რიცხვების მიმდევრობის განმარტება. ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა
მათემატიკა არის მეცნიერება, რომელიც აშენებს სამყაროს. მეცნიერიც და უბრალო ადამიანიც - ამის გარეშე არავის შეუძლია. ჯერ მცირეწლოვან ბავშვებს ასწავლიან დათვლას, შემდეგ შეკრებას, გამოკლებას, გამრავლებას და გაყოფას; საშუალო სკოლაში ასოების სიმბოლოები თამაშში შედის და საშუალო სკოლაში მათი თავიდან აცილება აღარ შეიძლება.
მაგრამ დღეს ჩვენ ვისაუბრებთ იმაზე, თუ რას ეფუძნება ყველა ცნობილი მათემატიკა. რიცხვთა საზოგადოების შესახებ, რომელსაც ეწოდება "მიმდევრობის საზღვრები".
რა არის თანმიმდევრობა და სად არის მათი ზღვარი?
სიტყვა "მიმდევრობის" მნიშვნელობის ინტერპრეტაცია რთული არ არის. ეს არის ნივთების მოწყობა, სადაც ვიღაც ან რაღაც მდებარეობს გარკვეული თანმიმდევრობით ან რიგში. მაგალითად, ზოოპარკში ბილეთების რიგი არის თანმიმდევრობა. და შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი! თუ, მაგალითად, უყურებთ რიგს მაღაზიაში, ეს არის ერთი თანმიმდევრობა. და თუ ამ რიგიდან ერთი ადამიანი მოულოდნელად ტოვებს, მაშინ ეს სხვა რიგია, სხვა რიგი.
სიტყვა "ლიმიტი" ასევე მარტივად არის განმარტებული - ეს არის რაღაცის დასასრული. თუმცა, მათემატიკაში, მიმდევრობის საზღვრები არის ის მნიშვნელობები რიცხვითი ხაზისკენ, რომლისკენაც მიისწრაფვის რიცხვების თანმიმდევრობა. რატომ ისწრაფვის და არ მთავრდება? ეს მარტივია, რიცხვთა წრფეს დასასრული არ აქვს და მიმდევრობების უმეტესობას, სხივების მსგავსად, მხოლოდ დასაწყისი აქვს და ასე გამოიყურება:
x 1, x 2, x 3,...x n...
აქედან გამომდინარე, მიმდევრობის განმარტება ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქციაა. მეტი მარტივი სიტყვებითარის გარკვეული ნაკრების წევრების სერია.
როგორ არის აგებული რიცხვების თანმიმდევრობა?
უმარტივესი მაგალითი რიცხვების თანმიმდევრობაშეიძლება ასე გამოიყურებოდეს: 1, 2, 3, 4, …n…
უმეტეს შემთხვევაში, პრაქტიკული მიზნებისთვის, მიმდევრობები აგებულია რიცხვებიდან და სერიის ყოველ მომდევნო წევრს, ავღნიშნოთ X, აქვს თავისი სახელი. Მაგალითად:
x 1 არის მიმდევრობის პირველი წევრი;
x 2 არის მიმდევრობის მეორე წევრი;
x 3 არის მესამე წევრი;
x n არის n-ე წევრი.
პრაქტიკულ მეთოდებში მოცემულია თანმიმდევრობა ზოგადი ფორმულა, რომელშიც არის რაღაც ცვლადი. Მაგალითად:
X n =3n, მაშინ თავად რიცხვების სერია ასე გამოიყურება:
უნდა გვახსოვდეს, რომ ზოგადად მიმდევრობის წერისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ლათინური ასო და არა მხოლოდ X. მაგალითად: y, z, k და ა.შ.
არითმეტიკული პროგრესია, როგორც მიმდევრობის ნაწილი
სანამ თანმიმდევრობის საზღვრებს ვეძებთ, მიზანშეწონილია უფრო ღრმად ჩავუღრმავდეთ ასეთი რიცხვების სერიის კონცეფციას, რომელიც ყველას შეხვდა, როდესაც ისინი საშუალო სკოლაში იყვნენ. არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების სერია, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე ტერმინებს შორის მუდმივია.
ამოცანა: „დავუშვათ 1 = 15 და რიცხვითი სერიის პროგრესირების საფეხური d = 4. შექმენით ამ სერიის პირველი 4 ტერმინი"
ამოხსნა: a 1 = 15 (პირობით) არის პროგრესიის პირველი წევრი (რიცხვების სერია).
და 2 = 15+4=19 არის პროგრესიის მეორე წევრი.
და 3 =19+4=23 არის მესამე წევრი.
ხოლო 4 =23+4=27 მეოთხე წევრია.
თუმცა, ამ მეთოდის გამოყენებით ძნელია დიდი მნიშვნელობების მიღწევა, მაგალითად 125-მდე. განსაკუთრებით ასეთი შემთხვევებისთვის, გამოყვანილია პრაქტიკისთვის მოსახერხებელი ფორმულა: a n =a 1 +d(n-1). ამ შემთხვევაში 125 =15+4(125-1)=511.
თანმიმდევრობის სახეები
თანმიმდევრობების უმეტესობა დაუსრულებელია, ღირს მისი გახსენება მთელი ცხოვრების განმავლობაში. რიცხვების სერიების ორი საინტერესო ტიპი არსებობს. პირველი მოცემულია ფორმულით a n =(-1) n. მათემატიკოსები ხშირად უწოდებენ ამ თანმიმდევრობას flasher-ს. რატომ? მოდით შევამოწმოთ მისი რიცხვების სერია.
1, 1, -1, 1, -1, 1 და ა.შ. ასეთი მაგალითით ირკვევა, რომ რიცხვები მიმდევრობით ადვილად შეიძლება განმეორდეს.
ფაქტორული თანმიმდევრობა. ადვილი მისახვედრია - თანმიმდევრობის განმსაზღვრელი ფორმულა შეიცავს ფაქტორიალს. მაგალითად: a n = (n+1)!
შემდეგ თანმიმდევრობა ასე გამოიყურება:
a 2 = 1x2x3 = 6;
და 3 = 1x2x3x4 = 24 და ა.შ.
