მოდით ვიმუშაოთ კვადრატული განტოლებები. ეს არის ძალიან პოპულარული განტოლებები! ძალიან ზოგადი ხედიკვადრატული განტოლება ასე გამოიყურება:

Მაგალითად:

Აქ ა =1; ბ = 3; გ = -4

Აქ ა =2; ბ = -0,5; გ = 2,2

Აქ ა =-3; ბ = 6; გ = -18

აბა, გესმის...

როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები?თუ თქვენ გაქვთ კვადრატული განტოლება ამ ფორმით, მაშინ ყველაფერი მარტივია. გავიხსენოთ ჯადოსნური სიტყვა დისკრიმინანტი . იშვიათად გიმნაზიის მოსწავლეს ეს სიტყვა არ გაუგია! ფრაზა "ჩვენ ვწყვეტთ დისკრიმინანტის მეშვეობით" შთააგონებს ნდობას და დარწმუნებას. იმიტომ რომ დისკრიმინანტისგან ხრიკების მოლოდინი არ არის საჭირო! მისი გამოყენება მარტივია და უპრობლემოდ. ასე რომ, კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნის ფორმულა ასე გამოიყურება:

გამოხატულება ფესვის ნიშნის ქვეშ არის ერთი დისკრიმინანტი. როგორც ხედავთ, X-ის საპოვნელად ვიყენებთ მხოლოდ a, b და c. იმათ. კოეფიციენტები კვადრატული განტოლებიდან. უბრალოდ ფრთხილად შეცვალეთ მნიშვნელობები a, b და cეს არის ფორმულა, რომელსაც ჩვენ ვიანგარიშებთ. შევცვალოთ საკუთარი ნიშნებით! მაგალითად, პირველი განტოლებისთვის ა =1; ბ = 3; გ= -4. აქვე ჩავწერთ:

მაგალითი თითქმის მოგვარებულია:

Სულ ეს არის.

რა შემთხვევებია შესაძლებელი ამ ფორმულის გამოყენებისას? მხოლოდ სამი შემთხვევაა.

1. დისკრიმინანტი დადებითია. ეს ნიშნავს, რომ მისგან ფესვის ამოღება შესაძლებელია. კარგად არის ამოღებული ფესვი თუ ცუდად, ეს სხვა საკითხია. მთავარია რა არის მოპოვებული პრინციპში. მაშინ თქვენს კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ორი განსხვავებული გამოსავალი.

2. დისკრიმინანტი არის ნული. მაშინ თქვენ გაქვთ ერთი გამოსავალი. მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს არ არის ერთი ფესვი, არამედ ორი იდენტური. მაგრამ ეს როლს თამაშობს უთანასწორობებში, სადაც უფრო დეტალურად შევისწავლით საკითხს.

3. დისკრიმინანტი უარყოფითია. უარყოფითი რიცხვიდან Კვადრატული ფესვიარ არის მოპოვებული. Კარგი. ეს ნიშნავს, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

ყველაფერი ძალიან მარტივია. და რა, თქვენ ფიქრობთ, რომ შეუძლებელია შეცდომის დაშვება? ჰო, როგორ...
ყველაზე გავრცელებული შეცდომები ნიშნების მნიშვნელობებთან დაბნეულობაა a, b და c. უფრო სწორად, არა მათი ნიშნებით (სად უნდა დაბნეული?), არამედ უარყოფითი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ფესვების გამოთვლის ფორმულაში. რაც აქ დაგვეხმარება არის ფორმულის დეტალური ჩაწერა კონკრეტული ციფრებით. თუ პრობლემებია გამოთვლებთან დაკავშირებით, გააკეთე ეს!

დავუშვათ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი მაგალითი:

Აქ a = -6; b = -5; c = -1

ვთქვათ, იცით, რომ იშვიათად იღებთ პასუხებს პირველად.

კარგი, ნუ დაიზარებ. დამატებითი ხაზის დაწერას დაახლოებით 30 წამი დასჭირდება და შეცდომების რაოდენობა მკვეთრად შემცირდება. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ დეტალურად, ყველა ფრჩხილით და ნიშნით:

წარმოუდგენლად რთულია ასე ფრთხილად დაწერა. მაგრამ ეს მხოლოდ ასე ჩანს. სცადე. კარგი, ან აირჩიე. რა არის უკეთესი, სწრაფი თუ სწორი? თანაც გაგაბედნიერებ. გარკვეული პერიოდის შემდეგ აღარ იქნება საჭირო ყველაფრის ასე გულდასმით ჩაწერა. ის თავისთავად გამოვა. განსაკუთრებით თუ იყენებთ პრაქტიკულ ტექნიკას, რომელიც აღწერილია ქვემოთ. ეს ბოროტი მაგალითი მრავალი მინუსით შეიძლება მოგვარდეს მარტივად და შეცდომების გარეშე!

Ისე, როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებებიდისკრიმინანტის მეშვეობით ჩვენ გვახსოვს. ან ისწავლეს, რაც ასევე კარგია. თქვენ იცით, როგორ სწორად განსაზღვროთ a, b და c. იცი როგორ? ყურადღებითჩაანაცვლეთ ისინი ფესვის ფორმულაში და ყურადღებითდაითვალეთ შედეგი. გაიგე რომ საკვანძო სიტყვაᲐქ - ყურადღებით?

თუმცა, კვადრატული განტოლებები ხშირად ოდნავ განსხვავებულად გამოიყურება. მაგალითად, ასე:

ეს არასრული კვადრატული განტოლებები . მათი მოგვარება ასევე შესაძლებელია დისკრიმინანტის საშუალებით. თქვენ უბრალოდ უნდა გაიგოთ სწორად, რას უდრის ისინი აქ. a, b და c.

გაარკვიე? პირველ მაგალითში a = 1; b = -4;ა გ? საერთოდ არ არის იქ! დიახ, ეს ასეა. მათემატიკაში ეს იმას ნიშნავს c = 0 ! Სულ ეს არის. ჩაანაცვლეთ ნული ფორმულაში გ,და ჩვენ წარმატებას მივაღწევთ. იგივე მეორე მაგალითზე. მხოლოდ ჩვენ არ გვაქვს ნული აქ თან, ა ბ !

მაგრამ არასრული კვადრატული განტოლებები შეიძლება გადაიჭრას ბევრად უფრო მარტივად. ყოველგვარი დისკრიმინაციის გარეშე. განვიხილოთ პირველი არასრული განტოლება. რა შეგიძლიათ გააკეთოთ მარცხენა მხარეს? შეგიძლიათ ამოიღოთ X ფრჩხილებიდან! მოდი ამოვიღოთ.

და რა აქედან? და ის ფაქტი, რომ პროდუქტი უდრის ნულს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რომელიმე ფაქტორი უდრის ნულს! არ გჯერა? კარგი, მაშინ გამოიტანე ორი არა-ნულოვანი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ ნულს!
Არ მუშაობს? Ის არის...
ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია დარწმუნებით დავწეროთ: x = 0, ან x = 4

ყველა. ეს იქნება ჩვენი განტოლების ფესვები. ორივე შესაფერისია. რომელიმე მათგანის თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებისას მივიღებთ სწორ იდენტურობას 0 = 0. როგორც ხედავთ, გამოსავალი გაცილებით მარტივია, ვიდრე დისკრიმინანტის გამოყენება.

მეორე განტოლება ასევე მარტივად შეიძლება ამოხსნას. გადაიტანეთ 9-ზე მარჯვენა მხარე. ჩვენ ვიღებთ:

რჩება მხოლოდ ფესვის ამოღება 9-დან და ეს არის ის. გამოვა:

ასევე ორი ფესვი . x = +3 და x = -3.

ასე წყდება ყველა არასრული კვადრატული განტოლება. ან X-ის ფრჩხილებიდან მოთავსებით, ან უბრალოდ ნომრის მარჯვნივ გადაადგილებით და შემდეგ ფესვის ამოღებით.
ძალიან რთულია ამ ტექნიკის აღრევა. უბრალოდ იმიტომ, რომ პირველ შემთხვევაში მოგიწევთ X-ის ფესვის ამოღება, რომელიც რატომღაც გაუგებარია, ხოლო მეორე შემთხვევაში ფრჩხილებიდან ამოსაღები არაფერია...

