ (−c/a)< 0, корней нет.

როგორც ხედავთ, დისკრიმინანტი არ იყო საჭირო - არასრულ კვადრატულ განტოლებებში საერთოდ არ არის რთული გამოთვლები. ფაქტობრივად, აუცილებელიც კი არ არის გავიხსენოთ უტოლობა (−c/a) ≥ 0.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

საკმარისია გამოვხატოთ მნიშვნელობა x 2 და ნახოთ რა არის ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს. თუ არის დადებითი რიცხვი, იქნება ორი ფესვი. თუ უარყოფითია, ფესვები საერთოდ არ იქნება.

ახლა ვნახოთ ax 2 + bx = 0 ფორმის განტოლებები, რომლებშიც თავისუფალი ელემენტი ნულის ტოლია. აქ ყველაფერი მარტივია: ყოველთვის იქნება ორი ფესვი. საკმარისია მრავალწევრის ფაქტორირება:

პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც მინიმუმ ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია. აქედან მოდის ფესვები. დასასრულს, მოდით შევხედოთ ამ განტოლებიდან რამდენიმეს:

დავალება. ამოხსენით კვადრატული განტოლებები:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. არ არსებობს ფესვები, რადგან კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Იხილეთ ასევე:

კვადრატული განტოლება არის ax 2 + bx + c = 0.

არასრული კვადრატული განტოლებები არის სამი ტიპის განტოლებები:

• ax 2 + bx = 0 როდესაც კოეფიციენტი c = 0.
• ax 2 + c = 0, როდესაც კოეფიციენტი b = 0.
• ax 2 = 0, როდესაც ორივე b და c არის 0.

კოეფიციენტი a, კვადრატული განტოლების განმარტებით, არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი.

არასრული კვადრატული განტოლებები უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე სრული კვადრატული განტოლებები. ამოხსნის მეთოდები განსხვავდება არასრული კვადრატული განტოლების ტიპის მიხედვით.

განტოლებების ამოხსნის უმარტივესი გზაა ცული 2 = 0. თუ a, კვადრატული განტოლების განმარტებით, არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, მაშინ აშკარაა, რომ მხოლოდ x 2 და, შესაბამისად, თავად x შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. ამ ტიპის განტოლებებს ყოველთვის აქვთ ერთი ფესვი, ის უდრის 0-ს.

არასრული კვადრატული განტოლებები. არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

Მაგალითად:

-3x 2 = 0
x 2 = 0/–3
x 2 = 0
x = √0
x = 0

ax 2 + c = 0 ფორმის განტოლებები გარდაიქმნება ax 2 = –c ფორმაში და იხსნება წინას მსგავსად. თუმცა, არსებობს ორი ფესვი ან ერთზე მეტი.

ცული 2 + c = 0
ცული 2 = –c
x 2 = –c/a
x = √(–c/a)

აქ, თუ რადიკალური გამოხატულება უარყოფითია, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები. თუ დადებითი, მაშინ იქნება ორი ფესვი: √(–c/a) და –√(–c/a). ასეთი განტოლების ამოხსნის მაგალითი:

4x 2 - 16 = 0
4x2 = 16
x 2 = 16/4
x 2 = 4
x = √4
x 1 = 2; x 2 = –2

ax 2 + bx = 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლებები იხსნება საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღებით. ამ შემთხვევაში ეს არის x. შედეგად მიღებული განტოლებაა x(ax + b) = 0. ამ განტოლებას აქვს ორი ფესვი: ან x = 0 ან ax + b = 0. მეორე განტოლების ამოხსნით მივიღებთ x = –b/a. ამრიგად, ax 2 + bx = 0 ფორმის განტოლებებს აქვს ორი ფესვი: x 1 = 0, x 2 = –b/a. ასეთი განტოლების ამოხსნის მაგალითი:

3x 2 – 10x = 0
x(3x – 10) = 0
x 1 = 0; x 2 = 10/3 = 3, (33)

კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნა მე-8 კლასი

ფორმულა
კვადრატული განტოლების ფესვები ax 2 + bx + c = 0 შეიძლება მოიძებნოს
ფორმულა: , სად — დისკრიმინანტი

კვადრატული განტოლება.

არსებობს სამი შესაძლო წესი:

წესი 1
1. D > 0.

8.2.1. არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

მაშინ განტოლებას აქვს 2 განსხვავებული ფესვი:

მაგალითი
2x 2 + 7x – 4 = 0;

a = 2, b = 7, c = -4.

D = 7 2 - 4 2 (- 4) = 81 > 0,

x 1 = -7 — ? 81 2 2 = — 4;

x 2 = -7 + ? 81 2 2 = 1 2 .

წესი 2
2. D = 0. მაშინ განტოლება აქვს ერთადერთიფესვი.