თანმიმდევრობა მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია, ეწოდება უსასრულოდ კლებადი, თუ უტოლობა -1 დაფიქსირდა მის ყველა წევრზე და 3 = - 1/8 და ა.შ. არის ერთი და იგივე რიცხვისგან შემდგარი თანმიმდევრობაც კი. ასე რომ, n =6 შედგება ექვსების უსასრულო რიცხვისაგან. მიმდევრობის საზღვრები მათემატიკაში დიდი ხანია არსებობს. რა თქმა უნდა, ისინი იმსახურებენ საკუთარ კომპეტენტურ დიზაინს. ასე რომ, დროა ვისწავლოთ მიმდევრობის საზღვრების განსაზღვრა. პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ წრფივი ფუნქციის ლიმიტი დეტალურად: ადვილი გასაგებია, რომ მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: ეს არის გარკვეული რიცხვი, რომელსაც უსასრულოდ უახლოვდება მიმდევრობის ყველა წევრი. მარტივი მაგალითი: a x = 4x+1. შემდეგ თავად თანმიმდევრობა ასე გამოიყურება. 5, 9, 13, 17, 21…x… ამრიგად, ეს თანმიმდევრობა გაიზრდება განუსაზღვრელი ვადით, რაც ნიშნავს, რომ მისი ზღვარი უდრის უსასრულობას, როგორც x→∞ და უნდა დაიწეროს ასე: თუ ავიღებთ მსგავს მიმდევრობას, მაგრამ x მიდრეკილია 1-ისკენ, მივიღებთ: და რიცხვების სერია იქნება ასეთი: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 და ა.შ. ამ სერიიდან ირკვევა, რომ ფუნქციის ზღვარი არის ხუთი. ამ ნაწილიდან უნდა გვახსოვდეს რა არის რიცხვითი მიმდევრობის ზღვარი, მარტივი ამოცანების გადაჭრის განმარტება და მეთოდი. რიცხვების მიმდევრობის ლიმიტის, მისი განმარტებისა და მაგალითების შესწავლის შემდეგ, შეგიძლიათ გადახვიდეთ უფრო რთულ თემაზე. თანმიმდევრობების აბსოლუტურად ყველა ზღვარი შეიძლება ჩამოყალიბდეს ერთი ფორმულით, რომელიც ჩვეულებრივ ანალიზდება პირველ სემესტრში. მაშ, რას ნიშნავს ასოების, მოდულების და უთანასწორობის ნიშნების ეს ნაკრები? ∀ არის უნივერსალური კვანტიფიკატორი, რომელიც ცვლის ფრაზებს "ყველასთვის", "ყველაფრისთვის" და ა.შ. ∃ არის ეგზისტენციალური კვანტიფიკატორი, ამ შემთხვევაში ეს ნიშნავს, რომ არსებობს გარკვეული მნიშვნელობა N, რომელიც მიეკუთვნება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს. გრძელი ვერტიკალური ჯოხი N-ის შემდეგ ნიშნავს, რომ მოცემული ნაკრები N არის „ასეთი“. პრაქტიკაში, ეს შეიძლება ნიშნავდეს "ასეთს", "ისეთს" და ა.შ. მასალის გასამყარებლად წაიკითხეთ ფორმულა ხმამაღლა. მიმდევრობების ზღვრის პოვნის მეთოდი, რომელიც ზემოთ იყო განხილული, თუმცა მარტივი გამოსაყენებელია, მაგრამ პრაქტიკაში არც ისე რაციონალურია. შეეცადეთ იპოვოთ ლიმიტი ამ ფუნქციისთვის: თუ ჩვენ შევცვლით "x"-ის სხვადასხვა მნიშვნელობებს (ყოველ ჯერზე იზრდება: 10, 100, 1000 და ა.შ.), მაშინ მივიღებთ ∞ მრიცხველში, მაგრამ ასევე ∞ მნიშვნელში. ეს იწვევს საკმაოდ უცნაურ წილადს: მაგრამ მართლა ასეა? რიცხვების მიმდევრობის ლიმიტის გამოთვლა ამ შემთხვევაში საკმაოდ მარტივი ჩანს. შეიძლებოდა ყველაფერი ისე დაეტოვებინა, როგორც არის, რადგან პასუხი მზად არის და ის მიიღეს გონივრულ პირობებში, მაგრამ არის სხვა გზა სპეციალურად ასეთი შემთხვევებისთვის. პირველ რიგში, ვიპოვოთ უმაღლესი ხარისხი წილადის მრიცხველში - ეს არის 1, რადგან x შეიძლება წარმოდგენილი იყოს x 1-ად. ახლა ვიპოვოთ უმაღლესი ხარისხი მნიშვნელში. ასევე 1. მრიცხველიც და მნიშვნელიც გავყოთ ცვლადზე უმაღლესი ხარისხით. ამ შემთხვევაში წილადი გავყოთ x 1-ზე. შემდეგი, ჩვენ ვიპოვით, თუ რა მნიშვნელობისკენ არის მიდრეკილი ცვლადის შემცველი თითოეული ტერმინი. ამ შემთხვევაში განიხილება წილადები. როგორც x→∞, თითოეული წილადის მნიშვნელობა ნულისკენ მიისწრაფვის. თქვენი ნამუშევრის წერილობით წარდგენისას უნდა გააკეთოთ შემდეგი სქოლიო: ეს იწვევს შემდეგ გამონათქვამს: რა თქმა უნდა, x-ის შემცველი წილადები არ გახდნენ ნულები! მაგრამ მათი ღირებულება იმდენად მცირეა, რომ სრულიად დასაშვებია გამოთვლებში არ გავითვალისწინოთ. სინამდვილეში x ამ შემთხვევაში არასოდეს იქნება 0-ის ტოლი, რადგან ნულზე ვერ გაყოფთ. დავუშვათ, პროფესორს აქვს რთული თანმიმდევრობა, რომელიც მოცემულია, ცხადია, თანაბრად რთული ფორმულით. პროფესორმა იპოვა პასუხი, მაგრამ მართალია? ყოველივე ამის შემდეგ, ყველა ადამიანი უშვებს შეცდომებს. ოგიუსტ კოშიმ ერთხელ მოიფიქრა შესანიშნავი გზა მიმდევრობის საზღვრების დასამტკიცებლად. მის მეთოდს სამეზობლო მანიპულირება ეწოდა. დავუშვათ, რომ არის გარკვეული წერტილი a, მისი მეზობლობა ორივე მიმართულებით რიცხვით წრფეზე უდრის ε („ეპსილონი“). ვინაიდან ბოლო ცვლადი არის მანძილი, მისი მნიშვნელობა ყოველთვის დადებითია. ახლა განვსაზღვროთ x n მიმდევრობა და დავუშვათ, რომ მიმდევრობის მეათე წევრი (x 10) შედის a-ს სამეზობლოში. როგორ ჩავწეროთ ეს ფაქტი მათემატიკური ენაზე? ვთქვათ x 10 არის a წერტილის მარჯვნივ, შემდეგ მანძილი x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. ახლა დროა პრაქტიკაში ავხსნათ ზემოთ განხილული ფორმულა. სამართლიანია, რომ გარკვეულ რიცხვს ვუწოდოთ მიმდევრობის ბოლო წერტილი, თუ მისი რომელიმე ზღვრისთვის უტოლობა ε>0 დაკმაყოფილებულია და მთელ მეზობელს აქვს თავისი ბუნებრივი რიცხვი N, ისეთი, რომ მიმდევრობის ყველა წევრი უმაღლესი რიცხვებით. იქნება მიმდევრობის შიგნით |x n - a|< ε. ასეთი ცოდნით ადვილია მიმდევრობის საზღვრების ამოხსნა, მზა პასუხის დამტკიცება ან უარყოფა. თეორემები მიმდევრობის საზღვრებზე თეორიის მნიშვნელოვანი კომპონენტია, რომლის გარეშე პრაქტიკა შეუძლებელია. არსებობს მხოლოდ ოთხი ძირითადი თეორემა, რომელთა დამახსოვრებამ შეიძლება გააადვილოს ამოხსნა ან დამტკიცება: ზოგჯერ საჭიროა შებრუნებული ამოცანის ამოხსნა, რიცხვითი მიმდევრობის მოცემული ლიმიტის დასამტკიცებლად. მოდით შევხედოთ მაგალითს. დაამტკიცეთ, რომ ფორმულით მოცემული მიმდევრობის ზღვარი არის ნული. ზემოთ განხილული წესის მიხედვით, ნებისმიერი მიმდევრობისთვის უტოლდება |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: გამოვხატოთ n „ეპსილონის“ მეშვეობით, რათა დავანახოთ გარკვეული რიცხვის არსებობა და დავამტკიცოთ მიმდევრობის ზღვრის არსებობა. ამ ეტაპზე მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ "epsilon" და "en" დადებითი რიცხვებია და არ უდრის ნულს. ახლა უკვე შესაძლებელია შემდგომი ტრანსფორმაციების გაგრძელება საშუალო სკოლაში მიღებული უთანასწორობის შესახებ ცოდნის გამოყენებით. როგორ გამოდის, რომ n > -3 + 1/ε. ვინაიდან უნდა გვახსოვდეს, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ ნატურალურ რიცხვებზე, შედეგის დამრგვალება შესაძლებელია კვადრატულ ფრჩხილებში ჩასმით. ამრიგად, დადასტურდა, რომ a = 0 წერტილის „ეპსილონის“ მეზობლობის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის აღმოჩნდა ისეთი მნიშვნელობა, რომ დაკმაყოფილებულია საწყისი უტოლობა. აქედან შეგვიძლია თამამად ვთქვათ, რომ რიცხვი a არის მოცემული მიმდევრობის ზღვარი. ქ.