ახლა გაითვალისწინეთ პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც მკვეთრად ამცირებს შეცდომების რაოდენობას. იგივე, რაც უყურადღებობის გამოა... რისთვისაც მოგვიანებით მტკივნეული და შეურაცხმყოფელი ხდება...

პირველი დანიშვნა. არ დაიზაროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე და მიიყვანეთ იგი სტანდარტულ ფორმამდე. Რას ნიშნავს ეს?
ვთქვათ, რომ ყველა გარდაქმნის შემდეგ მიიღებთ შემდეგ განტოლებას:

ნუ იჩქარებთ ძირეული ფორმულის დაწერას! თქვენ თითქმის აუცილებლად მიიღებთ შანსებს აირია a, b და c.ააგეთ მაგალითი სწორად. ჯერ X კვადრატი, შემდეგ კვადრატის გარეშე, შემდეგ თავისუფალი ვადა. Ამგვარად:

და კიდევ, ნუ ჩქარობ! X კვადრატის წინ მინუსმა შეიძლება ნამდვილად გაგაბრაზოთ. ადვილი დასავიწყებელია... მოიშორე მინუსი. Როგორ? დიახ, როგორც წინა თემაში იყო ნასწავლი! მთელი განტოლება უნდა გავამრავლოთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

მაგრამ ახლა შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ჩაწეროთ ფესვების ფორმულა, გამოთვალოთ დისკრიმინანტი და დაასრულოთ მაგალითის ამოხსნა. თავად გადაწყვიტეთ. ახლა თქვენ უნდა გქონდეთ ფესვები 2 და -1.

მიღება მეორე.შეამოწმეთ ფესვები! ვიეტას თეორემის მიხედვით. ნუ გეშინია, ყველაფერს აგიხსნი! შემოწმება ბოლო რამგანტოლება. იმათ. ის, რომელიც ჩვენ ვიყენებდით ძირეული ფორმულის ჩასაწერად. თუ (როგორც ამ მაგალითში) კოეფიციენტი a = 1, ფესვების შემოწმება მარტივია. საკმარისია მათი გამრავლება. შედეგი უნდა იყოს თავისუფალი წევრი, ე.ი. ჩვენს შემთხვევაში -2. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, არა 2, არამედ -2! თავისუფალი წევრი შენი ნიშნით . თუ ეს არ გამოდგება, ეს ნიშნავს, რომ ისინი უკვე სადღაც გაფუჭდნენ. მოძებნეთ შეცდომა. თუ ეს მუშაობს, თქვენ უნდა დაამატოთ ფესვები. ბოლო და საბოლოო შემოწმება. კოეფიციენტი უნდა იყოს ბთან საწინააღმდეგო ნაცნობი. ჩვენს შემთხვევაში -1+2 = +1. კოეფიციენტი ბ, რომელიც X-ის წინ დგას, უდრის -1-ს. ასე რომ, ყველაფერი სწორია!
სამწუხაროა, რომ ეს ასე მარტივია მხოლოდ იმ მაგალითებისთვის, სადაც x კვადრატი სუფთაა, კოეფიციენტით a = 1.მაგრამ მაინც შეამოწმეთ ასეთი განტოლებები! უფრო და უფრო ნაკლები შეცდომები იქნება.

მიღება მესამე. თუ თქვენს განტოლებას აქვს წილადი კოეფიციენტები, მოიშორეთ წილადები! გაამრავლეთ განტოლება საერთო მნიშვნელით, როგორც ეს აღწერილია წინა ნაწილში. წილადებთან მუშაობისას, გარკვეული მიზეზების გამო, ჩნდება შეცდომები...

სხვათა შორის, მე დავპირდი, რომ ბოროტი მაგალითი გავამარტივებდი მინუსების წყობით. გთხოვთ! Ის აქაა.

იმისათვის, რომ მინუსებმა არ აგვერიოს, განტოლებას ვამრავლებთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

Სულ ეს არის! ამოხსნა სიამოვნებაა!

მაშ ასე, შევაჯამოთ თემა.

პრაქტიკული რჩევა:

1. ამოხსნის წინ კვადრატულ განტოლებას სტანდარტულ ფორმამდე მივყავართ და ვაშენებთ უფლება.

2. თუ X კვადრატის წინ არის უარყოფითი კოეფიციენტი, მას გამოვრიცხავთ მთელი განტოლების -1-ზე გამრავლებით.

3. თუ კოეფიციენტები წილადია, წილადებს ვხსნით მთელი განტოლების შესაბამის ფაქტორზე გამრავლებით.

4. თუ x კვადრატი სუფთაა, მისი კოეფიციენტი უდრის ერთს, ამონახსნის გადამოწმება მარტივად შეიძლება ვიეტას თეორემის გამოყენებით. Გააკეთე!

წილადი განტოლებები. ოძ.

ჩვენ ვაგრძელებთ განტოლებების დაუფლებას. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ვიმუშაოთ წრფივ და კვადრატულ განტოლებებთან. ბოლო ხედი დარჩა - წილადი განტოლებები. ან მათ ასევე უწოდებენ ბევრად უფრო პატივსაცემი - წილადი რაციონალური განტოლებები. Ეს იგივეა.

წილადი განტოლებები.

როგორც სახელი გულისხმობს, ეს განტოლებები აუცილებლად შეიცავს წილადებს. მაგრამ არა მხოლოდ წილადები, არამედ წილადები, რომლებსაც აქვთ მნიშვნელში უცნობი. ერთში მაინც. Მაგალითად:

შეგახსენებთ, რომ თუ მნიშვნელები მხოლოდ ნომრები, ეს არის წრფივი განტოლებები.

როგორ გადაწყვიტოს წილადი განტოლებები? უპირველეს ყოვლისა, მოიშორეთ წილადები! ამის შემდეგ, განტოლება ყველაზე ხშირად იქცევა წრფივ ან კვადრატად. შემდეგ კი ჩვენ ვიცით, რა უნდა გავაკეთოთ... ზოგიერთ შემთხვევაში ის შეიძლება გადაიქცეს იდენტობად, მაგალითად 5=5 ან არასწორ გამონათქვამად, როგორიცაა 7=2. მაგრამ ეს იშვიათად ხდება. ამას ქვემოთ აღვნიშნავ.

მაგრამ როგორ მოვიშოროთ წილადები!? Ძალიან მარტივი. იგივე იდენტური გარდაქმნების გამოყენება.

ჩვენ უნდა გავამრავლოთ მთელი განტოლება იმავე გამოსახულებით. ისე რომ ყველა მნიშვნელი შემცირდეს! ყველაფერი მაშინვე გამარტივდება. ნება მომეცით ავხსნა მაგალითით. მოდით გადავწყვიტოთ განტოლება:

როგორ ასწავლიდნენ დაწყებით სკოლაში? ყველაფერს ერთ მხარეს გადავიტანთ, საერთო მნიშვნელამდე მივყავართ და ა.შ. დაივიწყე როგორ საშინელი სიზმარი! ეს არის ის, რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ, როდესაც შეკრებთ ან გამოკლებთ. წილადური გამონათქვამები. ან მუშაობთ უთანასწორობებთან. ხოლო განტოლებებში ჩვენ მაშინვე ვამრავლებთ ორივე მხარეს გამოსახულებით, რომელიც მოგვცემს შესაძლებლობას შევამციროთ ყველა მნიშვნელი (ანუ არსებითად საერთო მნიშვნელით). და რა არის ეს გამოთქმა?