მაგალითი
x 2 – 4x + 4 = 0.

D = (-4) 2 — 4 1 4 = 0, x = — -4 2 1 = 2.

გაითვალისწინეთ, რომ x 2 – 4x + 4 = 0 x = 2.

წესი 3
3. დ

მაგალითი
3x 2 - x + 7 = 0.

D = (-1) 2 - 4 3 7 = -83

თანაც მეორე კოეფიციენტით

წესი, ფორმულები
თუ b = 2k, მაშინ განტოლების ფესვები ax + 2kx + c = 0 გვხვდება ფორმულით:

მაგალითი 1
1. x + 18x + 32 = 0.

a = 1; b = 18 => k = ბ2 = 9; c = 32.

D 1 = დ4 = (18 2 ) 2 - 1 32 = 49 > 0, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს 2 ფესვი:

x 1 = -9 -? 49 1 = -16, x 2 = -9 + 7 = -2.

მაგალითი 2
2. 3x 2 + 2x + 1 = 0.

a = 3; ბ2 = 1; c = 1.

D 1 = დ4 = 1 2 — 1 3 = -2

მაგალითი 3
3. 196x 2 + 28x + 1 = 0.

a = 196; ბ2 = -14; c = 1.

D 1 = დ4 = (- 14) 2 - 196 = 0, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

x = 14 196 = 1 14 .

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები.

— შემოკლებული გამრავლების ფორმულების შესწავლა: ჯამის კვადრატი და ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატი; ორი გამონათქვამის კვადრატების განსხვავება; ჯამის კუბი და ორი გამონათქვამის სხვაობის კუბი; ორი გამონათქვამის კუბების ჯამები და განსხვავებები.

— შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.

გამონათქვამების გასამარტივებლად, ფაქტორების მრავალწევრებისა და მრავალწევრების სტანდარტულ ფორმამდე დასაყვანად გამოიყენება გამრავლების შემოკლებული ფორმულები.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

გამრავლების შემოკლებული ფორმულები ზეპირად უნდა იცოდეთ.

მოდით a, b R. შემდეგ:

1. ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატი უდრისპირველი გამოხატვის კვადრატს პლუს ორჯერ პირველი გამოსახულების ნამრავლი და მეორეს პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატი უდრისპირველი გამოხატვის კვადრატს გამოკლებული ორჯერ პირველი გამოსახულების ნამრავლი და მეორეს პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. კვადრატების განსხვავებაორი გამოსახვა ტოლია ამ გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლისა და მათი ჯამის.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. ჯამის კუბიორი გამონათქვამი უდრის პირველი გამოსახულების კუბის პლუს სამმაგად პირველი გამოსახულების კვადრატის ნამრავლს და მეორეს პლუს სამმაგს პირველი გამოსახულების ნამრავლს და მეორის კვადრატს პლუს მეორე გამოსახულების კუბს.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. განსხვავების კუბიორი გამონათქვამი უდრის პირველი გამოსახულების კუბის მინუს სამმაგი პირველი გამოსახულების კვადრატის ნამრავლს და მეორეს პლუს სამმაგი პირველი გამოსახულების ნამრავლს და მეორის კვადრატს გამოკლებული მეორე გამონათქვამის კუბი.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. კუბურების ჯამიორი გამონათქვამი უდრის პირველი და მეორე გამონათქვამების ჯამის ნამრავლს და ამ გამონათქვამთა სხვაობის არასრული კვადრატის ნამრავლს.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. კუბურების განსხვავებაორი გამოსახვა უდრის პირველი და მეორე გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლს ამ გამონათქვამების ჯამის არასრული კვადრატით.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.

მაგალითი 1.

გამოთვალეთ

ა) ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით გვაქვს

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ბ) ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 – 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

მაგალითი 2.

გამოთვალეთ

ორი გამონათქვამის კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ

მაგალითი 3.

გამოხატვის გამარტივება

(x - y) 2 + (x + y) 2

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულები ჯამის კვადრატისა და ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატისთვის

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები ერთ ცხრილში:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

1. სრული კვადრატის შერჩევა. კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები.
2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები.
3. არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.
4. კვადრატული ტრინომის ფაქტორირება.

ამ სტატიიდან თქვენ შეიტყობთ:

რაშია გარეგნობა განტოლებები განსაზღვრავს იქნება თუ არა ეს განტოლება არასრულიკვადრატული განტოლება? მაგრამ როგორც ამოხსნა არასრულიკვადრატული განტოლებები?

როგორ ამოვიცნოთ არასრული კვადრატული განტოლება მხედველობით

მარცხენაგანტოლების ნაწილი Იქ არის კვადრატული ტრინომიალი, ა უფლება - ნომერი. ასეთ განტოლებებს უწოდებენ სავსეკვადრატული განტოლებები.