ე.დ. ეს მოსახერხებელი მეთოდი შეიძლება გამოვიყენოთ რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტის დასამტკიცებლად, რაც არ უნდა რთული იყოს ეს ერთი შეხედვით. მთავარია, დავალების ნახვისას პანიკაში არ ჩავარდეთ. თანმიმდევრულობის ლიმიტის არსებობა პრაქტიკაში აუცილებელი არ არის. თქვენ შეგიძლიათ მარტივად შეხვდეთ რიცხვების სერიას, რომელსაც ნამდვილად არ აქვს დასასრული. მაგალითად, იგივე "მოციმციმე შუქი" x n = (-1) n. აშკარაა, რომ მხოლოდ ორი ციფრისგან შემდგარ მიმდევრობას, რომელიც ციკლურად მეორდება, არ შეიძლება ჰქონდეს ლიმიტი. იგივე ამბავი მეორდება ერთი რიცხვისაგან შემდგარი მიმდევრობით, წილადი, რომელსაც აქვს რაიმე რიგის გაურკვევლობა გამოთვლების დროს (0/0, ∞/∞, ∞/0 და ა.შ.). თუმცა, უნდა გვახსოვდეს, რომ არასწორი გამოთვლებიც ხდება. ზოგჯერ საკუთარი გადაწყვეტის ორმაგი შემოწმება დაგეხმარებათ იპოვოთ თანმიმდევრობის ლიმიტი. მიმდევრობისა და მათი ამოხსნის მეთოდების რამდენიმე მაგალითი განვიხილეთ ზემოთ, ახლა კი შევეცადოთ ავიღოთ უფრო კონკრეტული შემთხვევა და ვუწოდოთ მას "მონოტონური თანმიმდევრობა". განმარტება: ნებისმიერ მიმდევრობას სამართლიანად შეიძლება ეწოდოს მონოტონურად მზარდი, თუ მასზე მკაცრი უტოლობა x n მოქმედებს.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. ამ ორ პირობასთან ერთად არის მსგავსი არამკაცრი უტოლობაც. შესაბამისად, x n ≤ x n +1 (არაკლებადი თანმიმდევრობა) და x n ≥ x n +1 (არამზარდი თანმიმდევრობა). მაგრამ ამის გაგება უფრო ადვილია მაგალითებით. x n = 2+n ფორმულით მოცემული თანმიმდევრობა ქმნის რიცხვთა შემდეგ სერიას: 4, 5, 6 და ა.შ. ეს არის მონოტონურად მზარდი მიმდევრობა. და თუ ავიღებთ x n =1/n, მივიღებთ სერიას: 1/3, ¼, 1/5 და ა.შ. ეს არის მონოტონურად კლებადი მიმდევრობა. შემოსაზღვრული მიმდევრობა არის მიმდევრობა, რომელსაც აქვს ზღვარი. კონვერგენტული მიმდევრობა არის რიცხვების სერია, რომელსაც აქვს უსასრულოდ მცირე ზღვარი. ამრიგად, შემოსაზღვრული მიმდევრობის ზღვარი არის ნებისმიერი რეალური ან რთული რიცხვი. გახსოვდეთ, რომ შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი ლიმიტი. კონვერგენტული მიმდევრობის ზღვარი არის უსასრულო მცირე (რეალური ან რთული) სიდიდე. თუ დახატავთ თანმიმდევრობის დიაგრამას, მაშინ გარკვეულ მომენტში ის, როგორც ჩანს, გადაიყრება და გადაიქცევა გარკვეულ მნიშვნელობად. აქედან მოდის სახელწოდება - კონვერგენტული მიმდევრობა. ასეთი თანმიმდევრობის შეზღუდვა შეიძლება იყოს ან არ იყოს. პირველ რიგში, სასარგებლოა იმის გაგება, თუ როდის არსებობს; აქედან შეგიძლიათ დაიწყოთ ლიმიტის არარსებობის დამტკიცება. მონოტონურ მიმდევრობებს შორის განასხვავებენ კონვერგენტს და დივერგენტს. კონვერგენტი არის მიმდევრობა, რომელიც იქმნება x სიმრავლით და აქვს რეალური ან რთული ზღვარი ამ სიმრავლეში. დივერგენტი არის მიმდევრობა, რომელსაც არ აქვს ლიმიტი მის სიმრავლეში (არც რეალური და არც რთული). უფრო მეტიც, თანმიმდევრობა იყრის თავს, თუ გეომეტრიულ წარმოდგენაში მისი ზედა და ქვედა ზღვრები ერთმანეთს ემთხვევა. კონვერგენტული მიმდევრობის ზღვარი ხშირ შემთხვევაში შეიძლება იყოს ნული, ვინაიდან ნებისმიერ უსასრულოდ მცირე მიმდევრობას აქვს ცნობილი ზღვარი (ნული). როგორი კონვერგენტული მიმდევრობაც არ უნდა აიღოთ, ისინი ყველა შემოსაზღვრულია, მაგრამ ყველა შეკრული თანმიმდევრობა არ იყრის თავს. ორი კონვერგენტული მიმდევრობის ჯამი, განსხვავება, ნამრავლი ასევე კონვერგენტული მიმდევრობაა. თუმცა, კოეფიციენტი შეიძლება იყოს კონვერგენტულიც, თუ ის განსაზღვრულია! მიმდევრობის ლიმიტები ისეთივე მნიშვნელოვანია (უმეტეს შემთხვევაში), როგორც ციფრები და რიცხვები: 1, 2, 15, 24, 362 და ა.შ. გამოდის, რომ ზოგიერთი ოპერაციების შესრულება შესაძლებელია ლიმიტებით. პირველ რიგში, ციფრებისა და რიცხვების მსგავსად, ნებისმიერი მიმდევრობის საზღვრები შეიძლება დაემატოს და გამოკლდეს. მიმდევრობათა ზღვრების შესახებ მესამე თეორემის საფუძველზე მოქმედებს შემდეგი ტოლობა: მიმდევრობათა ჯამის ზღვარი მათი ზღვრების ჯამის ტოლია. მეორეც, მიმდევრობათა ზღვრების შესახებ მეოთხე თეორემიდან გამომდინარე, ჭეშმარიტია შემდეგი ტოლობა: რიგით n-ე რაოდენობის ნამრავლის ზღვარი უდრის მათი ზღვრების ნამრავლს. იგივე ეხება გაყოფას: ორი მიმდევრობის კოეფიციენტის ზღვარი უდრის მათი ზღვრების კოეფიციენტს, იმ პირობით, რომ ზღვარი არ არის ნული. ყოველივე ამის შემდეგ, თუ მიმდევრობების ზღვარი ნულის ტოლია, მაშინ გამოვა ნულზე გაყოფა, რაც შეუძლებელია. როგორც ჩანს, რიცხვითი თანმიმდევრობის ზღვარი უკვე განხილულია გარკვეულ დეტალებში, მაგრამ ფრაზები, როგორიცაა "უსასრულოდ მცირე" და "უსასრულოდ დიდი" რიცხვები არაერთხელ არის ნახსენები. ცხადია, თუ არის 1/x მიმდევრობა, სადაც x→∞, მაშინ ასეთი წილადი უსასრულოდ მცირეა, ხოლო თუ იგივე მიმდევრობა, მაგრამ ზღვარი ნულისკენ მიისწრაფვის (x→0), მაშინ წილადი ხდება უსასრულოდ დიდი მნიშვნელობა. და ასეთ რაოდენობას აქვს საკუთარი მახასიათებლები. ნებისმიერი მცირე ან დიდი მნიშვნელობის მქონე მიმდევრობის ლიმიტის თვისებები შემდეგია: სინამდვილეში, მიმდევრობის ლიმიტის გამოთვლა არც ისე რთული ამოცანაა, თუ იცით მარტივი ალგორითმი. მაგრამ თანმიმდევრულობის საზღვრები არის თემა, რომელიც მოითხოვს მაქსიმალურ ყურადღებას და გამძლეობას. რა თქმა უნდა, საკმარისია უბრალოდ ჩაწვდეთ ამგვარი გამონათქვამების გადაწყვეტის არსს. მცირედან დაწყებული, დროთა განმავლობაში შეგიძლიათ მიაღწიოთ დიდ სიმაღლეებს. განვიხილოთ კომპლექტების გარკვეული ნაკრები (კლასი), რომელთაგან თითოეული შეიცავს ერთ ელემენტს. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი ეკვივალენტური სასრულ სიმრავლეთა კლასის მახასიათებელია, შემდეგ დავაკავშიროთ ნატურალური რიცხვი „ერთი“ ამ კლასთან და ავღნიშნოთ სიმბოლო „1“. მოდით ავირჩიოთ ნებისმიერი "ერთეული" ნაკრები ამ კლასიდან, მოდით და დავამატოთ კიდევ ერთი ელემენტი ამ კომპლექტში, მივიღოთ ახალი ნაკრები. თუ შევქმნით სიმრავლის ექვივალენტურ სასრულ სიმრავლეთა კლასს, მაშინ ახალ კლასს მივანიჭებთ ნატურალურ რიცხვს „ორი“ და აღვნიშნავთ მას სიმბოლოთი „2“. ახალი სასრული სიმრავლებისა და შესაბამისი კლასების ფორმირების ამ გაუთავებელი პროცესის შემდგომი გაგრძელება იწვევს ორი უსასრულო მიმდევრობის ფორმირებას: ა) სიმრავლეთა უსასრულო თანმიმდევრობა (1); თითოეული ეს ნაკრები ემსახურება როგორც შესაბამისი კლასის წარმომადგენელს; ბ) უსასრულო მიმდევრობა ნატურალური რიცხვები 1;2;3;…რ...(2), თითოეული ეს რიცხვი შესაბამისი კლასის მახასიათებელია. (1) და (2) თანმიმდევრობების შედარება მივყავართ შემდეგ დასკვნამდე: 1). (1) არის საწყისი ელემენტი და (2) არის საწყისი ელემენტი 1; 2). (1) თითოეულ სიმრავლეს დაუყოვნებლივ მოსდევს ერთი სიმრავლე, რომელშიც არის ერთი მეტი ელემენტი, ვიდრე წინა კლასის სიმრავლეში, ამიტომ (2) თითოეულ ნატურალურ რიცხვს დაუყოვნებლივ მოსდევს მხოლოდ ერთი ნატურალური რიცხვი, რომელიც აღემატება წინას. ერთით. 3). (1) ყველა კლასში საწყისის გარდა დაუყოვნებლივ მოჰყვება მხოლოდ ერთ კლასს, ასე რომ (2) ყველა ნატურალური რიცხვი ერთის გარდა დაუყოვნებლივ მოჰყვება მხოლოდ ერთ ნატურალურ რიცხვს. 4). (1) მოცემული კლასის ყოველი სიმრავლე არის ან მის შემდეგ კლასის რომელიმე სიმრავლის ქვესიმრავლე, ან ექვივალენტურია მის შემდეგ კლასის ნებისმიერი სიმრავლის ქვესიმრავლის, ამიტომ (2)-ში ნატურალური რიცხვები ისეა მოწყობილი. თითოეული მათგანი ნაკლებია მის შემდეგ ნებისმიერზე: 1<2<3<…..<ნ<n+ 1<… (3). მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის საბაზისო პრინციპებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია ვამტკიცოთ, რომ (2) არის ნატურალური რიცხვების მიმდევრობა. 3. ნატურალური რიცხვების მიმდევრობის გამოყენება სასრულ სიმრავლის ზომის დასადგენად. სასრულ სიმრავლის ზომის განსაზღვრა ნიშნავს ამ სიმრავლის ელემენტების რაოდენობის დათვლას; ასეთი დათვლისთვის გამოიყენება სეგმენტის კონცეფცია. დეფ. 4.
(2) მიმდევრობის სეგმენტი არის (2) რიგის პირველი ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლე, რომელიც არ აღემატება რიცხვს " ნ». მაგალითი. მაგალითად, ნაკრების რიცხვის დასადგენად, ჩვენ ვაქცევთ მისი ელემენტების თანმიმდევრობას ერთერთ შესაბამისობაში სეგმენტის ელემენტებთან: ODA. 5. დათვლითნაკრების ელემენტები არის კომპლექტის ელემენტების ერთერთ კორესპონდენციაში მოყვანის პროცესი TOბუნებრივი სერიის სეგმენტის ელემენტებით. ნატურალური რიცხვების სასრული სიმრავლის ელემენტების ხელახალი გაანგარიშებისას დგინდება არა მხოლოდ სიმრავლის ელემენტების რაოდენობა, არამედ განისაზღვრება სიმრავლეში ელემენტების განლაგების რიგი. პირველ შემთხვევაში, ნატურალური რიცხვი "n" გვიჩვენებს, რამდენ ელემენტს შეიცავს სიმრავლე, "n" ეწოდება რაოდენობრივინომერი. მეორე შემთხვევაში, ნატურალური რიცხვი „n“ წარმოადგენს სიმრავლის ზოგიერთი ელემენტის რიგით რიცხვს; მას რიგითი რიცხვი ეწოდება. 4. N სიმრავლეში რიცხვების შეკრების ოპერაცია. ნატურალური რიცხვების N სიმრავლეში ტოლობისა და უტოლობის მიმართებების გარდა შემოტანილია მთელი რიგი მოქმედებები. თითოეული ოპერაცია შეიძლება შევიდეს თეორიაში, რომელიც დაფუძნებულია სიმრავლეების თეორიაზე. ODA
.6
. ორი მოცემული ნატურალური რიცხვის ჯამი ეწოდება ნატურალური რიცხვი, სადაც . 5), - ჯამის ერთფეროვნების თვისება (არათანაბარი რიცხვების შეკრებისას ვიღებთ ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლ რიცხვებს). ბუნებრივი რიცხვი არის ერთი უცვლელი ნაკრების რაოდენობრივი მახასიათებელი, თუმცა, პრაქტიკაში, ობიექტების რაოდენობა მუდმივად იცვლება, მაგალითად, პირუტყვის რაოდენობა გარკვეულ ფერმაში. უფრო მეტიც, უმარტივესი, მაგრამ ასევე ყველაზე მნიშვნელოვანი თანმიმდევრობა დაუყოვნებლივ ჩნდება დათვლის პროცესში - ეს არის ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა: 1, 2, 3, .... თუ საგნების რაოდენობის ცვლილება გარკვეულ პოპულაციაში ფიქსირდება ნატურალური რიცხვების (მიმდევრობის წევრების) გარკვეული მიმდევრობის სახით, მაშინვე ბუნებრივად წარმოიქმნება სხვა მიმდევრობა - რიცხვების მიმდევრობა, მაგალითად. ამასთან დაკავშირებით ჩნდება მიმდევრობის წევრების დასახელების პრობლემა. თითოეული წევრის სპეციალური ასოებით დანიშვნა უკიდურესად მოუხერხებელია შემდეგი მიზეზების გამო. პირველი, თანმიმდევრობა შეიძლება შეიცავდეს ძალიან დიდ, ან თუნდაც უსასრულო რაოდენობის ტერმინებს. მეორეც, სხვადასხვა ასო მალავს იმ ფაქტს, რომ მიმდევრობის წევრები მიეკუთვნებიან ერთსა და იმავე პოპულაციას, თუმცა იცვლება ელემენტების რაოდენობა. და ბოლოს, ამ შემთხვევაში წევრების ნომრები თანმიმდევრობით არ აისახება. ეს მიზეზები აიძულებს მიმდევრობის წევრების ერთი ასოთი დანიშვნას და ინდექსის მიხედვით გარჩევას. მაგალითად, ათი ტერმინისგან შემდგარი თანმიმდევრობა შეიძლება აღინიშნოს ასოებით ა: ა 1 , ა 2 , ა 3 , …, ა 10 . ის ფაქტი, რომ მიმდევრობა უსასრულოა, გამოიხატება ელიფსისით, თითქოს ეს მიმდევრობა განუსაზღვრელი ვადით აგრძელებს: ა 1 , ა 2 , ა 3, ... ხანდახან თანმიმდევრობა იწყება ნულიდან ნულიდან: : ა 0 , ა 1 , ა 2 , ა 3 , … ზოგიერთი თანმიმდევრობა შეიძლება აღიქმებოდეს, როგორც რიცხვების შემთხვევითი სიმრავლე, ვინაიდან მიმდევრობის წევრების ფორმირების კანონი უცნობია, ან თუნდაც არ არსებობს. თუმცა, განსაკუთრებული ყურადღება ეთმობა თანმიმდევრობას, რომლისთვისაც ცნობილია ასეთი კანონი. მიმდევრობის წევრების ფორმირების კანონის მითითებისთვის ყველაზე ხშირად გამოიყენება ორი მეთოდი. პირველი მათგანი ასეთია. მითითებულია პირველი ტერმინი, შემდეგ კი მეთოდი, რომლის მიხედვითაც მიიღება შემდეგი ბოლო, უკვე ცნობილი ტერმინის გამოყენებით. კანონის დასაწერად გამოიყენება მიმდევრობის წევრი დაუზუსტებელი რიცხვით, მაგალითად, და კდა შემდეგი წევრი და k +1, რის შემდეგაც იწერება მათი დამაკავშირებელი ფორმულა. ყველაზე ცნობილი და მნიშვნელოვანი მაგალითებია არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები. არითმეტიკული პროგრესია განისაზღვრება ფორმულით და k +1 = და k + r(ან და k +1 = და k – r). არითმეტიკული პროგრესიის პირობები ან იზრდება ერთნაირად (როგორც კიბე) ან ერთნაირად მცირდება (ასევე როგორც კიბე). მაგნიტუდა რპროგრესირების განსხვავებას უწოდებენ, რადგან და k +1 – და k = r. არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითები ბუნებრივი ტერმინებით არის ა) ნატურალური რიცხვები ( a 1 = 1