მარცხენა მხარეს, მნიშვნელის შემცირება მოითხოვს გამრავლებას x+2. ხოლო მარჯვნივ საჭიროა 2-ზე გამრავლება.ეს ნიშნავს, რომ განტოლება უნდა გამრავლდეს 2 (x+2). გამრავლება:

ეს არის წილადების ჩვეულებრივი გამრავლება, მაგრამ მე მას დეტალურად აღვწერ:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჯერ არ ვხსნი ფრჩხილს (x + 2)! ასე რომ, მთლიანობაში ვწერ:

მარცხენა მხარეს ის მთლიანად იკუმშება (x+2), და მარჯვნივ 2. რაც იყო საჭირო! შემცირების შემდეგ ვიღებთ ხაზოვანიგანტოლება:

და ყველას შეუძლია ამ განტოლების ამოხსნა! x = 2.

მოდით მოვაგვაროთ კიდევ ერთი მაგალითი, ცოტა უფრო რთული:

თუ გავიხსენებთ, რომ 3 = 3/1 და 2x = 2x/ 1, შეგვიძლია დავწეროთ:

და ისევ ვაშორებთ იმას, რაც ნამდვილად არ მოგვწონს - წილადებს.

ჩვენ ვხედავთ, რომ X-ით მნიშვნელის შესამცირებლად, წილადი უნდა გავამრავლოთ (x - 2). და რამდენიმე არ არის ჩვენთვის დაბრკოლება. აბა, გავამრავლოთ. ყველა მარცხენა მხარედა ყველამარჯვენა მხარე:

ისევ ფრჩხილები (x - 2)არ ვამხელ. ვმუშაობ ფრჩხილთან მთლიანობაში, თითქოს ეს იყოს ერთი ნომერი! ეს ყოველთვის უნდა გაკეთდეს, წინააღმდეგ შემთხვევაში არაფერი შემცირდება.

ღრმა კმაყოფილების გრძნობით ვამცირებთ (x - 2)და ვიღებთ განტოლებას ყოველგვარი წილადების გარეშე, სახაზავით!

ახლა გავხსნათ ფრჩხილები:

მოვიყვანთ მსგავსებს, გადავიტანთ ყველაფერს მარცხენა მხარეს და ვიღებთ:

კლასიკური კვადრატული განტოლება. მაგრამ მინუსი წინ არ არის კარგი. თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ მისი მოშორება -1-ზე გამრავლებით ან გაყოფით. მაგრამ თუ კარგად დააკვირდებით მაგალითს, შეამჩნევთ, რომ უმჯობესია ეს განტოლება -2-ზე გავყოთ! ერთი დარტყმით მინუსი გაქრება და შანსები უფრო მიმზიდველი გახდება! გაყავით -2-ზე. მარცხენა მხარეს - ტერმინი ტერმინით, ხოლო მარჯვნივ - უბრალოდ გაყავით ნული -2-ზე, ნულზე და მივიღებთ:

ჩვენ ვხსნით დისკრიმინანტის საშუალებით და ვამოწმებთ ვიეტას თეორემის გამოყენებით. ვიღებთ x = 1 და x = 3. ორი ფესვი.

როგორც ხედავთ, პირველ შემთხვევაში ტრანსფორმაციის შემდეგ განტოლება გახდა წრფივი, მაგრამ აქ ხდება კვადრატული. ხდება ისე, რომ წილადებისგან თავის დაღწევის შემდეგ ყველა X მცირდება. რაღაც რჩება, მაგალითად 5=5. Ეს ნიშნავს, რომ x შეიძლება იყოს ყველაფერი. რაც არ უნდა იყოს, მაინც შემცირდება. და გამოვა სუფთა სიმართლე, 5=5. მაგრამ, წილადებისგან თავის დაღწევის შემდეგ, შეიძლება აღმოჩნდეს სრულიად მცდარი, მაგალითად 2=7. და ეს იმას ნიშნავს არ არის გადაწყვეტილებები! ნებისმიერი X აღმოჩნდება მცდარი.

მიხვდა მთავარი გზაგადაწყვეტილებები წილადი განტოლებები ? ეს არის მარტივი და ლოგიკური. ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ გამოთქმას ისე, რომ ყველაფერი რაც არ მოგვწონს გაქრება. ან ერევა. ამ შემთხვევაში ეს არის წილადები. ჩვენ იგივეს გავაკეთებთ ყველა სახის შემთხვევაში რთული მაგალითებილოგარითმებით, სინუსებით და სხვა საშინელებებით. ჩვენ ყოველთვისამ ყველაფერს თავი დავაღწიოთ.

თუმცა, ჩვენ უნდა შევცვალოთ ორიგინალური გამოხატულება ჩვენთვის საჭირო მიმართულებით წესების მიხედვით, დიახ... რომლის ოსტატობა არის მზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მათემატიკაში. ასე რომ, ჩვენ ვითვისებთ მას.

ახლა ჩვენ ვისწავლით, თუ როგორ უნდა ავუაროთ ერთ-ერთს მთავარი ჩასაფრები ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე! მაგრამ ჯერ ვნახოთ, ჩავარდებით თუ არა?

მოდით შევხედოთ მარტივ მაგალითს:

საქმე უკვე ნაცნობია, ორივე მხარეს ვამრავლებთ (x - 2), ვიღებთ:

შეგახსენებთ, ფრჩხილებით (x - 2)ჩვენ ვმუშაობთ თითქოს ერთი, ინტეგრალური გამოხატულებით!

აქ ერთი აღარ დავწერე მნიშვნელებში, უღირსია... და მნიშვნელებში ფრჩხილები არ დავხატე, გარდა x – 2არაფერია, თქვენ არ გჭირდებათ დახატვა. შევამოკლოთ:

გახსენით ფრჩხილები, გადაიტანეთ ყველაფერი მარცხნივ და მიეცით მსგავსი:

ვხსნით, ვამოწმებთ, ვიღებთ ორ ფესვს. x = 2და x = 3. დიდი.

დავუშვათ, დავალებაში ნათქვამია, რომ ჩაწერეთ ფესვი, ან მათი ჯამი, თუ არის ერთზე მეტი ფესვი. რის დაწერას ვაპირებთ?

თუ გადაწყვეტთ, პასუხი არის 5, თქვენ ჩასაფრებულები იყვნენ. და დავალება არ დაგერიცხებათ. უშედეგოდ იმუშავეს... სწორი პასუხია 3.

Რა მოხდა?! და თქვენ ცდილობთ შეამოწმოთ. შეცვალეთ უცნობის მნიშვნელობები ორიგინალურიმაგალითი. და თუ ზე x = 3ყველაფერი ერთად გაიზრდება შესანიშნავად, მივიღებთ 9 = 9, მაშინ როდის x = 2ეს იქნება ნულზე გაყოფა! რისი გაკეთებაც აბსოლუტურად არ შეგიძლია. ნიშნავს x = 2არ არის გამოსავალი და არ არის გათვალისწინებული პასუხში. ეს არის ეგრეთ წოდებული ზედმეტი ან ზედმეტი ფესვი. ჩვენ უბრალოდ უარვყოფთ მას. საბოლოო ფესვი ერთია. x = 3.

Როგორ თუ?! – მესმის აღშფოთებული შეძახილები. გვასწავლეს, რომ განტოლება შეიძლება გამრავლდეს გამოსახულებით! ეს იდენტობის ტრანსფორმაცია!

დიახ, იდენტური. მცირე პირობით - გამონათქვამი, რომლითაც ვამრავლებთ (ვყოფთ) - განსხვავდება ნულიდან. ა x – 2ზე x = 2უდრის ნულს! ასე რომ ყველაფერი სამართლიანია.

და ახლა რა ვქნა?! გამოხატვით არ მრავლდება? ყოველ ჯერზე უნდა შევამოწმო? ისევ გაუგებარია!

მშვიდად! Ნუ აჰყვებით პანიკას!

ამ რთულ ვითარებაში სამი ჯადოსნური ასო გადაგვარჩენს. ვიცი რასაც ფიქრობ. უფლება! ეს ოძ . მისაღები ღირებულებების სფერო.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები. განიხილება რეალური, მრავალჯერადი და რთული ფესვების შემთხვევები. კვადრატული ტრინომის ფაქტორირება. გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. ფესვების და ფაქტორების განსაზღვრის მაგალითები.