უ სავსეკვადრატული განტოლება ყველა შანსები, და არ უდრის. მათ გადასაჭრელად არსებობს სპეციალური ფორმულები, რომლებსაც მოგვიანებით გავეცნობით.

ყველაზე მარტივიგამოსავლისთვის არის არასრულიკვადრატული განტოლებები. ეს არის კვადრატული განტოლებები, რომელშიც ზოგიერთი კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

კოეფიციენტი განსაზღვრებით არ შეიძლება იყოს ნული, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში განტოლება არ იქნება კვადრატული. ჩვენ ვისაუბრეთ ამაზე. ეს ნიშნავს, რომ გამოდის მათ შეუძლიათ ნულამდე წასვლა მხოლოდშანსები ან.

ამის მიხედვით არსებობს სამი სახის არასრულიკვადრატული განტოლებები.

1) სად ;
2) სად ;
3) , სად .

ასე რომ, თუ დავინახავთ კვადრატულ განტოლებას, რომლის მარცხენა მხარეს სამი წევრის ნაცვლადაწმყო ორი დიკიან ერთი წევრი, მაშინ განტოლება იქნება არასრულიკვადრატული განტოლება.

არასრული კვადრატული განტოლების განმარტება

არასრული კვადრატული განტოლებაამას ეწოდება კვადრატული განტოლება , რომელშიც კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ან ნულის ტოლი.

ამ განმარტებას ბევრი აქვს მნიშვნელოვანიფრაზა " ერთი მაინცკოეფიციენტებიდან... ნულის ტოლი". Ეს ნიშნავს, რომ ერთი ან მეტიკოეფიციენტები შეიძლება იყოს თანაბარი ნული.

ამის საფუძველზე შესაძლებელია სამი ვარიანტი: ან ერთიკოეფიციენტი არის ნული, ან სხვაკოეფიციენტი არის ნული, ან ორივეკოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლია. ასე მივიღებთ სამი ტიპის არასრულ კვადრატულ განტოლებებს.

არასრულიკვადრატული განტოლებები არის შემდეგი განტოლებები:
1)
2)
3)

განტოლების ამოხსნა

გამოვკვეთოთ გადაწყვეტის გეგმაეს განტოლება. მარცხენაგანტოლების ნაწილი მარტივად შეიძლება ფაქტორიზირება, ვინაიდან განტოლების მარცხენა მხარეს არის ტერმინები საერთო მულტიპლიკატორი, მისი ამოღება შესაძლებელია ფრჩხილიდან. შემდეგ მარცხნივ მიიღებთ ორი ფაქტორის ნამრავლს, ხოლო მარჯვნივ - ნულს.

და მაშინ იმუშავებს წესი „პროდუქტი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია, ხოლო მეორეს აზრი აქვს“. ყველაფერი ძალიან მარტივია!

Ისე, გადაწყვეტის გეგმა.
1) მარცხენა მხარეს ვანაწილებთ ფაქტორებად.
2) ჩვენ ვიყენებთ წესს "პროდუქტი ნულის ტოლია..."

მე ვუწოდებ ამ ტიპის განტოლებებს "ბედის საჩუქარი". ეს არის განტოლებები, რომელთათვისაც მარჯვენა ნაწილინულის ტოლი, ა დატოვანაწილი შეიძლება გაფართოვდეს მულტიპლიკატორებით.

განტოლების ამოხსნა გეგმის მიხედვით.

1) დავშალოთ მარცხენა მხარეგანტოლებები მულტიპლიკატორებით, ამისთვის ვიღებთ საერთო ფაქტორს, ვიღებთ შემდეგ განტოლებას .

2) განტოლებაში. ჩვენ ამას ვხედავთ დატოვაღირს მუშაობა, ა ნული მარჯვნივ. რეალური ბედის საჩუქარი!აქ ჩვენ, რა თქმა უნდა, გამოვიყენებთ წესს „პროდუქტი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია, ხოლო მეორეს აქვს აზრი“. ამ წესის მათემატიკის ენაზე თარგმნისას ვიღებთ ორიგანტოლებები ან.

ჩვენ ვხედავთ, რომ განტოლება დაიშალაორით უფრო მარტივიგანტოლებები, რომელთაგან პირველი უკვე ამოხსნილია ().

მოვაგვაროთ მეორეგანტოლება . გადავიტანოთ უცნობი ტერმინები მარცხნივ, ხოლო ცნობილი ტერმინები მარჯვნივ. უცნობი წევრი უკვე მარცხნივ არის, იქ დავტოვებთ. ცნობილ ტერმინს კი საპირისპირო ნიშნით მარჯვნივ გადავიტანთ. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას.

ჩვენ ვიპოვეთ, მაგრამ უნდა ვიპოვოთ. ფაქტორის მოსაშორებლად, თქვენ უნდა გაყოთ განტოლების ორივე მხარე.