;და k +1 = და k + 1); ბ) უსასრულო მიმდევრობა 1, 3, 5, 7, ... ( a 1 = 1
;და k +1 = და k + 2); გ) საბოლოო თანმიმდევრობა 15, 12, 9, 6, 3 ( a 1 = 15
;და k +1 = და კ–3
). გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია ფორმულით b k +1 = b k ∙q. მაგნიტუდა ქეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი, რადგან b k +1:b k = q. გეომეტრიული პროგრესიები ბუნებრივი ტერმინებით და ერთზე მეტი მნიშვნელით იზრდება და იზრდება სწრაფად, თუნდაც ზვავს. გეომეტრიული პროგრესიის მაგალითები ბუნებრივი ტერმინებით არის ა) უსასრულო თანმიმდევრობა 1, 2, 4, 8, ... ( ბ 1 = 1
;b k +1 = b k ∙2); ბ) უსასრულო მიმდევრობა 3, 12, 48, 192, 768,… ( ბ 1 = 3
;b k +1 = b k ∙4). მიმდევრობის ტერმინების განსაზღვრის კანონის მითითების მეორე გზა არის ფორმულის მითითება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მიმდევრობის წევრი დაუზუსტებელი რიცხვით (საერთო ტერმინი), მაგალითად, და კნომრის გამოყენებით კ. არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიების პირობები ასევე შეიძლება გამოითვალოს ამ გზით. ვინაიდან არითმეტიკული პროგრესია განისაზღვრება ფორმულით და k +1 = და k + r, ადვილი გასაგებია, თუ როგორ არის გამოხატული ეს ტერმინი და კნომრის გამოყენებით კ: a 2 = a 1 + r= a 1 + 1∙r; a 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2∙r; a 4 = a 3 + r = a 1 + 2∙r + r = a 1 + 3∙r; ………………………………… და კ = a 1 + (კ–1)∙რ- საბოლოო ფორმულა. გეომეტრიული პროგრესიისთვის, ზოგადი ტერმინის ფორმულა მიღებულია ანალოგიურად: ბ კ = b 1 ∙ q k –1
. გარდა არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიებისა, ანალოგიურად შეიძლება განისაზღვროს სხვა მიმდევრობები, რომლებსაც აქვთ ცვლილების განსაკუთრებული ხასიათი. მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ ნატურალური რიცხვების კვადრატების თანმიმდევრობას: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25… არსებობს მიმდევრობების ფორმირების უფრო რთული გზები, მაგალითად, ერთი აგებულია მეორის დახმარებით. არითმეტიკისთვის განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს პარამეტრებით განსაზღვრულ გეომეტრიულ პროგრესიას ბ 1 = 1, ქ= 10, ანუ ათის ხარისხების თანმიმდევრობა: 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... იგი გამოიყენება ნატურალური რიცხვების წარმოსაჩენად პოზიციურ რიცხვში. სისტემა. უფრო მეტიც, თითოეული ნატურალური რიცხვისთვის ნჩნდება რიცხვებისაგან შემდგარი თანმიმდევრობა, რომლითაც იწერება მოცემული რიცხვი: a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. ნომერი და კმიუთითებს მე-10 ტიპის რამდენი ტერმინი კშეიცავს რიცხვს ნ. მიმდევრობის ცნებას მივყავართ მათემატიკისთვის რაოდენობისა და ფუნქციის ყველაზე მნიშვნელოვან ცნებებამდე. რაოდენობა არის საგნის ან ფენომენის ცვალებადი რიცხვითი მახასიათებელი. მისი ცვლილება აღიქმება როგორც რიცხვების თანმიმდევრობა. თავად ტერმინებსა და მათ რიცხვებს შორის კავშირის არსებობა, ისევე როგორც მისი გამოხატვა ფორმულების გამოყენებით, მჭიდროდ მივყავართ ფუნქციის კონცეფციასთან. ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური აღმოჩენა, რომელსაც საკმაოდ განვითარებული საზოგადოების თითქმის ყველა წევრი იყენებს, არის პოზიციური რიცხვების სისტემა. ამან შესაძლებელი გახადა დათვლის მთავარი პრობლემის გადაჭრა, რაც არის სულ უფრო მეტი ახალი რიცხვის დასახელების შესაძლებლობა მხოლოდ პირველი რამდენიმე რიცხვისთვის აღნიშვნების (ციფრების) გამოყენებით. პოზიციური რიცხვების სისტემა ტრადიციულად ასოცირდება ათ რიცხვთან, მაგრამ სხვა სისტემები, მაგალითად, ორობითი, შეიძლება აშენდეს იმავე პრინციპებზე. ათობითი პოზიციური რიცხვების სისტემის აგებისას შემოდის ათი არაბული რიცხვი: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. მათი დახმარებით შეიძლება დაიწეროს რიცხვი, რომელიც გამოხატავს ობიექტების რაოდენობას. ნებისმიერი სასრული ნაკრები. ამ მიზნით გამოიყენება სპეციალური ალგორითმი, ანუ ელემენტარული მოქმედებების მკაფიოდ განსაზღვრული თანმიმდევრობა. დათვლილი ელემენტები გაერთიანებულია ათკაციან ჯგუფებად, რაც შეესაბამება ათზე ნაშთით გაყოფას. შედეგად, იქმნება ორი კომპლექტი - ერთი და ათეული. ათეულები ისევ დაჯგუფებულია ათეულებით ასეულებად. ნათელია, რომ ათეულების რაოდენობა (ჩვენ აღვნიშნავთ მას a 1) აუცილებლად ათზე ნაკლებია და, შესაბამისად, a 1შეიძლება მითითებული იყოს ნომრით. შემდეგ ასეულები ჯგუფდება ათასობით, ათასობით ათეულ ათასობით და ა.შ. სანამ ყველა ელემენტი არ დაჯგუფდება. რიცხვის აგება სრულდება მიღებული რიცხვების ჩაწერით მარცხნიდან მარჯვნივ დიდი ინდექსებიდან პატარაზე. ციფრული და კშეესაბამება ობიექტების ჯგუფების რაოდენობას 10 კ. რიცხვის საბოლოო ჩანაწერი შედგება ციფრების სასრული თანმიმდევრობისგან a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. შესაბამისი რიცხვი გამოსახულების ტოლია а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0. რიცხვთა სისტემის სახელში სიტყვა „პოზიციური“ განპირობებულია იმით, რომ რიცხვი ცვლის მნიშვნელობას იმის მიხედვით, თუ რა პოზიცია აქვს რიცხვის აღნიშვნაში. ბოლო ციფრი განსაზღვრავს ერთეულების რაოდენობას, ბოლო ციფრი - ათეულების რაოდენობას და ა.