ძირითადი ფორმულები

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება:
(1) .
კვადრატული განტოლების ფესვები(1) განისაზღვრება ფორმულებით:
; .
ეს ფორმულები შეიძლება გაერთიანდეს შემდეგნაირად:
.
როდესაც ცნობილია კვადრატული განტოლების ფესვები, მაშინ მეორე ხარისხის პოლინომი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფაქტორების პროდუქტი (ფაქტორირებული):
.

შემდეგ ვივარაუდოთ, რომ ეს არის რეალური რიცხვები.
განვიხილოთ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი:
.
თუ დისკრიმინანტი დადებითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი განსხვავებული რეალური ფესვი:
; .
მაშინ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.
თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) რეალური ფესვი:
.
ფაქტორიზაცია:
.
თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ კვადრატულ განტოლებას (1) აქვს ორი რთული კონიუგირებული ფესვი:
;
.
აქ არის წარმოსახვითი ერთეული, ;
და არის ფესვების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:
; .
მერე

.

გრაფიკული ინტერპრეტაცია

თუ შენ ააშენებ ფუნქციის გრაფიკი
,
რომელიც არის პარაბოლა, მაშინ გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები იქნება განტოლების ფესვები
.
ზე, გრაფიკი კვეთს x ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში.
როდესაც , გრაფიკი ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.
როდესაც , გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს.

ქვემოთ მოცემულია ასეთი გრაფიკების მაგალითები.

კვადრატულ განტოლებასთან დაკავშირებული სასარგებლო ფორმულები

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყვანა

ჩვენ ვახორციელებთ გარდაქმნებს და ვიყენებთ ფორმულებს (f.1) და (f.3):




,
სად
; .

ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა მეორე ხარისხის მრავალწევრის სახით:
.
ეს აჩვენებს, რომ განტოლება

შესრულდა
და .
ეს არის და არის კვადრატული განტოლების ფესვები
.

კვადრატული განტოლების ფესვების განსაზღვრის მაგალითები

მაგალითი 1

(1.1) .

გამოსავალი

.
ჩვენს განტოლებასთან (1.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს:
;
;
.

აქედან ვიღებთ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას:

.

y = ფუნქციის გრაფიკი 2 x 2 + 7 x + 3კვეთს x ღერძს ორ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის კვეთს აბსცისის ღერძს (ღერძს) ორ წერტილში:
და .
ეს წერტილები არის საწყისი განტოლების ფესვები (1.1).

უპასუხე

;
;
.

მაგალითი 2

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(2.1) .

გამოსავალი

დავწეროთ კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმით:
.
თავდაპირველ განტოლებასთან (2.1) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
ვინაიდან დისკრიმინანტი ნულია, განტოლებას აქვს ორი მრავალჯერადი (ტოლი) ფესვი:
;
.

მაშინ ტრინომის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.

y = x ფუნქციის გრაფიკი 2 - 4 x + 4ეხება x ღერძს ერთ წერტილში.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის ეხება x-ღერძს (ღერძს) ერთ წერტილში:
.
ეს წერტილი არის საწყისი განტოლების ფესვი (2.1). რადგან ეს ფესვი ფაქტორირებულია ორჯერ:
,
მაშინ ასეთ ფესვს ჩვეულებრივ მრავალჯერადს უწოდებენ. ანუ, მათ მიაჩნიათ, რომ არსებობს ორი თანაბარი ფესვი:
.

უპასუხე

;
.

მაგალითი 3

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
(3.1) .

გამოსავალი

დავწეროთ კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმით:
(1) .
მოდით გადავიწეროთ თავდაპირველი განტოლება (3.1):
.
(1-თან) შედარებით, ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:
.
ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
.
დისკრიმინანტი უარყოფითია, . ამიტომ არ არსებობს რეალური ფესვები.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ რთული ფესვები:
;
;
.

მერე


.

ფუნქციის გრაფიკი არ კვეთს x ღერძს. ნამდვილი ფესვები არ არსებობს.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია
.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. ის არ კვეთს x ღერძს (ღერძს). ამიტომ არ არსებობს რეალური ფესვები.

უპასუხე

ნამდვილი ფესვები არ არსებობს. რთული ფესვები:
;
;
.

განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. ადამიანი ძველ დროში იყენებდა განტოლებებს და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. დისკრიმინანტი საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ ნებისმიერი კვადრატული განტოლება გამოყენებით ზოგადი ფორმულა, რომელიც ასე გამოიყურება:

დისკრიმინაციული ფორმულა დამოკიდებულია მრავალწევრის ხარისხზე. ზემოაღნიშნული ფორმულა შესაფერისია შემდეგი ფორმის კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად:

დისკრიმინატორს აქვს შემდეგი თვისებები, რომლებიც უნდა იცოდეთ:

* "D" არის 0, როდესაც მრავალწევრს აქვს მრავალი ფესვი (ტოლი ფესვები);

* „D“ არის სიმეტრიული მრავალწევრი მრავალწევრის ფესვებთან მიმართებაში და ამიტომ არის მრავალწევრი თავისი კოეფიციენტებით; უფრო მეტიც, ამ პოლინომის კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია, განურჩევლად იმ გაფართოებისა, რომელშიც ფესვებია აღებული.

ვთქვათ, მოცემულია შემდეგი ფორმის კვადრატული განტოლება:

1 განტოლება

ფორმულის მიხედვით გვაქვს:

მას შემდეგ, რაც \, განტოლებას აქვს 2 ფესვი. მოდით განვსაზღვროთ ისინი:

სად შემიძლია ამოხსნა განტოლება დისკრიმინაციული ონლაინ ამომხსნელის გამოყენებით?

განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https://site. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლებები რამდენიმე წამში. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის უბრალოდ შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გადამწყვეტში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ უყუროთ ვიდეო ინსტრუქციებს და გაიგოთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლება ჩვენს ვებსაიტზე.და თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს VKontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.

კვადრატული განტოლების ამოცანები შესწავლილია როგორც სასკოლო სასწავლო გეგმაში, ასევე უნივერსიტეტებში. ისინი გულისხმობენ a*x^2 + b*x + c = 0 ფორმის განტოლებებს, სადაც x-ცვლადი, a, b, c – მუდმივები; ა<>0 . ამოცანაა იპოვოთ განტოლების ფესვები.

კვადრატული განტოლების გეომეტრიული მნიშვნელობა

ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც წარმოდგენილია კვადრატული განტოლებით, არის პარაბოლა. კვადრატული განტოლების ამონახსნები (ფესვები) არის პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები აბსცისა (x) ღერძთან. აქედან გამომდინარეობს, რომ არსებობს სამი შესაძლო შემთხვევა:
1) პარაბოლას არ აქვს აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები. ეს ნიშნავს, რომ ის არის ზედა სიბრტყეში ტოტებით ზემოთ ან ქვედა ტოტებით ქვემოთ. ასეთ შემთხვევებში კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები (მას აქვს ორი რთული ფესვი).

2) პარაბოლას აქვს ოქსის ღერძთან გადაკვეთის ერთი წერტილი. ასეთ წერტილს პარაბოლის წვერო ეწოდება და მასზე კვადრატული განტოლება იძენს მის მინიმუმს ან მაქსიმალური მნიშვნელობა. ამ შემთხვევაში, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი რეალური ფესვი (ან ორი იდენტური ფესვი).

3) პრაქტიკაში უფრო საინტერესოა ბოლო შემთხვევა - პარაბოლას აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის ორი წერტილია. ეს ნიშნავს, რომ განტოლების ორი რეალური ფესვია.

ცვლადების სიმძლავრის კოეფიციენტების ანალიზის საფუძველზე საინტერესო დასკვნების გამოტანა შეიძლება პარაბოლის განლაგების შესახებ.

1) თუ კოეფიციენტი a არის ნულზე მეტი, მაშინ პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, თუ ის უარყოფითია, პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვევით.