შ. გაითვალისწინეთ, რომ ალგორითმი რიცხვების ჩანაწერის მისაღებად რიცხვების სისტემაში ნებისმიერი ფუძით ნ: შედგება ობიექტების თანმიმდევრული დაჯგუფებისგან მიხედვით ნრამ. რიცხვების წერისას უნდა გამოიყენოთ ნნომრები შესავალი ……………………………………………………………………………………… 3 1. თეორიული ნაწილი………………………………………………………………….4 ძირითადი ცნებები და ტერმინები …………………………………………………………………………………. 1.1 თანმიმდევრობების ტიპები…………………………………………………………………………… 1.1.1. შეზღუდული და შეუზღუდავი რიცხვების მიმდევრობა…..6 1.1.2. მიმდევრობების ერთფეროვნება…………………………………………… 1.1.3. უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობები…….7 1.1.4. უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის თვისებები………………………8 1.1.5.კონვერგენციული და განსხვავებული მიმდევრობები და მათი თვისებები.....9 1.2 თანმიმდევრობის ლიმიტი………………………………………………….11 1.2.1.თეორემები მიმდევრობის ზღვრებზე…………………………………15 1.3. არითმეტიკული პროგრესია……………………………………………………………………………………………… 1.3.1. არითმეტიკული პროგრესიის თვისებები……………………………………..17 1.4 გეომეტრიული პროგრესია………………………………………………………………..19 1.4.1. გეომეტრიული პროგრესიის თვისებები…………………………………….19 1.5. ფიბონაჩის რიცხვები………………………………………………………………..21 1.5.1 ფიბონაჩის რიცხვების კავშირი ცოდნის სხვა სფეროებთან…………………….22 1.5.2. ფიბონაჩის რიცხვების სერიის გამოყენება ცოცხალი და უსულო ბუნების აღსაწერად………………………………………………………………………………………………………….23 2. საკუთარი კვლევა…………………………………………………….28 დასკვნა ……………………………………………………………………………….30 ცნობარების სია…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… შესავალი. რიცხვების თანმიმდევრობა ძალიან საინტერესო და საგანმანათლებლო თემაა. ეს თემა გვხვდება გაზრდილი სირთულის ამოცანებში, რომლებსაც სტუდენტებს სთავაზობენ დიდაქტიკური მასალების ავტორები, მათემატიკური ოლიმპიადების ამოცანებში, უმაღლეს სასწავლებლებში მისაღებ გამოცდებში და ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში. მე მაინტერესებს ვისწავლო როგორ უკავშირდება მათემატიკური მიმდევრობები ცოდნის სხვა სფეროებს. კვლევითი სამუშაოს მიზანი: რიცხვების მიმდევრობის შესახებ ცოდნის გაფართოება. 1. განიხილეთ თანმიმდევრობა; 2. განიხილეთ მისი თვისებები; 3. განიხილეთ მიმდევრობის ანალიტიკური დავალება; 4. აჩვენოს თავისი როლი ცოდნის სხვა სფეროების განვითარებაში. 5. აჩვენეთ ფიბონაჩის რიცხვების სერიის გამოყენება ცოცხალი და უსულო ბუნების აღსაწერად. 1. თეორიული ნაწილი. ძირითადი ცნებები და ტერმინები. განმარტება. რიცხვითი მიმდევრობა არის y = f(x), x О N ფორმის ფუნქცია, სადაც N არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე (ან ნატურალური არგუმენტის ფუნქცია), აღინიშნება y = f(n) ან y1, y2, …, კი,…. მნიშვნელობებს y1, y2, y3,... უწოდებენ მიმდევრობის პირველ, მეორე, მესამე,... წევრებს შესაბამისად. რიცხვს a ეწოდება x = (x n) მიმდევრობის ზღვარი, თუ თვითნებურად წინასწარ განსაზღვრული თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვისთვის ε არის ნატურალური რიცხვი N ისეთი, რომ ყველა n>N-ისთვის უტოლობა |x n - a|< ε. თუ რიცხვი a არის x = (x n) მიმდევრობის ზღვარი, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ x n მიდრეკილია a-სკენ და წერენ მიმდევრობა (yn) ნათქვამია, რომ იზრდება, თუ თითოეული წევრი (პირველის გარდა) მეტია წინაზე: y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …. მიმდევრობას (yn) ეწოდება კლებადი, თუ თითოეული წევრი (პირველის გარდა) ნაკლებია წინაზე: y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …. მზარდი და კლებადი მიმდევრობები გაერთიანებულია საერთო ტერმინით - მონოტონური მიმდევრობები. მიმდევრობას პერიოდული ეწოდება, თუ არსებობს ისეთი ნატურალური რიცხვი T, რომ რაღაც n-დან დაწყებული, მოქმედებს თანასწორობა yn = yn+T. რიცხვს T ეწოდება პერიოდის სიგრძე. არითმეტიკული პროგრესია არის მიმდევრობა (an), რომლის ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრის ჯამს და იგივე რიცხვი d, ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, ხოლო რიცხვი d არის სხვაობა. არითმეტიკული პროგრესია. ამრიგად, არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა (an), რომელიც განმეორებით განისაზღვრება ურთიერთობებით a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, ...) გეომეტრიული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც ყველა წევრი განსხვავდება ნულიდან და რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, მიიღება წინა წევრიდან იმავე რიცხვზე q გამრავლებით. ამრიგად, გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა (bn), რომელიც განმეორებით განისაზღვრება ურთიერთობებით b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…). 1.1 მიმდევრობის სახეები. 1.1.1 შეზღუდული და შეუზღუდავი მიმდევრობები. მიმდევრობა (bn) ნათქვამია, რომ შემოსაზღვრულია ზემოთ, თუ არის ისეთი რიცხვი M, რომ ნებისმიერი n რიცხვისთვის მოქმედებს bn≤ M უტოლობა; მიმდევრობას (bn) უწოდებენ შეზღუდულს ქვემოთ, თუ არის ისეთი რიცხვი M, რომ ნებისმიერი n რიცხვისთვის მოქმედებს bn≥ M უტოლობა; Მაგალითად: 1.1.2 მიმდევრობების ერთფეროვნება. მიმდევრობას (bn) ეწოდება არამზარდი (არაკლებადი), თუ ნებისმიერი n რიცხვისთვის bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) ჭეშმარიტია; მიმდევრობას (bn) ეწოდება კლებადი (მზარდი), თუ რომელიმე რიცხვისთვის n უტოლობა bn> bn+1 (bn კლებად და მზარდ მიმდევრობებს მკაცრად მონოტონური ეწოდება, არამზარდი მიმდევრობებს ფართო გაგებით მონოტონური. მიმდევრობებს, რომლებიც შემოსაზღვრულია როგორც ზემოთ, ისე ქვემოთ, შეზღუდულს უწოდებენ. ყველა ამ ტიპის თანმიმდევრობას მონოტონური ეწოდება. 1.1.3 უსასრულოდ დიდი და პატარა მიმდევრობები. უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქცია ან თანმიმდევრობა, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ. an მიმდევრობა არის უსასრულოდ მცირე თუ ფუნქციას ეწოდება უსასრულო მცირე x0 წერტილის სამეზობლოში, თუ ℓimx→x0 f(x)=0. ფუნქციას უსასრულობაში უსასრულოდ მცირე ეწოდება, თუ ℓimx→.+∞ f(x)=0 ან ℓimx→-∞ f(x)=0 ასევე უსასრულო მცირეა ფუნქცია, რომელიც არის განსხვავება ფუნქციასა და მის ზღვარს შორის, ანუ თუ ℓimx→.+∞ f(x)=a, მაშინ f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0. უსასრულოდ დიდი მიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქცია ან თანმიმდევრობა, რომელიც მიდრეკილია უსასრულობისკენ. an მიმდევრობაზე ამბობენ, რომ უსასრულოდ დიდია თუ ℓimn→0 an=∞. ფუნქციას ამბობენ, რომ უსასრულოდ დიდია x0 წერტილის სამეზობლოში, თუ ℓimx→x0 f(x)= ∞. ფუნქციას ამბობენ, რომ უსასრულოდ დიდია უსასრულობაში თუ ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ან ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 უსასრულოდ მცირე მიმდევრობების თვისებები. ორი უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის ჯამი თავისთავად ასევე უსასრულო მიმდევრობაა. ორი უსასრულო მიმდევრობის სხვაობა თავისთავად ასევე უსასრულო მიმდევრობაა. ნებისმიერი სასრული რაოდენობის უსასრულო მიმდევრობის ალგებრული ჯამი თავისთავად ასევე უსასრულო მიმდევრობაა. შემოსაზღვრული მიმდევრობისა და უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის ნამრავლი არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა. ნებისმიერი სასრული რაოდენობის უსასრულო მიმდევრობის ნამრავლი არის უსასრულო მცირე მიმდევრობა. ნებისმიერი უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობა შემოსაზღვრულია. თუ სტაციონარული მიმდევრობა უსასრულოდ მცირეა, მაშინ მისი ყველა ელემენტი, გარკვეული წერტილიდან დაწყებული, ნულის ტოლია. თუ მთელი უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობა შედგება იდენტური ელემენტებისაგან, მაშინ ეს ელემენტები ნულებია. თუ (xn) არის უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობა, რომელიც არ შეიცავს ნულოვან წევრებს, მაშინ არის მიმდევრობა (1/xn), რომელიც უსასრულოდ მცირეა. თუმცა, თუ (xn) შეიცავს ნულოვან ელემენტებს, მაშინ თანმიმდევრობა (1/xn) მაინც შეიძლება განისაზღვროს რაღაც n რიცხვიდან დაწყებული და მაინც იქნება უსასრულოდ მცირე. თუ (an) არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა, რომელიც არ შეიცავს ნულოვან წევრებს, მაშინ არის მიმდევრობა (1/an), რომელიც უსასრულოდ დიდია. თუ (an) მაინც შეიცავს ნულოვან ელემენტებს, მაშინ მიმდევრობა (1/an) მაინც შეიძლება განისაზღვროს რაღაც n რიცხვიდან დაწყებული და მაინც უსასრულოდ დიდი იქნება. 1.1.5 კონვერგენტული და განსხვავებული მიმდევრობები და მათი თვისებები. კონვერგენტული მიმდევრობა არის X სიმრავლის ელემენტების თანმიმდევრობა, რომელსაც აქვს ლიმიტი ამ სიმრავლეში. განსხვავებული მიმდევრობა არის მიმდევრობა, რომელიც არ არის კონვერგენტული. ყოველი უსასრულოდ მცირე თანმიმდევრობა კონვერგენტულია. მისი ზღვარი არის ნული. ნებისმიერი სასრული რაოდენობის ელემენტების ამოღება უსასრულო მიმდევრობიდან არ მოქმედებს არც კონვერგენციაზე და არც ამ მიმდევრობის ზღვარზე. ნებისმიერი კონვერგენტული მიმდევრობა შემოსაზღვრულია. თუმცა, ყველა შემოსაზღვრული თანმიმდევრობა არ ემთხვევა. თუ მიმდევრობა (xn) იყრის თავს, მაგრამ არ არის უსასრულოდ მცირე, მაშინ, გარკვეული რიცხვიდან დაწყებული, განისაზღვრება მიმდევრობა (1/xn), რომელიც შემოსაზღვრულია. კონვერგენტული მიმდევრობების ჯამი ასევე კონვერგენტული მიმდევრობაა. კონვერგენტული მიმდევრობების განსხვავება ასევე არის კონვერგენტული მიმდევრობა. კონვერგენტული მიმდევრობების ნამრავლი ასევე კონვერგენტული მიმდევრობაა. ორი კონვერგენტული მიმდევრობის კოეფიციენტი განისაზღვრება რომელიმე ელემენტიდან დაწყებული, თუ მეორე მიმდევრობა უსასრულოდ მცირეა. თუ ორი კონვერგენტული მიმდევრობის კოეფიციენტი არის განსაზღვრული, მაშინ ეს არის კონვერგენტული მიმდევრობა. თუ კონვერგენტული თანმიმდევრობა შემოიფარგლება ქვემოთ, მაშინ მისი არც ერთი მინიმუმი არ აჭარბებს მის ზღვარს. თუ კონვერგენტული მიმდევრობა შემოიფარგლება ზემოთ, მაშინ მისი ზღვარი არ აღემატება არცერთ ზედა ზღვარს. თუ რომელიმე რიცხვისთვის ერთი კონვერგენტული მიმდევრობის წევრები არ აღემატება სხვა კონვერგენტული მიმდევრობის წევრებს, მაშინ პირველი მიმდევრობის ზღვარი ასევე არ აღემატება მეორის ზღვარს. განვიხილოთ ნატურალური რიცხვების სერია: 1, 2, 3, , ნ
– 1, ნ,
. თუ ყველა ნატურალურ რიცხვს შევცვლით ნამ სერიაში გარკვეული რაოდენობით ა ნზოგიერთი კანონის მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ რიცხვების ახალ სერიას: ა 1 ,
ა 2 ,
ა 3, , ა ნ –1 ,
ა ნ ,
, მოკლედ დაინიშნა და გამოიძახა რიცხვითი თანმიმდევრობა. მაგნიტუდა ა ნეწოდება რიცხვთა მიმდევრობის საერთო წევრი. ჩვეულებრივ, რიცხვების თანმიმდევრობა მოცემულია გარკვეული ფორმულით ა ნ
= ვ(ნ) საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი მისი ნომრით ნ; ამ ფორმულას ეწოდება ზოგადი ტერმინი ფორმულა. გაითვალისწინეთ, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი რიცხვითი მიმდევრობის განსაზღვრა ზოგადი ტერმინის ფორმულის გამოყენებით; ზოგჯერ თანმიმდევრობა მითითებულია მისი წევრების აღწერით. განმარტებით, მიმდევრობა ყოველთვის შეიცავს ელემენტთა უსასრულო რაოდენობას: ნებისმიერი ორი განსხვავებული ელემენტი განსხვავდება მათი რიცხვით მაინც, რომელთაგანაც უსასრულოდ ბევრია. რიცხვების თანმიმდევრობა არის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა. თანმიმდევრობა არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე და იღებს მნიშვნელობებს რეალური რიცხვების სიმრავლეში, ანუ ფორმის ფუნქცია. ვ
: ნ
რ. ქვემიმდევრობა ზოგჯერ მოსახერხებელია არა ყველა ნატურალური რიცხვის რიცხვად გამოყენება, არამედ მხოლოდ ზოგიერთი მათგანი (მაგალითად, ნატურალური რიცხვები, რომლებიც იწყება ნატურალური რიცხვიდან. ნ 0). ნუმერაციისთვის ასევე შესაძლებელია გამოვიყენოთ არა მხოლოდ ნატურალური რიცხვები, არამედ სხვა რიცხვებიც, მაგალითად, ნ= 0, 1, 2, (აქ ნული ემატება როგორც სხვა რიცხვი ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს). ასეთ შემთხვევებში, თანმიმდევრობის მითითებისას მიუთითეთ რა მნიშვნელობებს იღებს რიცხვები ნ. თუ რომელიმე თანმიმდევრობით ნ ნ
მაგალითი 1
.