2) თუ კოეფიციენტი b არის ნულზე მეტი, მაშინ პარაბოლის წვერო დევს მარცხენა ნახევარსიბრტყეში, თუ დასჭირდება უარყოფითი მნიშვნელობა- შემდეგ მარჯვნივ.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის გამოყვანა

გადავიტანოთ მუდმივი კვადრატული განტოლებიდან

ტოლობის ნიშნისთვის ვიღებთ გამონათქვამს

გავამრავლოთ ორივე მხარე 4a-ზე

მარცხნივ სრული კვადრატის მისაღებად დაამატეთ b^2 ორივე მხარეს და განახორციელეთ ტრანსფორმაცია

აქედან ვპოულობთ

კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტისა და ფესვების ფორმულა

დისკრიმინანტი არის რადიკალური გამოხატვის მნიშვნელობა, თუ ის დადებითია, მაშინ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, გამოითვლება ფორმულით. როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი (ორი ემთხვევა ფესვი), რომელიც ადვილად მიიღება ზემოთ მოცემული ფორმულიდან D=0. როდესაც დისკრიმინანტი უარყოფითია, განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები. ამასთან, კვადრატული განტოლების ამონახსნები გვხვდება კომპლექსურ სიბრტყეში და მათი მნიშვნელობა გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

ვიეტას თეორემა

განვიხილოთ კვადრატული განტოლების ორი ფესვი და მათ საფუძველზე ავაშენოთ კვადრატული განტოლება.. თავად ვიეტას თეორემა ადვილად გამომდინარეობს აღნიშვნიდან: თუ გვაქვს ფორმის კვადრატული განტოლება. მაშინ მისი ფესვების ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ p კოეფიციენტს, ხოლო განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ ნაწილს q. ზემოაღნიშნულის ფორმულის გამოსახვა ასე გამოიყურება, თუ კლასიკურ განტოლებაში მუდმივი a არის ნულოვანი, მაშინ თქვენ უნდა გაყოთ მასზე მთელი განტოლება და შემდეგ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა.

ფაქტორინგის კვადრატული განტოლების განრიგი

დავსვათ დავალება: აკრიფეთ კვადრატული განტოლება. ამისათვის ჩვენ ჯერ ვხსნით განტოლებას (იპოვეთ ფესვები). შემდეგ აღმოჩენილ ფესვებს ვანაცვლებთ კვადრატული განტოლების გაფართოების ფორმულას, ეს გადაჭრის პრობლემას.

კვადრატული განტოლების ამოცანები

დავალება 1. იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები

x^2-26x+120=0 .

ამოხსნა: ჩაწერეთ კოეფიციენტები და ჩაანაცვლეთ დისკრიმინაციული ფორმულით

ფესვი მოცემული ღირებულებაუდრის 14-ს, მისი პოვნა ადვილია კალკულატორით, ან დამახსოვრება ხშირი გამოყენებით, თუმცა, მოხერხებულობისთვის, სტატიის ბოლოს შემოგთავაზებთ რიცხვების კვადრატების ჩამონათვალს, რომლებიც ხშირად შეიძლება შეგვხვდეს მსგავს ამოცანებში.
ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას root ფორმულაში

და ვიღებთ

დავალება 2. ამოხსენით განტოლება

2x 2 +x-3=0.

ამოხსნა: გვაქვს სრული კვადრატული განტოლება, ამოვიწეროთ კოეფიციენტები და ვიპოვოთ დისკრიმინანტი


ცნობილი ფორმულების გამოყენებით ვპოულობთ კვადრატული განტოლების ფესვებს

დავალება 3. ამოხსენით განტოლება

9x 2 -12x+4=0.

ამოხსნა: გვაქვს სრული კვადრატული განტოლება. დისკრიმინანტის განსაზღვრა

ჩვენ მივიღეთ შემთხვევა, როდესაც ფესვები ემთხვევა. იპოვეთ ფესვების მნიშვნელობები ფორმულის გამოყენებით

დავალება 4. ამოხსენით განტოლება

x^2+x-6=0 .

გამოსავალი: იმ შემთხვევებში, როდესაც x-ისთვის არის მცირე კოეფიციენტები, მიზანშეწონილია ვიეტას თეორემის გამოყენება. მისი პირობით ვიღებთ ორ განტოლებას

მეორე პირობიდან ვხვდებით, რომ ნამრავლი უნდა იყოს -6-ის ტოლი. ეს ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი ფესვი უარყოფითია. ჩვენ გვაქვს ამონახსნების შემდეგი შესაძლო წყვილი (-3;2), (3;-2) . პირველი პირობის გათვალისწინებით, ჩვენ უარვყოფთ ხსნარების მეორე წყვილს.
განტოლების ფესვები ტოლია

ამოცანა 5. იპოვეთ მართკუთხედის გვერდების სიგრძეები, თუ მისი პერიმეტრია 18 სმ, ხოლო ფართობი 77 სმ 2.

ამოხსნა: მართკუთხედის პერიმეტრის ნახევარი უდრის მიმდებარე გვერდების ჯამს. ავღნიშნოთ x – დიდი მხარე, შემდეგ 18-x მისი პატარა მხარე. მართკუთხედის ფართობი უდრის ამ სიგრძის ნამრავლს:
x(18-x)=77;
ან
x 2 -18x+77=0.
ვიპოვოთ განტოლების დისკრიმინანტი

განტოლების ფესვების გამოთვლა

თუ x=11,რომ 18 = 7,პირიქითაც მართალია (თუ x=7, მაშინ 21-ის=9).

ამოცანა 6. კვადრატული განტოლება 10x 2 -11x+3=0 ფაქტორზე გადაიტანეთ.

ამოხსნა: გამოვთვალოთ განტოლების ფესვები, ამისთვის ვიპოვოთ დისკრიმინანტი

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას root ფორმულაში და გამოვთვალოთ

ჩვენ ვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფესვებით დაშლის ფორმულას

ფრჩხილების გახსნით ვიღებთ პირადობას.

კვადრატული განტოლება პარამეტრით

მაგალითი 1. რა პარამეტრის მნიშვნელობებზე A ,აქვს თუ არა განტოლებას (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ერთი ფესვი?

ამოხსნა: a=3 მნიშვნელობის პირდაპირი ჩანაცვლებით ვხედავთ, რომ მას არ აქვს ამონახსნი. შემდეგი, ჩვენ გამოვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ნულოვანი დისკრიმინანტით განტოლებას აქვს 2 სიმრავლის ერთი ფესვი. ამოვიწეროთ დისკრიმინანტი

გავამარტივოთ და გავუტოლოთ ნულს

მივიღეთ კვადრატული განტოლება a პარამეტრთან მიმართებაში, რომლის ამოხსნაც ადვილად შეიძლება მივიღოთ ვიეტას თეორემის გამოყენებით. ფესვების ჯამი არის 7, ხოლო მათი ნამრავლი 12. მარტივი ძიებით ვადგენთ, რომ რიცხვები 3,4 იქნება განტოლების ფესვები. ვინაიდან ჩვენ უკვე უარვყავით გამოსავალი a=3 გამოთვლების დასაწყისში, ერთადერთი სწორი იქნება - a=4.ამრიგად, a=4-ისთვის განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

მაგალითი 2. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე A ,განტოლება a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0აქვს ერთზე მეტი ფესვი?

ამოხსნა: ჯერ განვიხილოთ სინგულარული წერტილები, ისინი იქნება მნიშვნელობები a=0 და a=-3. როდესაც a=0, განტოლება გამარტივდება სახით 6x-9=0; x=3/2 და იქნება ერთი ფესვი. a= -3-ისთვის ვიღებთ იდენტობას 0=0.
მოდით გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი

და იპოვნეთ a-ს მნიშვნელობა, რომელზეც ის დადებითია

პირველი პირობიდან ვიღებთ a>3. მეორესთვის, ჩვენ ვპოულობთ განტოლების დისკრიმინანტს და ფესვებს


მოდით განვსაზღვროთ ის ინტერვალები, სადაც ფუნქცია იღებს დადებით მნიშვნელობებს. a=0 წერტილის ჩანაცვლებით მივიღებთ 3>0 . ანუ, ინტერვალის გარეთ (-3;1/3) ფუნქცია უარყოფითია. არ დაგავიწყდეთ წერტილი a=0,რაც უნდა გამოირიცხოს, რადგან თავდაპირველ განტოლებას ერთი ფესვი აქვს.
შედეგად, ვიღებთ ორ ინტერვალს, რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს

პრაქტიკაში ბევრი მსგავსი დავალება იქნება, შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ ამოცანები და არ დაგავიწყდეთ ურთიერთგამომრიცხავი პირობების გათვალისწინება. კარგად შეისწავლეთ ხსნარის ფორმულები კვადრატული განტოლებები, ისინი საკმაოდ ხშირად საჭიროა სხვადასხვა ამოცანებისა და მეცნიერებების გამოთვლებში.

პირველი დონე

კვადრატული განტოლებები. ყოვლისმომცველი სახელმძღვანელო (2019)

ტერმინში "კვადრატული განტოლება" საკვანძო სიტყვაა "კვადრატული". ეს ნიშნავს, რომ განტოლება აუცილებლად უნდა შეიცავდეს ცვლადს (იგივე x) კვადრატში და არ უნდა იყოს ქსები მესამე (ან უფრო დიდი) სიმძლავრის მიმართ.

მრავალი განტოლების ამოხსნა მოდის კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე.

მოდით ვისწავლოთ იმის დადგენა, რომ ეს არის კვადრატული განტოლება და არა სხვა განტოლება.

მაგალითი 1.

მოვიშოროთ მნიშვნელი და გავამრავლოთ განტოლების თითოეული წევრი

გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს და დავალაგოთ ტერმინები X-ის ხარისხების კლებადობით

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ეს განტოლება არის კვადრატული!

მაგალითი 2.

გაამრავლეთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები:

ეს განტოლება, თუმცა თავდაპირველად მასში იყო, არ არის კვადრატული!

მაგალითი 3.

გავამრავლოთ ყველაფერი:

საშინელი? მეოთხე და მეორე ხარისხი... თუმცა, თუ ჩანაცვლებას გავაკეთებთ, დავინახავთ, რომ გვაქვს მარტივი კვადრატული განტოლება:

მაგალითი 4.

როგორც ჩანს, არსებობს, მაგრამ მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ. მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს:

ხედავთ, ის შემცირდა - და ახლა ეს მარტივია წრფივი განტოლება!

ახლა შეეცადეთ დაადგინოთ ქვემოთ ჩამოთვლილი განტოლებიდან რომელია კვადრატული და რომელი არა:

მაგალითები:

პასუხები:

1. მოედანი;
2. მოედანი;
3. არა კვადრატი;
4. არა კვადრატი;
5. არა კვადრატი;
6. მოედანი;
7. არა კვადრატი;
8. კვადრატი.

მათემატიკოსები პირობითად ყოფენ ყველა კვადრატულ განტოლებას შემდეგ ტიპებად:

• სრული კვადრატული განტოლებები- განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტები და, ისევე როგორც თავისუფალი წევრი c, არ არის ნულის ტოლი (როგორც მაგალითში). გარდა ამისა, სრულ კვადრატულ განტოლებებს შორის არის მოცემული- ეს არის განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტი (განტოლება პირველი მაგალითიდან არა მხოლოდ სრულია, არამედ შემცირებულია!)

• არასრული კვადრატული განტოლებები- განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტი და ან თავისუფალი წევრი c უდრის ნულს:

  ისინი არასრულია, რადგან რაღაც ელემენტი აკლია. მაგრამ განტოლება ყოველთვის უნდა შეიცავდეს x კვადრატს!!! წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეს აღარ იქნება კვადრატული განტოლება, არამედ სხვა განტოლება.

რატომ მოიფიქრეს ასეთი დაყოფა? როგორც ჩანს, არის X კვადრატში და კარგი. ეს დაყოფა განისაზღვრება გადაწყვეტის მეთოდებით. მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი უფრო დეტალურად.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

პირველ რიგში, მოდით, ყურადღება გავამახვილოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე - ისინი ბევრად უფრო მარტივია!

არსებობს არასრული კვადრატული განტოლებების ტიპები:

1. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი ტოლია.
2. , ამ განტოლებაში თავისუფალი წევრი უდრის.
3. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ტოლია.

1. ი. რადგან ვიცით როგორ ავიღოთ კვადრატული ფესვი, მოდით გამოვხატოთ ამ განტოლებიდან

გამოთქმა შეიძლება იყოს უარყოფითი ან დადებითი. კვადრატული რიცხვი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან ორი უარყოფითი ან ორი დადებითი რიცხვის გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის იქნება დადებითი რიცხვი, ასე რომ: თუ, მაშინ განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

და თუ, მაშინ მივიღებთ ორ ფესვს. არ არის საჭირო ამ ფორმულების დამახსოვრება. მთავარია იცოდე და ყოველთვის გახსოვდეთ, რომ ნაკლები არ შეიძლება.

შევეცადოთ რამდენიმე მაგალითის ამოხსნას.

მაგალითი 5:

ამოხსენით განტოლება

ახლა რჩება მხოლოდ ფესვის ამოღება მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან. ბოლოს და ბოლოს, გახსოვთ, როგორ ამოიღოთ ფესვები?

პასუხი:

არასოდეს დაივიწყოთ ფესვები უარყოფითი ნიშნით!!!

მაგალითი 6:

ამოხსენით განტოლება

პასუხი:

მაგალითი 7:

ამოხსენით განტოლება

ოჰ! რიცხვის კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება

არა ფესვები!

ასეთი განტოლებისთვის, რომლებსაც ფესვები არ აქვთ, მათემატიკოსებმა გამოიგონეს სპეციალური ხატი - (ცარიელი ნაკრები). და პასუხი შეიძლება დაიწეროს ასე:

პასუხი:

ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. აქ არანაირი შეზღუდვა არ არის, რადგან ჩვენ არ გამოვყავით ფესვი.
მაგალითი 8:

ამოხსენით განტოლება

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

ამრიგად,

ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

პასუხი:

არასრული კვადრატული განტოლებების უმარტივესი ტიპი (თუმცა ისინი ყველა მარტივია, არა?). ცხადია, ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:

აქ მაგალითებს გამოვრიცხავთ.

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

შეგახსენებთ, რომ სრული კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლების განტოლება, სადაც

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ცოტა უფრო რთულია (უბრალოდ ცოტა) ვიდრე ეს.

გახსოვდეს, ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია დისკრიმინანტის გამოყენებით! თუნდაც არასრული.

სხვა მეთოდები დაგეხმარებათ ამის გაკეთებაში უფრო სწრაფად, მაგრამ თუ პრობლემები გაქვთ კვადრატულ განტოლებებთან დაკავშირებით, ჯერ დაეუფლეთ ამონახსს დისკრიმინანტის გამოყენებით.

1. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა დისკრიმინანტის გამოყენებით.

ამ მეთოდის გამოყენებით კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ძალიან მარტივია, მთავარია გახსოვდეთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და რამდენიმე ფორმულა.

თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი. Განსაკუთრებული ყურადღებაგადადგი ნაბიჯი. დისკრიმინანტი () გვეუბნება განტოლების ფესვების რაოდენობას.

• თუ, მაშინ ნაბიჯის ფორმულა შემცირდება. ამრიგად, განტოლებას მხოლოდ ფესვი ექნება.
• თუ, მაშინ ჩვენ ვერ გამოვყოფთ დისკრიმინანტის ფესვს საფეხურზე. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

დავუბრუნდეთ ჩვენს განტოლებებს და გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 9:

ამოხსენით განტოლება

Ნაბიჯი 1ჩვენ გამოვტოვებთ.

ნაბიჯი 2.

ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

ნაბიჯი 3.

პასუხი:

მაგალითი 10:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება წარმოდგენილია სტანდარტული ფორმით, ასე რომ Ნაბიჯი 1ჩვენ გამოვტოვებთ.