რიცხვთა თანმიმდევრობა 1, 2, 3, 4, 5, ... არის ნატურალური რიცხვების სერია და აქვს საერთო ტერმინი. ა ნ
= ნ. მაგალითი 2
.
რიცხვთა თანმიმდევრობა 2, 4, 6, 8, 10, ... არის ლუწი რიცხვების სერია და აქვს საერთო ტერმინი ა ნ
= 2ნ. მაგალითი 3
.
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... - სავარაუდო მნიშვნელობების რიცხვითი თანმიმდევრობა მზარდი სიზუსტით. ბოლო მაგალითში შეუძლებელია მიმდევრობის ზოგადი ტერმინის ფორმულის მიცემა. მაგალითი 4
.
დაწერეთ რიცხვითი მიმდევრობის პირველი 5 წევრი მისი საერთო ტერმინის გამოყენებით ტესტი 6
.
1, 2, 6, 24, 120, მიმდევრობის საერთო წევრია: 1)
2)
3)
4)
ტესტი 7
.
1)
2)
3)
4)
ტესტი 8
.
მიმდევრობის საერთო წევრი 1)
2)
3)
4)
განვიხილოთ რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის საერთო ტერმინი უახლოვდება გარკვეულ რიცხვს აროდესაც სერიული ნომერი იზრდება ნ. ამ შემთხვევაში რიცხვთა თანმიმდევრობას აქვს ლიმიტი. ამ კონცეფციას უფრო მკაცრი განმარტება აქვს. ნომერი აეწოდება რიცხვთა მიმდევრობის ზღვარი თუ რომელიმე > 0-ისთვის არის ასეთი რიცხვი ნ 0
= ნ 0 (), დამოკიდებულია -ზე, რომელიც ეს განმარტება იმას ნიშნავს აარსებობს რიცხვის მიმდევრობის ზღვარი, თუ მისი საერთო ტერმინი უახლოვდება შეუზღუდავად ამატებასთან ერთად ნ. გეომეტრიულად ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი > 0-ისთვის შეიძლება ასეთი რიცხვის პოვნა ნ 0, რომელიც, დაწყებული ნ
> ნ 0, მიმდევრობის ყველა წევრი განლაგებულია ინტერვალის შიგნით ( ა
– ,
ა+ ). ლიმიტის მქონე მიმდევრობას ეწოდება კონვერგენტული; წინააღმდეგ შემთხვევაში - განსხვავებული. რიცხვთა თანმიმდევრობას შეიძლება ჰქონდეს გარკვეული ნიშნის მხოლოდ ერთი ზღვარი (სასრული ან უსასრულო). მაგალითი 5
.
ჰარმონიული თანმიმდევრობა მაგალითი 6
.
თანმიმდევრობა 2, 5, 2, 5, განსხვავებულია. მართლაც, არც ერთი სიგრძის ინტერვალი, მაგალითად, ერთზე ნაკლები, არ შეიძლება შეიცავდეს მიმდევრობის ყველა წევრს, დაწყებული გარკვეული რიცხვიდან. თანმიმდევრობა ე.წ შეზღუდულითუ ასეთი რიცხვი არსებობს მ, Რა მაგალითი 7
.
ქვემიმდევრობა ნომერი ედაურეკა ეილერის ნომერიდა დაახლოებით უდრის 2.718 28-ს. ტესტი 9
.
თანმიმდევრობა 1, 4, 9, 16, არის: 1) კონვერგენტული; 2) განსხვავებული; 3) შეზღუდული; ტესტი 10
.
ქვემიმდევრობა 1) კონვერგენტული; 2) განსხვავებული; 3) შეზღუდული; 4) არითმეტიკული პროგრესია; 5) გეომეტრიული პროგრესია. ტესტი 11
.
ქვემიმდევრობა 1) კონვერგენტული; 2) განსხვავებული; 3) შეზღუდული; 4) ჰარმონიული. ტესტი
12
.
საერთო ტერმინით მოცემული მიმდევრობის ლიმიტი მიმდევრობის ლიმიტის განსაზღვრა
ზოგადი აღნიშვნა მიმდევრობის ზღვრისთვის
ლიმიტის გაურკვევლობა და სიზუსტე
რა არის სამეზობლო?
თეორემები
თანმიმდევრობის დადასტურება
ან იქნებ ის იქ არ არის?
მონოტონური თანმიმდევრობა
კონვერგენტული და შემოსაზღვრული მიმდევრობის ლიმიტი
მონოტონური მიმდევრობის ლიმიტი
სხვადასხვა მოქმედებები ლიმიტებით
თანმიმდევრობითი რაოდენობების თვისებები
.. მას შემდეგ ბევრისთვის TOშეიძლება ასოცირდებოდეს რიცხვთან "6", ამ რიცხვს ეწოდება ნაკრების ელემენტების რაოდენობა K: n(K)=6,ისინი ამბობენ, რომ რიცხვი "6" გამოხატავს ხალხის რაოდენობას TO.
a 1– თვითნებურად განსაზღვრული;
დაურეკა იზრდება(მცირდება), თუ რომელიმე ნ ნ
ასეთ თანმიმდევრობას ე.წ მკაცრად ერთფეროვანი.
მაშინ თანმიმდევრობა ეწოდება არ კლებულობს(არ მზარდი). ასეთ თანმიმდევრობას ე.წ ერთფეროვანი.
. Გამოთვლა ა 1 საჭიროა ზოგადი ტერმინის ფორმულაში ა ნიმის მაგივრად ნჩაანაცვლე 1 გამოთვლა ა 2 − 2 და ა.შ. მაშინ გვაქვს: 
არის:
არის:
რიცხვების თანმიმდევრობის ლიმიტი
:
(1)
ზე ნ
> ნ 0 .
აქვს ზღვრული რიცხვი 0. მართლაც, ნებისმიერი ინტერვალისთვის (–; +), როგორც რიცხვი ნ 0 შეიძლება იყოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი მეტი. მაშინ ყველასთვის ნ
> ნ 0 > გვაქვს 
ყველასთვის ნ. ყველა კონვერგენტული მიმდევრობა შემოსაზღვრულია. ყველა მონოტონურ და შემოსაზღვრულ მიმდევრობას აქვს საზღვარი. ყველა კონვერგენტულ მიმდევრობას აქვს უნიკალური ზღვარი.
იზრდება და შეზღუდულია. მას აქვს საზღვარი 
=ე.
არის:
არ არის:
თანაბარი.