ნაბიჯი 2.

ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:

მაგალითი 11:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება წარმოდგენილია სტანდარტული ფორმით, ასე რომ Ნაბიჯი 1ჩვენ გამოვტოვებთ.

ნაბიჯი 2.

ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვერ შევძლებთ დისკრიმინანტის ფესვის ამოღებას. განტოლების ფესვები არ არსებობს.

ახლა ჩვენ ვიცით, როგორ სწორად ჩამოვწეროთ ასეთი პასუხები.

პასუხი:ფესვების გარეშე

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

თუ გახსოვთ, არის განტოლების ტიპი, რომელსაც ეწოდება შემცირებული (როცა კოეფიციენტი a უდრის):

ასეთი განტოლებების ამოხსნა ძალიან ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით:

ფესვების ჯამი მოცემულიკვადრატული განტოლება ტოლია, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია.

მაგალითი 12:

ამოხსენით განტოლება

ეს განტოლება შეიძლება ამოიხსნას ვიეტას თეორემის გამოყენებით, რადგან .

განტოლების ფესვების ჯამი ტოლია, ე.ი. ვიღებთ პირველ განტოლებას:

და პროდუქტი უდრის:

მოდით შევადგინოთ და მოვაგვაროთ სისტემა:

• და. თანხა უდრის;
• და. თანხა უდრის;
• და. თანხა თანაბარია.

და არის სისტემის გამოსავალი:

პასუხი: ; .

მაგალითი 13:

ამოხსენით განტოლება

პასუხი:

მაგალითი 14:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება მოცემულია, რაც ნიშნავს:

პასუხი:

კვადრატული განტოლებები. საშუალო დონე

რა არის კვადრატული განტოლება?

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება, სადაც - უცნობი, - ზოგიერთი რიცხვი და.

რიცხვს უწოდებენ უმაღლეს ან პირველი კოეფიციენტიკვადრატული განტოლება, - მეორე კოეფიციენტი, ა - თავისუფალი წევრი.

რატომ? რადგან თუ განტოლება მაშინვე ხდება წრფივი, იმიტომ გაქრება.

ამ შემთხვევაში და შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. ამ სავარძელში განტოლებას არასრული ეწოდება. თუ ყველა ტერმინი ადგილზეა, ანუ განტოლება დასრულებულია.

სხვადასხვა ტიპის კვადრატული განტოლების ამონახსნები

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები:

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს - ისინი უფრო მარტივია.

ჩვენ შეგვიძლია განვასხვავოთ შემდეგი ტიპის განტოლებები:

I., ამ განტოლებაში კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ტოლია.

II. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი ტოლია.

III. , ამ განტოლებაში თავისუფალი წევრი უდრის.

ახლა მოდით გადავხედოთ თითოეული ამ ქვეტიპის გადაწყვეტას.

ცხადია, ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:

კვადრატული რიცხვი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან როდესაც გაამრავლებთ ორ უარყოფით ან ორ დადებით რიცხვს, შედეგი ყოველთვის იქნება დადებითი რიცხვი. Ამიტომაც:

თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები;

თუ ორი ფესვი გვაქვს

არ არის საჭირო ამ ფორმულების დამახსოვრება. მთავარია გახსოვდეთ, რომ ეს არ შეიძლება იყოს ნაკლები.

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

პასუხი:

არასოდეს დაივიწყოთ ფესვები უარყოფითი ნიშნით!

რიცხვის კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება

ფესვების გარეშე.

მოკლედ რომ ჩამოვწეროთ, რომ პრობლემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, ვიყენებთ ცარიელი ნაკრების ხატულას.

პასუხი:

ამრიგად, ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: და.

პასუხი:

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ამონახსნი, როდესაც:

ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: და.

მაგალითი:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

მოდით გავამრავლოთ განტოლების მარცხენა მხარე და ვიპოვოთ ფესვები:

პასუხი:

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები:

1. დისკრიმინანტი

ამ გზით კვადრატული განტოლებების ამოხსნა მარტივია, მთავარია დაიმახსოვროთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და რამდენიმე ფორმულა. დაიმახსოვრე, ნებისმიერი კვადრატული განტოლება შეიძლება ამოიხსნას დისკრიმინანტის გამოყენებით! თუნდაც არასრული.

შეამჩნიეთ ფესვი დისკრიმინანტიდან ფესვების ფორმულაში? მაგრამ დისკრიმინანტი შეიძლება იყოს უარყოფითი. Რა უნდა ვქნა? განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მივაქციოთ მე-2 საფეხურს. დისკრიმინანტი გვეუბნება განტოლების ფესვების რაოდენობას.

• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვები:
• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს იგივე ფესვები და, ფაქტობრივად, ერთი ფესვი:

  ასეთ ფესვებს ორმაგი ფესვები ეწოდება.

• თუ, მაშინ დისკრიმინანტის ფესვი არ არის ამოღებული. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

რატომ არის შესაძლებელი ფესვების განსხვავებული რაოდენობა? მოდით მივმართოთ კვადრატული განტოლების გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა:

სპეციალურ შემთხვევაში, რომელიც არის კვადრატული განტოლება, . ეს ნიშნავს, რომ კვადრატული განტოლების ფესვები არის აბსცისის ღერძთან (ღერძთან) გადაკვეთის წერტილები. პარაბოლა შეიძლება საერთოდ არ კვეთდეს ღერძს, ან შეიძლება გადაკვეთოს იგი ერთ (როდესაც პარაბოლის წვერო ღერძზე დევს) ან ორ წერტილზე.

გარდა ამისა, კოეფიციენტი პასუხისმგებელია პარაბოლის ტოტების მიმართულებაზე. თუ, მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ, ხოლო თუ, მაშინ ქვემოთ.

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

პასუხი:

პასუხი:.

პასუხი:

ეს ნიშნავს, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

პასუხი:.

2. ვიეტას თეორემა

ვიეტას თეორემის გამოყენება ძალიან მარტივია: თქვენ უბრალოდ უნდა აირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი ტოლია განტოლების თავისუფალ წევრს, ხოლო ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ მეორე კოეფიციენტს.

მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ვიეტას თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ შემცირებული კვადრატული განტოლებები ().

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

მაგალითი #1:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

ეს განტოლება შეიძლება ამოიხსნას ვიეტას თეორემის გამოყენებით, რადგან . სხვა კოეფიციენტები: ; .

განტოლების ფესვების ჯამი არის:

და პროდუქტი უდრის:

ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი ტოლია და შევამოწმოთ მათი ჯამი ტოლია თუ არა:

• და. თანხა უდრის;
• და. თანხა უდრის;
• და. თანხა თანაბარია.

და არის სისტემის გამოსავალი:

ამრიგად, და არის ჩვენი განტოლების ფესვები.

პასუხი: ; .

მაგალითი #2:

გამოსავალი:

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომლებიც მოცემულია ნამრავლში და შემდეგ შევამოწმოთ მათი ჯამი ტოლია თუ არა:

და: იძლევიან სულ.

და: იძლევიან სულ. მისაღებად საკმარისია უბრალოდ შეცვალოთ სავარაუდო ფესვების ნიშნები: და ბოლოს და ბოლოს, პროდუქტი.

პასუხი:

მაგალითი #3:

გამოსავალი:

განტოლების თავისუფალი წევრი უარყოფითია და, შესაბამისად, ფესვების ნამრავლი არის უარყოფითი რიცხვი. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი ფესვი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი. ამიტომ ფესვების ჯამი უდრის მათი მოდულების განსხვავებები.

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომლებიც მოცემულია ნამრავლში და რომელთა განსხვავება უდრის:

და: მათი განსხვავება თანაბარია - არ ჯდება;

და: - შეუსაბამო;

და: - შეუსაბამო;

და: - შესაფერისი. რჩება მხოლოდ გვახსოვდეს, რომ ერთ-ერთი ფესვი უარყოფითია. ვინაიდან მათი ჯამი ტოლი უნდა იყოს, უფრო მცირე მოდულის მქონე ფესვი უარყოფითი უნდა იყოს: . ჩვენ ვამოწმებთ:

პასუხი:

მაგალითი #4:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

განტოლება მოცემულია, რაც ნიშნავს:

თავისუფალი ვადა უარყოფითია და, შესაბამისად, ფესვების პროდუქტი უარყოფითია. და ეს შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც განტოლების ერთი ფესვი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი.

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი ტოლია და შემდეგ განვსაზღვროთ რომელ ფესვებს უნდა ჰქონდეს უარყოფითი ნიშანი:

ცხადია, მხოლოდ ფესვები და შესაფერისია პირველი პირობისთვის:

პასუხი:

მაგალითი #5:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

განტოლება მოცემულია, რაც ნიშნავს:

ფესვების ჯამი უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ ერთი ფესვი მაინც უარყოფითია. მაგრამ რადგან მათი პროდუქტი დადებითია, ეს ნიშნავს, რომ ორივე ფესვს აქვს მინუს ნიშანი.

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი უდრის:

ცხადია, ფესვები არის რიცხვები და.

პასუხი:

დამეთანხმებით, ძალიან მოსახერხებელია ფესვების ზეპირად გამომუშავება, ნაცვლად ამ საზიზღარი დისკრიმინანტის დათვლის. შეეცადეთ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა რაც შეიძლება ხშირად.

მაგრამ ვიეტას თეორემა საჭიროა იმისათვის, რომ ხელი შეუწყოს და დააჩქაროს ფესვების პოვნა. იმისათვის, რომ ისარგებლოთ მისი გამოყენებით, თქვენ უნდა მიიყვანოთ მოქმედებები ავტომატურად. და ამისთვის ამოხსენით კიდევ ხუთი მაგალითი. მაგრამ არ მოატყუოთ: თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ დისკრიმინანტი! მხოლოდ ვიეტას თეორემა:

ამოცანების გადაწყვეტილებები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

ამოცანა 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ვიეტას თეორემის მიხედვით:

ჩვეულებისამებრ, შერჩევას ვიწყებთ ნაჭრით:

არ არის შესაფერისი, რადგან თანხა;

: თანხა არის ზუსტად ის, რაც გჭირდებათ.

პასუხი: ; .

დავალება 2.

და ისევ ჩვენი საყვარელი ვიეტას თეორემა: ჯამი ტოლი უნდა იყოს, ნამრავლი კი ტოლი.

მაგრამ რადგან ეს არ უნდა იყოს, მაგრამ, ჩვენ ვცვლით ფესვების ნიშნებს: და (სულ).

პასუხი: ; .

დავალება 3.

ჰმ... სად არის?

თქვენ უნდა გადაიტანოთ ყველა ტერმინი ერთ ნაწილად:

ფესვების ჯამი ნამრავლის ტოლია.

კარგი, გაჩერდი! განტოლება არ არის მოცემული. მაგრამ ვიეტას თეორემა გამოსაყენებელია მხოლოდ მოცემულ განტოლებებში. ასე რომ, პირველ რიგში, თქვენ უნდა მიუთითოთ განტოლება. თუ ვერ ხელმძღვანელობთ, უარი თქვით ამ იდეაზე და მოაგვარეთ იგი სხვა გზით (მაგალითად, დისკრიმინანტის საშუალებით). შეგახსენებთ, რომ კვადრატული განტოლების მიცემა ნიშნავს წამყვანი კოეფიციენტის ტოლფასს:

დიდი. მაშინ ფესვების ჯამი ტოლია და ნამრავლი.

აქ მსხლის ჭურვივით არჩევა ადვილია: ბოლოს და ბოლოს, ეს არის მარტივი რიცხვი (ბოდიში ტავტოლოგიისთვის).

პასუხი: ; .

დავალება 4.

თავისუფალი წევრი უარყოფითია. რა არის ამაში განსაკუთრებული? და ფაქტია, რომ ფესვებს განსხვავებული ნიშნები ექნებათ. ახლა კი, შერჩევისას, ჩვენ ვამოწმებთ არა ფესვების ჯამს, არამედ განსხვავებას მათ მოდულებში: ეს განსხვავება ტოლია, მაგრამ პროდუქტი.

ასე რომ, ფესვები ტოლია და, მაგრამ ერთი მათგანი არის მინუს. ვიეტას თეორემა გვეუბნება, რომ ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით, ანუ. ეს ნიშნავს, რომ პატარა ფესვს ექნება მინუსი: და, ვინაიდან.

პასუხი: ; .

დავალება 5.

რა უნდა გააკეთო პირველ რიგში? მართალია, მიეცი განტოლება:

ისევ: ჩვენ ვირჩევთ რიცხვის ფაქტორებს და მათი განსხვავება ტოლი უნდა იყოს:

ფესვები ტოლია და, მაგრამ ერთი მათგანი არის მინუს. რომელი? მათი ჯამი ტოლი უნდა იყოს, რაც ნიშნავს, რომ მინუსს უფრო დიდი ფესვი ექნება.

პასუხი: ; .

ნება მომეცით შევაჯამოთ:

1. ვიეტას თეორემა გამოიყენება მხოლოდ მოცემულ კვადრატულ განტოლებებში.
2. ვიეტას თეორემის გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ფესვები შერჩევით, ზეპირად.
3. თუ განტოლება არ არის მოცემული ან არ არის ნაპოვნი თავისუფალი ტერმინის ფაქტორების შესაფერისი წყვილი, მაშინ არ არსებობს მთელი ფესვები და თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ იგი სხვა გზით (მაგალითად, დისკრიმინანტის საშუალებით).

3. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი

თუ უცნობის შემცველი ყველა ტერმინი წარმოდგენილია ტერმინების სახით შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიდან - ჯამის ან სხვაობის კვადრატი - მაშინ ცვლადების ჩანაცვლების შემდეგ, განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების სახით.

Მაგალითად:

მაგალითი 1:

ამოხსენით განტოლება: .

გამოსავალი:

პასუხი:

მაგალითი 2:

ამოხსენით განტოლება: .

გამოსავალი:

პასუხი:

ზოგადად, ტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება:

ეს გულისხმობს: .

არაფერს არ გახსენებს? ეს არის დისკრიმინაციული რამ! სწორედ ასე მივიღეთ დისკრიმინაციული ფორმულა.

კვადრატული განტოლებები. მოკლედ მთავარის შესახებ

Კვადრატული განტოლება- ეს არის ფორმის განტოლება, სადაც - უცნობი, - კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები, - თავისუფალი წევრი.

სრული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტები არ არის ნულის ტოლი.

შემცირებული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი, ანუ: .

არასრული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი და ან თავისუფალი წევრი c უდრის ნულს:

• თუ კოეფიციენტი, განტოლება ასე გამოიყურება:
• თუ არსებობს თავისუფალი წევრი, განტოლებას აქვს ფორმა:
• თუ და, განტოლება ასე გამოიყურება: .

1. არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი

1.1. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც:

1) გამოვხატოთ უცნობი:

2) შეამოწმეთ გამოხატვის ნიშანი:

• თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები,
• თუ, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

1.2. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც:

1) ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

2) ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ამრიგად, განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

1.3. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც:

ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: .

2. ფორმის სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი, სადაც

2.1. გამოსავალი დისკრიმინანტის გამოყენებით

1) მივიყვანოთ განტოლება სტანდარტულ ფორმაში:

2) გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი ფორმულით: , რომელიც მიუთითებს განტოლების ფესვების რაოდენობას:

3) იპოვეთ განტოლების ფესვები:

• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვები, რომლებიც გვხვდება ფორმულით:
• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი, რომელიც გვხვდება ფორმულით:
• თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

2.2. ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით

შემცირებული კვადრატული განტოლების (ფორმის განტოლება, სადაც) ფესვების ჯამი ტოლია, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია, ე.ი. , ა.

2.3. ამოხსნა სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდით